【北师大版】2018-2019学年高中必修4数学：全一册学案第一章三角函数9三角函数的简单应用

三角函数的简单应用一、学习内容：三角函数的简单应用①圆周运动、简谐振动中的三角函数模型；②三角恒等变换与三角函数的性质；③三角形中的三角函数问题；二、学习目标1、了解单摆运动、波的传播、交流电等物理现象中的三角函数模型，学会运用三角函数来分析和理解；2、会选择合适的三角恒等变换对三角函数式进行恒等变形，从而研究其函数性质（值域、周期、对称性、单调性等）；3、会处理生活中简单的三角问题；4、通过三角恒等变换的应用，提高推理能力和运算能力。

三、知识要点1、简谐振动中的三角函数——0,),sin(>+=ωϕωA x A y其中，A 称为振幅，ϕ称为初相，ϕω+x 称为相位；ωπ2=T 称为周期，πω21==T f 称为频率。

2、三角恒等变换的常用技巧——切弦互化、公式逆用、“1”的拆变、整体处理角、统一角度、统一函数类型与幂次等等；3、测量中的简单的三角问题——张角（视角）、俯角、仰角；方位角；坡度、跨度；经度、纬度四、考点解析与典型例题考点一 生活中的三角建模问题例1 某商品一年内出厂价格在10元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格12元，7月份价格最低为8元，该商品在商店内的销售价格在14元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为18元，9月份销售价格最低为10元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，你估计哪个月份盈利最大?【分析】由题意可知，该问题中存在着正弦函数关系，可通过设变量，找出变量间的正弦函数关系进行求解。

考点二 物理中的三角函数问题例2 单摆从某点开始来回摆动，离开平移位置O 的距离和时间的函数关系式为)6 2sin(6ππ+=t s ，那么单摆来回摆动一次所需时间是多少？例3 已知电流与时间关系) sin(ϕω+=t A I 的图像如下图所示，π<ϕ<π->ω>,0,0A 。

①写出解析式；②为了使t 在任意一段s 1001的时间内电流能同时取得最大值和最小值，需进行调整，求调整后正整数ω的最小值是多少？考点三 三角换元法的应用例4 已知x 、y ∈R ＋，且191=+yx ，求x ＋y 的最小值。

