长春市高一上学期期末数学试卷(I)卷

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

贵阳2024级高一年级教学质量监测卷（一）数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷第1页至第3页，第II 卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一､单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A.B.C. D.2.命题，则的否定是（ ）A.B.C.D.3.下列四组函数中，是同一个函数的是（ ）A. B.C.D.4.已知函数，则（）A.3B. C. D.95.已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（）A.为偶函数B.为奇函数C.为单调递增函数D.为单调递减函数6.已知集合，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件{}{15},1,0,1,2A x x B =∈-<<=-N∣A B ⋂={}1,2{}1,0,1,2,3,4-{}0,1,2{}1,0,1,2-[]2:"0,2,11"p x x ∀∈+…p []20,2,11x x ∀∉+<[]20,2,11x x ∀∈+<[]20,2,11x x ∃∉+<[]20,2,11x x ∃∈+<()()21,1x f x x g x x=-=-()()24,f x x g x ==()(),f x x g x ==()()2,f x x g x ==()221461f x x x +=+-()3f -=3-1-()y f x =(()f x ()f x ()f x ()f x {}{}220,2,210A B xx ax a ==++-=∣{}2A B ⋂=1a =-C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.8.已知函数，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列不等式中取等条件无法满足的是（）B.D.10.已知不等式的解集为，函数，则下列说法正确的是（）A.函数的图象开口向上B.函数的图象开口朝下C.无论为何值，必有D.不等式的解集为或11.已知定义在上的函数，对任意实数满足，均有.函数在的最大值和最小值分别为，.则下列说法正确的是（ ）A.必为奇函数B.可能为偶函数C.不一定为定值，且与的单调性有关D.为定值，且定值为6()f x R [)0,∞+()()12f m f m -<m 1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭()f x =[)0,∞+a []0,1(]0,1{}1[)1,∞+2221222x x +++≧21222x x +++…20ax bx c ++<{23}xx -<<∣()2f x ax bx c =++()f x ()f x ,,a b c a c b +<20cx bx a ++<12x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭R ()y f x =,,a b c 222a b c +=()()()0f a f b f c ++=()()23g x f x x =++[]2,2x ∈-M m ()f x ()f x M m +()f x M m +第II 卷（非选择题，共92分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合，则__________.13.已知函数的定义域为，则的定义域为__________.14.已知函数，若，则__________，的取值范围为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知集合.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.16.（本小题满分15分）已知定义在上的奇函数满足，当时，.（1）求在上的解析式；（2）若，求的取值范围.17.（本小题满分15分）已知正实数满足：.（1）求的最小值；（2）求的最小值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）若，使得，求的取值范围；（2）若，都有恒成立，求的取值范围；（3）当时，，满足，求的取值范围.19.（本小题满分17分）对于数集，定义点集，若对任意，都{210},{23}A xx B x x =+<=-<<∣∣()A B ⋂=R ð()21f x +[)5,3-()3f x +()(){}()(){}21,0,0f x x ax b x A x f x B x f f x =+++=∈==∈=R R ∣∣A B =≠∅b =a {}{}2{27},21,320A xx B x m x m C x x x =<<=+=-+<∣∣∣……B C C ⋂=m A B A ⋃=m R ()f x [)0,x ∞∈+()22f x x x =+()f x R ()()121f m f m +<-m ,a b ab a b =+2a b +222a b a b++()()()210,2f x mx m g x x x k =+≠=++x ∃∈R ()0g x …k []1,2x ∀∈-()0f x >m 3k =[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈-()()12f x g x …m {}()123,,,,2n A a a a a n = …(){},,B x y x A y A =∈∈∣()11,x y B ∈存在使得，则称数集是“正交数集”.（1）判断以下三个数集是否是“正交数集”（不需要说明判断理由，直接给出判断结果即可）；（2）若，且是“正交数集”，求的值；（3）若“正交数集”满足：，，求的值.