§6.4 数列的综合应用挖命题 【考情探究】分析解读 综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题,培养学生的理解能力、数学建模能力和运算能力.数列是特殊的函数,是高考的常考点.历年高考考题中低、中、高档试题均有出现,需引起充分的重视.本节内容在高考中分值为12分左右,属于中档题.破考点 【考点集训】考点一 数列求和1.(2017湖南湘潭三模,9)已知T n 为数列的前n 项和,若m>T 10+1 013恒成立,则整数m 的最小值为( )A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023 答案 C2.(2017福建福州八中第六次质检,17)在等比数列{a n }中,公比q ≠1,等差数列{b n }满足b 1=a 1=3,b 4=a 2,b 13=a3. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记c n =(-1)n b n +a n ,求数列{c n }的前2n 项和S 2n . 解析 (1)设等差数列{b n }的公差为d.则有解得 或 (舍去), 所以a n =3n ,b n =2n+1.(2)由(1)知c n =(-1)n (2n+1)+3n ,则S 2n =(3+32+33+…+32n )+{(-3)+5+(-7)+9+…+[-(4n-1)]+(4n+1)}=- -+[(5-3)+(9-7)+…+(4n+1-4n+1)]= -+2n.3.(2017湖南郴州二模,17)已知等差数列{a n }满足:a n+1>a n (n ∈N *),a 1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,a n +2log 2b n =-1. (1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解析 (1)设d 为等差数列{a n }的公差,则d>0. 由a 1=1,a 2=1+d,a 3=1+2d 分别加上1,1,3后成等比数列, 得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2(舍负),所以a n =1+(n-1)×2=2n-1(n ∈N *), 又因为a n +2log 2b n =-1,所以log 2b n =-n,则b n =(n ∈N *). (2)由(1)知a n ·b n =(2n-1)·, 则T n =+++…+-①, T n = + + +…+ -②,①-②,得T n=+2×…--.∴T n=+2×-----,∴T n=1+2----=3--=3-.考点二数列的综合应用1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项均为1,公差与公比均为3,则++=()A.64B.32C.38D.33答案D2.(2018河南商丘第二次模拟,6)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1-a n≥2(n∈N*),且S n为{a n}的前n项和,则()A.a n≥2n+1B.S n≥n2C.a n≥2n-1D.S n≥2n-1答案B3.(2018福建福州八校联考,17)已知公差不为0的等差数列{a n}的前三项和为6,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为S n,求使S n<的n的最大值.解析(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d(d≠0),依题意可得即-∵d≠0,∴a1=1,d=1,∴a n=n.(2)由(1)可得b n==-.∴S n=-+-+…+-=1-.令1-<,得n<14,∴n的最大值为13.4.(2018广东佛山一中期中考试,17)在等差数列{a n}中,a1=3,其前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,q=.(1)求a n与b n;(2)证明:≤++…+<.解析(1)设数列{an}的公差为d.因为所以解得q=3或q=-4(舍),d=3.故an=3+3(n-1)=3n,b n=3n-1.(2)证明:因为S n=,所以==-.故++…+=---…-=-.因为n ≥1,所以0< ≤ ,所以 ≤1-<1, 所以≤- <, 即≤ + +…+ <.炼技法 【方法集训】方法 数列求和的方法1.(2018河南中原名校11月联考,10)设函数f(x)满足f(n+1)=(n ∈N *),且f(1)=2,则f(40)=( )A.95B.97C.105D.392答案 D2.(2019届吉林长春模拟,7)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n,则数列·的前6项和为( )A.B.C.D.答案 A3.(2018广东珠海二中期中,18)已知数列{a n }与{b n }满足a n+1-a n =2(b n+1-b n ),n ∈N *,b n =2n-1,且a 1=2. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设c n =-,T n 为数列{c n }的前n 项和,求T n .解析 (1)因为a n+1-a n =2(b n+1-b n ),b n =2n-1,所以a n+1-a n =2(b n+1-b n )=2(2n+1-2n+1)=4,所以{a n }是等差数列,首项a 1=2,公差为4,所以a n =4n-2. (2)c n =-= ---=(2n-1)·2n .∴T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n ①, 2T n =1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)·2n+1②, ①-②得-T n =1×2+2×22+2×23+…+2×2n -(2n-1)·2n+1=2+2× - ---(2n-1)·2n+1=-6-(2n-3)·2n+1, ∴T n =6+(2n-3)·2n+1.4.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n,S n )在函数f(x)=x 2+Bx+C-1(B,C ∈R )的图象上,且a 1=C. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =a n ( - +1),求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设数列{a n }的公差为d, 则S n =na 1+ - d= n 2+ -n, 又S n =n2+Bn+C-1,两式对照得-解得 又因为a 1=C,所以a 1=1,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1.