当前位置：文档之家 › 高中数学人教A必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

高中数学人教A必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

  • 格式：ppt
  • 大小：624.43 KB
  • 文档页数：22

下载文档原格式

  / 22

合集下载

2.4.2-平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-课件(人教A必修4)

2.4.2-平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-课件(人教A必修4)
第24页，共31页。
已知向量 a＝( 3，－1)和 b＝(1， 3)，若 a·c＝b·c，试求 模为 2的向量 c 的坐标．
[解] 法一：设 c＝(x，y)， 则 a·c＝( 3，－1)·(x，y)＝ 3x－y， b·c＝(1， 3)·(x，y)＝x＋ 3y， 由 a·c＝b·c 且|c|＝2，得x23＋x－y2＝y＝2，x＋ 3y，
如图，求 D 点及 AD的坐标．
[自主解答] 设 D(x，y)，
∴ AD＝(x－2，y＋1)，
又 BC ＝(－6，－3)， AD·BC ＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即 2x＋y＝3.
①
第21页，共31页。
又 BD与 BC 为共线向量， BD＝(x－3，y－2)，
BC ＝(－6，－3)，
第17页，共31页。
(2)cos∠OAB＝cos〈
AO
，
AB
〉＝ |
AO ·AB AO|| AB|.
其中 AO·AB＝－OA·AB ＝－(16,12)·(－21,3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.
故 cos∠OAB＝20×30105
＝ 2
22.
∴∠OAB＝45°.
第18页，共31页。
第25页，共31页。
解之得x＝ y＝
32＋1， 32－1，
或x＝－ y＝－
32＋1， 32－1，
所以 c＝( 32＋1， 32－1)或 c＝(－ 32＋1，－ 32－1)．
第26页，共31页。
法二：由于 a·b＝ 3×1＋(－1)× 3＝0，且|a|＝|b|＝2， 从而以 a，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于 a·c＝ b·c，所以 c 与 a，b 的夹角相等，从而 c 与正方形的对角线共线．此 外，由于|c|＝ 2，即其长度为正方形对角线长度( 2|b|＝2 2) 的一半， 故 c＝12(a＋b)＝( 32＋1， 32－1)或 c＝－12(a＋b)＝(－ 32＋1，－ 32－1)．

2021版高中数学人教A必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2021版高中数学人教A必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

-9-
M 2.4.2 平面向量数量积
的坐标表示、模、夹角
目标导航
UBIAODAOHANG
题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【例1】 已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b). 分析:先求出a·b,a2,b2,再对(3a-b)·(a-2b)展开求解;或先将3a-b,a2b的坐标求出,再进行运算.
题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【变式训练1】 已知向量a与b共线,b=(1,2),a·b=10,求a的坐标.
解:∵a与b共线, ∴设a=λb. ∵a·b=10,∴λb·b=λb2=10. ∵b=(1,2),∴b2=5,∴λ=2. ∴a=2b=2(1,2)=(2,4).
正解:∵a与b的夹角θ为锐角, ∴cos θ>0,且cos θ≠1,即a·b>0,且a与b方向不同,
答案:A 反思对非零向量a与b,设其夹角为θ,则θ为锐角⇔cos θ>0,且cos θ≠1⇔a·b>0,且a≠mb(m>0);θ为钝角⇔cos θ<0,且cos θ≠-1⇔a·b<0, 且a≠mb(m<0);θ为直角⇔cos θ=0⇔a·b=0.
-20-
M 2.4.2 平面向量数量积
的坐标表示、模、夹角
目标导航
UBIAODAOHANG
题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO

高一数学必修4课件 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

高一数学必修4课件 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
∴ΔABC是直角三角形
B A
O
x
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直 线是否垂直的重要方法之一。 如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角 线垂直等。
三、例题分析 例2、已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），试 判断ΔABC的形状，并给出证明。
变式：在RtABC中， AB (2, 3), AC (1, k ), 求k的值
3、向量的夹角
cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
二、基础知识讲解
ab cos a, b | a || b |
3、向量的夹角
cos
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x2 y2
2
2
随堂练习
夹角为 4
| a | x12 y12
ab cos a, b | a || b |
4、向量垂直的判定
3、向量的夹角
cos
x1 y1 x2 y2 x12 y12 x22 x1 y1 x2 y2 0
a b | a || b | cos
2、向量的模 | a | a a
a • b x1 x2 y1 y2 2 2 | a | x1 y1
特别的，若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
3、已知向量a (1, 1), 2a b ( 4, 2), 则a与b的 ;
三、例题分析
例1、已知AOB中，O为原点，A( 2, 2), B( , 1) 且ABO是钝角，求的取值范围 分析: ABO是钝角 BO BA 0且不共线

