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（二十一）数学分析期终考试题一 叙述题：（每小题5分，共15分）1 开集和闭集2 函数项级数的逐项求导定理3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分）1、⎰-9131dx x x2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数n n n x n ∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域 4、11lim222200-+++→→y x y x y x5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知⎪⎩⎪⎨⎧==≠+++=0,0001sin )(),(222222y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微2、讨论级数∑∞=-+12211ln n n n 的敛散性。
3、讨论函数项级数]1,1[)1(11-∈+-∑∞=+x n x n x n n n 的一致收敛性。
四 证明题：（每小题10分，共20分）1 若⎰+∞adx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞→x f x2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。
参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
2 设函数项级数∑∞=1)(n nx u满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导a)∑∞=1)(n nx u在[a ，b]点态收敛于)(x Sb)∑∞=1')(n x un在[a ，b]一致收敛于)(x σ则)(x S =∑∞=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞=∞==11)()(n n n nx u dx dx u dx d 3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当0)(max 1→∆=≤≤i ni x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等二、1、令31x t -=（2分）7468)1(31233913-=--=-⎰⎰-dt t t dx x x （5分） 2、222221,x a b y x a b y --=-+=，（2分）所求的体积为：b a dx y y aa2222212)(ππ=-⎰-（5分） 3、解：由于e n n n n n n nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e 1(4分），当e x 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e n n n n ，所以收敛域为)1,1(ee - (3分） 4、2)11(lim )11)(11()11)((lim11lim220022*******222200=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x （7分）5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f （4分）136)2,1,2(=-l f （3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=000)1cos 11(sin 22222222222y x y x yx y x y x x f x （4分）由于22221cos 1y x y x ++当趋于（0，0）无极限。
数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的导数是________。
答案：3x^2+4x-52. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。
答案：xln(x)-x3. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。
答案：e^x+C4. 函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的值是________。
答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
然后检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点；f''(11/3)=2>0，所以x=11/3是极小值点。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-4x+1)。
答案：分子和分母同时除以x^3，得到lim(x→∞)(1+3/x+2/x^2)/(1-4/x^2+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，极限为1。
3. 求定积分∫(0,2) (2x-1) dx。
答案：首先求不定积分∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，然后计算定积分∫(0,2) (2x-1) dx = (2^2 - 2) - (0^2 - 0) = 4 - 2 = 2。
大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。
答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。
答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。
令f'(x)=0，解得x=2。
在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。
因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。
2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。
答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。
本科数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处不可导C. f(x)在点x=a处不连续D. f(x)在点x=a处的导数为0答案：A2. 设f(x)是定义在实数集上的函数，若f'(x)存在，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)是单调函数B. f(x)在任意点处都有定义C. f(x)在任意点处都可导D. f(x)是周期函数答案：B3. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有唯一的最大值和最小值C. f(x)在区间(a, b)内不一定有最大值和最小值D. f(x)在区间(a, b)内的最大值和最小值一定在区间端点处取得答案：C4. 若函数f(x)在区间[a, b]上可积，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在区间[a, b]上一定连续B. f(x)在区间[a, b]上一定有界C. f(x)在区间[a, b]上一定单调D. f(x)在区间[a, b]上一定有界且连续答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在区间(a, b)内连续，且f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，存在至少一个点c∈(a, b)，使得f'(c)______。
