中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题(含答案)

１8.6 阅读理解一、选择题1. (2019 广西玉林市) （3分）定义新运算：(0)(0)pq q p q p q q⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⊕，例如：3355=⊕，33(5)5-=⊕，则2(0)y x x =≠⊕的图象是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题2. (2017 湖南省湘潭市) 阅读材料：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，如果//a b r r ，则2121x y x y ⋅=⋅.根据该材料填空：已知(2,3)a =r ，(4,)b m =r，且//a b r r ，则m = ．3. (2019 江西省) （3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是 ．4. (2019 宁夏回族自治区) （3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造２图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程24120x x --=的正确构图是．（只填序号）5. (2019 上海市) （4分）已知2()1f x x =-，那么(1)f -= ．6. (2019 四川省成都市) （4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A 的坐标为（5，0），点B 在x 轴的上方，△OAB 的面积为，则△OAB 内部（不含边界）的整点的个数为 ．7. (2019 四川省遂宁市) （4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a +bi （a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i根据以上信息，完成下面计算：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝．8. (2019 湖南省永州市) （4分）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方()na b+的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将15()s x+的展开式按x的升幂排列得：1521501215()s x a a x a x a x+=+++⋯+．依上述规律，解决下列问题：（1）若1s=，则2a=；（2）若2s=，则01215a a a a+++⋯+=．３４三、解答题9. (2013 浙江省台州市) 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”； （2）如图1，在Rt △ABC 中,∠C =90°,tan A =23.求证：△ABC 是“好玩三角形”；（3）如图2，已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC =2β，点Q P ,从点A 同时出发，以相同速度分别沿折线AB -BC 和AD -DC 向终点C 运动,记P 所经过的路程为s . ①当45β=°时，若△APQ 是“好玩三角形”，试求a s的值;②在Q P ,的运动过程中, 有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”，请直接写出tan β的取值范围.（4）（本小题为选做题，做对另加2分，但全卷满分不超过150分） 依据 (3)中的条件,提出一个关于“在Q P ,的运动过程中,tan β的取值范围与△APQ 是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1)．（第24题）B图1图2 备用图10. (2015 浙江省湖州市) 问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点(1)初步尝试：如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立.思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立.请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)(2)类比探究：如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值.(3)延伸拓展：如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示 (直接写出结果，不必写解答过程).５11. (2015 浙江省衢州市) 小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分布是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”６７12. (2018 江苏省南京市) 结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答. 题目：如图，Rt ABC △的内切圆与斜边AB 相切于点D ，3AD =，4BD =，求ABC △的面积.解：设ABC △的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为x . 根据切线长定理，得3AE AD ==，4BF BD ==，CF CE x ==. 根据勾股定理，得()()()2223434x x +++=+. 整理，得2712x x +=. 所以12ABC S AC BC =⋅△()()1342x x =++ ()217122x x =++ ()112122=⨯+ 12=.小颖发现12恰好就是34⨯，即ABC △的面积等于AD 与BD 的积.这仅仅是巧合吗? 请你帮她完成下面的探索.已知：ABC △的内切圆与AB 相切于点D ，AD m =，BD n =. 可以一般化吗？（1）若90C ∠=o ，求证：ABC △的面积等于mn . 倒过来思考呢？（2）若2AC BC mn ⋅=，求证90C ∠=o . 改变一下条件……（3）若60C ∠=o ，用m 、n 表示ABC △的面积.13. (2016 贵州省贵阳市) （1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD 绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．８14. (2016 山东省日照市) 阅读理解：我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF 于点P，那么动点P为线段AM中点．理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．由此你得到动点P的运动轨迹是：．知识应用：如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．拓展提高：如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．（1）求∠AQB的度数；（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．９15. (2019 山东省威海市) （8分）（1）阅读理解如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG＝2CF，CF＞DF由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：若n＞1，则．（2）证明命题小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明（1）中的命题．１０16. (2012 内蒙古赤峰市) 阅读材料：〔1〕对于任意两个数a b 、的大小比较，有下面的方法： 当0a b ->时，一定有a b >； 当0a b -=时，一定有a b =； 当0a b -<时，一定有a b <．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 〔2〕对于比较两个正数．．a b 、的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：22()()0a b a b a b a b -=+-+>Q ， 22()a b ∴-与()a b -的符号相同当220a b ->时，0a b ->，得a b > 当220a b -=时，0a b -=，得a b = 当220a b -<时，0a b -<，得a b < 解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y ，且x y >，张丽同学的用纸总面积为1W ，李明同学的用纸总面积为2W ，回答下列问题：①1W =____________（用含x y 、的式子表示）2W =____________（用含x y 、的式子表示）②请你分析谁用的纸总面积大．（2）如下图所示，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A B 、两镇供气，已知A B 、到l 的距离分别是3km ，4km （3km AC =，4km BE =），km AB x =，现设计两种方案：方案一：如图①所示，AP l ⊥于点P ，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度1a AB AP =+．方案二：如图②所示，点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 相交于点P ，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度2a AP BP =+．①在方案一中，1a ＝________km （用含x 的式子表示）； ②在方案二中，2a ＝________km （用含x 的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．17. (2014 四川省自贡市) 如图①在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”。

中考数学复习专题第五讲阅读理解型问题【要点梳理】阅读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，实现自主探索主动发展的基础．阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别致．这类问题，主要考查解题者的心理素质，自学能力和阅读理解能力，考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力．这就要求同学们在平时的学习活动中，逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良好习惯．阅读理解题型分类：题型一：考查掌握新知识能力的阅读理解题命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查我们自学能力和阅读理解能力，能考查我们接收、加工和利用信息的能力．题型二：考查解题思维过程的阅读理解题言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高我们数学水平的前提．数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为了检测我们理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的．题型三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题理解知识不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握知识的内涵或实质，理解知识间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识．这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力．题型四：考查归纳、探索规律能力的阅读理解题对材料信息的加工提炼和运用，对规律的归纳和发现能反映出我们的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力．这类试题意在检测我们的“数学化”能力以及驾驭数学的创新意识和才能．【学法指导】解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”，具体做法：①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词；②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息；③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答．【考点解析】阅读新知识，解决新问题（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：2阅读解题过程，模仿解题策略（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为AD=AB+DC ；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D 在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB ∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=CG，计算即可．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．阅读探索规律，推出一般结论（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an= =﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+an．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．==﹣，【解答】解：（1）由题意知，a6故答案为：，﹣；（2）a==﹣，n故答案为：，﹣；（3）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=﹣=，故答案为：；（4）原式=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．【真题训练】训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．训练二：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．训练三：（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为．训练五：（2017山东滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1 ；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2 ；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8 ；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．参考答案：训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．训练二：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．训练三：（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）BC+CD=AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AC，∵CE=CE+DE=CD+BC，∴BC+CD=AC；（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=α，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，∵∠ACB=∠ACD=α，∴∠ACB+∠ACD=2α，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F，∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，∴CE=2CF=2AC•cosα，∵CE=CD+DE=CD+BC，∴BC+CD=2AC•cosα．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目．训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为．【考点】6B：分式的加减法．【分析】根据所列的等式找到规律=（﹣），由此计算+ ++…+的值．【解答】解：∵ =﹣，=﹣，=﹣，…∴=（﹣），∴+++…+=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故答案是：．训练五：（2017山东滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1 ；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2 ；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8 ；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x 1=x2=1，；②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+，（x﹣）2=x﹣=±，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确．故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；。

