第26讲 图形的平移、对称、旋转与位似

第1页 第26讲 图形的平移、对称、旋转与位似

,知识清单梳理)

平移

1．定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为__平移__．

2．性质

(1)平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段__相等且平行(或在同一条直线上)__．

(2)平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同．

(3)平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形__全等__．

轴对称

1．定义

(1)轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线__对称__．

(2)轴对称图形：如果某个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做__对称轴__．

2．性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．

中心对称

1．定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形__关于这个点____对称或中心对称__，该点叫做__对称中心__．

2．性质

(1)成中心对称的两个图形是全等形．

(2)成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．

(3)成中心对称的两个图形，对应线段平行(或者在同一直线上)且相等．

位似

1．定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__．

2．性质

(1)对应角相等，对应边之比等于__位似比__．

(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比__．

旋转 第2页 1．定义：在平面内，将一个图形绕某个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为__旋转中心__，转动的角度称为__旋转角__．

2．性质

(1)在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了__相同角度__．

(2)注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都__相等__．

(3)对应点到旋转中心的__距离相等__．

,云南省近五年高频考点题型示例)

识别轴对称图形以及中心对称图形

【例1】(2016云南中考)下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(

)

A

B

C

D

【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，A.是轴对称图形，不是中心对称第3页 图形，符合题意；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D.是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．

【答案】A

图形的平移

【例2】(2014昆明中考)如图，在平面直角坐标系中，点A点坐标为(1，3)，将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为________．

【解析】设A′的坐标为(a，b)，因为A点坐标为(1，3)，由平移的性质可知，a＝1－2＝－1，b＝3，所以点A′的坐标为(－1，3)．

【答案】(－1，3)

图形的旋转

【例3】(2016曲靖中考)等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A(－6，0)，点B在原点，CA＝CB＝5，把

等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②……依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是________．

【解析】由题意可得，每翻转三次与初始位置的形状相同，15÷3＝5，故第15次翻转后点C的横坐标是：(5＋5＋6)×5－3＝77.

【答案】77

第4页

1．(2015曲靖中考)如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是( C )

A．15° B．20° C．25° D．30°

网格作图综合题

【例4】(2016昆明中考)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．

(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；

(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；

(3)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

【解析】(1)根据网格结构找出点A，B，C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；(2)找出点A，B，C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；(3)找出点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴的交点即为P.

【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的图形；

(2)如图，△A2B2C2即为所求作的图形；

(3)找出点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，

连接BA′，与x轴的交点即为所求点P.

如图所示，点P的坐标为(2，0)．

2．(2013云南中考)如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上．

(1)把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形；

(2)写出A，B，C三点平移后的对应点A′，B′，C′的坐标． 第5页

解：(1)如图所示；

(2)结合坐标系可得：A′(5，2)，B′(0，6)，C′(1，0)．

3．(2013昆明中考)在平面直角坐标系中，四边形ABCD的位置如图所示，解答下列问题：

(1)将四边形ABCD先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到四边形A1B1C1D1，画出平移后的四边形A1B1C1D1；

(2)将四边形A1B1C1D1绕点A1逆时针旋转90°，得到四边形A1B2C2D2，画出旋转后的四边形A1B2C2D2，并写出点C2的坐标．

解：(1)如图，四边形A1B1C1D1即为所求；

(2)如图，四边形A1B2C2D2即为所求，C2(1，－2)．

4．(2015昆明中考)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．

(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；

(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2；

(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长．(结果保留根号和π)．

解：(1)如图，A1(2，－4)；

(2)如图；

(3)由两点间的距离公式可知：BC＝32＋22＝13，∴点C旋转到C2点的路径长＝90π×13180＝13π2.,近五年遗漏考点及社会热点与创新第6页 题)

1.遗漏考点

图形变换的有关计算

【例1】(2017东营中考)如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝3，则△ABC移动的距离是(

)

A.32 B.33 C.62 D.3－62

【解析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2∶1，所以EC∶BC＝1∶2，推出EC＝62，利用线段的差求BE＝BC－EC＝3－62.

【答案】D

【例2】(2017成都中考)如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为( )

A．4∶9 B．2∶5 C．2∶3 D.2∶3

【解析】根据位似变换的性质，可知ABA′B′＝OAOA′＝23，然后根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可知其面积比为4∶9.故选A.

【答案】A

【例3】(2017荆州中考)将直线y＝x＋b沿y轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为________．

【解析】先根据一次函数平移规律得出直线y＝x＋b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式为y＝x＋b－3，再把点A(－1，2)关于y轴的对称点(1，2)代入y＝x＋b－3，得1＋b－3＝2，解得b＝4.

【答案】4 第7页 【例4】(2017荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y＝kx(x＜0)的图象交AB于点N，S矩形OABC＝32，tan∠DOE＝12，，则BN的长为________．

【解析】利用矩形的面积公式得到AB·BC＝32，再根据旋转的性质得AB＝DE，OD＝OA，接着利用正切的定义得到tan∠DOE＝DEOD＝12，所以DE·2DE＝32，解得DE＝4，于是得到AB＝4，OA＝8，同样在Rt△OCM中，利用正切定义得到tan∠COM＝MCOC＝12，由OC＝AB＝4，可求得MC＝2，则M(－2，4)，易得反比例函数的解析式为y＝－8x，然后确定N点坐标为(－8，1)，可知BN＝4－1＝3.故答案为3.

【答案】3

2．创新题

【例5】(2017通辽中考)如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位长度后所得到直线l′的函数关系式为________．

【解析】如图，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C.∵正方形的边长为1，∴OB＝3.

第8页 ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边的面积分别是4，∴△ABO的面积是5，∴12OB·AB＝5，∴AB＝103，∴OC＝103.由此可知直线l经过(103，3)，设直线方程为y＝kx，则3＝103k，k＝910，∴直线l解析式为y＝910x，∴将直线l向右平移3个单位长度后所得直线l′的函数关系式为y＝910x－2710.

【答案】y＝910x－2710

【例6】(2017东营中考)如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为________．

【解析】连接AC，CE，CE与BD交于点P′，连接AP′.∵四边形ABCD是菱形，∴点A与点C关于BD对称，∴P′A＋P′E＝CE.由两点之间线段最短可得P′即为所求点．由菱形的周长为16，面积为83，可得BC＝AB＝4，BC边上的高为23，∴sin∠ABC＝234＝32，∴∠ABC＝60°，∴EC＝BC·sin60°＝4×32＝23.

【答案】23

【例7】(2017沈阳中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是________．

【解析】如图，连接AG，由旋转性质得∠ABG＝∠CBE，BA＝BG＝5，BC＝BE＝3.在Rt△BGC中，由勾股定理得，CG＝4，∴DG＝1，则AG＝AD2＋DG2＝10.∵BABC＝BGBE，