点、直线、平面之间的位置关系(教师用)

1 点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．给出下列语句： ①桌面给人以平面的形象； ②一个平面长3 m，宽2 m； ③平面内有无数个点，平面可以看成点的集合； ④空间图形是由空间的点、线、面所构成的． 其中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析： ①③④正确． 答案： C 2．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )

A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 解析： D∈l，l⊂β，∴D∈β，又C∈β，∴CD⊂β；同理，CD⊂平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD. 答案： C 3．设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列说法： ①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α； ②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB； ③若l⊄α，A∈l，则A∉α； ④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合． 则上述说法中，正确的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析： 根据公理1可知①正确；根据公理3可知②正确；根据公理2可知④正确；当点A为直线l与平面α的交点时，可知③错误． 答案： B 4．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( ) A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交 解析： 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因为l⊄α，所以l∥α，这与题意矛盾．故选B. 答案： B 5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( ) A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α 解析： 已知两条不相交的空间直线a和b，可以在直线a上任取一点A，使得A∉b.过A作直线c∥b，则过a，c必存在平面α且使得a⊂α，b∥α. 答案： B 2

6．如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( ) A．PD⊥BD B．PD⊥CD C．PB⊥BC D．PA⊥BD 解析： ∵PA⊥面ABCD， ∴PA⊥BD，故D正确； ∵BC⊥AB，∴BC⊥面PAB， ∴BC⊥PB，故C正确； 又CD⊥面PAD， ∴PD⊥CD，故B正确，只有A不正确． 答案： A 7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )

A.23 B.33

C.23 D.63

解析： 画出图形(如图所示)，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角．在三棱锥D－ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角．设

正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝63aa＝63. 答案： D 8．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( ) A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α 答案： B 9．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A且与l，α都成30°角的直线有且只有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

解析： 如右图所示，与α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°时，直线AC，AB都满足条件，故选B. 答案： B 10．已知二面角α－AB－β的平面角是锐角θ，面α内有一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tan θ＝( )

A.377 B.37 3

C.34 D.35 解析： 如图，作CE⊥β，CD⊥AB，则CE＝3，CD＝4，DE⊥AB， ∴∠CDE为二面角α－AB－β的平面角， 即∠CDE＝θ. 在Rt△CDE中， DE＝CD2－CE2＝42－32＝7.

tan θ＝CEDE＝37＝377. 答案： A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设α，β为不重合的两个平面，给出下列命题： ①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； ③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直， ④若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直． 上面命题中，正确的序号是________．(写出所有正确命题的序号) 解析： ①即面面平行的判定定理；②即线面平行的判定定理；③由α内有一条直线垂直于l不能得到该直线垂直于β，也就得不到α和β垂直，故不正确；④不符合线面垂直的判定定理，因此不正确． 答案： ①② 12．如图，

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，N分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD，BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则点M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1. 解析： 由题易得MN∥BD，HF∥DD1，所以平面HNF∥平面B1BDD1.又平面HNF∩平面EFGH＝HF，故线段HF上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.故填M∈线段FH. 答案： M∈线段FH 13．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是________．

解析： 由平面BCC1B1⊥面ABCD知MN⊥面ABCD， ∴MN⊥AB. 答案： 垂直 14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论： ①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形； 4

③AB与平面BCD成60°的角； ④AB与CD所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________．

解析： 如右图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC.AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．

②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝22a. 由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角， ∴AC＝a，∴△ACD是等边三角形，故②正确． ③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确． ④分别取BC，AC的中点为M，N， 连接ME，NE，MN.

则MN∥AB，且MN＝12AB＝12a，

ME∥CD，且ME＝12CD＝12a， ∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角． 在Rt△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a， ∴NE＝12AC＝12a，∴△MEN是正三角形， ∴∠EMN＝60°，故④正确． 答案： ①②④ 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC. 证明： 因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD. 又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD. 又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.

16．(本小题满分12分)如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．求证： (1)AC⊥PB； (2)PB∥平面AEC. 5

证明： (1)如图所示， ∵PA⊥平面ABCD， 且AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC. 又∵AB⊥AC，而AB∩PA＝A， ∴AC⊥平面PAB，PB⊂面PAB，∴AC⊥PB. (2)如图所示，连接BD，与AC相交于点O，连接EO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是BD的中点． 又∵点E是PD的中点，∴EO∥PB. ∵PB⊄平面AEC，EO⊂平面AEC， ∴PB∥平面AEC. 17．(本小题满分12分)

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CD，A1B1的中点， (1)若M在侧面A1D1DA及其边界上运动，问M在哪条线段上运动均能使A1C∥平面AME？并证明你的结论． (2)求证：平面D1AE∥平面BC1F. 解析： (1)当M在AD1上运动时，总能使A1C∥面AEM. 证明如下： 如图，连接A1D，取A1D的中点为G，连接EG.

∵E，G分别为CD，A1D的中点， ∴EG∥A1C. ∵EG⊂面AEG， ∴A1C∥面AEG. ∵当M在AD1上运动时，EG总在面AEM内， ∴A1C∥面AEM. 故M在AD1上运动时，总能使A1C∥面AEM.

(2)证明：在正方体中，连接AD1，D1E. ∵AD1∥BC1，BC1⊄面AED1， ∴BC1∥面AED1. 取AB中点H，连接FH，CH，C1F， ∵FH綊CC1， ∴四边形FHCC1为平行四边形，