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【高考数学】专题二 函数概念与基本初等函数 第三讲函数的概念和性质(含答案)

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专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第三讲 函数的概念和性质2019年1.（2019江苏4）函数y =的定义域是 .2. （2019全国Ⅱ文6）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x −，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x −−B ．e 1x −+C ．e 1x −−−D ．e 1x −−+3.（2019北京文14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白 梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明 对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾 客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．4.（2019北京文3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 （A ）12y x =（B ）y =2x −（C ）12log y x =（D ）1y x=5.（2019全国Ⅲ文12）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322−）＞f （232−）B ．f （log 314）＞f （232−）＞f （322−）C ．f （322−）＞f （232−）＞f （log 314） D ．f （232−）＞f （322−）＞f （log 314）2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数2,0()1,0−⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是A ．(,1]−∞−B ．(0,)+∞C ．(1,0)−D ．(,0)−∞2．(2018浙江)函数||2sin 2x y x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．3．(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)−∞+∞的奇函数，满足(1)(1)−=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)++f f f (50)++=L fA ．50−B ．0C ．2D ．504．(2018全国卷Ⅲ)函数422y x x =−++的图像大致为5．（2017新课标Ⅰ）函数sin 21cos xy x=−的部分图像大致为6．（2017新课标Ⅲ）函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．7．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]−B ．[23,2]−C ．[2,23]−D ．[23,23]− 8．（2017山东）设,01()2(1),1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨−⎪⎩≥，若()(1)f a f a =+，则1()f a =A ．2B ．4C ．6D ．89．（2016北京）下列函数中，在区间(1,1)− 上为减函数的是A ．11y x=− B ．cos y x = C ．ln(1)y x =+ D ．2x y −= 10．（2016山东）已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()1f x x =−；当11x −≤≤时，()()f x f x −=−；当12x >时，11()()22f x f x +=−．则(6)f = A ．2− B ．1− C ．0 D ．211．（2016天津）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(−∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|−>−f f a ，则a 的取值范围是A ．)21,(−∞B ．),23()21,(+∞−∞YC ．)23,21(D ．),23(+∞12．（2015北京）下列函数中为偶函数的是A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．|ln |y x = D ．2xy −= 13．（2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．sin 2y x x =+B ．2cos y x x =− C ．122xxy =+D ．2sin y x x =+14．（2015陕西）设1,0()2,0x x x f x x ⎧−⎪=⎨<⎪⎩≥，则((2))f f −＝A ．－1B ．14 C ．12 D ．3215．（2015浙江）函数()1()cos f x x x x=−（x ππ−≤≤且0x ≠）的图象可能为A ．B ．C ．D ．16．（2015湖北）函数256()4||lg 3x x f x x x −+=−−的定义域为A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]UD ．(1,3)(3,6]−U17．（2015湖北）设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪−<⎩，则A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =18．（2015山东）若函数21()2x x f x a+=− 是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围为A ．(),1−∞−B ．()1,0−C ．()0,1D ．()1,+∞ 19．（2015山东）设函数()3,1,2,1,xx b x f x x −<⎧=⎨⎩≥ 若5(())46f f = ，则b =A ．1B ．78 C ．34 D ．1220．（2015湖南）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+−−，则()f x 是A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数21．(2015新课标1)已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x −⎧−=⎨−+>⎩≤，且()3f a =−，则(6)f a −=A ．74−B ．54−C ．34−D ．14− 22．（2014新课标1）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A ．()f x ()g x 是偶函数B ．()f x |()g x |是奇函数C ．|()f x |()g x 是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数 23．（2014山东）函数1)(log 1)(22−=x x f 的定义域为A ．)210(， B ．)2(∞+， C ．),2()210(+∞Y ， D ．)2[]210(∞+，，Y 24．（2014山东）对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =−，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是A．()f x =B ．2()f x x =C ．()tan f x x =D ．()cos(1)f x x =+25．（2014浙江）已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤−=−=−≤+++=f f f c bx ax x x fA ．3≤cB ．63≤<cC ．96≤<cD ．9>c 26．（2015北京）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．x y e −=B ．3y x = C ．ln y x = D ．y x =27．（2014湖南）已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()f x f x −=321x x ++，(1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．328．（2014江西）已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈−=，若1)]1([=g f ，则=a A ．1 B ．2 C ．3 D ．-1 29．（2014重庆）下列函数为偶函数的是A ．()1f x x =−B ．3()f x x x =+C ．()22x x f x −=−D ．()22x xf x −=+30．（2014福建）已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是A ．()x f 是偶函数B ．()x f 是增函数C ．()x f 是周期函数D ．()x f 的值域为[)+∞−,131．（2014辽宁）已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪−∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x −≤的解集为 A ．1247[,][,]4334U B ．3112[,][,]4343−−UC ．1347[,][,]3434UD ．3113[,][,]4334−−U32．（2013辽宁）已知函数()3)1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．1−B ．0C ．1D ．233．（2013新课标1）已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧−+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是A ．(,0]−∞B ．(,1]−∞C ．[－2,1]D ．[－2,0]34．（2013广东）定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是 A ．4B ．3C ．2D ．135．（2013广东）函数lg(1)()1x f x x +=−的定义域是A ．(1,)−+∞B ．[1,)−+∞C ．(1,1)(1,)−+∞UD ．[1,1)(1,)−+∞U36．（2013山东）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时， ()21f x x x=+，则()1f −= A ．－2 B ．0 C ．1D ．237．（2013福建）函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．38．（2013北京）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x=B ．x y e −=C ．21y x =−+ D ．lg y x = 39．（2013湖南）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g −+=，()()114f g +−=，则()1g 等于A ．4B ．3C ．2D ．140．（2013重庆）已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f =A ．5−B ．1−C ．3D ．441．（2013湖北）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =−在R 上为A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数42．（2013四川）函数133−=x x y 的图像大致是A B C D 43．（2012天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为A ．cos 2,y x x R =∈B ．2log ||,0y x x R x =∈≠且C ．,2x xe e y x R −−=∈ D ．31y x =+44．（2012福建）设1,0,()0,0,1,0,x f x x x >⎧⎪= =⎨⎪− <⎩⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则(())f g π的值为A ．1B ．0C ．1−D ．π45．（2012山东）函数21()4ln(1)f x x x =+−+的定义域为A ．[2,0)(0,2]−UB ．(1,0)(0,2]−UC ．[2,2]−D ．(1,2]− 46．（2012陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A 1y x =+B 3y x =− C 1y x= D ||y x x = 47．（2011江西）若12()log (21)f x x =+,则)(x f 的定义域为A ．(21−,0) B ．(21−,0] C ．(21−,∞+) D ．(0,∞+) 48．（2011新课标）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是A ．3y x = B ．1y x =+ C ．21y x =−+ D ．2xy −=49．（2011辽宁）函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=−f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1−，1）B ．（1−，+∞）C ．（∞−，1−）D ．（∞−，+∞） 50．（2011福建）已知函数2,0()1,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩．若()(1)0f a f +=，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．351．（2011辽宁）若函数))(12()(a x x xx f −+=为奇函数，则a =A ．21 B ．32 C ．43D ．1 52．(2011安徽)设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =−，则(1)f =A ．－3B ．－1C ．1D ．353．（2011陕西）设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x −=+=则()y f x =的图像可能是54．（2010山东）函数()()2log 31xf x =+的值域为A ．()0,+∞B ．)0,+∞⎡⎣C ．()1,+∞D ．)1,+∞⎡⎣ 55．（2010年陕西）已知函数()f x =221,1,1x x x ax x ⎧+<⎨+≥⎩，若((0))f f =4a ，则实数a =A ．12 B ．45C ．2D ．9 56．（2010广东）若函数f （x ）=3x +3-x 与g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数B ． f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数D ． f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数 57．(2010安徽)若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f −=A ．－1B ．1C ．－2D ．2二、填空题58．(2018江苏)函数2()log 1f x x =−的定义域为 ．59．(2018江苏)函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]−上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤则((15))f f 的值为 ． 60．（2017新课标Ⅱ）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈−∞时，32()2f x x x =+，则(2)f = ．61．（2017新课标Ⅲ）设函数1,0()2,0xx x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +−>的x 的取值范围是____．62．（2017山东）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=−．若当[3,0]x ∈−时，()6xf x −=，则(919)f = ． 63．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+−+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．64．（2017江苏）已知函数31()2x x f x x x e e=−+−，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a −+≤，则实数a 的取值范围是 ．65．（2015新课标2）已知函数x ax x f 2)(3−=的图象过点)4,1(−，则=a ．66．（2015浙江）已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+−>⎪⎩≤，则((2))f f −= ，()f x 的最小值是 ．67．（2014新课标2）偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f −=__． 68．（2014湖南）若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________．69．（2014四川）设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈−时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧−+−≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = ．