第十五章整式乘除与因式分解(黄作鸿)

第12章 整式的乘除12.5 因式分解第2课时 两数和与两数差的积——因式分解教学目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.让学生经历探究因式分解的过程，理解和领悟因式分解，发现因式分解的基本方法——公式法；3.掌握运用平方差公式因式分解的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤因式分解的能力.教学重难点重点：掌握公式法（两数和与两数差的积）进行因式分解. 难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底.复习巩固1.因式分解是怎样定义的？因式分解有什么特点？2.把下面多项式分解因式：（1）3222320515y x y x y x -+； （2）22230156mn mn n m +-； （3）()()b a y b a x +-+； （4）()()()22332a b a b a a b +--+. 【答案】（1）()224135y xy y x -+. （2）()32510mn m n n -+. （3）()()a b x y +-. （4）-()()23a b a b ++. 3.计算：()()a b a b +-. 【答案】 22b a -.教学过程导入新课【创设情境，课堂引入】我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用整式乘法与因式分解的这种关系，可以得到因式分解的方法.如果把乘法公式反过来用，就可以将某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法.探索：根据上面的计算，请你猜想22a b -的结果. 把乘法公式()()22a b a b a b +-=-反过来， 就得到：教学反思探究新知【实践探究，交流新知】思考：两数和与两数差的积——因式分解： （1）（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 【注意】（1）要弄清楚整式乘法中的两数和与两数差的积与因式分解中的两数和与两数差的积的区别，因式分解中左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和乘以这两个数的差；（2）a ，b 可以是单独的数或具体的字母，也可以是多项式. 例如：【小组讨论，师生互学】例1 把下列多项式分解因式：（1）2251a -； （2）222z y x -； （3）2201.094n m -.解：（1）()()()222125151515a a a a -=-=+-；（2）()()()22222x y z xy z xy z xy z -=-=+-；（3）()222242220.010.10.10.19333m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 把下列各式分解因式：（1）()()22q x p x +-+； （2）()()22916b a b a +--.分析：()()22q x p x +-+是x p +与x q +的平方差；把式子()216a b -- ()29a b +改写成()[]()[]2234b a b a +--后，可以看出它是4()a b - 与()b a +3的平 方差，所以它们都可以运用两数和与两数差的积因式分解.教学反思解：（1）()()22q x p x +-+()()()()x p x q x p x q =++++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2x p q p q =++-； （2）()()22916b a b a +--()()2243a b a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()4343a b a b a b a b =-++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()77a b a b =--. 例3 把下列各式分解因式：（1）35x x -； （2）44y x -. 解：（1）35x x - ()123-=x x()()311x x x =+-；（2）44y x -()()2222y x-=()()2222x y x y =+- ()()()22x y x y x y =++-.【注意】（1）如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式，再进一步因式分解.（2）因式分解要彻底，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 同步练习：把下列各式分解因式：（1）3（a +b ）2-27c 2 ； （2）16（x +y ）2-25（x -y ）2； （3）a 2（a -b ）+b 2（b -a ）； （4）（5m 2+3n 2）2−（3m 2+5n 2）2. 【答案】（1）3（a +b +3c ）（a +b -3c ）；（2）（9x -y ）（9y -x ）；（3）（a +b ）（a -b ）2；（4）16（m 2+n 2）（m +n ）（m −n ）.【合作探究，解决问题】用平方差公式因式分解解决综合问题.（师生互动）例4 已知2 48-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数. 【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？解：248-1＝（224+1）（224-1）＝（224+1）（212+1）（212-1） ＝（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）.∵26＝64，∴26-1＝63，26+1＝65， ∴这两个数是65和63.教学反思【题后总结】（学生总结，老师点评）解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.例5 利用因式分解计算： （1）1012-992；（2）5722×14-4282×14.【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和公式法进行因式分解. 解：（1）1012-992＝（101+99）（101-99）＝400.（2）5722×14-4282×14＝（5722-4282）×14＝（572+428）（572-428）×14＝1 000×144×14＝36 000.【题后总结】（学生总结，老师点评）对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，可以使运算简便.课堂练习1.下列代数式中能用两数和与两数差的积因式分解的是（ ） A.a 2+b 2 B.−a 2−b 2 C.a 2−c 2−2ac D.−4a 2+b 22.将−4+0.09x 2分解因式的结果是（ ） A.（0.3x +2）（0.3x -2） B.（2+0.3x ）（2-0.3x ） C.（0.03x +2）（0.03x -2） D.（2+0.03x ）（2-0.03x ）3.已知多项式x +81b 4可以分解为（4a 2+9b 2）（2a +3b ）（3b -2a ），则x 的值是（ ）A.16a 4B.-16a 4C.4a 2D.-4a 2 4. 因式分解：249x -=_____________.5. 因式分解：2()1xy -＝ . 6. 因式分解：4x 2-y 2＝ . 7. 因式分解：a 2−144b 2＝ .8. 已知4m +n ＝40，2m -3n ＝5，求（m +2n ）2-（3m -n ）2的值. 参考答案1.D2.A3.B4. (23)(23)x x -+5. (1)(1)xy xy +-6. （2x +y ）（2x −y ）7.（a +12b ）（a −12b ）8. 解：原式＝（m +2n +3m −n ）（m +2n −3m +n ） ＝（4m +n ）（3n −2m ） ＝− （4m +n ）（2m −3n ）.当4m +n ＝40，2m −3n ＝5时，原式＝−40×5＝−200.课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.掌握两数和与两数差的积，并能灵活地利用两数和与两数差的积进行因式分解.2.进行因式分解过程中，有公因式的应先提取公因式，然后再分解，因教学反思式分解必须彻底.教学反思布置作业请完成本课时对应练习！板书设计因式分解——平方差法两数和与两数差的积：（1（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.。