高一数学参考答案第I 卷（选择题，共58分）()22,x y B ∈12120x x y y ⋅+⋅=A {}{}{}1,11,2,31,1,4---､､4a >{}2,2,4,a -a {}1232024,,,,A a a a a = 12320243,0a a a a =-<<<< 20241012a =2a一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CDCACDDA【解析】1.由已知集合，所以，故选C.2.改变量词，否定结论，所以命题的否定为，故选D.3.对于A 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；对于B 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；对于C 选项，的定义域为的定义域为，且，对应关系相同，故是同一个函数；对于D 选项，的定义域为的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数，故选C.4.令，解得，故，故选A.5.由幂函数的图象过点，解得，故幂函数为函数，且为增函数，故选C.6.由已知，若，则有或，解得或，当时，满足，当时，不满足，所以是的既不充分也不必要条件，故选D.7.由已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减得函数在上单调递增，若要有则需，即，解得或，故选D.8.若函数，则内函数有定义，故内函数大于或等于0.当时，函数其定义域为，值域为符合题意；当时，内函数开口向上，若要满足题意则需，解得；当时，内函数开口向下，不可能符合题意，综上所述：，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是{}{}0,1,2,3,4,1,0,1,2A B ==-{}0,1,2A B ⋂=[]2:0,2,11p x x ∀∈+…[]20,2,11x x ∃∈+<()f x (),g x R {}0xX ≠∣()f x (),g x R [)0,∞+()f x (),g x R R ()g x x ==()f x (),g x R [)0,∞+213x +=-2x =-()()234(2)6213f -=⨯-+⨯--=y x α=(2α=12α=y =()(){}1,1B a a =-+--{}2A B ⋂=()12a -+=()12a --=3a =-1a =-3a =-{}2,4B ={}2A B ⋂=1a =-{}0,2B ={}2A B ⋂={}2A B ⋂=1a =-()f x R [)0,∞+()f x (),0∞-()()12f m f m -<12m m ->22(12)m m ->13m <1m >()f x =[)0,∞+221ax x ++0a =()f x =1,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭[)0,∞+0a >221ax x ++Δ440a =-…01a <…0a <221ax x ++[]0,1a ∈符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABDACDABD【解析】9.对于A无实数解；对于B 选项，不等式取等条件为，即，即，无实数解；对于C 选项，不等式取等条件为；对于D 选项，不等式取等条件为，即，即或，无实数解，综上，故选ABD.10.由不等式的解集为，则可知一元二次方程的两根为和3，且二次函数开口向上，，故A 正确，B 错误；当时有，即，故C 正确；由韦达定理得，故，函数的开口向上，对于方程，若是方程的根则有，等式两边同时除以，则有，故是方程的根，故的根为与，则不等式的解集为或，故选ACD.11.令，满足，则有，则；令，满足，则有，即，且定义域为关于原点对称，故函数为奇函数；若，则符合题意且为偶函数；因为与为奇函数，故也为奇函数，设其在的最大值与最小值分别为与，由奇函数的性质，对于函数，其最大值与最小值分别为，故，D 正确，故选ABD.第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）=231x +=22122x x +=+()2221x +=()221x +=±=1x =122x x +=+2(2)1x +=21x +=21x +=-20ax bx c ++<{23}xx -<<∣20ax bx c ++=2-2y ax bx c =++0a >1x =-0a b c -+<a c b +<2360ca=-⨯=-<0c <2y cx bx a =++20ax bx c ++=0x 2000ax bx c ++=20x 200110c b a x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭01x 20cx bx a ++=20cx bx a ++=12-1320cx bx a ++<12x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭0a b c ===222a b c +=()()()0000f f f ++=()00f =,0,a x b c x =-==222a b c +=()()()00f x f f x -++=()()f x f x -=-R ()f x ()0f x =()f x ()f x 2x ()2f x x +[]2,2-0M 0m 000M m +=()()23g x f x x =++003,3M M m m =+=+6M m +=题号121314答案【解析】12.由已知得，则，则.13.已知的定义域为，则的定义域为，故，即，故的定义域为.14.由已知是由函数的所有实数零点构成的集合，，令，是由所有满足且的所有实数构成的集合.若，当满足且因为，则有，即，解得；当时，，此时，符合题意；当时，有，于是，若要使得，只需方程无实数根，故有，解得.综上，的取值范围为.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）易得，，于是有，解得，故当时，.