2010-2018年高考文科数学真题-函数的概念和性质(含解析)

第一部分 函数的概念及表示方法函数的定义域、值域1．（2010广东文数）2.函数)1lg()(-=x x f 的定义域是A.),2(+∞B. ),1(+∞C. ),1[+∞D. ),2[+∞解：01>-x ，得1>x ，选B.2．（2010湖北文数）5.函数y =的定义域为 A.( 34,1) B(34,∞) C （1，+∞） D. ( 34,1)∪（1，+∞）3．（2010湖北文数）3.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==， 所以B 正确.4．（2010重庆文数）（4）函数y =（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4]（C ）[0,4) （D ）(0,4)解析：[)40,0164160,4x x >∴≤-< 5．（2010山东文数）(3)函数()()2log 31x f x =+的值域为 A. ()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣ 答案：A6．（2010天津文数）（10）设函数2()2()g x xx R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或7．（2010浙江理数）（10）设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ⎧⎫==++=-=-⎨⎬⎩⎭，平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩⎭，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=21,b=0; a=21,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B ，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题8．（2010陕西文数）13.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a＝ 2 .解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=29．（2010重庆文数）(12)已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为____________ . 解析：241142(0)t t y t t t t-+==+-≥-> ，当且仅当1t =时，min 2y =- 10．（2010天津文数）（16）设函数f(x)=x-1x,对任意x [1,∈+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________【答案】m<-1【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。

考点4 函数的性质1.（2010·湖北高考文科·Ｔ5）函数y =的定义域为 A.( 34,1) B(34,+∞) C （1，+∞） D. ( 34,1)∪（1，+∞） 【命题立意】本题主要考查函数定义域的求法及对数函数单调性的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】分母不为0且被开方数大于或等于0⇒0.5log (43)0x ->⇒043x <-<1解该不等式即可。

【规范解答】选A ，由0.5log (43)0x ->得043x <-<1解得34x <<1。

【方法技巧】1、已知解析式的函数求定义域时要注意：（1）、分式的分母不为0；（2）、开偶次方根式被开方数要非负；（3）、对数的真数要为正，对数的底数须大于零且不为1。

2、已知函数[()]y f g x =的定义域求函数[()]y f h x =的定义域：[()]y f g x =的定义域()x g x −−−−−−−−−→已知的范围求的取值范围()y f x =的定义域()h x x −−−−−−−−−→已知的取值范围求的范围[()]y f h x =的定义域。

2.（2010·全国Ⅰ文科·Ｔ7）已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠，且()()f a f b =，则a b +的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【命题立意】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a +≥,从而错选D,这也是命题者的用心良苦之处. 【思路点拨】根据题意运用两种思路解答：思路1：运用“对勾”函数求解；思路2：运用将a b +看成目标函数，运用线性规划求解.【规范解答】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+b=1a a + 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a =1a a+由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞3.（2010·全国Ⅰ理科·Ｔ10）已知函数()|lg |f x x =,若b a <<0,且)()(b f a f =,则b a 2+的取值范围是( )(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞【命题立意】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 2a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用心良苦之处. 【思路点拨】根据题意运用两种思路解答：思路1：运用“对勾”函数求解；思路2：运用将b a 2+看成目标函数，运用线性规划求解.【规范解答】选C.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a + 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a =+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，求2z x y =+的取值范围问题，11222z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为3,∴(C)(3,)+∞4.（2010·重庆高考理科·Ｔ１5）已知函数()f x 满足：()114f =，()()()()4f x f y f x y f x y =++-(),x y R ∈，则()2010f =_____________. 【命题立意】本小题考查函数的有关性质，考查赋值运算求解的能力，考查探究规律、归纳概括的能力.【思路点拨】赋予x ，y 特殊值，分别求出(0)f ，(2),(3),(4),(5)f f f f ，(6)f ，(7),(8)f f ，……等值，归纳概括找出规律，最后求出()2010f 的值；或根据已知条件推导出函数具有周期性. 【规范解答】12 （方法一）令1,0x y ==，则4(1)(0)(1)(1)f f f f =+，所以1(0)2f =； 令1x y ==，则4(1)(1)(2)(0)f f f f =+，所以1(2)4f =-；令2,1x y ==，则4(2)(1)(3)(1)f f f f =+，所以1(3)2f =-； 令2x y ==，则4(2)(2)(4)(0)f f f f =+，所以1(4)4f =-； 令4,1x y ==，则4(4)(1)(5)(3)f f f f =+，所以1(5)4f =； 令3x y ==，则4(3)(3)(6)(0)f f f f =+，所以1(6)2f =； 令6,1x y ==，则4(6)(1)(7)(5)f f f f =+，所以1(7)4f =； ……函数值以6为周期循环出现，又因为20103356=，所以1(2010)(3356)2f f =⨯=. （方法二）令1y =，则4()(1)(1)(1)f x f f x f x =++-，所以()(1)(1)f x f x f x =++-，所以(1)()(2)(1)(1)(2)f x f x f x f x f x f x +=++=++-++，所以(1)(2)f x f x -=-+，即()(3)f x f x =-+，所以(6)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为6的函数，有1(0)2f =，所以1(2010)(33560)(0)2f f f =⨯+==. 【方法技巧】方法一是应用归纳得出的结论求值，需要求出多个函数值才发现规律；方法二是巧妙推导出周期函数的结论，减少了运算.5.（2010·湖北高考理科·Ｔ17）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035k C x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．【命题立意】本题主要考查由实际问题求函数解析式、利用导数求函数最值，考查考生的阅读理解及运算求解能力．【思路点拨】(0)8C =⇒k 的值20−−−−−−−−−−−−→隔热层建造费用与年的能源消耗费用相加()f x 的表达式−−−−→利用导数()f x 的最小值 【规范解答】（Ⅰ）设隔热层厚度x cm ，由题意建筑物每年的能源消耗费用为()()01035k C x x x =≤≤+，再由(0)8C =得40k =，故()()4001035C x x x =≤≤+；又x 厘米厚的隔热层建造费用为6x ，所以由题意()f x =402035x ⨯++6x =80035x ++6x ()010x ≤≤。

