2018-2019学年福建省宁德市同心顺六校联盟高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

2018-2019 学年福建省宁德市部分一级达标中学高二 （下）期中数学试卷（文科）副标题题号 一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.在极坐标系中，点与的位置关系是（）A. 关于极轴所在直线对称B. 关于极点对称C. 重合D. 关于直线对称i θ2.欧拉公式 e =cos θ+isin θ（ e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家i π欧拉发明的， e+1=0 是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之 一．根据欧拉公式可知，复数的虚部为（）A.B. C. D.3.用反证法证明命题“设 a ， b ， c 为实数，满足 a+b+c=3，则 a ， b ， c 至少有一个数不小于 1”时，要做的假设是（）A. a ， b ， c 都小于 2B. a ， b ， c 都小于 1C. a ， b ， c 至少有一个小于 2D. a ， b ， c 至少有一个小于 14. 函数 f （ x ） =（ 2ex ） 2+sinx 的导数是（）A. f'（ x ） =4ex+cosxB. f'（ x ） =4ex-cosxC. f'（ x ） =8e 2x+cosxD. f'（ x ） =8e 2x-cosx5. 已知，，， ，依此规律，若，则 a+2b 的值分别是（）A. 79B. 81C. 100D. 986.曲线 2 f 2（）在点（ ，（ ））处的切线与坐标轴围成的三角面积为A. 6B.C. 3D. 127. 函数 f x =3+ xlnx的单调递减区间是（ ）（ ）A. （ ， e ）B. （0， ）C. （-∞， ）D. （ ，+∞）8. 2018 年 4 月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结 束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（）A.甲B.丁或戊C.乙D.丙A. B.C. D.10.用长为30cm的钢条围成一个长方体形状的框架（即12 条棱长总和为30cm），要求长方体的长与宽之比为3： 2，则该长方体最大体积是（）A. 24B.15C. 12D. 611.若 x1＞ x2＞ 1，则（）A. B.C. x2lnx1＞x1lnx2D. x2lnx1＜ x1l nx212.对 ? x＞0，不等式 lnx≥恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A. （）B. （]C. （-∞，2-e）D. （-∞，2-e]二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.z= m-1 +m+2i x+y+1=0上，则实数m的值是______若复数（）（）对应的点在直线．14.在极坐标系中，已知两点，A B两点间的距离为______．，则，15.ABC的边长为a，P ABC内的任意一点，且P到三边AB、BC、CA的设等边△是△距离分别为d1、d2、d3，则有 d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为3，P 是正四面体 ABCD 内的任意一点，且P 到四个面 ABC 、 ABD、 ACD、 BCD 的距离分别为 d1、 d2、 d3、 d4，则有 d1+d2+d3+d4为定值 ______．16.已知函数，其中e是自然对数的底数．若f a +f a2（）（-2）＜ 0，则实数 a 的取值范围是 ______．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.在极坐标系下，已知圆C：ρ =cos θ +sin θ l：x-y+2=0，和直线（Ⅰ）求圆 C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求圆 C 上的点到直线l 的最短距离．2218. （Ⅰ）已知 m∈R，复数 z=（ m -4m-5） +（ m -2m-15） i 是纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）已知复数 z 满足方程 z+（ z-2） i=0，求及||的值．319.设函数f（x）=x -6x+5，x∈R（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程 f（ x） =a 有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范围．20.已知函数，（Ⅰ）分别求f（0） +f（ 1）， f（ -1） +f（ 2）， f（ -2） +f（ 3）的值；（Ⅱ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．21.已知函数 f（ x） =lnx， g（ x） =a（ x2-x）（ a≠0， a∈R）， h（ x） =f（ x） -g（ x）（Ⅰ）若 a=1，求函数 h（ x）的极值；（Ⅱ）若函数y=h（ x）在 [1， +∞）上单调递减，求实数 a 的取值范围．22.设函数 f（ x） =e x-ax-2．（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间；（Ⅱ）若 a=1，k 为整数，且当 x＞ 0 时，（ x-k）f′（ x）+x+1＞ 0，求 k 的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：在极坐标系中，点与如图，则点与的位置关系是关于极轴所在直线对称．