第07章_模糊规则_WM算法

模糊C均值聚类算法及实现摘要：模糊聚类是一种重要数据分析和建模的无监督方法。

本文对模糊聚类进行了概述，从理论和实验方面研究了模糊c均值聚类算法，并对该算法的优点及存在的问题进行了分析。

该算法设计简单，应用范围广，但仍存在容易陷入局部极值点等问题，还需要进一步研究。

关键词：模糊c均值算法；模糊聚类；聚类分析Fuzzy c-Means Clustering Algorithm and ImplementationAbstract: Fuzzy clustering is a powerful unsupervised method for the analysis of data and construction of models.This paper presents an overview of fuzzy clustering and do some study of fuzzy c-means clustering algorithm in terms of theory and experiment.This algorithm is simple in design,can be widely used,but there are still some problems in it,and therefore,it is necessary to be studied further.Key words: fuzzy c-Mean algorithm；fuzzy clustering；clustering analysis1 引言20世纪90年代以来，随着信息技术和数据库技术的迅猛发展，人们可以非常方便地获取和存储大量的数据。

但是，面对大规模的数据，传统的数据分析工具只能进行一些表层的处理，比如查询、统计等，而不能获得数据之间的内在关系和隐含的信息。

为了摆脱“数据丰富，知识贫乏”的困境，人们迫切需要一种能够智能地、自动地把数据转换成有用信息和知识的技术和工具，这种对强有力数据分析工具的迫切需求使得数据挖掘技术应运而生。

模糊c 均值算法
模糊c均值算法，也叫Fuzzy C Means算法，是一种无监督的聚类算法。

与传统的聚类算法不同的是，模糊C均值算法允许同一样本点被划分到不同的簇中，而且每个样本点到各个簇的距离（或者说相似度）用模糊数表示，因而能更好地处理样本不清晰或重叠的情况。

