苏教版高中数学知识点必修2空间几何知识讲解

空间中两条直线的位置关系： ：【学习目标】1.了解空间中两条直线的三种位置关系，并能对直线的位置关系进行分类、判断；2．掌握平行公理及等角定理，并由此知道异面直线所成的角的概念和异面直线垂直的概念；【要点梳理】【空间直线与平面的位置关系399458知识讲解1及例1】要点一：空间两条直线的位置关系(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.要点二：平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：//a b ，////b c a c ⇒.公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等. 要点三：异面直线1.概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点诠释：（1）异面直线具有既不相交也不平行的特点．（2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件．不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图甲中，直线a ⊂α，直线b β⊂，a ∥b ，不能由a 、b 不同在平面α内就误认为a 与b 异面，实际上，由a ∥b 可知a 与b 共面，它们不是异面直线．（3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面．它们可以是平行直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示．（4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示．2.定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。

空间直角坐标系
1.空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox，Oy，Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴叫做坐标轴。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。

2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y
轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

3．在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零。

4.空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴，Oy轴，Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M
点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。

5.空间中两点间的距离公式：
d=
6．不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。

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学习目标核心素养１．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程．（重点）２．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．（难点）通过学习本节内容提升学生的直观想象、数学运算核心素养.１．空间两点间的距离公式（１）平面直角坐标系中，两点P１（x１，y１），P２（x２，y２）间的距离为P１P２＝错误!．特别地，点A（x，y）到原点距离为OA＝错误!．（２）空间两点P１（x１，y１，z１），P２（x２，y２，z２）的距离公式是P１P２＝错误!．特别地，点A（x，y，z）到原点的距离公式为OA＝错误!．２．空间两点的中点坐标公式连结空间两点P１（x１，y１，z１），P２（x２，y２，z２）的线段P１P２的中点M的坐标为错误!．１．点P（—２，—１，１）到原点的距离为________．错误![PO＝错误!＝错误!.]２．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0（４，１，２）的距离为错误!，则该点的坐标为__________．（9，0，0）或（—１，0，0）[设点P的坐标是（x，0，0），由题意得，P0P＝错误!，即错误!＝错误!，∴（x—４）２＝２５，解得x＝9或x＝—１．∴点P的坐标为（9，0，0）或（—１，0，0）．]３．若O为原点，P点坐标为（２，—４，—6），Q为OP中点，那么Q点的坐标为________．（１，—２，—３）[设Q（x，y，z），则x＝错误!＝１，y＝错误!＝—２，z＝错误!＝—３，∴Q（１，—２，—３）．]４．如图，在长方体OABC­O１A１B１C１中，OA＝２，AB＝３，AA１＝２，M是OB１与BO１的交点，则M点的坐标是________．错误![∵OA＝２，AB＝３，AA１＝２，∴O（0，0，0），B１（２，３，２）．又∵M为OB１的中点，∴M错误!.]空间中两点间距离的计算＝３NC′，试求MN的长．思路探究：解答本题关键是先建立适当坐标系，把M，N两点的坐标表示出来，再利用公式求长度．[解] 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体的棱长为a，所以B（a，a，0），A′（a，0，a），C′（0，a，a），D′（0，0，a）．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M错误!，O′错误!.因为A′N＝３NC′，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N错误!，根据空间两点距离公式，可得MN＝错误!＝错误!a.利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤（１）建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；（２）代入空间两点间的距离公式求值．１．已知△ABC的三个顶点A（１，５，２），B（２，３，４），C（３，１，５）．（１）求△ABC中最短边的边长；（２）求AC边上中线的长度．[解] （１）由空间两点间距离公式得AB＝错误!＝３，BC＝错误!＝错误!，AC＝错误!＝错误!，∴△ABC中最短边是BC，其长度为错误!.（２）由中点坐标公式得，AC的中点坐标为错误!.∴AC边上中线的长度为错误!＝错误!.确定空间点的坐标１．在空间直角坐标系中，已知点A（１，0，２），B（１，—３，１），点M在y轴上，且M到A 与到B的距离相等，则M的坐标是什么？[提示] 设M（0，a，0），由已知得MA＝MB，即错误!＝错误!，解得a＝—１，故M（0，—１，0）．２．方程（x—１）２＋（y—２）２＋（z—３）２＝２５的几何意义是什么？[提示] 依题意错误!＝５，点（x，y，z）是空间中到点（１，２，３）距离等于５的点，即以点（１，２，３）为球心，以５为半径的球面．【例２】已知A（x，５—x，２x—１），B（１，x＋２，２—x），求AB取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的AB的长度．思路探究：解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标．[解] 由空间两点间的距离公式得AB＝错误!＝错误!＝错误!，当x＝错误!时，AB有最小值错误!＝错误!，此时A错误!，B错误!.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．２．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是１，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC 上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a（0<a<错误!）．（１）求MN的长；（２）当a为何值时，MN的长最小．[解] 以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．∵正方形ABCD，ABEF的边长都是１，且CM＝BN＝a（0<a<错误!），∴易得点M，N的坐标分别为M错误!，N错误!.（１）|MN|＝错误!＝错误!（0<a<错误!）．（２）∵MN＝错误!＝错误!，∴当a＝错误!时，MN的长最小，且最小值为错误!.１．本节课的重点是理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式和中点坐标公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的恰当建立及求相关点的坐标．２．本节课要重点掌握的规律方法（１）求空间中对称点坐标的规律．（２）空间两点间距离公式的应用．３．本节课的易错点是空间两点间距离的求解运算．１．已知A（１，１，１），B（—３，—３，—３），则线段AB的长为（）Ａ．４错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４错误!Ｄ．３错误!A[AB＝错误!＝４错误!.]２．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（３，１，２），B（４，—２，—２），C（0，５，１），则BC边上的中线长为________．错误![∵B（４，—２，—２），C（0，５，１），∴BC的中点为错误!，∴BC边上的中线长为错误!＝错误!.]３．已知点A（x，１，２）和点B（２，３，４），且AB＝２错误!，则实数x的值是________．—２或6 [由题意得错误!＝２错误!，解得x＝—２或x＝6．]４．已知A（１，—２，１１），B（４，２，３），C（6，—１，４）为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形．[证明] 由空间两点间的距离公式得AB＝错误!＝错误!，BC＝错误!＝错误!，AC＝错误!＝错误!，∵AB２＝BC２＋AC２，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角．。