中考数学复习专题九：阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、中考考点精讲 考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题例1 （•十堰）阅读材料：例：说明代数式221(3)4x x ++-+的几何意义，并求它的最小值．解：221(3)4x x ++-+=222(0)1(3)2x x -++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则2(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离， 22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB ，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式22491237x x x ++-+的最小值为 ．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：探究型．解析：（1）先把原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；（2）先把原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．解答：解：（1）∵原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式， ∴代数式222(1)1(2)3x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B （2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）∵原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和， 如图所示：设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=P A′，∴PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度，∵A （0，7），B （6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴A′B=222268A C BC '+=+=10，故答案为：10．点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法例2 （•赤峰）阅读材料：（1）对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当a-b ＞0时，一定有a ＞b ；当a-b=0时，一定有a=b ；当a-b ＜0时，一定有a ＜b ．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a 、b 的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a 2-b 2=（a+b ）（a-b ），a+b ＞0∴（a 2-b 2）与（a-b ）的符号相同当a 2-b 2＞0时，a-b ＞0，得a ＞b当a 2-b 2=0时，a-b=0，得a=b当a 2-b 2＜0时，a-b ＜0，得a ＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y ，且x ＞y ，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1= （用x、y的式子表示）W2= （用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．考点：轴对称-最短路线问题；整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可；（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．解答：（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y，故答案为：3x+7y，2x+8y．②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，∵x＞y，∴x-y＞0，∴W1-W2＞0，得W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大．（2）①解：a1=AB+AP=x+3，故答案为：x+3．②解：过B 作BM ⊥AC 于M ，则AM=4-3=1，在△ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB 2-12=x 2-1，在△A′MB 中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=22248A M BM x '+=+，故答案为：248x +．③解：a 12-a 22=（x+3）2-（248x +）2=x 2+6x+9-（x 2+48）=6x-39，当a 12-a 22＞0（即a 1-a 2＞0，a 1＞a 2）时，6x-39＞0，解得x ＞6.5，当a 12-a 22=0（即a 1-a 2=0，a 1=a 2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当a 12-a 22＜0（即a 1-a 2＜0，a 1＜a 2）时，6x-39＜0，解得x ＜6.5，综上所述当x ＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x ＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论例3 （•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l 上找一点P ，使AP 与BP 的和最小．他的做法是这样的：①作点B 关于直线l 的对称点B′．②连接AB′交直线l 于点P ，则点P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使△PDE 得周长最小．（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE 周长的最小值： ．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）根据提供材料DE 不变，只要求出DP+PE 的最小值即可，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E 的值，即可得出答案．解答：解：（1）如图，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）∵点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，∴DE 为△ABC 中位线，∵BC=6，BC 边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴D′E=222234DE DD '+=+=5，∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，故答案为：8．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE 周长的最小值，求出DP+PE 的最小值即可是解题关键．考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题例4 （•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形．专题：代数几何综合题．分析：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤43时，当43＜t≤2时，当2＜t≤103时，当103＜t≤4时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB-BG=3-x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴AG GF AB BC=，即336x x -=，解得：x=2，即BE=2；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=83，∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-83=43，∵ME=2-12t，∴FM=12t，当0≤t≤43时，S=S△FMN=12×t×12t=14t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•DHCH=34（4-t）=3-34t，∴FK=2-EK=34t-1，∵NL=23AD=43，∴FL=t-43，∴当43＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=14t2-12（t-43）（34t-1）=-18t2+t-23；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=83，∴EC=4-t=B′C-2=23，∴t=103，∵B′N=12B′C=12（6-t）=3-12t，∵GN=GB′-B′N=12t-1，∴当2＜t≤103时，S=S梯形GNMF-S△FKL=12×2×（12t-1+12t）-12（t-43）（34t-1）=-38t2+2t-53，④如图⑥，当103＜t≤4时，∵B′L=34B′C=34（6-t），EK=34EC=34（4-t），B′N=12B′C=12（6-t）EM=12EC=12（4-t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-12t+52．综上所述：当0≤t≤43时，S=14t2，当43＜t≤2时，S=-18t2+t-23；当2＜t≤103时，S=-38t2+2t-53，当103＜t≤4时，S=-12t+52．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．四、中考真题演练1．（•宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．考点：图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图—应用与设计作图．分析：（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形．解答：解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2；②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；（2）①如图所示：，②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；如图所示：故▱ABCD是10阶准菱形．点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．2．（•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题；规律型．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C；故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C 重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．3．（•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m 的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ：AB=2：1，设AB 与A′B′、BC 与B′C′、CD 与C′D′、DA 与D′A′之间的距离分别为a 、b 、c 、d ，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，a 、b 、c 、d 应满足什么条件？请说明理由．考点：相似多边形的性质；一元二次方程的应用．分析：（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ，然后由题意得方程23124112y y y y ---=--- =2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，利用相似多边形的性质，可得A D ADA B AB''=''，即 ()2()1AD a c AB b d -+=-+，然后利用比例的性质，即可求得答案．解答：解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ．”前补充以下过程： 设温室的宽为ym ，则长为2ym ．则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m ，长为（2y-3-1）m ． ∵23124112y y y y ---=--- =2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ， 就要A D ADA B AB''=''，即()2()1AD a c AB b d -+=-+， 即2()2()1AB a c AB b d -+=-+，即a cb d++=2． 点评：此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．4．（•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）解一元二次方程，求出OA、OB的长度，从而得到A、B点的坐标；（2）△APQ与△AOB相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图（2）所示；（3）本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图（3）所示．在求M1，M2坐标时，注意到M1，M2与Q点坐标的对应关系，则容易求解；在求M3坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系．解答：解：（1）解方程x2-7x+12=0，得x1=3，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．∴A（0，3），B（4，0）．（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：（I）△APQ∽△AOB，如图（2）a所示．则有AP AQAO AB=，即5235t t-=，解得t=1511．此时OP=OA-AP=1811，PQ=AP•tanA=2011，∴Q（2011，1811）；（II）△APQ∽△ABO，如图（2）b所示．则有AP AQAB AO=，即5253t t-=，解得t=2513．此时AQ=2513，AH=AQ•cosA=913，HQ=AQ•sinA=1213，OH=OA-AH=3013，∴Q（1213，3013）．综上所述，当t=1511秒或t=2513秒时，△APQ与△AOB相似，所对应的Q点坐标分别为（2011，1811）或（1213，3013）．（3）结论：存在．如图（3）所示．∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ•sin∠QAP=45，AE=AQ•cos∠QAP=35，∴OE=OA-AE=125，∴Q（45，125）．∵▱APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（45，25）；∵▱APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（45，225）；如图（3），过M3点作M3F⊥y轴于点F，∵▱AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE，∴△M3PF≌△QAE，∴M3F=QE=45，PF=AE=35，∴OF=OP+PF=85，∴M3（-45，85）．∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：M1（45，25），M2（45，225），M3（-45，85）．点评：本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行四边形等知识点．本题难点在于分类讨论思想的应用，第（2）（3）问中，均涉及到多种情况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握．5．（•长春）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=4cm ．D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连接DE ．点P 从点A 出发，沿折线AD-DE-EB 运动，到点B 停止．点P 在线段AD 上以5cm/s 的速度运动，在折线DE-EB 上以1cm/s 的速度运动．当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 在线段AQ 上．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为 cm （用含t 的代数式表示）． （2）当点N 落在AB 边上时，求t 的值．（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式．（4）连接CD ，当点N 与点D 重合时，有一点H 从点M 出发，在线段MN 上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M 连续做往返运动，直至点P 与点E 重合时，点H 停止往返运动；当点P 在线段EB 上运动时，点H 始终在线段MN 的中点处，直接写出在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围．考点：相似形综合题．分析：（1）点P 在AD 段的运动时间为2s ，则DP 的长度为（t-2）cm ；（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如图（2）所示．利用运动线段之间的数量关系求出时间t 的值；（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示．分别用时间t 表示各相关运动线段的长度，然后利用“S=S 梯形AQPD -S △AMF =12（PG+AC ）•PC -12AM•FM”求出面积S 的表达式；（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H 、点P 的运动过程：当4＜t ＜6时，此时点P 在线段DE 上运动，如图（4）a 所示．此时点H 将两次落在线段CD 上；当6≤t≤8时，此时点P 在线段EB 上运动，如图（4）b 所示．此时MN 与CD 的交点始终是线段MN 的中点，即点H ．解答：解：（1）∵在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=4cm ， ∴AB=22228445AC BC +=+=，D 为AB 中点，∴AD=25，∴点P 在AD 段的运动时间为255=2s ． 当点P 在线段DE 上运动时，DP 段的运动时间为（t-2）s ， ∵DE 段运动速度为1cm/s ，∴DP=（t-2）cm ．（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如下图所示：①如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．由三角形中位线定理可知，DM=12BC=2，∴DP=DM=2．由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．∵DE=12AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=203．所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=203．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：①当2＜t＜4时，如图（3）a所示．DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．∵MN∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM=12AM=12t．S=S梯形AQPD-S△AMF=12（DP+AQ）•PQ-12AM•FM=12[（t-2）+（2+t）]×2-12t•12t=-14t2+2t；②当203＜t＜8时，如图（3）b所示．PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，∴FM=12AM=6-12t，PG=2PB=16-2t，S=S梯形AQPD-S△AMF=12（PG+AC）•PC-12AM•FM=12[（16-2t）+8]×（t-4）-12（12-t）•（6-12t）=-54t2+22t-84．综上所述，S与t的关系式为：S=2212(24)45202284(8)43t t tt t t⎧-+<<⎪⎪⎨⎪-+-<<⎪⎩。

专题14 阅读理解问题一、选择题1．（2020年湖北省十堰市第9题）如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1=a2+a3，则a1的最小值为（）A．32 B．36 C．38 D．40【答案】D.【解析】考点：数字的变化类2．（2020年江西省第6题）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A ．当E ，F ，G ，H 是各边中点，且AC=BD 时，四边形EFGH 为菱形B ．当E ，F ，G ，H 是各边中点，且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为矩形C ．当E ，F ，G ，H 不是各边中点时，四边形EFGH 可以为平行四边形D ．当E ，F ，G ，H 不是各边中点时，四边形EFGH 不可能为菱形【答案】D【解析】考点：中点四边形3. （2020年山东省潍坊市第11题）定义[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3.函数的图象如图所示，则方程[]221x x =的解为（ ）. A.0或2 B.0或2C.1或2-D.2或2-【答案】B【解析】考点：1、解一元二次方程﹣因式分解法；2、实数大小比较；3、函数的图象4. （2020年湖南省岳阳市第8题）已知点A 在函数11y x =-（0x >）的图象上，点B 在直线21y kx k =++（k 为常数，且0k ≥）上，若A ，B 两点关于原点对称，则称点A ，B 为函数1y ，2y 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为A ．有1对或2对B ．只有1对 C.只有2对 D ．有2对或3对【答案】A ．【解析】试题解析：设A （a ，-1a）， 由题意知，点A 关于原点的对称点B （（a ，-1a ），）在直线y 2=kx+1+k 上， 则1a=-ak+1+k ， 整理，得：ka 2-（k+1）a+1=0 ①，即（a-1）（ka-1）=0，∴a -1=0或ka-1=0，则a=1或ka-1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=1k ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选A ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标．5．（2020年湖南省长沙市第11题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ）A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里【答案】C 考点：等比数列 二、填空题1. （2020年山东省威海市第15题）阅读理解：如图1，⊙O 与直线b a ,都相切.不论⊙O 如何转动，直线b a ,之间的距离始终保持不变（等于⊙O 的半径）.我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”.图2是利用圆的这一特性的例子.将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进.