对概率教学中几类易混淆概念的认识

小学数学教师职称评审答辩题（低段)一、请简单说说你对“情感与态度”这一课程目标的理解。

答：1、能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。

2、在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

3、初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

4、形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

二、在一年级讲数的组成时，为什么不说0和几组成几？答：所谓数的组成，是指一个数里含有多少个自然数的单位。

因为0不是自然数的计数单位，且不含有计数单位，所以计数的组成时都不包括0。

三、新课程对于教师角色的要求是多方面的。

请简单谈谈教师角色的转变主要有哪些？答：1、由传统的知识传授者向新课程条件下的知识传授者的变化.2、教师成为学生的促进者。

3、教师成为研究者。

四、教学“11—12各数的认识”时，学生常把12误写成21,为了防止学生出现这种情况，你怎样处理？答：在教学时，要着重强调数位的意义。

可根据低年级学生的特点，把书上的方格图做成教具，通过左右两边放的方格数量来说明。

另外，还要通过让学生操作学具来进一步巩固数位的初步认识。

五、教师是促进学生自主学习的“促进者”。

请谈谈“促进者”这种角色的特点。

答：（1）积极地旁观。

（2）给学生以心理上的支持，创造良好的学习气氛。

（3）注重培养学生的自律。

六、怎样教学万以内数的读法和写法？答：教学万以内数的读法和写法的关键是熟记数位，所以教学时一定要牢牢地把握这一关键。

教学万以内的数的读法和写法时，必须让学生理解数位的概念，熟记各位的记数单位及其位置。

在组织学生读数和写数练习时，要特别注意学生对中间和末尾有0的数的读法和写法的掌握情况，及时纠正学生出现的错误。

七、小学数学常用的教学方法有哪些？答：1、讲授法；2、谈话法；3、讨论法；4、观察演示法；5、实验法；6、参观法；7、练习法；8、复习法；9、指导小学生自学法。

初中数学知识归纳:最易出错的61个知识点总结一、数与式易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。

以及绝对值与数的分类。

每年选择必考。

易错点2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。

易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别。

填空题必考。

易错点4：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零。

易错点5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化。

当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。

填空题必考。

易错点6：非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0；整体代入法；完全平方式。

易错点7：计算第一题必考。

五个基本数的计算：0 指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。

易错点8：科学记数法。

精确度，有效数字。

这个上海还没有考过，知道就好！易错点9：代入求值要使式子有意义。

各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。

二、方程（组）与不等式（组）易错点1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。

易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0 的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。

（消元降次）主要陷阱是消除了一个带X 公因式要回头检验！易错点3：运用不等式的性质3时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。