70．(2014浙江)设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥−<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是__．71．（2014湖北）设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点(,())a f a ，(,())b f b −的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数． （Ⅰ）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；（Ⅱ）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）72．（2013安徽）函数1ln(1)y x=+_____________．73．（2013北京）函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩的值域为 ．74．（2012安徽）若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞，则a =________． 75．（2012浙江）设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =+，则3()2f =_______________．76．（2011江苏）已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥−−<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=−，则a 的值为________．77．（2011福建）设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量11(,)x y a =∈V ，22(,)x y b =∈V ，以及任意λ∈R ，均有((1))()(1)(),f f f λλλλ+−=+−a b a b则称映射f 具有性质P ． 现给出如下映射：①12:,(),,(,);f V R f m x y m x y V →=−=∈ ②222:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=+=∈ ③33:,()1,(,).f V R f m x y m x y V →=++=∈其中，具有性质P 的映射的序号为_____．（写出所有具有性质P 的映射的序号）78．（2010福建）已知定义域为0+∞（，）的函数()f x 满足：①对任意0x ∈+∞（，），恒有(2)=2()f x f x 成立；当]x ∈（1，2时，()=2f x x −．给出如下结论：①对任意Z m ∈，有(2)=0mf ；②函数()f x 的值域为[0+∞，）；③存在Z n ∈，使得(2+1)=9n f ；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得1(,)(2,2)kk a b +⊆”．其中所有正确结论的序号是 ．79．（2010江苏）设函数()()xxf x x e ae −=+(x ∈R)是偶函数，则实数a = ．专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第三讲 函数的概念和性质答案部分 2019年1.解析 由2760x x +−…，得2670x x −−…，解得17x −剟．所以函数276y x x =+−的定义域是[1,7]−．2.解析 设，则，所以f (-x )=e 1x −−， 因为设为奇函数，所以()e 1x f x −−=−，即()e 1x f x −=−+． 故选D ．3.解析 ①草莓和西瓜各一盒的价格为6080140120+=>，则支付14010130−=元； ②设促销前顾客应付y 元，由题意有()80%70%y x −…，解得18x y …，而促销活动条件是120y …，所以max min 111201588x y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭. 4.解析 由基本初等函数的图像与性质可知，只有12y x =符合题意.故选A. 5.解析 ()f x 是定义域为R 的偶函数，所以331(log )(log 4)4f f =，因为33log 4log 31>=，2303202221−−<<<=，所以23323022log 4−−<<<，又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以233231(2)(2)(log )4f f f −−>>. 故选C ．2010-2018年1．D 【解析】当0x ≤时，函数()2x f x −=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．2．D 【解析】设||()2sin 2x f x x =，其定义域关于坐标原点对称，又||()2sin(2)()x f x x f x −−=⋅−=−，所以()y f x =是奇函数，故排除选项A ，B ；令()0f x =，所以sin 20x =，所以2x k π=(k ∈Z )，所以2k x π=(k ∈Z )，故排除选项C ．故选D ．3．C 【解析】解法一 ∵()f x 是定义域为(,)−∞+∞的奇函数，()()−=−f x f x ．且(0)0=f ．∵(1)(1)−=+f x f x ，∴()(2)=−f x f x ，()(2)−=+f x f x ∴(2)()+=−f x f x ，∴(4)(2)()+=−+=f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=−==f f f f ，(3)(12)(12)(1)2=+=−=−=−f f f f ，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ， 故选C ．解法二 由题意可设()2sin()2f x x π=，作出()f x 的部分图象如图所示．由图可知，()f x 的一个周期为4，所以(1)(2)(3)(50)+++⋅⋅⋅+f f f f ， 所以(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=f f f f f f ，故选C ．4．D 【解析】当0x =时，2y =，排除A ，B ．由3420y x x '=−+=，得0x =或2x =±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1,1)−上有三个极值点，所以排除C ，故选D ． 5．C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=−为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 21cos 2y =−，因为22ππ<<，所以sin 20>，cos 20<，故0y >，排除A ．故选C ．6．D 【解析】当1x =时，(1)2sin12f =+>，排除A 、C ；当x →+∞时，1y x →+，排除B ．选D ．7．A 【解析】由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22xa +≤在R 上恒成立．当a =0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ；当a =−0x =，得|22x−>，不符合题意，排除B ；选A ．8．C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =−是增函数可知，若，则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+−，解得14a =, 则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==−=⎪⎝⎭,故选C ．9．D 【解析】由12()2xx y −==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D. 10．D 【解析】当11x−剟时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=， 所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =−−=−−−=， 所以(6)2f =，故选D ． 11．C【解析】由题意得1|1||1||1|2113(2)(222|1|222a a a f f a a −−−−>⇒−>⇒<⇒−<⇒<<，故选C ． 12．B 【解析】根据偶函数的定义()()f x f x −=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B ． 13．D 【解析】A 为奇函数，B 为偶函数，C 是偶函数，只有D 既不是奇函数，也不是偶函数．14．C 【解析】∵21(2)24f −−==，∴11((2))()142f f f −===． 15．D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x xx−=−+=−−=−，故函数是奇函数，所以排除A, B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=−=−−<，故选D ．16．C 【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：24||05603x x x x −⎧⎪⎨−+>⎪−⎩≥，即4423x x x −⎧⎨>≠⎩≤≤或，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]U ，故选C ． 17．D 【解析】当0x >时，||x x =，sgn 1x =，则||sgn x x x =；当0x <时，||x x =−，sgn 1x =−，则||sgn x x x =；当0x =时，||0x x ==，sgn 0x =，则||sgn x x x =；故选D ．18．C 【解析】由()()f x f x =−−，即2121,22x x x x a a −−++=−−−所以，(1)(21)0,1xa a −+==，21(),21x x f x +=−由21()321x x f x +=>−，得，122x<<，01x <<，故选C ． 19．D 【解析】由题意，555()3,662f b b =⨯−=−由5(())46f f =得， 51253()42b b b ⎧−<⎪⎪⎨⎪−−=⎪⎩或5251224b b −⎧−≥⎪⎨⎪=⎩，解得12b =，故选D ． 20．A 【解析】函数()ln(1)ln(1)f x x x =+−−，函数的定义域为(1,1)−，函数()f x −=ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]()x x x x f x −−+=−+−−=−，所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x=+=+−− ，已知在(0,1)上()'0f x > ，所以()f x 在(0,1)上单调递增，故选A ．21．A 【解析】∵()3f a =−，∴当1a ≤时，1()223a f a −=−=−，则121a −=−，此等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a −+=−，解得7a =，∴(6)f a −=(1)f −=117224−−−=−，故选A ． 22．B 【解析】()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，故()f x ()g x 为奇函数，()f x |()g x |为奇函数，|()f x |()g x 为偶函数，|()f x ()g x |为偶函数，故选B ．23．C 【解析】2222(log )10log 1log 1x x x −>⇒><−或，解得1202x x ><<或． 24．D 【解析】由()(2)f x f a x =−可知，准偶函数的图象关于y 轴对称，排除A ，C ，而B 的对称轴为y 轴，所以不符合题意；故选D ． 25．C 【解析】由已知得184212793a b c a b c a b c a b c −+−+=−+−+⎧⎨−+−+=−+−+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩，又0(1)63f c <−=−≤，所以69c <≤．26．B 【解析】四个函数的图象如下显然B成立．27．C【解析】用x−换x，得32()()()()1f xg x x x−−−=−+−+，化简得32()()1f xg x x x+=−++，令1x=，得(1)(1)1f g+=，故选C．28．A【解析】因为[(1)]1f g=，且||()5xf x=，所以(1)0g=，即2110a⋅−=，解得1a=．29．D【解析】函数()1f x x=−和2()f x x x=+既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B；选项C中()22x xf x−=−，则()22(22)()x x x xf x f x−−−=−=−−=−，所以()f x=22x x−−为奇函数，排除选项C；选项D中()22x xf x−=+，则()22()x xf x f x−−=+=，所以()22x xf x−=+为偶函数，选D．30．D【解析】2()1,()1f fπππ=+−=−，所以函数()x f不是偶函数，排除A；因为函数()xf在(2,)ππ−−上单调递减，排除B；函数()xf在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x不是周期函数，选D．31．A【解析】当12x≤≤时，令1()cos2f x xπ=≤，解得1132x≤≤，当12x>时，令1()212f x x=−≤，解得1324x<≤，故1334x≤≤．∵()f x为偶函数，∴1()2f x≤的解集为3113[,][,]4334−−⋃，故1(1)2f x−≤的解集为1247[,][,]4334⋃．32．D【解析】11lg2lg lg(2)lg1022+=⨯==，()()3)13()]1f x f x x x+−=−++−−+3)3)2x x=+++ln 33)2x x ⎡⎤=++⎣⎦2ln (3)2x ⎡⎤=−+⎣⎦ ln122=+=33．D 【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧−≤⎨+>⎩，∴由|()f x |≥ax 得，22x x x ax ≤⎧⎨−≥⎩且0ln(1)x x ax >⎧⎨+≥⎩，由202x x x ax≤⎧⎨−≥⎩可得2a x ≥−，则a ≥-2，排除Ａ，Ｂ，当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D ． 34．C 【解析】是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．35．C 【解析】1010x x +>⎧⎨−≠⎩，∴11x x >−⎧⎨≠⎩36．A 【解析】()()112f f −−−=−．37．A 【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知)()(x f x f −=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B ，D ． 38．C 【解析】1y x=是奇函数，xy e −=是非奇非偶函数，而D 在(0,)+∞单调递增．选C ． 39．B 【解析】由已知两式相加得，()13g =． 40．C 【解析】因为21(lg(log 10))(lg())(lg(lg 2))5lg 2f f f ==−=，又因为 ()()8f x f x +−=，所以(lg(lg 2))(lg(lg 2))5(lg(lg 2))8f f f −+=+=，所以(lg(lg 2))f =3，故选C ．41．D 【解析】由题意f (1.1)＝1.1－[1.1]＝0.1，f (－1.1)＝－1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a ，有f (a ＋x )＝a ＋x －[a ＋x ]＝x －[x ]＝f (x )，故f (x )在R 上为周期函数．故选D ．42．C 【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113−−＝32＞0，故再排除B ；当x →＋∞时，3x －1远远大于3x 的值且都为正，故331x x −→0且大于0，故排除D ，选C ． 43．B 【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B ．44．B 【解析】∵π是无理数 ∴()0g π=，则(())(0)0f g f π==，故选B ．45．B 【解析】210,11,100 2.40,x x x x x +>⎧⎪+≠∴−<<<≤⎨⎪−≥⎩Q 或故选B ．46．D 【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D ．47．A 【解析】12log (21)0x +>，所以0211x <+<，故102x −<<． 48．B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =−+在(0,)+∞上为减函数，2xy −=在(0,)+∞上为减函数．49．B 【解析】令函数()()24g x f x x =−−，则()()20g x f x ''=−>，所以()g x 在R 上为增函数，又(1)(1)240g f −=−+−=，所以不等式可转化为()(1)g x g >−，由()g x 的单调性可得1x >−．50．A 【解析】当0a >时，由()(1)0f a f +=得220a+=，无解；当0a <时，由()(1)0f a f +=得120a ++=，解得3a =−，故选A ．51．A 【解析】∵))(12()(a x x xx f −+=为奇函数，∴(1)(1)0f f −+=，得12a =．52．A 【解析】因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，2()2f x x x =−，∴2(1)(1)2(1)(1)3f f =−−=−⨯−+−=−，选A ．53．B 【解】由()()f x f x −=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．54．A 【解析】因为311x+>，所以()()22log 31log 10xf x =+>=，故选A 。