答案：=02. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处的导数定义为______。
答案：lim (x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)3. 设f(x)在区间[a, b]上连续，则根据微积分基本定理，∫[a, b]f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)______。
答案：=f(x)4. 若函数f(x)在区间[a, b]上可积，则∫[a, b] f(x) dx表示的是函数f(x)在区间[a, b]上与x轴所围成的区域的______。
数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限 1.24lim 2n n n →∞-- ； 2.111lim(1)1223(1)n n n →∞++++⨯⨯+； 3.01lim sin x x e x →-；4.10(1)lim xx x ex →+-；5.31lim 1n n n →∞--；6.211lim(1)nn n n →∞++；7.612sin lim cos3x xxπ→-； 8.011lim()1x x x e →--；9. x xxx x sin tan lim 0--→; 10． 10lim(sin 2cos )xx x x →+ ；求下列函数的导数或微分11.cos x y e x =；12.ln(ln )y x =；13.sin x y x =；14.求函数sin y x =的各阶导数；15.sin 2x y e x =16.ln(cos ln )y x x =+17.sin (cos )x y x =18. 求函数cos y x =的各阶导数；19．设x x y 1tan 3+=，求dx dy ；20.设x e x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33v u d uv d ； 21. 32(arctan )y x =， 求y ';22.x x y x =，求y '; 23. 求由参量方程⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x t t 所确定的函数的二阶导数22d y dx ; 24. 设3x y x e =, 试求(6)y .25. 试求由摆线方程(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ 所确定的函数()y f x =的二阶导数26.求函数()11++=x x x f 的单调区间、极值、凹凸区间及拐点. 27．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(x x x x x f m （m 为正整数），试问： （1）m 等于何值时，f在0=x 连续； （2）m 等于何值时，f 在0=x 可导； （3）m 等于何值时，f '在0=x 连续.28．试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？29．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(24x x x x x f（1）证明：0=x是极小值点； （2）说明f 的极小值点0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.30．若对任何充分小的0>ε，f 在],[εε-+b a 上连续，能否由此推出f 在),(b a 内连续. 31. 试求2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.32. 试求函数32|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值.33.求函数155345++-=x x x y 在[1,2]-上的最大最小值：34. 确定函数25363223+--=x x x y 的凸性区间及拐点. 35.举例说明:在有理数集内,确界原理和单调有界定理一般都不成立.36..举例说明:在有理数集内,聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.37.设11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫== ⎪⎨⎬+⎝⎭⎩⎭.问能否从H 中选出有限个开区间覆盖10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,说明理由. 38.求不定积分.39.求不定积分(0)a >. 40.求不定积分arctan x xdx ⎰.41.求不定积分2321x dx x ++⎛⎜⎠.42.求不定积分. 43.求不定积分53cos dx x -⎰. 44.计算定积分1ln e x dx ⎰.45.计算定积分10⎰. 46.计算定积分10arcsin xdx ⎰. 47.求极限2222111lim 122n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭. 48.设()f x 在[,]a b 上连续,()()()x a F x f t x t dt =-⎰.求()F x ''.49.求由椭球面2222221y x z a b c++=所围立体的体积. 50.求椭圆22221y x a b+=所围的面积. 51.求摆线(sin ),(1cos )(0),02x a t t y a t a t π=-=->≤≤的弧长. 52.求平面曲线sin ,0y x x π=≤≤绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积.53.讨论无穷积分20x xe dx +∞-⎰是否收敛?若收敛,则求其值. 54.讨论无穷积分21(1)dx dx x x +∞+⎰是否收敛?若收敛,则求其值. 55.利用级数敛散性定义验证级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑是否收敛.若收敛,求其和数. 56.判断级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性. 57.判断级数121n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑的敛散性. 58.判断级数()121sin n n n∞=-∑是绝对收敛,条件收敛还是发散. 59. 判断级数1sin ,(0,2)n nx x n π∞=∈∑是绝对收敛,条件收敛还是发散. 60. 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn n n x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性. 61. )(x f n =221x n nx+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性.62. 函数列在]1,0[上是否一致收敛？63. )(x f n 2222x n xe n -=在R 内是否一致收敛？64.函数列在] 1 , 0 [上是否一致收敛？65. 求幂级数 ++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 66. 计算积分⎰-=102dx e Ix , 精确到0001.0. 67. 把函数)(x f =)5ln(x +展开成)2(-x 的幂级数.68. 求幂级数∑∞=+0!1n n x n n 的和函数. 69. 