![[推荐学习]新版高中数学人教A版选修1-2习题：第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/308d50ea6137ee06eff918ab.webp)
3.1.2复数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1复数z=√3+i2对应的点在复平面的()A.第一象限内B.实轴上C.虚轴上D.第四象限内z=√3+i2=√3−1∈R,∴复数z对应的点在实轴上.故选B.2设x,y均是实数,i是虚数单位,复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,则复数z=x+y i在复平面上的点集用阴影表示为图中的()3在复平面内,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则实数a的值为()A.a=0或a=2B.a=0C.a≠1,且a≠2D.a≠1或a≠2复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,∴a2-2a=0.∴a=0或a=2.故选A.4在复平面内,O 为原点,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为−1+2i,若点A 关于直线y =−x 的对称点为B,则向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为( )A.-2-iB.-2+iC.1+2iD.-1+2iA (-1,2)关于直线y=-x 的对称点为B (-2,1),∴向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-2+i .5复数z 与它的模相等的充要条件是( )A .z 为纯虚数B .z 是实数C .z 是正实数D .z 是非负实数z=|z|,∴z 为实数,且z ≥0.故选D .6复数z=-5-12i 在复平面内对应的点到原点的距离为 .|z|=√(-5)2+(-12)2=13,∴复数z 在复平面内对应的点到原点的距离为13.7在复平面内,表示复数z=(m-3)+2√mi 的点在直线y =x 上,则实数m 的值为 .在复平面内,z=(m-3)+2√mi 表示的点在直线y=x 上,∴m-3=2√m,解之得m=9.8已知复数x 2-6x+5+(x-2)i 在复平面内的对应点在第三象限,则实数x 的取值范围是 .,得{x 2-6x +5<0,x -2<0,解得1<x<2.9在复平面内,A ,B ,C 三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i .(1)求向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数;(2)判定△ABC 的形状.由复数的几何意义,知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i .(2)∵|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10, ∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2, ∴△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形.10在复平面内,已知a ∈R ,则复数z=(a 2-2a+4)-(a 2-2a+2)i 所对应的点在第几象限?复数z 所对应的点的轨迹是什么?a 2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a 2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,∴z 的实部为正数,虚部为负数,∴复数z 所对应的点在第四象限.设z=x+y i(x ,y ∈R ),则{x =a 2-2a +4,y =-(a 2-2a +2),消去a 2-2a ,得y=-x+2(x ≥3),∴复数z 对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x ≥3).能力提升1设z=(2t 2+5t-3)+(t 2+2t+3)i,t ∈R ,则以下结论正确的是( )A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不是纯虚数C .z 一定是纯虚数D .z 对应的点在实轴上方2t 2+5t-3=2(t +54)2−498≥−498,t2+2t +3=(t +1)2+2≥2,∴复数z 对应的点在实轴上方.故选D .2已知平行四边形OABC ,O ,A ,C 三点对应的复数分别为0,1+2i,3-2i,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |等于() A .√5B.2√5C.4D.√13OABC 是平行四边形,故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|3−2i|=√13,故选D .3满足条件|z-i |+|z+i |=3的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A .一条直线B .两条直线C .圆D .椭圆★4设A ,B 为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A )+itan B 对应的点位于复平面的() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限A ,B 为锐角三角形的两个内角,所以A+B >π2,即A >π2−B,sin A>cos B ,cos B-tan A=cos B −sinA cosA <cos B-sin A<0. 又tan B>0,所以点(cos B-tan A ,tan B )在第二象限,故选B .5若复数z 1=3-5i,z 2=1-i,z 3=-2+a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数a= .z 1,z 2,z 3分别对应点P 1(3,-5),P 2(1,-1),P 3(-2,a ),由已知可得-5+13-1=a+1-2-1,从而可得a=5.6在复平面内,O 是原点,已知复数z 1=-1+2i,z 2=1-i,z 3=3-2i,它们所对应的点分别是A ,B ,C ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R ),则x+y 的值是 .,得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2),则xOA⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x(−1,2)+y(1,−1) =(-x+y ,2x-y ).由OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得{-x +y =3,2x -y =-2,解得{x =1,y =4,故x+y=5.7当实数m 分别取什么值时,复数z=(m 2+5m+6)+(m 2-2m-15)i(1)是实数; (2)是虚数; (3)是纯虚数; (4)对应点在实轴上方; (5)对应点在直线x+y+5=0上.由m 2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z 为实数.(2)由m 2-2m-15≠0,得m ≠5,且m ≠-3.故当m ≠5,且m ≠-3时,z 为虚数.(3)由{m 2-2m -15≠0,m 2+5m +6=0,得m=-2. 故当m=-2时,z 为纯虚数.(4)由m 2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z 的对应点在实轴上方.(5)由(m 2+5m+6)+(m 2-2m-15)+5=0,得m =-3-√414或m =-3+√414. 故当m =-3-√414或m =-3+√414时,z 的对应点在直线x+y+5=0上. ★8已知z 1=x 2+√x 2+1i,z2=(x2+a)i 对任意的x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立,试求实数a 的取值范围.|z 1|=√x 4+x 2+1,|z2|=|x2+a|,且|z 1|>|z 2|,∴√x 4+x 2+1>|x2+a|对x ∈R 恒成立等价于(1-2a )x 2+(1-a 2)>0恒成立. 若1-2a=0,解得a =12,当a =12时,0·x 2+(1-14)>0恒成立.若1-2a ≠0,则{1-2a >0,Δ=-4(1-2a )(1-a 2)<0,解得-1<a <12.故a ∈(-1,12).综上可得实数a 的取值范围是-1<a ≤12.。
