高考数学 函数及其性质

2024年高考数学必考知识点总结一、函数与方程1. 一次函数与二次函数- 函数定义与函数图像- 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等- 一次函数的表示与性质- 二次函数的表示与性质：顶点坐标、对称轴等- 一次函数与二次函数的图像变换2. 指数与对数- 指数与对数的性质：乘法规则、除法规则、幂次规则、换底公式等- 指数函数与对数函数的图像与性质- 指数方程与对数方程的解法3. 三角函数- 常用角的定义：正弦、余弦、正切、余切等- 三角函数的周期性与对称性- 三角函数的图像变换- 三角函数的性质：奇偶性、周期性、单调性等- 三角函数的主要公式与应用4. 线性方程组- 线性方程组的解的判定方法与解法- 线性方程组的应用问题二、平面几何1. 直线与曲线- 直线与平面的位置关系：平行、垂直等- 直线与曲线的交点问题- 直线方程与曲线方程的解法2. 三角形与四边形- 三角形的基本性质：内角和、外角和、中线定理、垂心、内心、外心、重心等- 三角形的判定方法- 三角形的相似与全等- 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形等3. 圆与圆锥曲线- 圆的性质：弦长定理、弧长定理、切线定理等- 圆与直线、圆与圆的位置关系- 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质三、空间几何1. 空间几何基础- 点与向量的运算与性质- 平行四边形法则与向量共线性- 点、线、面的位置关系2. 空间直线与空间曲线- 空间直线的方程与性质- 空间曲线的参数方程与性质3. 空间几何体- 空间几何体的基本概念与性质：球、柱、锥、棱柱、棱锥等- 空间几何体的体积与表面积计算四、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的基本概念与性质- 概率的定义与性质：加法原理、乘法原理等- 事件的独立性与互斥性- 概率计算：古典概型、几何概型、条件概率等2. 统计与抽样- 数据的分布：频数分布与频率分布- 统计指标：平均数、中位数、众数等- 抽样与样本调查- 点估计与区间估计3. 随机变量与概率分布- 随机变量的基本概念与性质- 离散型随机变量与连续型随机变量- 常见概率分布：二项分布、正态分布等- 期望、方差、标准差的计算与应用以上是____年高考数学必考的知识点总结，希望可以帮助你更好地准备高考。

高考数学第三章知识点总结第一节直线和方程1. 直线的方程直线的方程有两种常见的表示方法：一般式和斜截式。

一般式是Ax+By+C=0，斜截式是y=kx＋b。

2. 直线的性质直线有斜率和倾斜角的概念，斜率是直线的倾斜程度，倾斜角是与x轴的夹角。

3. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点是y=0处的x坐标，与y轴的交点是x=0处的y坐标。

第二节函数及其性质1. 函数的概念函数是自变量和因变量之间的对应关系，表示为y=f(x)。

2. 函数的性质函数有定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。

3. 基本初等函数的性质基本初等函数包括常函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等。

4. 函数的图像和性质函数的图像可以通过函数的定义域、值域、单调性、极值、奇偶性等来描述。

第三节数列和级数1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的数字序列，可以是等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

