【精品】高考数学函数的基本性质复习

1 函数的基本性质

【命题趋势】

函数的单调性与最值、奇偶性以及函数图象是历年高考考查的重点，具体要求为：

（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.

【重要考向】

一、函数的单调性及其应用

二、函数的奇偶性及其应用

三、函数的周期性及其应用

四、函数图像及其应用

函数单调性及其应用

函数的单调性

1．函数单调性的定义

增函数 减函数

定义 一般地，设函数fx的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2x

当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是增函数 当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是减函数 2 图象描述

自左向右看，图象是上升的

自左向右看，图象是下降的

设12,[,]xxab，12xx.若有1212()0[]xxfxfx或1212()()0fxfxxx，则()fx在闭区间[],ab上是增函数；若有1212()0[]xxfxfx或1212()()0fxfxxx，则()fx在闭区间[],ab上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.

2．单调区间的定义

若函数yfx在区间D上是增函数或减函数，则称函数yfx在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数fx的单调区间．

3.函数的最值

前提 设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 （1）对于任意的xI，都有fxM；

（2）存在0xI，使得0fxM （3）对于任意的xI，都有fxM；

（4）存在0xI，使得0fxM

结论 M为最大值 M为最小值

注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

1

函数的基本性质

知识梳理

1) 函数的单调性

① 定义及判定方法

函数的 性质 定义 图象 判定方法

如果对于属于定义域 I 内 y y=f(X)

f(x2 ) (1)利用定义

某个区间上的任意两个自

f(x1 )

( 2 )利用已知函数

变量的值 x1 、 x2, 当 x1< o x1

xx 2 的单调性

x2 时，都有 f(x1)

( 3 )利用函数图象

那么就说 f(x) 在这个区间

(在某个区间图

上是增函数．

象上升为增)

函数的

(4)利用复合函数

单调性

y

y=f(X) (1)利用定义

如果对于属于定义域 I 内

f(x )1

f(x ) ( 2 )利用已知函数

某个区间上的任意两个自

o x1 xx

2 的单调性

变量的值 x1 、x2 ，当 x1<

( 3 )利用函数图象

x2 时，都有 f(x1)>f(x2) ，

(在某个区间图

那么就说 f(x) 在这个区间

象下降为减)

上是减函数．

(4)利用复合函数

② 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数， 减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数 y f[g(x)]，令 u g(x)，若 y f(u)为增， u g(x)为增，则 y f [ g(x)]为增；若 y f(u)为减，u g(x)为减，则 y f[g(x)]为增；若 y f(u)为增，u g(x)为减，则y f[g(x)]为 2

减；若 y f（u）为减， u g（x）为增，则 y f [ g（x）]为减．

f （x）

（2）打“√”函数 a x (a 0) x 的图象与性质

y

f(x) 分别在 ( , a]、 [ a, ）上为增函数，分别在

[ a,0) 、 (0, a] 上为减函数．

word格式整理版

范文范例 学习指导 函数专题1、函数的基本性质

复习提问：

1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。

2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题）

3、如何求一个函数的解析式。（常见方法有哪些）

4、如何求函数的值域。（常见题型对应的常见方法）

5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题）

6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用

7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题

知识分类

一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.

1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f（x）=2x，g（x）=33x；

（2）f（x）=xx||，g（x）=;01,01xx

（3）f（x）=1212nnx，g（x）=（12nx）2n－1（n∈N*）；

（4）f（x）=x1x，g（x）=xx2；

（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.

二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x的范围）

1、求下列函数的定义域：

(1)ｙ＝－221x＋１(2)ｙ＝422xx(3)xxy1 (4)ｙ＝241xx

(5)ｙ＝3142xx (8)ｙ＝3ax（ａ为常数）

2、（1）已知f(x)的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x-1)的定义域；

（2）已知f (2x-1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f(x)的定义域；

3、若函数)(xfy的定义域为[ 1，1]，求函数)41(xfy)41(xf的定义域

高三数学函数知识点归纳大全

函数是高中数学中重要的内容之一，它在解决实际问题和研究数学规律中起着关键作用。为了帮助高三学生更好地掌握数学函数知识，本文将对高三数学函数知识点进行归纳总结，以便于学生们系统地复习和巩固相关知识。

一、函数的定义与性质

1. 函数的定义：函数是一个对应关系，将一个集合的每个元素（自变量）映射到另一个集合的唯一元素（因变量）。函数通常用f(x)表示。

2. 定义域与值域：函数的定义域是自变量的所有可能取值，值域是函数的所有可能输出值。

3. 奇函数和偶函数：若对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)称为奇函数；若对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)称为偶函数。

4. 基本初等函数：常见的基本初等函数有常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

二、函数的图像与性质

1. 函数的图像：函数的图像是平面直角坐标系中点的集合，表示函数的输入和输出之间的关系。

2. 单调性：函数f(x)在定义域内，如果对于任意的x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果对于任意的x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的。

3. 极值与最值：函数f(x)在定义域内，如果存在一个数x0，使得在x0的某个邻域内，有f(x) ≤ f(x0)（或f(x) ≥ f(x0)），则称f(x0)为函数f(x)的极大值（或极小值）；最大值和最小值统称为最值。

4. 对称性：函数的图像可以关于y轴、x轴或原点对称。

三、函数的运算与性质

1. 函数的四则运算：函数的加减乘除运算仍然是函数。

2. 复合函数：若给定函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量进行g(x)的变换，再对结果进行f(x)的变换。

3. 反函数：若函数f(x)在定义域上是一一对应的，即对于任意x1 ≠ x2，有f(x1) ≠ f(x2)，且存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x，g(f(x)) = x，则称g(x)为f(x)的反函数，记为f^(-1)(x)。