高中数学必修2知识点第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP-几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

空间中的平行关系１１１１１１１１点．求证：（１）GE∥平面BDD１B１；（２）平面BDF∥平面B１D１H.思路探究：（１）取B１D１的中点O，证明四边形BEGO是平行四边形．（２）证B１D１∥平面BDF，HD１∥平面BDF.[证明] （１）取B１D１的中点O，连结GO，OB，易证OG错误!B１C１，BE错误!B１C１，∴OG BE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.∵OB平面BDD１B１，GE平面BDD１B１，∴GE∥平面BDD１B１.（２）由正方体性质得B１D１∥BD，∵B１D１平面BDF，BD平面BDF，∴B１D１∥平面BDF.连结HB，D１F，易证HBFD１是平行四边形，得HD１∥BF.∵HD １平面BDF，BF平面BDF，∴HD１∥平面BDF.∵B１D１∩HD１＝D１，∴平面BDF∥平面B１D１H.１．判断或证明线面平行的常用方法：（１）利用线面平行的定义（无公共点）；（２）利用线面平行的判定定理（aα，bα，a∥b⇒a∥α）；（３）利用面面平行的性质定理（α∥β，aα⇒a∥β）；（４）利用面面平行的性质（α∥β，aβ，a∥α⇒a∥β）．２．证明面面平行的方法：（１）利用面面平行的定义；（２）利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（３）垂直于同一条直线的两个平面平行；（４）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；（５）利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．１．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的点，P为平面ABC外一点．设Q为PA的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC.[证明] 如图，连接OG并延长，交AC于点M，连接QM，QO，OM.由G为△AOC的重心，得M 为AC的中点．由Q为PA的中点，得QM∥PC.又O为AB的中点，所以OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.又QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.空间中的垂直关系的中点．求证：（１）DE＝DA；（２）平面BDM⊥平面ECA；（３）平面DEA⊥平面ECA.思路探究：取EC中点F，CA中点N，连结DF，MN，BN.（１）证△DFE≌△ABD，（２）证BN⊥平面ECA，（３）证DM⊥平面ECA.[证明] （１）如图所示，取EC的中点F，连结DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△DEF和Rt△DBA中，∵EF＝错误!EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA.（２）取CA的中点N，连结MN，BN，则MN错误!EC，∴MN∥BD，即N点在平面BDM内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.（３）∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.空间垂直关系的判定方法（１）判定线线垂直的方法１计算所成的角为90°（包括平面角和异面直线所成的角）；２线面垂直的性质（若a⊥α，bα，则a⊥b）．（２）判定线面垂直的方法１线面垂直的定义（一般不易验证任意性）；２线面垂直的判定定理（a⊥m，a⊥n，mα，nα，m∩n＝A⇒a⊥α）；３平行线垂直平面的传递性质（a∥b，b⊥α⇒a⊥α）；４面面垂直的性质定理（α⊥β，α∩β＝l，aβ，a⊥l⇒a⊥α）；５面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；⑥面面垂直的性质（α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ）．（３）面面垂直的判定方法１根据定义（作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°）；２面面垂直的判定定理（a⊥β，aα⇒α⊥β）．２．如图，四棱锥P­ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．（１）求证：AP∥平面MBD；（２）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.[证明] （１）如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点．又M为PC的中点，所以OM∥PA.因为OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP∥平面MBD.（２）因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD.因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因为BD平面PBD，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PD⊥BD.又因为BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD⊥平面PAD.空间几何体的体积及表面积４，M为线段AD上一点，AM＝２MD，N为PC的中点．（１）证明MN∥平面PAB；（２）求四面体N­BCM的体积．思路探究：（１）利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；（２）先求出点N到平面BCM的距离及△BCM的面积，然后代入锥体的体积公式求解．[解] （１）证明：由已知得AM＝错误!AD＝２．如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝错误!BC＝２．又AD∥BC，故TN AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB.（２）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为错误!PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝３得，AE⊥BC，AE＝错误!