据说，古埃及就是利用只有的方法将巨石推到金字塔顶的.拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”.如图4，夹在平行线d c ,之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变.若直线d c ,之间的距离等于cm 2，则莱洛三角形的周长为 cm .【答案】2π【解析】试题分析：由等宽曲线的定义知AB=BC=AC=2cm ，即可得∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，因此可知AB 在以点C 为圆心、2为半径的圆上，根据弧长公式可求得AB 的长为60221803ππ⨯=，则莱洛三角形的周长为23π×3=2π，故答案为：2π．考点：新定义下弧长的计算2. （2020年贵州省六盘水市第15题）定义：}{ac b A ,,=，}{c B =，},,{c b a AUB =,,A B a b c ，若}1{-=M ，}1,1,0{-=N ，则MN ．【答案】{}1,0,1- .考点：新定义运算．3.（2020年贵州省六盘水市第20题）计算1491625…的前29项的和是. 【答案】8555.试题分析：因为22222123......29......n ++++++=(1)(21)6n n n ++ ，当n=29时，原式=29(291)(2291)85556⨯+⨯⨯+=. 考点：数列．4. （2020年湖南省岳阳市第15题）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L ，圆的直径为d ．如右图所示，当6n =时，L 632r d rπ≈==，那么当12n =时，L dπ≈= ．（结果精确到0.01，参考数据：sin15cos750.259=≈）【答案】3.10.【解析】∵Rt△A BC 中，cosA=AC AB， 即0.259=131()2rAB-， ∴AB≈0.517r，∴L=12×0.517r=6.207r，又∵d=2r， ∴L d π≈=6.2072r r≈3.10. 考点：正多边形和圆；解直角三角形．三、解答题1. （2020年湖北省宜昌市第20题）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,,a b c ，称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：()()22221,2,1.2a m n b mn c m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中0m n >>，mn 是互质的奇数. 应用，当1n =时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.【答案】直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4 Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、当c=5时，12（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．考点：1、勾股数；2、勾股定理2．（2020年江西省第23题）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△A BC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【答案】（1）①12②4（2）AD=12BC（3）存在故答案为．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=12B′C′=12BC=4，故答案为4．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵CD=23，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=1BM=7，2∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，考点：四边形综合题3. （2020年湖南省郴州市第24题）设,a b 是任意两个实数，用max{,}a b 表示,a b 两数中较大者，例如：max{1,1}1--=-，max{1,2}2,max{4,3}4==，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5,2}= ，max{0,3}= ；（2）若max{31,1}1x x x +-+=-+ ，求x 的取值范围；（3）求函数224y x x =--与2y x =-+的图象的焦点坐标，函数224y x x =--的图象如下图所示， 请你在下图中作出函数2y x =-+的图象，并根据图象直接写出2max{2,24}x x x -+-+ 的最小值.【答案】(1)5；3．（2）x ≤0；（3）﹣1．【解析】（3）联立两函数解析式成方程组，2242y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩ ，解得：24x y =-⎧⎨=⎩ ，或31x y =⎧⎨=-⎩， ∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y=﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x=3时，max{﹣x+2，x 2﹣2x ﹣4}取最小值﹣1．考点：阅读理解题.4．（2020年山东省日照市第21题）阅读材料：在平面直角坐标系xOy 中，点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=． 例如：求点P 0（0，0）到直线4x+3y ﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y ﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P 0（0，0）到直线4x+3y ﹣3=0的距离为d==． 根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P 1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 ；问题2：已知：⊙C 是以点C （2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C 与直线y=﹣x+b 相切，求实数b 的值； 问题3：如图，设点P 为问题2中⊙C 上的任意一点，点A ，B 为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S △ABP 的最大值和最小值．【答案】（1）4；（2）b=5或15；（3）最大值为4，最小值为2.试题分析：（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题;（3）求出圆心C 到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C 上点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．考点：一次函数综合题．5．（2020年湖南省长沙市第25题）若三个非零实数z y x ,,满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数z y x ,,构成“和谐三数组”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若),1(),,1(),,(321y t M y t N y t M +-三点均在函数y=xk （k 为常数，0≠k ）的图象上，且这三点的纵坐标321,,y y y 构成“和谐三数组”，求实数t 的值；（3）若直线)0(22≠+=bc c bx y 与x 轴交于点)0,(1x A ，与抛物线)0(332≠++=a c bx ax y 交于),(),,(3322y x C y x B 两点．①求证：A ，B ，C 三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a ＞2b ＞3c ，x2=1，求点P （，）与原点O 的距离OP 的取值范围.【答案】（1）不可以（2）t=-4，-2或2（3）21022OP ≤＜且OP ≠1 【解析】 （2）M （t ，k t ），N （t+1，1k t +），R （t+3，3k t +） k t ，1k t +，3k t +组成“和谐三组数” ①若k t =1k t ++3k t +，得t=-4 ②若13t t t k k k++=+，得t=-2 ③若31t t t k k k ++=+，得t=2 综上，t=-4，-2或2（3）①令y=2bx+2c=0∴x 1=-b c 联立22233y bx c y ax bx c =+⎧⎨=++⎩ ∴20ax bx c ++=∴由韦达定理可得2323b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩∴2323231111x x b x x x x c x ++==-=⋅ ∴123x x x ，，构成“和谐三组数”考点：阅读理解题6．（2020年浙江省杭州市第20题）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．（1）设矩形的相邻两边长分别为x ，y ．①求y 关于x 的函数表达式；②当y ≥3时，求x 的取值范围；（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【答案】（1）①y=3x②x≤1（2）10【解析】（2）∵一个矩形的周长为6，∴x+y=3，∴x+3x=3，整理得：x2﹣3x+3=0，∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，∴矩形的周长不可能是6；∵一个矩形的周长为10，∴x+y=5，∴x+3x=5，整理得：x2﹣5x+3=0，∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，∴矩形的周长可能是10．考点：1、反比例函数的应用，2、一元二次方程的解法中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x =【答案】D【解析】先将方程左边提公因式x ，解方程即可得答案．【详解】x 2﹣3x ＝0，x （x ﹣3）＝0，x 1＝0，x 2＝3，故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．2．如图1，在等边△ABC 中，D 是BC 的中点，P 为AB 边上的一个动点，设AP=x ，图1中线段DP 的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．23C ．12D ．43【答案】D【解析】分析： 由图1、图2结合题意可知，当DP ⊥AB 时，DP 最短，由此可得DP 最短=y 最小33，过点P 作PD ⊥AB 于点P ，连接AD ，结合△ABC 是等边三角形和点D 是BC 边的中点进行分析解答即可. 详解：由题意可知：当DP ⊥AB 时，DP 最短，由此可得DP 最短=y 最小33，过点P 作PD ⊥AB 于点P ，连接AD ，∵△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上的中点，∴∠ABC=60°，AD ⊥BC ，∵DP ⊥AB 于点P ，此时3∴BD=332sin 602PD =÷=， ∴BC=2BD=4，∴AB=4，∴AD=AB·sin ∠B=4×sin60°=23，∴S △ABC=12AD·BC=1234432⨯⨯=. 故选D.点睛：“读懂题意，知道当DP ⊥AB 于点P 时，DP 最短=3”是解答本题的关键.3．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．23(2)3y x =++ B ．23(2)3y x =-+ C ．23(2)3y x =+- D ．23(2)3y x =--【答案】A【解析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++，故答案选A ．4．如图，扇形AOB 中，OA=2，C 为弧AB 上的一点，连接AC ，BC ，如果四边形AOBC 为菱形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．233π-B ．2233π-C ．433π-D ．433π-【答案】D【解析】连接OC ，过点A 作AD ⊥CD 于点D ，四边形AOBC 是菱形可知OA=AC=2，再由OA=OC 可知△AOC 是等边三角形，可得∠AOC=∠BOC=60°，故△ACO 与△BOC 为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出AD=OA•sin60°=2×32=3，因此可求得S阴影=S扇形AOB﹣2S△AOC=21202360π⨯﹣2×12×2×3=43π﹣23．故选D．点睛：本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．5．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )A．55B．255C．12D．2【答案】A【解析】解：在直角△ABD中，BD=2，AD=4，则AB=22222425BD AD+=+=，则cosB=25525BDAB==．故选A．6．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是()A．x x10060100-=B．x x10010060-=C．x x10060100+=D．x x10010060+=【答案】B【解析】解：设走路快的人要走x 步才能追上走路慢的人，根据题意得：10010060x x-=．故选B．点睛：本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，列方程是关键．7．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致．故选D．【点睛】本题考查了简单组合体三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．8．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米【答案】A【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．19B．16C．13D．23【答案】C【解析】分析：将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．详解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：A B CA （A，A）（B，A）（C，A）B （A，B）（B，B）（C，B）C （A，C）（B，C）（C，C）由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93.故选：C．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为倒数的点是（）A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点B 与点D D ．点B 与点C【答案】A【解析】试题分析：主要考查倒数的定义和数轴，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 根据倒数定义可知，-2的倒数是-12，有数轴可知A 对应的数为-2，B 对应的数为-12，所以A 与B 是互为倒数． 故选A ．考点：1．倒数的定义；2．数轴． 二、填空题（本题包括8个小题）11．对于任意实数m 、n ，定义一种运算m ※n=mn ﹣m ﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=1．请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】45a ≤<【解析】解：根据题意得：2※x=2x ﹣2﹣x+3=x+1， ∵a ＜x+1＜7，即a ﹣1＜x ＜6解集中有两个整数解， ∴a 的范围为45a ≤<， 故答案为45a ≤<． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，准确理解题意正确计算是本题的解题关键．12．如果关于x 的方程2x 2x m 0-+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______． 【答案】1【解析】析：本题需先根据已知条件列出关于m 的等式，即可求出m 的值． 解答：解：∵x 的方程x 2-2x+m=0（m 为常数）有两个相等实数根 ∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1?m=0 4-4m=0 m=1 故答案为113．因式分解：a 2b ＋2ab ＋b ＝ ． 【答案】b2【解析】该题考查因式分解的定义首先可以提取一个公共项b ，所以a 2b ＋2ab ＋b ＝b （a 2＋2a ＋1）再由完全平方公式（x 1+x 2）2=x 12+x 22+2x 1x 2 所以a 2b ＋2ab ＋b ＝b （a 2＋2a ＋1）=b 214．若x=2-1， 则x 2+2x+1=__________. 【答案】2【解析】先利用完全平方公式对所求式子进行变形，然后代入x 的值进行计算即可. 【详解】∵x=2-1，∴x 2+2x+1=(x+1)2=(2-1+1)2=2， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了代数式求值，涉及了因式分解，二次根式的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 15．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________． 【答案】433【解析】根据题意画出草图，可得OG=2，60OAB ∠=︒，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.【详解】解：如图，连接OA 、OB ，作OG AB ⊥于G ； 则2OG =，∵六边形ABCDEF 正六边形， ∴OAB 是等边三角形， ∴60OAB ∠=︒，∴43sin 603OG OA ===︒ ∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为433． 43【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.16．如图，⊙O 的半径为2，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ．若PC=23，则BC 的长为______．【答案】2【解析】连接OC ，根据勾股定理计算OP=4，由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°，则∠COP=60°，可得△OCB 是等边三角形，从而得结论． 【详解】连接OC ，∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥PC ， ∴∠OCP=90°， ∵3OC=2，∴22OC PC +222(23)+=4， ∴∠OPC=30°， ∴∠COP=60°， ∵OC=OB=2，∴△OCB 是等边三角形， ∴BC=OB=2， 故答案为2 【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m 个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m 的值约为__________． 【答案】3【解析】在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答. 【详解】解:根据题意得，10m＝0.3，解得m ＝3. 故答案为:3. 【点睛】本题考查随机事件概率的意义，关键是要知道在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近.18．如图，点A ，B 在反比例函数ky x（k ＞0）的图象上，AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足C ，D 分别在x 轴的正、负半轴上，CD=k ，已知AB=2AC ，E 是AB 的中点，且△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，则k 的值是______．【答案】【解析】试题解析：过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，如图所示．∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点， ∴S △ABC =2S △BCE ，S △ABD =2S △ADE ，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ， ∴AC=2BD ， ∴OD=2OC ． ∵CD=k ， ∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（-23k ，-32），∴AC=3，BD=32， ∴AB=2AC=6，AF=AC+BD=92， ∴CD=k=22229376()22AB AF -=-=． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理．