高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课件 新人教A版必修4

高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课件 新人教A版必修4
第一页，共21页。
自学导引
1．已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ _x_1_x_2＋__y_1_y_2_.由此可得：
①若 a＝(x，y)，则|a|2＝__x_2_＋__y_2 _，或|a|＝___x_2_＋__y_2. 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点为(x1，y1)，(x2，y2)， 那么 a＝(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_，|a|＝___x2_－__x_1__2＋___y_2_－__y1.2 ②设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔_x_1_x_2＋__y_1_y_2＝_. 0 2．设两个非零向量xa1＝x2＋(x1y，1yy21)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹 角，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝__x_21＋__y_21_·__x_22_＋__y_22.
(1)求使Z→A·Z→B取最小值时的O→Z； (2)对于①中求出的点 Z，求∠AZB 的余弦值．
第十七页，共21页。
解：
(1)设O→Z＝uO→P＝(2u，u)，则Z→A·Z→B＝(1－2u,7－u)(5－2u,1－
u)＝5u2－20u＋12，当 u＝－2－×250＝2 时，Z→A·Z→B取最小值，此时O→Z
当M→A·M→B取最小值时，a＝－374，这时 b＝1147， 可知O→M的坐标为－374，1147. 方法点评：求解平面向量数量积的综合问题，首先要看清题中 所有已知条件，弄清已知与未知之间的关系，然后考虑所要选用的 公式、性质和运算律．
第十六页，共21页。
3．已知O→P＝(2,1)，O→A＝(1,7)，O→B＝(5,1)，Z 是直线 OP 上一 点(O 为坐标原点)．
第五页，共21页。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件(人教A版必修4)(2)

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件(人教A版必修4)(2)

当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 必修4
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 易 错 易 误 辨 析
特别地，设 A、B 两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，xB)， 则 → |＝ x －x 2＋y －y 2，④ |AB A B A B 这就是平面上两点间的距离公式． x1x2＋y1y2 cos θ＝ 2 2 2 2；⑤ x1＋y1 x2＋y2 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.⑥
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
菜 单
课 时 作 业
新课标 ·数学 必修4
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
菜 单
课 时 作 业
新课标 ·数学 必修4
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 易 错 易 误 辨 析
新课标 ·数学 必修4
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
易 错 易 误 辨 析
课 堂 互 动 探 究
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握平面向量数量积运算规律； (2)能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决 有关问题； (3)掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量 垂直，以及能解决一些简单问题．
当 堂 双 基 达 标
演示结束
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
新课标 ·数学 必修4
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 易 错 易 误 辨 析

高中数学 2.42.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4

高中数学 2.42.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4
第二十五页，共30页。
跟踪
训练
3．如下图所示，以原点 O 和 A(5,2)为两个顶点作等腰直角 △AOB，使∠B＝90°，求点 B 的坐标．
第二十六页，共30页。
跟踪 训练
分析：向量数量积的坐标运算；化归与转化的思想． 解析：设点 B(x，y)，则O→B＝(x，y)，A→B＝(x－5，y－2)， ∵∠B＝90°，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0.① 又|A→B|＝|O→B|， ∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2.②
目 链
Hale Waihona Puke 接方法二 ∵向量 a－λb 与 2a＋b 垂直，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝0，
∴2a2＋(－2λ＋1)a·b－λb2＝0，
第十八页，共30页。
跟踪 训练
又|a|＝ 42＋32＝5，|b|＝ －22＋12＝ 5，
a·b＝(4，3)·(－2，1)＝－8＋3＝－5， ∴50－5(－2λ＋1)－5λ＝0，
目 链
接
练习 1：a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)·(a－b)
＝______.
答案(dáàn)：－7
第五页，共30页。
思考
应用
1．平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？
解析：数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的
运算律．设 i，j 分别是和 x 轴、y 轴同向的单位向量，则 i·i＝1，j·j
解得 λ＝－9.
第十九页，共30页。
题型2 根据向量(xiàngliàng)间的关系求向量(xiàngliàng)的坐标
例2 已知 a 与 b 同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求向量 a 的坐标；
栏
(2)若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c.