易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。

易错点5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。

易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。

易错点7：不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。

易错点8：利用函数图象求不等式的解集和方程的解。

第十单元概率与统计初步一教学要求1．掌握分类计数原理和分步计数原理．2．理解随机事件，频率和概率的概念．3．理解概率的简单性质．4．了解直方图与频率分布的概念．5．了解总体与样本的概念．6．了解样本的抽样方法．7．理解均值标准差的概念；会用样本均值、标准差估计总体均值、标准差．8．了解相关关系及一元线性回归分析．9．培养学生的计算工具使用技能，数据处理技能和分析与解决问题能力．二教材分析和教学建议（一）编写思路1．由浅入深，强调基础概率与统计这部分知识，对于中职的学生来讲，无论是在概念、公式的含义上，还是在解题的思路上，都有一定难度，由于他们的数学基础水平低，学习起来困难会多一些．但是概率统计作为应用知识的一部分，更是一种重要的思想方法，一种思维方式，是他们应该学习和了解的．因此，本单元概率与统计初步在编写中，遵照大纲精神，选择了概率统计中最基础最重要的知识，由浅入深，多讲实例，淡化理论，强调理解与应用．在概率部分，只介绍了随机事件和频率的概念；给出了概率的统计定义和概率的简单性质；在统计方面，则在复习初中学过的简单统计知识的基础上，只介绍了样本的概念与抽样方法，用样本估计总体的方法．2．多讲实例，淡化理论为了降低难度，便于学生理解与掌握，教材中的概念大多是通过实例引入的，对于一些公式，则略去了推导与证明，只是作了一些必要的说明，如互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的乘法公式等．在这里，教材都通过例题讲解了公式的使用方法，强调了对公式的直接应用．3．加强计算器及计算机相关软件的使用本单元中，样本的抽取，总体的频率分布，均值与标准差，用样本估计总体的均值与标准差，回归分析等部分由于涉及的一些计算比较复杂，都需要使用计算器或计算机相关软件，从而培养学生的计算工具的使用技能，数据表格处理技能及分析，解决问题能力．教材在各相应部分安排了应用计算器和计算机相关软件解题的内容．4．重点与难点本单元的重点概念是：随机事件，频率，概率，总体，个体，样本，频率分布，均值，标准差等．重要方法是：简单随机抽样的方法，用样本估计总体的方法，回归分析的方法．重要思想是：随机思想、统计思想．本单元的难点是：概率的概念，样本对总体的估计，回归分析，用概率统计知识解决实际问题．（二）课时分配本单元教学约需16课时，分配如下（仅供参考）：10．1计数原理约2课时10．2随机事件与概率约2课时10．3概率的简单性质约2课时10．4直方图与频率分布约2课时10．5总体与样本约1课时10．6抽样方法约1课时10．7均值与标准差约2课时10．8用样本估计总体约1课时10．9一元性回归约1课时归纳与总结约2课时（三）内容分析与教学建议10．1计数原理1．教材通过对两个具体实例进行分析，引进了分类计数的加法原理和分类计数的乘法原理．实际上这两个原理本身就是人们通过大量实践经验归纳抽象出来的，因此称为“基本原理”．在本单元中，它们是概率统计计算的依据．2．教学时，在给出原理之前，一定要使学生获得必要的感性认识，对引例要讲得清晰明确．（1）叙述和讲解例题时，要准确使用分类及分步等术语；（2）将分类及分步的具体内容列举出来；（3）讲过加法原理之后，在讲乘法原理的引例的时候，一定要和加法原理的引例加以比较，突出它们的区别；（4）让学生直接参与基本原理的引入，除了解答教材中提出的问题外，还可以让学生自己举出一些类似实例，以使学生由被动接受变为主动思考，然后由师生一起归纳出基本原理．3．两个原理都讨论“做一件事”，确定“完成这件事所有的不同方法的种数”但这里所指的“做一件事”是一个比较抽象的概念，它不同于学生在小学、初中解应用题时遇到的“做一件工作”、“完成一项工程”等，其含义比这要广泛得多，讲解例题时，要着重说明该题的“做一件事”究竟指的是什么．例如：（1）从甲地到乙地；（2）从甲地经乙地到丙地；（3）从三个班中任选一名三好学生；（4）从三个班中各选一名三好学生；（5）由5个数字组成没有重复数字的两位偶数．这些都是原理中所说的“做一件事”．明确了什么叫“做一件事”，才能去分析完成这件事可以采取什么方法，是分类还是分步，从而确定该题是使用分类计数的加法原理还是分类计数的乘法原理．4．教材明确指出了两个基本原理的区别，这在教学中要结合实例加以阐述和强调，同时要注意：（1）“做一件事，完成它可以有n类方式”，这里是对完成这件事的所有方式的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在这个确定的标准下进行分类．标准不同，分类的结果就不同．其次，分类应满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法都是不同的方法，只有满足这些条件，才能正确使用分类计数的加法原理．（2）“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这里是指完成这件事的任何一种方法，都要分成n步执行．和分类计数的加法原理一样，分步时，首先要根据问题的特点确定一个分步的标准，然后在这个确定的标准下进行分步．标准不同，分成的步骤数也可以不同．一个合理的分步还必须满足两个要求：第一，完成这件事必须而且只需连续完成这n步．