模糊c均值算法的步骤如下：
1. 初始化隶属度矩阵U，每个样本到每个簇的隶属度都为0-1之间的一个随机数。

2. 计算质心向量，其中每一项的值是所有样本的对应向量加权后的和，权重由隶属度矩阵决定。

3. 根据计算得到的质心向量计算新的隶属度矩阵，更新每个样本点到每个簇的隶属度。

4. 如果隶属度矩阵的变化小于一个预先设定的阈值或者达到了最大迭代次数，则停止；否则，回到步骤2。

模糊c均值算法是一种迭代算法，需要进行多次迭代，直到满足一定的停止条件。

同时，该算法对于隶属度矩阵的初始值敏感，不同的初始值可能会导致不
同的聚类结果。

无私分享无私分享无私分享无私分享无私分享无私分享无私分享第七章“结果”中的常见问题 (3)7.1 施工阶段分析时，自动生成的“CS：恒荷载”等的含义？ (3)7.2 为什么“自动生成荷载组合”时，恒荷载组合了两次？ (3)7.3 为什么“用户自定义荷载”不能参与自动生成的荷载组合？ (4)7.4 为什么在自动生成的正常使用极限状态荷载组合中，汽车荷载的组合系数不是0.4或0.7？ (5)7.5 为什么在没有定义边界条件的节点上出现了反力？ (5)7.6 为什么相同的两个模型，在自重作用下的反力不同？ (6)7.7 为什么小半径曲线梁自重作用下内侧支反力偏大？ (6)7.8 为什么移动荷载分析得到的变形结果与手算结果不符？ (7)7.9 为什么考虑收缩徐变后得到的拱顶变形增大数十倍？ (8)7.10 为什么混凝土强度变化，对成桥阶段中荷载产生的位移没有影响？ (8)7.11 为什么进行钢混叠合梁分析时，桥面板与主梁变形不协调？ (9)7.12 为什么悬臂施工时，自重作用下悬臂端发生向上变形？ (10)7.13 为什么使用“刚性连接”连接的两点，竖向位移相差很大？ (11)7.14 为什么连续梁桥合龙后变形达上百米？ (12)7.15 为什么主缆在竖直向下荷载作用下会发生上拱变形？ (13)7.16 为什么索单元在自重荷载作用下转角变形不协调？ (14)7.17 为什么简支梁在竖向荷载下出现了轴力？ (14)7.18 为什么“移动荷载分析”时，车道所在纵梁单元的内力远大于其它纵梁单元的内力？157.19 如何在“移动荷载分析”时，查看结构同时发生的内力？ (15)7.20 空心板梁用单梁和梁格分析结果相差15%？ (17)7.21 为什么徐变产生的结构内力比经验值大上百倍？ (17)7.22 如何查看板单元任意剖断面的内力图？ (18)7.23 为什么相同荷载作用下，不同厚度板单元的内力结果不一样？ (19)7.24 为什么无法查看“板单元节点平均内力”？ (21)7.25 如何一次抓取多个施工阶段的内力图形？ (21)7.26 如何调整内力图形中数值的显示精度和角度？ (22)7.27 为什么在城-A车道荷载作用下，“梁单元组合应力”与“梁单元应力PSC”不等？257.28 为什么“梁单元组合应力”不等于各分项正应力之和？ (25)7.29 为什么连续梁在整体升温作用下，跨中梁顶出现压应力？ (25)7.30 为什么PSC截面应力与PSC设计结果的截面应力不一致？ (26)7.31 为什么“梁单元应力PSC”结果不为零，而“梁单元应力”结果为零？ (26)7.32 如何仅显示超过某个应力水平的杆件的应力图形？ (27)7.33 为什么“水化热分析”得到的地基温度小于初始温度？ (29)7.34 “梁单元细部分析”能否查看局部应力集中？ (30)7.35 为什么修改自重系数对“特征值分析”结果没有影响？ (30)7.36 为什么截面偏心会影响特征值计算结果？ (31)7.37 为什么“特征值分析”没有扭转模态结果？ (32)7.38 “屈曲分析”时，临界荷载系数出现负值的含义？ (32)7.39 “移动荷载分析”后自动生成的MVmax、MVmin、MVall工况的含义？ (33)7.40 为什么“移动荷载分析”结果没有考虑冲击作用？ (33)7.41 如何得到跨中发生最大变形时，移动荷载的布置情况？ (34)7.42 为什么选择影响线加载时，影响线的正区和负区还会同时作用有移动荷载？357.43 为什么移动荷载分析得到的结果与等效静力荷载分析得到结果不同？ (35)7.44 如何求解斜拉桥的最佳初始索力？ (36)7.45 为什么求斜拉桥成桥索力时，“未知荷载系数”会出现负值？ (38)7.46 为什么定义“悬臂法预拱度控制”时，提示“主梁结构组出错”？ (38)7.47 如何在预拱度计算中考虑活载效应？ (38)7.48 桥梁内力图中的应力、“梁单元应力”、“梁单元应力PSC”的含义？ (39)7.49 由“桥梁内力图”得到的截面应力的文本结果，各项应力结果的含义？ (40)7.50 为什么定义查看“结果>桥梁内力图”时，提示“设置桥梁主梁单元组时发生错误！”？ (41)7.51 为什么无法查看“桥梁内力图”？ (41)7.52 施工阶段分析完成后，自动生成的“POST：CS”的含义？ (42)7.53 为什么没有预应力的分析结果？ (42)7.54 如何查看“弹性连接”的内力？ (44)7.55 为什么混凝土弹性变形引起的预应力损失为正值？ (44)7.56 如何查看预应力损失分项结果？ (45)7.57 为什么定义了“施工阶段联合截面”后，无法查看“梁单元应力”图形？ . 46 7.58 为什么拱桥计算中出现奇异警告信息？ (47)7.59 如何在程序关闭后，查询“分析信息”的内容？ (48)第七章“结果”中的常见问题7.1施工阶段分析时，自动生成的“CS：恒荷载”等的含义？具体问题进行施工阶段分析，程序会自动生成CS：恒荷载、CS：施工荷载、CS：收缩一次、CS：收缩二次、CS：徐变一次、CS：徐变二次、CS：钢束一次、CS：钢束二次、CS：合计，这些荷载工况各代表什么含义？在结果查看时有哪些注意事项？相关命令——问题解答MIDAS在进行施工阶段分析时，自动将所有施工阶段作用的荷载组合成一个荷载工况“CS：恒荷载”；如果想查看某个或某几个施工阶段恒荷载的效应，可以将这些荷载工况从“CS：恒荷载”分离出来，生成荷载工况“CS：施工荷载”；钢束预应力、收缩徐变所产生的直接效应程序自动生成荷载工况“CS：钢束一次”、“CS：收缩一次”、“CS：徐变一次”，由于结构超静定引起的钢束预应力二次效应、收缩徐变二次效应，程序自动生成荷载工况“CS：钢束二次”、“CS：收缩二次”、“CS：徐变二次”；“CS：合计”表示所有施工荷载的效应。