构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k 值是解题的关键. 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知抛物线的顶点为A （1，4)，抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C 、D 两点.点P 是x 轴上的一个动点．求此抛物线的解析式；求C 、D 两点坐标及△BCD 的面积；若点P 在x 轴上方的抛物线上，满足S △PCD =12S △BCD ，求点P 的坐标. 【答案】 (1)y=﹣（x ﹣1）2+4；(2)C （﹣1，0），D （3，0）；6；(3)P （1032），或P （110，32） 【解析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a （x-1）2+4，然后把点B 的坐标代入求出a 的值，即可得解； （2）令y=0，解方程得出点C ，D 坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；（3）先根据面积关系求出点P 的坐标，求出点P 的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P 的坐标． 【详解】解：(1)、∵抛物线的顶点为A （1，4）， ∴设抛物线的解析式y=a （x ﹣1）2+4， 把点B （0，3）代入得，a+4=3， 解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4；(2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4； 令y=0，则0=﹣（x ﹣1）2+4，∴x=﹣1或x=3， ∴C （﹣1，0），D （3，0）； ∴CD=4，∴S△BCD=12CD×|y B|=12×4×3=6；(3)由(2)知，S△BCD=12CD×|y B|=12×4×3=6；CD=4，∵S△PCD=12S△BCD，∴S△PCD=12CD×|y P|=12×4×|y P|=3，∴|y P|= 32，∵点P在x轴上方的抛物线上，∴y P＞0，∴y P= 32，∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；∴32=﹣（x﹣1）2+4，∴x=1±102，∴P（1+ 102，32），或P（1﹣102，32）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.20．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形.【解析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．【详解】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=12 BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=12 BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=12AC，FG=12BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．考点：平行四边形的判定与性质；中点四边形．21．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次若参加聚会的人数为3，则共握手次：；若参加聚会的人数为5，则共握手次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．拓展：嘉嘉给琪琪出题：“若线段AB上共有m个点（含端点A，B），线段总数为30，求m的值．”琪琪的思考：“在这个问题上，线段总数不可能为30”琪琪的思考对吗？为什么？【答案】探究：（1）3，1；（2）(1)2n n-；（3）参加聚会的人数为8人；拓展：琪琪的思考对，见解析.【解析】探究：（1）根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论；（2）由（1）的结论结合参会人数为n，即可得出结论；（3）由（2）的结论结合共握手28次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；拓展：将线段数当成握手数，顶点数看成参会人数，由（2）的结论结合线段总数为2，即可得出关于m 的一元二次方程，解之由该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考对．【详解】探究：（1）3×（3-1）÷2=3，5×（5-1）÷2=1．故答案为3；1．（2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数），∴每人需跟（n-1）人握手，∴握手总数为()12n n-．故答案为()12n n-．（3）依题意，得：()12n n-=28，整理，得：n2-n-56=0，解得：n 1=8，n 2=-7（舍去）． 答：参加聚会的人数为8人． 拓展：琪琪的思考对，理由如下： 如果线段数为2，则由题意，得：()12m m -=2，整理，得：m 2-m-60=0， 解得m 1=12+m 2=2（舍去）．∵m 为正整数， ∴没有符合题意的解， ∴线段总数不可能为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n 的代数式表示出握手总数；（3）（拓展）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 【答案】（1）12，32-；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可. （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可. 试题解析：（1）设方程的另一根为x 1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=.∴a 的值为12，该方程的另一根为32-.（2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.23．如图，有四张背面相同的卡片A 、B 、C 、D ，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．【答案】（1）14；（2）16.【解析】（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是14；（2）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，所以，P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）21 126．【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．如图1，求C点坐标；如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．【答案】（1）C（1，-4）．（2）证明见解析；（3）∠APB=135°，P（1，0）．【解析】（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．【详解】（1）作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH+∠CBH=90°，∵AB ⊥BC ，∴∠A BO+∠CBH=90°，∴∠ABO=∠BCH ，在△ABO 和△BCH 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌△BCH ，∴BH=OA=3，CH=OB=1，∴OH=OB+BH=4，∴C 点坐标为（1，﹣4）；（2）∵∠PBQ=∠ABC=90°，∴∠PBQ ﹣∠ABQ=∠ABC ﹣∠ABQ ，即∠PBA=∠QBC ，在△PBA 和△QBC 中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA ≌△QBC ，。

阅读理解问题1．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a42．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= ．3．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）= ．4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D= ，O2F= ．（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ．（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．5．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是．6．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为．7．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是．8．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？9．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3×2=6．一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作A n m．A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n ﹣m+1）（m≤n）例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5×4×3=60．材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作A n m，A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有种不同的选法；（2）从7个人中选取4人，排成一列，有种不同的排法．10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．阅读理解问题参考答案与试题解析1．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a4【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】设等边三角形的边长是a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a1；设正方形的边长是x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．【解答】解：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828，设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选：B．【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．2．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= （a+b）（a+b+c）．【考点】因式分解﹣分组分解法．【专题】压轴题；阅读型．【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．【解答】解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）．故答案为（a+b）（a+b+c）．【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．3．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）= 8 ．【考点】代数式求值．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据已知可将12⊗（﹣1）转换成a﹣4b的形式，然后将a、b的值代入计算即可．【解答】解：12⊗（﹣1）=×12﹣4×（﹣1）=8故答案为：8．【点评】本题主要考查代数式求值的方法：直接将已知代入代数式求值．4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D= 2 ，O2F= 1 ．（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= 3 ．（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据正方形对角线是正方形边长的倍可得正方形的对角线长，除以2即为所求的线段的长；（2）此时中心距为（1）中所求的两条线段的和，若只有一个公共点，则点D与点F重合，由此可得出答案．（3）动手操作可得两个正方形的边长可能没有公共点，有1个公共点，2个公共点，或有无数个公共点，据此找到相应取值范围即可．【解答】解：（1）O1D=2×÷2=2；O2F=×÷2=1．故答案为：2，1；（2）点D、F重合时有一个公共点，O1O2=2+1=3．故答案为：3；（3）两个正方形的边长有两个公共点时，1＜O1O2＜3；无数个公共点时，O1O2=1；1个公共点时，O1O2=3；无公共点时，O1O2＞3或0≤O1O2＜1．【点评】考查正方形的动点问题；需掌握正方形的对角线与边长的数量关系；动手操作得到两正方形边长可能的情况是解决本题的主要方法．5．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是15 ．【考点】分式方程的应用．【专题】阅读型．【分析】题中给出了调和数的规律，可将x所在的那组调和数代入题中给出的规律里，然后列出方程求解．【解答】解：根据题意，得：．解得：x=15经检验：x=15为原方程的解．故答案为：15．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于弄懂题意，准确地找出题目中所给的调和数的相等关系，这是列方程的依据．6．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为24 ．【考点】一元一次不等式的应用．【专题】压轴题．【分析】首先理解“可连数”的概念，再分别考虑个位、十位、百位满足的数，用排列组合的思想求解．【解答】解：个位需要满足：x+（x+1）+（x+2）＜10，即x＜，x可取0，1，2三个数．十位需要满足：y+y+y＜10，即y＜，y可取0，1，2，3四个数（假设0n就是n）因为是小于200的“可连数”，故百位需要满足：小于2，则z可取1一个数．则小于200的三位“可连数”共有的个数=4×3×1=12；小于200的二位“可连数”共有的个数=3×3=9；小于200的一位“可连数”共有的个数=3．故小于200的“可连数”共有的个数=12+9+3=24．【点评】解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解，还要掌握排列组合的解法．7．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是±3 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】压轴题；新定义．【分析】先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可．【解答】解：由题意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，∴，∵x、y均为整数，∴xy为整数，∴xy=2，∴x=±1时，y=±2；x=±2时，y=±1；∴x+y=2+1=3或x+y=﹣2﹣1=﹣3．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可．8．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．9．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3×2=6．一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作A n m．A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n ﹣m+1）（m≤n）例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5×4×3=60．材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作A n m，A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有56 种不同的选法；（2）从7个人中选取4人，排成一列，有840 种不同的排法．【考点】有理数的混合运算．【专题】压轴题；阅读型．【分析】（1）利用组合公式来计算；（2）都要利用排列公式来计算．【解答】解：（1）C83==56（种）；（2）A74=7×6×5×4=840（种）．【点评】本题为信息题，根据题中所给的排列组合公式求解．10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）证线段相等，可证线段所在的三角形全等．结合本题，证△MM′E≌△NN′F即可；（2）由于M′E∥CD，则∠EM′M=∠FNN′=α，易证得△FNN′∽△EM′M，那么MM′：NN′=EM′：FN；而EM′=FN′，则比例式可化为： ==tanα，由此可知：当α=45°时，MM′=NN′；当α≠45°时，MM′≠NN′．【解答】解（1）在方形环中，∵M′E⊥AD，N′F⊥BC，AD∥BC，在△MM′E与△NN′F中，，∴△MM′E≌△NN′F（AAS）．∴MM′=N′N；（2）法一∵∠NFN′=∠MEM′=90°，∠FNN′=∠EM′M=α，∴△NFN′∽△M′EM，∴=．∵M′E=N′F，∴==tanα（或）．①当α=45°时，tan α=1，则MM′=NN′；②当α≠45°时，MM′≠NN′，则=tanα（或）．法二在方形环中，∠D=90°．∵M′E⊥AD，N′F⊥CD，∴M′E∥DC，N′F=M′E．∴∠MM′E=∠N′NF=α．在Rt△NN′F与Rt△MM′E中，sinα=，cosα=，即=tanα（或）．①当α=45°时，MM′=NN′；②当α≠45°时，MM′≠NN′，则=tanα（或）．【点评】此题主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用等知识．。