初中数学?整式的乘除与因式分解?教课设计第十五章整式的乘除与因式分解15． 1．1 整式教课目的1．单项式、单项式的定义．2．多项式、多项式的次数．3、理解整式观点．教课要点单项式及多项式的相关观点．教课难点单项式及多项式的相关观点．教课过程Ⅰ．提出问题，创建情境在七年级，我们已经学习了用字母能够表示数，思虑以下问题1．要表示△ ABC 的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2．小王用七小时行驶了Skm 的行程，请问他的均匀速度是多少？结论：1、要表示△ ABC 的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ ABC? 的面积需要知道一条边长和这条边上的高．假如设BC=a，AC=b ，AB=c ．AB 边上的高为 h，?那么△ ABC 的周长能够表示为 a+b+c；△ ABC 的面积能够表示为 ch．2．小王的均匀速度是．问题：这些式子有什么特点呢？（1〕有数字、有表示数字的字母．（2〕数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连结．概括：用根本的运算符号〔运算包含加、减、乘、除、乘方与开方〕把数和表示数的字母连结起来的式子叫做代数式．判断上边获得的三个式子： a+b+c、 ch、是否是代数式？〔是〕代数式能够简洁地表示数目和数目的关系．今日我们就来学习和代数式相关的整式．Ⅱ．明确和牢固整式相关观点〔出示投影〕结论：〔1〕正方形的周长： 4x ．（2〕汽车走过的行程： vt．（3〕正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等， ?因此它的表面积为 6a2；正方体的体积为长宽高，即a3．（4〕n 的相反数是－n．剖析这四个数的特点．它们切合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、 ch、中还有和与商的运算符号．还能够发现这五个代数式中字母指数各不同样，字母的个数也不尽同样．请同学们阅读课本P160～ P161 单项式相关观点．依据这些定义判断4x、vt 、6a2、 a3、-n、 a+b+c、 ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．结论 :4x、 vt、 6a2、 a3、 -n、 ch 是单项式．它们的系数分别是 4、 1、 6、1、-1、．它们的次数分别是1、 2、 2、 3、 1、2．因此 4x、-n 都是一次单项式； vt 、6a2、 ? ch 都是二次单项式； a3 是三次单项式．问题 :vt 中 v 和 t 的指数都是1，它不是一次单项式吗？结论 :不是．依据定义，单项式 vt 中含有两个字母，因此它的次数应当是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，因此 vt 是二次单项式而不是一次单项式．生活中不不过有单项式，像 a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？写出以下式子〔出示投影〕结论 :〔 1〕 t-5．〔 2〕 3x+5y+2z ．（3〕三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即．（4〕建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右侧两个矩形面积分别为32、43，因此它们的面积和是18．于是得这所住所的建筑面积是x2+2x+18 ．我们能够察看以下代数式：a+b+c、t-5、3x+5y+2z 、、x2+2x+18 ．发现它们都是由单项式的和构成的式子．是多个单项式的和，能不可以叫多项式？这样推理通情达理．请看投影，熟习以下观点．依据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z 、、x2+2x+18 都是多项式．请分别指出它们的项和次数．a+b+c 的项分别是a、 b、c．t-5 的项分别是t、 -5，此中 -5 是常数项．3x+5y+2z 的项分别是3x、5y、 2z．ab-3.12r2 的项分别是ab、-3.12r2 ．x2+2x+18 的项分别是x2、2x、18．找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，?二是取每个项次数的最大值．依据这两条很简单获得这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．这节课，经过研究我们获得单项式和多项式的相关观点，它们能够反应变化的世界．同时，我们也领会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．Ⅲ．随堂练习1．课本 P162 练习Ⅳ．课时小结经过研究，我们认识了整式的观点．理解并掌握单项式、多项式的相关观点是本节的要点，特别是它们的次数．在现实情形中进一步理解了用字母表示数的意义，?展开符号感．Ⅴ．课后作业1．课本 P165～ P166 习题 15． 1─1、5、 8、 9 题．2．预习“整式的加减〞．课后作业：?讲堂感悟与研究?15． 1．2 整式的加减〔 1〕教课目的：1、解字母表示数目关系的过程，展开符号感。