故选：A．在极坐标系中画出两点得答案．本题考查极坐标系中点的极坐标，是基础题．2.【答案】B【解析】i θ解：根据欧拉公式 e =cosθ +isin，θ可得，=，∴的虚部为：．故选：B．利用欧拉公式直接求解即可．本题考查了欧拉公式和三角函数求值，属基础题．3.【答案】B【解析】解：a，b，c 至少有一个数不小于1 的对立面就是 a，b，c 三个都小于 1．故选：B．根据“至少有一个”的对立面为“一个也没有“可得．本题考查了反证法，属基础题．4.【答案】C22 2解：根据题意，f （）x=（2ex ）+sinx=4e x +sinx ，导 f ′（x 2 2 2其 数 ）=（4e x ）′+（sinx ）′=8ex+cosx ，故选：C ．根据 题 导 计 算公式 计算即可得答案．意，由 数的本 题 考 查导 数的 计 键 导 数的 计 算公式，属于基 础题 ．算，关 是掌握 【答案】 D5.【解析】解：由，，， ，依此规 律 =n，n ≥2，则，可得 b=9，a=92-1=80，故 a+2b=80+18=98， 故选：D ．仔细观察已知等式的数字可 发现：=n，n ≥2，根据此规律解题即可本题是一道找 规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．6.【答案】 A【解析】解：f （x ）=-x 2+1 的导数为 f ′（2）=-3，f （2）=0可得在点点（2，0）处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为 y=-3（x-2）．分别令 x=0，y=6 可得 y ，x 轴上的截距 为 6，2．即有围成的三角形的面 积为： ×6×2=6．故选：A ．求出函数的 导数，可得切线的斜率，可得切线的方程，求得 x ，y 轴的截距，运本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：f ′（x）=lnx+1 ，令 f ′（x）＜0，解得：0＜ x＜，故选：B．先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．8.【答案】D【解析】解：假设爸爸的猜测是对的，则冠军是丙；假设妈妈的猜测是对的，不合题意；假设孩子的猜测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意．故选：D．分别假设三个人的猜测是对的，另外两个的猜测是错的，分析可得．本题考查了简单的合情推理，属中档题．9.【答案】C【解析】解：函数y=的导数为，令 y′=0，得x=，时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．∴函数在（-），（递递）减，在（）增．且 x=0 时，y=0，故选：C．利用导数求出单调区间，及 x=0 时，y=0，即可求解．本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力．属于中档题，10.【答案】 B【解析】解：设该长方体的宽是 x 米，由题意知，其长是米，高是 =米，（0＜x ＜3）则该长方体的体 积 V （x ）=x?x?（ ）=-x 3+ x 2，V ‘（x ）=- + ，由 V ′（x ）=0，得到x=2，且当 0＜x ＜2 时，V ′（x ）＞0；当 2＜x ＜3 时，V ′（x ）＜0，即体积函数 V （x ）在x=2 处取得极大 值 V （2）=15，也是函数 V （x ）在定义域上的最大 值 ．所以该长方体体积最大值是 15．故选：B ．根据题意知，长方体的所有棱 长和是 30m ，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大 值即可．本小题主要考查长方体的体 积及用导数求函数最 值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理 论证能力和运算求解能力，是中档 题．11.【答案】 A【解析】解：① 令 f （x ）= 则＞ 0，（x ＞1）， f'（x ）=∴f （x ）在（1，+∞）上单调递 增，∴当 x 1＞x 2＞ 1 时， ，即，故A 正确．② 令 g （x ）=则g'（x ）=，（x ＞1）， 令 g （x ）=0，则 x=e ，∴g （x ）在（1，e ）上单调递 增，在（e ，+∞）上单调递 减，易知 C ，D 不正确，故选：A ．构造函数 f （x ）= （x ＞1）和g （x ）= （x ＞ 1）然后根据f （x ）和g （x ）的单调性即可比较大小．本题考查了利用函数的 单调性比较大小，关键是构造函数，属基础题．12.【答案】 B【解析】解：由lnx ≥2（x ＞0）恒成立可得 a ≤xlnx+ex-2x （x ＞ 0）恒成立，令 f （x ）=xlnx+ex 2-2x （x ＞0），则 f ′（x ）=lnx+2ex-1，显然 f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，又 f ′（ ）=-1+2-1=0，∴当 0＜ x ＜ 时，f （′x ）＜0，当x ＞时，f （′x ）＞0，∴当 x=时，f 值f （ ）=- ．（x ）取得最小 ∴a ≤- ．故选：B ．类2导 侧 单调 分 参数得出 a ≤xlnx+ex-2x 数判断右 函数的 性，求出其最小，利用值即可得出 a 的范围．本题考查了导数与函数 单调性的关系，函数恒成立与函数最 值的计算，属于中档题．13.【答案】 -1【解析】解：∵复数 z=（m-1）+（m+2）i 对应的点在直 线 x+y+1=0 上，∴（m-1）+（m+2）+1=0， 解得 m=-1．故答案为：-1．直接把 z 的坐标代入直 线 x+y+1=0 求解实数 m 的值 ．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．14.