高中数学 5_3 不等式的证明 5_3_1 比较法知识导航学案 苏教版选修4-51
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5.3.1 比较法
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1.比较法一般分为两种:________________和________________.
2.作差比较法
(1)作差比较法的证明依据:________________________________.
(2)基本步骤:①作差;②合并化简;③分解因式(或配方);④与0比较大小.
3.作商比较法
(1)作商比较法的证明依据:________________________________.
(2)基本步骤:①______________;②______________;③______________;④______________.
高手笔记
1.比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,在其一般步骤中,变形是证明过程中的关键,变形常用的方法有配方法和分解因式法,其目的是要判断差的正负号或商的分子、分母的大小关系,从而进一步作出比较.
2.一般地,论证多项式结论的不等式常用作差比较法,而有关幂、指数的不等式常用作商比较法,证明对数不等式常用作差比较法,这与它们的运算性质有关.若“差”或“商”中含有参数时,可对其进行分类讨论,注意分类的标准,做到“不重不漏”.
名师解惑
如何正确使用作商法?
剖析:在作商比较两个数的大小时,不要盲目地下结论,如ab＜1a＞b是错误的,因为这里的变形实质上是在不等式ab＜1两边同乘a所得,但不等式的性质中同乘一个正数和同乘一个负数是不同的,当a＞0时,得b＜a,但当a＜0时,得b＞a,所以应该看分母的符号是否确定,如果不确定要对其正、负进行分类讨论,即不等式的证明要以不等式的性质为依据.使用两个实数具有的性质进行比较.
讲练互动
【例1】求证:a2+b2＞2(a-b-2).
分析:此不等式的两边为多项式结构,通常用作差比较法进行证明.
证明:∵a2+b2-2(a-b-2)
=a2+b2-2a+2b+4
=(a-1)2+(b+1)2+2＞0,
∴a2+b2＞2(a-b-2).
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不等号两边为多项式结构的不等式,通常用作差比较法证明,通过配方或分解因式变形,判断符号.
变式训练
1.已知a、b都是正数,且a≠b,求证:a5+b5＞a3b2+a2b3.
证明:a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)+b5-a2b3=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),
∵a、b都是正数,∴a+b＞0,a2+ab+b2＞0.
∵a≠b,∴(a-b)2＞0.
2 ∴(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)＞0,即a5+b5＞a3b2+a2b3成立.
【例2】已知a＞b＞c＞0,求证:a2a·b2b·c2c＞ab+c·bc+a·ca+b.
分析:不等式的两边都是指数幂的乘积,根据指数的运算法则,可用作商比较法.
证明:bacacbcbacbacba222=a2a-(b+c)·b2b-(a+c)·c2c-(a+b),
∵a＞b＞c＞0,
∴2a-b-c＞0,2c-a-b＜0.
∴a2a-b-c＞b2a-b-c,c2c-a-b＞b2c-a-b.
∴a2a-b-c·b2b-a-c·c2c-a-b＞b2a-b-c·b2b-a-c·b2c-a-b=b0=1.
∴bacacbcbacbacba222＞1.
∴a2a·b2b·c2c＞ab+c·ba+c·ca+b.
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指数幂结构的不等式一般用作商比较法证明,并运用指数的运算性质进行适当地放缩,与1比较大小.
变式训练
2.已知a＞b＞0,求证:aabb＞abba.
证明:abbababa=aa-b·bb-a=(ba)a-b,
∵a＞b＞0,∴ba＞1,a-b＞0.
∴(ba)a-b＞1.
∴abbababa＞1.∴aabb＞abba成立.
【例3】已知a≥1,求证:11aaaa.
分析:因不等式两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用作差法进行证明.
又∵a≥1,∴不等式两边都大于0,故还可以用作商法进行证明.
证法一:∵(aa1)-(1aa)
=1111aaaa
=)1)(1(11aaaaaa＜0,
∴aa1＜1aa. 3 证法二:∵111111aaaaaaaa
=aaaa11＜1,
又∵1aa＞0,
∴aa1＜1aa成立.
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对于两根式相加或相减,常用平方差公式进行分子或分母有理化变形.
变式训练
3.若a＞0,b＞0,求证:ba+ab≥ba.
证明:∵a＞0,b＞0,
∴abba-(a+b)=aabbba
=(a-b)(b1-a1)=abbaba))((
=abbaba2))((.
∵a＞0,b＞0,∴ba＞0,ab＞0,(ba)2≥0.
∴abba-(ba)≥0,
即abba≥ba.
【例4】已知a、b是两正实数,试比较an+bn与an-1b+abn-1(n∈N*,n＞1)的大小.
解:an+bn-(an-1b+abn-1)=an+bn-an-1b-abn-1=an-1(a-b)-bn-1(a-b)=(a-b)(an-1-bn-1).
①当a＞b＞0时,有a-b＞0,an-1-bn-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0,即an+bn＞an-1b+abn-1.
②当b＞a＞0时,有a-b＜0,an-1-bn-1＜0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0,即an+bn＞an-1b+abn-1.
③当b=a＞0时,(a-b)(an-1-bn-1)=0.
∴当a=b时,an+bn=an-1b+abn-1.
综上,当a≠b时,an+bn＞an-1b+abn-1;
当a=b时,an+bn=an-1b+abn-1.
4 绿色通道
若各因子的符号不确定时,可根据情况进行分类讨论,分类时做到“不重不漏”.
变式训练
4.已知a、b∈R+,n∈N*,求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).
证明:∵(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)
=an+1+abn+ban+bn+1-2an+1-2bn+1
=a(bn-an)+b(an-bn)=(an-bn)(b-a),
(1)当b＞a＞0时,bn>an,b-a＞0.
∴an-bn<0.
∴(an-bn)(b-a)＜0.
(2)当a＞b＞0时,an-bn＞0,b-a＜0,
∴(an-bn)(b-a)＜0.
(3)若a=b＞0时,(an-bn)(b-a)=0.
综上(1)(2)(3),可知对于a、b∈R+,n∈N*,都有(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).
