２016考研数学（一)真题及答案解析一、选择题:1~8小题，每小题4分,共3２分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若反常积分()011b a dx x x +∞+⎰收敛，则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ） ()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3)若()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 (B ）0x =是()f x 的第二类间断点（C ）()f x 在0x =处连续但不可导 (Ｄ)()f x 在0x =处可导（5）设Ａ,B 是可逆矩阵,且A 与Ｂ相似,则下列结论错误的是（ )（A)T A 与T B 相似 (B ）1A -与1B -相似(Ｃ)T A A +与T B B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )（A)单叶双曲面 (Ｂ）双叶双曲面 （C)椭球面 （C)柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ,则（ ） (A)p 随着μ的增加而增加 （B)p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少 (Ｄ）p 随着σ的增加而减少(8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做２次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为（ )二、填空题:9-14小题，每小题４分，共2４分,请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim 200=-+⎰→x dt t t t x x（10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（1１)设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz(１2）设函数()21arctan axx x x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+_____＿_____＿.(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.８,则μ的置信度为0.９5的双侧置信区间为__＿__＿.三、解答题：15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15）(本题满分1０分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16）（本题满分１0分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;。
2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()22222211,11y x x y x x =+-+=+++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμNX ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()t L f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016考研数学（一）试题（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1） 若反常积分01(1)a b dx x x +∞+⎰收敛，则 （A ）1a <且1b >. （B ）1a >且1b >.（C ）1a <且1a b +>. （D ）1a >且1a b +>.（2）已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是 （A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩（3）若22(1)y x =+22(1)y x =+'()()y p x y q x +=的两个解，则()q x =（A ）23(1)x x +. （B ）23(1)x x -+.（C ）21x x +. （D ）21x x -+. （4）已知函数,0,()111,,1,2,,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩则（A ）0x =是()f x 的第一类间断点. （B ）0x =是()f x 的第二类间断点.（C ）()f x 在0x =处连续但不可导. （D ）()f x 在0x =处可导.（5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（A ）T A 与T B 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）T A A +与T B B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则123(,,)2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（A ）单叶双曲面（B ）双叶双曲面（C ）椭球面（D ）柱面（7）设随机变量2~(,)(0)X N μσσ>，记2{}p P X μσ=≤+，则（A ）p 随着μ的增加而增加（B ）p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少（D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果1A ，2A ，3A ，且三种结果发生的概率均为13。