§9 三角函数的简单应用学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案三角函数模型.梳理(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.(2)三角函数模型的建立程序如图所示：类型一 三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ).(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 考点 三角函数模型在物理中的应用 题点 三角函数模型在物理中的应用解 (1)由图可知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175.∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6.(2)依题意知，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N ＋， 故所求最小正整数ω＝943.反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是S ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6. (1)画出它的图像； (2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 考点 三角函数在物理中的应用 题点 三角函数在物理中的应用 解 (1)周期T ＝2π2π＝1(s).列表：描点画图：(2)①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). 类型二 三角函数模型在生活中的应用例2 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在日常生活中的应用解 (1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6，所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0).(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距离地面60.5米. 由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8，所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米， 故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在距离地面2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处.这时此人所转过的角为2π300 t ＝π150 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π150t ＋12(t ≥0).(2)由10sin π150t ＋12≥17，得sin π150t ≥12，则25≤t ≤125.故此人有100 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝ cm. 考点 三角函数模型在物理中的应用 题点 三角函数模型在物理中的应用 答案g 4π2解析 ∵T ＝2πg l ＝1，∴g l ＝2π，∴l ＝g4π2. 2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos 错误!(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为 ℃. 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 20.5解析 由题意可知A ＝28－182＝5，a ＝28＋182＝23，从而y ＝5cos 错误!＋23.故10月份的平均气温值为y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＋23＝20.5. 3.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h (m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h 关于时间t 的函数解析式为 .考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用 答案 h ＝－6sin π6t ，t ∈[0，24]解析 根据题图设h ＝A sin(ωt ＋φ)， 则A ＝6，T ＝12，2πω＝12，∴ω＝π6.点(6，0)为“五点”作图法中的第一点， ∴π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π， ∴h ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π＝－6sin π6t ，t ∈[0，24]. 4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 解 (1)因为f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温. 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.一、选择题1.如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为－5 cmC.该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D.该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 考点 三角函数模型在物理中的应用 题点 三角函数模型在物理中的应用 答案 D解析 该质点的振动周期为T ＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，故C 是错误的.故选D.2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)B.f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N ＋)C.f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 A解析 令x ＝3可排除D ，令x ＝7可排除B ，由A ＝9－52＝2可排除C.或由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7. ∵当x ＝3时，f (x )＝9， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7＝9，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋).3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则人流量是增加的时间段为( )A.[0，5]B.[5，10]C.[10，15]D.[15，20]考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 C解析 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z 知，函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4.如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A.ω＝2π15，A ＝3B.ω＝152π，A ＝3C.ω＝2π15，A ＝5D.ω＝152π，A ＝5考点 三角函数模型在生活中的应用题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 A解析 由题意可知最大值为5，所以5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝15 s ，则ω＝2π15.故选A. 5.如图所示为2018年某市某天中6 h 至14 h 的温度变化曲线，其近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，π2<φ<π的半个周期的图像，则该天8 h 的温度大约为( )A.16 ℃B.15 ℃C.14 ℃D.13 ℃ 考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用 答案 D解析 由题意得A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，∵2×(14－6)＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20， 将x ＝6，y ＝10代入得10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×6＋φ＋20＝10，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，由于π2<φ<π，可得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14].