模糊聚类算法（FCM）伴随着模糊集理论的形成、发展和深化，RusPini率先提出模糊划分的概念。

以此为起点和基础，模糊聚类理论和⽅法迅速蓬勃发展起来。

针对不同的应⽤，⼈们提出了很多模糊聚类算法，⽐较典型的有基于相似性关系和模糊关系的⽅法、基于模糊等价关系的传递闭包⽅法、基于模糊图论的最⼤⽀撑树⽅法，以及基于数据集的凸分解、动态规划和难以辨别关系等⽅法。

然⽽，上述⽅法均不能适⽤于⼤数据量的情况，难以满⾜实时性要求较⾼的场合，因此实际应⽤并不⼴泛。

模糊聚类分析按照聚类过程的不同⼤致可以分为三⼤类：(1)基于模糊关系的分类法：其中包括谱系聚类算法(⼜称系统聚类法)、基于等价关系的聚类算法、基于相似关系的聚类算法和图论聚类算法等等。

它是研究⽐较早的⼀种⽅法，但是由于它不能适⽤于⼤数据量的情况，所以在实际中的应⽤并不⼴泛。

(2)基于⽬标函数的模糊聚类算法：该⽅法把聚类分析归结成⼀个带约束的⾮线性规划问题，通过优化求解获得数据集的最优模糊划分和聚类。

该⽅法设计简单、解决问题的范围⼴，还可以转化为优化问题⽽借助经典数学的⾮线性规划理论求解，并易于计算机实现。

因此，随着计算机的应⽤和发展，基于⽬标函数的模糊聚类算法成为新的研究热点。

(3)基于神经⽹络的模糊聚类算法：它是兴起⽐较晚的⼀种算法，主要是采⽤竞争学习算法来指导⽹络的聚类过程。

在介绍算法之前，先介绍下模糊集合的知识。

HCM聚类算法⾸先说明⾪属度函数的概念。

⾪属度函数是表⽰⼀个对象x ⾪属于集合A 的程度的函数，通常记做µA(x)，其⾃变量范围是所有可能属于集合A 的对象（即集合A 所在空间中的所有点），取值范围是[0,1]，即0<=µA(x)，µA(x)<=1。

µA(x)=1 表⽰x 完全⾪属于集合A，相当于传统集合概念上的x∈A。

⼀个定义在空间X={x}上的⾪属度函数就定义了⼀个模糊集合A，或者叫定义在论域X={x}上的模糊⼦集A’。

matlab mamdani模糊推理摘要：一、引言1.MATLAB中模糊推理的重要性2.MATLAB MAMDANI模糊推理简介二、MATLAB MAMDANI模糊推理的原理1.模糊集合2.模糊规则3.模糊推理过程三、MATLAB MAMDANI模糊推理的实现步骤1.建立输入和输出变量2.定义模糊集合和隶属函数3.编写模糊规则4.构建模糊推理系统5.输入数据并进行推理四、MATLAB MAMDANI模糊推理的应用实例1.温度控制系统2.电机转速调节系统五、结论1.MATLAB MAMDANI模糊推理的优势2.提高工程实践中的智能化水平正文：一、引言随着科技的不断发展，模糊推理技术在各个领域得到了广泛的应用。