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲 函数与方程一、选择题1．（2017新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1 2．（2017山东）设1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩≥，若()(1)f a f a =+，则1()f a = A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A ．y cos x =B ．y sin x =C ．y ln x =D ．21y x =+4．（2015天津）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩≤，函数()3(2)g x f x =--，则函数 y ()()f x g x =-的零点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．55．（2015陕西）对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．－1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上6．(2014山东)已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）），（210 （B ）），（121（C ）），（21 （D ）），（∞+2 7．（2014北京）已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,4 （D ）()4,+∞8．（2014重庆）已知函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（A ）91(,2](0,]42-- （B ）111(,2](0,]42-- （C ）92(,2](0,]43-- （D ）112(,2](0,]43-- 9．（2014湖北）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为（A ）{1,3} （B ）{3,1,1,3}-- （C ）{23} （D ）{21,3}-10．（2013安徽）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若11()f x x =< 2x ，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（A ）3 (B) 4 （C ）5 （D ）611．（2013重庆）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（A ）(),a b 和(),b c 内 （B ）(),a -∞和(),a b 内（C ）(),b c 和(),c +∞内 （D ）(),a -∞和(),c +∞内12．（2013湖南）函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）013．（2013天津）函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）414．（2012北京）函数121()()2xf x x =-的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）315．（2012湖北）函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）716．（2012辽宁）设函数()f x ()x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，3()f x x =．又函数()|cos()|g x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）817．(2011天津)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（A ）(]3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ （B ）(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭（C ）11,,44⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （D ）311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭18．（2011福建）若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（A ）（-1,1） （B ）（-2,2）（C ）（-∞，-2）∪（2，+∞） （D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）19．(2011全国新课标)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）820． (2011山东)已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）921．（2010年福建）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨-+>⎩≤，的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）322．(2010天津)函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（A ）（-2，-1） （B ）（-1，0） （C ）（0，1） （D ）（1，2）23．（2010广东）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的（A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件24．（2010浙江）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4二、填空题25．(2018江苏)若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ．26．(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是______．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是____．27．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x x n n-==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 28．（2016山东）已知函数()f x =2,,24,,x x m x mx m x m ⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩其中0m >．若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_______．29．（2016年天津）已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_______． 30．（2016年浙江）设函数32()31f x x x =++．已知0a ≠，且()()f x f a -=2()()x b x a --，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．31．(2015福建)若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 ．32．（2015湖北）函数2()2sin sin()2f x x x x π=+-的零点个数为 ．33．（2015湖南）若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 ．34．（2014江苏）已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，|212|)(2+-=x x x f ．若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ．35．（2014福建）函数22,0()26ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是_________．36．（2014天津）已知函数2()3f x x x =+，x R Î．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________．37．（2012福建）对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,,,a ab a b a b b ab a b ⎧-*=⎨->⎩…设()f x = (21)(1)x x -*-，且关于x 的方程为()f x m =（m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是____________．38．(2011北京)已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x =k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______．39．(2011辽宁)已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是______．专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲 函数与方程答案部分1．C 【解析】令()0f x =，则方程112()2x x a e e x x --++=-+有唯一解，设2()2h x x x =-+，11()x x g x ee --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点， 又11111()2x x x x g x e e e e --+--=+=+≥，当且仅当1x =时取得最小值2．而2()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1，()()ag x h x =有唯一的交点，则12a =．选C ． 2．C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知，若，则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-，解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C ． 3．A 【解析】cos y x =是偶函数且有无数多个零点，sin y x =为奇函数，ln y x =既不是奇函数又不是偶函数，21y x =+是偶函数但没有零点．故选A ．4．A 【解析】当0x <时，2(2)f x x -=，此时方程2()()1||f x g x x x -=--+的小于零的零点为x =；当02x ≤≤时，(2)2|2|f x x x -=--=，方程 ()()2||2f x g x x x -=-+=无零点；当2x >时，(2)2|2|4f x x x -=--=-， 方程22()()(2)733f x g x x x x x -=-+-=--大于2的零点有一个，故选A ．5．A 【解析】由A 知0a b c -+=；由B 知()2f x ax b '=+，20a b +=；由C 知()2f x ax b '=+，令()0f x '=可得2b x a =-，则()32b f a -=，则2434ac b a-=； 由D 知428a b c ++=，假设A 选项错误，则2020434428a b c a b ac b a a b c -+≠⎧⎪+=⎪⎪⎨-=⎪⎪++=⎪⎩，得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，满足题意，故A 结论错误，同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A ．6．B 【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<．7．C 【解析】 ∵2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，231(4)log 4022f =-=-<，∴()f x 零点的区间是()2,4． 8．A 【解析】()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点，就是函数()y f x =的图象与函数(1)y m x =+的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，和函数(1)y m x =+的图象，如图，当(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+和,(0,1]y x x =∈都相交时102m <≤； 当(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+有两个交点时，由(1)131y m x y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩， 消元得13(1)1m x x -=++，即2(1)3(1)10m x x +++-=， 化简得2(23)20mx m x m ++++=，当940m ∆=+=，即94m =-时直线(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+相切， 当直线(1)y m x =+过点(0,2)-时，2m =-，所以9(,2]4m ∈--，综上， 实数m 的取值范围是91(,2](0,]42--． 9．D 【解析】当0x ≥时，函数()g x 的零点即方程()3f x x =-得根，由233x x x -=-，解得1x =或3；当0x <时，由()f x 是奇函数得 2()()3()f x f x x x -=-=--，即()f x =23x x --，由()3f x x =-得2x =-．10．A 【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =， 211()x x f x >=，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A.11．A 【解析】由题意a ＜b ＜c ，可得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0.显然f (a )·f (b )＜0，f (b )·f (c )＜0，所以该函数在(a ，b )和(b ，c )上均有零点，故选A ．12．B 【解析】二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x =2， g (2) = 1； f (2) =2ln2=ln4>1．所以g (2) <f (2), 从图像上可知交点个数为2．13．B 【解析】令()0f x =，可得0.51log 2xx =，由图象法可知()f x 有两个零点． 14．B 【解析】因为()f x 在[0,)+∞内单调递增，又1(0)10,(1)02f f =-<=>， 所以()f x 在[0,)+∞内存在唯一的零点。

