2019-2020学年高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.2极值点教案苏教版选修.doc

1．3.1 函数的单调性与导数(一)学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一函数的单调性与导函数的关系思考观察图中函数f(x)，填写下表．梳理一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．知识点二利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．( ×) 2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( ×)类型一函数图象与导数图象的应用例1 已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.给出下列关于函数f(x)的说法：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中正确说法的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数图象答案 D解析依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1<a<2)个单位长度后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此④不正确．故选D.反思与感悟(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．跟踪训练1 已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导函数图象确定原函数图象 答案 C解析 当0<x <1时，xf ′(x )<0，∴f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0， 故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故选C.类型二 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)y ＝12x 2－ln x ；(2)y ＝x ＋bx(b >0)．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 解 (1)函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝(x ＋1)(x －1)x.若y ′>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)>0，x >0，解得x >1；若y ′<0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)<0，x >0，解得0<x <1.故函数y ＝12x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1)．(2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2， 令f ′(x )>0，则1x2(x ＋b )(x －b )>0，所以x >b 或x <－b .所以函数的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． 令f ′(x )<0，则1x2(x ＋b )(x －b )<0，所以－b <x <b 且x ≠0.所以函数的单调递减区间为(－b ，0)，(0，b )． 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f ′(x )<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．跟踪训练2 函数f (x )＝(x 2＋2x )e x(x ∈R )的单调递减区间为____________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 (－2－2，－2＋2) 解析 由f ′(x )＝(x 2＋4x ＋2)e x<0， 即x 2＋4x ＋2<0，解得－2－2<x <－2＋ 2.所以f (x )＝(x 2＋2x )e x的单调递减区间为(－2－2，－2＋2)． 命题角度2 含参数的函数求单调区间例3 讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x， 由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．(2)当a >0时，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a (x －1)x，∵a >0，∴a ＋1a>0. 由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． 反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 跟踪训练3 设函数f (x )＝e x－ax －2，求f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增.1．函数f (x )＝x ＋ln x ( ) A ．在(0,6)上是增函数 B ．在(0,6)上是减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 A2．若函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能为( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据原函数图象确定导函数图象 答案 C解析 由f (x )的图象可知，函数f (x )的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x ∈(1,4)时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，1)或x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )<0，结合选项知选C.3．函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(e ，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 C解析 f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0， 即ln x ＋1>0，得x >1e.故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 4．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知单调区间求参数值 答案 －32－6解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知，f ′(x )＝0即3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根为－1和2. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－2b3，－1×2＝c3，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－6.5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x.当k ≤0时，kx －1<0，∴f ′(x )<0， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当k >0时，由f ′(x )<0，即kx －1x<0， 解得0<x <1k；由f ′(x )>0，即kx －1x >0，解得x >1k. ∴当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，＋∞.综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.一、选择题1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )A．在区间(－2,1)上，f(x)是增函数B．在(1,3)上，f(x)是减函数C．