单级抽油杆柱轴向力的组成当游梁机工作时，任意井深处抽油杆柱的轴向力均由以下几项组成： 1)抽油杆柱自重，作用方向垂直向下；2)油井液体对抽油杆柱的液体浮力，作用方向垂直于抽油杆柱轴线向上； 3)油管内液柱在抽油泵柱塞有效面积(即柱塞截面积减去抽油杆截面积)上所产生的液体力，即油柱重，其方向垂直于柱塞表面向下；4)油管外液柱对柱塞下表面的浮力，其大小取决于泵的沉没度，方向垂直于柱塞表面向上；5)抽油杆柱于液柱运动所产生的惯性力。
惯性力正比于悬点运动的加速度，方向与加速度方向相反；6)抽油杆柱与液柱运动产生的振动力，其大小和方向都是变化的；7)各运动副之间的摩擦力，包括：泵筒与柱塞之间、抽油杆柱与油管之间的半干摩擦力、抽油杆柱与油柱之间、油柱与油管之间以及液体流过抽油泵游动阀时的液体摩擦力，它们均与抽油杆的运动方向相反。
上述(1)、(2)、(3)、(4)四项与抽油杆柱的运动无关，称为静载荷；(5)、(6)、(7)三项力与抽油杆柱的运动有关，称为动载荷。
1.单级抽油杆柱轴向力的计算方法下面将列出上述各力的计算公式，其公式中的各符号意义参考见本章后面的说明。
1)半干摩擦力14094.0-=δpM D P (2－1)2)液体通过泵阀时的水力阻力对柱塞底部所形成的向上的推力 先计算液体的雷诺数cp l e u d D s n .R 06352⨯⨯⨯=ρ (2－2)流量系数28.0=u (当4103⨯≤e R 时)n s d D u d u p l c ⨯⨯⨯⨯⨯=2020191ρ(当4103⨯>e R 时)下冲程液体通过游动阀时的水力阻力产生的向上推力L pp kld )n s (A)A A (A u n .P ρ⋅⋅⋅+⋅=2232172951 (2－3)上冲程液体通过游动阀时的水力阻力产生的向上推力L p lu v A A u P ρ⋅⋅⋅=220221 (2－4)3)作用于抽油杆柱底部液体向上的浮力gH A P L r f ⋅⋅⋅=ρ (2－5)4)液柱与抽油杆柱之间的摩擦力抽油杆柱与液柱之间的摩擦力主要与杆柱的运行速度以及油液本身的物性有关，其最大值可由下面的近似公式来确定：max p c lr v )m (m ln )m (m L u P ⋅--+-⋅⋅=1112222π (2－6)上述lr P 的计算中并未考虑抽油杆接箍的附加阻力，通常采用实验资料确定附加阻力。
5)杆柱自重g A L W r p r r ⋅⋅⋅=ρ (2－7)由此可得单位长度的杆柱自重prr L W q =(2－8) 6)液柱重量指泵活塞至地面这段距离的液柱(油水)重量g )A A (L W r p p L L ⋅-⋅⋅=ρ (2－9)7)惯性力惯性力包括抽油杆柱和液柱两部分，即P 杆惯和P 液惯。
如果略去抽油杆柱和液柱的弹性影响，可以认为抽油杆柱以及液柱各点的运动规律和悬点完全一致。
所以，P 杆惯和P 液惯的大小和悬点加速度A a 大小成正比，而作用方向和后者相反。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅ξA L A r a g WP a g W P ＝＝液惯杆惯 (2－10)式中ξ是考虑油管过流断面扩大引起油柱加速度降低的系数。
00A A A A p --=管ξ，式中的管A 表示油管过流断面的面积。
表2－1中给出了不同油管直径下的油管过流断面面积和油管管壁截面积。
由式(2－10)可见，为了求出P 杆惯和P 液惯，必须首先搞清楚悬点加速度A a 的大小和变化规律，如图2－1所示为游梁式抽油机的运动简图。