作为一种人工智能方法，模糊推理在解决不确定性和模糊性问题方面具有显著的优势。

MATLAB作为一款强大的数学软件，为模糊推理的研究和应用提供了便捷的平台。

本文将简要介绍MATLAB MAMDANI模糊推理的原理和实现步骤，并通过实例分析其在工程实践中的应用。

二、MATLAB MAMDANI模糊推理的原理1.模糊集合：模糊集合是一种具有不确定性的集合，其元素具有一定的模糊性。

在MATLAB中，可以使用模糊函数ufis创建模糊集合。

2.模糊规则：模糊规则是描述输入变量与输出变量之间关系的规则，通常以If-Then形式表示。

在MATLAB中，可以使用模糊函数mfis编写模糊规则。

3.模糊推理过程：模糊推理是根据输入变量的模糊集合和模糊规则，计算输出变量的模糊集合的过程。

在MATLAB中，可以使用模糊函数defu进行模糊推理。

三、MATLAB MAMDANI模糊推理的实现步骤1.建立输入和输出变量：首先，需要确定模糊推理问题的输入和输出变量。

例如，在温度控制系统中，输入变量可以是温度误差和温度变化率，输出变量可以是控制温度。

2.定义模糊集合和隶属函数：根据实际问题，在MATLAB中创建输入和输出变量的模糊集合，并设置相应的隶属函数。

二型模糊系统降型算法综述赵涛岩;李平;曹江涛【摘要】二型模糊系统降型过程的计算精度、计算时间和系统信息的损失会对整个二型模糊系统的性能产生很大地影响.本文首先介绍了二型模糊集合的基本概念及二型模糊系统的计算过程,然后分别对区间二型模糊系统和广义二型模糊系统的降型算法的研究现状进行了详细综述,并对不同降型算法计算的复杂性进行了全面的分析和比较.最后,总结了各类降型算法存在的问题,并给出了未来研究的展望.指出,降型算法的计算成本仍是提升二型模糊系统性能的瓶颈,从理论上完善各种降型算法,通过数学方法解决其计算的复杂性问题,并将其应用于实时系统会是未来研究的重点.【期刊名称】《西南交通大学学报》【年(卷),期】2019(054)002【总页数】9页(P436-444)【关键词】二型模糊集合;二型模糊系统;降型算法【作者】赵涛岩;李平;曹江涛【作者单位】西北工业大学自动化学院,陕西西安710072;辽宁石油化工大学信息与控制工程学院,辽宁抚顺113001;辽宁石油化工大学信息与控制工程学院,辽宁抚顺113001【正文语种】中文【中图分类】TP273美国模糊控制领域专家Zadeh在1965年提出了模糊集合的概念[1]，随后以模糊集合为基础的模糊控制理论在控制系统、数据分类、预测管理及系统辨识等很多领域得到了广泛地应用. 特别是在非线性控制中，模糊控制理论可以利用专家的经验和知识，把其以模糊规则的形式加入到控制器中，能够解决很多复杂而无法建立精确数学模型系统的控制问题，为解决控制系统中存在的不确定性问题提供了一种新的思路[2]. 但是在实际应用的过程中，传统模糊系统理论中的隶属度函数是精确的，并且在解模糊的过程中会丧失模糊性，这就使其在实际处理不确定性的问题上存在一定的缺陷. 针对这一缺陷，Zadeh教授于1975年又提出了二型模糊集合的概念[3]，就是对模糊集合进行再次模糊化，即隶属度函数值也是个模糊集合，这样就增强了集合的模糊性，从而提高了处理不确定性的能力[4]. 基于二型模糊集合的二型模糊系统在描述模糊语言不确定性、处理专家知识和经验提取不确定性以及系统干扰等方面具有很强的优越性，在石油天然气管道[5]、非线性系统辨识[6]、脉宽调制整流器控制[7]、航空航天[8]等很多领域得到了成功应用.然而，由于二型模糊系统具有三维模糊集合的特性，系统参数无论是在维数还是计算复杂性方面都要远远高于传统的模糊系统，这极大地限制了二型模糊系统的推广和应用. 针对这一问题，1998年Mendel教授等进一步提出了区间二型模糊集合的概念，通过把二型模糊集合的次隶属度函数值定义为“1”，简化二型模糊集合的运算，增强了二型模糊系统在实际问题中的实时应用能力，使得二型模糊系统得到了快速发展和广泛应用. 区间二型模糊集合其本质为一阶不确定集合模型，由其组成的模糊系统称为区间二型模糊系统，次隶属度函数取不同值的二型模糊集合称为广义二型模糊集合，其本质为二阶不确定模糊集合模型，由其组成的模糊系统称为广义二型模糊系统.与传统的模糊系统不同，二型模糊系统在传统的模糊系统结构上，增加了降型的过程，二型模糊系统的结构如图1所示. 降型过程就是把二型模糊集合转化为传统模糊集合的过程，然后再进行解模糊化操作. 降型过程一直是二型模糊系统的热点问题也是难点问题，降型过程中存在的计算量过大和损失系统信息的问题，一直是学者们需要解决的问题.为此，提出了很多种降型算法.