【答案】5【解析】解：由两点，，得 A ，B 两点的直角坐标分别为 A （，），B（，-2），由两点间的距离公式得：|AB|==．故答案为：5．化 A ，B 的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求解．本题考查点的极坐标化直角坐标，考查两点间距离公式的应用，是基础题．15.【答案】【解析】设为则BO=× =解：底面三角形 BCD 的中心O，锥=．，故棱的高 AO=∴正四面体的体积 V==．又V=VP-ABC+VP-ABD+VP-ACD+VP-BCD=×），（d1+d2+d3+d4∴d1+d2+d3+d4=．故答案为：．根据棱锥的体积不变即可求出答案．本题考查了棱锥的体积计算，棱锥的结构特征，属于中档题．16.【答案】（-2，1）【解析】解：函数，则 f（-x）=-f（x），∴函数 f（x）在R 上为奇函数．f ′（x）=9x 2x≥2≥0∴函数 f （x ）在R 上单调递增．∵f （a ）+f （a 2-2）＜0，∴f （a 2-2）＜-f （a ）=f （-a ），∴a 2-2＜ -a ，交点 -2＜a ＜1．则实数 a 的取值范围是（-2，1）．故答案为：（-2，1）．函数，先判断其奇偶性，利用导数研究函数的 单调性即可解出．本题考查了利用导数研究函数的 单调性，方程与不等式的解法、函数的奇偶性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题．17.【答案】 解：（ Ⅰ ）圆 C ： ρ =cos θ +sin ， θ2即 ρ=ρ cos θ +ρ，sin θ圆 C 的直角坐标方程为：即 x 2+y 2-x-y=0； 直线 l ： x-y+2=0 ，则直线 l 的极坐标方程为x 2+y 2=x+y ，ρ cos θ-ρsin θ+2=0．（ Ⅱ ）由圆 C 的直角坐标方程为 x 2+y 2-x-y=0 可知圆心 C 坐标为，圆心 C 到直线的距离为，因此圆 C 上的点到直线 l 的最短距离为 ．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系求出 结果．（Ⅱ）利用点到直线的距离的公式的 应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐 标方程之间的转换，点到直线的距离公式的 应用，主要考察学生的运算能力和 转换 能力，属于基础题型．18.【答案】 解：（ Ⅰ ） ∵z 为纯虚数，∴，∴m=-1；（Ⅱ），∴，∴【解析】（Ⅰ）根据z 为纯虚数，得 z 的实部为零，虚部不为零，建立方程即可；（Ⅱ）根据方程求出z，然后求出 z 的共轭复数和即可．本题考查了复数的模和复数的运算，属基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）∴当，∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是当；当（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，∴当的图象有 3 个不同交点，即方程 f（ x）=α有三解．【解析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可y=f知（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程 f （x）=a有 3 个不同实根，求得实数 a 的值．考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）；同理；．（Ⅱ）由此猜想：当x1+x2=1 时，．证明：设x1+x2=1，则，故猜想成立．【解析】（Ⅰ）利用条件，求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3），（Ⅱ）归纳猜想一般性结论，利用指数的性质给出证明．本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳猜想是关键．21.【答案】解：（Ⅰ）根据题意可知y=h（ x）的定义域为（0， +∞），，故当 x∈（ 0， 1）时， h'（x）＞ 0，故 h（ x）单调递增；当 x∈（ 1，+∞）时， h'（ x）＜ 0，故 h（ x）单调递减，所以当 x=1 时， h（ x）取得极大值 h（ 1）=0，无极小值．（Ⅱ）由 h（ x） =lnx-a（ x2-x）得，若函数 y=h（ x）在 [1，+∞）上单调递减，此问题可转化为对 x≥1恒成立；，只需，当 x≥1时， 2x2-x≥1，则，，故 a≥1，即 a 的取值范围为 [1，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据题意可知 y=h（x）的定义域为（0，+∞），，可得其单调性与极值．h（x）=lnx-a（x2-x）得，若函数 y=h（x）在[1∞（Ⅱ）由，+）上单调递减，此问题可转化为对 x≥1恒成立；，只需，即可得出范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（I）函数f（x）=e x-ax-2的定义域是R， f′（ x） =e x-a，若 a≤0，则 f′（ x） =e x-a≥0，所以函数f（ x） =e x-ax-2 在（ -∞， +∞）上单调递增．x若 a＞ 0，则当 x∈（ -∞， lna）时， f′（ x） =e -a＜ 0；x当 x ∈（ lna ，+∞）时， f ′（ x ） =e -a ＞ 0；所以， f （ x ）在（ -∞， ln a ）单调递减，在（ lna ，+∞）上单调递增．