圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义

圆锥曲线综合复习讲义【基础概念填空】 椭圆1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________.2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是是F 1 ___________，F 2 ____________；椭圆)0b a (1bx a y 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是F 1 ____________，F 2 ____________.3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。

椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。

椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 双曲线 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的差_____________________的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的_________ , 两焦点之间的距离叫做双曲线的________.2.双曲线的标准方程：双曲线0)b 0,1(a by a x 2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________.双曲线0)b 0,1(a bx a y 2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________. 3.几个概念：双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的_____.a 和b 分别叫做双曲线的________长 和_______长。

圆锥曲线实用讲义
一、什么是圆锥曲线
圆锥曲线是一种曲线，它是由一个圆锥和一个圆组成的，它的特点是曲线的弧线部分是圆弧，而曲线的直线部分是直线。

二、圆锥曲线的应用
1、圆锥曲线可以用来描述物体的运动轨迹，如汽车的行驶轨迹，飞机的飞行轨迹等。

2、圆锥曲线也可以用来描述物体的形状，如汽车的车身，飞机的机翼等。

3、圆锥曲线还可以用来描述物体的变形，如汽车的车身变形，飞机的机翼变形等。

4、圆锥曲线还可以用来描述物体的变化，如汽车的车身变化，飞机的机翼变化等。

三、圆锥曲线的计算
圆锥曲线的计算是一个复杂的过程，需要使用数学方法来计算。

一般来说，需要使用椭圆方程、双曲线方程、圆锥方程等来计算圆锥曲线。

5.(2013浙江理)如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的一个顶点,1C 的长 轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两
点,2l 交椭圆于另一点
(1)求椭圆的方程; (2)求面积取最大值时直线的方程.
2.(2013新课标2理)平面直角坐标系
中,过椭圆的右焦点 作直
交于两点,为的中点,且的斜率为. (Ⅰ)求
的方程; (Ⅱ)
为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.
1C D 1C ABD ∆1
l （第21题）
1. (2014全国1理) 已知点A(0,-2)，椭圆E:
x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为 32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为
2 33，O 为坐标原点.
(1) 求E 的方程； (2) 设过点A 的 动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.
4.(2008全国理) 设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．。

圆锥曲线复习讲义－学生版【基础知识】 一.椭圆与双曲线椭 圆双 曲 线定义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=>1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<方程22221x y a b += 22221x y b a+= 22221x y a b -= 22221y x a b -= 图形焦点 (,0)F c ± (0,)F c ±(,0)F c ± (0,)F c ±焦距 C F F 221=对称轴关于x .y 轴对称，关于原点成中心对称顶点长轴：(-a ,0),(a ,0) 短轴：(0,-b ),(0,b )长轴：(-b ,0),(b ,0) 短轴：(0,-a ),(0,a )实轴：(-a ,0),(a ,0) 虚轴：(0,-b ),(0,b )实轴：(-b ,0),(b ,0)虚轴：(0,-a ),(0,a )轴 长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<< 22222221(1)c c a b be e a a a a+====+>渐进线无xab y ±= x ba y ±= a ,b ,c 2220c b a b a +=>>，2220b a c a c +=>>，M MPK K 1A A 2F F O yx二．抛物线的性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =->22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p-(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x = 2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤离心率1e = 1e = 1e = 1e = 三、弦长公式： ||14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-+= 其中,∆,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和2x 的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次方程,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出AB x x -=+21，ACx x =21；（3）代入弦长公式计算。