3.1.2复数的几何意义[教材研读]预习课本P52，思考以下问题～531．复数z＝a＋b i(a，b∈R)与复平面内的点z(a，b)，与平面向量是否有一一对应关系？2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模怎样计算？[要点梳理]1．复平面如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋b i(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．2．复数的几何意义3．复数的模→的模r叫做复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模．(1)定义：向量OZ(2)记法：复数z＝a＋b i的模记为|z|或|a＋b i|.(3)公式：|z|＝|a＋b i|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) 2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) 3．复数的模一定是正实数．( ) [答案] 1.√ 2.× 3.×题型一 复数与复平面内点的对应关系.思考：如何判断复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )在复平面内对应的点的位置．提示：复数与复平面内的点Z (a ，b )一一对应，只需找到点Z (a ，b )的位置即可．求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a－15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．[思路导引] 利用复数与复平面内的点的对应关系，建立实部与虚部满足的数学条件．[解] (1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3<0，a 2－2a －15>0，解得a <－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15>0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)>0，解得a >5或a <－3.(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．[跟踪训练]实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 的点(1)位于x 轴上方； (2)位于直线y ＝x 上．[解] (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，此时z 在复平面内对应的点位于x 轴上方．(2)由m 2＋5m ＋6＝m 2－2m －15，得m ＝－3，此时z 在复平面内对应的点位于直线y ＝x 上．题型二 复数与平面向量的对应关系思考：复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )对应的向量唯一吗？ 提示：复数与平面内从原点出发的向量一一对应是唯一的．(1)已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA→，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA→对应的复数是( ) A ．－5＋5i B ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i(2)在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.①求向量AB→，AC →，BC →对应的复数； ②若ABCD 为平行四边形，求D 对应的复数．[思路导引] (1)由复数与平面向量的对应关系，BA→＝OA →－OB →；(2)利用复数与复平面内点的对应关系，再由向量的坐标运算得所求．[解析] (1)向量OA→，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，根据复数的几何意义，可得向量OA→＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)． 由向量减法的坐标运算可得向量BA→＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i.(2)①设O 为坐标原点，由复数的几何意义知： OA→＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)， 所以AB→＝OB →－OA →＝(1,1)，AC→＝OC →－OA →＝(－2,2)， BC→＝OC →－OB →＝(－3,1)， 所以AB→，AC →，BC →对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i. ②因为ABCD 为平行四边形， 所以AD→＝BC →＝(－3,1)， OD →＝OA →＋AD →＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)，所以D 对应的复数为－2＋i.[答案] (1)B (2)①见解析 ②－2＋i(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[跟踪训练]向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( ) A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1→＝(5，－4)，OZ 2→＝(－5,4)，所以OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是0. [答案] C 题型三 复数的模思考1：复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模是什么？ 提示：复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2.思考2：复数模的几何意义？提示：模的大小运算是数量间的运算．(1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝()A．1＋2i B．－1－2iC．±1±2i D．1＋2i或－1－2i(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)[思路导引]由复数模的求法公式，转化为相应的数学方程和不等式．[解析](1)依题意可设复数z＝a＋2a i(a∈R)，由|z|＝5得a2＋4a2＝5，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.(2)因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4<5，即a 2＋4<5，所以a 2<1， 即－1<a <1. [答案] (1)D (2)B(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z －z 1|表示点Z 到点Z 1之间的距离．如|z －i|＝1表示点Z 到点(0,1)之间的距离为1.[跟踪训练]已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z |＝|z 1|的复数z 对应的点Z 的轨迹是什么图形？[解] (1)|z 1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，所以|z 1|>|z 2|. (2)解法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则点Z 的坐标为(x ，y )． 由|z |＝|z 1|＝2得 x 2＋y 2＝2，即x 2＋y 2＝4.所以点Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．解法二：由|z |＝|z 1|＝2知|OZ→|＝2(O 为坐标原点)， 所以Z 到原点的距离为2.所以Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.课堂归纳小结1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.1．若32<m <2，则复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵32<m <2，∴2m －2>0,3m －7<0.∴复数z ＝(2m －2)＋(3m－7)i 在复平面上对应的点位于第四象限．[答案] D2．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[解析] 由题意知点A 的坐标为(6,5)，点B 的坐标为(－2,3)．由中点坐标公式，得线段AB 的中点C 的坐标为(2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.[答案] C3．已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________．[解析]∵|z|＝a2＋1，而0<a<2，∴1<a2＋1<5，∴1<|z|< 5.[答案](1，5)4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2m i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．[解析]∵z＝(m－3)＋2m i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2m，解得m＝9.[答案]95．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值．[解]如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|max＝22＋1.。