（ II ）由于 a=1，所以，（ x-k ） f ′（ x ） +x+1=（ x-k ） （ e x -1）+x+1故当 x ＞ 0 时，（ x-k ） f ′（ x ）+x+1＞ 0 等价于 k ＜（ x ＞ 0）①令 g （ x ）=，则 g ′（ x ） =由（ I ）知，当 a=1 时，函数 h （ x ） =e x -x-2 在（ 0 ，+∞）上单调递增， 而 h （ 1）＜ 0， h （2）＞ 0，所以 h （ x ） =e x -x-2 在（ 0，+∞）上存在唯一的零点，故 g ′（ x ）在（ 0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为 α，则有 α∈（ 1， 2）当 x ∈（ 0，α）时， g ′（ x ）＜ 0；当 x ∈（α，+∞）时， g ′（ x ）＞ 0；所以 g （ x ）在（ 0，+∞）上的最小值为g （α）．αg （ α） =α +1∈（2， 3 ）又由 g ′（ α） =0，可得 e =α +2所以 由于①式等价于 k g α k 的最大值为 2 ．＜ （ ），故整数 【解析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母 a ，故应按 a 的取值范围进行分类讨论研究函数的 单调性，给出单调区间；（II ）由题设条件结合（I ），将不等式，x （-k ）f ′（x ）+x+1＞0 在 x ＞ 0 时成立转化为k ＜ （x ＞ 0）成立，由此问题转化为求 g （x ）=在 x ＞ 0 上的最小值问题，求导，确定出函数的最小 值，即可得出 k 的最大值；本题考查利用导数求函数的最 值及利用导数研究函数的 单调性，解题的关键是第一小 题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小 值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．。

福建省宁德市同心顺联盟2018-2019学年高一数学下学期期中试题第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,第I 卷1至2页,第II 卷3至4页。

考试时间120分钟,满分150分。

注意事项：1．答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。

3．考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卡．．．的相应位置填涂． 1.已知A （-1,3）、B （3,-1）,则直线AB 的倾斜角为A. 45°B. 60° C . 120° D. 135° 2. 直线13kx y k -+=,当k 变动时,所有直线恒过定点坐标为 A.(0,0) B.(0,1)C.(2,1)D.(3,1)3．如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是A.22B.22+C.1-2D.224．若点P (－4,－2,3)关于坐标平面xOy 及y 轴的对称点的坐标分别是(a ,b ,c ),(e ,f ,d ),则c 与e 的和为A ．1B ．－1C ．7D ．－7 5.两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离6.在ABC ∆中,4AB BC ==,120ABC ∠=︒,若把ABC ∆绕直线AB 旋转一周,则所形成的几何体的体积为A ．8πB ．38πC ．16πD ．316π7.已知平面,αβ,直线,l m ,且有,l m αβ⊥⊂,则下列四个命题正确的个数为①若α∥β则l m ⊥；②若l ∥m 则l ∥β；③若αβ⊥则l ∥m ； ④若l m ⊥则l β⊥； A .1 B.2 C.3 D.48．如下图所示,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AD ＝AB ,∠BCD ＝45°,∠BAD ＝90°,将△ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,构成四面体ABCD ,则在四面体ABCD 中,下列结论正确的是A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 9. 长方体中,,,分别是的中点,则异面直线与所成角为A. 90°B. 60°C. 45D. 30° 10. 某几何体的三视图如右图所示,则其侧面积为A ．32+ B．22C ．32+ D．62+11.若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22,则c 的取值范围是 A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－22,22)D ．[－22,22]12.已知圆M ：41-y 1)-x (22=+）（,直线06:=-+y x l ,A 为直线l 上一点,若圆M 上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A 的横坐标的取值范围为 A ．[﹣1,1] B ． [﹣4,2] C ． [1,5] D ．[2,6]第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．13. 某个几何体的三视图如图所示（单位：）,该几何体的体积为．(13题) (16题)14.已知圆22(1)()4(0)x y a a -+-=>被直线10x y --=截得的弦长为则a 的值为________.15.已知两圆相交于A (1,3),B (m ,－1),两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上,则m ＋2c 的值为________.16．如图,在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是AB 、DD 1的中点,点P 是DD 1上一点,且PB ∥平面CEF,则四棱锥P ﹣ABCD 外接球的表面积为 ． 