图1 二型模糊系统的结构框图Fig. 1 Block diagram of type-2 fuzzy logic systems1 二型模糊集合基本概念及二型模糊系统计算过程设是在论域X上的一个二型模糊集合，则对于任意式中：x为主变量；u为次变量；Jx为主隶属度；为二型模糊集合的次隶属度函数，为次隶属度函数的值，当的值只为1时，为区间二型模糊集合，当取不同值时，为广义二型模糊集合.图2是一个二型模糊集合的例子. 图中阴影区域为二型模糊集合的不确定轨迹（FOU），它由上、下两个一型模糊集合包围组成，分别为上隶属度函数和下隶属度函数，图中用和表示.图2 二型模糊集合Fig. 2 Type-2 fuzzy sets区间二型模糊系统的计算量要比广义二型模糊系统小得多，理论发展得相对更成熟. 目前在实际应用中最广泛的还是区间二型模糊系统. 下文重点介绍下区间二型模糊系统的计算过程. 假设一个区间二型模糊系统的规则库由N条规则组成，如式（3）所示.式中：为区间二型模糊集合，I为输入受量数；为一个区间，表示后件部分区间二型模糊集的质心[9]，其中和分别为质心集合的左、右端点值，也可以是一个最简单的 TSK （takagi-sugeno-kang）模型. 在很多实际的应用中，令，这时每条规则的结论是一个确切的数值.糊系统的计算一般有以下几个步骤：假设输入向量是，区间二型模（1）计算输入变量的隶属度，即（2）计算区间二型模糊系统第N条规则的激励区间式中：、分别为激励区间的上、下限.在式（4）中采用最大/最小计算，而不是采用乘积计算.（3）合并激励区间和与之对应的规则结论部分后，完成降型操作. 降型的方法有很多种，最常用的是Center-of-sets降型方法，其表达式如下：式中：yL和yR分别表示降型集合的左、右端点值.区间二型模糊系统的降型过程就是计算和的过程.的中点，即（4）在实际的应用过程中，系统的输出通常取2 区间二型模糊系统降型算法研究现状区间二型模糊系统是目前最为常见的二型模糊系统，也是应用最为广泛的二型模糊系统. 它的降型算法也取得了很多成果，按照计算方式不同把区间二型模糊系统的降型算法分为3类：第1类是以KM （Karnik-mendel）算法[9]为代表的迭代算法及其相关改进算法；第2类是以WM （Wu-mendel）算法[10]为代表的基于闭式表达式的替代降型算法及其它替代算法；第3类是其它的降型算法.2.1 KM算法及其相关改进算法概述KM降型算法的提出[9]，对于区间二型模糊系统的发展和应用起到重要推动作用，但是KM算法本质上是一种迭代计算方法，计算成本很高，在算法中求取左右切换点的初始化方法还不完善，在实际应用中尤其是对实时性要求很高的系统中会受到很大的限制. 针对这些问题，学者们关于KM算法的改进做了大量研究，也取得了不少成果. 文献[11]证明了区间二型模糊集合上、下隶属度函数分界点的取值与重心值的数值关系，并提出了一种直接KM算法，仿真实验表明该算法的计算成本降低了65%～75%；文献[12]提出了一种改进的KM算法；文献[13]给出了KM算法的解的闭合表达形式. 这种方法利用泰勒级数逼近KM算法和解模糊算法，算法中的第1项是Nie-Tan （NT）公式，第2项（实际是泰勒级数中的三阶项）是对其的校正，数值仿真表明，这种方法能够很好地逼近KM算法和解模糊算法；文献[14]提出了一种快速直接KM算法，用新的迭代公式来计算区间二型模糊集合的质心，使得算法的计算速度比之前的方法快很多，而且精度也更高；文献[15]提出了一种利用线性规划方法解决KM算法中求取转折点的难题；文献[16]利用推导边界函数（boundary function）的方法来确定转折点，提出了BF-KM降型算法；文献[17]利用回归多项式的方法逼近KM算法中的左、右转折点，提出了数据驱动的方法来解决KM算法运算量过大的问题；文献[18]把KM算法和不确定边界算法进行了合并，从迭代过程中不断地更新并得到不确定边界值；文献[19]对KM算法进行了改进，通过重构降型集合的左、右端点值，可以消除降型过程的排序操作；文献[20]利用数值积分技术中牛顿-柯斯特求积公式将KM算法扩展成3种不同形式的加权KM算法，通过比较仿真结果，提出加权KM算法拥有较小的误差和较快的收敛速度.