(2)由(1)知b n =(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n , 则T n =1×2+3×22+…+(2n-1)·2n , 2T n =1×22+3×23+…+(2n-3)·2n +(2n-1)·2n+1, 两式相减得T n =(2n-1)·2n+1-2(22+23+ (2))-2=(2n-1)·2n+1-2×- ---2 =(2n-3)·2n+1+6.过专题【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 数列求和1.(2017课标全国Ⅲ,17,12分)设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列的前n 项和.解析 (1)因为a 1+3a 2+…+(2n-1)a n =2n, 故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)a n =2. 所以a n =-(n ≥2). 又由题设可得a 1=2, 从而{a n }的通项公式为a n =-(n ∈N *). (2)记的前n 项和为S n .由(1)知= - = - -. 则S n = - + -+…+ - - =.2.(2014课标Ⅰ,17,12分)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x+6=0的根. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列的前n 项和.解析 (1)方程x 2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a 2=2,a 4=3. 设数列{a n }的公差为d,则a 4-a 2=2d,故d= ,从而a 1=. 所以{a n }的通项公式为a n =n+1.(2)设 的前n 项和为S n ,由(1)知=,则S n =++…++, S n = + +…+ +. 两式相减得 S n =+…-= +---.所以S n =2-.考点二 数列的综合应用(2016课标全国Ⅰ,17,12分)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=,a n b n+1+b n+1=nb n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.解析 (1)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=,得a 1=2,(3分)所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分) (2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为的等比数列.(9分) 记{b n }的前n 项和为S n , 则S n = -- = --.(12分)B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 数列求和1.(2018浙江,20,15分)已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1=1,数列{(b n+1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n.(1)求q 的值;(2)求数列{b n }的通项公式.解析 (1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项得a 3+a 5=2a 4+4, 所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28, 解得a 4=8.由a 3+a 5=20得8=20, 解得q=2或q=, 因为q>1,所以q=2.(2)设c n =(b n+1-b n )a n ,数列{c n }的前n 项和为S n .由c n =- - 解得c n =4n-1.由(1)可知a n =2n-1, 所以b n+1-b n =(4n-1)·-, 故b n -b n-1=(4n-5)·-,n ≥2, b n -b 1=(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 3-b 2)+(b 2-b 1) =(4n-5)·- +(4n-9). - + (7)+3. 设T n =3+7·+11·+…+(4n-5)·-,n ≥2, T n =3· +7· +…+(4n-9)· - +(4n-5)·-(n ≥2), 所以T n =3+4·+4. + (4)- -(4n-5)·-(n ≥2),因此T n =14-(4n+3)·-,n ≥2, 又b 1=1,所以b n =15-(4n+3)·-.2.(2017山东,19,12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=6,a 1a 2=a3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n .已知S 2n+1=b n b n+1,求数列的前n 项和T n . 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题意知:a 1(1+q)=6,q=a 1q 2,又a n >0,解得a 1=2,q=2,所以a n =2n . (2)由题意知:S 2n+1==(2n+1)b n+1,又S 2n+1=b n b n+1,b n+1≠0,所以b n =2n+1. 令c n =,则c n =. 因此T n =c 1+c 2+…+c n = + ++…+ - -+, 又T n =+++…+- +, 两式相减得T n =+…--,所以T n =5-.3.(2017北京,15,13分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5. (1)求{a n }的通项公式;(2)求和:b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 2+a 4=10,所以2a 1+4d=10. 解得d=2.所以a n =2n-1.(2)设等比数列{b n }的公比为q. 因为b 2b 4=a 5,所以b 1qb 1q 3=9. 解得q 2=3.所以b 2n-1=b 1q 2n-2=3n-1.从而b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1=1+3+32+…+3n-1= -.4.(2016天津,18,13分)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且 - =,S 6=63. (1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n 项和.