三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17. （本题满分10分） 如图,三棱柱内接于一个圆柱,且底面是正三角形,如果圆柱的体积是,底面直径与母线长相等.（1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积.18. (本题满分12分)已知直线08)2(:1=-+-my x m l 与直线03:2=-+y mx l ,其中m 为常数. （1）若21l l ⊥,求m 的值；（2）若点P(1,2m)在2l 上,直线l 过P 点,且在两坐标轴上的截距之和为0,求直线l 的方程.19. (本题满分12分)如图,已知△ABC 是正三角形,EA ,CD 都垂直于平面ABC ,且EA ＝AB ＝2a ,DC ＝a ,F 是BE 的中点,求证：(1)FD ∥平面ABC ； (2)AF ⊥平面EDB .20.(本题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0,O 为坐标原点,动点P 在圆C 外,过P 作圆C 的切线,设切点为M .(1)若点P 的坐标为(1,3),求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程． 21. (本题满分12分) 如图,在底面是正方形的四棱锥面ABCD,BD 交AC 于点E,F 、G 分别是PC 、AC上一点 （1）求证：； （2）当二面角的大小为时,求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.22. 已知圆,点是直线02-: y x l 上的一动点,过点作圆的切线,切点为.(1)当切线的长度为时,求线段PM 长度.(2)若的外接圆为圆,试问：当在直线上运动时,圆是否过定点？若存在,求出所有的定点的坐标；若不存在,说明理由； (3)求线段长度的最小值．宁德市高中同心顺联盟2018-2019学年第二学期期中检测高一数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．328π+14． 15． 1 16． 41π 三、解答题：本大题共6小题,共70分17．本题主要考查空间几何体的表面积和体积公式,考查空间想象能力、计算能力。

福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题。

1.在复平面内，复数(1i)i -对应的点位于（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，化简得复数(1)1i i i -=+，即可得到答案．【详解】由题意，复数(1)1i i i -=+，所以复数对应的点位于第一象限，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数乘法运算，以及复数的表示，其中熟记复数的乘法运算，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.一个物体的位移s (米)与时间t (秒)的关系为22+10s t t =-，则该物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A. 6米/秒 B. 5米/秒 C. 4米/秒 D. 3米/秒【答案】C 【解析】 【分析】由22+10s t t =-，求得102s t '=-，当3t =时，代入即可求解，得到答案．【详解】由题意，物体的位移s (米)与时间t (秒)的关系为22+10s t t =-，则102s t '=-， 当3t =时，10234s '=-⨯=，即3秒末的瞬时速度为4米/秒，故选C ．【点睛】本题主要考查了瞬时速度的计算，其中熟记函数在某点处的导数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.曲线322y x x =-+在点(1,2)处的切线斜率为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D 【解析】 【分析】由函数()322f x x x =-+，则()232f x x x '=-，求得()11f '=，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数()322f x x x =-+，则()232f x x x '=-，所以()11f '=，即曲线322y x x =-+在点(1,2)处的切线斜率1，故选D ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线的斜率，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.设ABC ∆的周长为l ，ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则12S r l =⋅，类比这个结论可知：四面体A BCD -的表面积分别为T ，内切球半径为R ，体积为V ，则V 等于( ) A.14R T ⋅ B. 13R T ⋅C.12R T ⋅ D. R T ⋅【答案】B 【解析】 【分析】设四面体的内切球的球心为O ，可得四面体的体积等于以球心O 为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积和，即可求解，得到答案．【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以球心O 为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积和， 又由四面体A BCD -的表面积为T ，所以四面体的体积为13V R T =⋅，故选B ． 