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高三第三章函数参考答案

高三第三章函数参考答案

高三第三章函数参考答案高三第三章函数参考答案函数是高中数学中的重要概念，也是数学学习中的重要内容之一。

在高三的第三章函数中，我们学习了函数的定义、性质以及一些常见的函数类型。

下面将给出一些高三第三章函数的参考答案，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一章的知识。

一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用符号表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示自变量x经过函数f的变换后得到的值。

2. 函数的性质：(1) 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

(2) 单调性：函数的单调性指函数在定义域内的增减性质。

如果对于任意的x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为增函数；如果当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为减函数。

(3) 奇偶性：函数的奇偶性指函数的对称性质。

如果对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。

二、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型之一，它的函数表达式为y=kx+b，其中k和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，常数b表示直线与y轴的截距。

2. 幂函数：幂函数是形如y=x^n的函数，其中n为常数。

幂函数的图像随着n的不同而变化，当n>1时，函数图像呈现上升的曲线；当0<n<1时，函数图像呈现下降的曲线。

3. 指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。

指数函数的图像呈现递增或递减的曲线，斜率随着a的大小而变化，当a>1时，函数图像呈现上升的曲线；当0<a<1时，函数图像呈现下降的曲线。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，它的函数表达式为y=loga(x)，其中a为底数，x为真数。

高中数学第三章函数的概念与性质基础知识手册(带答案)

高中数学第三章函数的概念与性质基础知识手册(带答案)