当x ＝8时，y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×8＋3π4＋20＝20－52≈13，即该天8 h 的温度大约为13 ℃，故选D.6.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系.设秒针针尖的位置为P (x ，y )，若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针针尖从P 0(注：此时t ＝0)开始正常走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 C解析 由题意，可得函数的初相是π6，排除B ，D.又函数的最小正周期是60，且秒针按顺时针走动，即T ＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选C.7.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )考点 三角函数模型在物理中的应用题点 三角函数模型在物理中的应用 答案 C解析 取特殊值检验，由题意及图知f (0)＝2，排除A ，D ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，故选C. 二、填空题8.设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是 . 考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T＝80(次/分).9.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 .考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 8解析 由y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k 可知，y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，即k ＝5，所以y max＝3＋k ＝8.10.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm 处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm ，每经过π s 小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y 与振动时间x 的关系式可以是 .考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在物理学方面的应用 答案 y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析 不妨设y ＝A sin(ωx ＋φ). 由题意知A ＝4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.当x ＝0时，y ＝2，且小球开始向上运动， 所以有φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，不妨取φ＝π6，故所求关系式可以为y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.11.电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数I ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图像如图所示，则当t ＝150秒时，电流强度是 安.考点 三角函数在物理中的应用 题点 三角函数在物理中的应用 答案 5 三、解答题12.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间.(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 解 (1)如图所示建立平面直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角.OP 每秒钟内所转过的角为2π60＝π30， 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π30t .由题意可知水轮逆时针转动， 得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π6＝1，令π30t －π6＝π2，得t ＝20， 故点P 第一次到达最高点大约需要20 s. 四、探究与拓展13.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径长为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h (t ) m ，则h (t )等于( )A.30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －π2＋30B.30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋30C.30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋32D.30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2考点 三角函数模型在生活中的应用 题点 三角函数模型在生活中的应用 答案 B解析 过点O 作地面的平行线作为x 轴，过点O 作x 轴的垂线，作为y 轴，过点B 作x 轴的垂线BN 交x 轴于N 点，如图，点A 在圆O 上逆时针运动的角速度是2π12＝π6，所以t 分钟转过的弧度数为π6t .设θ＝π6t ，当θ>π2时，∠BON ＝θ－π2，h ＝OA ＋BN ＝30＋30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，当0<θ<π2时，上述关系式也适合.故h ＝30＋30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋30.14.(2017·福建龙岩一中高一月考)某海滨浴场一天的海浪高度y (m)是时间t (0≤t ≤24)(h)的函数，记作y ＝f (t )，下表是某天各时的浪高数据：(1)选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y (m)与时间t (h)的函数关系； (2)依据规定，当海浪高度不小于1 m 时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的8 h 至20 h 之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？ 考点 三角函数模型的应用题点 三角函数在航海、气象学中的应用解 (1)以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：依据散点图，可以选用函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|≤π2来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y (m)与时间t (h)的函数关系. 从表中数据和散点图，可知A ＝1.5－0.52＝12，T ＝12，所以2πω＝12，得ω＝π6.又h ＝1.5＋0.52＝1，于是y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋1.由图，知π6×0＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|≤π2，所以φ＝π2，从而y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π2＋1，即y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24).(2)由题意，可知y ≥1，所以12cos π6t ＋1≥1，即cos π6t ≥0，所以2k π－π2≤π6t ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3≤t ≤12k ＋3(k ∈Z ).又0≤t ≤24，所以0≤t ≤3或9≤t ≤15或21≤t ≤24.故一天内的8 h 至20 h 之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即9 h 至15 h.。

