利用导数研究函数的性质(教案)1

专题二——利用导数研究函数的性

质2009-2-24高考趋势

导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常利用导数

研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和

最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的

形式出现，通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单

调区间，其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式

进行证明。

考点展示

1.二次函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，

则图象的顶点在第 一 象限

2．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别

2

B

C

A

y

x

1

O

3

4

5

6

1

2

34

为，则 2 ；

函数在处的导数 -2 ．

3.曲线在点处的切线的倾斜角为 45°

4.设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则 1

5.设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围

6.已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为 2

．

7.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则__32_ _

8.过点P（2，8）作曲线的切线，则切线方程为_ 12x-y-16=0或3x-y+2=0

样题剖析

例1、设函数为实数。

（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

解: (1) ，由于函数在时取得极值，所以

即

(2) 方法一：由题设知：对任意都成立

即对任意都成立

设 , 则对任意，为单调递增函数

所以对任意，恒成立的充分必要条件是

即 ，

于是的取值范围是

方法二：由题设知：对任意都成立

即对任意都成立

于是对任意都成立，即

于是的取值范围是

点评：函数在某点处取得极值，则在这点处的导数为0，反过来，

函数的导数在某点的值为0，则在函数这点处取得极值。

变式1.若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是

由题意可知，在上恒成立，

即在上恒成立，由于，所以，

变式2.已知函数，（为常数）．则对所有实数成立的充分必要条件（用表示）为

1 3.3导数在研究函数中的应用（教学设计）（1）

§3.3.1函数的单调性与导数（2课时）

教学目标：

知识与技能目标：

在观察、探索的基础上，归纳出函数的单调性与导数的关系，并用其判断函数的单调性，会求函数的单调区。

过程与方法目标：

利用图象为结论提供直观支持，通过观察分析、归纳总结等方式，培养学生的数形结合意识和应用数学知识解决问题的数学思维。

情感、态度与价值观目标：

通过学习本节内容，增强对数学的好奇心与求知欲；在教学过程中，培养学生勇于探索、善于发现的创新思想。

教学重点：了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

教学难点：利用导数的几何意义来探究函数的单调性，理解用导数研究函数单调性的实质。

教学过程：

一．创设情景、新课引入：

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．

二．师生互动，新课讲解：

1．问题1：如图，它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'()()9.86.5vthtt的图像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地，'()()0vtht．

（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地，'()()0vtht．

2．函数的单调性与导数的关系

问题2：分别作出下列函数的图象： 2 （1）y=x (2)y=x2 (3)y=x3 (4)y=1x

山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

班级 小组 姓名 使用时间 2015年 5月 7日 编号第

课

题 导数在函数中的应用及优化问题 编制人 张 怡

审核人 孙延海

考纲要求 1.利用导数解决生活中的优化问题.

2.导数与方程、函数零点、不等式知识综合应用.

教 学 过 程

再现型题组 1. 已知函数Rxaaxxaxxf,2131)(23，其中0a

（1）求函数)(xf的单调区间；

（2）若函数)(xf在区间)0,2(内恰有两个零点，求a的取值范围.

2.从边长为cmcm1610的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为

A.312cm B. 372cm C. 3144cm D. 3160cm

山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

巩固型题组 【例1】设函数)0,(12)(22tRxtxttxxf.

（1）求)(xf的最小值)(th；

（2）若mtth2)(对t∈(0, 2)恒成立，求实数m的取值范围.

【例2】某产品每件成本为6元，每件售价为x元（116x），年销量为u万件，若已知u8585与2)421(x成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.

（1）求年销售利润y关于售价x的函数关系式；

（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润. 山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

提高型题组 【练1】已知函数)()(2aaxxexfx,其中a是常数.

（1）当1a时，求曲线)(xfy在点))1(,1(f处切线方程；

（2）若存在实数k，使得关于x的方程kxf)(在),0[上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

山东省沾化县第一中学2013级 数学学科 课时导学案

石榴高级中学教案 高二数学一轮复习 NO：15

§3.2导数在研究函数中的应用

一、知识梳理

1．导数和函数单调性的关系：

(1)对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的________；

如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的________．

(2)若在(a，b)的任意子区间内f′(x)都不恒等于0，f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为____函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，⇔f(x)在(a，b)上为____函数．

2．函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程________的根；

③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．

3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的________；

(2)将函数y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

二、自我检测：

1．(2009·广东改编)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为______________．

2.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围为______________．

3.设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥43，则p是q的________条件．