（2），则，①当时，有，解得，符合题意；132x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭…[)12,4-[)0,0,41,{23}2A x x B xx ⎧⎫=<-=-<<⎨⎬⎩⎭∣R 12A x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭…ð()R 132A B x x ⎧⎫⋂=-<⎨⎬⎩⎭…ð()21f x +[)5,3-()f x [)9,7-937x -+<…124x -<…()3f x +[)12,4-()(){}21,0f x x ax b x A x f x =++-=∈=R∣()f x ()(){}0B x f f x =∈=R ∣()t f x =()0f t =()t f x =A B =1x A ∈()10f x =1x B ∈()()10f f x =()00f =0b =0a =()()()24,f x x f f x x =={}0A B ==0a ≠()()()()()()()22220,f x x ax x x a a f f x x ax a x ax=+=+≠=+++()()()()222x ax x ax a x x a x ax a =+++=+++{}0,A a =-A B =2x ax a ++2Δ40a a =-<04a <<a [)0,4{12}C xx =<<∣,B C C C B ⋂=∴⊆ 1212m m ⎧⎨+⎩ (1)12m ……1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B C C ⋂=A B A ⋃= B A ⊆B =∅21m m +<1m <-②当时，有，解得，综上所述，的取值范围为.16.（本小题满分15分）解：（1）令，则，又在上为奇函数，故有故在上的解析式为.（2）与在上单调递增，在上单调递增.又，故当时，.是奇函数，时，且单调递增，故为增函数，若要使得，只需，即，故的取值范围为.17.（本小题满分15分）解：（1）由可得，，当且仅当时等号成立，故的最小值为.（2）由已知得，当且仅当时等号成立，故的最小值为.B ≠∅212217m mm m +⎧⎪>⎨⎪+<⎩…23m <<m ()(),12,3∞--⋃0x <0x ->()f x R ()()()22()22,f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-=-+⎣⎦()f x R ()222,02,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-+<⎩…2x 2x [)0,∞+()f x ∴[)0,∞+()00f = [)0,x ∞∈+()0f x …()f x (),0x ∞∴∈-()0f x <()f x ()()121f m f m +<-121m m +<-2m >m ()2,∞+ab a b =+111a b+=()112221233a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++++=+ ⎪⎝⎭…1,a b ==2a b +3+2222222a b a b a b a b ab b a ++==+=+…1a b ==+222a b a b++18.（本小题满分17分）解：（1）若，有成立，只需，解得.（2）若对，都有恒成立，则，解得，综上所述，的取值范围为.（3）当时，，若对，满足，只需，有，当时，，故，有，则有，解得或，综上所述，的取值范围为.19.（本小题满分17分）解：（1）是正交数集，不是正交数集.（2）若，且是正交数集，则对于有序数对能使得其满足条件的有序数对只能为或.若为，则有，解得与矛盾，舍去；故只能是，于是有，解得，经检验符合题意.（3）先证：若集合为正交数集，则至少要有一对相反数，对于，且，有有序数对，故，使得，所以，故集合中至少有一对相反数.因为且是唯一负数，故，x ∃∈R ()0g x …Δ440k =-…1k …[]1,2x ∀∈-()0f x >()()1020f f ⎧->⎪⎨>⎪⎩112m -<<m ()1,00,12⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭3k =()223g x x x =++[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈-()()12f x g x …[]11,2x ∀∈()()12max f x g x <[]21,2x ∈-()max ()211g x g ==[]11,2x ∀∈()111f x <()()111211f f ⎧⎪⎨⎪⎩……0m <05m <…m ()(],00,5∞-⋃13,B B 2B 4a >{}2,2,4,a -()4,a 12120x x y y +=()2,2-()4,2-()2,2-820a -=4a =4a >()4,2-1620a -=8a =8a =A 0a ∀≠a A ∈(),a a B ∈()11,x y B ∃∈110x a y a +=110x y +=A 13a =-3A ∈下证3为最小正数：反证法：若3不为最小正数，则，对于有序数对是最大正数，则与之相匹配的有序数对设为，故有，即，与是最大正数相矛盾，故3为最小正数，综上所述，.23a <()220242024,,a a a ()(),30x x ->2101230a x -⨯=231012a x =⨯23,1012a x <∴> 2024a 23a =。