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4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用。

2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。

知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1 设α为任意角，则2kπ＋α,π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称思考2 2kπ＋α,π＋α,－α，2kπ－α,π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系。

答案它们交点间对称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2kπ＋α与α重合π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称,所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α）＝－sin α，cos(－α）＝cos α.梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α）＝sin α，c os（2kπ＋α)＝cos α(1。

5．1正弦函数的图像内容要求 1.能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图像(重点).2.理解正弦曲线的意义(难点)．知识点1正弦线如图所示，设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 相交于点P (x ，y )，过P 点作x 轴的垂线，垂足为M .我们称MP 为角α的正弦线，P 叫正弦线的终点．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在正弦线的定义中MP 也可以写成PM 的形式．(×)(2)正弦线是一条有方向的有向线段．(√)知识点2正弦函数图像的画法(1)几何法利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像的过程如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示．②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图像越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合．⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像．(2)“五点法”在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起关键作用的点有以下五个：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．事实上，找出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就可以得到函数的简图．这种方法称为“五点法”．【预习评价】1．函数y ＝sin x 在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．答案[π2，3π2]12．利用五点法作函数y ＝A sin x (A ＞0)的图像时，选取的五个关键点是什么？提示依次是(0,0)，(π2，A )，(π，0)，(3π2，－A )，(2π，0)．题型一“五点法”作函数的图像【例1】利用“五点法”作出y ＝－1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图．解按五个关键点列表：x0π2π3π22πsin x010－10－1＋sin x －10－1－2－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示)．规律方法“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图像的最高点、最低点及图像与x 轴的交点等五个关键点，由这五个点大致确定图像的位置和形状．【训练1】(1)作出函数y ＝2sin x (0≤x ≤2π)的图像．(2)用“五点法”画出函数y ＝sin 2x (0≤x ≤π)的图像．解(1)列表：x0π2π3π22πsin x010－102sin x020－20描点作图：(2)列表：x0π4π23π4π2x 0π2π3π22πsin 2x 010－10描点得y ＝sin 2x (0≤x ≤π)的简图，如图：方向1解不等式【例2－1】利用y ＝sin x 的图像，在[0,2π]内求满足sin x ≥－12的x 的范围．解列表：x0π2π3π22πsin x 010－10描点，连线如图，同时作出直线y ＝－12的图像．由图像可得sin x ≥－12的范围0，7π6∪11π6，2π.方向2判断方程解的个数【例2－2】(1)方程|sin x |＝12的根中，在[0,2]内的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析如图所示，在区间[0，π]内|sin x |＝12的两个根为π6和5π6，又因为2＜5π6，所以在区间[0,2]内|sinx |＝12只有一个根π6.答案A(2)求方程lg x ＝sin x 的实数解的个数．解作出y ＝lg x ，y ＝sin x 在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根．方向3求参数的取值范围【例2－3】函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求实数k 的取值范围．解y 3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π＜x ≤2π.作出图像分析(右图)，∵f (x )图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同交点．∴1＜k ＜3.故实数k 的取值范围是(1,3)．规律方法 1.三角函数的图像是研究函数的重要工具，通过图像可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．2．一般地，函数y ＝|f (x )|的图像可将函数y ＝f (x )的图像作如下变换得到：在x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，x 轴上方的部分保持不变.课堂达标1．函数y ＝sin x (x ∈R )图像的一条对称轴是()A．x 轴B．y 轴C．直线y ＝xD．直线x ＝π2答案D2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点()A．(π6，12)B．(π2，1)C．(π，0)D．(2π，0)解析易知(π6，12)不是关键点．答案A 3．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．解析画出y ＝sin x 的图像（图像略）可得．答案[π4，3π4]4．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝－12的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝________.解析如图所示，x 1＋x 2＝2×3π2＝3π.答案3π5．在[0,2π]内，用五点法作出函数y ＝2sin x －1的图像．解(1)列表：x 0π2π3π22πsin x 010－102sin x －1－11－1－3－1(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，(π2，1)，(π，－1)，(3π2，－3)，(2π，－1)．(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0,2π]的简图，如图所示．课堂小结1．“五点法”是我们画y ＝sin x 图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x 轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.基础过关1．函数y ＝－sin x ，x ∈－π2，3π2的简图是()答案D2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图像()A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y 轴对称D．形状不同，位置不同解析根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图像只是位置不同，形状相同．答案B3．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝2的交点的个数是()A．0B．1C．2D．3解析由1＋sin x ＝2，得sin x ＝1，∵x ∈[0,2π]，只有当x ＝π2时，sin x ＝1.答案B4．函数y ＝sin x ，x ∈－π2，π2的图像与函数y ＝x 的图像交点个数是________．解析在同一坐标系内画出图像．答案15．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析所描五个点为(0,0)，(π2，1)，(π，0)，3π2，－10＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案5π6．用五点法作函数y ＝2＋12sin x ，x ∈[0,2π]的图像．解列表如下：x0π2π3π22πsin x010－102＋12sin x 2522322描点作图，如图所示：7．求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．解由题意，x sin x >0，16－x 2≥0，－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．能力提升8．方程sin x ＝x 10的根的个数是()A．7B．8C．9D．10解析在同一坐标系内画出y ＝x 10和y ＝sin x 的图像如图所示：根据图像可知方程有7个根．答案A9．已知函数y ＝2sin x π2≤x ≤5π2的图像与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为()A．4B．8C．4πD．2π解析数形结合，如图所示．y ＝2sin x ，x ∈π2，5π2y ＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x ＝π2，x ＝5π2，y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝5π2－π2×2＝4π.答案C10．函数y ＝log 12sin x 的定义域是__________________．解析由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图像知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z .答案(2k π，2k π＋π)，k ∈Z11．如果直线y ＝a 与函数y ＝sin x ，x ∈0，32π的图像有且只有一个交点，则a 的取值范围是________．答案[－1,0)∪{1}12．函数f (x )＝2sin x ＋|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝m ＋1有且仅有两个交点，求m 的范围．解∵f (x )＝2sin x ＋|sin x |3sin x ，x ∈[0，π]，sin x ，x ∈[π，2π].作出图像分析，由有且仅有两个交点，可得0＜m＋1＜3或－1＜m＋1＜0，即－1＜m＜2或－2＜m＜－1，即m的范围为{m|－2＜m＜2且m≠－1}．13．(选做题)判断方程x2－sin x＝0的根的个数．解设f(x)＝x2，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图像有两个交点，即方程x2－sin x＝0有两个根.。

