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8
相关符号
总 体 ： N { Y 1 ,Y 2 ,L ,Y N }
抽 中 的 号 码 ： i1,i2,L ,in
样 本 ： y(Y i1,Y i2,L,Y in)(y1,y2,L,yn)
抽 样 比 （ S a m p lin gfr a c tio n ） f n N1nN
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有关指标与符号
两种抽取的方法是等价的。每个样本的被抽中的概率 都是 1 / CNn
第2)种
取
法
中
样
本率入为样什的么 1概 ？是 CnN
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4
第 二 种 抽 取 中 ， 不 妨 假 设 Y i 1 , Y i 2 , K K , Y i n 先 后 入 样 ， 则
P(Yi1,Yi2,,Yin) P ( Y i 1 ) P ( Y i 2 | Y i 1 ) P ( Y i 3 |Y i 1 Y i 2 ) L L P ( Y i n |Y i 1 Y i 2 L Y i n 1 )
则： 1EaiN nf
a2 i V 10aiY 否i入N n 则样N N nf1f
3 c o v a i,a j N N n 1 1 N n fN 1 1 f,i j
证 明1 ， ： P (a i 1 由 )N n ,P 引 (a i 0 ) 理 1 N n
由引 于 1， 是 P E(理 a iaaij 1N )n N n f((n N V a 1 r1 ))aiN nN N nf1f
②随机数法
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3
① 抽签法：简单随机抽样就是从盛有N张票子的盒子
里随机无放回地摸取n(<N)张票，它可以有两种取法：
1)从盒子中一次性摸取n张票
2)从盒子中随机地摸取一张票，相应的单元入样后， 票不放回盒子；从余下的N-1张票中再随机地摸取一张 票，相应的单元也入样且票也不放回盒子；依次实施， 直到第n个样本入样。
证 明 ： 样 本C总 Nn; 数
特 定 单Y元 i入 样 的 样 本 数 C11C为 Nn11
两个特Yi， 定 Yj(i单 j)入 元样的样 C22CNn本 22 数
由古典概型的计算公式
一个特定单元入样的概率
C C1 n1 1 N 1 CNn
n N
两个特定单元入样的概率
C22CNn22 CN n
n(n1) N(N1)
1 1 1 NN1 Nn1
(N n)! N!
Yi1,Yi2,,Yin这 组 样 本 与 其 后入 顺样 序的 无先 关 ， 得到这组的样 有n 本 ! 的个数
样 本Y（ i1,Yi2, ,Yin） 入 样 的 概 率 为
n!(Nn)!/N!1N nC 1N n..
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②随机数法
当总体较大时，抽签法实施起来比较困难， 这时可以利用随机数表、随机数骰子、摇奖机、 计算机产生的伪随机数进行抽样。
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简单随机抽样在抽样理论中的地位
优点：简单随机抽样在抽样理论中占有重要地位， 它是其它抽样方法的基础，其理论也最为成熟。其它 许多方法都是建立在简单随机抽样的基础上。
缺点：要求每一个单元都有一个号码，这意味着必 须有一个包含所有单元的完整抽样框，而当N很大 时，这点常常是不具备的；由此得到的样本很分散， 不利于调查。例如，对全国进行人口调查，总体单 元超过12亿，要对全国每个人都编上号，编制一个 完整的抽样框实际上是不可能的。即使可能，当抽 到一个人也很难找到。
(1)利用随机数表进行抽选。
随机数表是一张由0，1，2，…，9这十个数 字组成的，一般常用的是五位数的随机数字表， 10个数字在表中出现的顺序是随机的，每个数字 都有同样的机会被抽中。
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(2)利用随机数骰子进行抽选。 (3)利用摇奖机进行抽选。 (4)利用计算机产生的伪随机数进行抽选。通
常产生的伪随机数有循环周期。 Excel、SPSS等都有随机数发生器等
Chapter 2 简单随机抽样 （Simple Random Sampling）
➢简单随机抽样的定义与抽选方法 ➢简单估计量及其性质 ➢比率估计量及其性质 ➢回归估计量及其性质 ➢样本量的确定原则 ➢若干问题的补充
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1
1 简单随机抽样的定义
与抽选方法
一、定义
从大小为N的总体抽取样本量为n的样本，若全部 可能的样本被抽中的概率都相等，则称这样的抽样为简 单随机抽样。
根据抽样单位是否放回可分为放回简单随机抽样和
不放回简单随机抽样。
1
• 放回简单随机抽样：每个样本抽中的概率 N n
• 不放回简单随机抽样：每个样本抽中的概率 1
实 践 中 ， 考 虑 不 放 简 回 单 的 随 机 抽 样 。Cຫໍສະໝຸດ n N.2
二、实施方法 简单随机样本的抽选，首先要将总体从1到 N
编号，每个单位对应一个号；然后从所编的号 中抽号，如果抽到某个号，则对应的那个单位 入样，直到抽够 n 个单位为止。 ①抽签法
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11
n
求E ( yi )
i1
样 本 (y 1 ,y 2 ,L ,y n )， 将 所 有 可 能 出 现 的 样 本 求 和 ，
总 体 中 每 个 单 元 Y i都 出 现 了 C N n 1 1 次 ， 因 此
n
N
yi
C
n1 N 1
Yi
取遍所有样本i1
i1
n
求平均值 (或求期望）
yi
i1 n
xi
y x
y x
i1
S2 1
N
(YY)2
N2
N1i1
N1
s2 n11in1(yi y)2
2 1
N
(Y Y )2
N j1
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引理
引理1：从大小为N的总体中抽取一个样本容量为n的简单 随机样本，则总体中每个特定的单元入样的概率为n/N， 两个特定单元入样的概率为n（n－1）/N（N-1）。
指标 总值 均值 比例
比率
有限总体方差 无限总体方差
总体
样本
N
n
Y Yi
y yi
i1
i1
Y
1 N
N
Yi
i 1
y
1 n
n i 1
yi
PN N 1NN 1iN 1Yi（ , Yi 1或 0） pn n1 n 1i n1 yi,(yi 1或0）
R
Yi
i1 N
Xi
Y X
Y X
i1
n
Rˆ
n 即E( yi )
i1
n N
N
Yi
i1
取遍所有样本 i1
CNn
yi
n N
N
Yi
i1
问 E i： n j(y i Y )y (j Y ) Nn((nN
1) 1.
)
N
(Y i Y )Y ( j Y )
i j
12
引理2：从大小为N的总体中抽取一个样本容量为n的简
单随机样本。若令：