吉吉吉吉吉吉2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟；总分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合A ={x|−1<x <3}，B ={x|x >1}，则A ∩B =( )A. (−1,+∞)B. (1,3)C. (−1,1)D. (1,+∞)2. 已知全集U =R ，集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|x 2=4}，则如图中阴影部分所表示的集合为( )A. {−2,−1,0,1}B. {−1,0}C. {0}D. {−1,0,1}3. 设f(x)={2x,x >0f(x +2),x ≤0，则f (−2022)的值是( )A. 4B. 2C. 0D. −4044 4. 命题“∀x ∈R,x −|x|⩾0”的否定是( )A. ∃x ∈R,x −|x|<0B. ∀x ∈R,x −|x|⩽0C. ∃x ∈R,x −|x|⩾0D. ∀x ∈R,x −|x|<05. 设M =2a(a −2)+7，N =(a −2)(a −3)，则M 与N 的大小关系是( )A. M >NB. M =NC. M <ND. 无法确定6. f(2x −1)的定义域为[0,1)，则f(1−3x)的定义域为( )A. (−2,4]B. (−2,12]C. (0,23]D. (0,16] 7. 已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的条件．( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要 8. 函数f(x)=n |x|−m 的图象如图，则f(x)⩽m −2n 的解集为( ) A. (−∞,−2) B. (1,32) C. (−12,12) D. (−1,1)二、多选题（本大题共4小题，共20分。

长春市十一高中2009—2010学年度高三上学期期末考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数z=i a a )1(++(R a ∈)是纯虚数，则2010z的值为 （ ）A . 1-B . 1C . i -D . i2.下列命题错误．．的是 （ ） A ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=无实根，则0m ≤”B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．命题“若0xy =则,x y 中至少有一个为零”的否定是“若0xy ≠，则,x y 都不为零”D ．对于命题:p R x ∃∈，使得210x x ++<；则p ⌝是:R x ∀∈，均有210x x ++≥3.右图是根据某校10位高一同学的身高（单位：cm ）画 出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的 百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字， 从图中可以得到这10位同学身高的中位数是 （ ）A. 161cmB. 162cmC. 163cmD. 164cm4.已知离心率为e 的双曲线22217-=x y a ，其右焦点与抛物线216=y x 的焦点重合，则e 的值为 （ ）A ．34 BC ．43 D5．在等差数列}{n a 中，,9641272=++a a a 则1532a a +的值是 （ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 无法确定6．已知直线(1)l y k x =-：221x y +=相切，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．6π B.2π C.23π D.56π7.设函数()cos f x x =，把()f x 的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数'()y f x =- 的图象，则m 的值可以为 （ ）A ．4πB ．2π C ．34π D ．π15 5 5 7 8 16 1 3 3 5 17 1 28. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的 等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体 的体积是 （ ）AB ．12πC D9.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费 用为：不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的部分按0.85元/kg 收费.相应收费系统的流程图 如右图所示，则①处应填 （ ） A ．0.85y x =B ．500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯C ．0.53y x =D ．500.530.85y x =⨯+10．已知集合M ={1,2,3}，N ={1,2,3,4}，定义函数N M f →:.若点A (1,f (1))、B (2,)2(f )、C (3,)3(f )，ΔABC 的外接圆圆心为D ，且)(R ∈=+λλ,则满足条件的函数)(x f 有 （ ） A. 6个 B. 10个 C. 12个 D. 16个 11．一种代币的游戏其规则如下：每回持有最多代币者须分给其它每一位参与游戏者一枚代币，并放一枚代币于回收桶中， 当有一位游戏参与者没有代币时， 则游戏结束，假设A 、B 、C 三人玩此游戏，在游戏开始时分别持有15、14、13枚代币，游戏从开始到结束共进行了n 回 ，则n =（ ） A ．36 B ．37 C ．38 D ． 39 12．对任意的三个实数,,a b c ，其中b c ≠, 令(,,)aq a b c b c=-．则((1,2,3),(2,3,1),(3,1,2))q q q q 的值是 （ ）A ．12-B ．14-C ．0D ．14正视图 俯视图侧视图第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分 男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12．则抽取的男生人数是 ．14.