高中数学第三章函数的概念与性质基础知识手册单选题1、已知函数f(1x+1)=2x+3．则f(2)的值为（）A．6B．5C．4D．3答案：B分析：根据题意，令1x +1=2可得x的值，将x的值代入f(1x+1)=2x+3，即可得答案．解：根据题意，函数f(1x +1)=2x+3，若1x+1=2，解可得x=1，将x=1代入f(1x+1)=2x+3，可得f(2)=5，故选：B．2、函数的y=√−x2−6x−5值域为（）A．[0,+∞)B．[0,2]C．[2,+∞)D．(2,+∞)答案：B分析：令u=−x2−6x−5，则u≥0，再根据二次函数的性质求出u的最大值，进而可得u的范围，再计算y=√u的范围即可求解.令u=−x2−6x−5，则u≥0且y=√u又因为u=−x2−6x−5=−(x+3)2+4≤4，所以0≤u≤4，所以y=√u∈[0,2]，即函数的y=√−x2−6x−5值域为[0,2]，故选：B.3、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y ，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x −30)元， 则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x=x +8100x +40≥2√x ⋅8100x +40=220， 当且仅当x =8100x ，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D ．4、函数f (x )=x 2−1|x |的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．答案：D 分析：求定义域，确定奇偶性后排除两个选项，再由单调性排除一个，得正确结论．f (x )=x 2−1|x |的定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称，f(−x)=(−x)2−1|−x |=x 2−1|x |=f (x )，所以f (x )是偶函数，排除B ，C ；当x >0时，f(x)=x 2−1x =x −1x ，易知f (x )在(0,+∞)上是增函数，排除A ． 故选：D ． 5、已知幂函数f(x)=k ⋅x α的图象经过点(3,√3)，则k +α等于（ ）A ．32B ．12C ．2D ．3答案：A分析：由于函数为幂函数，所以k =1，再将点(3,√3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k +α 解：因为f(x)=k ⋅x α为幂函数，所以k =1，所以f(x)=x α，因为幂函数的图像过点(3,√3)，所以√3=3α，解得α=12，所以k +α=1+12=32， 故选：A6、下列图形是函数图像的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C 分析：根据函数的定义，对四个选项一一判断.按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.对于A ：当x =0时，y =±1，不符合函数的定义.故A 错误；对于B ：当x =0时，y =±1，不符合函数的定义.故B 错误；对于C ：每一个x 都对应唯一一个y 值，符合函数的定义.故C 正确；对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；故选:C7、下列各组函数表示同一函数的是（）3B．f(x)=1，g(x)=x0A．f(x)=x，g(x)=√x3D．f(x)=√x2，g(x)=(√x)2C．f(x)=x+1，g(x)=x2−1x−1答案：A分析：根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，即可得出答案. 解：对于A，两个函数的定义域都是R，3=x，对应关系完全一致，g(x)=√x3所以两函数是相同函数，故A符合题意；对于B，函数f(x)=1的定义域为R，函数g(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，故两函数不是相同函数，故B不符题意；对于C，函数f(x)=x+1的定义域为R，的定义域为{x|x≠1}，函数g(x)=x2−1x−1故两函数不是相同函数，故C不符题意；对于D，函数f(x)=√x2的定义域为R，函数g(x)=(√x)2的定义域为[0,+∞)，故两函数不是相同函数，故D不符题意.故选：A.8、已知函数f(x+2)=x2+6x+8，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2+2x B．f(x)=x2+6x+8C．f(x)=x2+4x D．f(x)=x2+8x+6答案：A分析：利用配凑法（换元法）计算可得.解：方法一（配凑法）∵f(x+2)=x2+6x+8=(x+2)2+2(x+2)，∴f(x)=x2+2x.方法二（换元法）令t=x+2，则x=t−2，∴f(t)=(t−2)2+6(t−2)+8=t2+2t，∴f(x)=x2+2x.故选：A多选题9、已知函数f(x)={x2,x≤0,−x2,x>0,则下列结论中正确的是（）A．f(√2)=2B．若f(m)=9，则m≠±3C．f(x)是奇函数D．在f(x)上R单调递减答案：CD分析：A.由分段函数求解判断；B.分m≤0，m>0，由f(m)=9求解判断；不成立；C.利用奇偶性的定义判断； D.画出函数f(x)的图象判断.因为f(x)={x2,x≤0,−x2,x>0,A. f(√2)=−(√2)2=−2，故错误；B. 当m≤0时，f(m)=m2=9，解得m=−3或m=3（舍去），当m>0时，f(m)=−m2=9，不成立；故错误；C. 当x<0时，f(x)=x2，则−x>0，f(−x)=−(−x)2=−x2，又f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)；当x>0时，f(x)=−x2，则−x<0，f(−x)=(−x)2=x2，又f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，故正确；D.函数f(x)的图象如图所示：，由图象知f (x )在上R 单调递减，故正确.故选：CD10、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1 C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B ，f(x)=x +1，g(x)=x +1(x ≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B 不正确；对于C ，f(x)={1,x >0−1,x <0，g (x )={1,x >0−1,x <0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C 正确；对于D ，f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D 正确. 故选：ACD11、有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A ．若幂函数y =f (x )的图象过点(2,12)，则f (3)>12B ．函数f (x )=a x−1+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(1,2)C ．函数f (x )=x 2−1在(0,+∞)上单调递减D ．若函数f (x )=x 2−2x +4在区间[0,m ]上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 答案：BD分析：由f (x )所过点可求得幂函数f (x )解析式，由此得到f (3)<12，知A 错误；由f (1)=2恒成立可知f (x )过定点(1,2)，知B 正确；由二次函数的性质可知C 错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定m 的范围，知D 正确.对于A ，令f (x )=x α，则2α=12，解得：α=−1，∴f (x )=x −1，∴f (3)=13<12，A 错误； 对于B ，令x −1=0，即x =1时，f (1)=1+1=2，∴f (x )恒过定点(1,2)，B 正确；对于C ，∵f (x )为开口方向向上，对称轴为x =0的二次函数，∴f (x )在(0,+∞)上单调递增，C 错误； 对于D ，令f (x )=4，解得：x =0或x =2；又f (x )min =f (1)=3，∴实数m 的取值范围为[1,2]，D 正确. 故选：BD.12、已知函数f(x)={−x 2−2x,x ≤m x −4,x >m，如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m 的取值范围可以是（ ） A ．m <−2B ．−2≤m <0C ．0≤m <4D ．m ≥4.答案：BD解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，观察函数图象即可得出答案. 在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，如图，由图象可知，当−2≤m <0时，函数f (x )有两个零点−2和4，当m ≥4时，函数f (x ）有两个零点−2和0.故选：BD13、函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈R都满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列结论正确的是（）A．函数f(x)在R上是单调递减函数B．f(−2)<f(1)<f(2)C．f(x+1)<f(−x+2)的解为x<1D．f(0)=02答案：BC分析：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，可得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以可判断出f(x)在R 上为增函数，然后逐个分析判断即可解：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以f(x)在R上单调递增，所以A错，因为f(x)为R上的递增函数，所以f(−2)<f(1)<f(2)，所以B对，，所以C对因为f(x)在R上为增函数，f(x+1)<f(−x+2)⇔x+1<−x+2⇒x<12函数R上为增函数时，不一定有f(0)=0，如f(x)=2x在R上为增函数，但f(0)=1，所以D不一定成立，故D 错．故选：BC填空题14、已知幂函数f(x)=x p2−2p−3 (p∈N∗)的图像关于y轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，实数a满足(a2−1)p3<(3a+3)p3，则a的取值范围是_____．答案：−1<a<4分析：根据幂函数的性质求出p的值，根据幂函数的单调性得到关于a的不等式解出即可.∵幂函数f(x)=x p2−2p−3(p∈N∗)在(0，+∞)上是减函数，∴p2−2p−3<0，解得−1<p<3，∵p∈N∗，∴p=1或2．当p=1时，f(x)=x−4为偶函数满足条件，当p=2时，f(x)=x−3为奇函数不满足条件，则不等式等价为(a2−1)p3<(3a+3)p3，即(a2−1)13<(3a+3)13，∵f(x)=x13在R上为增函数，∴a2−1<3a+3，解得：−1<a<4.所以答案是：−1<a<4.15、已知a∈R，函数f(x)={x2−4,x>2|x−3|+a,x≤2,若f[f(√6)]=3，则a=___________.答案：2分析：由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.f[f(√6)]=f(6−4)=f(2)=|2−3|+a=3，故a=2，所以答案是：2.16、已知f(x)=k⋅2x+2−x为奇函数，则k=______．答案：−1分析：根据奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，即(k+1)⋅(2−x+2x)=0，由此可求得答案.由题意f(x)=k⋅2x+2−x是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即k⋅2−x+2x=−k⋅2x−2−x，故(k+1)⋅(2−x+2x)=0，由于2−x+2x≠0，故k=−1，所以答案是：−1解答题17、已知幂函数f(x)=(2m2−5m+3)x m的定义域为全体实数R.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)>3x+k−1在[−1,1]上恒成立，求实数k的取值范围.答案：(1)f(x)=x2(2)(−∞,−1)分析：（1）根据幂函数的定义可得2m2−5m+3=1，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式; （2）将f(x)>3x+k−1在[−1,1]上恒成立转化为函数g(x)=x2−3x+1−k在[−1,1]上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．（1）∵f(x)是幂函数，∴2m2−5m+3=1，∴m=12或2.当m=12时，f(x)=x12，此时不满足f(x)的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴f(x)=x2.（2）f(x)>3x+k−1即x2−3x+1−k>0，要使此不等式在[−1,1]上恒成立，令g(x)=x2−3x+1−k,只需使函数g(x)=x2−3x+1−k在[−1,1]上的最小值大于0. ∵g(x)=x2−3x+1−k图象的对称轴为x=32，故g(x)在[−1,1]上单调递减，∴g(x)min=g(1)=−k−1，由−k−1>0，得k<−1，∴实数k的取值范围是(−∞,−1).18、已知函数f(x)=kx2+(2k+1)x+2．(1)当k=−1时，写出函数y=|f(x)|的单调递增区间（写出即可，不要过程）；(2)当k<12时，解不等式f(x)>0．答案：(1)函数y=|f(x)|的单调递增区间有[−2,−12]和[1,+∞)；(2)当k<0时，f(x)>0的解集为(−2,−1k )；当k=0时，f(x)>0的解集为(−2,+∞)；当0<k<12时，f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞)分析：（1）化简函数y=|f(x)|解析式，作出函数图象，利用图象求函数的单调递增区间；（2）分别在k=0，k<0，0<k<12时解不等式f(x)>0即可.（1）因为f(x)=kx2+(2k+1)x+2，所以当k=−1时，y=|f(x)|=|−x2−x+2|=|x2+x−2|所以当x<−2或x>1时，|f(x)|=x2+x−2，当−2≤x≤1时，|f(x)|=−x2−x+2，作出函数y=|f(x)|的图象如下：所以函数y=|f(x)|的单调递增区间有[−2,−12]和[1,+∞)；（2）因为f(x)=kx2+(2k+1)x+2，所以f(x)=(kx+1)(x+2)，当k=0时，不等式f(x)>0，可化为x+2>0，解得x>−2，故解集为(−2,+∞)当k≠0时，方程f(x)=0的解为x1=−2，x2=−1k当k<0时，x1=−2<0<x2=−1k ，不等式f(x)>0的解集为(−2,−1k)，当0<k<12时，x2=−1k<x1=−2，不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞)；综上，当k<0时，f(x)>0的解集为(−2,−1k)；当k=0时，f(x)>0的解集为(−2,+∞)；当0<k<12时，f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞).。