圆锥曲线的综合问题讲义解析【课前双基巩固】 知识聚焦1.(1)没有 一个 两个(2)对称轴 渐近线 Δ>0 Δ=0 Δ<0 2.|y 1-y 2| 对点演练1.√2303[解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{2x -y +1=0,x 24+y 28=1消去y ,化简可得6x 2+4x-7=0,所以x 1+x 2=-23,x 1x 2=-76,所以|AB|=√1+k 2·√(x1+x 2)2-4x 1x 2=√1+22×√(-23)2-4×(-76)=√2303.2.54 [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 122-y 12=1,x 222-y 22=1,两式相减,得x 12-x 222=y 12-y 22,即k=y 2-y 1x 2-x 1=x 2+x 12(y 2+y 1),又线段AB 的中点恰好为点P (5,2),所以k=54.3.√3x-y-√3=0 [解析] 抛物线C :y 2=4x 的焦点为F (1,0),设直线l 的方程为y=k (x-1),与抛物线方程联立,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2k 2+4k 2,所以|AB|=x 1+x 2+2=2k 2+4k 2+2=163,解得k 2=3,又直线l 的倾斜角为锐角,所以k=√3,所以直线l 的方程为y=√3(x-1),即√3x-y-√3=0.4.(1+√2,+∞) [解析] 由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形,只要∠AF 2B 为钝角即可,所以有b 2a>2c ,即b 2>2ac ,所以c 2-a 2>2ac ,即e 2-2e-1>0,所以e>1+√2.5.1或-1 [解析] 由{x 2-y 2=1,y =k(x -√2),得(1-k 2)x 2+2√2k 2x-2k 2-1=0.当1-k 2=0,即k=±1时,方程只有一根,所以直线与双曲线仅有一个公共点;当1-k 2≠0,即k ≠±1时,要满足题意只需Δ=(2√2k 2)2-4(1-k 2)(-2k 2-1)=0,此时无解.所以若直线l :y=k (x-√2)与双曲线x 2-y 2=1仅有一个公共点,则实数k 的值为1或-1.6.[2-2 √2,2+2 √2] [解析] 由椭圆方程得y 2=1-x 22,所以x 2+y 2+2x=12x 2+2x+1=12(x+2)2-1.由x 22+y 2=1,得|x|≤√2,所以当x=√2时,x 2+y 2+2x 有最大值2+2 √2;当x=-√2时,x 2+y 2+2x 有最小值2-2 √2.所以x 2+y 2+2x ∈[2-2 √2,2+2 √2].第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)由4a=8,得a=2,再由2×12×2c×b=2√3,b 2+c 2=4,e<√22,可求得b=√3,c=1,即可得椭圆的方程.(2)分类讨论:当y 0=0时,可求得x 0=±2,即可求得直线与曲线的交点; 当y 0≠0时,直线l 的方程可化为y=12−3x 0x 4y 0,代入椭圆方程,再由点P (x 0,y 0)为曲线C 上一点,解得x=x 0,代入直线方程,得y=y 0,故直线l 与曲线C 有且只有一个交点P.解:(1)依题意,设椭圆C 的方程为x 2a +y 2b =1(a>b>0),焦距为2c , 由题设条件知4a=8,得a=2,又2×12×2c×b=2√3,b 2+c 2=a 2=4,所以b=√3,c=1或b=1,c=√3(经检验不合题意舍去),故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明:当y 0=0时,由x 024+y 023=1,可得x 0=±2,当x 0=2,y 0=0时,直线l 的方程为x=2,直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2,0). 当x 0=-2,y 0=0时,直线l 的方程为x=-2,直线l 与曲线C 有且只有一个交点 (-2,0). 当y 0≠0时,直线l 的方程为y=12−3x 0x 4y 0,联立{y =12−3x 0x4y 0,x 24+y 23=1,消去y ,得(4y 02+3x 02)x 2-24x 0x+48-16y 02=0.①由点P (x 0,y 0)为曲线C 上一点,得x 024+y 023=1,可得4y 02+3x 02=12.于是方程①可以化简为x 2-2x 0x+x 02=0,解得x=x 0,将x=x 0代入方程y=12−3x 0x 4y 0,可得y=y 0,故直线l 与曲线C 有且只有一个交点P (x 0,y 0).综上,直线l 与曲线C 有且只有一个交点,且交点为P (x 0,y 0).变式题 C [解析] 设|F 1F 2|=2c (c>0),△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1,F 1F 2,PF 2切于点G ,H ,I ,则|PG |=|PI |,|F 1G|=|F 1H|,|F 2H|=|F 2I|.由双曲线的定义知2a=|PF 1|-|PF 2|=|F 1G|-|F 2I|=|F 1H|-|F 2H|,又|F 1H|+|F 2H|=|F 1F 2|=2c ,故|F 1H|=c+a ,|F 2H|=c-a ,所以H (a ,0),即a=2.若直线l 与双曲线的右支交于A ,B 两点,则当l ⊥x 轴时,|AB|有最小值为2b 2a=b 2(通径长);若直线l 与双曲线的两支分别交于A ,B 两点,则当l ⊥y 轴时,|AB|有最小值为2a.于是,由题意得b 2>2a=4,即b>2,c=√a 2+b 2>2√2,所以双曲线的离心率e=ca >√2.故选C. 例2 [思路点拨] (1)根据题意列出方程组求得a ,b ,c 的值,即可求得椭圆的标准方程;(2)设出直线l 的方程,联立直线与椭圆的方程,同时利用弦长公式求四边形OACB 的面积S ,设OC⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0),结合点到直线的距离公式得到关于λ的方程,解方程即可求得最终结果,注意直线斜率不存在的情况.解:(1)由题意得{ ca =√22,√1+3=c,a 2=b 2+c 2,解得{a =√2,b =1,c =1,故椭圆K 的方程为x 22+y 2=1. (2)由(1)知F 2(1,0),由于直线AB 的倾斜角不能为零,所以设直线AB 的方程为my=x-1, 与x 22+y 2=1联立,可得(m 2+2)y 2+2my-1=0.设M (x 0,y 0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=-2m m 2+2,可得y 0=-m m 2+2,x 0=my 0+1=2m 2+2.设C (x ,y ),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0),所以x=λx 0,y=λy 0. 因为C 在K 上,故λ2x 022+y 02=1,得m 2+2=λ2.① 设h 1为点O 到直线AB 的距离,h 2为点C 到直线AB 的距离,则h1h 2=|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1λ-1,得h 2=(λ-1)h 1.又由点到直线的距离公式得h 1=√1+m 2=√λ2-1,而|AB |=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=2√2(1+m 2)m 2+2=2√2(λ2-1)λ2, 所以S=12|AB |(h 1+h 2)=√2(λ2-1)λ2·√λ2-1=√2√λ2-1λ. 由题意知,S=2√3=√3,所以√2√λ2-1λ=√3,得λ=√3.将λ=√3代入①式,得m=±1,所以直线l 的斜率为±1.变式题 解:(1)根据题意可设抛物线C 的标准方程为x 2=2py (p>0).∵|P 1P 2|=4,∴2p=4,∴p=2, ∴抛物线C 的标准方程为x 2=4y. (2)由(1)可知,F (0,1),∴l :y=kx+1, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立{x 2=4y,y =kx +1,消去y ,得x 2-4kx-4=0,∴x 1+x 2=4k ,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2, ∴|MN|=y 1+y 2+p=4k 2+4.又∵点Q (0,3)到直线l 的距离为d=√1+k 2,∴|AB|=2√8−d 2=4√2k 2+12, ∴√1+k 2|AB|=2√2k 2+1,令√2k 2+1=t (t ∈(1,√3]),则k 2=12(t 2-1),∴√1+k 2|AB|=t 2+12t=12t+1t , 又∵t+1t ∈2,4√33,∴|MN|√1+k 2|AB|的取值范围为1,2√33.例3 [思路点拨] 思路一,首先设出直线方程,代入椭圆方程化为关于x 的一元二次方程,然后结合韦达定理可求得直线的斜率,进而求得直线l 的方程;思路二,利用“点差法”求解. x+2y-4=0 [解析] 方法一:易知直线l 的斜率存在.由题意可设l 的方程为y-1=k (x-2),即y=kx-2k+1.联立{y =kx -2k +1,x 216+y 24=1,整理得(1+4k 2)x 2-8(2k 2-k )x+16k 2-16k-12=0(*).设直线l 与椭圆的交点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=8(2k 2-k)1+4k 2.因为AB 的中点为M (2,1), 所以8(2k 2-k)1+4k 2=4,解得k=-12.所以所求l 的方程为y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.方法二: 设直线l 与椭圆的交点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知x 1≠x 2,则由{x 1216+y 124=1,x 2216+y 224=1,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)16+(y 1-y 2)(y 1+y 2)4=0,即(x 1+x 2)+4(y 1+y 2)·y 1-y 2x 1-x 2=0(*).又x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,代入(*),得4+4×2×y 1-y 2x 1-x 2=0,所以y 1-y2x 1-x 2=-12,故直线l 的方程为x+2y-4=0.例4 [思路点拨] 首先利用“点差法”求出直线方程,然后联立直线方程与抛物线方程求得交点坐标,进而可求得△ABF 的面积.2 [解析] 易知F (1,0),点M (2,2)是抛物线内的点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知x 1≠x 2,则{y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减可得y 12-y 22=4(x 1-x 2),化简得到(y 1+y 2)×y 1-y 2x 1-x 2=4,解得k=y 1-y2x 1-x 2=1,所以直线AB 的方程是y-2=x-2,即y=x ,与y 2=4x 联立,可得{x 1=0,y 1=0,{x 2=4,y 2=4,所以S △ABF =12×1×4=2.例5 [思路点拨] 首先根据条件得出直线PQ 的垂直平分线方程,并代入双曲线方程得到关于x 的一元二次方程,结合韦达定理求得中点M 的坐标,然后利用中点在抛物线上,也在直线y=x+b 上可求得b 的值.A [解析] 因为点P ,Q 关于直线y=x+b 对称,所以PQ 的垂直平分线为y=x+b ,所以直线PQ 的斜率为-1.设直线PQ 的方程为y=-x+m ,由{y =−x +m,x 22-y 23=1,得x 2+4mx-2m 2-6=0,所以x P +x Q =-4m ,所以x M =-2m ,所以M (-2m ,3m ).因为PQ 的中点M 在抛物线y 2=9x 上,所以9m 2=9×(-2m ),解得m=0或m=-2,又PQ 的中点M 也在直线y=x+b 上,所以b=5m ,所以b=0或-10,故选A. 强化演练1.6 [解析] 由抛物线y 2=4x 得p=2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为线段AB 的中点M 的横坐标为2,所以x 1+x 2=2×2=4,因为直线AB 过焦点,所以|AB |=x 1+x 2+p=4+2=6.2.2x+2y-3=0 [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入椭圆方程有x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,两式相减得(x 2-x 1)(x 2+x 1)2=-(y 2+y 1)(y 2-y 1),即(x 2-x 1)×22=-(y 2-y 1),所以k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-1,所以直线l 的方程为y-12=-(x-1),即2x+2y-3=0.3.B [解析] 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),双曲线方程为x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),将y=x-1代入双曲线方程,整理得(b 2-a 2)x 2+2a 2x-a 2-a 2b 2=0,得x 1+x 2=2a 2a -b ,则x 1+x 22=a 2a -b =-23.又c 2=a 2+b 2=7,所以a 2=2,b 2=5,所以双曲线的方程是x 22-y 25=1,故选B.4.x 28+y 24=1 [解析] 抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0),∴c=2,设椭圆方程为x 2a2+y 2b2=1(a>0,b>0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入椭圆方程后两式相减,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,由中点M (1,1)及斜率为-12可得a 2b=2.∵a 2-b 2=c 2=4,∴a 2=8,b 2=4,∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1.5.(-2√1313,2√1313) [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是椭圆上关于直线y=4x+m 对称的相异的两点,AB的中点为M (x 0,y 0),则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1,由“点差法”得y 0=3x 0,代入y 0=4x 0+m ,解得M 点坐标为(-m ,-3m ).而M 是AB 的中点,∴M 点在椭圆内部,∴m 24+9m 23<1,解得-2√1313<m<2√1313. 第2课时 最值﹑范围﹑证明问题【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)由顶点坐标及椭圆的离心率,即可求得a 和c 的值,进而可求得椭圆方程; (2)分类讨论,当斜率为0时,即可求得m 的值,设直线l 的方程,代入椭圆方程,利用根与系数的关系及弦长公式即可求得m 的表达式,利用导数求得函数的单调性及最值,即可求得m 的最大值.解:(1)因为椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的顶点坐标为(±√6,0),且离心率为√306, 所以a=√6,且√a 2-b 2a =√306,解得b=1.故椭圆C 的方程为x 26+y 2=1.(2)因为|MN |=4√33>2,所以直线MN 的斜率存在.又因为直线MN 在y 轴上的截距为m ,所以可设直线MN 的方程为y=kx+m , 代入椭圆方程x 26+y 2=1,得(1+6k 2)x 2+12kmx+6(m 2-1)=0,因为Δ=(12km )2-24(1+6k 2)(m 2-1)=24(1+6k 2-m 2)>0,所以m 2<1+6k 2.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由根与系数的关系得x 1+x 2=-12km1+6k 2,x 1x 2=6(m 2-1)1+6k 2,则|MN |=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2√(-12km 1+6k 2)2-24(m 2-1)1+6k 2.因为|MN |=4√33, 所以√1+k 2√(-12km 1+6k 2)2-24(m 2-1)1+6k 2=4√33, 整理得m 2=-18k 4+39k 2+79(1+k 2).令k 2+1=t ≥1,则k 2=t-1, 所以m 2=-18t 2+75t -509t=1975-18t+50t≤75−2×309=53,等号成立的条件是t=53,此时k 2=23,m 2=53,满足m 2<1+6k 2,符合题意.故m 的最大值为√153. 