在KM算法的基础上，Wu等又提出了计算效率更高的 EKM （enhancedKarnik-Mendel ）算法[21]；文献[22]针对EKM算法中求取切换点的问题，通过更改切换点的初始化条件和改进查找切换点的方法对其进行了改进，使计算量大大减少，效率明显提升；文献[23]分析了选取不同初始点对EKM算法的影响；文献[24]则从EKM迭代方法的基础上提出了EKMANI （enhanced Karnik-Mendelalgorithm with new initialization）降型算法，该方法在初值选择上进行改进，对每一步的初始化都使用了之前的迭代结果，仿真结果证明除了第一步之外，其它迭代过程处理速度得到了明显提高；文献[25]在EKM算法的基础上，提出了一种快速递归的降型算法（iterative algorithm with stop condition，IASC），这种方法不需要搜索转折点，因此计算效率更高，但这种方法有个缺陷就是当得到降型集合的左、右端点时没有终止条件；文献[26]在IASC算法的基础上，提出了一种改进、有停止条件的降型算法；文献[27]对IASC算法做了两点改进，提出了EIASC （enhanced iterative algorithm with stop condition）算法，与IASC 算法相比，计算成本要低；文献[28]比较了KM算法、EKM算法和EIASC算法的计算效率；文献[29]针对KM算法、EKM算法、IASC算法、EIASC算法中存在的问题，提出了一种新的降型算法，该方法利用切换点计算公式和论域中值的关系以及初始化左右切换点的值来提高计算效率，仿真结果验证了该算法的有效性；文献[30]给出了EKMANI算法和IASCNI （iterative algorithm with stop condition and new initialization）算法的matlab程序代码，并且比较了KM算法、EKM 算法、EKMANI算法、IASC算法和IASCNI算法的性能；文献[31]提出了一种叫做EODS （enhanced opposite direction searching）的降型算法，通过分析区间二型模糊集合上下隶属度函数转换点与重心区间的关系，推导出计算转换点的闭合公式及相应相向搜索算法，仿真结果与EKM算法相比具有更快的计算速度. 在所有的以KM算法为基础的改进算法中，EODS算法的计算速度是最快的.2.2 WM降型算法及其它基于闭式表达式替代降型算法概述以KM为代表的迭代降型算法的计算量过大是由于算法计算过程的迭代属性造成的，针对这一问题，学者们提出了很多基于闭式表达式的替代降型算法. 文献[10]提出了一种基于不确定边界上、下限值计算的降型算法. 这类方法可以看作是第1类方法的一种近似计算，其直接利用区间二型模糊集合的上、下限边界点信息求取降型集，然后使用基于加权平均方法的不确定界（boundary of uncertainty）求取公式直接实现对精确值的计算. 但是这种方法用边界点代替整个集合进行计算，所得结果只是第1类方法的一种近似值. 相对于第1类降型算法，不需要求取切换点，计算成本大为降低，适合对实时性要求高的控制系统. 但是这种方法直接对区间二型模糊推理结果中的不确定信息进行简化，虽然可以有效地解决降型过程的计算量问题，但是也损失了区间二型模糊系统对不确定性信息处理的优势. 文献[32]在WM算法的基础上，提出了3种新的不确定边界降型算法，最后通过理论分析证明了提出的方法具有更好的性能；文献[33]提出了一种直接逼近系统输出的降型算法，首先把由WM算法得到的内、外边界端点通过线性组合方式逼近系统的降型集合，然后再通过他们的线性组合逼近系统的输出，仿真结果表明该方法比WM算法具有更高的运算精度；文献[34]在WM算法的基础上，利用加权求和降型集端点的方法直接求取系统的精确输出，以此来提高降型算法的精度.NT （Nie-Tan）降型算法[35]和 BMM （Begian-Melek-Mendel method）降型算法[36]，利用闭合表达式（NT公式和BMM公式）来计算降型集的输出，计算简单、运算量小；文献[37]通过比较NT算法和KM算法在控制器中的表现，分析两种降型算法的性能和区别；文献[38]提出了一种改进BMM降型算法，该方法利用马克劳林级数展开，保留零阶项和一阶项，以此来逼近降型集的输出，仿真结果表明该进后的方法与BMM算法相比，虽然计算时间有所增加，但是计算精度却提升了许多；文献[39]对KM算法、WM算法、NT算法、BMM算法和CJG （Coupland-John geometric method）算法这5种方法的预测精度进行了比较，通过建立区间二型模糊TSK控制器，把这5种降型算法分别替换到控制器中去，仿真结果表明CJG算法拥有最佳的预测精度.