高中数学 探究导学课型 第一章 集合与函数的概念 1.3 习题课——函数的基本性质 新人教版必修1

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

2019高一数学练习册答案：第一章集合与函数概念1.1集合1 1 1集合的含义与表示1.D.2.A.3.C.4.{1,-1}.5.{x|x=3n+1,n∈N}.6.{2,0,-2}.7.A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.8.1.9.1,2,3,6. 10.列举法表示为{(-1,1),(2,4)},描述法的表示方法不唯一,如可表示为(x,y)|y=x+2,y=x2.11.-1,12,2.1 1 2集合间的基本关系1.D.2.A.3.D.4. ,{-1},{1},{-1,1}.5. .6.①③⑤.7.A=B.8.15,13.9.a≥4.10.A={ ,{1},{2},{1,2}},B∈A.11.a=b=1.1 1 3集合的基本运算(一)1.C.2.A.3.C.4.4.5.{x|-2≤x≤1}.6.4.7.{-3}.8.A∪B={x|x3,或x≥5}.9.A∪B={-8,-7,-4,4,9}.10.1.11.{a|a=3,或-221 1 3集合的基本运算(二)1.A.2.C.3.B.4.{x|x≥2,或x≤1}.5.2或8.6.x|x=n+12,n∈Z.7.{-2}.8.{x|x6,或x≤2}.9.A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}.10.A,B的可能情形有:A={1,2,3},B={3,4};A={1,2,4},B={3,4};A={1,2,3,4},B={3 ,4}.11.a=4,b=2.提示:∵A∩ 綂 UB={2}，∴2∈A，∴4+2a-12=0 a=4，∴A={x|x2+4x-12=0}={2,-6},∵A∩ 綂 UB={2}，∴-6 綂 UB，∴-6∈B，将x=-6代入B,得b2-6b+8=0 b=2,或b=4.①当b=2时,B={x|x2+2x-24=0}={-6,4},∴-6 綂 UB，而2∈ 綂 UB，满足条件A∩ 綂UB={2}.②当b=4时,B={x|x2+4x-12=0}={-6,2}, ∴2 綂 UB，与条件A∩ 綂 UB={2}矛盾.1.2函数及其表示1 2 1函数的概念(一)1.C.2.C.3.D.4.22.5.-2,32∪32,+∞.6.[1,+∞).7.(1)12,34.(2){x|x≠-1，且x≠-3}.8.-34.9.1.10.(1)略.(2)72.11.-12,234.1 2 1函数的概念(二)1.C.2.A.3.D.4.{x∈R|x≠0,且x≠-1}.5.[0，+∞).6.0.7.-15,-13,-12,13.8.(1)y|y≠25.(2)[-2,+∞).9.(0,1].10.A∩B=-2,12;A∪B=[-2,+∞).11.[-1,0).1 2 2函数的表示法(一)1.A.2.B.3.A.4.y=x100.5.y=x2-2x+2.6.1x.7.略.8.x1234y828589889.略.10.1.11.c=-3.1 2 2函数的表示法(二)1.C.2.D.3.B.4.1.5.3.6.6.7.略.8.f(x)=2x(-1≤x0),-2x+2(0≤x≤1).9.f(x)=x2-x+1.提示:设f(x)=ax2+bx+c，由f(0)=1,得c=1，又f(x+1)-f(x)=2x，即a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x，展开得2ax+(a+b)=2x,所以2a=2,a+b=0,解得a=1，b=-1.10.y=1.2(02.4(203.6(404.8(601.3函数的基本性质1 3 1单调性与最大(小)值(一)1.C.2.D.3.C.4.[-2,0),[0,1),[1,2].5.-∞,32.6.k12.7.略.8.单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为[1,+∞).9.略.10.a≥-1.11.设-10，∴(x1x2+1)(x2-x1)(x21-1)(x22-1)0，∴函数y=f(x)在(-1，1)上为减函数.1 3 1单调性与最大(小)值(二)1.D.2.B.3.B.4.-5,5.5.25.6.y=316(a+3x)(a-x)(011.日均利润最大，则总利润就最大.设定价为x元，日均利润为y元.要获利每桶定价必须在12元以上，即x12.且日均销售量应为440-(x-13)·400，即x23,总利润y=(x-12)[440-(x-13)·40]-600(121 3 2奇偶性1.D.2.D.3.C.4.0.5.0.6.答案不唯一,如y=x2.7.(1)奇函数.(2)偶函数.(3)既不是奇函数，又不是偶函数.(4)既是奇函数，又是偶函数.8.f(x)=x(1+3x)(x≥0),x(1-3x)(x0).9.略.10.当a=0时，f(x)是偶函数;当a≠0时，既不是奇函数，又不是偶函数.11.a=1，b=1，c=0.提示:由f(-x)=-f(x)，得c=0，∴f(x)=ax2+1bx,∴f(1)=a+1b=2a=2b-1.∴f(x)=(2b-1)x2+1bx.∵f(2)3，∴4(2b-1)+12b32b-32b0 0单元练习1.C.2.D.3.D.4.D.5.D.6.B.7.B.8.C.9.A.10.D.11.{0,1,2}.12.-32.13.a=-1,b=3.14.[1,3)∪(3,5].15.f1217.T(h)=19-6h(0≤h≤11),-47(h11).18.{x|0≤x≤1}.19.f(x)=x只有唯一的实数解，即xax+b=x(*)只有唯一实数解，当ax2+(b-1)x=0有相等的实数根x0，且ax0+b≠0时，解得f(x)=2xx+2，当ax2+(b-1)x=0有不相等的实数根，且其中之一为方程(*)的增根时，解得f(x)=1.20.(1)x∈R,又f(-x)=(-x)2-2|-x|-3=x2-2|x|-3=f(x)，所以该函数是偶函数.(2)略.(3)单调递增区间是[-1,0],[1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1],[0,1].21.(1)f(4)=4×13=5.2,f(5.5)=5×1.3+0.5×3.9=8.45,f(6.5)=5×1.3+1×3.9+ 0.5×6 5=13.65.(2)f(x)=1.3x(0≤x≤5),3.9x-13(56.5x-28.6(622.(1)值域为[22,+∞).(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，则任取x1,x2∈(0,1]且x1f(x2)成立，即(x1-x2)2+ax1x20，只要a-2x1x2即可，由于x1,x2∈(0,1]，故-2x1x2∈(-2,0)，a-2，即a的取值范围是(-∞,-2).(实习编辑：邓杉)。