解析 (1)设数列{a n }的公比为q.由已知,有 - =,解得q=2,或q=-1.又由S 6=a 1·--=63,知q ≠-1,所以a 1·--=63,得a 1=1.所以a n =2n-1. (2)由题意,得b n =(log 2a n +log 2a n+1)=(log 22n-1+log 22n )=n-, 即{b n }是首项为,公差为1的等差数列.设数列{(-1)n}的前n项和为T,则nT 2n=(-+)+(-+)+…+(-+)-=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n==2n2.考点二数列的综合应用1.(2018江苏,14,5分)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}.记S n为数列{a}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n的最小值为.n答案272.(2018北京,15,13分)设{a n}是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2.(1)求{a n}的通项公式;(2)求++…+.解析(1)设{a}的公差为d.n因为a+a3=5ln2,2所以2a+3d=5ln2.1又a=ln2,所以d=ln2.1所以a=a1+(n-1)d=nln2.n=--=e ln2=2,(2)因为=e ln2=2,-所以{}是首项为2,公比为2的等比数列.所以++…+=2×-=2(2n-1).-3.(2017天津,18,13分)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).解析(1)设等差数列{a}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,n而b=2,所以q2+q-6=0.1又因为q>0,解得q=2.所以,b=2n.n由b=a4-2a1,可得3d-a1=8①.3由S=11b4,可得a1+5d=16②,11联立①②,解得a=1,d=3,1由此可得a=3n-2.n所以,{a}的通项公式为a n=3n-2,{b n}的通项公式为b n=2n.n(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n,由a2n=6n-2,有T n=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,2T n=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,上述两式相减,得-T n=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1-4-(6n-2)×2n+1=--=-(3n-4)2n+2-16.得T=(3n-4)2n+2+16.n所以,数列{ab n}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.2n4.(2016浙江,17,15分)设数列{a n}的前n项和为S n.已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(1)求通项公式a n;(2)求数列{|a n-n-2|}的前n项和.解析(1)由题意得则又当n≥2时,由a-a n=(2S n+1)-(2S n-1+1)=2a n,n+1得a=3a n.又因为a2=3=3a1,所以数列{a n}是首项为1,公比为3的等比数列.n+1所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-1,n ∈N *.(2)设b n =|3n-1-n-2|,n ∈N *,则b 1=2,b 2=1.当n ≥3时,由于3n-1>n+2,故b n =3n-1-n-2,n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 1=2,T 2=3. 当n ≥3时,T n =3+- - -- - = - -, 经检验,n=2时也符合.所以T n =- -∈C 组 教师专用题组考点一 数列求和1.(2015湖北,19,12分)设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q.已知b 1=a 1,b 2=2,q=d,S 10=100. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d>1时,记c n =,求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意有, 即解得 或 故 - - 或·-(2)由d>1,知a n =2n-1,b n =2n-1,故c n = - -,于是T n =1+ + + ++…+- -,①T n = + + + + +…+ -.② ①-②可得T n =2+ + +…+- - - =3- , 故T n =6--.2.(2015安徽,18,12分)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =,求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由题设知a 1·a 4=a 2·a 3=8, 又a 1+a 4=9,可解得 或 (舍去).由a 4=a 1q 3得公比为q=2,故a n =a 1q n-1=2n-1. (2)S n =- -=2n -1,又b n = = - = -,所以T n =b 1+b 2+…+b n = -+ -+…+ - = -=1--.3.(2015山东,19,12分)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列·的前n 项和为. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·,求数列{b n}的前n项和T n.解析(1)设数列{a}的公差为d.n令n=1,得=,所以aa2=3.1令n=2,得+=,所以aa3=15.2解得a=1,d=2,1所以a=2n-1.n(2)由(1)知b n=2n·22n-1=n·4n,所以T=1·41+2·42+…+n·4n,n所以4T=1·42+2·43+…+n·4n+1,n两式相减,得-3T=41+42+…+4n-n·4n+1n-n·4n+1=--=-×4n+1-.所以T=-×4n+1+=-.n4.