专题10.1 随机抽样(讲)(原卷版)

专题10.1 随机抽样
1.理解随机抽样的必要性和重要性；
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.
3.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.

知识点一 简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽
取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
知识点二 系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，
从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
(2)系统抽样的操作步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体编号；
②确定分段间隔k，对编号进行分段，当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn；
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3
个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.
知识点三 分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数
量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
【知识必备】
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.
3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
考点一 简单随机抽样及其应用
【典例1】（河北邯郸一中2019届模拟）
(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行
质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方
法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的
编号为( )

A.08 B.07 C.02 D.01
【方法技巧】
1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等
可能抽取.
2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).
【变式1】（吉林长春实验中学2019届模拟）
(1)从2 019名学生中选取50名学生参加全国数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从
2 019名学生中剔除19名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( )
A.不全相等 B.均不相等
C.都相等，且为502 019 D.都相等，且为140
(2)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检
验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8
列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行).
87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33
50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73
58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00
13 42 99 66 02 79 54
考点二 系统抽样及其应用
【典例2】（湖南长沙雅礼中学2019届质检）
(1)某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800
名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽
到的数是( )
A.5 B.7 C.11 D.13
(2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间
[139，151]上的运动员人数是________.
【方法技巧】
1.如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝Nn，否则，可随机地从总体中剔除余数，
然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是nN.
2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，
公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.
【变式2】（山东上饶一中2019届模拟）为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了
抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4
的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A.13 B.19 C.20 D.51
考点三 分层抽样及其应用
【典例3】（广西南宁三中2019届质检）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽
样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产
的产品总数为________件.
【方法技巧】
1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的
样本差异要大，且互不重叠.
2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系
(1)样本容量n总体的个数N＝该层抽取的个体数该层的个体数；
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
【变式3】（广东广雅中学2019届模拟）
(1)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学
生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________.
(2)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分
布直方图，现要从这10 000人中用分层抽样的方法抽取100人作进一步调查，则月收入在[2 500，3 000)(元)
内应抽取________人.