中考数学总复习《阅读理解综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道|x|={x (x>0) 0 (x=0)−x (x<0)，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x−2|时，可令x+1=0和x−2=0，分别求得x=−1和x=2（称-1，2分别为|x+1|与|x−2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x=−1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①x<−1；②−1≤x<2；③x≥2．化简|x+1|+|x−2|时，对应三种情况为：①当x<−1时，原式=−(x+1)−(x−2)=−2x+1；②当−1≤x<2时，原式=(x+1)−(x−2)=3；③当x≥2时，原式=(x+1)+(x−2)=2x−1．通过以上阅读，请你解决问题：（1）|x−3|+|x+4|零点值是_________和__________；（2）化简代数式|x−3|+|x+4|；（3）解方程|x−3|+|x+4|=9；（4）|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|的最小值为_________，此时x的取值范围为____________．2．先阅读下列材料，再解答问题：常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式x2−xy+4x−4y和a2−b2−c2+2bc．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.解答过程如下：(1)x2−xy+4x−4y=(x2−xy)+(4x−4y)=x(x−y)+4(x−y)=(x−y)(x+4)(2)a2−b2−c2+2bc=a2−(b2+c2−2bc)=a2−(b−c)2=(a+b−c)(a−b+c)这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述思想方法，把下列各式分解因式：（1）m3−2m2−3m+6（2）x2−2xy−9+y23．阅读下列材料：已知实数x y 满足(x 2+y 2+1)(x 2+y 2−1)=63 试求x 2+y 2的值．解：设x 2+y 2=a 则原方程变为(a +1)(a −1)=63 整理得a 2−1=63 a 2=64 根据平方根意义可得a =±8 由于x 2+y 2⩾0 所以可以求得x 2+y 2=8．这种方法称为“换元法” 用一个字母去代替比较复杂的单项式､多项式 可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容 解决下列问题：（1）已知实数x y 满足(2x +2y +3)(2x +2y −3)=27 求x +y 的值．（2）已知a b 满足方程组{3a 2−2ab +12b 2=472a 2+ab +8b 2=36；求1a +12b 的值； （3）填空：已知关于x y 的方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解是{x =9y =5 则关于x y 的方程组{a 1x 2−2a 1x +b 1y =c 1−a 1a 2x 2−2a 2x +b 2y =c 2−a 2的解是_______． 4．例：解不等式（x ﹣2）（x +3）＞0解：由实数的运算法则：“两数相乘 同号得正”得①{x −2>0x +3>0 或②{x −2<0x +3<0解不等式组①得 x ＞2解不等式组②得 x ＜﹣3所以原不等式的解集为x ＞2或x ＜﹣3．阅读例题 尝试解决下列问题：（1）平行运用：解不等式x 2﹣9＞0；（2）类比运用：若分式x+1x−2的值为负数 求x 的取值范围．5．定义：有一个内角为90° 且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1 准矩形ABCD 中 ∠ABC ＝90° 若AB ＝2 BC ＝3 则BD ＝_____；（2）如图2 正方形ABCD中点E F分别是边AD AB上的点且CF∠BE 求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知准矩形ABCD中∠ABC＝90° ∠BAC＝60° AB＝2 当△ADC为等腰三角形时求这个准矩形的面积．6．仔细阅读下面例题解答问题．【例题】已知：m2−2mn+2n2−8n+16=0求m n的值．解：∠m2−2mn+2n2−8n+16=0∠(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0∠(m−n)2+(n−4)2=0∠m−n=0n−4=0∠m=4n=4．∠m的值为4 n的值为4．【问题】仿照以上方法解答下面问题：（1）已知x2+2xy+2y2−6y+9=0求x y的值．（2）在Rt∠ABC中∠C=90°三边长a b c都是正整数且满足a2+b2−12a−16b+100=0求斜边长c的值．x+4与x轴y轴分别交于点A和点B．7．如图直线y＝43（1）求A B两点的坐标；（2）过B点作直线与x轴交于点P 若∠ABP的面积为8 试求点P的坐标．（3）点M是OB上的一点若将∠ABM沿AM折叠点B恰好落在x轴上的点B1处求出点M的坐标．（4）点C在y轴上连接AC 若∠ABC是以AB为腰的等腰三角形请直接写出点C的坐标．8．定义：把斜边重合且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．（1）概念理解：如图1 在△ABC和△DBC中∠A=90∘,AB=3,AC=4,BD=2,CD=√21说明△ABC 和△DBC是共边直角三角形．（2）问题探究：如图2 △ABC和△DBC是共边直角三角形E F分别是AD BC的中点连结EF求证EF⊥AD．（3）拓展延伸：如图3 △ABC和△DBC是共边直角三角形且BD=CD连结AD求证：AD平分∠BAC．9．【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形那么这1条线段就称为这个三角形的“好线” 如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图① 在△ABC中∠A＝27° ∠C＝72° 请你在这个三角形中画出它的“好线” 并标出等腰三角形顶角的度数．如图② 已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形请你在这个三角形中画出它的“好好线” 并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中已知一个内角为24° 若它只有“好线” 请你写出这个三角形最大内角的所有可能值（按从小到大写）；（2）在△ABC中∠C＝27° AD和DE分别是△ABC的“好好线” 点D在BC边上点E在AB边上且AD ＝DC BE＝DE 根据题意写出∠B的度数的所有可能值．10．【阅读】如图1 若ΔABD∽ΔACE且点B,D,C在同一直线上则我们把ΔABD与ΔACE称为旋转相似三角形．【理解】（1）如图2 ΔABC和ΔADE是等边三角形点D在边BC上连接CE．求证：ΔABD与ΔACE是旋转相似三角形．【应用】（2）如图3 ΔABD与ΔACE是旋转相似三角形AD//CE．求证：AC=DE．【拓展】（3）如图4 AC是四边形ABCD的对角线∠D=90°∠B=∠ACD BC=25AC=20AD= 16．试在边BC上确定一点E使得四边形AECD是矩形并说明理由．11．定义：如果三角形上有两点其中一点为一边的中点且这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分我们就称这条线段为该三角形的“等分周线”．如图1 在△ABC中D是BC的中点点E在AB上若BD+BE=CD+AC+AE则DE为△ABC的一条“等分周线”．概念理解：（1）任意三角形的“等分周线”有______条若某三角形的一条“等分周线”有一个端点是三角形的顶点则这个三角形是______．规律探究：（2）如图1 在△ABC中DE为△ABC的一条“等分周线”．若AB>AC∠A=αAC=m求DE 的长．（用含mα的代数式表示）．拓展应用（3）如图2 在四边形ABCD中BC=2CD AC平分∠BCD BA⊥AC点E在线段AC上连接ED EB 且AB=√3EC=√3+1∠BEC=120°求ED的长．12．（1）如图① 四边形ABCD中AB=AD ∠B=∠ADC=90°．E F分别是BC CD上的点且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G 使DG=BE 连结AG．先证明△ABE≌△ADG再证明△AEF≌△AGF从而得出∠EAF=∠GAF 最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是．（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②）其余条件不变上述数量关系是否成立成立请证明；不成立说明理由（3）如图③ 中俄两国海军在南海举行联合军事演习中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进2小时后指挥中心观测到两舰艇分别到达E F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．13．定义：如图1 点M N把线段AB分割成AM MN和BN若以AM MN BN为边的三角形是一个直角三角形则称点M N是线段AB的勾股点．已知点M N是线段AB的勾股点若AM＝1 MN＝2 则BN ＝．（1）【类比探究】如图2 DE是△ABC的中位线M N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB）连接CM CN 分别交DE于点G H．求证：G H是线段DE的勾股点．（2）【知识迁移】如图3 C D是线段AB的勾股点以CD为直径画∠O P在∠O上AC＝CP连结P A PB若∠A＝2∠B求∠B的度数．（x＞0）上的动点直线y=−x+2与坐标轴（3）【拓展应用】如图4 点P（a b）是反比例函数y=2x分别交于A B两点过点P分别向x y轴作垂线垂足为C D且交线段AB于E F．证明：E F是线段AB的勾股点．14．【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图① 对余四边形ABCD中AB＝5 BC＝6 CD＝4 连接AC．若AC＝AB求sin∠CAD的值；（2）如图② 凸四边形ABCD中AD＝BD AD∠BD当2CD2+CB2＝CA2时判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中点A（﹣1 0）B（3 0）C（1 2）四边形ABCD是对余四边形点E＝u点D的纵坐标为t请直接写出u关于t 在对余线BD上且位于∠ABC内部∠AEC＝90°+∠ABC．设AEBE的函数解析式．15．定义：若四边形有一组对角互补一组邻边相等且相等邻边的夹角为直角像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形简称“直等补”四边形根据以上定义解决下列问题：（1）如图1 正方形ABCD中E是CD上的点将ΔBCE绕B点旋转使BC与BA重合此时点E的对应点F在DA的延长线上则四边形BEDF为“直等补”四边形为什么？（2）如图2 已知四边形ABCD是“直等补”四边形AB=BC=5CD=1AD>AB点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长．②若M N分别是AB AD边上的动点求ΔMNC周长的最小值．16．定义：在平行四边形中若有一条对角线是一边的两倍则称这个平行四边形为两倍四边形其中这条对角线叫做两倍对角线这条边叫做两倍边．如图1 四边形ABCD是平行四边形BE//AC延长DC交BE于点E连结AE交BC于点F AB=1AD=m．（1）若∠ABC=90°如图2．①当m=2时试说明四边形ABEC是两倍四边形；②是否存在值m使得四边形ABCD是两倍四边形若存在求出m的值若不存在请说明理由；（2）如图1 四边形ABCD与四边形ABEC都是两倍四边形其中BD与AE为两倍对角线AD与AC为两倍边求m的值．17．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．【问题理解】(1)如图1 点A B C在∠O上∠ABC的平分线交∠O于点D 连接AD CD．求证：四边形ABCD是等补四边形；【拓展探究】(2)如图2 在等补四边形ABCD中AB＝AD 连接AC AC是否平分∠BCD？请说明理由；【升华运用】(3)如图3 在等补四边形ABCD中AB＝AD 其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F．若CD＝6 DF ＝2 求AF的长．18．我们把方程(x−m)2+(y−n)2=r2称为圆心为(m,n)半径长为r的圆的标准方程．例如圆心为(1,−2)半径长为3的圆的标准方程是(x−1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐标系中⊙C与x轴交于点A B且点B的坐标为(8,0)与y轴相切于点D(0,4)过点A B D的抛物线的顶点为E．（1）求⊙C的标准方程；（2）求抛物线的解析式；（3）试判断直线AE与⊙C的位置关系并说明理由．19．定义：点P（a b）关于原点的对称点为P' 以PP'为边作等边∠PP'C则称点C为P的“等边对称点”；（1）若P（1 √3）求点P的“等边对称点”的坐标．（x＞0）上一动点当点P的“等边对称点”点C在第四象限时（2）若P点是双曲线y＝2x①如图（1）请问点C是否也会在某一函数图象上运动？如果是请求出此函数的解析式；如果不是请说明理由．②如图（2）已知点A（1 2）B（2 1）点G是线段AB上的动点点F在y轴上若以A G F C 这四个点为顶点的四边形是平行四边形时求点C的纵坐标y c的取值范围．20．【概念认识】在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”两条弦所在直线．．的交点为等垂弦的分割点．如图① AB CD是∠O的弦AB＝CD AB∠CD垂足为E则AB CD是等垂弦E为等垂弦AB CD的分割点．【数学理解】（1）如图② AB是∠O的弦作OC∠O A OD∠OB分别交∠O于点C D连接CD．求证：AB CD是∠O的等垂弦．（2）在∠O中∠O的半径为5E为等垂弦AB CD的分割点BEAE =13．求AB的长度．【问题解决】（3）AB CD是∠O的两条弦CD＝12AB且CD∠AB垂足为F．①在图③中利用直尺和圆规作弦CD（保留作图痕迹不写作法）．②若∠O的半径为r AB＝mr（m为常数）垂足F与∠O的位置关系随m的值变化而变化直接写出点F 与∠O的位置关系及对应的m的取值范围．参考答案1．解：（1）令x−3=0和x+4=0解得：x=3和x=−4故答案为：3 ﹣4．（2）当x<−4时|x−3|+|x+4|=−(x−3)−(x+4)=−2x−1；当−4≤x<3时|x−3|+|x+4|=−(x−3)+(x+4)=7；当x≥4时|x−3|+|x+4|=x−3+x+4=2x+1综上所述|x−3|+|x+4|={−2x−1，x<−4 7，−4≤x<32x+1，x>3．（3）当x<−4时3−x−x−4=9解得x=−5；当−4≤x<3时3−x+x+4=9方程无解；当x≥3时x−3+x+4=9解得x=4；∠方程的解为x=−5或x=4．（4）|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|中的零点值分别为：x=3，x=−4，x=2，x=2020当x<−4时|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|=3−x−x−4−x+2−x+2020=−4x+2021；当−4≤x<2时|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|=3−x+x+4−x+2−x+2020=−2x+ 2029；当2≤x≤3时|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|=3−x+x+4+x−2−x+2020=2025；当3<x<2020时|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|=x−3+x+4+x−2−x+2020=2x+ 2019；当x≥2020时|x−3|+|x+4|+|x−2|+|x−2020|=x−3+x+4+x−2+x−2020=4x−2021；显然当2≤x≤3时原式取得最小值最小值为2025故答案为：2025 2≤x≤3．2．解：（1）m3−2m2−3m+6=m2(m−2)−3(m−2)=(m−2)(m2−3)；（2）x2−2xy−9+y2=x2−2xy+y2−9=(x−y)2−32=(x−y+3)(x−y−3)．3．解：（1）设2x +2y =a 则原方程变为(a +3)(a −3)=27整理 得：a 2−9=27 即a 2=36解得：a =±6则2x +2y =±6∴x +y =±3；（2）令a 2+4b 2=x ab =y则原方程变为：{3x −2y =472x +y =36解之得：{x =17y =2 ∠a 2+4b 2=17 ab =2∠(a +2b )2=a 2+4ab +4b 2=17+8=25∠a +2b =±5∠1a +12b =2b+a2ab =±54； （3）由方程组{a 1x 2−2a 1x +b 1y =c 1−a 1a 2x 2−2a 2x +b 2y =c 2−a 2 得{a 1x 2−2a 1x +a 1+b 1y =c 1a 2x 2−2a 2x +a 2+b 2y =c 2整理 得：{a 1(x −1)2+b 1y =c 1a 2(x −1)2+b 2y =c 2∵方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解是{x =9y =5 ∴方程组{a 1(x −1)2+b 1y =c 1a 2(x −1)2+b 2y =c 2的解是：{(x −1)2=9y =5 ∴x −1=±3 且y =5解得：{x =4y =5 或{x =−2y =5． 4．解:（1）解不等式x 2﹣9＞0 即为解(x +3)(x −3)>0根据“两数相乘 同号得正”得①{x −3>0x +3>0 或②{x −3<0x +3<0解不等式组①得 x ＞3解不等式组②得 x ＜﹣3∠原不等式的解集为x ＞3或x ＜﹣3；（2）由题得不等式x+1x−2<0根据“两数相除 同号得正 异号得负”得①{x +1>0x −2<0 或②{x +1<0x −2>0解不等式组①得−1<x<2不等式组②无解∠原不等式的解集为−1<x<2．5．解：（1）∠∠ABC=90∠BD=√AB2+BC2=√4+9=√13故答案为√13（2）∠四边形ABCD是正方形∠AB=BC,∠A=∠ABC=90°∠∠EBF+∠EBC=90°∠BE∠CF∠∠EBC+∠BCF=90°∠∠EBF=∠BCF∠∠ABE∠∠BCF（AAS）∠BE=CF 且∠CBF=90°∠四边形BCEF是准矩形；（3）∠∠ABC=90° ∠BAC=60°∠∠ACB=30°∠AB=2∠AC=4 BC=2√3准矩形ABCD中BD=AC=4①当AC=AD时则AD=AC=BD 如图1 作DE∠AB∠AE=BE=12AB=1∠DE=√AD−2AE2=√16−1=√15∠S准矩形ABCD =S△ADE+S梯形BCDE=12DE×AE+12（BC+DE ）×BE=12×√15×1+12（2√3+√15）×1=√15+√3；②当CA=CD 时 则CD=CA=BD 如图2 作DF∠BC 垂足为F∠BD=CD∠BF=CF=12BC=√3∠DF=√CD 2−CF 2=√16−3=√13∠S 准矩形ABCD =S △DCF +S 梯形ABFD=12FC×DF+12（AB+DF ）×BF=12×√3×√13+12（2+√13）×√3=√39+√3；③当DA=DC 如图3 取AC 中点G 连DG 则DG∠AC ． 连接BG过B 作BH∠DG 垂足为H ．在Rt △ABC 中 ∠ABC ＝90° ∠BAC ＝60° AB ＝2 G 为AC 中点∠AG=BG=12AC=AB=2∠∠ABG 为等边三角形 ∠∠BGC=120° ∠BGH=30°又BD=AC=4在Rt △BHG 中 BG=2 ∠BGH=30°∠BH=1 HG=√3在Rt △DHB 中 BH=1 BD=4∠DH=√15∠DG=DH ﹣HG=√15﹣√3∠S 准矩形ABCD =S △ABC +S △ACD=12AB×BC+12AC×DG=12×2√3×2+12×4×（√15﹣√3） =2√15；故答案为√15+√3；√39+√3；2√15．6．解:（1）∠x 2+2xy +2y 2−6y +9=0∠(x 2+2xy +y 2)+(y 2−6y +9)=0∠(x +y)2+(y −3)=20∠x +y =0，y −3=0∠x =−3，y =3（2）∠a 2+b 2−12a −16b +100=0∠(a 2−12a +36)+(b 2−16b +64)=0∠(a −6)2+(b −8)2=0∠a −6=0 b −8=0∠a =6 b =8 在Rt ∠ABC 中 ∠C =90°∠c =√a 2+b 2=√62+82=10．7．解：（1）对于y ＝43x +4 令y ＝0 即y ＝43x +4＝0 解得x ＝﹣3 令x ＝0 则y ＝4 故点A B 的坐标分别为（﹣3 0） （0 4）；（2）设点P （x 0）则∠ABP 的面积＝12×AP ×OB ＝12×4×|x +3|＝8 解得x ＝1或﹣7故点P 的坐标为（1 0）或（﹣7 0）；（3）由点A B 的坐标知 OA ＝3 BO ＝4 则AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AB 1 故点B 1的坐标为（2 0）设点M 的坐标为（0 m ）由题意得：MB ＝MB 1 即m 2+4＝（m ﹣4）2 解得m ＝1.5故点M 的坐标为（0 1.5）；（4）设点C （0 t ）则AB ＝5 AC ＝√32+t 2当AB ＝BC 时 则5＝|t ﹣4| 解得t ＝9或﹣1当AB ＝AC 时 即25＝9+t 2 解得t ＝4（舍去）或﹣4故点C 的坐标为（0 9）或（0 ﹣1）或（0 ﹣4）．8．解:（1）∠在△ABC 中∠BC=√32+42=5∠BD =2,CD =√21∠BD 2+CD 2=25=BC 2∠∠BCD 是直角三角形∠△ABC 和△DBC 是共边直角三角形．（2）如图 连接AE,DE∠E 点是BC 中点∠AE,DE 分别是Rt∠ABC 和Rt∠DBC 斜边上的中线∠AE=12BC DE=12BC ∠AE=DE∠∠ADE 是等腰三角形∠F 点是AD 中点∠EF∠AD ；（3）作DN∠AB DM∠AC 的延长线于M 点∠∠BAC=90°∠四边形ANDM 是矩形∠∠NDM=90°∠∠NDC+∠CDM=90°又∠BDC=90°∠∠NDC+∠BDN=90°∠∠BDN= CDM∠∠BND=∠CMD=90° BD=CD∠∠BDN∠∠CDM∠DN=DM∠AD平分∠BAC．9．解:(理解)如图① 如图②所示（应用）（1）①如图③当∠B＝24° AD为“好线”则A C＝AD＝BD这个三角形最大内角是∠BAC＝106°；②如图④当∠B＝24° AD为“好线”则AB＝AD AD＝CD 这个三角形最大内角是∠BAC＝144°；③如图⑤当∠ABC＝24°时BD为“好线”则AD＝BD CD＝BC 故这个三角形最大内角是∠C＝148°④如图⑥ 当∠B＝24°时CD为“好线”则AD＝CD＝BC 故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°⑤如图⑦ 当∠B＝24°时CD为“好线”则AD＝AC CD＝BD 故这个三角形最大内角是∠ACB＝70°⑥如图⑧ 当∠B＝24°时AD为“好线”则AB＝BD AD＝CD 故这个三角形最大内角是∠BAC＝117°上所述这个三角形最大内角的所有可能值是70°或106°或117或144°或148°故答案为70°或106°或117或144°或148°；（2）设∠B＝x°①当AD＝DE时如图1(a)∠AD＝CD∠∠C＝∠CAD＝27°∠DE＝EB∠∠B＝∠EDB＝x°∠∠AED＝∠DAE＝2x°∠27×2+2x+x＝180∠x＝42∠∠B＝42°；②当AD＝AE时如图1(b)∠AD＝CD∠∠C＝∠CAD＝27°∠DE＝EB∠∠B＝∠EDB＝x°∠∠AED＝∠ADE＝2x°∠2x+x＝27+27∠x＝18∠∠B＝18°．③当EA＝DE时∠90﹣x+27+27+x＝180∠x不存在应舍去．综合上述：满足条件的x＝42°或18°．10．（1）证明：ΔABC和ΔADE是等边三角形∠AB=AC AD=AE∠BAC=∠DAE=60°∠AB AD =ACAE∠BAD=∠CAE∠ΔABD∽ΔACE又∠点B,D,C在同一直线∠ΔABD和ΔACE是旋转相似三角形．