高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》课件2

2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1． 理解平面向量数量积的坐标表示， 会用向量的坐标形式求数 量积、向量的模及两个向量的夹角． 2．会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系． 3．增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识． 【核心扫描】 1．平面向量数量积的坐标表示及运算．(重点) 2．用两个向量的坐标判断垂直关系．(难点)
解得 b＝ 3 1 3 1 ，2或 b＝－ 2 ，－2. 2
课前探究学习 课堂讲练互动
(6 分)
(12 分)
活页规范训练
【题后反思】 对于判断三角形形状的问题， 若已知三点 A(x1， 1)， y B(x2，y2)，C(x3，y3)，则： → → (1)AB· >0，即(x2－x1)(x3－x1)＋(y2－y1)(y3－y1)>0 时，∠A 为锐 AC 角． → → (2)AB· ＝0， AC 即(x2－x1)(x3－x1)＋(y2－y1)(y3－y1)＝0 时， ∠A 为直 角． → → (3)AB· <0，即(x2－x1)(x3－x1)＋(y2－y1)(y3－y1)<0 时，∠A 为钝 AC 角．
题型三 向量垂直的坐标运算 【例 3】 已知
1 a＝－ ， 2
3 → ， ＝a－b，→ ＝a＋b， OA OB 若△AOB 2
是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量 b. → → 审题指导 设出b＝x，y → OA⊥OB → 列出方程组 → 求出b
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引 1．平面向量数量积的坐标表示 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a· b＝ x1x2＋y1y2 .

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面


探究一 平面向量数量积的坐标运算 [典例 1] (1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a·b，(a－b)·(2a＋3b)． (2)已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： ①向量 a 的坐标； ②若 c＝(2，－1)，求(a·c)b. [解析] (1)解法一 ∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
垂直关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积
两个向量的数量积等于相应坐标乘积的 和，即 a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0
4k＋2＝0，k＝－12.
3．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝________.
解析：因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
所以 cos θ＝

3×－ 32＋12
3－＋1×321＋12＝－12，
又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°.
答案：120°
所以 2a－b＝(4,8)．所以|2a－b|＝4 5，故选 D.
答案：(1)2 5 4 (2)D
探究三 向量的夹角与垂直 [典例 3] 已知点 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角 的余弦值． [解析] (1)因为 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)，所以A→B·A→D＝ 1×(－3)＋1×3＝0，所以A→B⊥A→D，即 AB⊥AD.

高一数学人教A版必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1)


挑战自我，点点落实
→ → → → ∴向量OC与OP共线，设OC＝tOP(t∈R)，
→ 则OC＝t(2,1)＝(2t，t)， → → → ∴CA＝OA－OC＝(1－2t,7－t)，
→ → → CB＝OB－OC＝(5－2t,1－t)，
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
→ → ∴CA· CB＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2－20t＋12 ＝5(t－2)2－8.
积相等，横横纵纵积相反.
明目标、知重点
预习导学
→ 2. 你 能 用 向 量 法 推 导 两 点 间 距 离 公 式 | AB | ＝ x2－x12＋y2－y12吗？
挑战自我，点点落实
→ 答 AB＝(x2－x1，y2－y1)，
→ → →2 → 2 ∴AB· AB＝AB ＝|AB| ＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，
第二章——
明目标、知重点
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[学习目标]
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐
标表示进行向量数量积的运算.
2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离
公式.
3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
明目标、知重点
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学
2 课堂讲义 3 当堂检测
明目标、知重点
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接] 1.已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).a∥b与a⊥b坐标表 示有何区别？ 答 若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0. 若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0. 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错

高中数学必修四人教版2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角5ppt课件


a // b x1y2 x2 y1 0
a⊥b
a

b
a·b=0
x1x2

yx11yx22+y1y02=0
4、两向量夹角余弦的坐标运算
两非零向量a （x1，y1），b （x2，y2）,夹角为
cos a b
| a || b |

x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
求x的取值范围。
x ，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
证法明1 ：方AB

2 1,3 2
1,1
C(-2,5)
向y量的数量积是否
为零,是判断相应
AC 2 1,5 2 3,3 的两条线段或直线
AB AC 1 313 0
是否垂直B的(重2,3要) 方
法之一
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
A(1,2) x
0
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
| AB | 2，|AC | 3 2，|BC | 2 5 | AB |2 |AC |2 |BC |2 ，ABC是直角三角形
a b （x1 i y1 j）（ x2 i y2 j）
2
2
x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 j i y1 y2 j
x1x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
例1 设a =(5， 7)，b = (6， 4)，
(3) | a b | _≤___ | a || b | .(填 或 )
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
������1 ������2+������1 ������2
2 ������2 1+������1 2 ������2 2 +������2
求解.
-15-
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
-12-
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练 2】 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3),若向量 c 满足( a+c) ∥b,c⊥(a+b),则 c 等于( ) A. C.
-2-
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI

