利用导数研究函数性质

1．导数与导函数的概念

(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0)．

(2)若f(x)对于区间(a，b)任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数 导函数

f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ln x f′(x)＝1x

f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝1xln

a

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)[fxgx]′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )

１０　导数研究函数的性质　

／知识点扫描　产　。。　

１．关于ｚ的函数ｆ（１ｚ）一　＋３ｚ　＋３　—ｎ的极　

值点的个数有　．　２．设　—　—ｌｎｘ，则此函数在区间（Ｏ，１）内为　

（填单调性）．　３．／（　ｏ）一０是可导函数　一，（ｚ）在点ｚ—ｚｏ处　

有极值的　条件．　４．（２００６年天　津卷）函数＿厂（ｚ）的　定义域为开区间（ｎ，　６），导函数厂（　）在　，，　ｙ＝　）　

ｌ　Ｖ　Ｄ　｜　

（ａ，６）内的图象如图所示，则函数厂（ｚ）在开区间（ｎ，　

６）内有极小值点　个．　

５．若，（　）一　＋３ａｘ　＋３（ａ４－２）ｘ＋１有极大值　

和极小值，则ｎ的取值范围是　．　

６．设有长为ａ，宽为ｂ的矩形，其底边在半径为　Ｒ的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半　

圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，　——．　

丝　

例１若函数厂（ｚ）一ｌｎｘ一÷ａＸ　一２ｘ存在单调　

递减区间，求实数ａ的取值范围．　

剖析：函数地，（ｚ）存大单调区间，就是不等式　／（ｚ）≤０有实数解，考虑到函数的定义域为（０，　＋ｃｘ。），所以本题就是要求厂（－ｚ）≤ｏ在（ｏ，＋ｃｘ。）上有　实数解．　

解：厂（ｚ）一＿＝＿１一ｎｚ一２一一—ａｘ—￣—－［－　２ｘ一－－１．因为函　

数厂（ｚ）存在单调递减区间，所以／（ｚ）≤ｏ有解．又　

因为函数的定义域为（Ｏ，＋ｃｏ），则ａＸ　＋２ｚ一１≥Ｏ应　有ｘ＞Ｏ的解．　

（１）当ａ＞Ｏ时，　＝ｎ　。＋２　一１为开口向上的抛　物线，ａｘ２＋２　一１＞／０，总可以找到ｘ＞Ｏ的解；　

（２）当ａ＜Ｏ时，　—ｎ　＋２　一１为开口向下的抛　物线，要使口　。＋２　一１≥Ｏ总有大于。的解，则△＝　

４＋４ａ＞Ｏ且方程口　。４－２ｚ一１—０至少有一个正根，　此时一ｌ＜ａ＜Ｏ．　（３）当　—Ｏ时，显然符合题意．　综上所述，实数口的取值范围是（一１，＋ｃｏ）．　

警示：一般地涉及到函数（尤其是一些非常规函　数）的单调性问题，往往可以借助于导数这一工具进　

- 1 - 利用导数研究函数的单调性

考试大纲解读：

1．了解可导函数的单调性与其导数的关系．

2．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性．每年高考都从不同角度考查这一知识点，往往与不等式结合考察.

知识点归纳：

一、函数的导数与函数的单调性：

1.若()0fx,则()fx为增函数；若()0fx,则()fx为减函数；若()0fx恒成立,则()fx为常数函数；若()fx的符号不确定,则()fx不是单调函数。

2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．

3．使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性．

二、利用导数求函数单调区间的步骤：

（1）求()fx；

（2）求方程()0fx的根，设根为12,,nxxx；

（3）12,,nxxx将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()fx的符号，由此确定每一子区间的单调性。

- 2 - 例题与习题

求下列函数的单调区间

1.3()-fxxx 2.()ln(0)fxxxx

3. 2()ln(23)fxxx 4.f(x)＝(x－1)2－ln(x－1)2；

5.f(x)＝1xlnx. 6、f(x)＝x2＋1x－1

7、f(x)＝x＋21－x 8、f(x)＝sinx2＋cosx

注意事项：

利用导数求单调性是高考的重要热点：

1．若f(x)在区间(a，b)上为减函数不能得出在(a，b)上有f′(x)<0；

2．划分单调区间一定要先求函数定义域；

3．单调区间一般不能并起来.