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专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表单选题2011对数函数2011年北京文科03单选题2010函数的单调性2010年北京文科06填空题2017函数的值域2017年北京文科11填空题2016函数的值域2016年北京文科10填空题2016函数模型2016年北京文科14填空题2015对数函数2015年北京文科10填空题2014函数模型2014年北京文科14填空题2013分段函数2013年北京文科13填空题2012对数函数2012年北京文科12填空题2012指数函数2012年北京文科14填空题2011分段函数2011年北京文科13填空题2011函数模型2011年北京文科14填空题2010分段函数2010年北京文科09填空题2010函数模型2010年北京文科14历年高考真题汇编1．【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y【解答】解:在(0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞)上都是减函数．故选：A．2．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选:D．3．【2017年北京文科05】已知函数f(x）＝3x﹣（)x,则f(x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣(）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x)，即函数f(x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数,故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选:B．4．【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是( )（参考数据：lg3≈0。

2010~2018年函数与试题汇编1、考纲要求：函数的概念B函数的基本性质B指数与对数B指数、对数函数的图像与性质B幂函数A函数与方程B函数模型及其应用B导数的概念A导数的几何意义B导数的运算B利用导数研究函数的单调性与极值B导数在实际问题中的应用B2、高考解读：函数是高考的重头戏，所占分值比较高，难度系数一般比较大，通常会有两到三个填空题，一道解答题，在其他解答题中还有出现的可能。

主要考查分类讨论的思想，分析问题的能力，逻辑思维能力和综合应用能力。

江苏卷对函数在解答题上基本不考“抽象函数”，2013年第20题，考查函数的单调性、零点个数问题；2014年第19题，考查函数与不等式；2015年第19题，讨论函数的单调性及函数零点确定参数值；2016年第19题，考查函数与不等式、零点问题，2017年第20题，考查函数与导数、函数的极值、零点问题.题目难度较大，多体现分类讨论思想.一、函数的性质★5．（5分）（2010•江苏）设函数f（x）=x（e x+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，则实数a=．★2．（5分）（2011•江苏）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是．★5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为．★★10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为．★5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是．★★11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．★5．（5分）（2018•江苏）函数f（x）=的定义域为．★★9．（5分）（2018•江苏）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．二、函数与不等式★★11．（5分）（2010•江苏）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．★★★13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为．★★11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．★★10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．★★★11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．三、函数与方程★★★13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．★★★13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．★★★14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．★★11．（5分）（2018•江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．四、函数与导数★★★14．（5分）（2010•江苏）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．★★8．（5分）（2011•江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是．★★11．（5分）（2011•江苏）已知实数a≠0，函数f（x）=，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为．★★★12．（5分）（2011•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P 作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．★★9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是．★★★13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．★★★11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．五、导数的综合应用★★★★20．（16分）（2010•江苏）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=，其中b为实数．（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；②求函数f（x）的单调区间．（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m 为实数，α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，求m的取值范围．★★★★19．（16分）（2011•江苏）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g （x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．★★★17．（14分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．★★★★18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f （x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．★★★★20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．★★★★19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．★★★★17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．★★★★19．（16分）（2018•江苏）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．高考一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。