2. 数列的通项公式数列的通项公式可以用来表示数列的任意一项的通用表达式。

3. 级数的概念级数是数列的和的概念，可以是等差级数、等比级数等。

4. 级数的性质级数有收敛和发散的性质，可以通过极限的概念来分析级数的和是否存在。

第四节不等式与不等式组1. 不等式的性质不等式有加法、减法、乘法、除法以及取对数、指数等运算的性质。

2. 一元一次不等式一元一次不等式可以用图像法或者代数法来解决。

3. 一元二次不等式一元二次不等式可以通过解二次方程的方法来求解。

4. 不等式组不等式组是由多个不等式组成的方程组，可以用图像法、代数法来解决。

结尾总结高考数学第三章主要涉及直线和方程、函数及其性质、数列和级数、不等式与不等式组等知识点。

这些知识点在解决各种数学问题时起着至关重要的作用，掌握这些知识对于高考数学的学习至关重要。

希望同学们能够通过系统的学习和练习，掌握这些知识，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。

高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。

它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。

本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。

1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。

用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。

2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。

2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。

2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。

如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。

2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。

如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。

2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。

如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。

3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。

3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。

3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。

高考数学中的对数函数性质及其应用对数函数是高中数学中非常重要的一个概念。

在高考中，对数函数也是非常重要的考点之一。

本文将从对数函数的定义、性质、公式以及应用来进行简单的讲解，帮助同学们更好地掌握这一重要概念。

一、对数函数的定义与性质对数函数可以这样定义：设a>0，且且a≠1，则称y=loga x是以a为底，x为真数的对数函数。

其中a被称为底数，x为真数，y 为对数值。

对数函数最基本的性质是：若a>1，则loga 1=0；若0<a<1，则loga 1=0；若a=1，则无解。

对于对数函数的底数a和真数x均不能为负数或零。

对数函数还有一个很重要的性质是对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

这个性质说明了，对数函数的定义需要满足a>0，x>0，根据定义，y=loga x，那么y也一定为实数，因此对数函数的值域为实数集。

二、对数函数的公式运用对数函数公式，能够快速简便地完成数值计算，增强数学思维，提高解题能力。

主要有以下四个公式：1、loga (mn) = loga m + loga n2、loga (m/n) = loga m - loga n3、loga m^p = p*loga m4、loga a^n = n公式1和2用于将对数函数中的乘、除法转换成加、减法。

公式3用于将对数函数中的指数运算转换成乘法。

公式4是对数函数的基本公式，即对数函数中以a为底，a的幂次方的值等于幂次数。

三、对数函数的应用1、复利计算：实际生活中，人们常常要面临各种复利计算问题。

在复利计算中，常常需要用到对数函数。

例如求N年后本金为P的投资，在年利率为r的情况下，总收益为多少。

用对数函数可以快速算出结果，公式为：A=P*(1+r)的N次方。

2、化简大数：在高精度计算和密码学领域中，经常需要对大数进行化简计算。

对于x^y的结果，如果y过大，那么我们需要通过对数函数将其化简。

即对x取对数，乘以y，再通过反函数将结果还原。

函数及其基本性质知识点总结(总7页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-〖〗函数及其表示【】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ； 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()a b，f x的定义域为[,]其复合函数[()]≤≤解出．f g x的定义域应由不等式()a g x b⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程y f x2++=，则在()0()()()0a y xb y xc ya y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集o合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖〗函数的基本性质【】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的性 质定义图象 判定方法函数的单调性 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)x y f(x )1f(x )2o （1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)y x o x x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【】奇偶性（4）函数的奇偶性 函数的性 质定义图象 判定方法函数的奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．高考《函数及其基本性质》考点解析考点一：函数定义域1、函数y = ）A. {}1,1-B. ( -1 , 1 )C. [ -1 , 1 ]D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ ) 2、1y x=+ 考点二：函数值域1、①31y x =+ ， x ∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 )②246y x x =-+ ，x ∈[)1,5 ( 配方法 ：形如2y ax bx c =++ )③2y x =换元法：形如y ax b =+) ④1x y x =+ ( 分离常数法：形如cx d y ax b+=+ ) ⑤221y x x =+ ( 判别式法：形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++ ) 2、设函数2()2()g x x x R =-∈，222,()()2,()x x x g x f x x x x g x ⎧++<⎪=⎨-->⎪⎩，则()f x 的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦考点三：分段函数1、已知函数()510320x x x x f x ⎧+ ≥⎪⎨-+ <⎪⎩=，求f （1）+f （1-）的值2、已知函数()()2122111f x x x x x x f x ⎧+ , ≤-⎪⎪+ , -<<⎨⎪2-4 , ≥ ⎪⎩= ，求f [f （4-）]的值 3、已知函数232,1,(),1,x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩若((0))4f f a =，则实数a ＝ .4、已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__考点四：函数单调性（最值）、函数奇偶性1. 如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是 .2. 如果二次函数2()1)5f x x a x =--+(在区间1(,1)2上是增函数，(2)f 的取值范围 .3． （2008全国Ⅱ）函数1()f x x x=-的图像关于（ ）A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称4．二次函数21y x mx =-+是偶函数，则函数的增区间为 （ ） A ．[0,)+∞ B ．(,0]-∞ C ．[1,)+∞ D ．[1,)-+∞ 5. 下列函数中, 是奇函数且在(0,)+∞上为增函数的是 ( )A ．3y x x =-B ． 1y x x =+C ． 1y x x=- D ． 3y x =- 6．（2007年宁夏）设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a ．7．若函数1,0(),0x x f x ax b x -≥⎧=⎨+<⎩为偶函数，则()f a b += ．8．已知偶函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(2)0f =，解不等式：(23)0f x ->．9． 设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则()0f x <的解集为（ ）A ．(1,)+∞B ． (,1)-∞-(0,1)C ． (,1)-∞-D ． (1,)+∞(,1)-∞-10．设偶函数()f x 在),0[+∞上为减函数，则不等式()(21)f x f x >+的解集是 11．函数2()f x x x=+在区间[2，3]上的最大值为 ．二次函数问题、函数图像问题等考点均渗透在以上考点中。