这就是说，分别选自这n个步骤的n个方法，对应了完成这件事的一种做法；第二，做每一个步骤时，选用的方法和做上一个步骤时选用的方法是无关的，并且每一个步骤的完成方法种数正好是完成这个步骤所有方法的种数．只有满足这些条件，才能正确使用分步计数的乘法原理．5．例题的教学，要紧密联系基本原理，有意识地培养学生从两个基本原理出发思考问题的习惯．简单的问题，可以单独使用分类计数的加法原理或分类计数的乘法原理，有些问题常常同时要用到两个基本原理或可以分别用两个原理去做．稍复杂一些的问题，在具体“分类”和“分步”时，学生常常感到困难，因此需要多多练习，不断积累经验，逐步做到恰当分类，合理分步．10．2随机事件与概率1．本节内容包括随机现象，随机试验，随机事件，频率等基本概念及概率的统计定义．2．通过观察几个例子，教材接连给出了随机现象，随机试验，随机事件这三个概念，它们之间虽然没有概念的种属关系，但彼此是有关联的，都是在前一个概念的基础上，定义后面的概念，接下来与事件有关的概念也是这样给的，这种给出的形式密度虽显稍大，但是学生并不难理解，反而会感到前后关联，容易接受．为了便于学生理清层次，可给出下面的链式：现象→随机现象→随机试验→随机事件（含必然事件和不可能事件）→基本事件→复合事件．为了使学生更好地理解这些概念，教师可根据实际，多举一些例子．其中搞清基本事件的个数是个难点，教学中应注意培养学生这方面的能力．3．研究随机现象的规律性是通过随机试验进行的．关于随机试验，有如下严格的定义：（1）试验在相同条件下，可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，而且所有可能结果事先都是明确的；（3）每次试验在其最终结果揭晓前，无法预言会发生哪一个结果．4．随机事件在一次试验中是否发生，不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生会呈现出一定的规律性，怎样观察和发现这种规律性呢？这种规律性是通过什么体现出来呢？通过观察事件在大量重复试验中所发生的频率，可以发现这种规律．频率是这样一个量，即该事件发生的次数与试验总次数的比值，频率随试验次数的不同而不同．这一点通过教材中的例子可以清楚地反映出来．5．频率具有稳定性．这种稳定性把随机事件发生的可能性大小客观地反映出来，利用这种稳定性，教材给出了概率的统计定义．可以认为概率是频率在理论上的期望值．例如，对一批零件进行抽查计算，得出这批零件合格品的概率是98%，那么，如果将这批零件全部装箱，其中每箱装1000个，那么可以估计平均每箱含有合格品980个，这是箱中含有合格品数的理论上的期望值．但在实际情况中，每箱的合格品数可能略多于980个也可能略少于980个．6．对于必然事件，因为每次试验中它一定发生，试验重复进行n次，它也发生n次，因此它的频率总是1；对于不可能事件，因为每次试验中它一定不发生，试验重复进行n次，它发生的次数应是0，因此它的频率总是0.7．概率的统计定义实质是给出了概率的近似值，用抛掷硬币这个传统，经典的试验，说明一个事件的频率稳定在它的概率左右，是多数教科书的编者所采取的方法，这个试验简单，做起来方便，不需要什么成本，任何人随时随地都可以做，所以教学中教师也不妨让学生做一做，亲自试验体验一下．8．事件的频率和事件的概率是两个不同的概念，随机事件的频率与试验次数有关的一个相对数量，是随着试验的不同而不同．而事件的概率反映的是随机事件的某种本质属性，是与试验次数无关而客观存在的一个确定的数．频率是概率的表现形式，概率决定着频率的变化趋势，概率才是随机现象的本质属性．9．本节教学内容的重点是随机事件等有关概念和概率的统计定义，频率的计算，概率的确定．难点是搞清基本事件的个数，确定某事件的概率及分析概率问题的思想方法，解题思路．概率问题的思考方法，学生接受起来比较困难，为此，应加强概念教学，加强对容易混淆的概念的区别与比较，来加深学生对有关概念的理解．10．3概率的简单性质1．本节内容包括概率的四个简单性质：（1）必然事件的概率等于1，不可能事件的概率等于0；（2）对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；（3）如果A，B是互斥事件，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）；（4）如果A，B是相互独立事件，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）．2．由于必然事件的频率总是1，所以它的概率等于1，由于不可能事件的频率总是0，所以它的概率等于0；根据，0≤W（A）≤1，不难得到0≤P（A）≤1，这里的事件A显然是随机事件、必然事件、不可能事件三者的统称．3．性质（3）是互斥事件的概率加法公式．互斥事件是指在一次随机试验中，不可能同时发生的两个事件，在众多事件中，辨认、识别互斥事件，举出互斥事件和非互斥事件的例子，是使学生理解并掌握这一概念的方法．教师可以学生熟悉的实例，让学生多做一些这样的练习．所谓“A＋B”事件，是指在同一试验中，A或B中有一个发生它就发生的事件．教材中提到的“A或B中至少有一个发生”的事件就是指“A＋B”事件．实际上，对于“A＋B”事件，不论A与B是不是互斥事件，总是存在的．互斥事件的概率加法公式，教材是直接给出的，没有加以证明，教材主要是要求学生能理解其含义，掌握其使用条件，会用来计算即可．例1是互斥事件的概率加法公式的直接应用．4．对立事件是互斥事件的一部分，即其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件．这就告诉我们，对立事件首先是互斥事件，但互斥事件不都是对立事件，只有那些必有一个发生的两个互斥事件才叫做对立事件．教材给出了对立事件计算公式的一个简单证明，只需学生了解即可，例2是对立事件计算公式的直接应用．