展开函数x e x x f )1()(+=.70.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数,)(x x f =（i ）,ππ<<-x （ii ）.20π<<x71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设)(x f 是奇函数且满足)()(x f x f -=π. 试求)(x f 的Fourier 系数⎰-=πππnxdx x f b n 2sin )(12的值， ,2,1=n . 72. 设)(x f 以π2为周期，在区间]2,0[π内, 试求)(x f 的Fourier 级数展开式.73.设求在],[ππ-内)(x f 的以π2为周期的Fourier 级数展开式.74. 设)(x f 是以π2为周期的连续函数,其Fourier 系数为,,,0n n b a a ,2,1=n .试用,,,0n n b a a 表示函数x x f x F cos )()(=的Fourier 系数 75. 试求极限.42lim)0,0(),(xyxy y x +-→ 76. 试求极限.)()cos(1lim 222222)0,0(),(y x y x ey x y x ++-→ 77. 试求极限.1sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 78. 试讨论.lim 422)0,0(),(y x xy y x +→ 79. 试求极限.11lim 2222)0,0(),(-+++→y x y x y x80. ),(xy y x f u+=,f 有连续的偏导数，求 .,y u x u ∂∂∂∂ 81. ,arctan xy z =,x e y = 求.dxdz 82. 求抛物面 222y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程及法线方程.83. 求5362),(22+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 84. 求函数)2(),(22y y x e y x f x ++=的极值.85. 叙述隐函数的定义.86. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.87. 叙述隐函数可微性定理的内容.88. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.89. 讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数)(x f y =的一阶及二阶导数. 90. 讨论方程在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.91. 设函数23(,,)f x y z xy z =, 方程(1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =;(2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值.92. 讨论方程组在点)2,1,1,2(0P 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。
93. 设方程组问在什么条件下,(1)由方程组可以唯一确定,u v 是,x y 的可微函数?(2)由方程组可以唯一确定,u x 是,v y 的可微函数?94. 求球面50222=++z y x及锥面222z y x =+所截出的曲线的点)5 ,4 ,3(处的切线及法平面方程。
95. 求曲面3z e z xy -+=在点0(2,1,0)M 处的切平面及法线方程.96. 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长及最短距离. 97. 叙述含参量x 的正常积分定义.98. 叙述含参量x 的正常积分的连续性定理的内容.99. 叙述含参量x 的无穷限反常积分定义.100. 叙述含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛性定义.101. 叙述含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.102. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.103. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.104. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容.105. 求).0(ln 10>>-=⎰a b dx xx x I a b 106. 计算积分 101sin ln (0,0)ln b a x x dx a b x x-⎛⎫>> ⎪⎝⎭⎰. 107. 计算并由此计算108. 利用公式20x e dx +∞-=⎰计算109. 利用可微性计算关于参数a 的含参量反常积分并由此计算110. 计算⎰Lds y ||，其中L 为单位圆周122=+y x . 111.计算⎰-+-++Ldz x z dy z y dx y x )()()(，其中L 为从(0,0,0)到(1,2,3)的直线段. 112.求积分()()()34432,5254sin C B A x y dx x y x y dy -+-+⎰,其中曲线(),C A B 及x 轴围成的面积为S .113.求()23321323413C x y y x dx x xy x dy ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭⎰,其中2222:1x y C a b +=. 114.求全微分dz y zx dy x yz dx z xy )2()2()2(222+++++的原函数. 115.求(),D x y dxdy +⎰⎰其中D 由2,y x y x ==围成. 116.求()222V xy z dxdydz ++⎰⎰⎰,其中V由222z x y =+,()22220x y z R z ++=≥所围成的有界闭区域. 117.求2x y x y a b a b⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()0,0a b >>及0y =所围成区域D 的面积. 118.求22222sin Dx y dxdy a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰,其中D 是22221x y a b +≤. 119.求Vzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 由()()222221,403z x y x y z z =+++=≥所围成的有界闭区域. 120.求S zd σ⎰⎰,其中()2222:0S x y z a h z a ++=<<<. 121.求S zdxdy ⎰⎰,S 是2222(0,0)x y z a x y ++=≥≥,取球面的外侧为正侧. 122.设()f u 具有连续导数,求其中S 为()22222222222,,0y x z y x z a y x z b a b +=++=++=<<所围立体的表面的外侧. 123.求3323111sin cos 2333x y S x z dydz y x dzdx z e dxdy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰,其中S 是(){}2222,,V x y z x y z a =++≤的表面,取外侧为正侧()0a >. 124.计算积分⎰⎰++=Sdxdy zx dzdx yz dydz xy I 222，其中S 是椭球面1222222=++c z b y a x 的 外侧.。