除了以上几种替代降型算法，还有几种比较常见的替代降型算法，如 G （Gorzalczany method）算法[40]、LM （Liang-Mendel unnormalizedmethod）算法[41]、WT （Wu-Tan）算法[42]、LYZ （Li-Yi-Zhao method）算法[43]、DY （Du-Ying method）算法[44]、TTCC （Tao-Taur-Chang-Chang method）算法[45]、GCCJC （Greenfiele-Chiclana-Coupland-John Cllapsing method）算法[46].文献[47]对基于闭式表达式的替代降型算法做了下总结与比较，通过仿真结果发现WT算法和NT算法的运算速度是最快的；文献[48]对以KM为代表的迭代计算法及其相关的改进算法和以WM为代表的基于闭式表达式的替代降型算法及其其它相关的替代降型算法这两类降型算法，分别做了性能比较.2.3 其它降型算法概述文献[49-50]提出了基于遗传算法（genetic algorithm，GA）、PSO （particle swarm optimization）算法的降型算法，通过仿真实例与其它降型算法相比，证明了此类方法的优越性；文献[51]提出了一种动态解模糊方法，该方法利用降型集合的左、右端点的线性组合逼近系统的输出，线性组合的加权系数通过系统的误差和误差变化率来调整；文献[52]提出了一种优化的降型算法，不像其它的降型算法求取降型集合的左、右两个质心值，该算法主要是寻找降型集合中更好的质心，根据不用的输入值产生不同的隶属度函数值和规则后件质心，由此产生不同的激励区间和优化质心，然后把每个输入区间分解成很多个区域，从而产生了很多优化的降型模型；文献[53]把区间二型模糊集合视为由若干个一型模糊集合组成的集合，通过利用这些内嵌的一型模糊集合的交集、并集操作来达到降型目的；文献[54]通过推导定理提出了一种启发式降型算法，该算法能够快速、准确地辨识出最小和最大的转折点；文献[55]提出了一种基于神经网络的降型算法，该方法以模糊规则的上、下激励区间，规则后件系数为神经网络的输入，神经网络的输出为系统的精确输出，利用给定参考值与系统的误差来训练神经网络降型过程；文献[56]在区间二型模糊集合的基础上，提出了几何区间二型模糊集合的概念，并给出了相应的集合间几何操作算子，然后通过中心法解模糊的方式求得了后件模糊集合的质心；文献[57]针对降型过程计算成本高这一问题，提出了一种基于几何分析的降型算法，该算法利用计算几何的方法来推导公式，并把该降型算法用在了区间二型模糊控制器中，仿真结果显示了该方法的可行性.上述结果极大地推动了区间二型模糊系统理论的发展和应用，使其在处理复杂不确定系统中发挥了很大的作用. 但是，降型算法的改进仍是未来一段时间研究的热点和难点问题.3 广义二型模糊系统降型算法研究现状广义二型模糊集合的次隶属度函数值由于不像区间二型模糊集合只为“1”，其次隶属度函数值是位于[0，1]上的数. 因此，理论上赋予了广义二型模糊系统比区间二型模糊系统更大的设计自由度和对不确定性问题更强的处理能力[58]. 然而由于广义二型模糊集合运算的复杂性、广义二型模糊系统在推理过程和降型过程的巨大计算量，严重阻碍了广义二型模糊系统的实际应用，只是在图像处理[59]、移动机器人导航[71]等领域得到了应用. 目前，广义二型模糊系统在理论上还不是很成熟，下文介绍几种主要处理广义二型模糊集合和系统的方法.3.1 平面表示法概述文献[60]提出了一种基于平面的广义二型模糊集合表示法，该表示法把广义二型模糊集合分解成一个 -平面的集合. 其中的水平切片类似于区间二型模糊集合. 因此利用平面表示法，可运用现有的区间二型模糊系统的理论，大大地降低了广义二型模糊系统的设计难度和计算成本. 随后文献[61]给出了基于平面表示法的模糊集合操作和降型算法来解决广义二型模糊系统计算复杂的问题[61].针对Liu提出地平面降型算法不适用于具有凹次隶属度函数的二型模糊集合这一缺陷，文献[62]在Liu的方法基础上提出了一种扩展的降型算法.文献[63]把平面表示法和区间二型模糊集合的有用特性相结合，提出了一种快速计算二型模糊集合质心的方法，大大减少了降型过程的计算量.3.2 Z切片表示法概述Z切片表示法是一种类似平面表示法的广义二型模糊集合的表示法[64]. 文献[65]的研究表明Z切片表示法和平面表示法在实质上是等价的，它们的推理会导致相同的结果；文献[66]给出了Z切片表示广义二型模糊集合的集论运算公式和基于Z 切片表示的广义二型模糊系统的推理、降型以及解模糊的公式表示.3.3 垂直切片质心法概述垂直切片质心法的表示很容易理解，计算相对也不是很复杂，是一种非常直观的降型算法[67]. 