5．教材借助于实例给出了相互独立事件的描述性定义，要确切地表示它，需要涉及条件概率的概念，但是本教材没有出现条件概率的概念，因此，为了让学生能正确理解两个事件的相互独立关系，可以让学生自己举一些相互独立事件的例子，共同分析相互独立的两个事件中“一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响”这一特征．同时要将“相互独立”与“互斥”两个概念加以区别，让他们在对比中理解和掌握相互独立这一概念．6．如果事件A与B是相互独立的，那么事件A与B，A与B，A与B也相互独立．这一性质很重要，例4，例5就应用了这个性质，从而使计算得到了简化．讲解时应加以强调，以引起学生重视．7．本节教材重点是互斥、对立及相互独立事件的概念及有关计算，难点是三种事件关系的区别．10．4直方图与频率分布1．本节的内容是直方图与频率分布及学习用样本频率分布来估计总体频率分布的方法、步骤．2．在获取了样本资料以后，要对样本数据进行整理．先根据样本资料列频率分布表，再画频率分布直方图，这是由样本估计总体分布的基本方法．这从理论上讲并不难，只是具体操作起来比较麻烦，教学中应结合例题把列频率分布表和画频率分布直方图的步骤、要领讲清，要让学生自己动手，通过实际操作掌握方法，要让学生知道，对样本数据的整理是统计工作的基本功，尽管麻烦但很重要，因此要多加练习，培养自己认真细致的实战作风，从而提高计算能力，提高工作能力．3．频率分布表可以清楚地反映样本数据的分布规律，列这个表需要四个步骤，即：（1）计算极差；（2）决定组距与组数；（3）确定各组分点；（4）列频率分布表．前三步是对数据的整理，决定组距与组数需要根据具体情况灵活处理，第四步列频率分布表时，需要依次计算各个频率，计算量大些，要仔细耐心，算完之后可以将所有的频率相加看是否得1，以进行检验．完成这四步之后，可以利用其结果，画频率分布直方图．4．频率分布直方图可以将频率分布表中反映出来的规律直观形象地表示出来．画频率分布直方图之前需要建立一个坐标系，横轴表示数据，将各组数据的分点标在横轴上；纵轴表示频率与组距的比值．各个小长方形的面积等于相应各组的频率，这样频率分布直方图就以图形的面积形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．在频率分布直方图中，由于各小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1，因此各小长方形的面积的和等于1.5．利用Excel表格做直方图，培养学生数据处理能力是大纲明确提出的要求，为了便于学生掌握，教材给出了具体步骤，可让学生按照步骤来操作．6．本节教学的重点是频率分布表，频率分布直方图的绘制；难点是样本数据的整理．10．5总体与样本1．本节的内容是复习总体与样本的概念．2．关于总体与个体，不是笼统地指总体与个体本身，而是指总体与个体的某一数量指标，例如：灯泡的使用寿命，玉米的产量，学生的身高等．因此总体可以看做是某些数据的集合．3．样本是总体这个集合的一个子集．它由总体中的一部分个体组成，这部分个体的数量叫做样本的容量．4．本节教学的重点是掌握总体与样本的概念，理解二者之间的关系．10．6抽样方法1．本节的内容是样本抽取的三种方法：简单随机抽样法，系统抽样法，分层抽样法．2．在讲解每一种抽样方法时，应结合具体问题进行演示与讲解，首先要讲清简单随机抽样，系统抽样，分层抽样三种抽样方法的原理与步骤，并通过对具体问题的解决让学生进3. 统计的基本思想方法是用样本估计总体，即用局部推断整体，这就要求样本应具有良好的代表性，而这完全取决于抽样方法的客观合理性．可见，抽样是选取样本的基础，样本的选取是否恰当，对于研究总体是十分关键的．因此在教学中，要提高对抽样方法重要性的认识．4．本节只讲了具体的抽取方法，关于如何确定样本容量的内容，由于大纲没有涉及，所以本教材也没有做定量的介绍，样本容量的大小，一般取决于下面几个因素：（1）总体中每个个体的差异较大，样本容量就要大些；（2）抽样调查的力量大（人员多，财力强，时间长等），则应要求较小的误差，反之则可允许较大的误差，而误差的大小决定或影响着样本容量的大小；（3）对抽样调查结果愿意承担较小的风险，则应加大样本容量，反之则可适当减少样本容量；（4）在其他条件相似的条件下，不同的抽样方法也可影响到样本容量的大小．5．还应该提出的是，完全随机的样本，在现实中是很少的，因为每一次抽取总是要直接或间接地通过人的判断来执行．也就是说，随机抽样只是一种理想的情况，况且在实际问题中，有时考虑到一些具体因素（例如抽样的代价），也可能有意识的不采用随机抽样的方法．由样本推断总体必然会有误差，但是这种误差是我们可以掌握的，我们可以通过概率论和数理统计的理论和方法，对这些误差进行估计和适当的控制．6．本节教学的重点和难点是对三种抽样方法的掌握．10．7 均值与标准差1．本节的内容是均值与标准差的意义及计算方法．2．上一节给出了用样本频率分布来估计总体频率分布的方法，可以使我们对总体的统计规律有一个直观，完整的了解，但在很多情况下，我们并不需要知道总体的分布状况，而只需要知道它的某些特征就够了，例如，在测量某零件的长度时，由于种种偶然因素的影响，零件长度的测量值每次测量不尽相同，是一个随机变量，一般我们只关心这一零件的平均测量长度及测量结果的精确度，即要求知道测量长度的平均值与离散程度．又如，对一个射手的射击技术的评定，除了根据他多次射击的平均命中环数之外，还要看他各次射击命中的环数与平均命中环数的偏差（也就是射击的散布程度）大不大，偏差越大，表明射击命中点越分散，射击的技术越不稳定．由这些例子可以看出，我们引进一些用来表示平均值和衡量离散程度的量，这些量能够刻画随机变量的主要性质，我们称之为随机变量的数字特征，其中最重要的是均值与标准差．