三角函数一．三角函数的图象和性质sin cos x x ≤≤11，yxO-π2 π2πy t g x =对称点为，，k k Z π20⎛⎝ ⎫⎭⎪∈ ()y x k k k Z =-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥∈s i n 的增区间为，2222ππππ ()减区间为，22232k k k Z ππππ++⎡⎣⎢⎤⎦⎥∈ ()()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ02=+∈ []()y x k k k Z =+∈c o s的增区间为，22πππ []()减区间为，222k k k Z ππππ++∈()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ+⎛⎝⎫⎭⎪=∈2y x k k k Z =-+⎛⎝⎫⎭⎪∈t a n 的增区间为，ππππ22 二．()()[]ϕωϕω+=x A y cos +x Asin =y .或的图象和性质要熟记。

正弦型函数 （）振幅，周期12||||A T =πω ()若，则为对称轴。

f x A x x 00=±=()()若，则，为对称点，反之也对。

f x x 0000= （）五点作图：令依次为，，，，，求出与，依点202322ωϕππππx x y + （x ，y ）作图象。

（）根据图象求解析式。

（求、、值）3A ωϕ如图列出ωϕωϕπ()()x x 1202+=+=⎧⎨⎪⎩⎪解条件组求、值ωϕ()∆正切型函数，y A x T =+=tan ||ωϕπω 三．三角函数的图象和性质的应用. 1。

在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：，，，求值。

cos x x x +⎛⎝⎫⎭⎪=-∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥πππ62232 （∵，∴，∴，∴）ππππππππ<<<+<+==x x x x 327665365413122. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数的值域是y x x =+sin sin||[][]（时，，，时，，∴，）x ≥=∈-<=∈-02220022y x x y y sin 3. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换）平移公式：（）点（，），平移至（，），则1P x y a h k P x y x x h y y k →=−→−−−−−=+=+⎧⎨⎩()''''' （）曲线，沿向量，平移后的方程为，200f x y a h k f x h y k ()()()==--=→如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的y x y x =-⎛⎝⎫⎭⎪-=2241sin sin π图象？ （横坐标伸长到原来的倍y x y x =-⎛⎝⎫⎭⎪-−→−−−−−−−−−=⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-22412212412sin sin ππ =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-−→−−−−−−=-−→−−−−−−=24142121sin sin sin x y x y x ππ左平移个单位上平移个单位纵坐标缩短到原来的倍）12−→−−−−−−−−−=y x sin 四．公式的联系1．.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式如：··142222=+=-===sin cos sec tan tan cot cos sec tanααααααααπ ===sincos π20……称为的代换。