在(4,5)上，f(x)是增函数D．在(－3，－2)上，f(x)是增函数考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 C解析由图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上，f(x)是增函数．2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案 D解析∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x>0时，f′(x)<0，当x<0时，f′(x)<0，故选D.3．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数的图象答案 C解析∵导数的正负确定了函数的单调性，∴从函数f′(x)的图象可知，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a(a>0)，∴函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，故选C. 4．函数f(x)＝x e－x的一个单调递增区间是( )A．[－1,0] B．[2,8]C．[1,2] D．[0,2]考点利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 答案 A解析 因为f ′(x )＝e x －x e x(e x )2＝(1－x )·e －x>0，又因为e －x>0，所以x <1.5．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 B解析 B 项中，y ＝x e x，y ′＝e x＋x e x＝e x(1＋x )， 当x ∈(0，＋∞)时，y ′>0， ∴y ＝x e x在(0，＋∞)内为增函数．6.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (cos A )<f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (sin A )>f (cos B )考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 D解析 根据图象知，当0<x <1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在区间(0,1)上是增函数．∵△ABC 为锐角三角形，∴A ，B 都是锐角且A ＋B >π2，则0<π2－B <A <π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B <sin A ，∴0<cos B <sin A <1，∴f (sin A )>f (cos B )．7．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 C解析 ∵(x －1)f ′(x )<0，∴当x >1时，f ′(x )<0，x <1时，f ′(x )>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增， ∴f (0)<f (1)，f (2)<f (1)， 则f (0)＋f (2)<2f (1)． 二、填空题8．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 答案 (0,2)解析 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3，f ′(x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x ，令f ′(x ＋1)<0，解得0<x <2， 所以f (x ＋1)的单调递减区间是(0,2)．9.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为________．考点 函数的单调性与导数的关系 题点 利用单调性确定导数值的正负号 答案 (－∞，－1)∪(0,1) 解析 由xf ′(x )<0可得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f ′(x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f ′(x )>0，由题图可知当－1<x <1时，f ′(x )<0， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1<x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x <－1或x >1，解得0<x <1或x <－1，∴xf ′(x )<0的解集为(0,1)∪(－∞，－1)． 10．已知函数f (x )＝k ex －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递增区间为____________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数的函数的单调区间 答案 (0，＋∞) 解析 f ′(x )＝k ex －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ， 故f ′(x )＝e x＋x －1. 令f ′(x )>0，解得x >0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．11．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a 的值为________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知单调区间求参数值 答案 －6解析 由题意得f ′(x )＝6x 2＋2ax ＝0的两根为0和2，可得a ＝－6.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )<2，则满足f (x )>2x －1的x 的取值范围是________．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 (－∞，1)解析 令g (x )＝f (x )－2x ＋1， 则g ′(x )＝f ′(x )－2<0， 又g (1)＝f (1)－2×1＋1＝0，当g (x )>g (1)＝0时，x <1，∴f (x )－2x ＋1>0， 即f (x )>2x －1的解集为(－∞，1)． 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3，故所求函数解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2； 令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)． 四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导数确定函数的图象 答案 A解析 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ， 则g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在R 上单调递增，故选A.15．已知函数f (x )＝x －2x＋a (2－ln x )，a >0，试讨论f (x )的单调性．考点 利用导函数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数的函数的单调区间 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8.(1)当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0，都有f ′(x )>0，此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数；(2)当Δ＝0，即a ＝22时，当且仅当x ＝2时，有f ′(x )＝0，对定义域内其余的x 都有f ′(x )>0，此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数；(3)当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根：x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减.。