（2）证明：∠ΔABD与ΔACE是旋转相似三角形∠ΔABD∽ΔACE∠AB AC =ADAE∠BAD=∠CAE∠B=∠ACE∠∠BAC=∠DAE∠ΔABC∽Δ∠ADE∠∠B=∠ADE∠AED=∠ACB ∠ ∠ADE=∠ACE．∠AD//CE∠∠ADE=∠DEC∠ ∠ACE=∠DEC．∠∠AED=∠ACB∠∠AEC=∠DCE．又∠CE=CE∠ΔAEC≌ΔDCE(ASA)∠AC=DE．（3）解：如图过点A作AE⊥BC垂足为E连接DE．∠∠AEB=∠ADC=90°∠B=∠ACD∠ ΔABE∽ΔACD∠AB AC =AEAD∠BAE=∠CAD∠∠BAC=∠EAD ∠ΔABC∽ΔAED∠BC DE =ACAD∠ 25DE =2016∠DE=20．∠ΔABE∽ΔACD∠AE AD =BECD∠AE BE =√202−162=43．设AE=4k则BE=3k CE=25−3k在ΔACE中(4k)2+(25−3k)2=202解得k=3∠AE=12．又AD=16DE=20∠ΔADE是直角三角形∠DAE=90°．又∠AEC=∠ADC=90°∠四边形AECD是矩形．11．解：（1）∠任意三角形有三条边∠任意三角形有三条“等分周线”∠某三角形的一条“等分周线”有一个端点是三角形的顶点而另一点为一边的中点且将三角形的周长分为相等的两部分∠这个三角形是等腰三角形故答案为：3 等腰三角形；（2）延长BA 使AF=AC 连接CF 过点A 作AG∠CF 于G则∠ACF 为等腰三角形∠CG=GF=12CF ∠AGC=90° ∠ACF=∠AFC∠∠A =α 即∠BAC =α又∠BAC=∠ACF+∠AFC∠∠ACF=∠AFC=12∠BAC=12α∠ED 为∠ABC 的“等分周线”∠EB+BD=CD+CA+AE 又BD=CD∠EB=CA+AE=AF+AE=EF∠点E 为BF 的中点∠DE=12CF=CG在Rt∠AGC 中 ∠ACF=12α AC=m∠CG=m·cos 12α∠DE= m·cos 12α；（3）取BC 的中点F 连接EF 则BF=FC∠∠BEC=120°∠∠BEA=60°∠BA∠AC∠在Rt∠ABE 中 ∠ABE=30°∠AE=AB tan60∘=√3√3=1 BE=2AE=2∠EC =√3+1∠AB +AE =√3+1=EC∠BF=FC∠AB+AE+BF=CE+CF∠EF是∠ABC的一条“等分周线”由（2）知EF=AB·cos12∠BAC=√3cos45∘=√62∠BC=2CD∠CD=CF又∠AC平分∠BCD∠∠FCE=∠DCE 又CE=CE∠∠FCE∠∠DCE（SAS）,∠ED=EF=√62．12．解：(1)如图① 延长FD到G 使DG=BE 连结AG．在∠ABE和∠ADG中AB=AD BE=DG ∠B=∠ADG=90°∠∠ABE∠∠ADG ∠AE=AG在∠AEF和∠AGF中AE=AG AF=AF EF=BE+FD=DG+FD=GF ∠∠AEF∠∠AGF ∠∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF∠∠BAD=∠EAF+∠EAB+∠DAF=2∠EAF∠∠EAF=12∠BAD(2)∠EAF=12∠BAD仍然成立．证明：如图② 延长FD到G 使DG=BE 连接AG．∠∠B+∠ADC=180° ∠ADC+∠ADG=180° ∠∠B=∠ADG∠∠ABE∠∠ADG（SAS）．∠AE=AG ∠BAE=∠DAG．又∠EF=BE+DF DG=BE ∠EF=DG+DF=GF．∠∠AEF∠∠AGF（SSS）．∠∠EAF=∠GAF．又∠∠GAF=∠DAG+∠DAF ∠∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD∠∠EAF=1∠BAD2(3)如图③ 连接EF 延长AE BF相交于点C．∠2小时后舰艇甲行驶了120海里舰艇乙行驶了160海里即AE=120 BF=160．而EF=280 ∠在四边形AOBC中有EF=AE+BF又∠OA=OB 且∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°∠符合(2)中的条件．∠AOB =70°．又∠∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140° ∠∠EOF=12答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°．13．解:定义：∠点M N是线段AB的勾股点∠BN=√AM2+MN2=√5或BN=√MN2−AM2=√3∠BN=√3或√5．（1）如图∠CD ＝DA CE ＝EB∠DE ∠AB∠CG ＝GM CH ＝HN∠DG ＝12AM GH ＝12MN EH ＝12BN ∠BN 2＝MN 2+AM 2∠14BN 2＝14MN 2+14AM 2 ∠（12BN ）2＝（12MN ）2+（12AM ）2∠EH 2＝GH 2+DG 2∠G H 是线段DE 的勾股点．(2)如图所示 连接PD∠AC ＝PC∠∠A ＝∠APC∠∠PCD ＝2∠A∠C D 是线段AB 的勾股点∠AC 2+BD 2＝CD 2∠PC 2+BD 2＝CD 2∠CD 是∠O 的直径∠∠CPD ＝90°∠PC 2+PD 2＝CD 2∠PD＝BD∠∠PDC＝2∠B∠∠A＝2∠B∠∠PDC＝∠A在Rt∠PCD中∠∠PCD+∠PDC＝90°∠2∠A+∠A＝90°解得∠A＝30°则∠B＝12∠A＝15°．（3）∠点P（a b）是反比例函数y＝2x（x＞0）上的动点∠b＝2a．∠直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A B两点∠点B的坐标为（0 2）点A的坐标为（2 0）；当x＝a时y＝﹣x+2＝2﹣a∠点E的坐标为（a2﹣a）；当y＝2a 时有﹣x+2＝2a解得：x＝2﹣2a∠点F的坐标为（2﹣2a 2a ）．∠BF＝√(2−2a −0)2+(2a−2)2＝√2（2﹣2a）EF＝√(2−2a −a)2+[2a−(2−a)]2,＝√2|2﹣a﹣2a| AE＝√(2−a)2+[0−(2−a)]2＝√2（2﹣a）．∠BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+8a2﹣16a＝EF2∠以BF AE EF为边的三角形是一个直角三角形∠E F是线段AB的勾股点．14．解：（1）过点A作AE∠BC于E 过点C作CF∠AD于F．∠AC＝AB∠BE＝CE＝3在Rt∠AEB中AE＝√AB2−BE2=√52−32=4∠CF∠AD∠∠D+∠FCD＝90°∠∠B+∠D＝90°∠∠B＝∠DCF∠∠AEB＝∠CFD＝90°∠∠AEB∠∠DFC∠EB CF =ABCD∠3 CF =54∠CF＝125∠sin∠CAD＝CFAC =1255=1225．（2）如图②中结论：四边形ABCD是对余四边形．理由：过点D作DM∠DC 使得DM＝DC 连接CM．∠四边形ABCD中AD＝BD AD∠BD∠∠DAB＝∠DBA＝45°∠∠DCM＝∠DMC＝45°∠∠CDM＝∠ADB＝90°∠∠ADC＝∠BDM∠AD＝DB CD＝DM∠∠ADC∠∠BDM（SAS）∠AC＝BM∠2CD2+CB2＝CA2CM2＝DM2+CD2＝2CD2∠CM2+CB2＝BM2∠∠BCM＝90°∠∠DCB＝45°∠∠DAB+∠DCB＝90°∠四边形ABCD是对余四边形．（3）如图③中过点D作DH∠x轴于H．∠A（﹣1 0）B（3 0）C（1 2）∠OA＝1 OB＝3 AB＝4 AC＝BC＝2√2∠AC2+BC2＝AB2∠∠ACB＝90°∠∠CBA＝∠CAB＝45°∠四边形ABCD是对余四边形∠∠ADC+∠ABC＝90°∠∠ADC＝45°∠∠AEC＝90°+∠ABC＝135°∠∠ADC+∠AEC＝180°∠A D C E四点共圆∠∠ACE＝∠ADE∠∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°∠∠EAB＝∠ACE∠∠EAB＝∠ADB∠∠ABE＝∠DBA∠∠ABE∠∠DBA∠BE AB =AEAD∠AE BE =ADAB∠u＝AD4设D（x t）由（2）可知BD2＝2CD2+AD2∠（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2整理得（x+1）2＝4t﹣t2在Rt∠ADH中AD＝√AH2+AD2=√(x+1)2+t2=2√t∠u＝AD4＝√t2（0＜t＜4）即u＝√t2（0＜t＜4）．15．解:（1）如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC ∠ABF=∠CBE BF=BE ∠∠BEC+∠BED=180° ∠CBE+∠ABE=90°∠∠F+∠BED=180°∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°故满足“直等补”四边形的定义∠四边形BEDF为“直等补”四边形；（2）∠四边形ABCD是“直等补”四边形AB=BC∠∠A+∠BCD=180° ∠ABC=∠D=90°如图2 将∠ABE绕点B顺时针旋转90°得到∠CBF则∠F=∠AEB=90° ∠BCF+∠BCD=180° BF=BE∠D C F共线∠四边形EBFD是正方形∠BE=FD设BE=x 则CF=x-1在Rt∠BFC中BC=5由勾股定理得：x2+(x−1)2=25即x2−x−12=0解得：x=4或x=﹣3(舍去)∠BE=4（3）如图3 延长CD到P 使DP=CD=1 延长CB到T 使TB=BC=5,则NP=NC MT=MC,∠∠MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT当T M N P共线时∠MNC的周长取得最小值PT过P作PH∠BC 交BC延长线于H∠∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH,∠∠BCF∠∠PCH,∠BC PC =BFPH=CFCH,即52=4PH=3CH解得：CH=65,PH=85,在Rt∠PHT中TH=5+5+65=565,PT =√PH 2+HT 2=8√2,∠ΔMNC 周长的最小值为8√2．16．（1）①证明：∠四边形ABCD 是平行四边形∠AB∠CD BC=AD=2∠BE//AC AB∠CE∠四边形ABEC 是平行四边形 BC =2AB∴四边形ABEC 是两倍四边形；②存在 理由如下：当AC=2AB 时 则AC=2∠∠ABC =90° ∠BC =√AC 2−AB 2=√22−12=√3,∠m=AD=BC=√3；当AC=2AD 时 则AC=2m∠m 2+12=(2m)2解得m=√33或m=-√33（舍去）∠m 的值为√3或√33时 四边形ABCD 是两倍四边形；（2）∠四边形ABCD 是两倍四边形 BD 为两倍对角线 AD 为两倍边∠AD=DG∠∠DAG=∠AGD∠四边形ABEC 是两倍四边形 AE 为两倍对角线 AC 为两倍边∠AC=AF∠∠ACF=∠AFC又∠∠DAG=∠ACF∠∠DAG=∠AGD=∠ACF=∠AFC ∠∠ADG=∠CAF又∠ADBD =12ACAE=12∠AD BD =ACAE∠∠ADB∠∠ACE又∠AB=CE∠相似比为1∠∠ADB∠∠ACE∠AC=AD作DM∠AC于M 如图1设AM=x 则AC=AD=4x在Rt∠ADM中由勾股定理得：DM=√15x在Rt∠DMC中由勾股定理得：CD=2√6x∠CD=AB=1∠ 2√6x=1∠x=√612∠AD=4x=√63即m=√63．17．(1)证明：∠四边形ABCD为圆内接四边形∠∠A+∠C＝180° ∠ABC+∠ADC＝180°.∠BD平分∠ABC∠∠ABD＝∠CBD∠弧AD＝弧CD∠AD＝CD∠四边形ABCD是等补四边形(2)AC平分∠BCD 理由如下：过点A作AE∠BC于E AF∠CD于F则∠AEB＝∠AFD＝90°∠四边形ABCD是等补四边形∠∠ADC+∠B＝180°又∠∠ADC+∠ADF＝180°∠∠B＝∠ADF在∠AFD与∠AEB中{∠ADF=∠B ∠AEB=∠AFD AB=AD∠ΔAFD∠ΔAEB∠AE=AF∠点A一定在∠BCD的平分线上即AC平分∠BCD.(3)连接AC同(2)理得∠EAD＝∠BCD由(2)知AC平分∠BCD所以∠FCA＝12∠BCD同理∠FAD＝12∠EAD∠∠FCA＝∠FAD.又∠∠F＝∠F∠∠FAD∠∠FCA∠AF DF =CFAF即AF2=DF⋅CF=DF(DF+CF)=2×(2+6)=16∠AF＝418．解：（1）如图连接CD CB 过点C作CM∠AB于M 设∠C的半径为r．∠与y轴相切于点D（0 4）∠CD∠OD∠∠CDO=∠CMO=∠DOM=90°∠四边形ODCM是矩形∠CM=OD=4 CD=OM=r∠B（8 0）∠OB=8 ∠BM=8-r在Rt∠CMB中∠BC2=BM2+CM2∠ r2=42+(8−r)2解得r=5 ∠C （5 4）∠∠C 的标准方程为(x −5)2+(y −4)2=25．（2）连接AC CE ．∠CM∠AB ∠AM=BM=3 ∠A （2 0） B （8 0）∠可设抛物线的解析式为y=a （x -2）（x -8）把D （0 4）代入y=a （x -2）（x -8） 可得a=14 ∠抛物线的解析式为y=14（x -2）（x -8）=14x 2−52x +4=14(x −5)2−94；（3）结论：AE 是∠C 的切线．理由：由（2）可得抛物线的顶点E （5 −94） ∠AE=√(5−2)2+(−94)2=154 CE= 4−(−94)=4+94=254 AC=5∠CE 2=AC 2+AE 2 ∠∠CAE=90° ∠CA∠AE∠AE 是∠C 的切线．19．解：（1）∠P （1 √3）∠P '（﹣1 ﹣√3）∠PP '＝4设C （m n ）∠等边∠PP ′C∠PC ＝P 'C ＝4∠√(m −1)2+(n −√3)2=√(m +1)2+(n +√3)2=4∠m ＝﹣√3n∠（﹣√3n ﹣1）2+（n ﹣√3）2＝16．解得n ＝√3或﹣√3∠m ＝﹣3或m ＝3．如图1 观察点C 位于第四象限 则C （﹣3 √3）．即点P 的“等边对称点”的坐标是（3 √3）．（2）①设P （c 2c ）∠P '（﹣c ﹣2c ）∠PP'＝2√c2+4c2设C（s t）PC＝P'C＝2√c2+4c2∠√(s−c)2+(t−2c )2=√(s+c)2+(t+2c)2=2√c2+4c2∠s＝﹣2tc2∠t2＝3c2∠t＝±√3c∠C（﹣2√3c √3c）或C（2√3c﹣√3c）∠点C在第四象限c＞0∠C（2√3c﹣√3c）令{x=2√3cy=−√3c∠xy＝﹣6 即y＝﹣6x（x＞0）；②当AG为平行四边形的边时G与B重合时为一临界点通过平移可求得C（1 ﹣6）∠y c≤﹣6；当AG为平行四边形的对角线时G与B重合时求得C（3 ﹣2）G与A重合时C（2 ﹣3）此时﹣3＜y c≤﹣2综上所述：y c≤﹣6或﹣3＜y c≤﹣2．20．解:（1）如图① 连接BC∠OC∠O A OD∠OB∠∠AOC＝∠BOD＝90°∠∠AOB＝∠COD∠AB＝CD∠AC＝AC∠∠ABC＝1∠AOC＝45°．2∠BOD＝45°同理∠∠BCD＝12∠∠AEC＝∠ABC＋∠BCD＝90°即AB∠CD∠AB＝CD AB∠CD∠ AB CD是∠O的等垂弦．（2）如图② 若点E在∠O内作OH∠AB垂足为H作OG∠CD垂足为G∠AB CD是∠O的等垂弦∠AB＝CD AB∠CDAB OA＝OD∠AHO＝∠DGO∠AH＝DG＝12∠∠AHO∠∠DGO∠OH＝OG∠矩形OHEG为正方形∠OH＝HE ．∠BE AE ＝13又AH＝BH∠AH＝2BE＝2OH在Rt∠AOH中AO2＝AH2＋OH2．即(2OH)2＋OH2＝AO2＝25解得OH＝√5则AB＝4HE＝4√5；若点E在∠O外同理AH＝√5则AB＝2AH＝2√5．（3）①如图所示弦CD即为所求；②∠AB是∠O的弦∠AB≤2r 即m≤2当点F在圆上时如图所示此时AB=mr CD=mr2AD=2r由勾股定理得(mr)2+(mr2)2=(2r)2解得m=45√5因此当0＜m＜45√5时点F在∠O外；当m＝45√5时点F在∠O上；当45√5＜m≤2时点F在∠O内.。

中考数学备考专题复习：阅读理解问题（含解析）中考备考专题复习：阅读理解问题一、单选题1、对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b，如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A、0B、2C、3D、42、对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=．则方程x⊗（﹣2）= ﹣1的解是（）A、x=4B、x=5C、x=6D、x=73、设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A、②③④B、①③④C、①②④D、①②③4、定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A、0≤m≤1B、﹣3≤m≤1C、﹣3≤m≤3D、﹣1≤m≤0二、填空题5、州）阅读材料并解决问题：求1+2+22+23+…+22014的值，令S=1+2+22+23+…+22014等式两边同时乘以2，则2S=2+22+23+…+22014+22015两式相减：得2S﹣S=22015﹣1所以，S=22015﹣1依据以上计算方法，计算1+3+32+33+…+32015=________．三、解答题6、自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：（1）若＞0，则或（2）＜0，则____________ ．根据上述规律，求不等式＞0的解集．7、阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用[()n﹣()n]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．8、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1 从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×2＝6.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作A n m，A n m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m≤n)．例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A53＝5×4×3＝60.材料2 从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C32＝＝3.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作C n m，C n m＝(m≤n)．例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：C63＝＝20.问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？9、定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．四、综合题10、阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，==，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明(2)求乙船每小时航行多少海里？11、阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2013 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9 万人次．根据以上材料解答下列问题：(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为________ 万人次(2)选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．12、阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：(1)计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；(2)解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．13、）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．(1)等比数列3，6，12，…的公比q为________ ，第4项是________(2)如果一个数列a1， a2， a3， a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…=q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2， a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an =________（用a1和q的代数式表示）．(3)若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．14、阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组;(2)已知x，y满足方程组（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．15、）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC∵E、F是AB、CD的中点∴EF∥AD∥BCEF=（AD+BC）材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC∴F是AC的中点如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．(1)求证：EF=AC；(2)若OD=，OC=5，求MN的长．16、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）17、已知点P（x0， y）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．