已知n x )21(+的展开式中，所有项的系数之 和等于81，那么这个展开式中3x 的系数是__________.15．已知x 、y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥120y x x y ，则z =(x+3)2+y 2的最小值为 ．16．如图三同心圆, 其半径分别为3、2、1. 已知图中阴 影区域的面积是非阴影区域面积的813． 则两直线所夹锐角的弧度为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . 若2=a ，23=c ，求∠C 和ΔABC 的面积. 18．（本小题满分12分）甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩的分布列（Ⅰ）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率； （Ⅱ）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为ξ，求ξ的分布列和期望．体重50 55 60 65 70 75 频率组距0．0375 0．012519．（本小题满分12分）如图，在边长为12的正方形A 1 AA′A 1′中，点B 、C 在线段AA′上，且AB = 3，BC = 4，作BB 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点B 1、P ；作CC 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点C 1、Q ；将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得A′A 1′ 与AA 1重合，构成如图所示的三棱柱ABC —A 1B 1C 1，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， （Ⅰ）求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；（Ⅱ）求面APQ 将三棱柱ABC —A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比； （Ⅲ）求面PQA 与面ABC 所成的锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆222:1(1)+=>x C y a a的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆:M 226270+--+=x y x y 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0,⋅=AP AQ 求证：直 线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．21.（本小题满分12分）已知函数x x x f ln )(=，)(2283)(2x xf x x x g ++-=. （Ⅰ）求函数)(x g y =的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x g y =在[))(,Z m e m∈+∞上有零点，求m 的最大值；A 1B 1C 1A ′1A ′ ABC PQABCA 1B 1C 1QP选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4－1：几何证明选讲（本小题10分）内接于⊙O ，AB ⊥CD 于D ，E 在⊙O 上，AE 交CD 于G ，求证：AC 2=AG·AE ．23.选修4－4：坐标系与参数方程（本小题10分） 已知某条曲线C 的参数方程为212x ty at =+⎧⎨=⎩（其中t 是参数，a ∈R ），点M （5，4）在该曲线上（1）求常数a ；（2）求曲线C 的普通方程． 24.选修4-5不等式选讲（本小题10分）设函数f (x )= ｜2x +1｜-｜x -4｜. （1）解不等式f (x)＞2； （2）求函数y = f (x)的最小值．数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）1. A2. B3.B4.C5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.B 12.B 二、填空题（每小题4分，共20 分）13． 48 14． 32 15． 2 16． 7π 三、解答题（共6小题，共70分） 17．解：1cos ,0sin 3A A A π=<<∴=3,2,sin sin sin 220,24a c a c C A C c a C A C ππ===∴=<∴<<<∴=…………………………………5分 1sin sin()sin()sin cos cos sin ()444233A B C B A C A A A ππππ++=∴=+=+=+=+ =6232+∴421sin 21+==∆B ac S ABC 2()2cos sin 2cos 1f x x x x =-+ sin 2cos 2))4x x x π=-=- …………………………………10分18．解 （Ⅰ）记事件;C 甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件D ；甲命中2次10环，乙命中1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环为事件C D +122222222111517()()()336366162P C D C C C ∴+=⨯⨯⨯+⨯⨯= …………6分（Ⅱ）ξ的取值分别为16，17，18，19，20， …………………… 9分11111115(16),(17)33932331811111161(18),363233183111142111(19),(20)3632189361815121107161718192091839186P P P P P E ξξξξξξ==⨯===⨯+⨯===⨯+⨯+⨯====⨯+⨯====⨯=∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…12分19. 