2010-2018新课标全国卷分类汇编（函数解答题）（2018课标全国Ⅰ 21）（12分）已知函数()1ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．解：（1）由已知，得2'2211()1(0)a x ax f x x x x x-+=--+=-> 令2()1(0)g x x ax x =-+>，24a ∆=-① 当0∆≤，即22a -≤≤时，()0g x ≥，则'()0f x ≤⇒函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.② 当0∆>，即22a a <->或时，令1x =，2x =（i ）当2a <-时，则120x x <<∴当0x >时，()0g x >，则'()0f x <⇒函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. （ii ）当2a >时，则210x x >>∴当120x x x x <<>或时，()0g x >，则'()0f x <，()f x 单调递减；当12x x x <<时，()0g x <，则'()0f x >，()f x 单调递增.综上所述，当2a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时，函数()f x在(0,2a，()2a +∞上单调递减，在(22a a +上单调递增.（2）法一：由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=∴121x x =，不妨设120x x <<，则21x >11221212121211ln (ln )()()x a x x a x f x f x x x x x x x -+--+-=-- 121212ln ln 11x x a x x x x -=--+- 1221222ln ln 2ln 22x x x aa x x x x --=-+=-+-- ∴1222122()()122ln 0f x f x a x x x x x -<-⇔-+<-令1()2ln (1)g x x x x x=-+>由（1）知，()g x 在(1,)+∞上单调递减()(1)0g x g ∴<=，即22212ln x x x -+<0∴原命题得证，即1212()()2f x f x a x x -<--.法二：由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=∴121x x =，不妨设120x x <<，则21x >11221212121211ln (ln )()()x a x x a x f x f x x x x x x x -+--+-=-- 121212ln ln 11x x a x x x x -=--+- 1212ln ln 2x x ax x -=-+-∴12221121()()2ln 0f x f x xa x x x x x -<-⇔-+<-令21(1)x t t x =>，则2111221x t x x x x x ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩令()ln 1)g t t t =>则2'1()0t tt g t t -==< ()g t ∴在(1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g <=.∴原命题得证，即1212()()2f x f x a x x -<--.（2018课标全国Ⅱ理21）（12分）已知函数2()e x f x ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．21．解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e x h x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点． （i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．故24(2)1eah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0h >，即2e4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即2e4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即2e4a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e4a =．（2018课标全国Ⅲ理21）（12分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．解：（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1xf x x x'=+-+． 设函数()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+，则2()(1)x g x x '=+． 当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>．故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=．所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >． （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++．由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同．又(0)(0)0h f ==，故0=是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||m in{1,x <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点． 如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-．（2017课标全国Ⅰ21）（12分）已知函数()()2e 2e x xf x a a x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）由于()()2e 2e x xf x a a x =+--故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立． ()f x 在R 上单调递减②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件． 当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a=-=-+． 令()11ln g a a a =-+． 令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211'0g a a a=+>．从而()g a 在()0+∞，上单调增，而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a >若1a >，则()min 11ln 0f a g a a=-+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件． 若1a =，则min 11ln 0f a a=-+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件．若01a <<，则m i n 11l n 0f a a =-+<，注意到ln 0a ->．()22110e e ea a f -=++->． 故()f x 在()1ln a --，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭．且33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3333132ln 11ln 10a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根．又()f x 在()1ln a --，及3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．综上，01a <<．（2017课标全国Ⅱ理21）（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥． （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<． 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．（2）由（1）知 ()2ln f x x x x x =--，()22ln f 'x x x =--．设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-．当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x < ；当1(,)2x ∈+∞ 时，()0h'x >， 所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．又()2e0h ->，1()02h <，()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()0h x >；当()0,1x x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >． 因为()()f 'x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由0()0f 'x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-． 由()00,1x ∈得()014f x <． 因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点， 由()1e 0,1-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=．所以()220e2f x --<<．【考点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．（2017课标全国Ⅲ理21）（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<，求m 的最小值．【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k +<，*k ∈N一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为3．（2016课标全国Ⅰ，理21）（本小题满分12分） 已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【解析】：⑴ 由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意；② 若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增;当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减; 即：由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t =，21t =， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增； 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()()()'120x f xx ea =-+<，()f x 单调递减； 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()l n 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()l n 20fx f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解 而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a e a -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增即：0<恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点,此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞． ⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--,()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x = ()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．设0m >，构造代数式： ()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111m m h m e m -=++，0m >,则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．（2016课标全国Ⅱ，理21）（本小题满分12分）(Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20xx e x -++>；(Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax ag x x-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.试题解析：（Ⅰ）的定义域为.且仅当时，，所以在单调递增，因此当时，所以（II ）由（I ）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减； 当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是考点： 函数的单调性、极值与最值.（2016课标全国Ⅲ，理21)（本小题满分12分）设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 错误！未找到引用源。