变式题 解:(1)曲线C 上的点满足|PF 1|+|PF 2|=2√2>|F 1F 2|=2,∴曲线C 是以F 1,F 2为焦点的椭圆,且a=√2,c=1,b=1,∴曲线C 的方程是x 22+y 2=1.(2)∵F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μa ,∴M ,N ,F 2三点共线,且直线MN 的斜率为√3,∴直线MN 的方程为y=√3(x-1), 与椭圆方程联立得7x 2-12x+4=0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),∴|MN |=2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =8√27. 设P (√2cos θ,sin θ),∴P 到直线MN 的距离d=|√6cosθ-sinθ-√3|2=|√7sin(θ-φ)+√3|2,∴d max =√7+√32, ∴S △MNP 的最大值为12|MN|·d max =2√14+2√67. 例2 [思路点拨] (1)首先根据抛物线的准线方程可求得a 的值,然后根据椭圆的离心率结合a 2=b 2+c 2可求得b 的值,由此求得椭圆C 1和抛物线C 2的方程;(2)由题意知直线的斜率一定存在,由此设直线l :y=kx+2,代入椭圆的方程,消去y 得到关于x 的一元二次方程,然后利用判别式大于零及根与系数的关系,利用“O 在以线段PQ 为直径的圆的外部”等价于“OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ >0”建立不等式,求得k 的取值范围.解:(1)由题意得a 4=12,∴a=2,故抛物线C 2的方程为x 2=-2y.又e=c a =√32,∴c=√3,∴b=1,从而椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1.(2)显然直线x=0不满足题设条件,故可设直线l :y=kx+2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2). 由{x 24+y 2=1,y =kx +2,得(1+4k 2)x 2+16kx+12=0. ∵Δ=(16k )2-4×12(1+4k 2)>0,∴k∈-∞,-√32∪√32,+∞,x 1+x 2=-16k1+4k 2,x 1x 2=121+4k 2,根据题意,得0°<∠POQ<90°,即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(1+k 2)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=12(1+k 2)1+4k 2+2k×-16k 1+4k 2+4=16−4k 21+4k 2>0,解得-2<k<2.综上得k ∈-2,-√32∪√32,2.变式题 解:(1) 由题知F p2,0,|FA |=3+2√2+p 2,|FD|=√2|FA|=3√2+4+√22p ,则D 3√2+4+√22p+p2,0,FD 的中点坐标为3√22+2+(2+√2)p4,0,则3√22+2+(2+√2)p4=3+2√2,解得p=2,故C 的方程为y 2=4x.(2)证明:依题可设直线AB 的方程为x=my+x 0(m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则E (x 2,-y 2).由{y 2=4x,x =my +x 0消去x ,得y 2-4my-4x 0=0,因为x 0≥12,所以Δ=16m 2+16x 0>0, y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4x 0.设P 的坐标为(x P ,0),则PE ⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x P ,-y 2),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-x P ,y 1). 由题知PE ⃗⃗⃗⃗ ∥PA⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(x 2-x P )y 1+y 2(x 1-x P )=0, 即x 2y 1+y 2x 1=y 22y 1+y 12y 24=y 1y 2(y 1+y 2)4=(y 1+y 2)x P ,显然y 1+y 2=4m ≠0,所以x P =y 1y 24=-x 0,即证得点P 的坐标为(-x 0,0).由题知△EPB 为等腰直角三角形,所以k AP =1,即y 1+y2x 1-x 2=1,即y 1+y 214(y 12-y 22)=1,所以y 1-y 2=4,所以(y 1+y 2)2-4y 1y 2=16,即16m 2+16x 0=16,则m 2=1-x 0,x 0<1. 又因为x 0≥12,所以12≤x 0<1.d=002=2=2−x ,令√2−x 0=t ∈1,√62,则x 0=2-t 2,d=2(2−t 2)t=4t-2t ,易知f (t )=4t-2t 在1,√62上是减函数,所以d∈√63,2.例3 [思路点拨] (1)设经过焦点的直线AB 的方程为y=k x-p2(k ≠0),联立直线的方程和抛物线的方程,利用韦达定理以及斜率之积等于-p 求出p 的值,由此求得抛物线方程;(2)利用(1)求得M 点的坐标,利用直线OM 的方程求出D 点的坐标,两者横坐标的比值大于2,得证.解:(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB (不垂直于x 轴)的方程可设为y=k x-p2(k ≠0). ∵直线AB 过点F 且与抛物线C 交于A ,B 两点,∴y 12=2px 1,y 22=2px 2.∵直线OA 与OB 的斜率之积为-p ,∴y 1y 2x 1x 2=-p ,∴(y 1y 2x 1x 2)2=p 2,得x 1x 2=4.由{y =k (x -p2),y 2=2px,得k 2x 2-(k 2p+2p )x+k 2p 24=0,其中Δ=(k 2p+2p )2-k 2p 2k 2>0,∴x 1+x 2=k 2p+2p k 2,x 1x 2=p 24,∴p=4,∴抛物线C 的方程为y 2=8x.(2)证明:设M (x 0,y 0),D (x 3,y 3),∵M 为线段AB 的中点, ∴x 0=12(x 1+x 2)=k 2p+2p 2k 2=2(k 2+2)k 2,y 0=k (x 0-2)=4k,∴直线OD 的斜率k OD =y 0x 0=2kk 2+2,∴直线OD 的方程为y=2kk 2+2x ,代入抛物线方程y 2=8x ,得x 3=2(k 2+2)2k 2,∴x3x 0=k 2+2,∵k 2>0,∴|OD||OM|=x3x 0=k 2+2>2.变式题 解:(1)依题意得c a =√22,3a 2+12b 2=1,a 2=b 2+c 2,解得a 2=4,b 2=2,故椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)证明:由椭圆的对称性,不妨假设存在k>0,使得|BP||BQ|=12. 由题意得a 2=2b 2,则椭圆C :x 22b 2+y 2b 2=1,联立直线l 与椭圆C 的方程可得(1+2k 2)x 2+4kbx=0,解得x P =-4kb 1+2k 2,所以|BP |=√1+k 2×4kb1+2k 2,因为BP ⊥BQ ,所以|BQ |=√1+(-1k)2×4(-1k)b1+2(-1k)2=√1+k 2×4bk 2+2,因为|BP||BQ|=12,所以2√1+k 2×4kb 1+2k 2 =√1+k 2×4bk 2+2,即2k 3-2k 2+4k-1=0.记f (x )=2x 3-2x 2+4x-1,因为f (14)<0,f (12)>0,所以函数f (x )存在零点,所以存在k ∈R ,使得|BP||BQ|=12.第3课时 定点﹑定值﹑探索性问题【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)设C (x ,y )(y ≠0),由题意与两点间的距离公式可得结论;(2)设直线MN 的方程为x=my+n ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立直线与抛物线的方程结合韦达定理可得y 1y 2的表达式,结合条件中的斜率关系可得到y 1y 2的值,进而建立一个等式,可求得结果.解:(1)设C (x ,y )(y ≠0),因为B 在x 轴上且BC 的中点在y 轴上,所以B (-x ,0),由|AB |=|AC |,得(x+1)2=(x-1)2+y 2,化简得y 2=4x ,所以点C 的轨迹Γ的方程为y 2=4x (y ≠0).(2)证明:设直线MN 的方程为x=my+n ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 由{y 2=4x,x =my +n,得y 2-4my-4n=0,所以y 1y 2=-4n. k MP =y 1-2x 1-1=y 1-2y 124-1=4y1+2,同理k NP =4y 2+2,所以4y1+2+4y2+2=2,化简得y 1y 2=4,又因为y 1y 2=-4n ,所以n=-1, 所以直线MN 过定点(-1,0).变式题 解:(1)如图,因为☉C 1内切☉C 2于点A ,所以r-1=2,解得r=3,所以☉C 2的方程为(x-1)2+y 2=9.因为直线PQ ,PR 分别切☉C 1,☉C 2于Q ,R ,所以C 1Q ⊥PQ ,C 2R ⊥PR ,连接PM ,在Rt △PQM 与Rt △PRM 中,|PQ |=|PA |=|PR |,|PM |=|PM |,所以|QM |=|RM |,所以|MC 1|+|MC 2|=|MQ |+|C 1Q|+|MC 2|=|MR |+|C 1Q|+|C 2M|=|C 1Q|+|C 2R|=4>2=|C 1C 2|, 所以点M 的轨迹C 是以C 1,C 2为焦点,长轴长为4的椭圆(除去长轴端点), 所以M 的轨迹C 的方程为x 24+y 23=1(y ≠0).(2)证明:依题意,设直线MN 的方程为x=ty-1(t ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则M'(x 1,-y 1)且x 1≠x 2,y 1+y 2≠0, 联立{x =ty -1,x 24+y 23=1,消去x ,并整理得(3t 2+4)y 2-6ty-9=0, Δ=(-6t )2-4×(-9)(3t 2+4)=144t 2+144>0,则y 1+y 2=6t 3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4,直线M'N 的方程为y+y 1=y 2+y 1x 2-x 1(x-x 1),令y=0,得x=y 1(x 2-x 1)y 2+y 1+x 1=y 1x 2+x 1y 2y 2+y 1=y 1(ty 2-1)+y 2(ty 1-1)y 2+y 1=2ty 1y 2y 2+y 1-1=-18t 3t 2+46t 3t 2+4-1=-4,故直线M'N 过定点(-4,0).例2 [思路点拨] (1)由题意求得a 2,c 2,再由b 2=a 2-c 2求得b 2,从而可得椭圆的标准方程;(2)证明:设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),可求得直线AR 的方程,与椭圆方程联立,由韦达定理可求得y 1y 3=-4y 125−x 1,进一步可求C 的坐标,同理得D 的坐标,从而可得k 2与k 1的关系式,化简运算即可.解:(1)由题意得{c a =23,a -c =1,解得{a =3,c =2,∴b 2=a 2-c 2=5,故椭圆E 的标准方程为x 29+y 25=1.(2)证明:设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4), 由已知得,直线AR 的方程为y=y 1x 1-1(x-1),即x=x 1-1y 1y+1.联立{x =x 1-1y 1y +1,x 29+y 25=1,消去x 并整理,得5−x 1y 12y 2+x 1-1y 1y-4=0,则y 1y 3=-4y 125−x 1,∵y 1≠0,∴y 3=4y1x 1-5, ∴x 3=x 1-1y 1y 3+1=x 1-1y 1·4y 1x 1-5+1=5x 1-9x 1-5, ∴C5x 1-9x 1-5,4y 1x 1-5.同理D5x 2-9x 2-5,4y 2x 2-5, ∴k 2=4y 1x 1-5-4y 2x 2-55x 1-9x 1-5-5x 2-9x 2-5=4y 1(x 2-5)-4y 2(x 1-5)(5x1-9)(x 2-5)-(5x 2-9)(x 1-5)=4y 1(x 2-5)-4y 2(x 1-5)16(x 2-x 1),∵y 1=k 1(x 1+2),y 2=k 1(x 2+2), ∴k 2=4k 1(x 1+2)(x 2-5)-4k 1(x 2+2)(x 1-5)16(x 2-x 1)=7k 1(x 2-x 1)4(x 2-x 1)=7k 14,∴k1k 2=47为定值.变式题 解:(1)设点P 的坐标为(x ,y ),因为定点F12,0在定直线l : x=-2的右侧,且动点P 到定直线l : x=-2的距离比到定点F 12,0的距离大32,所以x>-2且√(x -12)2+y 2=|x+2|-32,化简得√(x -12)2+y 2=x+12,即y 2=2x ,所以轨迹C 的方程为y 2=2x.(2)证明:设A (2t 12,2t 1),B (2t 22,2t 2)(t 1·t 2≠0),则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t 12-2,2t 1),DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t 22-2,2t 2),因为A ,D ,B 三点共线,所以2t 2(2t 12-2)=2t 1(2t 22-2),所以(t 1-t 2)(t 1t 2+1)=0,又t 1≠t 2,所以t 1t 2=-1.直线OA 的方程为y=1t 1x ,令x=-2,得M -2,-2t 1.同理可得N -2,-2t 2,所以以线段MN 为直径的圆的方程为(x+2)(x+2)+y+2t1y+2t2=0,即(x+2)2+y 2+2t 1+t 2t 1t 2y+4t 1t 2=0.将t 1t 2=-1代入上式,可得(x+2)2+y 2-2(t 1+t 2)y-4=0, 令y=0,得x=0或x=-4,故以线段MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值4.例3 [思路点拨] (1)设M 点坐标为(x ,y ),直接找出关于x ,y 的方程,这就是曲线C 的轨迹方程;(2)设P (m ,0),由∠APF=∠BPF 可知直线BP 与AP 的倾斜角互补,即k BP +k AP =0,得到关于m 的方程,求出m 的值即可.解:(1)设M (x ,y ),则依题意有√(x -1)2+y 2|x -4|=12,整理得x 24+y 23=1,即为曲线C 的方程. (2)存在.设直线AB 的方程为x=ty+1(t ≠0),A (ty 1+1,y 1),B (ty 2+1,y 2),P (m ,0), 则由{x =ty +1,3x 2+4y 2=12,消去x ,得3(ty+1)2+4y 2=12,即(3t 2+4)y 2+6ty-9=0, 则y 1+y 2=-6t3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4, 由∠APF=∠BPF ,得k AP +k BP =0,即y 1ty 1+1−m +y 2ty 2+1−m=0,整理得2ty 1y 2+(1-m )(y 1+y 2)=0, 所以2t ·-93t 2+4+(1-m )·-6t3t 2+4=0,解得m=4.综上知,在x 轴上存在点P (4,0)满足题意.变式题 解:(1)依题意可知,△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|,由于|F 1F 2|=2,故|PF 1|+|PF 2|=4,由于|PF 1|+|PF 2|>|F 1F 2|,故点P 的轨迹C 1是以F 1,F 2为焦点的椭圆的一部分,且a=2,c=1,故b=√3,故C 1的方程为x 24+y 23=1(x ≠±2),C 2的方程为y 2=4x.(2)假设存在.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),设直线AB 的方程为x=my+1, 由{x =my +1,y 2=4x,得y 2-4my-4=0,故y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4, 又k MA +k MB =y 0-y 1x 0-x 1+y 0-y 2x 0-x 2=2k MF 2=2y0x 0-1, 所以(y 0-y 1)(x 0-my 2-1)+(y 0-y 2)(x 0-my 1-1)(x 0-my 1-1)(x 0-my 2-1)=2y 0x 0-1,即-(y 1+y 2)(x 0-1)2+my 0(y 1+y 2)(x 0-1)+2my 1y 2(x 0-1)=2m 2y 0y 1y 2, 即m (x 0+1)(x 0-my 0-1)=0,因为直线AB 不经过点M ,所以x 0-my 0-1≠0,故m=0或x 0+1=0. 当m=0时,C 1上除点1,±32外,均符合题意; 当m ≠0时,M 为-1,32和-1,-32都符合题意.。