高中新课程导学学案·数学（必修1）·第一章·集合与函数§第一章集合与函数§1.1集合§1.1.1集合的含义与表示（第一课时）【课标定向】学习目标通过实例了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系.；了解集合中元素的三个特性. 提示与建议结合实例，结合实例，通过思考、研究集合中元素的特通过思考、研究集合中元素的特征把握集合的特点，体会元素与集合的关系. 【互动探究】自主探究1.一般地，我们把研究对象统称为_____,把一些元素组成的总体叫做_____(简称为___). 2.给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,那么_______________. 3.一个给定集合中元素是互不相同的,也就是说,____________________. 4.只要构成两个集合的元素是_________的,我们就称这两个集合是相等的. 5.如果a 是集合A 的元素,可以记作______. 6.全体非负整数组成的集合记作( ) A. ZB. RC. ND. Q 剖析探法★讲解点一集合的概念集合中的元素具有以下特征：（1）确定性：作为集合的元素，必须是确定的定的..对于集合A 的元素a ，要么A a Î，要么A a Ï，二者必居其一.如:所有“大于200的数”组成一个集合,而“较大的数”就不能构成一个集合,因为它的元素是不确定的,怎样的数才算较大没有明确的定义. (2)(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，互异性：集合中的元素必须是互异的，也就是说，也就是说，在给定的集合中，任何两个元素在给定的集合中，任何两个元素都是不相同的都是不相同的. . (3)(3)无序性无序性无序性::集合中元素的排列与次序无关集合中元素的排列与次序无关,,如1,2和2,1构成的集合相同构成的集合相同. .例题1下列各组对象下列各组对象: : (1)(1)接近于接近于0的数的全体的数的全体; ;(2)(2)比较小的正整数的全体比较小的正整数的全体比较小的正整数的全体; ; (3)(3)平面上到点平面上到点0的距离等于1的点的全体的点的全体; ; (4)(4)正三角形的全体正三角形的全体正三角形的全体; ; (5)2的近似值的全体的近似值的全体. .其中能构成集合的组数是其中能构成集合的组数是( ) ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【思维切入】判断所给对象能否构成集合的依据就是集合元素的三个特征依据就是集合元素的三个特征..满足集合元素的特征就能构成集合素的特征就能构成集合,,如不满足就不能构成集合成集合. .【解析】(1)(2)(5)(1)(2)(5)不满足集合元素的特征不满足集合元素的特征不满足集合元素的特征,,不能构成集合不能构成集合;(3)(4);(3)(4);(3)(4)构成集合构成集合构成集合,,故选A. 【规律技巧总结】判断一组对象是否构成集合关键就是看所给对象是否满足集合中元素的特征.例题2已知A={m,2m ,1},,1},求求m 的取值范围的取值范围. . 【思维切入】既然m,2m ,1是集合三个元素,这三个元素就互不相同这三个元素就互不相同. .【解析】因为m,2m ,1是所给集合的元素是所给集合的元素,,所以ïîïíì¹¹¹m m m m 2211,11101m m m m m ¹ìï¹¹-íï¹¹î且且所以0¹m 且1m ¹±. 【规律技巧总结】解答本类问题,只要保证所给元素满足集合元素的互异性即可，若求集合中参数取值问题，必须进行检验。