专题03函数概念与基本初等函数1．【2019年新课标1文科03】已知a＝log20。

2，b＝20。

2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解:a＝log20。

2＜log21＝0，b＝20。

2＞20＝1，∵0＜0。

20.3＜0.20＝1，∴c＝0。

20。

3∈（0,1），∴a＜c＜b,故选：B．2．【2018年新课标1文科12】设函数f（x），则满足f（x+1）＜f(2x)的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1］B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．(﹣∞，0）【解答】解:函数f（x），的图象如图：满足f（x+1）＜f（2x），可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，解得x∈(﹣∞，0)．故选：D．3．【2016年新课标1文科08】若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c b【解答】解：∵a＞b＞0,0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c,故A错误;a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误;故选:B．4．【2015年新课标1文科10】已知函数f（x)，且f（a）＝﹣3,则f （6﹣a)＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，a≤1时，2α﹣1﹣2＝﹣3，无解；a＞1时,﹣log（a+1)＝﹣3，∴α＝7，2∴f（6﹣a）＝f（﹣1)＝2﹣1﹣1﹣2．故选：A．5．【2015年新课标1文科12】设函数y＝f（x)的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2)+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【解答】解:∵与y＝2x+a的图象关于y＝x对称的图象是y＝2x+a的反函数,x﹣a（x＞0），y＝log2即g（x)＝log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，∴f（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣log2（﹣x)+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）＝1,∴﹣log22+a﹣log24+a＝1，解得，a＝2,故选：C．6．【2014年新课标1文科05】设函数f（x），g(x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是( ）A．f（x）•g（x)是偶函数B．|f(x）｜•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x)｜是奇函数D．｜f（x）•g（x）|是奇函数【解答】解：∵f(x)是奇函数，g（x）是偶函数，∴f(﹣x）＝﹣f(x）,g(﹣x）＝g（x），f（﹣x）•g（﹣x)＝﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x)|•g（﹣x）＝|f（x)｜•g（x)为偶函数，故B错误，f(﹣x）•｜g（﹣x）｜＝﹣f（x)•｜g（x)|是奇函数,故C正确．｜f（﹣x)•g（﹣x)｜＝|f（x）•g(x）|为偶函数,故D错误，故选:C．7．【2013年新课标1文科12】已知函数f（x），若|f（x）｜≥ax，则a 的取值范围是( )A．（﹣∞,0］B．（﹣∞，1] C．[﹣2,1] D．［﹣2，0］【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（x）｜的图象,和函数y＝ax的图象，由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y＝｜f(x)｜在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．8．【2012年新课标1文科11】当0＜x时,4x＜log a x，则a的取值范围是（) A．（0,）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解:∵0＜x时,1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x时恒成立∴解得a＜1故选：B．9．【2011年新课标1文科10】在下列区间中,函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（)A．(,）B．（，0）C．（0,）D．(，）【解答】解：∵函数f（x）＝e x+4x﹣3∴f′（x）＝e x+4当x＞0时，f′（x）＝e x+4＞0∴函数f（x)＝e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）＝e0﹣3＝﹣2＜0f(）1＞0f（）20∵f()•f(）＜0，∴函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，)故选：A．10．【2011年新课标1文科12】已知函数y＝f(x）的周期为2，当x∈［﹣1，1]时f（x）＝x2,那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝｜lgx｜的图象的交点共有（)A．10个B．9个C．8个D．1个【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y＝f（x）的周期为2，在［﹣1，0］上为减函数,在［0，1]上为增函数∴函数y＝f（x）在区间［0，10]上有5次周期性变化,在[0，1］、［2，3]、［4,5］、[6，7］、[8,9］上为增函数，在[1，2]、［3,4］、［5，6］、［7,8]、[9,10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y＝|lgx｜,在区间（0,1］上为减函数,在区间[1,+∞）上为增函数，且当x＝1时y＝0；x＝10时y＝1，再结合两个函数的草图,可得两图象的交点一共有10个，故选:A．