数字特征及其运算在概率统计中起着重要作用，利用它们可以使许多问题的解决大大简化．3．对于均值的计算，教材给出了两种情况及两个计算公式，它们是：x ＝1n （x 1＋x 2＋…＋x n ）＝1n ∑i ＝1n x i ； x ＝x 1·f 1n ＋x 2·f 2n ＋…＋x k ·f k n ＝∑i ＝1k x i ·f i n. 教学中，要让学生能根据不同情况选择不同的公式．4．对于标准差的概念，本节只是明确了它的意义，即“它可以用来衡量一组数据的波动大小，标准差越大，说明这组数据波动越大”．因此本节主要强调标准差的计算及两组标准差大小的比较．5．本节教学的重点和难点是均值与标准差的计算．10．8 用样本估计总体1．本节内容是对总体均值与标准差的估计．2．用样本的均值x 估计总体均值和用样本的标准差估计总体标准差都属于无偏估计． 所谓“无偏估计”就是使估计量符合下面三个标准：（1）无偏性．设θ^（x 1，x 2，…，x n ）是总体中某参数θ的估计量，若E （θ^）＝θ，则称θ^是θ的无偏估计量．我们用x ＝1n ∑i ＝1n x i 去估计总体均值E （x ）＝m ，因为 E （x ）＝E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ∑i ＝1n x i ＝1n ∑i ＝1n E （x i ）＝1n ·n ·m ＝m . 所以估计量x 是满足无偏性的．同样用样本标准差S 去估计总体标准差也具有无偏性．（2）有效性．设θ^1与θ^2都是θ的无偏估计量，若D （θ^1）＜D （θ^2），则称θ1比θ2更有效．用x 和S 来估计总体的均值和标准差比其他估计量更有效．（3）一致性．我们希望，当n 越来越大，n →∞时，估计量θ^对θ的估计越精确，越一致．如果P （||θ^ (n)－θ＜ε＝1，则称θ^（n ）是θ的一致估计量，可以证明，样本均值x 是总体均值的一致估计量，S 也是总体标准差的一致估计量．关于无偏估计的概念不必告诉学生．3．计算均值与标准差可以利用计算器和计算软件，这样可以使繁杂的计算变得简单．4．本节教学内容的重点和难点是对总体均值与标准差的无偏估计． 10．9 一元线性回归1．本节内容是一元线性回归方程的建立．2．变量之间的关系，有一种是确定性关系，如正方形的面积S 与边长x 之间的关系S ＝x 2就是确定性关系； 圆的周长C 与圆的半径r 之间的关系C ＝2πr 也是确定性关系．变量之间除了具有确定性关系之外，还存在一种非确定性关系——相关关系．例如施肥量与亩产量之间虽然不能确定出准确的函数关系式，但它们之间却具有相关性；又如，高中毕业生毕业考试成绩与高考成绩，虽然不具有确定性关系，即二者之间不可能建立精确的函数表达式，但它们的关系也非常密切，一般来说，毕业成绩好的学生高考成绩也比较好．具有相关关系的变量之间，存在着一定的统计规律性，线性回归就是研究这种规律的手段之一．3．观察散点图是求回归直线方程前非常重要的步骤．如果所有的散点大体上散布在某一条直线附近，就可以认为y 对x 的回归函数类型为直线型．通过观察散点图，可以画出不止一条直线，那么，其中哪一条直线最能代表变量y 与x 的关系呢？为了不涉及更多的线性相关的知识，可以认为在整体上与这几个点最接近的一条直线，就是所求的直线，并设为y ^＝a ＋bx ，此处应提醒学生这个解析式不同于一次函数解析式的表示方法．4．再由y ^＝a ＋bx 得到y ^＝a ^＋b ^x 时，教材没有给出a ^，b ^的求解过程，只是说“利用微积分的知识可以算得，当a ^，b ^为下列值时，所得回归直线最好” ，然后就是结论：a ^＝y －b ^x ，b ^＝S xy S xx， 其中，x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1n y i ， S xy ＝∑i ＝1nx i y i －n xy ，S xy ＝∑i ＝1n x 2i －n x 2.这里，只要求学生会用这些公式计算，求出a ^，b ^即可．对于这些较复杂的计算，还是训练学生使用计算器和计算软件计算为好．5．教学中应告诉学生，回归方程y ^＝a ^＋b ^x 与具有函数关系的直线方程y ＝a ＋bx 不同．满足函数关系y ＝a ＋bx 的任意一点（x i ，y i ）一定落在直线y ＝a ＋bx 上，而有相关关系的两个变量的任一观测点（x i ，y i ）都不能保证严格地落在直线y ^＝a ^＋b ^x 上．6. 本节教学内容的重点是一元线性回归方程的建立，难点是方程系数a ^，b ^的计算．（四）复习建议1．学完全单元之后，学生需要对全章知识要点有一个清楚的了解，教材以填空题的形式对全单元内容作了归纳与总结，目的是让学生参加归纳与总结的过程，以达到复习的效果．2．本单元从知识结构上分为三部分：计数原理、概率与统计．计数原理部分分别介绍了分类计数的加法原理和分步计数的乘法原理；概率部分在介绍了随机事件，随机试验，基本事件，频率等基本概念之后给出了概率的统计定义，并安排了概率的简单性质等内容；统计部分在复习了总体，个体，样本等概念之后，介绍了抽取样本的三种方法，在用样本推断总体方面，给出了用样本频率分布推断总体频率分布的频率分布直方图，用样本均值推断总体均值，用样本标准差推断总体标准差的估计，最后简单介绍了相关关系及回归分析．3．在本单元的复习中，应结合专业，加强实践，做到理论能联系实际．例如：关于抽取样本的内容比较繁琐，实际操作上有许多程序，写下来颇费纸张，这部分复习时，就应以实践为主，可以找一个学生熟悉的例子，用适当的方法搞一次抽样调查，在实践中，教师和学生共同总结这部分内容．4．在本单元的复习中，应加强计算器和计算软件的使用教学，在“归纳与总结”中，特意安排了一个计算器和计算软件使用的例题，目的是希望教师能在复习中集中指导 一下计算器和计算软件的使用，提高学生使用计算工具和数据处理的能力．。