(2014湖北,19,12分)已知等差数列{a n}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记S n为数列{a n}的前n项和,是否存在正整数n,使得S n>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解析(1)设数列{a}的公差为d,依题意,得2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),n化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,a=2;n当d=4时,a=2+(n-1)·4=4n-2,n从而得数列{a}的通项公式为a n=2或a n=4n-2.n(2)当a n=2时,S n=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得S>60n+800成立.n当a=4n-2时,S n=-=2n2.n令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得S>60n+800成立,n的最小值为41.n综上,当a=2时,不存在满足题意的n;n当a=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.n5.(2014安徽,18,12分)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设b n=3n·,求数列{b n}的前n项和S n.解析(1)证明:由已知可得=+1,即-=1.所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)·1=n,所以a n=n2.从而b=n·3n.n∴S n=1·31+2·32+3·33+…+n·3n,①3S n=1·32+2·33+…+(n-1)·3n+n·3n+1.②①-②得-2S n=31+32+…+3n-n·3n+1=· - --n ·3n+1= - · -.所以S n = - ·.6.(2014山东,19,12分)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)n b n ,求T n .解析 (1)由题意知(a 1+d)2=a 1(a 1+3d), 即(a 1+2)2=a 1(a 1+6),解得a 1=2,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n. (2)由题意知b n ==n(n+1).所以b n+1-b n =2(n+1), 所以当n 为偶数时,T n =(-b 1+b 2)+(-b 3+b 4)+…+(-b n-1+b n ) =4+8+12+…+2n ==,当n 为奇数时,若n=1,则T 1=-b 1=-2, 若n>1,则T n =T n-1+(-b n ) =--n(n+1) =-, n=1时,满足上式. 所以T n =-为奇数为偶数 7.(2013重庆,16,13分)设数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=3a n ,n ∈N +. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ;(2)已知{b n }是等差数列,T n 为其前n 项和,且b 1=a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,求T 20. 解析 (1)由题设知{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n =3n-1,S n = - - =(3n-1). (2)b 1=a 2=3,b 3=1+3+9=13,b 3-b 1=10=2d,所以公差d=5, 故T 20=20×3+×5=1 010. 8.(2013安徽,19,13分)设数列{a n }满足a 1=2,a 2+a 4=8,且对任意n ∈N *,函数f(x)=(a n -a n+1+a n+2)x+a n+1cos x-a n+2sin x 满足 f '=0. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =2,求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)由题设可得, f '(x)=a n -a n+1+a n+2-a n+1sin x-a n+2·cos x. 对任意n ∈N *,f '=a n -a n+1+a n+2-a n+1=0, 即a n+1-a n =a n+2-a n+1, 故{a n }为等差数列.由a 1=2,a 2+a 4=8,解得{a n }的公差d=1,所以a n =2+1·(n-1)=n+1.(2)由b n=2=2=2n++2知,S n=b1+b2+…+b n=2n+2·+--=n2+3n+1-.9.(2013湖南,19,13分)设S n为数列{a n}的前n项和,已知a1≠0,2a n-a1=S1·S n,n∈N*.(1)求a1,a2,并求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{na n}的前n项和.解析(1)令n=1,得2a1-a1=,即a1=.因为a1≠0,所以a1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2.解得a2=2.当n≥2时,2an-1=S n,2a n-1-1=S n-1,两式相减得2a n-2a n-1=a n.即a n=2a n-1.于是数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列.因此,an=2n-1.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.(2)由(1)知na n=n·2n-1.记数列{n·2n-1}的前n项和为Bn,于是B n=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2B n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②①-②得-B n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n.从而Bn=1+(n-1)·2n.考点二数列的综合应用1.(2018江苏,20,16分)设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列.(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|a n-b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).解析本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.(1)由条件知a n=(n-1)d,b n=2n-1.因为|an-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立.即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得≤d≤.因此,d的取值范围为.(2)由条件知:a n=b1+(n-1)d,b n=b1q n-1.