＝错误!.由AM∥BC得M到BC的距离为错误!，故S△BCM＝错误!×４×错误!＝２错误!.所以四面体N­BCM的体积V N­BCM＝错误!×S△BCM×错误!＝错误!.几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题．３．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.（１）证明：平面PAB⊥平面PAD；（２）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P­ABCD的体积为错误!，求该四棱锥的侧面积．[解] （１）证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，因为AP∩PD＝P，AP平面PAD，PD平面PAD，从而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（２）如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由（１）知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD.设AB＝x，则由已知可得AD＝错误!x，PE＝错误!x.故四棱锥P­ABCD的体积V P­ABCD＝错误!AB·AD·PE＝错误!x３.由题设得错误!x３＝错误!，故x＝２．从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝２，AD＝BC＝２错误!，PB＝PC＝２错误!.可得四棱锥P­ABCD的侧面积为错误!PA·PD＋错误!PA·AB＋错误!PD·DC＋错误!BC２sin 60°＝6＋２错误!.平面图形的翻折问题E，F分别为PD，PC的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P­ABCD.（１）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；（２）当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG.思路探究：（１）转化为证EF⊥平面PAD；（２）转化为证平面PAB∥平面EFG.[证明] （１）在直角梯形ABCP中，∵BC∥AP，BC＝错误!AP，D为AP的中点．∴BC AD，又AB⊥AP，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.在四棱锥P­ABCD中，∵E，F分别为PD，PC的中点，∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD.又PD∩AD＝D，PD平面PAD，AD平面PAD.∴EF⊥平面PAD.又EF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.（２）法一：∵G，F分别为BC和PC的中点，∴GF∥BP.∵GF平面PAB，BP平面PAB，∴GF∥平面PAB.由（１）知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB.∵EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.∵EF∩GF＝F，EF平面EFG，GF平面EFG.∴平面EFG∥平面PAB.∵PA平面PAB，∴PA∥平面EFG.法二：取AD中点H（略），连结GH，HE.由（１）知四边形ABCD为平行四边形．又G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD.由（１）知，EF∥CD，∴EF∥GH.∴四点E，F，G，H共面．∵E，H分别为PD，AD的中点，∴EH∥PA.∵PA平面EFGH，EH平面EFGH.∴PA∥平面EFGH，即PA∥平面EFG.空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查．（１）解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．（２）在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．４．如图（１）所示，在直角梯形ABEF中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图（２）所示．（１）（２）（１）求证：BE∥平面ADF；（２）求三棱锥F­BCE的体积．[解] （１）证明：法一：取DF的中点G，连结AG，EG，∵CE＝错误!DF，∴EG CD.又∵AB CD，∴EG AB，∴四边形ABEG为平行四边形，∴BE∥AG.∵BE平面ADF，AG平面ADF，∴BE∥平面ADF.法二：由图（１）可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．∵BC平面ADF，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.∵BC∩CE＝C，BC，CE平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.∵BE平面BCE，∴BE∥平面ADF.（２）法一：∵V F­BCE＝V B­CEF，由图（１）可知BC⊥CD.∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.由图（１）可知DC＝CE＝１，S△CEF＝错误!CE×DC＝错误!，∴V F­BCE＝V B­CEF＝错误!×BC×S△CEF＝错误!.法二：由图（１），可知CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE.∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为１，由图（１），可知BC＝CE＝１，S△BCE＝错误!BC×CE＝错误!，∴V F­BCE＝错误!×CD×S△BCE＝错误!.法三：过E作EH⊥FC，垂足为H，如图所示，由图（１），可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF.∵EH平面DCEF，∴BC⊥EH，∴EH⊥平面BCF.由BC⊥FC，FC＝错误!＝错误!，S△BCF＝错误!BC×CF＝错误!，在△CEF中，由等面积法可得EH＝错误!，∴V F­BCE＝V E­BCF＝错误!×EH×S△BCF＝错误!.。