平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则有下表:
������· ������ ⇔ cos θ= |������||������|
2 2 ������1 + ������2 ;
������1 ������1 +������2 ������2
2 2
2 ������2 1 +������2 ������1 +������2
;
2 2 2 2 (5)|a· b|≤|a||b| ⇔|a1b1+a2b2|≤ ������1 + ������2 · ������1 + ������2 .
-8-
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
名师点拨在解决向量数量积的坐标运算问题时,关键是熟练掌握 数量积的坐标运算公式a· b=a1b1+a2b2以及相关的向量的长度公式 和夹角公式.在这个过程中还要熟练运用方程的思想.值得注意的 是,对于一些向量数量积的坐标运算问题,有时考虑其几何意义可 使问题快速得解.
)
-5-
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【做一做 4】 已知 a=(3,0),b=(-5,5),则 a 与 b 的夹角 θ= . 解析 :|a|= 9 + 0 = 3, |b|= 25 + 25 = 5 2, a· b=3×(-5)+0×5=-15,
又 0°≤θ≤180°,∴θ=30° .
-16-
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
反思利用坐标求两向量夹角的步骤为 : (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数 量积 ; (2)利用 |a|= ������ 2 + ������ 2 计算出这两个向量的模;
������ · ������ |������ || ������ |
(������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2
=
������ 1 ������ 2 +������1 ������2
2 +������ 2 ������ 2 +������ 2 ������ 1 1 2 2
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
解 :(1)a· b=2 3 + 2 3 = 4 3. (2)cos θ=
������1 ������2 +������1 ������2
2 2 2 ������2 1 +������1 ������2 +������2
4 3 3 = = . 3 + 1 × 4 + 12 2
2 ������2 1 +������1
b 在向量 a 方向上的
投影的坐标表示为
. 同理可得,向量 a 在向量 b 方向上的投 =
������1 ������2+������1 ������2
2 ������2 2 +������2
影的坐标表示为 |a|cos θ=
|������||������|cos������ ������· ������ = |������| |������|
-4-
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【做一做1】 向量m=(1,0),n=(2,-5),则m· n等于 ( A.-2 B.0 C.2 D.7 解析:m· n=1×2+0×(-5)=2. 答案:C
-10-
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练1】 已知向量a与b共线,b=(1,2),a· b=10,求a的坐标. 解:∵a与b共线, ∴设a=λb. ∵a· b=10,∴λb· b=λb2=10. ∵b=(1,2),∴b2=5,∴λ=2. ∴a=2b=2(1,2)=(2,4).
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
-1-
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会用向量的坐标形式求数量 积、向量的模以及两个向量的夹角. 2.会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系.
解析 :设 c=(x,y),则 a+c=(x+1,y+2). ∵b=(2,-3),且 (a+c)∥b,
∴2(y+2)+3(x+1)=0,即 2y+3x+7= 0.
又 c⊥(a+b),且 a+b=(3,-1),
① ②
∴3x-y=0.
7 由 ①②,得 x=− , ������ 9 7 7 ∴c= - 9 ,- 3 .
������· ������ -15 2 则 cos θ= = =− . |������||������| 3×5 2 2 3π 3π 由 0≤θ≤π,知 θ= , 即 a 与 b 的夹角为 . 4 4 3π 答案: 4
-6-
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
M 目标导航
UBIAODAOHANG
-9-
2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型一
数量积的坐标运算
【例1】 已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)· ( a -2 b ). 分析:先求出a· b,a2,b2,再对(3a-b)· (a-2b)展开求解;或先将3a-b,a2b的坐标求出,再进行运算. 解法一:∵a· b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13, ∴(3a-b)· (a-2b)=3a2-7a· b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15. 解法二:∵a=(2,-1),b=(3,-2), ∴3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1), a-2b=(2,-1)-(6,-4)=(-4,3). ∴(3a-b)· (a-2b)=3×(-4)+(-1)×3=-15. 反思对于数量积的坐标运算有两种方法:一是先化简再代入向量 的坐标,二是先确定向量的坐标,再计算数量积.
)
【做一做 2】 已知������������ = (3, −4), 则|������������|等于 ( A.3 解析: |������������| = B.4 C. 5D. 5 32 + (-4 )2 = 5.
)
答案 :D 【做一做3】 若向量a=(4,2),b=(6,m),且a⊥b,则m的值是( A.12 B.3 C.-3 D.-12 解析:∵a⊥b,∴4×6+2m=0,解得m=-12. 答案:D