圆锥曲线的综合应用一、知识梳理1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.5.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2.6.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.7.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t2|y1－y2|.()解析(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条；直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).答案 C3.已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.解析 法一 直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.法二 如图所示，过F 作AD 的垂线，垂足为H ，则|AF |＝|AD |＝p ＋|AF |sin 60°，即|AF |＝p 1－sin 60°＝21－sin 60°.同理，|BF |＝21＋sin 60°，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝16.答案 164.(2019·浙江八校联考)抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且这两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则( ) A.x 3＝x 1＋x 2B.x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C.x 1＋x 2＋x 3＝0D.x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0解析 由⎩⎨⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，消去y 得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－ba ，令kx＋b ＝0得x 3＝－bk ，所以x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3. 答案 B5.(2019·唐山市五校联考)直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( ) A.3B.2C. 3D.2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，把A ，B 两点坐标分别代入双曲线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，又⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，所以x 0a 2＝y 0（y 1－y 2）b 2（x 1－x 2），所以b 2a 2＝y 0（y 1－y 2）x 0（x 1－x 2）＝k OM k l ＝1，所以e 2＝1＋b 2a 2＝2，又e >1，所以e ＝ 2. 答案 D6.(2019·潍坊二模)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则a ＝________.解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线l ：y ＝－14a ，双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别为y ＝12x ，y ＝－12x ，可得x A ＝－12a ，x B ＝12a ，可得|AB |＝12a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝4，解得a ＝14.答案 14考点一 最值问题 角度1 利用几何性质求最值【例1－1】 设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A.9，12B.8，11C.8，12D.10，12解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.答案 C角度2 利用基本不等式或二次函数求最值【例1－2】 (2019·郑州二模)已知动圆E 经过点F (1，0)，且和直线l ：x ＝－1相切.(1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；(2)已知点A (3，0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，∴动点E 的轨迹是以F (1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，故轨迹G 的方程是y 2＝4x .(2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，其中－3<m <0，C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立得方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x 消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0，Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )>0恒成立.由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝4－2m ，x 1·x 2＝m 2，∴|CB |＝42（1－m ）， 点A 到直线l ′的距离d ＝3＋m2， ∴S △ABC ＝12×42（1－m ）×3＋m 2＝21－m ×(3＋m )，令1－m ＝t ，t ∈(1，2)，则m ＝1－t 2，∴S △ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3， 令f (t )＝8t －2t 3，∴f ′(t )＝8－6t 2，令f ′(t )＝0，得t ＝23(负值舍去). 易知y ＝f (t )在⎝⎛⎭⎪⎫1，23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减. ∴y ＝f (t )在t ＝23，即m ＝－13时取得最大值为3239. ∴△ABC 面积的最大值为3239.规律方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【训练1】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝3，且椭圆的离心率为12. (1)求椭圆方程；(2)已知T (－4，0)，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求△MNF 1面积的最大值.解 (1)由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，① |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，②12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，③联立①②③解得a 2－c 2＝3.又c a ＝12，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)根据题意可知直线MN 的斜率存在，且不为0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，代入椭圆方程，整理得(3m 2＋4)y 2－24my ＋36＝0，则Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋所以m 2>4. y 1＋y 2＝24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，则△MNF 1的面积S △MNF 1＝|S △NTF 1－S △MTF 1|＝12|TF 1|·|y 1－y 2|＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫24m 3m 2＋42－1443m 2＋4＝18m 2－44＋3m 2＝6×1m 2－4＋163m 2－4＝6×1m 2－4＋163m 2－4≤62163＝334. 当且仅当m 2－4＝163m 2－4，即m 2＝283时(此时适合Δ>0的条件)取得等号.故△MNF 1面积的最大值为334.考点二 范围问题【例2】 (2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围.(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于(2)解 由(1)可知⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 2， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）.因此，△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△P AB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练2】 (2019·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.解 (1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，∴(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，② 由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2），又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.考点三 证明问题【例3】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差. (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内，∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故k <－12. (2)解 由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0).由(1)及题设得 x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22. 所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1. 所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128.【训练3】 (2018·唐山模拟)如图，圆C 与x 轴相切于点T (2，0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .(1)解 设圆C 的半径为r (r >0)，依题意，圆心C 的坐标为(2，r ).因为|MN |＝3，所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝254.所以r ＝52，圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254.(2)证明 把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0，1)，N (0，4).①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0. 设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2. 所以k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－3（x 1＋x 2）x 1x 2＝1x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋2k 2＋12k 1＋2k 2＝0. 所以∠ANM ＝∠BNM .综合①②知∠ANM ＝∠BNM .三、课后练习1.(2019·烟台一模)已知抛物线M ：y 2＝4x ，过抛物线M 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，且交抛物线的准线于点E .若AE→＝2BE →，则直线l 的斜率为( )A.3B.2 2C. 3D.1解析 分别过A ，B 两点作AD ，BC 垂直于准线，垂足分别为D ，C ， 由AE→＝2BE →，得B 为AE 的中点，∴|AB |＝|BE |， 则|AD |＝2|BC |，由抛物线的定义可知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，∴|AB |＝3|BC |，∴|BE |＝3|BC |，则|CE |＝22|BC |，∴tan ∠CBE ＝|CE ||CB |＝22，∴直线l 的斜率k ＝tan ∠AFx ＝tan ∠CBE ＝2 2.答案 B2.(2019·河北百校联考)已知抛物线y 2＝4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点(A 在第一象限内)，AF→＝3 FB →，过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G ，则△ABG 的面积为( ) A.839 B.1639 C.3239 D.6439解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF→＝3FB →， 所以y 1＝－3y 2，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x 得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4， ∴⎩⎨⎧y 1＝23，y 2＝－233，∴y 1＋y 2＝4m ＝433， ∴m ＝33，∴x 1＋x 2＝103，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，过AB 中点且垂直于直线l 的直线方程为y －233＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53，令y ＝0，可得x ＝113，所以S △ABG ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫113－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋233＝3239. 答案 C3.(2018·全国Ⅲ卷)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析 法一 由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|).又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案 24.(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意.所以，k 的值为－12.5.已知抛物线y 2＝4x ，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为________.解析 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝1.由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AF |－2|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝（x 1＋1）（x 2＋1）－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 22x 2＋x 22＝11＋x 2－1x 22＋1.令x 2－1＝t (t ≥1)，则x 2＝t ＋1，所以|AF |－2|BF |＝11＋t t 2＋2t ＋2＝11＋12＋t ＋2t≥11＋12＋22＝2（1＋2）3＋22＝21＋2＝22－2(当且仅当t ＝2时等号成立)；当直线l 的斜率不存在时，易得|AF |－2|BF |＝1.综上，|AF |－2|BF |的最小值为22－2.答案 22－2。