明目标、知重点 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝π|ω|.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝A ＋k ，y min ＝－A ＋k . (2)A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min2.(3)ω可由ω＝2πT确定，其中周期T 可观察图像获得．(4)由ωx 1＋φ＝0，ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．[情境导学] 生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，“昼夜交替四季轮回”，“潮涨潮落、云卷云舒”，“情绪的起起落落”，“庭前的花开花谢”，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻画周期变化数量的典型函数模型，这节课我们就来通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用．探究点一 利用基本三角函数的图像研究其他函数思考 怎样作出函数y ＝|sin x |的图像，并根据图像判断其周期和单调区间？答 函数y ＝sin x 位于x 轴上方的图像不动，位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |的图像，如下图所示：根据图像可知，函数y ＝|sin x |的周期是π，函数在区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z 上递增；在区间⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π， k ∈Z 上递减．小结 一些函数图像可以通过基本三角函数图像翻折得到．例如：(1)由函数y ＝f (x )的图像要得到y ＝|f (x )|的图像，只需将y ＝f (x )的图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图像保持不动，即“上不动，下翻上”．(2)由函数y ＝f (x )的图像要得到y ＝f (|x |)的图像，应保留y ＝f (x )位于y 轴右侧的图像，去掉y 轴左侧的图像，再由y 轴右侧的图像翻折得到y 轴左侧的图像，即“右不动，右翻左”．例1 (1)作出函数y ＝|cos x |的图像，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间； (2)作出函数y ＝sin|x |的图像并判断其周期性． 解 (1)y ＝|cos x |图像如图所示．由图像可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数； 单调递增区间为[－π2＋k π，k π]，k ∈Z ，单调递减区间为[k π，π2＋k π]，k ∈Z .(2)∵sin(－x )＝－sin x ，∴y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)，－sin x (x <0).∴其图像如图．由图像可知，函数y ＝sin|x |不是周期函数．反思与感悟 结合三角函数图像的特点，一般地有以下结论：(1)y ＝|sin x |的周期是π；(2)y ＝|cos x |的周期是π；(3)y ＝|tan x |的周期是π；(4)y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(A ，ω≠0)的周期是π|ω|；(5)y＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ，ω，k ≠0)的周期是2π|ω|.跟踪训练1 求下列函数的周期： (1)y ＝|sin 2x |；(2)y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6＋13；(3)y ＝|tan 2x |.解 (1)T ＝π2；(2)T ＝2π12＝4π；(3)T ＝π2.探究点二 三角函数模型在生活中的应用思考1 数学模型是什么，建立数学模型的方法是什么？答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．建立数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法． 思考2 上述的数学模型是怎样建立的？ 答 解决问题的一般程序是：1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系； 2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； 3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答． 思考3 怎样处理搜集到的数据？答 画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型． 小结 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．例2 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)由图可知：这段时间的最大温差是20℃；(2)从图可以看出：6～14是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像， ∴T2＝14－6＝8，∴T ＝16. ∵T ＝2πω，∴ω＝π8.又∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＝30－102＝10，b ＝30＋102＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝10，b ＝20. ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ＋20.将点(6,10)代入得：sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1， ∴3π4＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋3π4，k ∈Z ，取φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20 (6≤x ≤14)．反思与感悟 (1)本例中所给出的一段图像实际上只取6～14即可，这恰好是半个周期，提醒学生注意抓关键．本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往容易被忽略掉．(2)如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．跟踪训练2 下图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2在同一周期内的图像．(1)据图像写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解 (1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150， ∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π. 由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π， 故最小正整数为ω＝629.例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)(2)观察图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．解 (1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适． 令A >0，ω>0，|φ|<π.由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin(π6t ＋φ)＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为 y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )，注意到t ∈[0,24]，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．反思与感悟 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题．