五年(2019-2023)年高考真题 函数的基本概念与基本初等函数I(解析版)

五年(2019-2023)年高考真题 函数的基本概念与基本初等函数I(解析版)

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题02函数的基本概念与基本初等函数I 高频考点：考点精析考点一函数的值域1．（2019•上海）下列函数中，值域为[0，)+∞的是()A ．2x y =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x=【解析】A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错．故选：B ．2．（2023•上海）已知函数1,0,()2,0x x f x x ⎧=⎨>⎩，则函数()f x 的值域为．【解析】当0x 时，()1f x =，当0x >时，()21x f x =>，所以函数()f x 的值域为[1，)+∞．故答案为：[1，)+∞．3．（2022•上海）设函数()f x 满足1()(1f x f x=+对任意[0x ∈，)+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有{|()y y f x =，0}f x a A =，则a 的取值范围为．【解析】法一：令11x x =+，解得x =，当151]2x -∈时，2111x x =∈+，当1)x ∈+∞时，2111x x =∈+，且当151(,)2x -∈+∞时，总存在2111)12x x -=∈+，使得12()()f x f x =，故51|(),02f y y f x x A ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若a <{}|(),0f y y f x x a ∉=，所以a 即实数a的取值范围为1[,)2-+∞；法二：原命题等价于任意10,()()1a f x a f x a>+=++，所以11(1)1a x a x a a ⇒-+++恒成立，即1(1)0a a-+恒成立，又0a >，所以a即实数a 的取值范围为51[,)2-+∞．故答案为：51[,)2-+∞．考点二函数的图象与图象的变换4．（2021•浙江）已知函数21()4f x x =+，()sin g x x =，则图象为如图的函数可能是()A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为21()4f x x =+为偶函数，()sin g x x =为奇函数，函数21()()sin 4y f x g x x x =+-=+为非奇非偶函数，故选项A 错误；函数21()()sin 4y f x g x x x =--=-为非奇非偶函数，故选项B 错误；函数21()()()sin 4y f x g x x x ==+，则212sin ()cos 04y x x x x '=++>对(0,)4x π∈恒成立，则函数()()y f x g x =在(0,)4π上单调递增，故选项C 错误．故选：D ．5．（2020•浙江）函数cos sin y x x x =+在区间[π-，]π上的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解析】()cos sin y f x x x x ==+，则()cos sin ()f x x x x f x -=--=-，()f x ∴为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C ，D ，当x π=时，()cos sin 0y f πππππ==+=-<，故排除B ，故选：A ．6．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1log (02a y x a =+>且1)a ≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解析】由函数1x y a =，1log (2a y x =+，当1a >时，可得1x y a =是递减函数，图象恒过(0,1)点，函数1log (2a y x =+，是递增函数，图象恒过1(2，0)；当10a >>时，可得1x y a =是递增函数，图象恒过(0,1)点，函数1log (2a y x =+，是递减函数，图象恒过1(2，0)；∴满足要求的图象为：D故选：D ．考点三．复合函数的单调性7．（2023•新高考Ⅰ）设函数()()2x x a f x -=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是()A ．(-∞，2]-B ．[2-，0)C ．(0，2]D ．[2，)+∞【解析】设2()t x x a x ax =-=-，对称轴为2ax =，抛物线开口向上，2t y = 是t 的增函数，∴要使()f x 在区间(0,1)单调递减，则2t x ax =-在区间(0,1)单调递减，即12a，即2a ，故实数a 的取值范围是[2，)+∞．故选：D ．8．（2020•海南）已知函数2()(45)f x lg x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是()A ．(2,)+∞B ．[2，)+∞C ．(5,)+∞D ．[5，)+∞【解析】由2450x x -->，得1x <-或5x >．令245t x x =--，外层函数y lgt =是其定义域内的增函数，∴要使函数2()(45)f x lg x x =--在(,)a +∞上单调递增，则需内层函数245t x x =--在(,)a +∞上单调递增且恒大于0，则(a ，)(5+∞⊆，)+∞，即5a ．a ∴的取值范围是[5，)+∞．故选：D ．考点四函数的最值及其几何意义9．（2021•新高考Ⅰ）函数()|21|2f x x lnx =--的最小值为．【解析】法一、函数()|21|2f x x lnx =--的定义域为(0,)+∞．当102x <时，()|21|2212f x x lnx x lnx =--=-+-，此时函数()f x 在(0，12上为减函数，当12x >时，()|21|2212f x x lnx x lnx =--=--，则22(1)()2x f x x x -'=-=，当1(2x ∈，1)时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在(0,)+∞上是连续函数，∴当(0,1)x ∈时，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．∴当1x =时()f x 取得最小值为f （1）211211ln =⨯--=．故答案为：1．法二、令()|21|g x x =-，()2h x lnx =，分别作出两函数的图象如图：由图可知，()f x f （1）1=，则数()|21|2f x x lnx =--的最小值为1．故答案为：1．10．（2019•浙江）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-．若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-，则实数a 的最大值是．【解析】存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+，化为22|2(364)2|3a t t ++-，可得2222(364)233a t t -++-，即224(364)33a t t ++，由223643(1)11t t t ++=++，可得403a<，可得a 的最大值为43．故答案为：43．考点五函数奇偶性的性质与判断11．（2023•新高考Ⅱ）若21()()21x f x x a lnx -=++为偶函数，则(a =)A ．1-B ．0C ．12D ．1【解析】由21021x x ->+，得12x >或12x <-，由()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，得2121()()2121x x x a lnx a ln x x ----+=+-++，即121212121()()()()()21212121x x x x x a ln x a ln x a ln x a ln x x x x -+----+=-+=-=+-+++，x a x a ∴-=+，得a a -=，得0a =．故选：B ．12．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数()A ．3y x =-B ．3y x =C ．3log y x =D ．3xy =【解析】3y x =-在R 上单调递减且为奇函数，A 符合题意；因为3y x =在R 上是增函数，B 不符合题意；3log y x =，3x y =为非奇非偶函数，C 不符合题意；故选：A ．13．（2019•上海）已知R ω∈，函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a R ∈，使()f x a +为偶函数，则ω的值可能为()A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π【解析】由于函数2()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a R ∈，()f x a +为偶函数，则：2()(6)sin[()]f x a x a x a ω+=+-⋅+，由于函数为偶函数，故：6a =，所以：62k πωπ=+，当1k =时．4πω=故选：C ．14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ．①1212()()()f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【解析】2()f x x =时，22212121212()()()()f x x x x x x f x f x ===；当(0,)x ∈+∞时，()20f x x '=>；()2f x x '=是奇函数．故答案为：2()f x x =．另解：幂函数()(0)a f x x a =>即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，综上所述，取2()f x x =即可．15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，则a =．【解析】函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，3y x =为R 上的奇函数，故22x x y a -=⋅-也为R 上的奇函数，所以000|2210x y a a ==⋅-=-=，所以1a =．法二：因为函数3()(22)x x f x x a -=⋅-是偶函数，所以()()f x f x -=，即33(22)(22)x x x x x a x a ---⋅-=⋅-，即33(22)(22)0x x x x x a x a --⋅-+⋅-=，即3(1)(22)0x x a x --+=，所以1a =．故答案为：1．16．（2023•上海）已知a ，c R ∈，函数2(31)()x a x c f x x a+++=+．（1）若0a =，求函数的定义域，并判断是否存在c 使得()f x 是奇函数，说明理由；（2）若函数过点(1,3)，且函数()f x 与x 轴负半轴有两个不同交点，求此时c 的值和a 的取值范围．【解析】（1）若0a =，则2()1x x c c f x x x x++==++，要使函数有意义，则0x ≠，即()f x 的定义域为{|0}x x ≠，c y x x=+ 是奇函数，1y =是偶函数，∴函数()1c f x x x=++为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c ，使得()f x 是奇函数．（2）若函数过点(1,3)，则f （1）13132311a c a c a a +++++===++，得3233a c a ++=+，得321c =-=，此时2(31)1()x a x f x x a+++=+，若数()f x 与x 轴负半轴有两个不同交点，即2(31)1()0x a x f x x a+++==+，得2(31)10x a x +++=，当0x <时，有两个不同的交点，设2()(31)1g x x a x =+++，则21212(31)4010(31)03102a x x x x a a ⎧=+->⎪=>⎪⎪⎨+=-+<⎪+⎪-<⎪⎩ ，得312312310a a a +>+<-⎧⎨+>⎩或，得11313a a a ⎧><-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩或，即13a >，若0x a +=即x a =-是方程2(31)10x a x +++=的根，则2(31)10a a a -++=，即2210a a +-=，得12a =或1a =-，则实数a 的取值范围是13a >且12a ≠且1a ≠-，即1(3，11(22⋃，)+∞．