高中数学讲义圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。

研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。

它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课 椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是______ 2.椭圆1422=+y x 的离心率为______3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为______ 【范例导析】例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。

圆锥曲线与方程要求层次重难点曲线与方程的对应关系 B轨迹方程；圆锥曲线与向量综合；数学思想、方法直线与圆锥曲线的位置关系C1．坐标法：在直角坐标系中确定曲线的方程，并用方程研究曲线的性质，这种研究几何的方法称为坐标法．2．轨迹方程：一条曲线可以看成动点的运动轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．3．在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程()0F x y =，之间具有如下关系：⑴曲线C 上点的坐标都是方程()0F x y =，的解； ⑵以方程()0F x y =，的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程()0F x y =，的曲线，方程()0F x y =，叫做曲线C 的方程．即：()()0M x y C F x y ∈⇔=，，．曲线C 用集合的特征描述为{}()|()0C M x y F x y ==，，． 4．曲线的交点：已知两条曲线1C 和2C 的方程分别为：()0F x y =，，()0G x y =，，则交点坐标对应方程组()0()0F x y G x y =⎧⎨=⎩，，的实数解．5．由曲线求它的方程：①建立直角坐标系；②设动点M 的坐标为()x y ，；③把几何条件转化为坐标表示． ④证明所求的就是曲线的方程．（一般省去证明，只通过验证除去或补上相关的点）6．利用方程研究曲线的性质：知识内容高考要求模块框架椭圆.知识框架①曲线的组成；②曲线与坐标轴的交点； ③曲线的对称性质； ④曲线的变化情况； ⑤画出方程的曲线． 7．求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立x y ，之间的关系()0F x y ，； ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； ④代入转移法：动点()P x y ，依赖于另一动点00()Q x y ，的变化而变化，并且00()Q x y ，又在某已知曲线上，则可先用x y ，的代数式表示00x y ，，再将00x y ，代入已知曲线得要求的轨迹方程； ⑤参数法：当动点()P x y ，坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x y ， 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．8．直线与圆锥曲线的位置关系，可转化为直线与圆锥曲线的方程公共解问题，体现了方程的思想；数形结合也是解决直线与圆锥曲线位置关系的常见方法， 9．圆锥曲线中的思想方法 ⑴方程的思想：大部分题目是以方程形式给出的曲线，因此利用两个方程联立，特别是直线与二次曲线（包括圆与圆锥曲线）的联立后的一元二次方程，可以判断交点个数，可以利用韦达定理求得中点与弦长等，避免直接求交点的复杂计算；⑵函数的思想：对于曲线上的动点，在变化过程中引入一些相互关联、相互制约的量，得到一些函数关系，可以有效地处理一些解析几何问题； ⑶坐标思想：坐标法是解析几何的基本方法，灵活运用坐标法可以解决很多问题，注意对向量的坐标的利用； ⑷对称思想：圆锥曲线与圆都具有一定的对称性，利用对称有时可以达到减少变量，简化计算的效果； ⑸转化思想：利用圆锥曲线的定义、利用平面几何知识将条件进行适当转化，可以达到明了题意，方便解题的目的．⑹其它思想：参数思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、运动的观点，在恰当的时候运用可以达到意想不到的效果．总体来说，解析几何的思想方法很多，对综合性与灵活性要求较高，没有一些很固定的公式化的套路．需要在解题中不断积累经验，多动手多尝试，同时注意思考总结不同题型的典型解题思路，并举一反三，最终达到顺利解决解析几何综合题的目的．1．给出直线的方向向量()1u k =r ，或()u m n =r，． 2．A B C ，，三点共线：①//AB AC u u u r u u u r ；②存在实数λ，使AB AC λ=u u u r u u u r；③若存在实数αβ，，且1αβ+=，使OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r．3．给出0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，等于已知MA MB ⊥，即AMB ∠是直角；给出0MA MB ⋅<u u u r u u u r，等于已知AMB ∠是钝角， 给出0MA MB ⋅>u u u r u u u r，等于已知AMB ∠是锐角．4．给出MA MB MP MA MB λ⎛⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，等于已知MP 是AMB ∠的平分线． 5．在ABC △中，给出OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，等于已知O 是ABC △的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）．6．如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化．。