图中：OD=r 为曲柄长；DB=L 为连杆长；OB ＝K 为游梁后臂长；OA ＝1K 为游梁前臂长；ω为曲柄旋转角速度；ϕ为曲柄顺时针转动时，其轴线和垂直线的交角。
图2－1游梁式抽油机运动简图由图可见，悬点A 的运动和游梁节点B 的运动具有下列关系：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⋅=⋅=⋅=K K a a K K V V K K S S B A B A B A 111 (2－11)假设连杆长度L 和游梁后臂的长度K 都比曲柄半径r 大得很多，即r/L 和r/K 都趋近于零时，就可以略去连杆和游梁摆动的影响，近似地认为B 点作直线简谐运动。
这样，B 点的运动规律和往复泵的简谐运动规律相同，即⎪⎭⎪⎬⎫==-=ϕωϕωϕcos r a sin r V )cos (r S B B B 21 (2－12)联立(2－11)和(2－12)，可得⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⋅=⋅=⋅-=K K cos r a K K sin r V K K )cos (r S A A A 12111ϕωϕωϕ (2－13)8)振动力[]p L p LA P g H L W ⋅+⋅-='0)(ρ (2－14)抽油杆柱又细又长，很像一根长弹簧。
在长弹簧下端突然加一个重物，就会产生振动。
抽油杆柱也一样。
在上冲程开始的一瞬间，游动阀关闭，固定阀打开。
在抽油杆柱和油管柱静变形期内，油管重量逐渐加到柱塞和抽油杆柱上，这时柱塞和泵筒没有相对移动，所以抽油杆柱不会产生振动。
而当静变形终了时，抽油杆柱和柱塞突然带动油柱运动，抽油杆柱就会产生一次振动。
在下冲程开始时，与上冲程相似，在静变形结束后，柱塞和抽油杆柱突然卸去油柱重量，又产生一次振动。
就这样，上下循环一次，产生两次振动。
由于井下存在各种阻力，使振动的振幅在冲程过程中逐渐变小。
但是，当悬点的运动频率即强迫振动频率和抽油杆柱－油柱弹性系统的自振频率相同或成整数倍时，就会产生共振现象，必须正确地选择悬点的冲程次数。
2.单级抽油杆柱中性点位置的确定由前面的分析可知，在上冲程时，抽油机带动抽油杆向上运动，整个抽油杆全部受拉。
在下冲程时，由于各力作用的结果，使得抽油杆上部受拉、下部受压，这样，在抽油杆的受拉受压之间存在一个点，该点即不受拉也不受压，受力为零，该点称为中性点。
中性点以下的杆柱受力主要存在以下几种形式：图2-2中性点以下杆柱受轴向力示意图1)单位长度抽油杆柱的自重力r q 及惯性力，此处的惯性力取平均值为g a q A r /)(⋅；2)井液与单位长度抽油杆柱之间的摩擦力lr q ，计算时取plrlr L P q =； 3)抽油泵柱塞与衬套之间的半干摩擦M P ；4)井口回压对抽油杆柱的作用bd P ，下冲程过程中很小，可以忽略不计； 5)抽油杆柱在井液中的浮力f P ； 6)井液通过游动阀时的阻力Ldown P 。
根据以上分析所建立的抽油杆柱在下冲程中抽油杆柱中性点以下的受力模型见图2-3。
图中各符号的含义见前面受力分析中的符号意义。
由图2-2，以中性点以下的部分杆柱为研究对象。
根据静力平衡原理，可列出抽油杆柱在下冲程过程中距泵以上x L 距离处轴向力轴F 的计算公式为：f Ld M x lr r r r P P P L )qg /a q q F -----＝轴 (2－15)当0＝轴F 时，所求出的x L 即为中性点的位置。