考点六奇偶性与单调性的综合17．（2021•新高考Ⅱ）已知函数()f x 的定义域为(()R f x 不恒为0)，(2)f x +为偶函数，(21)f x +为奇函数，则()A ．1(02f -=B ．(1)0f -=C ．f （2）0=D ．f （4）0=【解析】 函数(2)f x +为偶函数，(2)(2)f x f x ∴+=-，(21)f x + 为奇函数，(12)(21)f x f x ∴-=-+，用x 替换上式中21x +，得(2)()f x f x -=-，(2)()f x f x ∴+=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()(4)f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，(21)f x + 为奇函数，(12)(21)f x f x ∴-=-+，即(21)(21)0f x f x ++-+=，用x 替换上式中21x +，可得，()(2)0f x f x +-=，()f x ∴关于(1,0)对称，又f （1）0=，(1)(21)f f f ∴-=-+=-（1）0=．故选：B ．18．（2020•海南）若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，则满足(1)0xf x -的x 的取值范围是()A ．[1-，1][3 ，)+∞B ．[3-，1][0- ，1]C ．[1-，0][1 ，)+∞D ．[1-，0][1 ，3]【解析】 定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，()f x 的大致图象如图：()f x ∴在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f -=；故(1)0f -<；当0x =时，不等式(1)0xf x -成立，当1x =时，不等式(1)0xf x -成立，当12x -=或12x -=-时，即3x =或1x =-时，不等式(1)0xf x -成立，当0x >时，不等式(1)0xf x -等价为(1)0f x -，此时0012x x >⎧⎨<-⎩，此时13x <，当0x <时，不等式(1)0xf x -等价为(1)0f x -，即0210x x <⎧⎨--<⎩，得10x -<，综上10x -或13x ，即实数x 的取值范围是[1-，0][1 ，3]，故选：D ．考点七分段函数的应用19．（2022•上海）若函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，求参数a 的值为．【解析】 函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，()()f x f x ∴-=-，(1)f f ∴-=-（1），21(1)a a ∴--=-+，即(1)0a a -=，求得0a =或1a =．当0a =时，1,0()0,0,0x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，不是奇函数，故0a ≠；当1a =时，1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，是奇函数，故满足条件，综上，1a =，故答案为：1．20．（2022•浙江）已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+->⎪⎩则1(())2f f =3728；若当[x a ∈，]b 时，1()3f x ，则b a -的最大值是．【解析】 函数22,1()11,1x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+->⎪⎩，117()2244f ∴=-+=，177437(())()1244728f f f ∴==+-=；作出函数()f x的图象如图：由图可知，若当[x a ∈，]b 时，1()3f x ，则b a -的最大值是2(1)3+-=+故答案为：3728；3+考点八抽象函数及其应用21．（2022•新高考Ⅱ）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，f （1）1=，则221()(k f k ==∑)A ．3-B ．2-C ．0D ．1【解析】令1y =，则(1)(1)()f x f x f x ++-=，即(1)()(1)f x f x f x +=--，(2)(1)()f x f x f x ∴+=+-，(3)(2)(1)f x f x f x +=+-+，(3)()f x f x ∴+=-，则(6)(3)()f x f x f x +=-+=，()f x ∴的周期为6，令1x =，0y =得f （1）f +（1）f =（1）(0)f ⨯，解得(0)2f =，又(1)()(1)f x f x f x +=--，f ∴（2）f =（1）(0)1f -=-，f （3）f =（2）f -（1）2=-，f （4）f =（3）f -（2）1=-，f （5）f =（4）f -（3）1=，f （6）f =（5）f -（4）2=，∴61()1121120k f k ==---++=∑，∴221()30(19)(20)(21)(22)k f k f f f f f ==⨯++++=∑（1）f +（2）f +（3）f +（4）3=-．故选：A ．22．【多选】（2023•新高考Ⅰ）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则()A ．(0)0f =B ．f （1）0=C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【解析】由22()()()f xy y f x x f y =+，取0x y ==，可得(0)0f =，故A 正确；取1x y ==，可得f （1）2f =（1），即f （1）0=，故B 正确；取1x y ==-，得f （1）2(1)f =-，即1(1)2f f -=（1）0=，取1y =-，得()()f x f x -=，可得()f x 是偶函数，故C 正确；由上可知，(1)(0)f f f -==（1）0=，而函数解析式不确定，不妨取()0f x =，满足22()()()f xy y f x x f y =+，常数函数()0f x =无极值，故D 错误．故选：ABC ．23．（2020•上海）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质；（2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[x a ∈，)+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围；（3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．【解析】（1）()f x x =- 为减函数，()(1)f x f x ∴<-，()f x x ∴=-具有A 性质；()2g x x = 为增函数，()(1)g x g x ∴>-，()2g x x ∴=不具有A 性质；（2）依题意，对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，∴1()()f x x x a x=+为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得1a ，当1a 时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，综上，实数a 的取值范围为[1，)+∞．（3）D 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，当0m 时，取单调递减函数()f x x =-，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正偶数时，取()0,1,n f x n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正奇数时，根据对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，可得()()()(1)(1)()f x m f x f x m f x f x f x m -++--，则()(1)f x f x =+，所以()f x 为常值函数，综上，m 为正奇数．考点九函数的周期性24．（2019•上海）已知函数()f x 周期为1，且当01x <时，2()log f x x =，则3()2f =．【解析】因为函数()f x 周期为1，所以31((22f f =，因为当01x <时，2()log f x x =，所以1()12f =-，故答案为：1-．考点十函数恒成立问题25．（2021•上海）已知1x ，2x R ∈，若对任意的21x x S -∈，21()()f x f x S -∈，则有定义：()f x 是在S 关联的．（1）判断和证明()21f x x =-是否在[0，)+∞关联？是否有[0，1]关联？（2）若()f x 是在{3}关联的，()f x 在[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，求解不等式：2()3f x ．（3）证明：()f x 是{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1，2]是关联的”．【解析】（1）()f x 在[0，)+∞关联，在[0，1]不关联，任取12[0x x -∈，)+∞，则1212()()2()[0f x f x x x -=-∈，)+∞，()f x ∴在[0，)+∞关联；取11x =，20x =，则121[0x x -=∈，1]，1212()()2()2[0f x f x x x -=-=∉ ，1]，()f x ∴在[0，1]不关联；（2）()f x 在{3}关联，∴对于任意123x x -=，都有12()()3f x f x -=，∴对任意x ，都有(3)()3f x f x +-=，由[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，得()f x 在[0x ∈，3)的值域为[1-，3)，()f x ∴在[3x ∈，6)的值域为[2，6)，2()3f x ∴仅在[0x ∈，3)或[3x ∈，6)上有解，[0x ∈，3)时，2()2f x x x =-，令2223x x -13x +<，[3x ∈，6)时，2()(3)3818f x f x x x =-+=-+，令228183x x -+，解得35x ，∴不等式2()3f x 的解为1，5]，（3）证明：①先证明：()f x 是在{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的()f x ⇒在[1，2]是关联的，由已知条件可得，(1)()1f x f x +=+，()()f x n f x n ∴+=+，n Z ∈，又()f x 是在[0，)+∞关联的，∴任意21x x >，21()()f x f x >成立，若2112x x -，12112x x x ∴++，121(1)()(2)f x f x f x ∴++，即121()1()()2f x f x f x ++，211()()2f x f x ∴-，()f x ∴是[1，2]关联，②再证明：()f x 在[1，2]是关联的()f x ⇒是在{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，()f x 在[1，2]是关联的，∴任取12[1x x -∈，2]，都有12()()[1f x f x -∈，2]成立，即满足1212x x -，都有121()()2f x f x -，下面用反证法证明(1)()1f x f x +-=，若(1)()1f x f x +->，则(2)()(2)(1)(1)()2f x f x f x f x f x f x +-=+-+++->，与()f x 在[1，2]是关联的矛盾，若(1)()1f x f x +-<，而()f x 在[1，2]是关联的，则(1)()1f x f x +-，矛盾，(1)()1f x f x ∴+-=成立，即()f x 是在{1}关联的，再证明()f x 是在[0，)+∞关联的，任取12[x x n -∈，)()n N +∞∈，则存在n N ∈，使得任取12[x x n -∈，1]()n n N +∈，121(1)2x n x --- ，1212[(1)]()()(1)()[1f x n f x f x n f x ∴---=---∈，2]，12()()[f x f x n ∴-⊆，1][0n +⊆，)+∞，()f x ∴是在[0，)+∞关联的；综上所述，()f x 是{1}关联的，且是在[0，)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1，2]是关联的”，故得证．考点十一对数的运算性质26．（2022•浙江）已知25a =，8log 3b =，则34(a b -=)A ．25B ．5C ．