在求解具体问题时需弄清A ，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图像)之间的相互转化． 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤： (1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 跟踪训练3 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：＋B 的图像．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13， ∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为 y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7， 即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．1．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根答案 C2.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d ，则函数d＝f(l)的图像大致是()答案C解析d＝f(l)＝2sinl2.3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos⎝⎛⎭⎫gl t＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm.答案g4π2解析T＝2πgl＝1，∴gl＝2π，∴l＝g4π2.4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为2π30t＝π15t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin π15t＋12(t≥0)．(2)由10sinπ15t＋12≥17，得sinπ15t≥12，则52≤t≤252.故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.[呈重点、现规律]1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．一、基础过关1．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( ) A ．[0,1] B ．[1,7] C ．[7,12] D ．[0,1]和[7,12]答案 D解析 ∵T ＝12，∴ω＝2π12＝π6，从而设y 关于t 的函数为y ＝sin(π6t ＋φ)．又∵t ＝0时，y ＝32，∴可取φ＝π3，∴y ＝sin(π6t ＋π3)， ∴当2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z )时，函数递增． ∵0≤t ≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N ＋) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋) 答案 A3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或3答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图像的对称轴． 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝±3. 4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20] 答案 C解析 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 答案 26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28.6．函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在[0，πn ]上的面积为2n (n ∈N ＋)，则(1)函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为________；(2)函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为________．答案 (1)43 (2)π＋23解析 (1)取n ＝3，由已知，函数y ＝sin 3x 在[0，π3]上的面积为23.∵函数y ＝sin 3x 的周期为2π3，∴函数y ＝sin 3x 在(π3，2π3)上的面积也是23，∴函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为43.(2)y ＝sin(3x －π)＋1＝－sin 3x ＋1，作这个函数在区间[π3，4π3]上的图像如图所示：由(1)知S 1＝S 2＝S 3＝23，直线x ＝π3，x ＝4π3，y ＝1及x 轴所围成的矩形面积为π.将S 2割下补在S 3处，则图中阴影部分的面积为π＋23，∴函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为π＋23.7.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解 (1)最大用电量为50万kW·h ， 最小用电量为30万kW·h.(2)观察图像可知从8～14时的图像是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6. ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]． 二、能力提升8．已知A 1，A 2，…，A n 为凸多边形的内角，且lg sin A 1＋lg sin A 2＋…＋lg sin A n ＝0，则这个多边形是( )A ．正六边形B ．梯形C ．矩形D ．含锐角菱形答案 C解析 由题意，得sin A 1·sin A 2·…·sin A n ＝1，∴sin A 1＝sin A 2＝…＝sin A n ＝1，∴A 1＝A 2＝…＝A n ＝90°. 根据多边形的内角和得n ×90°＝(n －2)×180°， 解得n ＝4.9．已知某种交流电电流I (安培)随时间t (秒)的变化规律可以用函数I ＝52sin ⎝⎛⎭⎫100πt －π2表示，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电电流在0.5秒内往复运行________次． 答案 25 解析 周期T ＝2π100π＝150(秒)，从而频率为每秒50次，0.5秒往复运行25次． 10．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图像如图所示，则t ＝7120秒时的电流强度为________安培．答案 0解析 根据图像得A ＝10，∵⎩⎨⎧1300ω＋φ＝π2，4300ω＋φ＝32π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝100π，φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6. 当t ＝7120秒时，I ＝10sin 6π＝0.11．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60]． 答案 10sinπt 60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.12.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角． OP 每秒钟内所转过的角为 5×2π60＝π6. 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动， 得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2. (2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6， 得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 三、探究与拓展13．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解 (1)由表中数据知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。