古典概型教学设计一、教材分析1、教材地位、作用本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A）版》第三章中的第3.2.1节古典概型。

它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前，学生还未学习排列组合的情况下教学的。

古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，能解释生活中的一些问题。

因此本节课的教学重点是理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

2、学情分析学生基础一般，但师生之间，学生之间情感融洽，上课互动氛围良好。

他们具备一定的观察，类比，分析，归纳能力，但对知识的理解和方法的掌握在一些细节上不完备，反映在解题中就是思维不慎密，过程不完整。

二、教学目标1、知识与技能目标⑴理解等可能事件的概念及概率计算公式；⑵能够准确计算等可能事件的概率。

2、过程与方法根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，通过生活中常见的实际问题引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到等可能性事件的概念及其概率公式，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。

3、情感态度与价值观概率问题与实际生活联系紧密，学生通过概率知识的学习，可以更好的理解随机现象的本质，掌握随机现象的规律，科学地分析、解释生活中的一些现象，初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。

三、重点、难点重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

四、教学过程采用如下流程：1、创设情境提出问题师：在考试中遇到不会做的选择题同学们会怎么办？在你不会做的前提下，蒙对单选题容易还是蒙对不定项选择题容易？这是为什么？【设计意图】通过这个同学们经常会遇到的问题，引导学生合作探索新知识，符合“学生为主体，老师为主导”的现代教育观点，也符合学生的认知规律。

小学数学课堂教学易错题的提前干预策略探究1. 引言1.1 研究背景小学数学教学是教育工作中的重要环节，而学生在学习数学过程中往往会出现一些易错题，这些易错题既影响了学生的学习兴趣和成绩，也挑战了教师的教学能力。

为了帮助学生更好地掌握数学知识，提高学习效率，必须对小学数学课堂易错题的提前干预策略进行深入研究和探究。

在当前教育背景下，学生的学习压力不断增加，教师的教学任务也日益繁重。

如何有效地帮助学生预防和纠正易错题，提高学习效果，成为教师和教育工作者面临的一个重要课题。

针对小学数学课堂易错题的特点和原因进行分析，制定相应的提前干预策略，将有助于改善学生的学习状态，提升教学质量。

本研究旨在探究小学数学课堂易错题的提前干预策略，通过建立错题集、分层教学和诊断性评价等方式，帮助教师有效地预防和纠正学生的易错题，提高教学效果，促进学生的全面发展。

通过深入研究易错题的特点和原因，以及不同的干预策略对学生学习的影响，为未来的教育工作提供理论支撑和实践指导。

1.2 重要性数统计等。

感谢配合！【重要性】：小学数学课堂易错题的提前干预是教学中的重要环节。

通过对学生易错题的深入分析和针对性的干预，可以帮助学生及时纠正错误，提高学习效率，促进学生数学能力的全面发展。

首先,提前干预可以有效预防学生对易错题的积累和固化,避免随着学习的深入,问题逐渐恶化,影响整体学习效果。

其次,通过提前干预,可以帮助教师更好地了解学生的学习情况和问题所在,从而有针对性地进行教学调整和指导。

此外,提前干预还有利于促进学生的自主学习和能力培养,使他们在遇到问题时能够主动寻求解决方法,提高解决问题的能力。

因此,研究小学数学课堂易错题的提前干预策略对于提高教学质量,培养学生自主学习能力具有重要意义。

1.3 研究目的小学数学课堂教学易错题的提前干预策略是为了帮助学生更好地掌握数学知识，提高他们的学习成绩和学习兴趣。

具体研究目的包括以下几个方面：深入了解小学生在数学学习中容易犯错的类型和原因，为制定有效的干预策略提供依据。

数学大概念教学心得体会6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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期末试卷质量分析五年级数学（5篇）1.期末试卷质量分析五年级数学本次试卷的整个难易程度适中，考察的知识面广，题量也符合学生的练习要求，题目的形式多样，实际运用较好，体现了新课标的一些精神，是一套比较好的检测学生双基知识的试题，为今后的教学起到了一定的导向作用。

我校严密组织考试与评卷工作，现将考试结果汇报：期初数834人，到考数829人，到考率99.4%，及格数807人，及格率达97.3%，优秀人数630人，优秀率达76%。

本次考查题型分三大部分：计算部分重点考查学生的分数加减、解方程及混合运算、；概念部分重点考查学生对整数的相关概念的掌握情况及运用概念解决问题的能力；应用部分重点考查学生运用一些基本等量关系解答生活中常见问题的能力及平面图形的空间想象和简单计算能力，运用统计与概率解决鸡兔同笼与点阵中的规律，运用综合知识解决铺地砖、租车问题。