259D ．53【解析】由25a =，8log 3b =，可得3823b b ==，则22333224(2)52544(2)39a a a bb b -====，故选：C ．考点十二对数值大小的比较27．（2022•新高考Ⅰ）设0.10.1a e =，19b =，0.9c ln =-，则()A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b <<D ．a c b<<【解析】构造函数1()f x lnx x=+，0x >，则211()f x x x '=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在1x =处取最小值f （1）1=，∴11lnx x>-，(0x >且1)x ≠，110.910.99ln ∴>-=-，10.99ln ∴-<，c b ∴<；10910.9191010ln ln -=>-= ，∴0.1109e >，0.110.19e ∴<，a b ∴<；设()(1)(01)x g x xe ln x x =+-<<，则21(1)1()(1)11x xx e g x x e x x -+'=++=--，令2()(1)1x h x e x =-+，2()(21)x h x e x x '=+-，当01x <<-时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，(0)0h = ，∴当01x <<-时，()0h x <，当01x <<-时，()0g x '>，()(1)x g x xe ln x =+-单调递增，(0.1)(0)0g g ∴>=，0.10.10.9e ln ∴>-，a c ∴>，c a b ∴<<．故选：C ．28．（2021•新高考Ⅱ）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是()A ．c b a<<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c<<【解析】 12551252log log <=，12881382log log >=，a cb ∴<<．故选：C ．考点十三反函数29．（2021•上海）已知3()2f x x=+，则1f -（1）=．【解析】因为3()2f x x=+，令()1f x =，即321x+=，解得3x =-，故1f -（1）3=-．故答案为：3-．30．（2020•上海）已知函数3()f x x =，1()f x -是()f x 的反函数，则1()f x -=．【解析】由3()y f x x ==，得x =，把x 与y 互换，可得3()f x x =的反函数为1()f x -=．．考点十四函数与方程的综合运用31．（2019•浙江）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⋅⎪⎩若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则()A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得(1,)x a ∈++∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+．31(1)06a b ∴-+<<，11a -<<故选：C ．32．（2019•上海）已知2()||(1,0)1f x a x a x =->>-，()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图象上任意一点P ，在其图象上总存在另一点(Q P 、Q 异于)A ，满足AP AQ ⊥，且||||AP AQ =，则a =．【解析】由题意，可知：令2()||01f x a x =-=-，解得：21x a=+，∴点A 的坐标为：2(1a +，0)．则2,11()2,1AAa x x x f x a x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪-+>⎪-⎩．()f x ∴大致图象如下：由题意，很明显P 、Q 两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P 在左边曲线上，点Q 在右边曲线上．设直线AP 的斜率为k ，则2:(1)AP l y k x a=--．联立方程：2(1)21y k x ay a x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，整理，得：222[(2)](1)20kx a k x k a a a +-+++--=．2(2)22P A a k a a x x k a k -+∴+=-=+-．21A x a=+ ，221P A a a x x a k k∴=+--=-．再将1P ax k=-代入第一个方程，可得：2P k y a a=--．∴点P 的坐标为：(1a k -，2k a a--．||AP ∴===．AP AQ ⊥ ，∴直线AQ 的斜率为1k -，则12:(1)AQ l y x k a=---．同理类似求点P 的坐标的过程，可得：点Q 的坐标为：2(1,ak a ak-+．||AQ ∴===||||AP AQ = ，及k 的任意性，可知：224a a=，解得：a =．．33．（2019•上海）已知1()1f x ax x =++，a R ∈．（1）当1a =时，求不等式()1(1)f x f x +<+的解集；（2）若()f x 在[1x ∈，2]时有零点，求a 的取值范围．【解析】（1）1()()1f x ax a R x =+∈+．当1a =时，1()1f x x x =++．所以：()1(1)f x f x +<+转换为：111112x x x x ++<++++，即：1112x x <++，解得：21x -<<-．故：{|21}x x -<<-．（2）函数1()1f x ax x =++在[1x ∈，2]时，()f x 有零点，即函数在该区间上有解，即：1(1)a x x =-+，即求函数()g x 在[1x ∈，2]上的值域，由于：(1)x x +在[1x ∈，2]上单调递减，故：(1)[2x x +∈，6]，所以：111[,](1)26x x -∈--+，故：11[,26a ∈--考点十五根据实际问题选择函数类型34．（2020•山东）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为()(20.69)ln ≈A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【解析】把0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，可得0.38r =，0.38()t I t e ∴=，当0t =时，(0)1I =，则0.382t e =，两边取对数得0.382t ln =，解得2 1.80.38ln t =≈．故选：B ．35．【多选】（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020p p L lg p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m 声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则()A ．12p p B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p 【解析】由题意得，10602090p lg p ，92010100010p p p ，20502060p lg p ，52020101000p p p ，302040p lg p =，30100p p =，可得12p p ，A 正确；230101000p p p =，B 错误；30100p p =，C 正确；952210021010010100p p p p =⨯，12100p p ，D 正确．故选：ACD ．36．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”00F S V =，其中0F 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），0V 为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R ，高度为H ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S ；（结果用含R 、H 的代数式表示）（2）定义建筑物的“形状因子”为2L f A=，其中A 为建筑物底面面积，L 为建筑物底面周长，又定义T 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n 为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为13S n=+．当18f =，10000T =时，试求当该宿舍楼的层数n 为多少时，“体形系数”S 最小．【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：22002F RH R V R H πππ=+⋅=，所以020(2)2F R H R H R S V R H HRππ++===．（2）由题意可得132131003S n n=+=+，*n N ∈，所以32221922003600n S n n -'==，令0S '=，解得 6.27n =≈，所以S 在[1，6.27]单调递减，在[6.27，)+∞单调递增，所以S 的最小值在6n =或7取得，当6n =时，32610.3110036S =+≈⨯，当7n =时，32710.1610037S =+≈⨯，所以在6n =时，该建筑体S 最小．37．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项1 1.1a =，公差0.05d =，20120(201)2020 1.110190.0531.52S a d -∴=+=⨯+⨯⨯=，即营业额前20季度的和为31.5亿元．（2）解法一：假设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润首次超过该季度营业额的18%，则0.16(14%)(1.10.05)18%n n ⨯+>+⋅，令()0.16(14%)(1.10.05)18%n f n n =⨯+-+⋅，*()n N ∈，即要解()0f n >，则当2n 时，1()(1)0.0064(14%)0.009n f n f n ---=⋅+-，令()(1)0f n f n -->，解得：10n ，即当19n 时，()f n 递减；当10n 时，()f n 递增，由于f （1）0<，因此()0f n >的解只能在10n 时取得，经检验，(24)0f <，(25)0f >，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%．解法二：设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润与该季度营业额的比为n a ，则1 1.04(1.050.05) 1.04261.0410.04(1)1.10.052222n n a n a n n n++==-=+-+++，∴数列{}n a 满足1234567a a a a a a a >>>=<<<⋯⋯，注意到，250.178a =⋯，260.181a =⋯，∴今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%．38．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为q v x=，x 为道路密度，q 为车辆密度，交通流量801100135(),040()3(40)85,4080x x v f x k x x ⎧⎪-⋅<<==⎨⎪--+⎩．（1）若交通流量95v >，求道路密度x 的取值范围；（2）已知道路密度80x =时，测得交通流量50v =，求车辆密度q 的最大值．【解析】（1）按实际情况而言，交通流量v 随着道路密度x 的增大而减小，故()v f x =是单调递减函数，所以0k >，当4080x 时，v 最大为85，于是只需令801100135()953x -⋅>，解得803x <，故道路密度x 的取值范围为80(0,)3．（2）把80x =，50v =代入()(40)85v f x k x ==--+中，得504085k =-⋅+，解得78k =．801100135(),04037(40)85,40808x x x x q vx x x x x ⎧-⋅⋅<<⎪⎪∴==⎨⎪--+⎪⎩，①当040x <<时，801100135()1003x v =-⋅<，100404000q vx =<⨯=．②当4080x 时，q 是关于x 的二次函数，271208q x x =-+，对称轴为4807x =，此时q 有最大值，为2748048028800(12040008777-⨯+⨯=>．综上所述，车辆密度q 的最大值为288007．。

