椭圆、双曲线、抛物线 86张

X 椭圆综合复习
一、基础知识
1.椭圆的定义和标准方程
定义
图形
方程 焦点
a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2

y2 b2
1
a
b 0
F(±c，0)
ox
F1
y2 a2

x2 b2c)
c2=a2-b2
. 地心为椭圆的一个焦点。求卫星轨迹
椭圆的标准方程。
A1
分析：远地点A1C1+c1F2=a+c
近地点A2C2+F2C2=a-c
地球半径=c1F2=F2C2
LOGO
Y
. . . . C1 OO
F2
C2 A2
X
LOGO
问题1：此时椭圆的长轴长是多少？
提示：aa－ ＋cc＝ ＝66
371＋200 371＋5 100
3.长轴长等于20，离心率等于 3/5
x2 y2 1 36 32
x2 y2 1 或 x2 y2 1
100 64
64 100
4.长轴是短轴的2倍，且椭圆经过点（-2，x2-4）y2 1 或
x2 y2 1
68 17
8 32
5.过点P（5，2）、焦点为（－6，0）（6，0） x2 y2 1 45 9
四个顶点坐标是
焦点坐标分别是
F1(3,0), F2 (3,0)
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
例2 中国第一颗探月卫星——“嫦娥
一号”发射后，首先进入一个椭圆形

1 2
x，即x±2y＝
0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d＝|±2±50|＝2
5
5 .
【答案】 C
3．(抛物线定义)(2013·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线
C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其
准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )

A．2∶ 5
B．1∶2
C．1∶ 5
(2)由(1)知，a＝2c，b＝ 3c，可得椭圆方程为 3x2＋4y2 ＝12c2，直线 PF2 的方程为 y＝ 3(x－c)．
A，B 两点的坐标满足方程组3y＝x2＋34yx2－＝c12. c2， 消去 y 并整理，得 5x2－8cx＝0.解得 x1＝0，x2＝85c.
得方程组的解xy11＝ ＝0－， 3c，
在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)(a＞b＞0) 为动点 ，F1，F2 分别为椭圆ax22＋by22＝1 的左、右焦点．已知 △F1PF2 为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率 e； (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足A→M·B→M＝－2，求点 M 的轨迹方程．
(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：ax22－by22＝
1(a＞0，b＞0)的离心率为 25，则 C 的渐近线方程为( )
A．y＝±14x
B．y＝±13x
C．y＝±12x
D．y＝±x
(2)抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，其准线与双曲线x32－ y32＝1 相交于 A，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则 p＝ ________.
在x轴上；c＝1.
又离心率为
c a
＝

B.x92－2y72 ＝1 D.2x72 －y92＝1
[解析] 由双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是 y＝ 3 x，则ba＝ 3①，抛物线 y2＝24x 的准线方程为 x＝－6，知－c＝ －6，c＝6， a2＋b2＝6②，由①②得 a＝3，b＝3 3，则双曲线 的方程为x92－2y72 ＝1.
第2讲 椭圆 、 双曲 线 、 抛物 线
知考情 研考题 析考向 战考场
高频考点
考情解读
考查方式
椭圆的定义、标准方程、几何性质
椭圆 是考查热点，直线与椭圆位置关系 各种题型
是重点
双曲线的定义、标准方程、几何性 选择、填
双曲线
质是命题重点
空题为主
抛物线的定义、标准方程、几何性
抛物线
各种题型
质及应用是考查重点
[悟方法 触类旁通] 1．涉及椭圆基本量运算时要注意以下几个问题 (1)求椭圆标准方程或离心率要注意a、b、c三者之间关系； (2)要善于借助于图形分析问题； (3)对于焦点三角形问题要注意定义与正弦定理余弦定理的综
合应用，尤其是配方法的使用．
2．直线与椭圆的位置关系问题 (1)判断方法：利用 Δ>0，Δ＝0，Δ<0 可解决； (2)弦长问题：|AB|＝ 1＋k2x1－x22
∴b2＝2a2.c2＝a2＋b2＝3a2.∴e＝ac＝ 3.
答案：B
[悟方法 触类旁通] 1．使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上． 2．对于双曲线的离心率与渐近线的关系．若已知渐近线而不
明确焦点位置，那么离心率一定有两解． 3．直线与双曲线的交点比椭圆复杂，要注意结合图形分
析．尤其是直线与双曲线有且只有一个交点⇔Δ＝0或l平行 于渐近线．

(2)证明：设线段 AB 的中点坐标为 N(x0，y0)，A(x1， y1)，B(x2，y2)，因为 AB 不垂直于 x 轴， 则直线 MN 的斜率为x0y－0 4，直线 AB 的斜率为 4－x0，
y0 直线 AB 的方程为 y－y0＝4－y0x0(x－x0)，
联立方程y－y0＝4－y0x0x－x0， y2＝4x，
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【解】 (1)由已知得 c＝2 2，ac＝ 36， 解得 a＝2 3. 又 b2＝a2－c2＝4， 所以椭圆 G 的方程为1x22＋y42＝1.
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(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m.
y＝x＋m， 由1x22 ＋y42＝1，
得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
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消去 x 得(1－x40)y2－y0y＋y20＋x0(x0－4)＝0， 所以 y1＋y2＝4－4y0x0， 因为 N 为 AB 的中点， 所以y1＋2 y2＝y0， 即4－2y0x0＝y0， 所以 x0＝2，即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.
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轨迹问题
例4 (1)若动圆 P 过点 N(－2,0)，且与另一圆 M： (x－2)2＋y2＝8 相外切，则动圆 P 的圆心的轨迹方 程是__________； (2)已知直线 l：2x＋4y＋3＝0，P 为 l 上的动点， O 为坐标原点．若 2O→Q＝Q→P，则点 Q 的轨迹方程 是__________．
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变式训练 2 已知过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点， 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2， y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A ＋λO→B，求 λ 的值．