由式(2－15)可知，0＝轴F ，即0)/=-----f Ld M x lr r r r P P P L q g a q q ，求解可得lrr r r f Ld M x q g /a q q P P P L --++=(2－16)3.单级杆柱失稳方程的建立在研究斜直井套管柱、油管柱、连续管和抽油杆的稳定性时，略去接头的影响，将整个管柱视为无限长的等截面直管。
基本假设如下:(1)杆管柱处于线弹性变形状态;(2)杆管柱横截面为圆形或圆环形;(3)杆管柱被压扭缩成螺旋状或正弦状，并与井壁连续接触;(4)井壁为直圆柱形;(5)忽略杆管柱与约束井壁之间的滑动摩擦力;(6)杆管柱沿其自身轴线的长度不变;(7)杆管柱绕自身轴线旋转;(8)略去一切动力效应;(9)略去杆管柱的温度变化;(10)略去剪力对杆管柱变形的影响，杆管柱的稳定、正弦屈曲和螺旋屈曲三种稳定性状态如下图所示。
图2-3油气井杆管的三种稳定状态当轴向力br T q EIF αsin 2<时 式中，r F 为轴向压力，EI 为抗弯强度，q 为线浮重，α为井斜角，b T 为井径与管径之差的一半。
则杆管柱处于直线稳定状态。
当轴向力br b T q EIF T q EIααsin 22sin 2<<时 杆管柱处于正弦屈曲状态。
当轴向力br T q EIF αsin 22>时 杆管处于螺旋屈曲状态。
由上述分析可知，下冲程过程中，在杆柱中性点以下的部分会因为受压弯曲失稳造成杆管偏磨。
其临界方程的建立如下： 1)正弦弯曲时 (1)活动铰支时设抽油杆柱受力弯曲的一段为一跨，将失稳杆柱的两端简化成活动铰支。
①力学模型由上节分析可知抽油杆柱在运动过程中，发生失稳的杆柱局限在中性点以下到泵的这段距离，而中性点到泵的这段距离又随轴向力的增大而增大。
下面以中性点以下这段杆柱为研究对象，图2-4抽油杆扶正器设为活动铰支时的配置示意图总长度为x L ，每跨油管弯曲的距离设为i L 。
如图2－4所示。
取图2－4中抽油杆弯曲的任意以跨进行分析，其受载变形情况如图2－5所示。
图2-5杆柱屈曲状态示意图②临界状态方程的建立根据有关的力学知识，在杆柱由直变弯的过程中，其弹性应变能增加了U ∆，同时由于力作用点的变化而所作的总功为W ∆，则系统总势能增量为W U ∆+∆=∏∆。
当作用在顶部的力b F 较小时，系统总势能增量∏∆总是正值，即0>∆+∆=∏∆W U ，此时杆柱的直线平衡形式是稳定的。
如果超过某以数值之后，则系统总势能增加量∏∆变为负值，即0<∆+∆=∏∆W U ，此时杆柱的直线平衡形式是不稳定的。
当力达到临界力时，在微小扰动条件下系统总势能不变，即0=+=∏W U ∆∆∆ (2－17)此时弹性系统将由稳定平衡过渡到不稳定平衡，这种状态就是临界状态。
为了求得杆柱的临界力，设杆柱偏离平衡位置后满足边界约束的近似挠度曲线形状为∑∞==1sinn iin i L x n A y π 式中，n A 为待定系数；如图2－5所示，i x 表示横截面距离以上端铰支点的位置，m ；i y 为挠度，m ；i L 为抽油杆发生弯曲时一跨的距离，m 。
取上述三角级数的第一项所得的近似结果与用静力法所求的精确解误差较小。
故此处仅取其第一项作为挠度曲线的近似解，即∑∞==1sinn iin i L x n A y π (2－18) 式(2－18)的一阶及二阶导数分别为i i i i i L x L A dx dy ππcos 1⋅= i i i ii L x L A x d y d ππsin )(122⋅-= 边界条件：00==x y ；0==L x y ；00=''=x y ；0=''=L x y 。