章末复习课网络构建核心归纳1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．3．三角函数的图像与性质4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点一 任意角的三角函数的定义有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．【例1】已知cos θ＝m，|m|≤1，求sin θ，tan θ的值．解(1)当m＝0时，θ＝2kπ±π2，k∈Z；当θ＝2kπ＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2kπ－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.(3)当θ在第一、二象限时，sin θ＝1－m2，tan θ＝1－m2 m.(4)当θ在第三、四象限时，sin θ＝－1－m2，tan θ＝－1－m2 m.【训练1】已知角θ的终边经过点P(－3，m) (m≠0)且sin θ＝24m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．解由题意，得r＝3＋m2，所以sin θ＝m3＋m2＝24m.因为m≠0，所以m＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153； 当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.要点二 诱导公式的应用(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”． (2)对于π2±α记忆为“函数名改变，符号看象限”． 注意：①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化． ②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号． ③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．【例2】 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若 f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________． 解析 (1)1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0，故原式＝sin θ－cos θ.(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案 (1)A (2)1【训练2】 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．解 (1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α ＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54. 要点三 三角函数的图像及变换1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π，2π.2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．【例3】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．。

7.3正切函数的诱导公式内容要求1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式π2±α，π±α数的诱导公式(难点)．知识点1正切函数的诱导公式函数角y ＝tan x 记忆口诀k π＋αtan α函数名不变，符号看象限2π＋αtan α－α－tan απ－α－tan απ＋αtan απ2＋α－cot α函数名改变，符号看象限π2－αcot α【预习评价】1．下列诱导公式中错误的是()A．tan(π－α)＝－tan αB．cos π2＋α＝sin αC．sin(π＋α)＝－sin αD．cos(π－α)＝－cos α答案B2．tan 3π2＋α)A．－cot αB．cot αC．tan αD．－tan α答案A题型一三角函数间关系的应用【例1】已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3，y )，且tan α＝－43.(1)求sin α＋cos α的值；(2)求sinπ－α＋2cosπ＋αsin 3π2－α－cos 3π2＋α的值．解(1)因为tan α＝y 3＝－43，所以y ＝－4，则r ＝5.∴sin α＝－45，cos α＝35，则sin α＋cos α＝－15.(2)原式＝sin α－2cos α－cos α－sin α＝tan α－2－1－tan α＝－43－2－1＋43＝－10313＝－10.规律方法三角函数之间关系的应用利用三个三角函数之间的关系：tan α＝sin αcos α进行弦切互化：正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．【训练1】已知α为第二象限角，且tan α－1tan α＝154，求sin π2＋α－sinπ＋αsin π2－α－sinπ－α的值．解由tan α－1tan α＝154，得4tan 2α－15tan α－4＝0，得tan α＝－14或tan α＝4.又α为第二象限的角，所以tan α＝－14.故sin π2＋α－sinπ＋αsin π2－α－sinπ－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝35.题型二利用诱导公式求值【例2】求以下各式的值：(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；(2)tan 225°＋tan 750°tan －30°－tan －45°.解(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan180°＋45°＋tan 2×360°＋30°－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.规律方法(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．【训练2】(1)tan 476π＋tan －316π)A．－33B．0C.233D．－233(2)若f (x )＝tan x ，则f (600°)的值为()A.33B．－33C.3D．－3解析(1)tan 476π＋tan－31π6＝tan7π＋56π＋tan －5π－π6＝tan 5π6－tanπ6＝－33－33＝－233，故选D.(2)f (600°)＝tan 600°＝tan(720°－120°)＝tan(－120°)＝ 3.答案(1)D(2)C方向1化简【例3－1】(1)化简：tan 540°－αtan α－270°tan α＋180°tan α－180°tan 810°＋αtan －α－360°；(2)若a ＝cos α＋πsin 23π＋αtan 4π＋αtanπ＋αcos 3－α－π，求a 2＋a ＋1的值．解(1)tan 540°－αtan α－270°tan α＋180°tan α－180°tan 810°＋αtan －α－360°＝tan －αtan α－90°tan αtan αtan 90°＋αtan－α＝－tan α－cot αtan αtan α－cot α－tan α＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1(2)a ＝cos α＋πsin 23π＋αtan4π＋αtanπ＋αcos 3－α－π＝－cos αsin 2αtan α·tan α－cos 3α＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α·－cos 3α＝－cos 3αsin 2αsin 2α－cos 3α＝1，∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.方向2证明【例3－2】tan2π－αcos 3π2－αcos 6π－αsin α＋3π2cos α＋3π2＝－tan α.证明左边＝tan －α·－sin α·cos －αsin 2π－π2－α·cos 2π－π2－α＝－sin α·－sin αsin －π2－αcos －π2－α＝sin 2α－sin π2－αcos π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝sin α－cos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．方向3化简并求值【例3－3】已知α是第三象限角，且f (α)＝sin －α－πcos 5π－αtan 2π－αcos π2－α－α－π.(1)化简f (α);(2)若tan(π－α)＝－2，求f (α)的值;(3)若α＝－120°，求f (α)的值．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解(1)f (α)＝sin －α－πcos 5π－αtan 2π－αcos π2－α－α－π＝sin α－cos α－tan αsin α－tan α＝－cos α.(2)因为tan(π－α)＝－2，所以tan α＝2.