文献[68]首先把二型模糊集合分解成多个垂直切片，每个垂直切片表示另一个平面上的一型模糊集合，通过计算每个垂直面的质心，并将计算所获得的质心集合相结合，构成了广义二型模糊集合的降型集；文献[69]通过实验比较了采样法、精英采样法、垂直切片质心法和平面表示法4种广义二型模糊系统降型算法的性能，通过实验发现：精准采样法拥有最高的计算精度，而垂直切片质心法拥有最快计算速度.3.4 计算几何降型算法概述几何模糊逻辑提供了一个独特地理解模糊系统的方式，其中的模糊集合和模糊逻辑运算全部使用几何知识操作，计算成本大大降低，为解决广义二型模糊系统的降型难题提供了很好的办法[70]. Coupland和John[71]把几何区间二型模糊集合的概念推广到了广义二型模糊集合，广义二型模糊集合的几何表示法实质是一种基于部分离散化的近似计算方法，把广义二型模糊集合的隶属度函数定义成三维空间中的点的集合. 通过利用几何映射的原理，构建广义二型模糊降型结构的几何降型处理方法，数值仿真结果显示其在计算量上有了明显降低，尽管如此，这种方法所构建的几何关系仍具有很大的局限性[72].3.5 其它降型算法概述穷举法[73]的计算非常复杂，但是计算精度却非常高，通常作为评价其它降型算法准确度的一个重要参照. 文献[74]提出利用采样的方法来处理广义二型模糊集合的降型问题，采样法是对穷举法的改进，解决了穷举法计算成本过高的问题，有效地降低了计算复杂度. 文献[75]提出了一种质心流降型算法，该方法利用连续平面之间的关系和分层的方式优化广义二型模糊集合的质心计算；文献[76]提出了一种新的递推降型算法来计算广义二型模糊集合的质心，并通过仿真证明了该方法的可行性；文献[77]提出了一种一型有序加权平均算子的降型算法，文中证明了广义二型模糊集合降型集合的数学表示和一型有序加权平均算子的特例是等价的，这种关系产生了一种新的降型方法，即使用 -平面法逼近一型有序加权平均算子计算广义二型模糊集合的降型集.上述研究成果在一定程度促进了广义二型模糊系统的发展，然而仍需要对其在理论上进行完善，特别是关于它的降型算法方面，使广义二型模糊系统能够在实际中获得更多地应用.4 结论与展望二型模糊系统在实际应用中最重要地步骤就是降型过程，也就是将二型模糊集合转化为传统模糊集合的过程，然后再进行解模糊化处理得到精确输出. 因此对于二型模糊系统，降型算法的计算效率、计算精度和对系统信息的利用直接决定着二型模糊系统的性能. 尽管在过去十几年的时间里，很多学者做了大量研究，也提出了很多改进的降型算法，上述问题也得到了一定程度上的解决，但是未来的一段时期内，降型过程仍是阻碍二型系统实时应用的一个瓶颈. 区间二型模糊系统的降型算法还存在以下两个问题：（1）目前，对于以KM为代表的迭代降型算法及其相关的改进算法，学者们的研究大多还只是停留在理论研究阶段，大多没有把在KM基础上改进的方法用到实际的控制系统中去，还没有在实际的控制系统中去验证所提出的改进降型算法对控制系统性能的提升有多大的帮助. 对于以WM算法为代表的基于闭式表达式的替代降型算法及其它替代算法. 目前最常用的、最流行的降型算法是WM算法，也被认为是最适合实时控制的降型算法，但是WM算法本质上是迭代算法的近似计算，直接对二型模糊推理结果中的不确定信息进行简化，损失了二型模糊系统对不确定性信息处理的优势. 如何改进计算过程中损失的不确定性信息仍是未来研究的重点. 而其它的降型算法如LM算法、WT算法、LYZ算法、BMM算法、NT算法等，目前应用得还不够广泛，还有很大的应用潜力可以去挖掘，将这些降型算法应用到控制器设计中，通过比较控制器性能来反馈降型算法的性能会是一项比较有意义的研究工作.（2）对于文中提到的区间二型模糊系统的其它降型算法，其中的很多方法都有很大的局限性，在实际的控制系统中应用得并不多，现阶段理论研究价值要高于实际应用价值.广义二型模糊系统相对于区间二型模糊系统，可以提供更多设计自由度，拥有更强处理不确定性问题的能力，未来必将是二型模糊系统研究的热点问题. 目前，广义二型模糊系统的降型算法还存在以下几个问题：（1）广义二型模糊系统的 -平面表示法随着平面数的增加，得到的解模糊值不收敛于穷举解模糊值. 这也是今后研究 -平面表示法的重点问题. 垂直切片质心法是一种计算效率和精度都很高的降型算法，然而还没有通过数学证明显示它可以提供和穷举解模糊一样的解模糊值.（2） Z切片表示法处理广义二型模糊系统面临的问题是如何把单值模糊的广义二型模糊系统推广到非单值模糊系统，以及广义二型模糊集合的第3维对不确定性问题建模的影响.（3）采用几何计算方法来处理广义二型模糊系统时，当二型模糊集合为轴对称时，几何解模糊的质心与迭代降型的质心有明显区别，这个问题仍然没有解决.。