18、定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．(1)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；(2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．(3)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．19、我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．20、阅读下列材料：北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．根据以上材料解答下列问题：(1)用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；(2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约________亿元，你的预估理由________．21、）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan75°=tan（45°+30°）= = =2+根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题(1)计算：sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．22、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．(1)根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：(2)如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；(3)如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】分段函数【解析】【解答】解：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，y min=2，当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴y min=2，故选B【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．2、【答案】B【考点】分式方程的解，定义新运算【解析】【解答】解：根据题意，得= ﹣1，去分母得：1=2﹣（x﹣4），解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．故选B．【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．3、【答案】C【考点】整式的混合运算，因式分解的应用，二次函数的最值【解析】【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，解得：a=0或b=0，正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4aca@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；③a@b=a2+5b2， a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，解得，a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得，a=b，∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C．【分析】根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4、【答案】 B【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【解答】解：∵x=y，∴x=2x+m，即x=﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故选B．【分析】根据x=y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．二、填空题5、【答案】【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：令s=1+3+32+33+ (32015)等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+ (32016)两式相减得：2s=32016﹣1．所以S= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32015，然后再等式的两边同时乘以2，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键．三、解答题6、【答案】解：（2）若＜0，则或；故答案为：或；由上述规律可知，不等式转化为或，所以，x＞2或x＜﹣1．【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．7、【答案】【解答】解：第1个数，当n=1时，[()n﹣()n]=（﹣）=×=1．第2个数，当n=2时，[()n﹣()n]=[（）2﹣（）2]=×（+）（﹣）=×1×=1．【考点】二次根式的应用【解析】【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．8、【答案】解：(1)A74＝7×6×5×4＝840(种)．(2)C83＝＝56(种)【考点】探索数与式的规律【解析】【分析】探索数与式的规律。

中考数学专题复习《圆的阅读理解题》测试卷（附带参考答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．请阅读下列材料 并完成相应的任务：斯库顿定理：如图1．在ABC 中 AD 为BAC ∠的平分线 则2··AD BD DC AB AC +=．下面是该定理的证明过程： 证明：如图2O 是ABC 的外接圆 延长AD 交O 于点E 连接BE ．∵AD 为BAC ∠的平分线 ∵BAE DAC ∠=∠．∵E C ∠=∠ （依据∵__________________________） ABE ADC ∴△∽△．（依据∵_________________________） AB ADAE AC∴= AD AE AB AC ∴⋅=⋅又AE AD DE =+()AD AD DE AB AC ∴⋅+=⋅．2AD AD DE AB AC ∴+⋅=⋅．……任务：（1）证明过程中的依据是：∵__________________________________． ∵__________________________________． （2）将证明过程补充完整：（3）如图3．在圆内接四边形ACEB 中 对角线AE BC 相交于点D ．若BE CE = 4AC =6AB=2BD=请利用斯库顿定理直接写出线段AE的长．CD=32．如图1 正五边形ABCDE内接于∵O阅读以下作图过程并回答下列问题作法：如图2 ∵作直径AF∵以F为圆心FO为半径作圆弧与∵O交于点M N∵连接AM MN NA．,,∠的度数．(1)求ABC(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始以DN长为半径在∵O上依次截取点再依次连接这些分点得到正n边形求n的值．3．阅读与应用请阅读下列材料完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者著名的天文学家地理学家占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．如图1 四边形ABCD 内接于O ．求证：AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅．证明：如图2 作BAE CAD ∠=∠交BD 于点E ．∵AD AD = ∵ABE ACD ∠=∠．（依据） ∵ABE ACD ∽△△．∵AB BEAC CD=．AB DC AC BE ⋅=⋅． …∵ABC AED ∽△△． ∵AC BCAD ED=．∵AD BC AC ED ⋅=⋅． ∵AB DC AC BE ⋅=⋅∵()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=+=⋅． ∵AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅． 任务：(1)证明过程中的“依据”是______ (2)补全证明过程(3)如图3 O的内接五边形ABCDE的边长都为2 求对角线BD的长．4．阅读与思考请阅读下列材料,并按要求完成相应的任务．阿基米德是伟大的古希腊数学家哲学家物理学家他与牛顿高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理其中第三个引⊥于点C点D在弦AB上且理是：如图1 AB是O的弦点P在O上PC AB=．小明思考后给出如=在PB上取一点Q使PQ PAAC CD=连接BQ则BQ BD下证明：任务：(1)写出小明证明过程中的依据： 依据1：________ 依据2：________(2)请你将小明的证明过程补充完整(3)小亮想到了不同的证明方法：如图3 连接AP PD PQ DQ ．请你按照小亮的证明思路 写出证明过程．5．阅读资料：我们把顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 如图1中CBD ∠即为弦切角．同学们研究发现：A 为圆上任意一点 当弦AB 经过圆心O 且DB 切O 于点B 时 易证：弦切角CBD A ∠=∠．问题拓展：如图2 点A 是优弧BC 上任意一点 DB 切O 于点B 求证：CBD A ∠=∠． 证明：连接BO 并延长交O 于点A ' 连接A C ' 如图2所示． ∵DB 与O 相切于点B ∵A BD ∠'=________ ∵90A BC CBD ∠'+∠=︒． ∵A B '是直径∵90ACB ∠'=︒_____________（依据）． ∵90A A BC ∠'+∠'=︒．∵CBD A ∠=∠'________________（依据）．又∵A A ∠'=∠________________（依据） ∵CBD A ∠=∠．(1)将上述证明过程及依据补充完整．(2)如图3 ABC 的顶点C 在O 上 AC 和O 相交于点D 且AB 是O 的切线 切点为B 连接BD ．若2,6,3AD CD BD === 求BC 的长．6．阅读：如图1所示 四边形ABCD 是∵O 的内接四边形 连接AC BD ．BC 是∵O 的直径 AB ＝AC ．请说明线段AD BD CD 之间的数量关系．下面是王林解答该问题的部分解答过程 请补充完整：+CD ＝BD ．理由如下：∵BC 是∵O 的直径 ∵∵BAC ＝90°． ∵AB ＝AC ∵∵ABC ＝∵ACB ＝45°．如图2所示 过点A 作AM ∵AD 交BD 于点M …(1)补全王林的解答过程(2)如图3所示 四边形ABCD 中∵ABC ＝30° 连接AC BD ．若∵BAC ＝∵BDC ＝90° 直接写出线段AD BD CD 之间的关系式是 ． 7．阅读下列材料 并按要求完成相应的任务． 黄金三角形与五角星当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时 我们把这样的三角形叫做黄金三角形． 按下面的步骤画一个五角星（如图）：∵作一个以AB 为直径的圆 圆心为O ∵过圆心O 作半径OC ∵AB ∵取OC 的中点D 连接AD∵以D 为圆心OD 为半径画弧交AD 于点E ∵从点A 开始以AE 为半径顺时针依次画弧正好把∵O 十等分（其中点F G B H I 为五等分点） ∵以点F G B H I 为顶点画出五角星． 任务： (1)求出AEOA的值为 (2)如图 GH 与BF BI 分别交于点M N 求证：△BMN 是黄金三角形． 8．阅读下面材料 并按要求完成相应的任务．阿基米德是古希腊的数学家 物理学家．在《阿基米德全集》里 他关于圆的引理的论证如下：命题：设AB 是一个半圆的直径 并且过点B 的切线与过该半圆上的任意一点D 的切线交于点T 如果作DE 垂直AB 于点E 且与AT 交于点F 则DF EF =． 证明：如图1 延长AD 与BT 交于点H 连接OD OT ． ∵DT BT 与半圆O 相切 ∵……∵ ∵BT DT =． ∵AB 是半圆O 的直径 ∵90ADB ︒∠=．∵在BDH △中 由BT DT = 可得TDB TBD ∠=∠ ∵H TDH ∠=∠．∵BT DT HT ==． 又∵//DE BH ∵DF AFHT AT = EF AF BT AT=∵EF DFBT HT=． 又∵BT HT = ∵DF EF =任务：(1)请将∵处的证明过程补充完整． (2)证明过程中∵的证明依据是 ．(3)如图2 AB 为∵O 的直径 ∵BED 是等边三角形 BE 是∵O 的切线 切点是B 点D 在∵O 上 CD ∵AB 垂足为C 连接AE 交CD 于点F ．若∵O 的半径为2 求CF 的长． 9．阅读材料 某个学习小组成员发现：在等腰ABC 中 AD 平分BAC ∠ ∵AB AC =BD CD = ∵AB BDAC CD= 他们猜想：在任意ABC 中 一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例．【证明猜想】如图1所示 在ABC 中 AD 平分BAC ∠ 求证：AB BDAC CD=． 丹丹认为 可以通过构造相似三角形的方法来证明△和ACD面积的角度来证明．思思认为可以通过比较ABD(1)请你从上面的方法中选择一种进行证明．(2)【尝试应用】如图2O是Rt ABC的外接圆点E是O上一点（与B不重合且=连结AE并延长AE BC交于点D H为AE的中点连结BH交AC于点G求AB AEHG的值．GB(3)【拓展提高】如图3在（2）的条件下延长BH交O于点F若BE EF=求=GH xO的直径（用x的代数式表示）．10．请阅读下面材料并完成相应的任务阿基米德折弦定理阿基米德（Arehimedes 公元前287—公元前212年古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一他与牛顿高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1 AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）>M是ABC的中点则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点即BC ABCD AB BD=+．=+的部分证明过程．这个定理有很多证明方法下面是运用“垂线法”证明CD AB BD证明：如图2 过点M作MH⊥射线AB垂足为点H连接MA MB MC．∵M 是ABC 的中点 ∵MA MC =． … 任务：（1）请按照上面的证明思路 写出该证明的剩余部分（2）如图3 已知等边三角形ABC 内接于O D 为AC 上一点 15ABD ∠=︒ CE BD ⊥于点E 2CE = 连接AD 则DAB 的周长是______．11．阅读与思考请阅读下列材料 并完成相应的任务：任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）如图2 正五边形ABCDE 内接于∵O AB ＝2 求对角线BD 的长．12．阅读下列材料 完成相应任务：如图∵ ABC 是∵O 的内接三角形 AB 是∵O 的直径AD 平分BAC ∠交∵O 于点D 连接BD 过点D 作∵O 的切线 交AB 的延长线于点E ．则CAD BDE ∠=∠．下面是证明CAD BDE ∠=∠的部分过程：证明：如图∵ 连接DO AB 是∵O 的直径 90ADB ∴∠=︒ODA ∴∠+∵________90=︒．（1） DE 为∵O 的切线 90ODE ∴∠=︒90ODB BDE ∴∠+∠=︒ （2）由（1）（2）得 ∵________________． AD 平分,BAC CAD OAD ∠∴∠=∠．,OA OD OAD ODA =∴∠=∠CAD ∴∠=∵________CAD BDE ∴∠=∠．任务：（1）请按照上面的证明思路 补全证明过程：∵________ ∵________ ∵________ （2）若5,2OA BE == 求DE 的长．13．阅读下列材料：平面上两点P 1（x 1 y 1） P 2（x 2 y 2）之间的距离表示为()()22121212PP x x y y =-+- 称为平面内两点间的距离公式 根据该公式 如图 设P （x y ）是圆心坐标为C （a b ）半径为r 的圆上任意一点 则点P ()()22x a y b r -+-= 变形可得：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2 我们称其为圆心为C （a b ） 半径为r 的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25可得它的圆心为（1 2） 半径为5．根据上述材料 结合你所学的知识 完成下列各题．（1）圆心为C （3 4） 半径为2的圆的标准方程为：（2）若已知∵C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝22 圆心为C 请判断点A （3 ﹣1）与∵C的位置关系．14．阅读以下材料 并按要求完成相应的任务：几何定论 是指变化的图形中某些几何元素的几何量保持不变（如定长 定角 定比 定积等） 或几何元素间的某些性质或位置关系不变（如定点 定线 定方向等）如图∵ 点A 为O 外一点 过点A 为O 作直线与O 相交于点B C 点B '为点B 关于OA 的对称点 连接B C '交OA 于点M 设O 的半径为R ．如图∵ 当过点A 的直线与O 相切时 点B C 重合 可得2R OA OM =⋅．如图∵ 当过点A 的直线与O 相交时 证明2R OA OM =⋅．证明：如图∵ 连接OC CD ．∵B ' B 关于OA 对称∵BD BD '=．∵∵1＝∵2 .（依据）…任务：（1）上述证明过程中的依据是____________________（2）根据以上的证明提示 完成上述证明过程（3）如图∵ 若5OA = 1OM = 求O 的半径．15．阅读下列相关材料 并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家 天文学家他编著了《婆罗摩修正体系》 他曾经提出了“婆罗摩笈多定理” 也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直 则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证 并完成这个定理的证明过程已知：__________________求证：_________________证明：（2）如图（2） 在O 中 弦AB CD ⊥于M 连接,,,,,AC CB BD DA E F 分别是,AC BC 上的点 EM BD ⊥于,G FM AD ⊥于H 当M 是AB 中点时 直接写出四边形EMFC 是怎样的特殊四边形：__________．参考答案：1．解：（1）∵同弧或等弧所对的圆周角相等∵E ∠和C ∠所对的弧是同一条弧∵∵应填：同弧或等弧所对的圆周角相等∵两角分别相等的两个三角形相似∵题目中的结论是两个三角形相似 用的方式是三角形的两个角分别相等∵∵应填两角分别相等的两个三角形相似（2）∵BDE ADC ∠=∠ E C ∠=∠.BDE ADC ∽△∴△.BD DE AD DC∴= AD DE BD DC ∴⋅=⋅2AD BD DC AB AC ∴+⋅=⋅（3）42AE =∵BE CE =.∵弧BE =弧CE∵BAE CAE ∠=∠∵AE 平分BAC ∠.由斯库顿定理 得2AD BD DC AB AC +⋅=⋅又∵4AC = 6AB = 2CD = 3BD =∵23264AD +⨯=⨯.解得=AD AD =-。