专题三 函数3.1 函数及其性质考点一 函数的概念及表示1.(2015湖北文,7,5分)设x ∈R,定义符号函数sgn x={1,x >0,0,x =0,−1,x <0.则( )A.|x|=x|sgn x|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgn xD.|x|=xsgn x答案 D 由已知可知xsgn x={x,x >0,0,x =0,−x,x <0,而|x|={x,x >0,0,x =0,−x,x <0,所以|x|=xsgn x,故选D.2.(2014江西理,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R).若f[g(1)]=1,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1答案 A 由已知条件可知: f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故选A.评析 本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键.3.(2017山东理,1,5分)设函数y=√4−x 2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A ∩B=( ) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1)答案 D 由4-x 2≥0,解得-2≤x ≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A ∩B={x|-2≤x<1}.故选D.4.(2015重庆文,3,5分)函数f(x)=log 2(x 2+2x-3)的定义域是( ) A.[-3,1] B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案 D 由x 2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故选D.5.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)=√4−|x|+lg x 2−5x+6x−3的定义域为( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]答案 C 要使函数f(x)有意义,需满足{4−|x|≥0,x 2−5x+6x−3>0,即{|x|≤4,(x−3)(x−2)x−3>0,解之得2<x<3或3<x ≤4,故选C. 6.(2014山东理,3,5分)函数f(x)=√(log 2x)−1的定义域为( )A.(0,12) B.(2,+∞) C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞) 答案 C 要使函数f(x)有意义,需使(log 2x)2-1>0,即(log 2x)2>1,∴log 2x>1或log 2x<-1.解之得x>2或0<x<12.故f(x)的定义域为(0,12)∪(2,+∞). 7.(2016课标Ⅱ文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=√x答案 D 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x 的值域为R,排除B,故选D.易错警示 利用对数恒等式将函数y=10lg x变为y=x,将其值域认为是R 是失分的主要原因.评析 本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键. 8.(2015课标Ⅱ文,13,5分)已知函数f(x)=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),则a= . 答案 -2解析 因为函数f(x)=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),所以4=a ×(-1)3-2×(-1),故a=-2.9.(2016江苏,5,5分)函数y=√3−2x −x 2的定义域是 . 答案 [-3,1]解析 若函数有意义,则3-2x-x 2≥0,即x 2+2x-3≤0,解得-3≤x ≤1.考点二 分段函数1.(2015陕西文,4,5分)设f(x)={1−√x,x ≥0,2x , x <0,则f(f(-2))=( )A.-1B.14C.12D.32答案 C ∵f(-2)=2-2=14,∴f(f(-2))=f (14)=1-√14=12,选C.2.(2015山东文,10,5分)设函数f(x)={3x −b, x <1,2x, x ≥1.若f (f (56))=4,则b=( )A.1B.78C.34D.12答案 D f (56)=3×56-b=52-b, 当52-b ≥1,即b ≤32时,f (52−b )=252−b,即252−b =4=22,得到52-b=2,即b=12;当52-b<1,即b>32时,f (52−b )=152-3b-b=152-4b, 即152-4b=4,得到b=78<32,舍去. 综上,b=12,故选D.3.(2014江西文,4,5分)已知函数f(x)={a ·2x ,x ≥0,2−x , x <0(a ∈R),若f [f(-1)]=1,则a=( )A.14B.12C.1D.2答案 A 由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a=14,故选A.4.(2014课标Ⅰ文,15,5分)设函数f(x)={e x−1, x <1,x 13,x ≥1,则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是 . 答案 (-∞,8]解析 f(x)≤2⇒{x <1,e x−1≤2或{x ≥1,x 13≤2⇒{x <1,x ≤ln2+1或{x ≥1,x ≤8⇒x<1或1≤x ≤8⇒x ≤8,故填(-∞,8].考点三 函数的单调性与最值1.(2019北京文,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12x D.y=1x答案 A 本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查数形结合的思想.考查的核心素养是直观想象.A 选项,12>0,所以幂函数y=x 12在(0,+∞)上单调递增.B 选项,指数函数y=2-x=(12)x在(0,+∞)上单调递减.C 选项,因为0<12<1,所以对数函数y=lo g 12x 在(0,+∞)上单调递减.D 选项,反比例函数y=1x在(0,+∞)上单调递减.解题关键 熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题的关键. 2.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) A.y=11−xB.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案 D 选项A 中,y=11−x =1−(x−1)的图象是将y=-1x 的图象向右平移1个单位得到的,故y=11−x在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B 中,y=cos x 在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C 中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x 的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D 符合题意.