空间中的位置关系知识导图点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征.（2）能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式.（5）理解平面的基本性质及确定平面的条件.（6）掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质.（7）掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质.名师导航1.学习方法指导（1）空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图.②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化.③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理.④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥.由1()2S c c h ''=+正棱台侧和()3h V s ss s ''=++正棱台，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系. （2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理.②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行.③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直平面与平面垂直.2.思想方法小结在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等.主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等.3.综合例题分析例1.试证：正四面体内任意一点到各面距离之和等于这个正四面体的高.分析：如图，设P 为正四面体ABCD 内任一点，AO 为正四面体 A 的高，点P 到各面的距离分别为 1234,,,d d d d P ACD P ABD P BCD ABCD P ABC V V V V V ----=+++即12341111133333BCD ABC ACD ABD BCD S AO S d S d S d S d ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅ 正四面体各面是全等的正三角形 ∴ 123411()33BCD BCD S AO S d d d d ⋅=+++∴ 1234d d d d AO +++=点评：多面体问题常用技巧有“割”“补”“等积变换”等，利用这些技巧可使问题化繁为易. 例2.已知三棱锥A BCD -中，90BCD ∠=，1BC CD ==，AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=，,E F 分别是,AC AD 上的动点，且(01)AE AF AC AD λλ==<<， （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？证（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB CD ⊥，∵CD BC ⊥，且AB BC B =，∴CD ⊥平面ABC ，又∵AE AF AC AD λ==（01λ<<），∴不论λ为何值，恒有//EF CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF ， ∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE EF ⊥，又要平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE AC ⊥，∵1BC CD ==，90BCD ∠=，60ADB ∠=，∴2,2tan 606BD AB ===，∴227AC AB BC =+=，由2AB AE AC =⋅得7AE =， ∴67AE AC λ==， 故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD ． 点评：证明垂直和平行一样，要注意线面与面面的转化及立几与平几的转化.误区莫入（1） 几何中的平面是没有厚度且可以无限延展，因此，用平行四边形表示平面时，必要时可以把它延展开来.如同画直线一样，直线是可以无限延展的，但在画直线时，却只画出一条线段来表示.（2） 平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确.如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”在空间就不正确.而有些命题推广到空间还是正确，如：平行线的传递性及关于两角相等的定理等.。

空间几何体的结构1.棱柱的结构特征(1)定义: 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.（2）各部分名称：①底面：棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；②侧面：其余各面叫做棱柱的侧面；③棱：两个面的公共边叫做棱柱的棱.④侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；⑤顶点：侧面与底面的公共点叫做棱柱的顶点.⑥对角线：不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱柱的（体）对角线.⑦对角面：不相邻的两条侧棱确定的平面叫棱柱的对角面.⑧高：两个底面的距离叫做棱柱的高.我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱如图的棱柱表示为：棱柱ABCDE—A’B’C’D’E’(3)棱柱的性质①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形(4)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱…..n棱柱②按侧棱与底面的位置关系分类:(5)特殊的四棱柱为了便于理解与掌握,我们把四棱柱与平行六面体及特殊的平行六面体之间的关系图示如下:2.棱锥的结构特征(1)定义: 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形.由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形的面叫做棱锥的底面(或底).有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.由顶点到底面的垂线段(SO)叫做棱锥的高.如图的棱锥可表示为S—ABC D.(2)特殊的棱锥—正棱锥①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥②特殊的正三棱锥：底面和侧面全等的正三棱锥为正四面体.(3)一般棱锥的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比，等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比.(4)正棱锥的性质①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高②棱锥的高斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形(5)棱锥的分类：①按底面多边形的边数可分为：三棱锥、四棱锥、……n棱锥….。