第二册主题一二元一次联立方程式
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1 。 第二冊 主題一 二元一次聯立方程式
1-2 解二元一次聯立方程式
Part1：主題探索窗
探索一:二元一次聯立方程式及其解
瑝兩個二元一次方程式，並列在一起時，我們將它們稱為
二元一次聯立方程式或二元一次方程組。
範例 1
守守到郵局，買了 5 元與 13 元的兩種郵票共 18 張，總共花了 170 元；
若5 元郵票買 x 張，13 元郵票買 y 張，請依題意列出二元一次聯立
方程式。
解:由兩種郵票共買 18 張，可列出二元一次方程式:
。………(1)
由總共花了 170 元，可列出二元一次方程式:
。………(2)
將(1)、(2)並列可得二元一次聯立方程式:
x + y = 18
答:x+y=18;5x+13y=170; 。
5x + 13 y = 170
練習 1
(1)媽媽帶了 300 元到市場買水果，如果她買 3 個蘋果、5 個水梨， 2 。 則剩下 30 元；如果她想買5 個蘋果、4 個水梨，則不夠 20 元。
設蘋果每個 x 元，水梨每個 y 元，請依下列步驟，列出二元一次
聯立方程式。
解:由媽媽買3 個蘋果、5 個水梨，剩下 30 元，可列出二元一次方
程式: 。………(1)
再由媽媽買5 個蘋果、4 個水梨，不夠 20 元，可列出二元一次
方程式: 。………(2) 將(1)、(2)並列可得二元一次聯立方程式:
(2)哥哥與弟弟各有數張紀念卡。已知弟弟給哥哥 6 張後，哥哥的張
數就是弟弟的 3 倍；若哥哥給弟弟 6 張，則哥哥的張數就是弟弟的 2
倍。設哥哥的張數為 x 張，弟弟的張數為 y 張，請依下列步驟，列出
二元一次聯立方程式。
解:由弟弟給哥哥 6 張後，
(弟弟給哥哥 6 張後 弟弟 6 張，哥哥 6 張)…填入多或少
哥哥的張數就是弟弟的 3 倍，可列出二元一次方程式:
。………(1)
由哥哥給弟弟 6 張後，
(哥哥給弟弟 6 張後 哥哥 6 張，弟弟 6 張)…填入多或少 3 。
哥哥的張數就是弟弟的 2 倍，可列出二元一次方程式:
。………(2)
將(1)、(2)並列可得二元一次聯立方程式:
在 x、y 的二元一次聯立方程式中，若 x、y 的值，同時滿足聯立
方程式中的兩個方程式，則此時 x、y 的值，稱為二元一次聯立
方程式的解。
範例 2
x=2，y=3 是否為下列各二元一次聯立方程式的解。
（A） 3x + y = 9
2 x + y = 8 （B） 2 x + 5 y = 16
x + 3 y = 11 （C） 2x + 3 y = 13
x + y = 5
解:(A) 3x + y = 9..........(1)
2x + y = 8.........(2)
將 x=2，y=3 代入(1)得:
左式 3× + = (填數字)與右式的 9 (填入是或否)相等
故 x=2，y=3 (填入是或不是)3x+y=9 的一組解。
將 x=2，y=3 代入(2)得:
左式 2× + = (填數字)與右式的 8 (填入是或否)相等
故 x=2，y=3 (填入是或不是)2x+y=8 的一組解。
因為 x=2，y=3 (填入是或不是)方程式(1)的解； 4 x=2，y=3 (填入是或不是)方程式(2)的解
所以 x=2，y=3， (填入是或不是)(A) 3x + y = 9
2 x + y = 8
答:2;3;9;是;是;2;3;7;否;不是;是;不是;不是。
(B) 2 x + 5 y = 16...........(1)
x + 3 y = 11.............(2)
將 x=2，y=3 代入(1)得:
左式 2× +5× = .與右式的 16 不相等 的解。
故 x=2，y=3 (填入是或不是)2x+5y=16 的一組解。
所以 x=2，y=3，不是(B) 2 x + 5 y = 16
x + 3 y = 11 二元一次聯立方程式的解。
注意 x=2，y=3 不滿足方程式(1)，就不用代入方程式(2)
答:2;3;19;不是。
(C) 2x + 3 y = 13..........(1)
x + y = 5...............(2)
將 x=2，y=3 代入(1)得:
左式 2× +3× = .與右式的 13 (填入是或否)相等
故 x=2，y=3 (填入是或不是)2x+3y=13 的一組解。
將 x=2，y=3 代入(2)得:
左式 2+ = .與右式的 5 (填入是或否)相等
故 x=2，y=3 (填入是或不是) x+y=5 的一組解。
因為 x=2，y=3 (填入是或不是)方程式(1)的解；
x=2，y=3 (填入是或不是)方程式(2)的解 5 所以 x=2，y=3， (填入是或不是)(C) 2x + 3 y = 13
x + y = 5 的解。
答:2;3;13;是;是;3;5;是;是;是;是;是。
練習 2
(1) x=2，y=1 是下列哪些聯立方程式的解?
(A) 3x = 8 2 y
2x 5 y = 10 (B) y = 2x 3
y = 7 x + 15 (C) x 1 = y
3x = 7 y (D) 2x y = 0
5x = 7 + 3 y
解:
(2)若 x=-2、y=k 是 x、y 的二元一次聯立方程式 3x 5 y = 9
rx + 4 y = 7 的解，則
k-r 的值等於 。
探索二:代入消去法 將二元一次聯立方程式中的方程式(1)或(2)，經過移項化簡後，代 入另一方程式中，並使此方程式變為一元一次方程式來解題，進而 求得聯立方程式的解，我們稱為代入消去法。 6 範例 3
利用代入消去法，解二元一次聯立方程式 x = 5...................(1)
2x + 3 y = 16.......(2)
解:由(1)式 x=5 代入(2)式得:
2×( )+3y=16……………(y 的一元一次方程式)
( )+3y=16
3y=( )
y=( )
故 x=5、y=( )是聯立方程式的解。
爲確定答案之正確性，可將解(x,y)代入聯立方程式中做驗算。
答:5;10;6;2;2。
範例 4 利用代入消去法，解二元一次聯立方程式 2x 3 y = 5.....(1)
x = 9 y.............(2)
解:由(2)式 x=9y 代入(1)式得:
2×( )-3y=5………(將 x 用 9y 代入)
( )-3y=5……………(y 的一元一次方程式)
( )y=5
y=( )代入(2)式……[亦可代入(1)式]
x=9×( )
x=( )
故 x=( )、y=( )是聯立方程式的解。 7 答:9y;18y;15; 1 ; 1 ;3;3; 1 。
3 3 3
練習 4
利用代入消去法，解下列各二元一次聯立方程式。
(1) 2x = y............(1)
8x 3 y = 7.......(2)
解: 由(1)式 -2x=y 可看成 y=( )，代入(2)式得:
8x-3×( )=7
8x-( )=7
( )x=7
x=( )代入(1)式……[亦可代入(2)式]
-2×( )=y
y=( )
故 x=( )、y=( )是聯立方程式的解。
(2) 4x y = 3........(1)
y = 2x 1..........(2)
解:由(2)式 y=2x-1 代入(1)式得:
4x-( )=-3………(將 y 用 2x-1 代入)
4x-2x 1=-3……(填入+或-)
2x=( )
x=( )代入(2)式……[亦可代入(1)式]