蟹●　高教视野　利ｌ　导　熬　研究　出　懂质　◎魏池　（西安铁路高级技工学校，陕西　西安７１００００）　【摘要】“导数及其应用”是高等数学的重要组成部分，　同时又是微积分的核心内容之一．导数的广泛应用，为我们　解决函数问题、研究函数性质提供了有力的工具．本文通过　分析导数学习前后解题方法的比较，使学生可逐渐体会到，　导数在研究函数性质中所包含的很多重要的数学思想与方　法，认识到导数至关重要的工具作用．　【关键词】导数；极限；单调性；最值　导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽　带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，新的方　法．导数也是研究函数性质（如，求解函数极限、判断单调　性）、求函数最值等数学问题的有力工具．　一、利用导数求函数极限　利用洛必达法则，可以很轻松地应用导数工具来求解　ｎ　一　一些　型极限，或者兰型极限．　例如，求ｌｉｍＬ　．　哪　一：　＝　＝　＝÷　对比这两种方法，方法一先是利用三角变换，将１一　ｃｏｓ　转化为２ｓｉｎ　÷，再通过变形利用重要极限ｌｉｍ—ｓｌｎｘ＝　‘　ｘ　％　１，最终求出极限值．此方法要求学生熟练掌握三角恒等变　化，以及重要极限的变化形式，对知识量要求较大，运算也　有一定的技巧性，步骤较多．　而方法二利用洛必达法则求解，首先，需要判断是否满　ｎ　足洛必达法则的条件，该极限是属于昔型极限，其次，利用　Ｕ　洛必达法则，分子分母同时求导数，最终求出极限．此方法　运算量较小，只需掌握函数求导法则即可．通过上述分析，　显而易见方法二更简便，容易掌握．当然这样的例子还很　３　多，比如，ｌｉｒａ—　用以前的知识就很难求解，而运用洛　—ＳＩＩ］　必达法则之后求解就变得很容易了．但需要注意的是洛必　达法则有使用条件，不能凡是见到求极限的题目就盲目地　用洛必达法则求解．　通过用洛必达法则求函数极限的讲解，让学生初步认　识到了学习导数的重要性．　二、利用导数判断函数的单调性　在未学习导数知识之前，判断单调性时，只能用定义或　根据常用函数的单调性来推导，这种方法不仅运算量较大，　０　．　．　●．＿ｌ，●　●　而且有时也会出现无从下手的情况，如Ｙ：　＋ｖ／１一　类　函数．　例如，Ｙ＝２ｘ　一６　＋１８ｘ＋１，定义域为Ｒ．　方法一：利用定义判断，设　１，　２∈Ｒ，且　１＞　２　１）一　，（　２）：［２ｘ　一６ｘ　＋１８ｘｌ＋１］一［２　；一６　ｉ＋１８ｘ２＋１］．　经过化简，得到，（　）一，（．１７２）＞０，故　。）＞，（　：），因　此，函数为定义域Ｒ上的增函数．　方法二：利用导数判断，先求导数Ｙ　＝６ｘ　一１２ｘ＋１８＝　６（ｘ　一２ｘ＋３）＝６［（　一１）　＋２］．　经过配方得出上式值恒大于零，由定理得函数为定义　域Ｒ上的增函数．　比较上述两种解法，方法一中，只有判断出　。）与　，（　：）的大小关系，才能得出，（　）的单调性，在化简过程中　多次配方，并用到平方差、立方差公式，运算非常烦琐，还有　很大的技巧性．而方法二中，利用导数判断单调性，只需求　导一次、配方一次，即得到结论，步骤少，运算简便．因此，在　判断单调性的解题中，导数作为强有力的工具提供了简单、　程序化的方法，具有普遍的可操作性．　三、利用导数求函数最值　之前，求最值有很多方法，如，配方法、数形结合法、换　元法等等，根据不同的题目要选择合适的方法，如，求函数　Ｙ＝　＋２／ｘ一１的最值要用换元法，求Ｙ＝（ｅ　一Ⅱ）　＋　（ｅ一一ａ）　要用配方法等．利用导数求最值主要是求闭区间　上连续函数的最值．　例如，求函数ｙ＝　一３ｘ　＋１在闭区间［一２，０］上的　最值．　方法一：先通过单调性的定义判断出该函数在［一２，０］　上是单调递增的，再求端点的函数即可求出最值．　方法二：先对函数求导数得Ｙ＝３ｘ　一６ｘ，分解因式，在　闭区间［一２，０］解导数为零的点　：０，求导数为零的点处　以及端点处的函数值，比较之后得出最大值为－厂（０）＝１，最　小值为厂（一２）＝一１９．　比较上述两种方法，方法一在判断单调性中，技巧性较　强，运算量也很大．而且这种方法很有局限性，若函数在题　目中所给区间上不是单调的，那判断就会更加复杂．而方法　二中，利用导数求最值比较简便．　以上通过举例、比较，分析了导数在求极限、判断单调　性、计算最值等方面的运用，充分说明了导数在研究函数性　质及数学计算上的优势，因此，导数不仅为数学学科内自身　的计算提供了新的方法、新的理念．同时，导数也广泛地应　用于物理学、经济学等许多个数学之外的学科，起着极其重　要的作用．　【参考文献】　［１］盛祥耀，主编．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：高等教　育出版社，２００５．　［５］武慧敏．浅谈利用导数解决函数的几个问题［Ｊｊ．中　考（教师版），２００９（４）：３８．　数学学习与研究