解（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5∵AC 2 = AB 2 + BC 2∴AB ⊥BC 又AB ⊥BB 1且BC ∩BB 1 = B∴AB ⊥面BCC 1B 1 ……………………4分 （Ⅱ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．∴S 四边形BCQP =()(37)42022BC BP CQ ⋅++⨯==∴V A —BCQP =13×20×3 = 20又∵V 111ABC A B C -=113412722ABC S AA ⋅=⨯⨯⨯= ．∴7220521320205V V -===上下． …………………… 8分 （Ⅲ）如图，建立空间直角坐标系 则A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)设面APQ 的法向量为m= (x ，y ，z) …………………… 9分330440x z y z -+=⎧⎨+=⎩⇒m = (1，–1，1) ……………………11分 而面ABC 的法向量可以取n= (0，0，1)∴cos ,m n ==……………………12分20.解：（Ⅰ）将圆M 的一般方程226270x y x y +--+=化为标准方程22(3)(1)3x y -+-=，圆M 的圆心为(3,1)M ,半径r =由(0,1)A,(,0)(F c c =得直线:1xAF y c+=,即0x cy c +-=,由直线AF 与圆M 相切,=,c =c =舍去).当c =, 2213a c =+=, 故椭圆C 的方程为22: 1.3x C y +=…………4分 （Ⅱ）(解法一)由0,AP AQ ⋅=知AP AQ ⊥,从而直线AP 与坐标轴不垂直,由(0,1)A 可设直线AP 的方程为1y kx =+，直线AQ 的方程为11(0)y x k k=-+≠将1y kx =+代入椭圆C 的方程2213x y +=并整理得: 22(13)60k x kx ++=, 解得0x =或2613k x k =-+,因此P 的坐标为22266(,1)1313k k k k --+++,即222613(,)1313k k k k --++将上式中的k 换成1k -,得Q 22263(,)33k k k k -++. 直线l 的方程为22222222231363313()6633313k k k k k k y x k k k k k k----++=-++++++化简得直线l 的方程为21412--=x k k y ， 因此直线l 过定点1(0,)2N -. ……………………12分 (解法二)1︒若直线l 存在斜率，则可设直线l 的方程为：(y kx m =+(0,1),A l ∉∴ )1m ≠，代入椭圆C 的方程2213x y +=并整理得: 222(13)63(1)0k x mkx m +++-=, 由l 与椭圆C 相交于11(,)P x kx m +、22(,)Q x kx m +两点，则,12x x 是上述关于x 的方程两个不相等的实数解，从而22222(6)4(13)3(1)12(31)0mk k m k m ∆=-+⨯-=+->212122263(1),1313mk m x x x x k k -+=-=++ 由0,AP AQ ⋅=得2212121212(1)(1)(1)(1)()(1)0x x kx m kx m k x x k m x x m ++-+-=++-++-=，222223(1)6(1)(1)()(1)01313m mk k k m m k k-+⋅+-⋅-+-=++ 整理得：2210,m m --= (21)(1)0,m m +-=由1m ≠知12m =-. 此时29(41)0k ∆=+>, 因此直线l 过定点1(0,)2N -.2︒若直线l 不存在斜率，则可设直线l 的方程为：x m =((0,1),A l ∉∴ )0m ≠，将x m =代入椭圆C 的方程2213x y +=并整理得: 2213m y =-, 当23m ≥时, 20y ≤,直线l 与椭圆C 不相交于两点，这与直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点产生矛盾!当203m <<时, 直线l 与椭圆C 相交于1(,)P m y 、2(,)Q m y 两点，12,y y 是关于y 的方程2213m y =-的两个不相等实数解，从而212120, 1.3m y y y y +==- 但22124(1)(1)03AP AQ m y y m ⋅=+--=> ,这与0AP AQ ⋅= 产生矛盾!因此直线l 过定点1(0,)2N -. ……………………12分（注：对直线l 不存在斜率的情形，可不做证明.） 21．解：（Ⅰ）由题知：)(x g 的定义域为（0,+∞）∵x x x x g 4)2)(23()(/--=∴函数)(x g 的单调递增区间为),2[32,0+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛和)(x g 的单调递减区间为]2,32[ ……………………6分(Ⅱ)∵)(x g 在x ∈),32[+∞上的最小值为)2(g且)2(g =0214ln 212ln 2ln 242832>-=-=++-⨯ ∴)(x g 在x ∈),32[+∞上没有零点，∴要想使函数)(x g 在),[+∞n e （n ∈Z ）上有零点，并考虑到)(x g 在⎥⎦⎤ ⎝⎛32,0单调递增且在]2,32[单调递减，故只须32<n e 且0)(≤n e f 即可， 易验证=++-⋅=>+⋅-⋅=-----2242121ln 22183)(,01283)(e ee e g e e e g0)2183(122<-⋅ee ，当n ≤-2且n ∈Z 时均有0)(<n e g ， 即函数)(x g 在))(,[],[1Z n e e e n n ∈+∞⊂-上有零点∴n 的最大值为-2. ……………………12分。