11．【2011年新课标1文科03】下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1 C．y＝﹣x2+4 D．y＝2﹣｜x|【解答】解:对于A．y＝2x3,由f（﹣x）＝﹣2x3＝﹣f(x），为奇函数,故排除A；对于B．y＝|x｜+1，由f(﹣x）＝|﹣x｜+1＝f（x),为偶函数,当x＞0时，y＝x+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣x2+4，有f（﹣x）＝f（x)，是偶函数,但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣|x|，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，当x＞0时，y＝2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．12．【2010年新课标1文科06】如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P(，)，角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）0A．B．C．D．【解答】解：通过分析可知当t＝0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A,D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B,故选：C．13．【2010年新课标1文科09】设偶函数f（x）满足f(x）＝2x﹣4（x≥0），则｛x｜f（x ﹣2)＞0｝＝（）A．{x｜x＜﹣2或x＞4} B．｛x｜x＜0或x＞4｝C．{x|x＜0或x＞6｝D．{x｜x＜﹣2或x＞2｝【解答】解：由偶函数f(x）满足f（x)＝2x﹣4(x≥0)，可得f（x）＝f（｜x|）＝2|x|﹣4，则f（x﹣2）＝f(｜x﹣2|)＝2｜x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2｜x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2｜＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．14．【2010年新课标1文科12】已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f(b）＝f（c）,则abc的取值范围是（)A．(1，10）B．（5，6) C．(10，12) D．（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c,则ab＝1，则abc＝c∈（10，12）．故选：C．15．【2018年新课标1文科13】已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a ＝．【解答】解：函数f（x)＝log2(x2+a），若f（3)＝1，可得:log2(9+a)＝1，可得a＝﹣7．故答案为：﹣7．16．【2014年新课标1文科15】设函数f（x），则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．【解答】解:x＜1时，e x﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，2，∴x≤8,∴1≤x≤8,综上，使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是x ≤8． 故答案为:x ≤8．17．【2012年新课标1文科16】设函数f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，则M +m＝ ．【解答】解：函数可化为f （x )，令,则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f （x ）的最大值与最小值的和为1+1+0＝2．即M +m ＝2． 故答案为:2．本专题考查的知识点为:函数，函数的单调性与最值,函数的奇偶性与周期性，幂函数与二次函数，指数函数，对数函数,分段函数，函数的图象，函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等。

2018年高考复习专题-函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。

（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。

（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。

③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数 ()2143432-+--=x x xy 的定义域。

例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。

④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）i（2+3i）=（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7}3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.36．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．28．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+49．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣112．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。