1.3.1 函数的单调性与导数(二)学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．1．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √) 2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．( √)类型一 利用导数求参数的取值范围例1 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立． 由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)． 引申探究1．若将本例中条件递增改为递减，求k 的取值范围． 解 ∵f ′(x )＝k －1x，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )＝k －1x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≤1x ，∵0<1x<1，∴k ≤0.即k 的取值范围为(－∞，0]．2．若将本例中条件递增改为不单调，求k 的取值范围． 解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x.当k ≤0时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意． 当k >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1k，只需1k ∈(1，＋∞)，即1k>1，则0<k <1.∴k 的取值范围是(0,1)．反思与感悟 (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．(2)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练1 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 解 方法一 (直接法)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)和(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减，由题意知(1,4)⊂(1，a －1)且(6，＋∞)⊂(a －1，＋∞)， 所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 故实数a 的取值范围为[5,7]． 方法二 (数形结合法) 如图所示，f ′(x )＝(x －1)[x －(a －1)]．因为在(1,4)内，f ′(x )≤0， 在(6，＋∞)内f ′(x )≥0， 且f ′(x )＝0有一根为1， 所以另一根在[4,6]上．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(4)≤0，f ′(6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×(5－a )≤0，5×(7－a )≥0，所以5≤a ≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．方法三(转化为不等式的恒成立问题)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2<x＋1<5，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．类型二证明不等式例2 证明e x≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)．考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明令f(x)＝e x－x－1(x≥0)，则f′(x)＝e x－1≥0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，∴f(x)≥0，即e x≥x＋1，令g(x)＝x－sin x(x≥0)，g′(x)＝1－cos x≥0，∴g(x)≥g(0)，即x－sin x≥0，∴x＋1≥sin x＋1(x≥0)，综上，e x≥x＋1≥sin x＋1.反思与感悟用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调递增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.跟踪训练2 已知x >0，证明不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式 证明 设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x21＋x .当x >－1时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，＋∞)内是增函数． ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0.∴当x >0时，不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立.1．已知命题p ：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0，q ：f (x )在(a ，b )内是单调递增的，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 A2．已知对任意实数x ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 B解析 由题意知，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数． 当x >0时，f (x )，g (x )都单调递增， 则当x <0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )>0，g ′(x )<0.3．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [－1,1)解析 f ′(x )≤0，即3x 2－12≤0，得－2≤x ≤2. ∴f (x )的减区间为[－2,2]， 由题意得(2m ，m ＋1)⊆[－2,2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，2m <m ＋1，得－1≤m <1.4．函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则a 的取值范围为________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [2，＋∞)解析 y ′＝a －1x，由题意知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，y ′≥0， 即a ≥1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立， 由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞得，1x <2，∴a ≥2.5．证明方程x －12sin x ＝0只有一个实根，并试求出这个实根．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式解 令f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)，则f ′(x )＝1－12cos x >0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，其图象若穿越x 轴，则只有一次穿越的机会， 显然x ＝0时，f (x )＝0.所以方程x －12sin x ＝0有唯一的实根x ＝0.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；(2)先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f (x )是否满足题意.一、选择题1．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞) 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 A解析 y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0， 解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故选A. 2．若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 A解析 由f ′(x )＝1－ln x x2<0，解得x >e ， ∴f (x )在(e ，＋∞)上为减函数， ∵e<a <b ，∴f (a )>f (b )．3．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 C ．(1,2] D ．[1,2) 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k－1，k ＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32.4．若a >0，且f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝3x 2－a ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤(3x 2)min ＝3， 又a >0，∴0<a ≤3. 5．若函数y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33， 当－33<x <33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33<0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上单调递减，只需y ′<0，即a >0.6．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 C解析 设h (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a <x <b 时，h (x )>h (a )， ∴f (x )－g (x )>f (a )－g (a )， 即f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )． 二、填空题7．若y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 因为y ′＝cos x ＋a ≥0， 所以a ≥－cos x 对x ∈R 恒成立． 所以a ≥1.8．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (－∞，0)解析 y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0， ∴a <0.9．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (0，＋∞)解析 ∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.10．若函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 (－∞，－1]解析 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即bx ＋2≤x 在(－1，＋∞)上恒成立，∵x >－1，∴x ＋2>1>0，∴b ≤x (x ＋2)，设y ＝x (x ＋2)，则y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x >－1，∴y >－1，∴要使b ≤x (x ＋2)成立，则有b ≤－1.11．若f (x )＝2x －ax 2＋2(x ∈R )在区间[－1,1]上是增函数，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 [－1,1]解析 f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2，∵f (x )在[－1,1]上是增函数，∴f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2≥0.∵(x 2＋2)2>0，∴x 2－ax －2≤0对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－ax －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a －2≤0，1－a －2≤0，∴－1≤a ≤1.即a 的取值范围是[－1,1]．三、解答题12．已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)．(1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)当a ＝－14时，f (x )＝－14x 2＋ln(x ＋1)(x >－1)，f ′(x )＝－12x ＋1x ＋1＝－(x ＋2)(x －1)2(x ＋1)(x >－1)．当f ′(x )>0时，解得－1<x <1；当f ′(x )<0时，解得x >1.故函数f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(2)因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，所以f ′(x )＝2ax ＋1x ＋1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，即a ≤－12x (x ＋1)对任意x ∈[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝－12x (x ＋1)，易求得在区间[1，＋∞)上g ′(x )>0，故g (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12x (x ＋1)min ＝g (1)＝－14，故a ≤－14.即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14.13．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－x 2＋x ＋1>0，解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明 令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)． 则F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.四、探究与拓展14．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是__________．考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x >0时，g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，g (x )>g (1)＝0⇔f (x )x >0⇔f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，g (x )<g (－1)＝0⇔f (x )x <0⇔f (x )>0.综上，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．15．设函数f (x )＝x e kx (k ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增，求k 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx ＝0，得x ＝－1k(k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．若k <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．综上，k >0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ，k <0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞.(2)由(1)知，若k >0，则当且仅当－1k ≤－1，即0<k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增；若k <0，则当且仅当－1k ≥1，即－1≤k <0时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．。

