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高三理科数学圆锥曲线综合复习讲义一、基础知识【理解去记】1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+b y a x (a>b>0)， 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。
若焦点在y 轴上，列标准方程为：12222=+by a y (a>b>0)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：12222=+by a x ，a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为ca x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ace =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1. 椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。
若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex.5.补充知识点： 几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为：12020=+byy a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ2222cos 2c a ab l -=。
第09讲 圆锥曲线中的定点、定值问题考点25 直接推理法求定点【常用方法】直接推理法求定点的一般步骤(1)一选(设参)：选择变量，定点问题中的定点，不随某一个量的变化而变化，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．(2)二求(用参)：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． (3)三定点(消参)：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． 【典例分析25】1、已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32 ，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，△F 1PF 2面积的最大值为3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点A (4，0)作关于x 轴对称的两条不同的直线l 1和l 2，l 1交椭圆于M (x 1，y 1)，l 2交椭圆于N (x 1，y 2)，且x 1≠x 2，证明直线MN 过定点，并求出该定点坐标．考点26 逆推法求定点【常用方法】证明直线或曲线过某一定点(定点坐标已知)，可把要证明的结论当条件，逆推上去，若得到使已知条件成立的结论，则证明了直线或曲线过定点． 【典例分析26】2、设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22 ＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2 NM → ．(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP → ·PQ →＝1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3、如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切，其中a >1.(1)求椭圆的方程；(2)不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且AP ⊥AQ ，证明：动直线l 过定点，并且求出该定点坐标．考点27 变量法求定值【常用方法】求解定值问题常用的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典例分析27】1、已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为12 ，点D )23,1(是椭圆C 上一点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过椭圆C 的右焦点F 2且与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于点M ，N ．求证：M ，N 两点的纵坐标之积为定值．2、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过椭圆左焦点F 的直线x －43y ＋3＝0与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO 的面积为34. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA 、MB 交椭圆分别于A 、B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证：直线AB 的斜率为定值．。
圆锥曲线复习讲义一、椭圆方程1、椭圆2212516x y +=，12,F F 是椭圆的左右焦点，p 是椭圆上一点。
〔1〕a =； b =； c =； e =； 〔2〕长轴长=； 短轴长=； 焦距=；12||||PF PF +=; 12F PF ∆的周长=；12F PF S ∆= =；2、椭圆方程是192522=+y x 的M 点到椭圆的左焦点为1F 距离为6，那么M 点到2F 的距离是3、椭圆方程是192522=+y x ，过左焦点为1F 的直线交椭圆于A,B 两点，请问2ABF ∆的 周长是；4 ．〔2012年高考〔春〕〕椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=那么 〔 〕 A ．顶点一样 B ．长轴长一样. C ．离心率一样. D ．焦距相等. 5、 (2007)椭圆1422=+y x 的离心率为〔 〕〔A 〕23〔B 〕43〔C 〕22〔D 〕32 6．〔2005〕假设焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，那么m=〔 〕A ．3B ．23C ．38D ．327.【2102高考】椭圆C ：22x a +22y b =1〔a ＞b ＞0〕的一个顶点为A 〔2,0〕，那么椭圆C 的方程：8、【2012高考】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上，那么椭圆1C 的方程；9、【2012高考】在直角坐标系xOy 中，中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心，椭圆E 的方程；10．〔2004理〕F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，假设△ABF 2是正三角形，那么这个椭圆的离心率是〔 〕〔A 〕32 〔B 〕33 〔C 〕22 〔D 〕23 11．〔2006理〕椭圆中心在原点，一个焦点为F 〔－23，0〕，且长轴长是短轴长的2 倍，那么该椭圆的标准方程是 ．12、经过)2-,3-(16B A ），，（两点的椭圆方程是13、动点M 与定点），（04F 的距离和它到定直线425:=x l 的比是常数54，那么动点M 的轨迹方程是：14．〔2012年高考〕椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,那么该椭圆的方程为〔 〕A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 15．〔2012年高考〔理〕〕椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.16．〔2012年高考〔理〕〕椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.假设|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,那么此椭圆的离心率为_______________.17．〔2012年高考〕在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，,2(0)F c ，.(1)e ，和32e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率，那么椭圆的方程;18．〔2012年高考理〕在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率23e =且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3，那么椭圆C 的方程; 19．〔2012年高考理〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为8，椭圆E 的方程. 20．〔2012年高考〔理〕〕曲线C: 22(5)(2)8()m xm y m R -+-=∈，假设曲线C 是焦点在x 轴的椭圆,那么m 的取值围是;22．〔2012年高考〔理〕〕椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有一样的离心率，那么椭圆2C 的方程;23、如果点M ()y x ，在运动过程中，总满足：()()10332222=-++++y x y x试问点M 的轨迹是；写出它的方程。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
复习讲义（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是A．421=+PF PF B．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF（2）方程8表示的曲线是_____（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（4）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（5）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（6）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（7）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_____（8）已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（9）若椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值是__（答：3或325）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（10）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______（11）双曲线221axby -=:a b =（3）设双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是_______（12）设R a a∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为_______（13）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______（14）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______ （15）过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（16）过点)4,2(作直线与抛物线x y82=只有一个公共点，这样的直线有______（17）过点(0,2)与双曲线116922=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（18）过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____条（19）过抛物线x y42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11_______ （21）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离（22）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点。
①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？（23）已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（24）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（25）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（26）点P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______（27）抛物线x y22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（28）椭圆13422=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（29）短轴长为5，离心率32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________（30）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=⋅F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为（31）椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→<0时，点P 的横坐标的取值范围是（32）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝26，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________（33）已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程（34）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______（35）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_____（36）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （37）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为______（38）试确定m 的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称（39）与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______（40）已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（41）线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为(42)由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为（43）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ (44) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为（45）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（46）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______(47) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件 （48）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy的最大值、最小值分别为______（49）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________（50）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______ （51）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______ （52）过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条 （53）设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合（54）已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______ （55）两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限，则实数a 的取值范围是____（56）设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++= 与sin sin 0bx B y C -+= 的位置关系是___（57）已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点，222(,)P x y 是直线l 外一点，则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____ （58）直线l 过点（１，０），且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的方程是______（59）点Ａ（４，５）关于直线l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则l 的方程是________ （60）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l :3x －4y+4=0反射。
如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（61）已知ΔABC 顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0，∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：29650x y +-=）；（62）直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（63）已知A x ∈轴，:B l y x ∈=，C （2，1），ABC 周长的最小值为______（64）已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是__________（65）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________ （66）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（67）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是____（68）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____（69）点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______（70）圆12222=+y x与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠k π+，)k z ∈的位置关系为____（71）若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则ab 的值____（72）直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于（73）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （74）已知(,)(0)M a b ab≠是圆222:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=，则A ．//m l ，且l 与圆相交 B ．l m ⊥，且l 与圆相交 C ．//m l ，且l 与圆相离 D ．l m ⊥，且l 与圆相离（75）已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=。