高考复习指导讲义 第十章 圆锥曲线一、考纲要求1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直 角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线.2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据并给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的 一些实际应用.3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法.4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法. 二、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔f 2(x 0,y 0) =0方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E，半径是24F-E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E ); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内， ｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上， ｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +.(3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭 圆 双曲线 抛物线轨迹条件 点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a ＝点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. 点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆 形标准方程 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)y 2=2px(p ＞0)顶 点 A 1(-a,0),A 2(a,0); B 1(0,-b),B 2(0,b)A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0) 轴对称轴x=0,y=0 长轴长：2a对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b对称轴y=曲线 性 质短轴长：2b焦 点F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上 F(2P，0) 焦点对称轴上焦 距｜F 1F 2｜=2c ，c=b2-a2｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2准 线x=±ca 2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca 2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.离心率 e=a c,0＜e ＜1 e=ac,e ＞1 e=14.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则x=x ′+h x ′=x-h (1) 或(2)y=y ′+k y ′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方 程 焦 点 焦 线 对称轴 椭圆22h)-(x a +22k)-(y b=1 (±c+h,k)x=±c a 2+hx=h y=k 22h)-(x b +22k)-(y a =1 (h,±c+k) y=±c a 2+kx=h y=k 双曲线22h)-(x a -22k)-(y b =1(±c+h,k)=±c a 2+kx=h y=k 22k)-(y a -22h)-(x b=1 (h,±c+h)y=±ca 2+kx=h y=k 抛物线(y-k)2=2p(x-h) (2p+h,k) x=-2p +h y=k (y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k) x=2p +h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2p+k)y=-2p +kx=h (x-h)2=-2p(y-k)(h,- 2p+k)y=2p +k x=h三、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.例1 如果实数x 、y 满足等式(x-2)2+y 2＝３，求y/x 的最大值.解： 此题有多种解法，但用待定参数，转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷.设xy＝k ，则y=kx.要使k 的值最大，只须直线y ＝kx 在第一象限与圆相切 ，而圆心(2，0)到直线y=kx 的距离为3.1022+-k k ＝3，解得k ＝3(-3舍去).(二)充要条件说明 充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这 几种条件，关键在于要对命题之间的关系很清楚.例2 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件，D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解： 由已知乙⇒甲，丙⇒乙，所以丙⇒甲，即丙 是甲的充分条件，故选A. (三)圆的标准方程和一般方程说明 求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程 的互化，以及圆与其他曲线之间的关系，特别是圆与直线之间的关系.例3 圆A ：(x+1)2+(y+1)2=1，圆B ：(x-1)2+(y-1)2=4，则有两圆的公切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解： 要判断两圆公切线的条数，只需要判断出此两圆的位置关系，而不必求出其切线方程 . ∵A 圆圆心是C 1(-1,-1)，B 圆圆心是C 2(1，1)，∴｜C 1C 2｜＝22，r 1＝1，r 2＝2. r 1+r 2＞｜C 1C 2｜即圆A 与圆B 相离，则此两圆有4条公切线.故选D.(四)椭圆及其标准方程，焦点、焦距，椭圆的几何性质：范围、对称性、顶 点、长袖、短轴、离心率、准线，椭圆的画法说明 天体的运行轨道基本都是椭圆，所以掌握椭圆的基本概念是很有必要 的.考试说明中明确要求，要会求椭圆的标准方程和椭圆的有关元素.例4 P 是椭圆162x +252x ＝1上 的点，F 1、Ｆ２为其焦点，若∠F 1PF 2＝90°.求ΔPF 1F 2的面积.解：∵S 21F PF ∆＝21｜PF 1｜·｜PF 2｜，而｜PF 2 ｜+｜PF 2｜＝10， ｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=｜F1F 2｜2=36，联合求解得： PF 1·PF 2＝236-100＝32， ∴S 21F PF ∆＝16.(五)双曲线及其标准方程，焦点、焦距，双曲线的几何性质：范围、对称 性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线，双曲线的画法，等边双曲线说明 根据已知条件会求双曲线的标准方程，以及双曲线的有关元素.这里 与椭圆不同的是实轴、虚轴和渐近线.例5 已知双曲线θtg x 242-θctg y 162＝1(2π＜θ＜π)过点A(43，4).(1)求实轴、虚轴的长；(2)求离心率； (3)求顶点坐标； (4)求点A 的焦半径.解： 因为双曲线过点A(43，4)，所以θtg 24316⨯-θctg 1616 ＝1，tg 2+tg θ-２＝0 ，tg θ＝-2，(tg θ=1舍去，因为2π＜θ＜π＝∴双曲线方程为-482x +82y ＝1. 从而a=22,b=43,c=214. (1)实轴长2a=42 ，虚轴长2b ＝83. (2)离心率e ＝ac＝7. (3)顶点为(0，22)，(0，-22). (4)焦点F 1(0，-214)，F 2(0，214). ｜AF 1｜＝22)1424()34(++＝22(14+1)， ｜AF 2｜＝22)1424()34(-+＝22(14-1).(六)抛物线及其标准方程，焦点、准线、抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，抛物线的画法说明 这部分内容要注意与初中讲的抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)的关系，以及抛物线与双曲线一支的区别，y=ax 2+bx+c 的对称轴平行于y 轴(或就是y 轴)，双曲线有渐近线，抛物线无渐近线.例6 圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴相切的一个圆的方程是( )A.x 2+y 2-x-2y-41=0 B.x 2+y 2+x-2y+1=0C.x 2+y 2-x-2y+1=0D.x 2+y 2-x-2y+41=0解： 经过配方将四个选项中圆的一般方程化为标准方程.①(x-21)2+(y-1)2=23②(x+21)2+(y-1)2=41 ③(x-21)2+(y-1)2=41④(x-21)2+(y-1)2=1由已知条件，②的圆心不在抛物线y 2=2x 上.而圆要与x 轴相切，则圆心的纵坐标的绝对值 要等于半径.故只有④适合.选D.(七)坐标轴的平移，利用坐标的平移化简圆锥曲线方程说明 坐标轴的平移变换是化简曲线方程的一种重要方法.掌握平移坐标轴的 关键在于正确理解新旧坐标系之间的关系.同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标，同一 条曲线在不同的坐标中有不同的方程.例7 方程x 2+4y 2+6x-8y+1=0的对称中心是( )A.(-3，-1)B.(-3，1)C.(3，-1)D.(3，1)解： 将原方程配方后化为123)(x 2++31)-(y 2=1，∴ 对称中心是(-3，1).故选B.例8 求椭圆9x 2+4y 2-36x+8y+4=0的焦点坐标、长轴与短轴的长、离心率 及准线方程.解： 将原方程配方后化成42)-(x 2+93)(y 2+=1. x ′=x-2令 得到新方程为42x '+92y '=1.y ′=y+3∴a=3,b=2,c=22b -a =5.即长轴长2a=6，短轴长2b=4，离心率e ＝a c ＝315.在新坐标系中，焦点为(0，5)，(0，-5)，准线为y ′＝±c a 2＝±545x=x ′+2由平移公式 ，得在原坐标系中 y=y ′-3焦点为：(2，5-3)、(2，-5-3)， 准线为：y=±545-3.(八)综合例题赏析例9 设集合M=｛x ｜x ＞2｜｝，P=｛x ｜x ＜3｜｝，那么 “x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分也非必要条件解：M ∪N=R ，M ∩N=｛2＜x ＜3｝ ∴x ∈M ∩P ⇒x ∈M 或x ∈N. ∴应选B.例10 已知直线x=a(a ＞0)和圆(x-1)2+y 2=4相切 ，那么a 的值是( )A.5B.4C.3D.2 解：r=2，圆心(1，0)，a ＞0，∴a ＝３ 应选C.例11 设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成 的两段弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l ∶x-2y=0的距 离最小的圆的方程解：设所求圆的圆心P(a,b)半径r 由题设知，P 到x,y 轴的距离分别为｜b ｜,｜a ｜,且圆P 截x 轴的弦所对圆心角为90°，故其弦 长为2r,有r 2=2b 2由“圆P 截y 轴所得弦长为2”有r 2=a 2+1∴2b 2-a 2=1P(a,b)到直线x-2y=0的距离为 d=52b a -,得5d 2=｜a-2b ｜2=a 2+4b 2-4ab ≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)2b 2-a 2=1当且仅当a=b 时上式等号成立，此时5d 2=1从而d 取得最小值 a=b a=1 a=-1 由此有 解得 或2b 2-a 2=1 b=1 b=-1又由r 2=2b 2,得r 2=2.∴所求圆方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2例12 自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在的直线方程.解：设反射光线为L ′∵L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， ∴L ′过A(-3，-3)设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为 y-(-3)=k 〔x-(-3)］,即kx-y+3k-3=0,已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2=1,圆心Ｏ的坐标为(2，2)，半径r=1 ∵L ′和已知圆相切，做Ｏ′到L ′的距离等于半径r=1即13-3k 2-2k 2++k =152+-k k k =1整理得12k 2-25k+12=0 解得k=34或k=43 ∴L ′的方程为y+3=34(x+3);或y+3=43(x+3).即4x-3y+3=0,或3x- 4y-3 ∵L 和L ′关于x 轴对称∴L 的方程为4x+3y+3=0,或3x+4y-3=0.例13 设椭圆22a x +22by =1 (a ＞b ＞0) 的右焦点为F 1，右准线为l 1.若过F 1且垂直于x轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离， 则椭圆的离心率是_________.解：21 例14 已知椭圆252x +162y =1上一点P 到椭圆一个焦点距离为3，则P 到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7解：a 2=25,a=5,2a=10.此椭圆上的点到两焦点的距离之和为10 ∴点P 到另一焦点的距离为10-3=7. 应选D.