1．3.2 函数的极值与导数(二)学习目标 1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题．1．极小值点与极小值(1)特征：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，并且f ′(a )＝0.(2)符号：在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0.(3)结论：点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值． 2．极大值点与极大值(1)特征：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，并且f ′(b )＝0.(2)符号：在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.(3)结论：点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值． 3．用导数求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(3)求出方程f ′(x )＝0在定义域内的所有实根，并将定义域分成若干个子区间； (4)以表格形式检查f ′(x )＝0的所有实根两侧的f ′(x )是否异号，若异号则是极值点，否则不是极值点.类型一 由极值的存在性求参数的范围例1 (1)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题答案 (1)(－∞，1) (2)B解析 (1)f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1. (2)∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，且f (x )有两个极值点， ∴f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln x x2， ∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0<2a <1，即0<a <12.引申探究1．若本例(1)中函数的极大值点是－1，求a 的值． 解 f ′(x )＝x 2－2x ＋a ， 由题意得f ′(－1)＝1＋2＋a ＝0，解得a ＝－3，则f ′(x )＝x 2－2x －3，经验证可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值． 2．若本例(1)中函数f (x )有两个极值点，均为正值，求a 的取值范围．解 由题意，得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不等正根，设为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a >0，x 1＋x 2＝2>0，x 1x 2＝a >0，解得0<a <1.故a 的取值范围是(0,1)．反思与感悟 函数的极值与极值点的情况应转化为方程f ′(x )＝0根的问题．跟踪训练1 已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题解 ∵f (x )＝1＋ln xx，x >0，则f ′(x )＝－ln x x2.当0<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴函数f (x )在x ＝1处取得极大值．∵函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 类型二 利用函数极值解决函数零点问题例2 (1)函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，283 解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示， 结合图象知－43<a <283.(2)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13 f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13 f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点． ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， 令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .由y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－16，6827. 反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练2 若2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根解 令g (x )＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52x ＋2(x >－2)．当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：由上表可知，函数在x ＝0处取得极大值，极大值为g (0)＝2ln 2＋b .结合图象(图略)可知，要使g (x )＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (0)>0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，2ln 2＋b >0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2<b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．1．下列四个函数中，能在x ＝0处取得极值的函数是( )①y ＝x 3； ②y ＝x 2＋1； ③y ＝|x |； ④y ＝2x. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 B解析 ①④为单调函数，无极值．2．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3D ．－1，－3考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3.3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．(－1,2)B ．(－3,6)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6. 因为函数f (x )既有极大值又有极小值， 所以Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0， 解得a >6或a <－3.4．若函数f (x )＝x 3－3ax ＋1在区间(0,1)内有极小值，则a 的取值范围为________． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题答案(0,1)解析f′(x)＝3x2－3a.当a≤0时，在区间(0,1)上无极值．当a>0时，令f′(x)>0，解得x>a或x<－a.令f′(x)<0，解得－a<x<a.若f(x)在(0,1)内有极小值，则0<a<1.解得0<a<1.5．已知函数f(x)＝x3－12x＋4，讨论方程f(x)＝m的解的个数．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解由题意知，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(2，＋x (－∞，－2)－2(－2,2)2∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)极小值＝f(2)＝－12，f(x)极大值＝f(－2)＝20.又因为f(x)的定义域是R，画出函数图象(图略)，所以当m>20或m<－12时，方程f(x)＝m有一个解；当m＝20或m＝－12时，方程f(x)＝m有两个解；当－12<m<20时，方程f(x)＝m有三个解．1．研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．2．事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.一、选择题1．函数f (x )＝3x 2－ln x －x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 B解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)； f ′(x )＝6x －1x －1＝6x 2－x －1x ＝(2x －1)(3x ＋1)x；∴当0<x <12时，f ′(x )<0，当x >12时，f ′(x )>0；∴x ＝12是f (x )的极值点；即f (x )的极值点个数为1.故选B.2．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 D解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0， ∴a ＋b ＝6.又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴2ab ≤6()当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴ab ≤9.3．若函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同的零点，则a 的值可能为( ) A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 答案 A解析 f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 由f ′(x )>0，得x <1或x >2， 由f ′(x )<0，得1<x <2，所以函数f (x )在区间(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，从而可知f (x )的极大值和极小值分别为f (1)，f (2)．