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中类比推理是依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对应的性质类比到另一类数学对象上却，其一般步骤：（1）找出两类事物的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得很一个明确的结论，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.函数214ln 2y x x =-的单调递增区间为( )A. (,2]-∞-B. ]2,0(C. [1,)+∞D. [2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】求得24,0x y x x-'=>，令0y '≥，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数214ln 2y x x =-，则244,0x y x x x x-'=-=>，令0y '≥，即240x -≥且0x >，解得2≥x ， 即函数214ln 2y x x =-的单调递增区间为[2,)+∞，故选D ． 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数和函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.已知2(1)=1i i z+- (i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于( )A. 1i --B. 1i -C. 1i -+D. 1i +【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则，化简复数1i z =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z+-，即()()()221(1)2=11111i i i i z i i i i i ?+===-+---+， 所以复数z 的共轭复数等于i z --=1，故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，得101022()cos 2f x dx xdx dx ππ--=+⎰⎰⎰，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，可得1010100222()cos 2sin |2|123f x dx xdx dx x x πππ---=+=+=+=⎰⎰⎰，故选C ．【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.函数3()3f x x ax a =++在)1,0(内有极小值，则（ ） A. 10<<a B. 10a -<<C. 0a <D. 1a <-【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数2()33f x x a '=+，要使得函数3()3f x x ax a =++在)1,0(内有极小值，则满足(0)0(1)0f f ''<⎧⎨>⎩，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数3()3f x x ax a =++，则2()33f x x a '=+，要使得函数3()3f x x ax a =++在)1,0(内有极小值，则满足(0)30(1)330f a f a =<⎧⎨=+>''⎩，解答10a -<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，其中解答中熟记导数与函数的极值之间的关系，以及极值的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9.用数学归纳法证明：1232(21)n n n +++⋅⋅⋅+=+时，从n k =推证1n k =+时，左边增加的代数式是（ ） A. 43k + B. 42k +C. 22+kD. 12+k【答案】A 【解析】 【分析】根据题设中的等式，当n k =时，等式的左边为1232k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边为122(21)2(1)k k k ++⋅⋅⋅+++++，即可求解． 【详解】由题意，可得当1n =时，等式的左边为21+， 当n k =时，等式的左边为1232k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边为1232(21)2(1)k k k +++⋅⋅⋅+++++， 所以从k 到1k +时，左边需增加的代数式是(21)2(1)43k k k +++=+， 故选A ．【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，其中解答中熟记数学归纳法的基本形式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10.由曲线4y x =，1y x =，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A.172ln 22- B.152ln 22- C.15+2ln 22D.17+2ln 22【答案】B 【解析】 【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰，即可求解，得到答案．【详解】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =，所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰， 故选B ．