专题五 阅读理解问题错误!A 组 全国中考题组一、填空题1．(2015·湖南株洲，16，4分)“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S ＝a ＋b 2－1，孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形边上(含顶点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形(如图1)进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是_____，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是_____．解析 如题图1，∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4＝1＋82－1；矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6＝2＋102－1；∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a ；题图2中，a ＝15，b ＝7，故S ＝15＋72－1＝17.5.答案 a 17.52．(2015·四川资阳，16，4分)已知抛物线p ：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，点C 关于x 轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为________．解析 ∵y ＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，∴A 点坐标为(－1，0)，解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2＋2x ＋1，y ＝2x ＋2得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4， ∴点C ′的坐标为(1，4)，∵点C 和点C ′关于x 轴对称，∴C (1，－4)，设原抛物线解析式为y ＝a (x －1)2－4，把A (－1，0)代入得4a －4＝0，解得a ＝1，∴原抛物线解析式为y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3.答案 y ＝x 2－2x －3二、解答题3．(2015·浙江绍兴，21，10分)如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过定点M (1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式，小敏写出了一个答案：y ＝2x 2＋3x －4.请你写出一个不同于小敏的答案．(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y ＝－x 2＋2bx ＋c ＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．解 (1)不唯一，如y ＝x 2－2x ＋2.(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b ，c ＋b 2＋1)，且－1＋2b ＋c ＋1＝1，∴c ＝1－2b ，∵顶点纵坐标c ＋b 2＋1＝2－2b ＋b 2＝(b －1)2＋1，∴当b ＝1时，c ＋b 2＋1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小；此时c ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x .4．(2015·浙江温州，20，8分)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形，如何计算它的面积？奥地利数学家皮克(G .Pick ，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S ＝a＋12b －1，其中a 表示多边表内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图，a ＝4，b ＝6，S ＝4＋12×6－1＝6.(1)请在图甲中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积；(2)请在图乙画一个格点三角形，使它的面积为72，且每条边上除顶点外无其它格点．解 (1)画法不唯一，如图①或图②，面积分别为9，5.(2)画法不唯一，如图③，图④等．5．(2015·浙江宁波，24，10分)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为S ＝ma ＋nb －1，其中m ，n 为常数．(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；(2)利用(1)中的格点多边形确定m ，n 的值．解 (1)答案不唯一(2)三角形：a ＝4，b ＝6，S ＝6；平行四边形：a ＝3，b ＝8，S ＝6；菱形：a ＝5，b ＝4，S ＝6；任选两组数据代入S ＝ma ＋nb －1，解得m ＝1，n ＝12.6．(2015·浙江杭州，19，8分)如图1，⊙O 的半径为r (r ＞0)，若点P ′在射线OP 上，满足OP ′·OP ＝r 2，则称点P ′是点P 关于⊙O 的“反演点”．如图2，⊙O 的半径为4，点B 在⊙O 上，∠BOA ＝60°，OA ＝8，若点A ′，B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，求A ′B ′的长．解 因为OA ′·OA ＝16，且OA ＝8，所以OA ′＝2，同理可知，OB ′＝4，即B 点的反演点B ′与B 重合．设OA 交⊙O 于点M ，连结B ′M .因为∠BOA ＝60°，OM ＝OB ′，所以△OB ′M 为正三角形，又因为点A ′为OM 的中点，所以A ′B ′⊥OM .根据勾股定理，得：OB ′2＝OA ′2＋A ′B ′2，即16＝4＋A ′B ′2，解得：A ′B ′＝2 3.B 组 全国中考题组一、选择题1．(2012·浙江嘉兴，9，4分)定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V 数”．如“947”就是一个“V 数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V 数”的概率是( ) A.14 B.310 C.12 D.34解析 从1，3，4，5中任选两数共有12种可能情况，其中属于“V 数”的有6种可能情况，所以从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V 数”的概率是12，故选C.答案 C 2．(2013·山东潍坊，12，3分)对于实数x ，我们规定[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3，若[x ＋410]＝5，则x 的取值可以是( )A ．40B ．45C ．51D ．56解析 法一 ∵将x ＝40代入[x ＋410]得[40＋410]＝4，选项A 错误；将x ＝45代入[x ＋410]得[45＋410]＝4，选项B 错误；将x ＝51代入[x ＋410]得[51＋410]＝5，选项C 正确；将x ＝56代入[x ＋410]得[56＋410]＝6，选项D 错误．故选C.法二由[x ＋410]＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋410≥5，x ＋410＜6，解得46≤x ＜56，故选C. 答案 C二、填空题3．(2014·山东德州，17，4分)如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，…A n，….将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…A n，…，则顶点M2 014的坐标为(________________)．解析∵抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y＝x上，∴设平移后的抛物线为y＝(x－m)2＋m，由题意可知抛物线y＝(x－m)2＋m经过点A2 014(2014，2 0142)，∴2 0142＝(2014－m)2＋m，解得m＝4 027或m＝0(不合题意舍去)，∴M2 014(4 027，4 027)，故答案为：(4 027，4 027)．答案(4 027，4 027)4．(2014·北京，22，5分)阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD ＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．图1图2小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)．请回答：∠ACE的度数为________，AC的长为________．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，∠CAD ＝30°，∠ADC ＝75°，AC 与BD 交于点E ，AE ＝2，BE ＝2ED ，BC 的长为________．解析 ∵CE ∥AB ，∴∠BAC ＋∠ACE ＝180°.∵∠BAD ＝75°，∠CAD ＝30°，∴∠ACE ＝180°－∠BAC ＝180°－75°－30°＝75°，∠E ＝∠BAD ＝75°，∴∠E ＝∠ACE ，∴AC ＝AE .∵CE ∥AB ，∴△ABD ∽△ECD ，∴AD ED ＝BD CD .∵BD ＝2DC ，∴AD ＝2ED .∵AD ＝2，∴ED ＝1，∴AC ＝AE ＝AD ＋ED ＝2＋1＝3.过点D 作DF ⊥AC 于点F ，∵∠BAC ＝90°，∴AB ∥DF ，∴△ABE ∽△FDE .∴AB FD ＝AE FE ＝BE DE ＝2，∴EF ＝1，AF ＝AE ＋EF ＝3.∵∠CAD ＝30°，∴DF ＝AF ·tan 30°＝3，AD ＝2DF ＝2 3.∵∠ADC ＝75°，∴∠ACD ＝180°－∠ADC －∠CAD ＝75°.∴AD ＝AC ，∴AC ＝2 3.∵AB FD ＝2，∴AB ＝2 3.在Rt △ABC 中，由勾股定理得BC ＝AB 2＋AC 2＝2 6.答案 75° 23 2 65．★(2013·山东菏泽，12，3分)我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段图3叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”)．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是________(写出1个即可)．解析 如图，(1)等边三角形的高AD 是它的一条面径，AD ＝32×2＝3；(2)当EF ∥BC 时，EF 为它的一条面径，此时，⎝ ⎛⎭⎪⎫EF BC 2＝12，解得EF ＝ 2. 所以，它的面径长可以是2， 3. 答案 2或 3三、解答题6．(2014·安徽，22，12分)若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x 的二次函数y 1＝2x 2－4mx ＋2m 2＋1，和y 2＝ax 2＋bx ＋5，其中y 1的图象经过点A (1，1)，若y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求当0≤x ≤3时，y 2的最大值．解 (1)答案不唯一，如顶点是原点，开口向上的二次函数，y ＝x 2和y ＝2x 2；(2)把点A (1，1)坐标代入到y 1＝2x 2－4mx ＋2m 2＋1中，得2×12－4m ×1＋2m 2＋1＝1，解得m ＝1.∴y 1＝2x 2－4x ＋3，∵y 1＋y 2＝2x 2－4x ＋3＋ax 2＋bx ＋5＝(a ＋2)x 2＋(b －4)x ＋8，又∵y 1＝2x 2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1，其顶点为(1，1)，且y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b －42（a ＋2）＝1，4（a ＋2）×8－（b －4）24（a ＋2）＝1，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－10.∴y 2＝5x 2－10x ＋5＝5(x －1)2，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，当x ＝3时，y ＝5×(3－1)2＝20，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时，y ＝5×(0－1)2＝5，故当0≤x ≤3时，y 2的最大值是20.7．(2012·浙江绍兴，21，10分)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若P A ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，试探究P A 的长．解 应用：若PB ＝PC ，则∠PCB ＝∠PBC .∵CD 为等边三角形的高，∴AD ＝BD ，∠PCB ＝30°，∴∠PBD ＝∠PBC ＝30°，∴PD ＝33DB ＝36AB .与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB ≠PC .若P A ＝PC ，同理可得P A ≠PC .若P A ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝BD ＝AD ，因此点A ，P ，B 在以AB 为直径的圆上，∴∠APB ＝90°，故∠APB ＝90°.探究：若PB ＝PC ，设P A ＝x ，则x 2＋32＝(4－x )2，∴x ＝78，即P A ＝78.若P A ＝PC ，则P A ＝2.若P A＝PB，在Rt△P AB中，不可能．故P A＝2或7 8.8．(2012·浙江台州，24，14分)定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m＋4，n)是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，当m＝2，n＝2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是______；当m＝5，n＝2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______．(2)如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解(1)2 5(2)如图甲，过点A 作直线EF ⊥x 轴，当点B 落在圆A 上，且位于EF 的右侧(或EF 上)时，线段BC 与线段OA 的距离即圆A 的半径，此时4≤m ≤6，且d ＝2.如图乙，当点B 落在圆A 上，且位于EF 的左侧时，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，垂线段BN 的长即为线段BC 与线段OA 的距离，此时2≤m ＜4.图甲图乙在Rt △ABN 中，∠ANB ＝90°，AN ＝4－m ，AB ＝2，由勾股定理可得：d ＝BN ＝22－（4－m ）2＝4－16＋8m －m 2 ＝－m 2＋8m －12.∴d 关于m 的函数解析式为：d ＝⎩⎨⎧－m 2＋8m －12 （2≤m ＜4），2 （4≤m ≤6）.(3)①如图丙，由题意可知：当线段BC 的端点B 或端点C 沿环形跑道运动时，方可使得动线段BC 与线段OA 的距离始终为2，由线段PI ，IJG ︵，线段GK ，KQP ︵所围成的封闭图形就是点M 随线段BC 运动所围成的．∴点M 随BC 运动所围成的封闭图形的周长为：2×π×2＋2×2×4＝16＋4π.图丙②∵m ≥0，n ≥0，∴点M 随线段BC 运动所形成的图形是M 0E ，EF ︵，如图丁所示．图丁∵Rt △AOD 中，OD ∶OA ＝1∶2，∴若△AMH 与△AOD 相似，则必有MH ∶HA ＝1∶2或MH ︰HA ＝2∶1. ∵当2≤m ＋2＜4时，显然M 1H 1＞H 1A ，∴M 1H 1∶H 1A ＝2∶1.∵M 1H 1＝2，∴H 1A ＝1，∴OH 1＝3.∴m 1＝3－2＝1.当4≤m ＋2≤6时，即点M 2在线段TE 上时，同理可求：m 2＝5－2＝3.当6＜m ＋2≤8时，即点M 3在EF ︵上时，∵AH 3≥2≥M 3H 3，∴M 3H 3∶AH 3＝1∶2.设M 3H 3＝x ，则AH 3＝2x ，∴RH 3＝2x －2.∵RM 3＝2，∴(2x －2)2＋x 2＝22，解方程可得：x 1＝85，x 2＝0(不合题意，舍去)．∴此时，OH 3＝4＋2x ＝365.∴m 3＝365－2＝265.综上所述，在平移过程中存在△AHM 与△AOD 相似，相应m 的值为1，3，265.。

中考复习数学专题四阅读理解问题检测（附答案）〔30分钟50分〕一、选择题(每题5分，共15分)1.(2021·武汉中考)一列数a1,a2,a3,…,其中1nn111a, a21a-==+(n为不小于2的整数),那么a4=( )(A)58(B)85(C)138(D)8132.在直角坐标平面内的机器人接受指令〝［α,A］〞(α≥0，0°<A<180°)后的举动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向正前方沿直线行走α.假定机器人的位置在原点，正前方为y 轴的负半轴，那么它完成一次指令［2,60°］后位置的坐标为( )(A)(1,3-) (B)(1,3--)(C)(3,1--) (D)(3,1-)3.一个平面封锁图形内(含边界)恣意两点距离的最大值称为该图形的〝直径〞，封锁图形的周长与直径之比称为图形的〝周率〞，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1,a2,a3,a4，那么以下关系中正确的选项是( )(A)a4>a2>a1(B)a4>a3>a2(C)a1>a2>a3(D)a2>a3>a4二、填空题(每题5分，共10分)4.(2021·北京中考)在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都是整数点的叫做整点.点A(0，4)，点B是x正半轴上的整点，记△AOB外部(不包括边界)的整数点个数为m，当m=3时，点B的横坐标的一切能够值是_________；当点B的横坐标为4n (n为正整数)时,m=_________.(用含n的代数式表示).5.记S n=a1+a2+…+a n，令T n=12nS S Sn++⋯+，称T n为a1，a2，……，a n这列数的〝理想数〞.a1，a2，……，a500的〝理想数〞为 2 004，那么8，a1，a2，……，a500的〝理想数〞为_________________.三、解答题(共25分)6.(12分)(2021·无锡中考)关于平面直角坐标系中的恣意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1,P2两点间的直角距离，记作d(P1，P2).(1)O为坐标原点，动点P(x，y)满足d(O，P)=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出一切契合条件的点P所组成的图形；(2)设P0(x0，y0)是一定点，Q(x，y)是直线y=ax+b上的动点，我们把d(P0，Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离.试求点M(2，1)到直线y=x+2的直角距离.【探求创新】7.(13分)深化了解对非负实数x 〝四舍五入〞到个位的值记为<x>，即：当n 为非负整数时，假设11n x n ,22-≤<+那么<x>＝n.如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，… 试处置以下效果：(1)填空：①<π>＝___________(π为圆周率)；②假设<2x-1>＝3，那么实数x 的取值范围为；___________ (2)①当x ≥0；m 为非负整数时，求证：<x+m>=m+<x>; ②举例说明<x>+<y>=<x+y>不恒成立；(3)求满足<x>=43x 的一切非负实数x 的值；(4)设n 为常数，且为正整数，函数21y x x 4＝－＋的自变量x 在n ≤x ≤n ＋1范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为a ；满足的一切整数k 的个数记为b. 求证：a ＝b ＝2n. 答案解析1.【解析】选A.∵1n n 111a ,a ,21a -==+∴441311a ,1a 1a -==++ 又∵23121213a ,a ,1a 31a 5====++∴a 4=315.1a 8=+2.【解析】选C.依据题意画出图形,如下图,机器人由原点位置按指令［2,60°］抵达点M 的位置，作MN ⊥y 轴于点N ，由题意可知∠MON=60°，OM=2，所以ON=OM ·cos60°=2×12=1，MN=OM ·sin60°=2×2由于点M在第三象限，所以该点的坐标为(3.【解析】选B.设正三角形、正方形、正六边形的边长区分为a ，b ，c ，设圆的直径为d ，那么从上表可看出a 4>a 3>a 2，故此题选B.4.【解析】当点B 的坐标为(3，0)或(4，0)时，△AOB 外部的整数点个数为3. 当点B 的横坐标为4×1时， m=3=6×1-3；当点B 的横坐标为4×2时，m=9=6×2-3；当点B的横坐标为4×3时，m=15=6×3-3;…;当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m=6n-3.答案：3，4 6n-35.【解析】依据理想数的概念可知，S1+S2+…+S500=2 004×500，所以8，a1，a2，……，a500的〝理想数〞为()()() 12500 88S8S8S501+++++⋯++=5018 2 004500501⨯+⨯=2 008.答案：2 0086.【解析】(1)由题意，得|x|+|y|=1,一切契合条件的点P组成的图形如下图(2)∵d(M，Q)=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|又∵x可取一实在数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3.∴点M(2，1)到直线y=x+2的直角距离为3.7.【解析】(1)①3 ②79x44≤<(2)①设<x>＝n，那么11n x n22-≤+＜，n为非负整数；又(n＋m)-12≤x＋m＜(n＋m)+12，且m＋n为非负整数，∴<x＋m>＝n＋m＝m＋<x>.②举反例：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>，∴<x>＋<y>＝<x＋y>不一定成立.(3)∵x≥0，43x为整数，设43x＝k，k为整数,那么x＝34k，∴＜34k＞＝k，∴131k k k,242-≤<+k≥0，∴0≤k≤2，∴k＝0，1，2,∴x＝0，33 ,. 42(4)∵函数y＝x2－x＋211(x)42＝－，n为常数且为正整数，∴当n≤x＜n＋1时，y随x的增大而增大，即2211(n )y n 22-≤+＜() ① ∴2211n n y n n 44≤－＋＜＋＋，∵y 为整数, ∴y ＝ n 2－n ＋1，n 2－n ＋2，n 2－n ＋3，…，n 2－n ＋2n ，共2n 个y.∴a ＝2n ②那么11n n ,22-≤<+∴2211(n )k (n )22-≤<+③比拟①②③得：a ＝b ＝2n。