若函数f (x )恰好有两个不同的零点，则f (1)＝0或f (2)＝0，解得a ＝5或a ＝4.4．函数f (x )＝x 2－a ln x (a ∈R )不存在极值点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．[0，＋∞)D ．(－∞，0]考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 D解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －a x ＝2x 2－ax，若f (x )在(0，＋∞)上不存在极值点，则a ≤2x 2在(0，＋∞)上恒成立，故a ≤0，故选D. 5．若函数f (x )＝x 2e x－a 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2C ．(0,4e 2)D ．(0，＋∞)考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 B解析 令g (x )＝x 2e x，则g ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x(x ＋2)． 令g ′(x )＝0，得x ＝0或－2，∴g (x )在(－2,0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增． ∴g (x )极大值＝g (－2)＝4e 2，g (x )极小值＝g (0)＝0，又f (x )＝x 2e x－a 恰有三个零点，则0<a <4e2.6．已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－(a ＋1)x ＋1在x ＝1处取得极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题答案 C解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， ∵f (x )＝ln x ＋12ax 2－(a ＋1)x ＋1，∴f ′(x )＝1x ＋ax －(a ＋1)＝(ax －1)(x －1)x，令f ′(x )＝0，解得x ＝1a或x ＝1，若f (x )在x ＝1处取得极小值， 则0<1a<1，解得a >1.7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，且f (x )在x ＝x 0与x ＝2处取得极值，则f (1)＋f (－1)的值一定( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．小于或等于0考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .令f ′(x )＝0，则x 0和2是该方程的根． ∴x 0＋2＝－2b 3a <0，即ba>0.由题图知，f ′(x )<0的解为(x 0,2)，∴3a >0，则b >0， ∵f (1)＋f (－1)＝2b ，∴f (1)＋f (－1)>0. 二、填空题8．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a处有极值，则b 的值为________．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 －2解析 f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a处有极值，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2a ·1a＋b ＝0，即b ＝－2.9．函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是________． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 a <0解析 f (x )＝ax 3＋x ＋1的导数为f ′(x )＝3ax 2＋1， 若函数f (x )有极值，则f ′(x )＝0有解， 即3ax 2＋1＝0有解，∴a <0.10．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 [1,5)解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2＋2x －a ， 则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0， 解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点． 故实数a 的取值范围为[1,5)．11．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax (x ∈R )有大于0的极值点，则实数a 的取值范围为________． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 (－∞，－1)解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a ，由题意知，e x ＋a ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x，y 2＝－a ，则两曲线的交点在第一象限，如图，结合图形易得－a >1，解得a <－1. 三、解答题12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0，x 取足够小的负数时，有f (x )<0，∴曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0，即527＋a <0或a －1>0，∴a <－527或a >1， ∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．13．已知函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R )，其中a ，b ∈R . (1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数解 (1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)， 当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x ＋4)＝2x (2x －1)(x －2)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝12，x 3＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)上是单调递增函数，在区间(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上是单调递减函数．(2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 2＋3ax ＋4＝0的根，为使f (x )仅在x ＝0处有极值，必须有4x 2＋3ax ＋4≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－64≤0，解得－83≤a ≤83，此时，f (0)＝b 是唯一的极值，因此满足条件的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，83.四、探究与拓展14．设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 C解析 由正弦函数的图象可知，f (x )的极值点x 0满足f (x 0)＝±3，则πx 0m ＝π2＋k π(k ∈Z )，从而得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12m (k ∈Z )．所以不等式x 20＋[f (x 0)]2<m 2即为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3<m 2，变形得m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122>3，其中k ∈Z .由题意，存在整数k 使得不等式m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122>3成立．当k ≠－1且k ≠0时，必有⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122>1，此时不等式显然不能成立，故k ＝－1或k ＝0，此时，不等式即为34m 2>3，解得m <－2或m >2.15．已知函数f (x )＝a e 2x －b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝2a e 2x＋2b e－2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )恒成立， 即2(a －b )·(e 2x－e－2x)＝0恒成立，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x－e－2x－3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0，故f (x )在R 上为增函数． (3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x＋2e －2x－c ，而2e 2x＋2e－2x≥22e 2x ·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立． 下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x＋2e －2x－c >0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x＋2e －2x－4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1＝c －c 2－164>0，t 2＝c ＋c 2－164>0，即f ′(x )＝0有两个根， 且x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。