第十五章整式的乘除与因式分解教材分析1、教学内容及地位本章属于《课程标准》中的“数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。

这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。

也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。

2、本章教学内容在学习上各部分知识之间的联系如下：从上面可以看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。

全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。

在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。

实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。

3、教学目标《课程标准》目标人教材具体目标目标1：了解整数指数幂的意义和基本性质，会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）目标1：掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行计算.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行计算.目标2：会推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(a+b)2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算.目标2：会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算.⑴解析每个目标①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。

②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。

③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。

2024年整式的乘除复习课件华师大版一、教学内容本节课将复习《华师大版数学》八年级上册第十一章“整式的乘除”相关内容。

具体包括：整式的乘法法则（11.1节），整式的除法法则（11.2节），以及因式分解（11.3节）。

通过本章学习，使学生能够熟练掌握整式乘除的基本法则，并运用这些法则解决实际问题。

二、教学目标1. 让学生熟练掌握整式的乘法法则，能够进行整式的乘法运算。

2. 让学生熟练掌握整式的除法法则，能够进行整式的除法运算。

3. 使学生掌握因式分解的基本方法，并能运用因式分解简化计算。

三、教学难点与重点教学难点：整式的除法法则，因式分解。

教学重点：整式的乘法法则，整式的除法法则，因式分解。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔。

2. 学具：练习本，笔。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用生活中的实例，如购物时商品打折，引导学生思考如何运用整式的乘法法则解决实际问题。

2. 例题讲解（10分钟）（1）计算：（x+y）（xy）；（2）计算：（3x^22x+1）÷（x1）；（3）因式分解：6x^29x。

3. 随堂练习（15分钟）（1）计算：（a+b）（ab）；（2）计算：（4x^36x^2+3x）÷（2x3）；（3）因式分解：8x^31。

4. 解答疑问（10分钟）对学生在练习过程中遇到的问题进行解答，巩固所学知识。

5. 小结（5分钟）六、板书设计1. 黑板左侧列出整式的乘法法则；2. 黑板右侧列出整式的除法法则；3. 中间部分列出因式分解的步骤及方法。

七、作业设计1. 作业题目：（1）计算：（4a+3b）（2a5b）；（2）计算：（9x^26x+1）÷（3x2）；（3）因式分解：x^25x+6。

2. 答案：（1）8a^27ab15b^2；（2）3x1；（3）(x2)(x3)。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生对整式的乘除法则及因式分解有了更深入的理解，但仍有部分学生在运算过程中出现错误，需要在课后加强练习。