若存在d∈R,使得|an-b n|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立,即|b1+(n-1)d-b1q n-1|≤b1(n=2,3,…,m+1).即当n=2,3,…,m+1时,d满足---b1≤d≤--b1.因为q∈(1,],所以1<q n-1≤q m≤2,从而---b1≤0,--b1>0,对n=2,3,…,m+1均成立.因此,取d=0时,|an-b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立.下面讨论数列---的最大值和数列--的最小值(n=2,3,…,m+1).①当2≤n≤m时,-----=----=----,当1<q≤时,有q n≤q m≤2,从而n(q n-q n-1)-q n+2>0.因此,当2≤n≤m+1时,数列--单调递增,-故数列--的最大值为-.-②设f(x)=2x(1-x),当x>0时,f'(x)=(ln2-1-xln2)2x<0.所以f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1.当2≤n≤m时,=-≤-=f<1.--因此,当2≤n≤m+1时,数列-单调递减,-故数列-的最小值为.-因此,d的取值范围为-.2.(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a}是“P(k)数列”.n(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.证明(1)证明:因为{a}是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,n从而,当n≥4时,a+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3,n-k所以a+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,n-3因此等差数列{a}是“P(3)数列”.n(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①n-2当n≥4时,a+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②n-3由①知,a+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③n-3a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a+a n+1=2a n,其中n≥4,n-1所以a,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.3在①中,取n=4,则a+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',2在①中,取n=3,则a+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',1所以数列{a}是等差数列.n3.(2016四川,19,12分)已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=2,求++…+.解析(1)由已知,S=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.n+1又由S=qS1+1得到a2=qa1,2故a=qa n对所有n≥1都成立.n+1所以,数列{a}是首项为1,公比为q的等比数列.n从而a=q n-1.n由a,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3,2所以a=2a2,故q=2.3所以a=2n-1(n∈N*).n(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e==-.n由e==2解得q=.2所以, + +…+=(1+1)+(1+q 2)+…+[1+q 2(n-1)] =n+[1+q 2+…+q 2(n-1)] =n+- - =n+(3n -1).4.(2015天津,18,13分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是等差数列,且a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n =a n b n ,n ∈N *,求数列{c n }的前n 项和.解析 (1)设数列{a n }的公比为q,数列{b n }的公差为d,由题意知q>0.由已知,有 - - 消去d,整理得q 4-2q 2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,n ∈N *;数列{b n }的通项公式为b n =2n-1,n ∈N *. (2)由(1)有c n =(2n-1)·2n-1,设{c n }的前n 项和为S n ,则 S n =1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2S n =1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n , 上述两式相减,得-S n =1+22+23+…+2n -(2n-1)×2n =2n+1-3-(2n-1)×2n =-(2n-3)×2n -3, 所以,S n =(2n-3)·2n +3,n ∈N *.5.(2015浙江,17,15分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+ b 2+ b 3+…+b n =b n+1-1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n . 解析 (1)由a 1=2,a n+1=2a n ,得a n =2n (n ∈N *). 由题意知,当n=1时,b 1=b 2-1,故b 2=2. 当n ≥2时, b n =b n+1-b n ,整理得 =, 所以b n =n(n ∈N *).(2)由(1)知a n b n =n ·2n ,因此T n =2+2·22+3·23+…+n ·2n , 2T n =22+2·23+3·24+…+n ·2n+1, 所以T n -2T n =2+22+23+…+2n -n ·2n+1. 故T n =(n-1)2n+1+2(n ∈N *).6.(2014广东,19,14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 满足 -(n 2+n-3)S n-3(n 2+n)=0,n ∈N *. (1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)证明:对一切正整数n,有+ +…+ <.解析 (1)∵ -(n 2+n-3)S n -3(n 2+n)=0, ∴令n=1,得+a 1-6=0,解得a 1=2或a 1=-3. 