例15 设双曲线22a x -22by =1 (0＜a ＜b)的半焦距为C ，直线1过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线1的距离为43c ，则双曲线的离心率为( ) A.2.B.3C. 2D.332 解：∵直线1过(a,0)，(0,b), ∴1的方程为a x +by=1, 即bx+ay-ab=0∵原点(0，0)到1的距离为43c ，由点到直线的距离公式 ，得43c=22ba ab +又0＜a ＜b,双曲线中c 2=a 2+b 2,∴c 2=a 2+b 222b a +ab =43,得ab=43,22b a +=43·(a 2+b 2), 整理得3a 2-4ab+3b 2=0,b=3a.∴c 2=a 2+b2=4a 2,c=2a,e=ac=2. 应选A.例16 设F 1和F2为双曲线42x -y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°.则△F 1PF 2的面积是( )A.1B.25C.2D.5解：由已知可得，F 1(-5，0)，F 2(5，0) ∴｜F 1F 2｜=25,｜F 1F 2｜2=20由∠F 1PF 2=90°,得20=｜F １F ２｜２＝｜PF 1｜２+｜PF ２｜２① 由双曲线定义得︳PF 1︳-︳PF ２︳=2a=4，平方得｜PF 1｜2+｜PF 2｜2-2｜PF 1｜·︳PF 1｜=16 ② ①-②得2｜PF 1｜·｜PF 2｜=4 ∴S 21PF F ∆=21｜PF 1｜·｜PF 2｜ 应选A.例17 双曲线2y 2-x 2=1的两个焦点坐标是______.解：(0，3)，(0，-3)例18 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是( ) A.23B.26C.23D.2解：由题设知a=2,c=3. ∴ea c =23. 应选C.例19 已知点(-2，3)与抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点 的距离是5，则p=________. 解：y 2=2px 的焦点坐标是(2p，0)， ∴5=22)30()22(-++p解出p=4.例20 直线l 过抛物线y 2=a(x+1)(a ＞0)的焦点，并 且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a=_______.解：设抛物线焦参数为p ，则a=2p(p ＞0).l 是过焦点的直线且垂直于x 轴即垂直于抛物线y 2=a(x+1)的对称轴. ∴l 被抛物线截得的线段即正焦弦长. ∴4=2p=a ，即a=4.例21 抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为_________.解：由AB ⊥x 轴，│AB │=43，可设A(x 1，23). ∵A(x 1，23)在抛物线y 2=4x 上，∴(23)2=4x 1，得x 1=3.又y 2=4x 的焦点F 的坐标为(1，0)， ∴F 到AB 的距离为3-1=2.例22 焦点在(-1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是( ) A.y 2=8(x+1) B.y 2=-8(x+1) C.y 2=8(x-1) D.y 2=-8(x-1) 解：设抛物线焦参数为p ，则焦点和顶点的距离是2p ， 即2p=220)-(01)-(-1 =2，得p=4. 又抛物线顶点坐标为(1，0)，焦点是(-1，0)， ∴y 2=-8(x-1)为所求. 应选D.例23 曲线2y 2+3x+3=0与曲线x 2+y 2-4x-5=0的公共 点的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解：由2y 2+3x+3=0，得y 2=-23x-23≥0， ∴x ≤-1.把y 2=-23x-23代入x 2+y 2-4x-5=0，得 x 2-23x-23-4x-5=0，即2x 2-11x-13=0即(2x-13)(x+1)=0，∴x=-1(舍x=2313).把x=-1代入2y 2+3x+3=0，得y=0. ∴交点为(-1，0)，即只有一个交点. 应选D.例24 设曲线C 的方程是y=x 3-x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1.(1)写出曲线C 1的方程；(2)证明曲线C 与C 1关于点A(2t ，2S)对称；(3)如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明S=43t -t 且t ≠0.解：(1)曲线C 1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s(2)在曲线C 上任取点B 1(x 1，y 1)，设B 2(x 2，y 2)是B 1关于点A 的对称点，则有2x x 21+=2t，2y 21y +=2s， ∴x 1=t-x 2，y 1=s-y 2代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：S-y 2=(t-t 2)3-(t-x 2)，即y 2=(x 2-t)2-(x 2-t)+s ， 可知点B(x 2-y 2)在曲线C 1上反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上， ∴曲线C 与C 1关于点A 对称.(3)∵曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，y=x 2-x∴方程组 ，有且仅有一组解.y=(x-t)3-(x-t)+S消去y ，整理得3tx 2-3t 2x+(t 3-t-S)=0，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根 ∴t ≠0，并且其根的判别式Δ=9t 4-12t(t 3-t-S)=0.t ≠0 即t(t 3-4t-4S)＝0∴S=43t -t 且t ≠0例25 已知l 1，l 2是过点P(-2，0 )的 两条相互垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2-x 2=1各有两个交点，分别为A 1，B 1和A 2，B 2， (1)求l 1的斜率k 1的取值范围；(2)若A 1恰是双曲线的一个顶点，求│A 2B 2│的值. 解：(1)依题意，l 1，l 2的斜率都存在，∵l 1过点P(-2，0)且与y 2-x 2=1有两交点，y=k 1(x+2)(k 1≠0)∴ ①有两个不同的解.y 2-x 2=1消y 整理得(k 21-1)x 2+22k 21x+2k 21-1=0. ②若k 21-1=0，则方程组①只有一解，与题设“l 1和双曲线有两交点”矛盾. ∴k 21-1≠0，即│k │≠1. ②的根的判别式为Δ1=(22k 21)2-4(k 21-1)·(2k 21-1)=4(3k 21-1).设l 2的斜率为k 2，因l 2和双曲线有两交点， y=k 2(x+2)(k 2≠0)∴方程组 ③有两不同解.y 2-x 2=1 在③中消y 整理得(k 22-1)x 2+22k 22x+2k 22-1=0. ④同理有│k 2│≠1，Δ2=4(3k 22-1). 由已知l 1⊥l 2，得k 1·k 2=-1.∴l 1，l 2与双曲线各有两个交点，等价于 3k 21-1＞033＜│k 1│＜3 3k 22-1＞0 解得k 1·k 2=-1 │k 1│≠1 │k 1│≠0，│k 2 │≠1， ∴k 1∈(-3，-1)∪(-1，-33)∪(33，1)∪(1，3). (2)双曲线y 2-x 2=1的顶点为(0，1)，(0，-1).即A 1(0，1)时，有 k 1·(0+2)=1，得k 1=22，k 2 =-11k =-2. 将k 2=-2代入方程④得x 2+42x+3=0 ⑤记l 2与双曲线的两交点为A 2(x 1，y 1)、B 2(x 2，y 2)，则│A 2B 2│2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=3(x 1-x 2)2=3〔(x 1+x 2)2-4x 1x 2〕 由⑤知，x 1+x 2=-42，x 1·x 2=3，∴│A 2B 2│2=3〔(-42)2-4×3〕=60，│A 2B 2│=215.当取A 1(0，-1)时，由双曲线y 2-x 2=1关于x 轴的对称性，知│A 2B 2│=215.∴l 1过双曲线一顶点时，│A 2B 2│=215.例26 已知椭圆242x +162y =1，直线L ∶12x +18y=1，P 是L 上 一 点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上且满足│OQ │·│OP │=│OR │2，当点P 在l 上移动 时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：如图.由题设知Q 不在原点，设P 、R 、Q 的坐标分别为(x P ，y P )、(x R ，y R )、(x ，y)其中x ，y 不同时为零.当点P 不在y 轴上时，由于点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组；24x R 2+16y R 2=1 x 2R =2223y2x 48+x ① ，解得xR yR =x y y 2R =2223y2x 48+y ② 由于点P 在直线l 上及点O 、Q 、P 共线，得方程组：12P x +8P y =1 x P =3y 2x 24+x③，解得 ④P P x y =x y y P =3y2x 24+y当点P 在y 轴上时，经检验①—④也成立.∵│OQ │·│OP │=│OR │2∴22y x +·P y P x 22+=(R 2R2y x+)2，将(1)—(4)代入上式，化简整理得2222)32()y 24(x y x ++=222232)y 48(x yx ++. 因x 与x P 同号或y 与y P 同号，以及③、④知2x+3y ＞0，∴点Q 的轨迹方程为251)-(x 2+351)-(y 2=1.其中(x ，y 不同时为零)点Q 的轨迹是以(1，1)为中心，长短半轴分别为210和315且长轴平行于x 轴的椭圆. 解法二：由题设知点Q 不在原点.设P 、R 、Q 的坐标分别为(x P ，y P )，(x R ，y R )，(x,y)其中x ，y 不同时为零. 设OP 写x 轴正方向的夹角为α，则有 x P =│OP │cos α，y P =│OP │sin α； x R =│OR │cos α，y R =│OP │sin α； x=│OQ │cos α，y=│OQ │sin α；又│OP │·│OQ │=│OR │2，可得 x P =OQOP x x 2R =OQOP x 2① ② y P =OQOP y y 2R =OQOP y 2∵点P 在直线l 上，点R 在椭圆上，12x P +8y P=1 ∴ ，将(1)、(2)代 入，得24x 2R +16y 2R＝１251)-(x 2+351)-(y 2=1.(其中x ，y 不同时为零).∴Q 点的轨迹是以(1，1)为中心，长短半轴分别为210和315且长轴平行于x 轴的椭圆(去掉坐标原点).例27 已知直线l 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点、焦 点在x 轴正半轴上，若点A(-1，0)和点B(0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线的方程.解法一：如图.由题意可设抛物线C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，且x 轴和y 轴不是所求直线，又l 过原点，所 以可设l 的方程y=kx (k ≠0) ①设A ′、B ′分别是A 、B 关于l 的对称点，则有， A ′A ⊥l ，直线AA ′的方程为y=-k1(x+1). ② 由①、②联立得AA ′与l 的交点M 的坐标为(-112+k ，-12+k k).由M 为AA ′的中点，得点A ′的坐标为，xA ′=2(-112+k )+1=1122+-k k ，yA ′=2(12+-k k )+0=-122+k k③ 同理可得点B 的坐标为(1162+k k，1)1(822+-k k ). ∵A ′、B ′均在抛物线y 2=2px (R ＞0)上，∴(-122+k k )2=2p ·1122+-k k ，知k ≠±1 ，p=124-k k.同理(1)1(822+-k k )2=2p ·1162+k k ，得p= k k k ⋅+-)1()1(2222. ∴1242-k k =kk k ⋅+-)1()1(2222， 整理得k 2-k-1=0. 解得k 1=251+，k 2=251-. 但当k=251-时，xA ′=-55＜0，与A ′在抛物线y 2=2px 上矛盾，故舍去.把k=251+代入p=1242-k k =552.∴直线方程为y=251+x ，抛物线方程为y 2=554x.解法二：设点A 、B 关于直线l 的对称点A ′(x 1，y 1)、B ′(x 2，y 2)，则有│OA ′│=│OA │=1，│OB ′│=│OB │=8 设x 轴正向到OB ′的转角为α，则有x 2=8cos α，y 2=8sin α ① ∵A ′，B ′是A ，B 关于直线l 的对称点， 又∠BOA 是直角，∴∠B ′OA ′为直角，得 x 1=cos(α-2π)=sin α，y 1=sin(α-2π)=-cos α ② 由题意知，x 1＞0，x 2＞0，故α为第一象限角.∵A ′，B ′都在抛物线y 2=2px 上，∴cos 2α=2p ·sin α，64sin 2α=2p · cos α∴8sin 3α=cos 3α，得2sin α=cos α 解得sin α=51，cos α=52.代入cos 2α=2psin α，得p=552. ∴抛物线方程为y 2=554x. ∵直线l 平分∠BOB ′， ∴l 的斜率k=tg 〔α+21(2π-α)〕=tg(2α+4π) =)2cos(1)2sin(παπα+++=ααsin 1cos -=251+.∴ 直线l 的方程为y=251+ x. 例28 在面积为1的△PMN 中，tgM=21，tgN=-2，建立适当的坐标系，求出M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方 程.解：如图以MN 所在直线为x 轴，以线段MN 的垂直平分线为y 轴建立坐标系. 设以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆的方程为22a x +22by =1 (a ＞b ＞0) 点M 、N 的坐标分别为(-c,0)、(c,0). 由tgM=21，tg ∠PNx=tg(π-∠MNP)=2，得 直线PM 和直线PN 的方程分别为y=21(x+c),y=2(x-c). x=53c将两方程联立得 ，即P(53c, 34c). y=34c 已知△MNP 的面积为1， ∴1=21｜MN ｜·y P=21 ·2c ·34 c=34 c 2，得c=23，P(635，332).∵｜PM ｜=22y c)(x ++=22)332()23635(++ =3152， ｜PN ｜=22y c)-(x + =22)332()23635(+- =315， ∴2a=｜PM ｜+｜PN ｜=15,a=215， b 2=a 2-c 2=(215)2-(23)2=3 . ∴154x?