2024年七下第一章《整式的乘除》复习课件一、教学内容本节课复习教材《数学》七年级下册第一章《整式的乘除》。

具体内容包括：整式的乘法法则、整式的除法法则、多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式等。

二、教学目标1. 掌握整式的乘法法则，能够熟练运用法则进行计算。

2. 掌握整式的除法法则，能够正确进行整式的除法运算。

3. 学会多项式乘以多项式，熟练运用平方差公式和完全平方公式。

三、教学难点与重点难点：多项式乘以多项式的运算，平方差公式和完全平方公式的应用。

重点：整式的乘除法则，平方差公式和完全平方公式的推导和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过实际生活中的例子，如计算长方形面积，引导学生回顾整式的乘法。

2. 例题讲解：（2）整式的除法法则：讲解例题，引导学生掌握整式除法的步骤和方法。

（3）多项式乘以多项式：讲解例题，指导学生运用分配律进行计算。

（4）平方差公式和完全平方公式：通过实际例题，引导学生发现并掌握平方差公式和完全平方公式。

3. 随堂练习：针对每个知识点，设计练习题，让学生独立完成，并及时给予反馈。

六、板书设计1. 整式的乘法法则2. 整式的除法法则3. 多项式乘以多项式4. 平方差公式5. 完全平方公式七、作业设计1. 作业题目：（1）计算：(x+3)(x4)（2）计算：(6x^25x+1)÷(2x1)（3）运用平方差公式计算：9x^216y^2（4）运用完全平方公式计算：(x3)^22. 答案：（1）x^2x12（2）3x+7（3）(3x+4y)(3x4y)（4）x^26x+9八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对整式的乘除掌握情况，对平方差公式和完全平方公式的运用是否熟练。

2. 拓展延伸：引导学生探索整式的乘除在实际问题中的应用，如计算长方形、正方形的面积和体积等。

重点和难点解析1. 教学内容的安排与衔接2. 教学目标的制定3. 教学难点与重点的把握4. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解和随堂练习5. 板书设计6. 作业设计与答案的详细程度7. 课后反思及拓展延伸的深度和广度一、教学内容的安排与衔接整式的乘除是代数基础中的重要部分，内容的安排应从简单到复杂，从具体到抽象。

第十五章整式的乘除与因式分解--复习测试卷八年级备课组一、选择题（每题3分，共30分） 1、下列计算中正确的是（）A 、2x+3y=5xyB 、x·x 4=x4C 、x8÷x 2=x4D 、（x2y ）3=x6y32、下列计算正确的是（）A 、22))((y x x y y x -=-+B 、22244)2(y xy x y x +-=+-C 、222414)212(y xy x y x +-=- D 、2224129)23(y xy x y x +-=-- 3、在2222222)())(3(,)()2(),5)(5()5()1(b a b a y x y x x x x +=--+=+-+=-+ （4）ab ab ab a b b a =-=--23)2)(3(中错误的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A 、))((b a b a +--B 、))((b a b a ---C 、))((c b a c b a +---+-D 、))((b a b a -+-5、如果：=-==+-222)32,5,0168y x x y xy x 则（且（）A 、425 B 、16625 C 、163025 D 、162256、如果k x x ++82可运用完全平方公式进行因式分解，则k 的值是（）学校_____________ 班级________________ 姓名________________ 学号______________………密…………………封…………………装…………………订…………………线…………图1图2(第10题图)A 、8B 、16C 、32D 、647、(x2+px+8)(x2-3x+q)乘积中不含x2项和x3项,则p,q 的值 ()A 、p=0,q=0B 、p=3,q=1C 、p=–3,–9D 、p=–3,q=18、对于任何整数m ，多项式9)54(2-+m 都能（ ）A 、被8整除B 、被m 整除C 、被m －1整除D 、被（2m -1）整除9、如图，阴影部分的面积是（） A 、xy 27B 、xy 29C 、xy 4D 、xy 210、如下图（1），边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）。