试题的编制侧重于对数学基础知识的考查，同时部分试题蕴涵了对学生运用数学知识解决生活实际问题能力等数学知识综合运用水平的考查。

一、学生试卷解答情况：（一）、数学基本概念、原理、法则的掌握情况：1、能掌握分数加减法的计算方法，并进行相应的口算、笔算。

2、能在认知整数一些基本概念的基础上，按要求找出指定数的全部因数，两个数的最大公因数、最小公倍数。

3、能在认知分数与小数概念的基础上，进行分数与分数、分数与小数的比较及互化。

（二）、运用有关数学知识解决实际问题的能力：1、能在理解分数加减法基本算理的基础上，解答简单分数应用题。

2、能运用一些基本等量关系解答生活中常见相遇问题。

3、能进行平面图形面积的大小比较，基本图形面积计算及综合运用（求组合图形面积），运用数方格方法求简单不规则图形面积。

4、能结合实际的生活经验，运用综合知识解决简单的'实际问题（如第九大题）。

二、主要成绩：教与学实践方式的转变：1、重视基本的运算能力培养，将视算、听算、笔算有机纳入课堂常规训练之中，提高学生的基本运算能力及其正确率。

必修3《3.2古典概型》教学设计一、教学内容分析本节课的内容选自人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A）版》第三章中的第3.2.节古典概型，它在本书中被安排在随机事件的概率之后，几何概型之前。

古典概型是一种最基本的概率模型，它引入前，通过实验和观察地方法可以得到一些事件的概率估计值，但这种做法耗时耗力，引入古典概型后避免了大量的重复试验，得到的是概率准确值。

古典概率在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，还可以解释生活中的一些常见问题，在概率论中占有相当重要的地位。

本节主要是学习古典概型第一课时。

教学过程中让学生通过生活中的一些实例与数学模型理解基本事件的概念和古典概型的两个特征，通过具体的实例来推导古典概型下的概率公式，并通过当堂练习和典型例题加以引申，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型问题。

二、学生情况分析能力：学生基础较差，只具备了很少的的归纳、猜想能力，数学的应用意识与应用能力方面也很差情感：多数学生对数学学习有一定的兴趣，但是实际学习中还有畏难情绪三、教学指导思想与理论依据：本节课以新课标基本理念为依据按照教学大纲进行设计的，针对学生目前学习情况，挖掘生活中相关的简单问题，想办法激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，鼓励学生自主探究、合作交流，确实改变学生的学习方式。

在具体实施中，我根据学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，从最基础讲起，鼓励学生举出生活中的一些实际问题，并进行探讨，使之更容易的理解基本事件的概念和古典概型的两个特征，并推导公式。

四、教学目标：知识目标：正确理解基本事件的概念，准确求出基本事件及其个数；能力目标：进一步发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力；情感目标：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的热情和兴趣，教学重点：掌握古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率.教学难点：如何判断一个试验是否为古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