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时)课堂探究 新人教A 版选修2-2探究一 求函数的最值求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导；（2)研究函数的单调性,正确确定函数的极值和端点的函数值；(3）比较极值与端点函数值的大小,有时需要利用作差或作商,甚至要分类讨论． 【典型例题1】求下列函数的最值：(1）f （x ）＝－x 3＋3x ，x ∈［－错误!,错误!]； (2)f （x )＝sin 2x －x ，x ∈错误!。

思路分析：按照求函数最值的方法与步骤，通过列表进行计算与求解． 解：（1）f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x －1）(x ＋1）． 令f ′（x ）＝0，得x ＝1,或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x ),f (x )的变化情况如下表：当x ＝1时，f (x )取得最大值，[f (x ）]max ＝f （1）＝2.当x ＝－1时,f （x ）取得最小值，［f （x )］min ＝f （－1)＝－2. （2)f ′(x )＝2cos 2x －1,令f ′(x )＝0，－错误!≤x ≤错误!，得x ＝－错误!或x ＝错误!. 当x 变化时，f ′(x ),f （x ）的变化情况如下表：当x＝－错误!时f(x)取得最大值f错误!＝错误!,当x＝错误!时f（x）取得最小值f错误!＝－错误!.探究二含参数的函数最值问题由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值变化．因此需要对参数进行分类讨论,分类时常见于讨论：①f′(x)的类型,如f′（x）＝ax2＋2x－1时,可以分a＞0,a＝0，a＜0三种情况讨论；②当f′（x)＝0时注意是否有解,若有解,则讨论根是否在定义域内，根的大小是否确定．③有时，可以用可能的极值或最值的大小关系分类．【典型例题2】已知函数f（x)＝（x－k）e x.（1)求f(x）的单调区间;(2)求f(x）在区间［0,1］上的最小值．解:(1）f′（x)＝（x－k＋1）e x.令f′（x）＝0，得x＝k－1.当x变化时,f(x）与f′（x)的变化情况如下:所以,f（x)1，＋∞）．（2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x）在［0,1］上单调递增，所以f（x)在区间[0，1］上的最小值为f(0）＝－k;当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x）在［0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，所以f（x)在［0，1］上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1,即k≥2时,函数f(x)在［0,1]上单调递减，所以f(x)在区间［0，1]上的最小值为f（1)＝(1－k)e.探究三函数最值与不等式恒成立问题1．不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型,这种题型的解法有多种,其中最常用的方法就是分离参数,然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解．2．一般地,若不等式a≥f(x）恒成立，a的取值范围是a≥［f(x）］max；若不等式a≤f（x)恒成立,则a的取值范围是a≤[f（x）]min。