+3y?=1为所求椭圆方程. 例29 设抛物线经过两点(-1，6)和(-1，-2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得线段长是410，求抛物线的方 程.解：设所求抛物线的顶点坐标为(x 0,y 0)，由题设可设所求抛物线方程为(y-y 0)2=2 p(x-x 0)(p ＞0)∵(-1,6),(-1,-2)在抛物线上，∴抛物线的对称轴为y=2(-2)6+=2，即y 0=2，抛物线方程化为(y-2)2=2p(x -x 0) ① 把(-1，-2)代入，得2px 0=-2p-16 ② 设直线和抛物线两交点坐标为(x 1,y 1)，(x 2,y 2).(y-2)2＝２p(x-x 0)由 ，得 y=2x+7 4x 2+(20-2p)x+(25+2px 0)=0,将①：2px 0=-2p-16代入上面方程，得 4x 2+(20-2p)x+(199-2p)=0，x 1,x 2是方程的两根，由根与系数的关系得x 1+x 2=5-2p，x 1·x 2=42p -9.∴｜x 1-x 2｜=21221x 4x -)x (x +=163p 42+-p∴410=)?y -(y )?x -(x 2121+=5｜x 1-x 2｜=5·163p 42+-p 化简整理得p 2-12p-64=0， 即(p-16)(p+4)=0,又p ＞0， ∴p=16.由2px 0=-2p-16，得x 0=-23. ∴(y-2)2=32(x+23)为所求抛物线方程.例30 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，｜PQ ｜=210，求椭圆的方程. 解：设所求椭圆的方程为22a x +22by =1.依题意知，点P 、Q 的坐标满足方程组：22a x +22by =1 ①(1)y=x+1 ② 将②代入①，整理得(a 2+b 2)x 2+2a 2x+a 2(1-b 2)=0， ③ 设方程③的两个根分别为x 1、x 2，则直线y=x+1和椭圆的交点为， P(x 1,x 1+1)，Q(x 2,x 2+1) 由题设OP ⊥OQ ，｜OP ｜=210，可得 11x 1x +·22x 1x +=-1 (x ２-x 1)２+〔(x 2+1)-(x 1+1)〕２=(210)2. 整理得(x 1+x 2)+2x 1x 2+1=0 ④4(x 1+x 2)２-１６x 1x 2-5=0 ⑤ 解这个方程组，得 x 1x 2=41 x 1x 2=-41 或x 1+x 2=-23 x 1+x 2=-21 根据根与系数的关系，由(3)式得222b a 2+a ＝23 222b a 2+a ＝21(Ⅰ) 或 (Ⅱ)2222b a )b -(1a +＝41 2222b a )b -(1a +＝-41解方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)得 a 2=2 a 2=32或 b 2=32 b 2=2 故所求椭圆方程为22x +322y =1，或322x +22y =1. 例31 已知双曲线C 的实半轴长和虚半轴长的乘积为3，C 的两个焦点分别为F 1、F 2，直线L 过F 2且与直线F 1F 2的夹角为ϕ，tg ϕ=221，L 与线段F 1F 2的垂直平分线的交点是P ，线段PF 2与双曲线C 的交点为Q(且｜PQ ｜∶｜PF 2=2∶1)，求双曲线的方程.解：如图，以直线F 1F 2为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立坐标系.设双曲线C 的方程为22a x -22by =1 (a ＞b ＞0)设F 1，F 2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)，其中C=22b a +，则点P 的坐标为(0，-221，c).由线段的定比分点公式可得Q 点的坐标为(32c,- 221c).将Q 点坐标代入双曲线方程得229a 4c -223621c b =1，整理得16(a b )4-41(a b )2-21=0 解得(a b )2=3或(a b )2=-167(舍去) 由(a b )2=3和题设ab=3，解得a=1，b=3. 故所求双曲线方程为x 2-3y 2=1. 例32 已知点P 在直线x=2上移动，直线l 通过原点且OP 垂直 ，过点A(1，0)和点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程，并指出该轨迹的名称和它 的焦点坐标.解：设点P 的坐标为(2，y 1)，则直线OP 的斜率k OP =2y 1. ∵l ⊥直线OP.∴直线l 的斜率k 1满足k OP ·k 1=-1，即2y 1·k 1=-1，得k 1=-12y . 又直线l 过原点，所以l 的方程为y=-12y x. ∵直线m 过点A(1，0)，P(2，y 1).∴m 的方程为y 1x-y-y 1=0由l 的方程得y 1=-y x 2代入m 的方程得-y x 2-x-y+yx 2=0，即2x 2+y 2-2x=0. 显然点Q 与点A(1，0)不重合，故x ≠1.又2x 2+y 2-2x=0可化为41)21(2 x +212y =1 (x ≠1)， ∴Q 点的轨迹是挖去点(1，0)的椭圆，该椭圆的焦点坐标是(21，21)和(21，-21). 例33 已知椭圆的焦点为F 1(0，-1)和F 2(0，1)，直线 y=4是椭圆的一条准线.(1)求椭圆方程；(2)设点P 在椭圆上，且│PF 1│-│PF 2│=1，求tg ∠F 1PF 2的值.解：如图.(1)设所求椭圆方程为22a y +22bx =1，(a ＞ b ＞0) 由F 1(0，-1)和F 2(0，1)，知c=1，得a 2=b 2+1， ①由一条准线方程为y=4知，ca 2=4 ② 又a 2=b 2+c2 ③由①、②、③解得a 2=4，b 2=3. 故所求椭圆方程为42y +32x =1. (2)由椭圆定义及a=2有│PF 1│+│PF 2│=4 ①由题设有│PF 1│-│PF 2│=1 ②解出│PF 1│=25，│PF 2│=23，又│F 1F 2 │=2. 在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=θ，∴cos θ=2122122212PF PF F F PF PF ⋅-+=53， 从而sin θ=54，tg θ=34，tg ∠F 1PF 2=34. 四、能力训练(一)选择题1.“点M 的坐标是方程f(x ，y)=0的解”是“点M 在方程f(x ，y)=0曲线上”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.抛物线x=-42Y 的焦点坐标是( ) A.(0，1) B.(-1，0)C.(0，-161)D.(-161，0) 3.椭圆(1-m)x 2-my 2=1的长轴长是( ) A.m m --112 B. 112--m m C. mm --2 D. mm ---12 4.下列各对双曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是( ) A.32x -y 2=1和92y -32x =1 B. 32x -y 2=1和y 2-32x =1 C.y 2-32x =1和x 2-32y =1 D. 32x -y 2=-1和32y -92x =15.抛物线x 2-4y=0上一点P 到焦点的距离为3，那么P 的纵坐标是( )A.3B.2C.25D.-2 6.已知椭圆22a x +22by =1 (a ＞b ＞0)的两 个焦点把夹在两条准线间的线段三等分，那么这个椭圆的离心率是( ) A.21 B. 31 C.32 D. 33 7.圆x 2+y 2-2axsin α-2bycos α-a 2cos 2α=0在x 轴上截得的弦长是( )A.2aB.2│a │C.2│a │D.4│a │8.过双曲线的一个焦点，有垂直于实轴的弦PQ ，F ′是另一个焦点，若∠PF ′Q=2π，则双曲线离心率是( ) A.2+2 B. 2+1 C. 2 D. 2-19.抛物线y 2+4y-4x=0的准线方程是( )A.x=0B.y=0C.x=-2D.y=-2 10.椭圆的两准线方程分别为x=433，x=-417，一个 焦点坐标为(6，2)，则椭圆方程是( ) A.161)-(x 2+92)-(y 2=1 B.162)(x 2++92)(y 2+=1 C.252)-(x 2+92)-(y 2=1 D.252)(x 2++92)(y 2+=1 11.设双曲线22a x -22by =1的两条渐近线含 实轴的夹角为θ，而离心率e ∈［2，2］，则θ的取值范围是( )A.［6π，2π］ B.［3π，2π］ C.［2π，32π］ D.［32π，π］12.椭圆92x +42y =1的弦AB 被点(1，1)平分，则 AB 所在的直线方程是( ) A.4x-9y-11=0 B.4x+9y-13=0 C.9x+4y-10=0D.9x-4y-5=013.和x 轴相切，且和圆x 2+y 2=1外切的动圆圆心的轨迹方程是( )A.x 2=2y+1B.x 2=-2y+1C.x 2=2y+1或x 2=-2y+1D.x 2=2│y │+114.如果椭圆a x 2+b y 2=1 (a ＞b ＞0)和曲线m x 2+ny 2=1(m ＞0，n ＞0)有相同的焦点F 1和F 2 ，P 是这两条曲线的交点，则│PF 1│·│PF 2│的值是( ) A.a-m B.41(a-m) C.a 2-m 2 D.a -m15.已知0＜a ＜1＜b ，那么曲线a 2x 2-a 2y 2=log a b 是( )A.焦点在x 轴的双曲线B.焦点在y 轴的椭圆C.焦点在x 轴的等轴双曲线D.焦点在y 轴的等轴双曲线(二)填空题16.直线xsin α+ycos α=m(常量α∈(0，2π)) 被圆x 2+y 2=2所截的弦长为343，则m=________. 17.设椭圆13m 2+x -m 2y 2=1的准 线平行于x 轴，则m 的取值范围是________. 18.如果方程x 2cos2θ+y 2sin θ=1，表示椭圆，那么θ 角的取值范围是_________. 19.设双曲线C ：16x 2-9y 2=1椭圆的焦点恰为双 曲线C 实轴上的两个端点，椭圆与双曲线离心率为互为倒数，则此椭圆方程是________.(三)解答题20.已知两圆C 1∶x 2+y 2+4x-4y-5=0C 2∶x 2+y 2-8x+4y+7=0(1)证明此两圆相切，并求过切点的公切线方程.(2)求过点(2，3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程.21.(1)椭圆22a x +22by =1上一点P 与两焦点 F 1F 2连线所成的角∠F 1PF 2=α，求△F 1PF 2的面积；(2)将上题的椭圆变成双曲线22a x -22by =1 ，求△F 1PF 2的面积.22.抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22a x -22by =1的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，又双曲线与抛物线的一个交点是(1. 5，6)，求抛物线和双曲线的方程.23.已知椭圆252x +212y =1，左、右焦点分别为 F 2、F 1，右准线为L ，问能否在椭圆上求得一点P ，使│PF 1│是P 到L 的距离d 与│PF 2│的比例中项?若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由.24.试就k 的取值(k ∈R ，且k ≠4)讨论方程k-42x +(k-2)y 2=1+k 所表 示曲线的形状. 25.已知椭圆22x +62y =1中有一内接△PAB ，∠X OP=60°，且k PA +k PB =0 (1)求证：直线AB 斜率是定值；(2)求△ABP 的面积的最大值.参考答案(一)1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B 13.D 14.A 15.D (二)16.±36；17.(-31，-41)；18.2k π＜θ＜2k π+4π或2k π+4π＜θ＜2k π+π(k ∈ Z)；19. 252x +92y =1(三)20.解 两圆方程化为：c 1：(x+2)２+(y-2)２=13 C2∶(x-4)２+(y+2)２=13 ，C 1、c ２圆心分别为(-2，2)、(4，-2)，半径都是13，圆心距d=2)?(24)?-(-2++=213，即圆心距等于两圆半径之和，故两 圆外切，因连心线斜率为k 1=4-2-22+=-32，解方 程组 x２＋y ２+4x-4y-5=0x ２＋y ２-8x+4y+7=0 得切点坐标为(1 ，0)，∴公切线方程为y=23(x-1),即3x-2y-3=0,(两圆相外切时，两圆方程相 减得根轴方程，即过切的公切线方程).(2)与两圆相切于点(1，0)的圆圆心必在直线y=-23(x-1)上，且(x-1)２+y ２=(x-2)２+(y-3)２，解上面两方程组成的方程组得圆心坐标为(-4，310)，r ２=9325,∴所求圆方程为(x-4)２+(y-310)２=9325 ,即3x ２+3y ２+24x-20y-2 7=0. 21.(1)(2c)２=|PF 1|２+|PF 2|２-2|PF 1||PF 2|cosa=(|PF 1|+|PF 2|)２-2|PF 1||PF 2|(1+cosa) ∴|PF 1|·|PF 2|=22cos 2c?-4(a?2α⋅,S=21|PF 1||PF 2|sina=b ２tg 2α, (2)(2c)２=(|PF 1|-|PF 2|)２+2|PF 1||PF 2|(1-cos α)，|P F 1|·|PF 2|=2sin 22a?-4(c?2⋅⋅,S=b ２ctg 2α. 22.双曲线焦距是2b?a?+设抛物线方程为y ２=4x 2b a?+;(1.5,6)在其上，∴b?a?+=1故抛物线方程为y ２=4x,又a?5.1-b?6=1,a ２+b ２=1,∴双曲线方程是4x ２-34y?=1; 23.a=5,b=21,c=2,e=32,设若有点P ，使|PF 1|２=d ·|PF 2|， 即21PF PF =2PF d =e 1=25 |PF 1|+|PF 2|=10，25|PF 1|+|PF 2|=10；|PF 2|=720 ；|PF 1|=25 |PF 2|=750 ;|PF 1|-|PF 2|=730＞2c ，∴P 不存在； 24.k ＜-1或k ＞4实轴在y 轴上的双曲线；-1＜k ＜2，实轴在x 轴上的双曲线2＜k ＜4,k=3时， 圆k ≠3，即k ∈(2,3)∪(3,4)是长轴为y 轴的椭圆.y=3x25.(1) P(1，3 )， 2x?+6y?=1由k PA +k PB =0 L PA ∶y-3=k(x-1) L PB ：y-3 =-k(x-1)可求得 x A =3k 3-k 32-k?2+ x B =k ２+23 k-3k AB ＝3(定值)， y B =3336k -k?3-2++k y B＝3336k k?3-2+++k (2)｜AB ｜ ＝34162b -，P 到AB 的距离d=2b ，S △PAB ＝21｜AB ｜·d ＝21[]36-6)-(b 3122-≤3，S△PAB 最大值是3.。