探索勾股定理教案

1.1探索勾股定理（1）教学目标：知识与技能了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。

过程与方法：让学生经历用面积法、拼图法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜测、验证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

情感态度与价值观：（1）通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国，热爱祖国的悠久文化，激励学生发奋学习。

（2）让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。

情感、态度与价值观1．在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理能力。

2．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。

3．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。

教学重点：重点：探索和证明勾股定理。

经历探索及验证勾股定理的过程。

难点：用拼图的方法证明勾股定理。

【设计思路】本课教学时强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调小组之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。

让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。

教学过程：一、情景引入，示标导学师出示一幅图片，图片为2021年在我国北京召开的第24届国际数学家大会的场景，值得一提的是这次大会的会徽，为著名的赵爽弦图。

提出本节课学习的1内容，点明课题。

并出示本节课应达成的目标。

设计说明：从现实生活中提出本节课学习的内容，激发学生探索勾股定理的兴趣。

同时为探索勾股定理提供背景资料。

二、自主学习合作释疑相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．师：现在请同学们也观察一下，你有什么发现？（根据学案纸上的提示，小组合作完成。

）探究1：等腰直角三角形三边之间的关系？问题1：地砖是由全等的等腰直角三角形拼接而成的，每个直角三角形都相邻三个正方形，这三个正方形面积间有怎样的关系？你是怎样看出来的？问题2：如果用等腰直角三角形三边长来分别表示这三个正方形的面积，又将反映三边怎样的数量关系？师：这是关于等腰直角三角形的面积与边长的关系，那么对于一般的直角三2角形这两个规律还成立吗？探究2：一般直角三角形三边之间的关系？问题3：等腰直角三角形满足上述关系，那么一般直角三角形呢？2、三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？3、设：直角三角形的三边长分别是a、b、c猜想：两直角边a、b与斜边c 之间的关系？教师指导学生合作讨论完成，并抽取学生回答小组的探究结果。

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初中数学勾股定理教案篇一一、教案背景概述：教材分析：勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的形的特点，转化为三边之间的数的关系，它是数形结合的榜样。

它可以解决许多直角三角形中的计算问题，它是直角三角形特有的性质，是初中数学教学内容重点之一。

本节课的重点是发现勾股定理，难点是说明勾股定理的正确性。

学生分析：1、考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正能仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。

2、以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣。

设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。

教学目标：1、经历用面积割、补法探索勾股定理的过程，培养学生主动探究意识，发展合理推理能力，体现数形结合思想。

2、经历用多种割、补图形的方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考能力以及语言表达能力等，感受勾股定理的文化价值。

3、培养学生学习数学的兴趣和爱国热情。

4、欣赏设计图形美。

二、教案运行描述：教学准备阶段：学生准备：正方形网格纸若干，全等的直角三角形纸片若干，彩笔、直角三角尺、铅笔等。

老师准备：毕达哥拉斯、赵爽、刘徽等证明勾股定理的图片以及其它有关人物历史资料等投影图片。

三、教学流程：（一）引入同学们，当你每天手握三角尺绘制自己的宏伟蓝图时，你是否想过：他们的边有什么关系呢？今天我们来探索这一小秘密。

勾股定理优质课教学设计一、教学目标：1.能说出勾股定理，并能应用其进行简单的计算和应用；2.通过对勾股定理的探究，培养学生观察、猜想、分析和概括的能力；3.经历观察—猜想—归纳—验证的过程，体会数形结合和由未知向已知转化的数学思想；4.通过对勾股定理历史的学习，渗透情感教育，激发学生探究数学的兴趣。

二、教学重点：勾股定理的探索过程；教学难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理。

三、教学设计：（一）【创设情境，引入新课】：以龟兔赛跑的故事引入新课，提问：兔子和乌龟谁走的路程短？短多少呢?A3米┐C B4米【设计意图:将实际问题转化成数学问题：在直角三角形中，已知两条直角边如何求斜边？指出本节课的学习目标，同时激发学生学习的兴趣和探究的欲望】（二）【探究活动】：活动一：如图，若将小方格的面积看作1，则以BC为一边的正方形面积是16，以AC为一边的正方形的面积是9，你能计算出以AB为一边的正方形的面积吗？1.学生在学案上独立分析2.小组交流，由小组代表到台前展示3.给出“割补”法。

【设计意图:通过活动，引导学生感悟：把图形进行“割”或“补”，两种方法体现的是同一个目的，把不能利用网格直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形，体现了转化思想】活动二：在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的Rt△ABC(∠C=90°)，并分别以这个直角三角形的三边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形的面积。

1.学生独立思考2.请几位同学叙述自己的结果，并将数据填入表格：观察实验数据，（1）你能得到什么猜想？（2）若∠C≠90°，利用同样的方法计算出图形中各个正方形的面积，是否满足刚才的猜想?(学生分组计算）【设计意图：通过与锐角三角形和钝角三角形对比，进一步强调勾股定理的适用范围，同时也是对“割补法”的再次运用，有利于突破本节课的难点，而且为归纳结论打下了基础】（3）思考：Rt△ABC中，如果BC=a,AC=b,AB=c,你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？（充分让学生交流、总结、表达）【设计意图：将直角三角形中面积的关系转化为三边的数量关系，体现了“数形结合”的思想】(4)小结：文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 符号语言：因为∠C =90°，所以a ²+b ²=c ²。

第一环节：引入新课导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).第二环节：新知构建[过渡语]一样的科学结论,可能会有很多的证明方式,人们对勾股定理的验证,就给出了多种的证明方式,我们也一起来尝试下吧.1.勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:讨论交流.师总结:图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 - 5采用的是“补”的方法,而图1 - 6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.ab+c2两种方法.生:得出(a+b)2,4×12(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图1 - 4及“做一做”,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做”的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.2.勾股定理的简单应用思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材P8图1 - 8.【提问】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成) 思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB 2=BC 2+AC 2,也就是5002=BC 2+4002,所以BC =300.敌方汽车10 s 行驶了300 m,那么它1 h 行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h .[知识拓展] 利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a +b )(a +b ),又可以表示为12(2ab +c 2),所以可得12(a +b )(a +b )=12(2ab +c 2),化简可得a 2+b 2=c 2.第三环节：课堂小结1.勾股定理的验证方法{测量法数格子法面积法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题. 第四环节：检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )解析:A,B,C 都可以利用图形面积得出a ,b ,c 的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C 选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.故选D .2.用四个边长均为a ,b ,c 的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是 ()A.c 2=a 2+b 2B.c 2=a 2+2ab +b 2C .c 2=a 2-2ab +b 2D .c 2=(a +b )2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c ,里面的小四边形也为正方形,边长为b-a ,则有c 2=12ab ×4+(b-a )2,整理得c 2=a 2+b 2.故选A .3.如图所示,大正方形的面积是 ,另一种方法计算大正方形的面积是 ,两种结果相等,推得勾股定理是 .解析:如图所示,大正方形的面积是(a +b )2,另一种计算方法是4×12ab +c 2,即(a +b )2=4×12ab +c 2,化简得a 2+b 2=c 2.答案:(a +b )24×12ab +c 2 a 2+b 2=c 24.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a ,b ,c (如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S 2,S 3与图(3)中小正方形的面积S 1有什么关系?你能得到a ,b ,c 之间有什么关系?解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S 2+S 3=S 1,这个结论用关系式可表示为a 2+b 2=c 2.计（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？。