前言概率论与数理统计是研究自然界及人类社会活动中大量随机现象规律性的一个数学分支，它已广泛地应用于自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产中，并且与其它数学学科互相渗透或结合．概率论与数理统计不仅是数学专业学生必修的一门基础课，而且是经济学、管理学专业学生的一门基础课，应用概率论与数理统计的基本原理和方法处理实际问题的能力也是从事经济管理工作的人员所不可缺少的.由于学习概率论与数理统计需要预先掌握较多的数学知识，因而数学基础较弱的学生往往感到学习困难. 本书编者从事概率论与数理统计的教学工作多年，十分了解学生学习过程中易于混淆的概念和难以掌握的分析计算，有意编写一本既包含概率论与数理统计的基础知识和常用方法，又简洁明了易于教学和自学的经管类教材. 使学生通过本课程的学习，掌握研究随机现象的基本思想和方法，并且具备一定的分析问题和解决问题的能力．本书是根据经济管理专业概率论与数理统计教学大纲编写的教材，以介绍概率论与数理统计基本知识和方法为主，同时注意它的直观背景和实际意义．全书由两大部分组成：第一部分(第一章～第五章)是概率论，包括概率的基本概念、随机变量、随机向量、数字特征、大数定律和中心极限定理.第二部分(第六章～第九章)是数理统计，介绍数理统计最基本的概念和方法，包括抽样分布、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析．本书的特点是：内容精简，删去了因教学时数限制及数学知识准备不足而不能讲授的部分；叙述清晰，强调基本概念和原理的理解，强调方法的实际背景和方法运用的基本步骤；例题和习题贴近经济管理领域的实际问题，力求提高学生学习兴趣的同时，对知识的应用有所启发和提示；书后附有参考答案，利于学生对学习情况进行自我检测.本书可用于经济学、管理学及部分工科专业的概率论与数理统计的教学，对从事经济管理工作的人员能以概率统计中的思想方法思考和解决实际问题亦有帮助.本书编者多年讲授概率论与数理统计这门课程，具有丰富的教学经验. 本书是在王熙照教授直接指导下，在其编著的《概率论与数理统计》的基础上，几经讲授和修改编写而成的．王熙照教授对全书及其细节都提出了许多宝贵意见，在此，特向王教授表示深深的谢意．编者在编写过程中参阅了多本教材，并采用了其中的部分例题与习题，在此一并向原作者表示感谢.由于编者水平所限，书中定有许多不妥之处，恳请读者批评指正．郭迎春2014年1月于河北大学目录前言第1章随机事件与概率§1.1 随机事件§1.2 随机事件的概率§1.3 条件概率与乘法公式§1.4 全概率公式与逆概率公式§1.5 事件的独立性§1.6独立试验序列习题一第2章随机变量及其分布§2.1 随机变量的概念§2.2 离散型随机变量§2.3 连续型随机变量§2.4 随机变量的分布函数§2.5 随机变量函数的分布习题二第3章随机向量及其分布§3.1 多维随机向量及其分布函数§3.2 二维随机向量及其分布§3.3 边缘分布§3.4 随机变量的独立性§3.5 二维随机向量函数的分布§3.6 条件分布习题三第4章数字特征§4.1 数学期望§4.2 方差§4.3 随机向量的数字特征§4.4 矩习题四第5章大数定律和中心极限定理§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理习题五第6章抽样分布§6.1 统计量§6.2抽样分布习题六第7章参数估计§7.1 点估计§7.2 正态总体参数的区间估计习题七第8章假设检验§8.1 假设检验的基本概念§8.2 单个正态总体参数的假设检验*§8.3两个正态总体参数的假设检验习题八＊第9章方差分析与回归分析初步§9.1方差分析§9.2 一元线性回归与最小二乘法§9.3 一元线性回归的显著性检验§9.4 一元线性回归的应用习题九附表附表1 二项分布累计概率值表附表2 泊松分布概率值表附表3 标准正态分布函数表附表4 t分布表分布表附表5 2附表6 F分布表习题答案第1章随机事件及其概率在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象. 例如：向上抛一颗石子必然下落，同性电荷互相排斥，等等. 另一类是在一定条件下我们无法准确预知其结果的现象，称为随机现象．例如：掷一枚硬币，可能出现正面或反面；观察某妇产科新生婴儿的性别，可能为男或女；检查一匹布上的疵点数，结果可能是{0,1,2,}中的某一个；将来某日某种股票的价格是多少，等等. 在对这类现象进行观察或试验时，有多种可能结果，且事先不能预知哪一个结果会发生.虽然随机现象具有偶然性和不确定性，但在对它们进行大量重复观察或试验时，随机现象会呈现出某种固有的规律性．比如，在多次重复掷一枚硬币的试验中，出现正面和反面的次数大约各占一半；持续大量的观察某地新生儿的性别，会发现新生儿男女比例基本固定；多次测量某个零件的直径，结果会稳定在某个数值附近，等等．这种在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性称为统计规律性．概率论和数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科．为了能够运用数学工具对随机现象进行分析，首先应该选择适当的数学语言描述随机现象，建立恰当的数学模型，为进一步研究随机现象打下基础．本章主要介绍概率论的基本概念---随机事件及其概率．§1.1 随机事件1.1.1 随机事件研究随机现象统计规律性的基本方法是对随机现象进行大量的重复试验或观察，这种观察或实验称为随机试验．例如：掷一枚硬币，观察出现正面还是反面；掷一颗骰子，观察向上的点数；用千分卡尺测量某个零件的直径；从一批产品中任取一件，观察其是合格品还是次品；等等．随机试验具有以下三个特点：（1） 在相同的条件下可以重复进行；（2） 每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道试验的所有可能结果；（3） 每次试验之前不能预知哪一个结果会出现．通过随机试验来了解随机现象，首先应明确随机试验所有的可能结果．把随机试验E 的每个可能结果称为该随机试验的样本点，通常用ω表示；把所有样本点的集合称为随机试验的样本空间，通常用Ω表示．例 1 在掷一枚硬币的试验中，有两个可能的结果：出现正面和反面． 令H 表示出现正面，T 表示出现反面，则样本空间为{,}H T Ω=．例2 掷一枚骰子，观察出现的点数，所有可能的结果有6个，若用(1,2,,6)i i =表示出现i 点，则样本空间为{1,2,3,4,5,6}Ω=．例3 检测某液晶显示器上暗点的个数，所有可能的结果有可列无穷多个，该试验的样本空间为{0,1,2,}Ω=．例4 测试某个灯泡的使用寿命，则样本空间为{|,0}t t R t Ω=∈≥．例5观察某人向半径为20厘米的圆形靶子射击的弹着点的位置．假定没有脱靶的情形，以靶心为原点建立平面直角坐标系，则样本空间为222{(,)|20}x y x y Ω=+≤．在研究随机现象时，我们常会关心是否出现满足某种条件的样本点．例如，在检测液晶显示器暗点个数的试验中，常会关心暗点数是否超过某个规定的数目；在产品抽样检验时，常会关心抽出的次品数是否少于规定的次品数目，等等．这些样本点构成样本空间的子集.随机试验E 的样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，通常用,,A B C 表示．在一次随机试验中，当且仅当某事件的一个样本点出现时，称该事件发生．如：在上述例1的随机试验中，{}A H =为一个事件，表示出现正面；在例2的随机试验中，{1,3,5}A =为一个事件，表示掷出了奇数点；在例3中，{0,1,,10}A =为一个事件，表示暗点数不超过10个；在例4中，{|1000}A t t =>为一事件，表示灯泡的使用寿命大于1000小时。