1.3.1 单 调 性[对应学生用书P13]已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2，y 3＝1x.问题1：试作出上述三个函数的图象． 提示：图象为问题2：试根据上述图象说明函数的单调性． 提示：函数y 1＝x 在R 上为增函数，y 2＝x 2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数， y 3＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题3：判断它们导函数的正负．提示：y 1′＝1>0，y 2′＝2x ，当x >0时，y 2′>0，当x <0时，y 2′<0，y 3′＝－1x2<0.问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f ′(x )>0时，f (x )为增函数，当f ′(x )<0时，f (x )为减函数．一般地，在某区间上函数y ＝f (x )的单调性与导数有如下关系：上述结论可以用下图来直观理解．1．根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈现上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈现下降的状态，即函数单调递减．2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x) 在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是充要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.[对应学生用书P14][例1](1)y＝ax5－1(a>0)；(2)y＝a x－a－x(a>0且a≠1)．[思路点拨] 先求出函数的导数，然后通过导数的符号来讨论函数的单调性．[精解详析] (1)∵y′＝5ax4且a>0，∴y′≥0在R上恒成立，∴y＝ax5－1在R上为增函数．(2)y′＝a x ln a－a－x ln a(－x)′＝(a x＋a－x)ln a，当a>1时，ln a>0，a x＋a－x>0，∴y′>0在R上恒成立，∴y＝a x－a－x在R上为增函数．当0<a<1时，ln a<0，a x＋a－x>0，∴y′<0在R上恒成立，∴y＝a x－a－x在R上为减函数．[一点通] 判定函数单调性的方法有两种：(1)利用函数的单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确立函数的单调性．(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)，②确定f′(x)在(a，b)内的符号，③得出结论．1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________．①y＝2－3x2；②y＝ln x；③y＝1x－2；④y＝sin x.解析：显然，函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上是不单调的； 函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求； 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数； 函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也是增函数．答案：③2．证明：函数y ＝ln x ＋x 在其定义域内为增函数． 证明：显然函数的定义域为{x |x >0}， 又f ′(x )＝(ln x ＋x )′＝1x＋1，当x >0时，f ′(x )>1>0，故y ＝ln x ＋x 在其定义域内为增函数．3．判断y ＝ax 3－1(a ∈R )在(－∞，＋∞)上的单调性． 解：因为y ′＝3ax 2，又x 2≥0.(1)当a >0时，y ′≥0，函数在R 上是增函数； (2)当a <0时，y ′≤0，函数在R 上是减函数； (3)当a ＝0时，y ′＝0，函数在R 上不具备单调性．[例2] (1)y ＝x 3－2x 2＋x ；(2)f (x )＝3x 2－2ln x .[思路点拨] 先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f ′(x )>0，f ′(x )<0，并与定义域求交集从而得到相应的单调区间．[精解详析] (1)y ′＝3x 2－4x ＋1. 令3x 2－4x ＋1>0，解得x >1或x <13，因此，y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13.再令3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.因此，y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x>0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得x <－33或0<x <33， 又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.[一点通] (1)利用导数求函数f (x )的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(1)中的单调增区间不能写成⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)．(3)要特别注意函数的定义域．4．若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为________． 解析：由已知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x，由f ′(x )>0得x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2， 又x >0，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)5．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间为________． 解析：∵f (x )＝x ln x (x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )>0，则ln x ＋1>0，即ln x >－1. ∴x >1e，即函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞6．已知函数f (x )＝ln x ＋k ex(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间． 解：(1)由f (x )＝ln x ＋kex， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x>0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)．[例3] 已知函数f (x )＝x 2＋x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是增函数，求a 的取值范围．[思路点拨] 解答本题可先对函数求导，再将问题转化为f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立问题求解．[精解详析] f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是增函数， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))恒成立． ∴a 的取值范围是a ≤16.[一点通] (1)已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法：①利用集合的包含关系处理：f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；②利用不等式的恒成立处理：f (x )在(a ，b )上单调，则f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(a ，b )内恒成立，注意验证等号是否成立．(2)两个非常重要的转化： ①m ≥f (x )恒成立⇔m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇔m ≤f (x )min .7．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3)，则m ＝________. 解析：∵f (x )＝x 3－mx 2＋m －2， ∴f ′(x )＝3x 2－2mx .令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23m ，又∵函数f (x )的单调递减区间为(0,3)， ∴23m ＝3，即m ＝92. 答案：928．