专题02 函数的概念与基本初等函数Ⅰ-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)(解析版)

专题02 函数的概念与基本初等函数Ⅰ-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)(解析版)

( π )2
=
4
+ 2π π2
1,
f
(π)
=
π −1+
π2
0 ，可知应为 D 选项中的图象．
2
7．【2019 年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗
星的星等与亮度满足
m2
–
m1
=
5 2
lg
E1 E2
，其中星等为 mk
的星的亮度为
Ek （k=1,2）．已
知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
=
−
1 2
,1
x
2
，其中 k>0.若在区间(0，9]上，关于 x 的方程 f (x) = g(x) 有
8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 ▲ .
【答案】
1 3
,
2 4
【解析】作出函数 f (x) ， g(x) 的图象，如图：
由图可知，函数 f (x) = 1− (x −1)2 的图象与 g(x) = − 1 (1 x 2,3 x 4,5 x 6, 7 x 8) 的图象仅有 2 个交点，即在区间
专题 02 函数的概念与基本初等函数 I
1．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】已知 a = log2 0.2,b = 20.2, c = 0.20.3 ，则（ ）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b c a
【答案】B
【解析】 a = log2 0.2 log2 1 = 0, b = 20.2 20 = 1, 0 c = 0.20.3 0.20 = 1, 即 0 c 1, 则 a c b ．故选 B．