课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A（或a A）（举例）∈6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

１第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 一、集合概念（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。

说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。

（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C …表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c …表示。

问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 二、集合元素的三个特征由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性：设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性； 而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种) 若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ； 若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ∉A 。

如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32∉A.(请学生填充)。

（2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素.说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}（3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换. 三、常见数集的专用符号四、集合的表示方法问题4中，方法1为图示法，方法2为列举法.1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.２说明： (1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；(2)一般不必考虑元素之间的顺序；(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；例．用列举法表示下列集合：问题6：能否用列举法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。

1：集合的概念与集合的表示 集合 概 念 把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。

元素的性质（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性表 示 方 法 列 举 法 ①元素不重复 ②元素无顺序 ③元素间用“，”隔开 描 述 法 ①写清楚集合中元素的代号，如{x ∈R|x>0}，不能写成{x>2}； ②说明该集合中元素的性质； ③所有描述的内容都写在大括号内。

元素与集合的关系 一般地，用大写拉丁字母如A 、B 、C 表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c 表示集合中的元素，如果a 是集合A 中的元素就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A 。

常用数集及其记法 N 为零和正整数组成的集合，即自然数集，N *或N +为正整数组成的集合；Z 为整数组成的集合；Q 为有理数组成的集合，R 为实数组成的集合。

【典例精析】例题1 判断下列命题是否正确，并说明理由。

（1）{R}=R ；（2）方程组⎩⎨⎧+==12x y x y 的解集为{x=1，y=2}； （3）{x|y=x 2－1}={y|y=x 2－1}={（x ，y ）|y=x 2－1}；（4）平面内线段MN 的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}。

思路导航：以上几种命题都是同学们在初学过程中极易出错的几种典型类型。

处理此类问题的关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法。

答案：（1）{R}=R 是不正确的，R 通常为R={x|x 为实数}，即R 本身可表示为全体实数的集合，而{R}则表示含有一个字母R 的集合，它不能为实数的集合。

（2）方程组⎩⎨⎧+==12x y x y 的解集为{x=1，y=2}是不对的，因为解集的元素是有序实数对（x ，y ），正确答案应为{（x ，y ）|⎩⎨⎧==21y x }={（1，2）}。

（3）{x|y=x 2－1}={y|y=x 2－1}={（x ，y ）|y=x 2－1}是不正确的。