若f (x )＝－12(x －2)2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋bx≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x －2)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x (x ∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b ≤－1即可．答案：(－∞，－1]9．已知函数f (x )＝2ax －1x2，x ∈(0,1]．若f (x )在(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．解：由已知得f ′(x )＝2a ＋2x3，∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x3在x ∈(0,1]上恒成立．而g (x )＝－1x3在(0,1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1. 当a ＝－1时，f ′(x )＝－2＋2x3.对x ∈(0,1]也有f ′(x )≥0.∴a ＝－1时，f (x )在(0,1]上为增函数． ∴综上，f (x )在(0,1]上为增函数，a 的取值范围是[－1，＋∞)．1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间． 3．如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )为常数函数．[对应课时跟踪训练(六)]一、填空题1．函数y ＝x 3－x 2－40x ＋80的增区间为________，减区间为________． 解析：y ′＝3x 2－2x －40＝(3x ＋10)(x －4)， 由y ′>0，得x >4或x <－103；由y ′<0，得－103<x <4.所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－103和(4，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－103和()4，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，42．函数f (x )＝xln x的单调递减区间是________． 解析：令f ′(x )＝ln x －1ln 2x<0，解得0<x <e ，又因为函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)， 所以函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．答案：(0,1)，(1，e)3．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为________．解析：y ′＝x －1x，由y ′<0，得x <－1或0<x <1.又∵x >0，∴0<x <1.即函数的单调减区间为(0,1)． 答案：(0,1)4.(浙江高考改编)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是________．解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．答案：②5．已知函数f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )．则不等式x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )<0的解集为________．解析：令φ(x )＝f (x )x ，则φ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0. ∴φ(x )在(0，＋∞)上单调递减，又x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <f (x )，∴xf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <f (x )x. 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x <f (x )x ，∴φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <φ(x )． 故1x>x .又∵x >0，∴0<x <1. 答案：(0,1) 二、解答题6．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 4－2x 2＋3；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0<x <π)． 解：(1)函数f (x ) 的定义域为R .f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )>0，则4x (x ＋1)(x －1)>0， 解得－1<x <0或x >1，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)． 令f ′(x )<0，则4x (x ＋1)(x －1)<0. 得x <－1或0<x <1.所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cosx ＋1)．∵0<x <π，∴cos x ＋1>0， 由f ′(x )>0得0<x <π3；由f ′(x )<0得π3<x <π，故函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.7．设函数f (x )＝ax －2－ln x (a ∈R )．(1)若f (x )在点(e ，f (e))处的切线为x －e y －2e ＝0，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )＝ax －2－ln x (x ＞0)， ∴f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.又f (x )在点(e ，f (e))处的切线为x －e y －2e ＝0， ∴f ′(e)＝a －1e ＝1e ，故a ＝2e.(2)由(1)知：f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上是单调减函数． 当a ＞0时，令f ′(x )＝0解得：x ＝1a，当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：由表可知：f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 上是单调减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a，＋∞上是单调增函数．综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.8．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x 在区间(1,4)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，试求实数a 的取值范围．解：f ′(x )＝x 2－ax ＋(a －1)，因为f (x )在(1,4)上单调递减，所以f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，即a (x －1)≥x 2－1在(1,4)上恒成立，所以a ≥x ＋1.因为2<x ＋1<5，所以a ≥5.因为f (x )在(6，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a ≤x ＋1.因为x ＋1>7，所以a ≤7.综上可知，实数a 的取值范围是5≤a ≤7.。

导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。

它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。

通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。

事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。

教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。

师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。

其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。

教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。

五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。

教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。

教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。

六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。