又a n >0,∴a 1=2.(2)由-(n 2+n-3)S n -3(n 2+n)=0,得[S n -(n 2+n)](S n +3)=0, 又a n >0,所以S n +3≠0,所以S n =n 2+n,所以当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n-[(n-1)2+n-1]=2n, 又由(1)知,a 1=2,符合上式, 所以a n =2n.(3)证明:由(2)知,=,所以++…+=++…+<+++…+--=+--…-=+-<+×=.7.(2013课标Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解析(1)设{a}的公差为d.由题意得,=a1a13,n即(a+10d)2=a1(a1+12d).1于是d(2a+25d)=0.1又a=25,所以d=0(舍去)或d=-2.1故a=-2n+27.n(2)令S n=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而3n-2S n=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.8.(2013山东,20,12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=4S2,a2n=2a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足++…+=1-,n∈N*,求{b n}的前n项和T n.解析(1)设等差数列{a}的首项为a1,公差为d.n由S=4S2,a2n=2a n+1得4解得a=1,d=2.1因此a=2n-1,n∈N*.n(2)由已知++…+=1-,n∈N*,得当n=1时,=;当n≥2时,=1---=.-所以=,n∈N*.由(1)知,a=2n-1,n∈N*,n所以b=-,n∈N*,n又T=+++…+-,nT n=++…+-+-,两式相减得Tn=+…--=----,所以Tn=3-.【三年模拟】时间:50分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018福建厦门第一学期期末质检,7)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n+1a n=2,则其前100项和为()A.250B.200C.150D.100答案D2.(2017山西孝义模考,9)已知数列{a n},{b n},其中{a n}是首项为3,公差为整数的等差数列,且a3>a1+3,a4<a2+5,a n=log2b n,则{b n}的前n项和S n为()A.8(2n-1)B.4(3n-1)C.(4n-1)D.(3n-1)答案C3.(2017陕西渭南二模,9)设S n为等差数列{a n}的前n项和,a2=3,S5=25,若的前n项和为,则n的值为()A.504B.1008C.1009D.2017答案B4.(2018河北衡水中学八模,8)已知函数f(x)=a x+b(a>0,且a≠1)的图象经过点P(1,3),Q(2,5).当n∈N*时,a n=-·,记数列{a n}的前n项和为Sn,当S n=时,n的值为()A.7B.6C.5D.4答案D5.(2019届河南信阳模拟,6)已知数列{a n}的前n项和为S n=2n+1+m,且a1,a4,a5-2成等差数列,b n=-,数列{b n}的前n项和为T n,则满足T n>的最小正整数n的值为()A.11B.10C.9D.8答案B二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2019届江苏南京模拟,15)已知数列{a n}的通项公式为a n=为奇数-为偶数则数列{an}前15项和S15的值为.答案7.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若{a n},{b n}满足a n b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前2018项和为. 答案三、解答题(共30分)8.(2019届广东模拟,17)已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 3+a 5=40,a 4=16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =,S n 是数列{b n }的前n 项和,对任意正整数n,不等式S n +>(-1)n ·a 恒成立,求a 的取值范围. 解析 (1)由 得 · 因为等比数列{a n }的公比q>1,所以q=2,a 3=8,所以a n =a 3·q n-3=2n . (2)由于a n =2n ,b n =, 所以b n = =,则S n =+++…+①,S n = + + +…+②, ①-②得S n =…-, 所以S n =1+ + +…+- - = - -- =2-,所以S n +>(-1)n ·a 即2->(-1)n ·a. 设f(n)=2-(n ∈N *), 由于f(n)=2- 单调递增,故当n 为奇数时,f(1)=1为最小值,所以-a<1,则a>-1, 当n 为偶数时,f(2)=为最小值,所以a<. 所以a 的取值范围为 -.9.(2018云南昆明一中调研,17)在等差数列{a n }中,公差d ≠0,前5项和S 5=15,且a 1,a 3,a 7成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求a 2+a 8+a 26+…+ - (k ∈N *)的值. 解析 (1)根据题意得解得所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n-1)d= n+ . (2)解法一:由(1)得 - = (3n -1)+ =×3n , 所以a 2+a 8+a 26+…+ - =×(31+32+33+…+3k ) = ×- -= (3k-1).解法二:设b n = - =(3n -1)+ =×3n ,则=3(n ∈N *). 所以数列{b n }是首项为,公比为3的等比数列, 所以数列{b n }的前k 项和T k =- -=(3k -1).10.(2017湖南长沙长郡中学模拟,17)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,a 1=b 1=1,且b 3S 3=36,b 2S 2=8(n ∈N *). (1)求a n 和b n ; (2)若a n <a n+1,求数列的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q, 由题意得 解得 或-∴a n =2n-1,b n =2n-1或a n =(5-2n),b n =6n-1. (2)若a n <a n+1,由(1)知a n =2n-1, 则= - = - -, ∴T n =--…- - =.。