评析 本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题. 3.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x 2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是( ) A.(13,1) B.(−∞,13)∪(1,+∞) C.(−13,13) D.(−∞,−13)∪(13,+∞) 答案 A 当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x 2,∴f '(x)=11+x +2x(1+x 2)2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|), ∴|x|>|2x-1|,即3x 2-4x+1<0,解得13<x<1,故选A.4.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x ∈R.( ) A.若f(a)≤|b|,则a ≤b B.若f(a)≤2b,则a ≤b C.若f(a)≥|b|,则a ≥bD.若f(a)≥2b,则a ≥b 答案 B 依题意得f(a)≥2a,若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,又y=2x是R 上的增函数,∴a ≤b.故选B.5.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=xx−1(x ≥2)的最大值为 . 答案 2解析 解法一:∵f '(x)=−1(x−1)2,∴x ≥2时, f '(x)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2. 解法二:∵f(x)=x x−1=x−1+1x−1=1+1x−1, ∴f(x)的图象是将y=1x的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=1x在[2,+∞)上单调递减, ∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2. 解法三:由题意可得 f(x)=1+1x−1. ∵x ≥2,∴x-1≥1,∴0<1x−1≤1, ∴1<1+1x−1≤2,即1<x x−1≤2. 故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.评析 本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.6.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)={x 2, x ≤1,x +6x−6, x >1,则f(f(-2))= , f(x)的最小值是 . 答案 -12;2√6-6解析 f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+64-6=-12.当x ≤1时, f(x)=x 2≥0,当x>1时,f(x)=x+6x-6≥2√6-6, 当且仅当x=√6时,等号成立, 又2√6-6<0,所以f(x)min =2√6-6.7.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a的取值范围是.答案(12,32)解析由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-√2), f(-√2)=f(√2),所以f(2|a-1|)>f(√2),所以2|a-1|<212,解之得12<a<32.考点四函数的奇偶性1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x答案B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.2.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B 项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.评析本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|答案B y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.评析本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.4.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时, f(x)=2x 3+x 2,则f(2)= . 答案 12解析 本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.由题意可知f(2)=-f(-2),∵x ∈(-∞,0)时, f(x)=2x 3+x 2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.5.(2015课标Ⅰ理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+√a +x 2)为偶函数,则a= . 答案 1解析 由已知得f(-x)=f(x),即-xln(√a +x 2-x)=xln(x+√a +x 2),则ln(x+√a +x 2)+ln(√a +x 2-x)=0, ∴ln[(√a +x 2)2-x 2]=0,得ln a=0,∴a=1.6.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= . 答案 3解析 ∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(2+x)=f(2-x)对任意x 恒成立, 令x=1,得f(1)=f(3)=3, ∴f(-1)=f(1)=3.7.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(x+1)2+sinxx 2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m= .答案 2 解析 f(x)=x 2+1+2x+sinx x 2+1=1+2x+sinx x 2+1,令g(x)=2x+sinxx 2+1,则g(x)为奇函数,有g(x)max +g(x)min =0,故M+m=2. 8.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f (−52)+ f(1)= . 答案 -2解析 ∵f(x)是定义在R 上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f (−52)=f (−12)=-f (12)=-412=-2,∴f (−52)+f(1)=-2.考点五 函数的周期性(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x 3-1;当-1≤x ≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, f (x +12)=f (x −12).则f(6)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 答案 D 当x>12时,由f (x +12)=f (x −12)可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.。