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ）A. 2B. －1C. 1D. －2【答案】A 【解析】 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =， 又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+， 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =， 所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.函数()f x 的定义域为R ，(1)7,f =对任意,R x ∈()3,f x '>则()34f x x >+的解集为（ ） A. (1,1)-B. )1,(-∞C. (1,+)∞D.(,+)-∞∞【答案】C 【解析】 【分析】令()()34g x f x x =--，求得()()3g x f x ''=-，得到函数()g x 为R 上的单调递增函数， 又由()10g =，得出则不等式()34f x x >+的解集，即为()0g x >，即可求解． 【详解】由题意，令()()34g x f x x =--，则()()3g x f x ''=-，因为()3f x '>，所以()()30g x f x ''=->，即函数()g x 为R 上的单调递增函数， 又由(1)7f =，则()1(1)3140g f =-⨯-=，则不等式()34f x x >+的解集，即为()0g x >，解得1>x ， 所以不等式()34f x x >+的解集为(1,+)∞．【点睛】本题主要考查了导数的应用，其中解答中通过构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，合理求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于基础题．二、填空题。

宁德“同心顺”2018届高三上期中联考数学(理)试题（考试时间：120分钟；满分：150分） 命卷：茂华学校 审卷：福鼎二中一、选择题（12*5=60分）1.已知复数z 满足()23z i i i -=+，则z =（ ）A B ． C ．10 D ．182.已知集合{}{}22|230,|,A x x x B y y x x R =--≤==∈,则AB =（ ）A ．∅B ．[]0,1C ．[]0,3D ．[)1,-+∞ 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差32,21d S =-=，则当n S 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．10B ．9C ．6D ．54．将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值是 （ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．56π 5．等比数列{a n }的各项均为正数，且385618a a a a +=，则3132310l og l o g l o g a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ． 32log 5+ 6． 已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）7.设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ） A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 8．若1a xdx =⎰，10sin b xdx =⎰，1(1)x c e dx =-⎰则,,a b c 的大小关系( )A ．a b c <<B ．b a c << C.c b a << D ．b c a <<9．《张丘建算经》上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A ．55 B ．52C ．39D ．2610.已知ln ()xf x x=，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A ．(2)()(3)f f e f >> B ．(3)()(2)f f e f >>C ．()(2)(3)f e f f >>D ．()(3)(2)f e f f >>11.平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ==⋅=, 点P 在边CD 上，则PA PB ⋅的取值范 围是（ ）A ．[]1,8-B ．[)1,-+∞ C.[]0,8 D ．[]1,0-12.已知实数,a b 满足225ln 0,a a b c R --=∈,）A ．12BC. D ．92 二、填空题（4*5=20分）13．在△ABC 中，若b ＝5，∠B＝π4，cos 3A =，则a ＝________.14．已知向量,a b 满足()1,2,1,3a b a b ==+=，记向量,a b 的夹角为θ，则c o s θ=__________．15.已知函数()(),1ln 1,1a x f x x x ≥=-<⎪⎩，有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.16.已知()12n n n a +=，删除数列{}n a 中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{}n b ，则52b =_________. 三、解答题（70分） 17、（本题满分12分）在在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若tan 3,cos 45A C c === （1）求角B ；（2）求ABC ∆的面积。