感生电动势与涡旋电场
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例：正弦交流电
B
求：任意时刻的电动势
解：t ωθ
=
⎰⋅⨯=L l d B V
)(ε θcos BS S B m =⋅=Φ =t BS ωcos
t NBS dt
d N m m
i ωωεsin ==Φ-=ωεNBS m =，转速n ：转/分(r/min)，)/(60
2s rad n
πω= 例：磁通计的原理 B
dt
d m i Φ-=ε
感应电流 i εdt d R R i m i Φ-==1ε t →0
感生电量m t m m t t R
d R dt dt d R idt q m m ∆Φ-=Φ-=Φ-
==⎰⎰⎰ΦΦ1
11)()0(00 m q ∆Φ∝，Rq m =∆Φ
if ，0)0(=Φm ，Rq t m =Φ)(：磁通计原理
测量磁场，若线圈面积较小，且线圈平面B
⊥，S t B m /)(Φ=
可测：时变磁场、恒定磁场 对于恒定磁场
B
例：洛仑兹力是否作功？
洛仑兹力对电荷永远不作功
洛仑兹力是产生动生电动势的非静电力 B v q F
⨯=：产生动生电动势
B u q f
⨯=：对动生电动势无贡献 B u q B v q f F F m ⨯+⨯=+=
外 =B u v q
⨯+)(=B V q ⨯
u v V
+=
V F m ⊥，0=⋅V F m
F
、f 分别对电荷作功
洛仑兹力不提供能量，它只是转化和传递能量
第3节感生电动势与涡旋电场一、涡旋电场假说
例：求矩形回路中的感生电动势
解：⎰
⎰=
⋅
=
Φ
S
S
m
dS
B
S d
B
tθ
cos
)(
=dx
l
x
t I
l
r
r1
2
2
)(
⎰+πμ，
I
t I
ω
s i n
)(
=
=
r
l
r
t
l I
2
1
0ln
sin
2
+
ω
π
μ
，
r
l
r
t
l I
dt
d
m
i
2
1
0ln
cos
2
+
-
=
Φ
-
=ω
ω
π
μ
ε
产生电动势的非静电力是什么力？从哪里来的？
涡旋电场假说：变化的磁场⇒具有闭合力线的电场：
涡旋电场（感应电场），场强
V
E
，非静电场
一段导线：⎰⋅
=
L V
i
l d
E
ε，闭合回路：⎰Φ
-
=
⋅
=
L
m
V
i dt
d
l d
E
ε
静电场涡旋电场
产生原因静电荷变化的磁场
电力线不闭合闭合
环路定理0
=
⋅
⎰L l d
E
⎰Φ
-
=
⋅
=
L
m
V
i dt
d
l d
E
ε
保守场、电势非保守场，电势高斯定理∑
⎰=
⋅
内
i
S
q
S d
E
1
ε
=
⋅
⎰S V S d
E
对q的作用力E
q
F
=
V
E
q
F
=
⎰Φ
-
=
⋅
L
m
V dt
d
l d
E
=0
<
⋅
∂
∂
-
⋅
-⎰
⎰S d
t
B
S d
B
dt
d
S
S
固定回路，L
V
E
V
E
t
B
∂
∂
二、 涡旋电场的计算
⎰Φ-=⋅L m
V dt d l d E =⋅⎰L l d H ∑内
传I
例：半径为R 的无限长 直螺线管内有均匀
磁场B
设磁场以恒定速率
增加，0>∂∂t B
求：V E
（1）R r <，沿电力线积分，n
向外
2
)(2cos r t
B BS dt d dt d r E dl E l d E L m V L V
V ππθ∂∂=--=Φ-===⋅⎰⎰ r t
B E V ∂∂=21
（2）R r > V E ⎰Φ-==⋅L
m V V dt d r E l d E π2 22)(R t B R B dt d ππ∂∂=--=
r
R t B E V 1212∂∂= R r
例：无限长直螺线管（R 、、0>∂∂t
B
）
求：直导线ab 解：⎰⎰⎰∂∂==⋅=b a L b L a V b L a V ab dl r
h
r t B dl E l d E 21cos )()()(θε =0)2/(212122>-∂∂=∂∂l R l t B
hl t B ，方向b a →，b 端电势高 讨论：（1）对于涡旋电场不能引入电势概念，为什么说b 端 电势高？
答：b 端积累正电荷，a 端积累负电荷
电势概念是针对积累电荷的静电场引入的
（2）直导线ab 向上平移
ab ε如何变化？
答：hl t
B
ab ∂∂=
21ε，ab 向上平移，↓h ，↓ab ε 直导线通过O 点，0=h ，ab ε=0
⎰⋅=b
a
V L ab l d E )(ε，V E l d ⊥，ab ε=0
（3）
B
O a b l ab bO ab O a O abO εεεεε=++=
hl t B hl B dt d dt d m OabO ab 2
1
)21(∂∂=--=Φ-==εε （4）
I 、 MN 中有无电动势？
II 、 G 中有无电流？ B
0/≠∂∂t B III 、N M ''中有无电动势？ M N
IV 、G '中有无电流？
M ' N '
G '
计算电动势的小结：
（1）磁场恒定，回路或其一部分运动：动生电动势
一段导线：l d B V b
L a ab ⋅⨯=⎰)()
(ε
闭合回路：⎰⋅⨯=L l d B V )(ε，dt
d m
i Φ-=ε
（2）磁场变化，回路不动：感生电动势
一段导线：⎰⋅=L
V i l d E
ε
闭合回路：⎰⋅=L V i l d E ε，dt
d m
i Φ-=ε
（3）磁场变化，且回路或其一部分又运动：既有感生
电动势，又有动生电动势，最好使用：dt
d m
i Φ-=ε
G h
第4节 自感
一、 自感现象及其规律
I B ∝，I m ∝Φ，LI m =Φ
L :
L ：自感（系数），SI ：亨利（H ） dt d m L Φ
-=ε=dt
dI L I dt dL LI dt d --=-)(
如果L 恒定，=
L εdt
dI
L - L ε L εL ε：自感电动势 自感电动势总是阻碍电流变化 I I。