所以sin α＝2cos α，所以(2cos α)2＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15.因为α是第三象限角，所以cos α＝－55，所以f (α)＝55.(3)因为cos(－120°)＝cos 120°＝－cos 60°＝－12，所以f (α)＝－cos α＝12.规律方法1.三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．2．三角恒等式的证明策略在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法．课堂达标1．tan 300°＋sin 450°的值为()A．1＋3B．1－3C．－1－3D．－1＋3解析tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3.答案B2．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是()A．α为锐角B．α为不等于π2的任意角C．α为任意角D．α≠k π＋π2(k ∈Z )解析由正切函数的定义可知α≠k π＋π2(k ∈Z )．答案D3．已知tan π4＋α＝32，则tan 3π4－α解析3π4－α＝tan π－π4＋α＝tan －π4＋α＝－tan π4＋α＝－32.答案－324．tan π5＋tan 2π5＋tan 3π5＋tan 4π5的值为________．解析原式＝tan π5＋tan 2π5＋tanπ－2π5＋tan π－π5＝tan π5＋tan 2π5－tan 2π5－tan π5＝0.答案5．已知角α的终边经过点P (4，－3)，(1)求sin α，cos α，tan α的值;(2)求sin π2－αsinπ＋α·tanπ－αcos α＋π的值．解(1)因为r ＝42＋－32＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.(2)sin π2－αsinπ＋α·tanπ－αcos α＋π＝cos α－sin α·－tan α－cos α＝－tan αsin α＝－－34－35＝－54.课堂小结(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k ·π2±α中，如果k 为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k ·π2±α所在的象限．(2)在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．特别提醒应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.基础过关1．tan 31π3的值为()A.33B．－33C.3D．－3解析tan 31π3＝tan10π＋π3＝tan π3＝ 3.答案C2．已知角α终边上有一点P (5n,4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是()A．－45B．－35C．±35D．±45解析∵角α终边上有一点P (5n,4n )，∴tan α＝45，tan(180°－α)＝－tan α＝－45.答案A3．已知tan(－80°)＝k ，那么tan 100°的值是()A．－kB．kC.k1－k2D.－k 1－k2解析tan(－80°)＝－tan 80°＝k ，则tan 80°＝－k .tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k .答案B4．函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋2，且f (－3)＝5，则f (3)等于________．解析∵f (－3)＝a sin(－6)＋b tan(－3)＋2＝5，∴－a sin 6－b tan 3＝3，即a sin 6＋b tan 3＝－3.∴f (3)＝a sin 6＋b tan 3＋2＝－3＋2＝－1.答案－15．已知tan 2π3－α＝33，则tan 4π3＋α解析4π3＋α＝tan 2π－2π3－α＝－tan 2π3－α＝－33.答案－336．求下列各式的值：(1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1200°)tan 19π6－cos 585°tan－37π4解(1)原式＝sin π4cos2π＋7π6tan 5π＋π4＝22cos 7π6tan π4＝22cosπ＋π6＝22－cosπ6＝－22×32＝－64.(2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan 3π＋π6－cos(360°＋225°)－tan37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan9π＋π4＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4＝－sin 60°－22＝－3＋22.7．已知角α的终边与单位圆交于点32，－12试求sin 2π－αtanπ＋αtan π2＋αtan －αtan π2－α－αtan3π－α的值．解原式＝－sin α·tan α·－cot α·－tan αcot α·－cos α·－tan α＝－sin α·tan αcos α＝－tan 2α.∵角α的终边与单位圆交于点32，－12，∴tan α＝－33.∴原式＝－13.能力提升8．已知tan(π－α)＝－12，则cos π2＋α＋cos α2cos α－sin α的值是()A.15 B.13C.35D．1解析由tan(π－α)＝－12得tan α＝12.∴cos π2＋α＋cos α2cos α－sin α＝－sin α＋cos α2cos α－sin α＝－tan α＋12－tan α＝13.答案B9．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为()A．1B．－1C．2D．－2解析原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)＝cot(63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]＝－1.答案B10．已知tan(π－x )＝13，则tan(x －3π)＝________.解析由tan(π－x )＝13，知tan x ＝－13，故tan(x －3π)＝－tan(3π－x )＝－tan(π－x )＝tan x ＝－13.答案－1311．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.解析由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z .∴tan β＝tan(2k π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.答案－212．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin－α－32πcos 32π－αcos π2－αsin π2＋α·tan 2(π－α)的值．解方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin －α－32πcos 32π－αcos π2－αsin π2＋α·tan 2(π－α)＝sin π2－α·cos π2＋αsin α·cos α·tan 2α＝cos α·－sin αsin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.13．(选做题)设tan α＋8π7a ，求sin 15π7＋α＋3cos α－13π7sin 20π7－α－cos α＋22π7的值．解原式＝sin π＋α＋8π7＋3cos －3π＋α＋8π7sin 4π－α＋8π7－cos 2π＋α＋8π7＝－sin α＋8π7－3cos α＋8π7－sin α＋8π7－cos α＋8π7＝tan α＋8π7＋3tan α＋8π7＋1＝a ＋3a ＋1.。

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§3弧度制学习目标 1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数（重点)。

2。

掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题（难点)．知识点1 弧度制（1)角度制与弧度制的定义角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定1度的角等于周角的错误!弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制（2如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝错误!.【预习评价】（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位（√）(2)1°的角是周角的错误!,1 rad的角是周角的错误!（√)(3）1°的角比1 rad的角要大（×）(4）1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关（×）知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝错误!rad≈0。