2019年高考数学理科复习§3.3 定积分与微积分基本定理

①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；
②计算 F(b)－F(a)．
(2)利用定积分的几何意义求定积分
当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．
1
如：定积分 0
1－x2dx 的几何意义是求单位圆面积的14，所以10
1－x2dx＝π4.
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2．定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲 边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负；当位于 x 轴上方 的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分 的值为零． (2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是 路程．
2.∫e12x＋1xdx＝(
)
A．e2－2
B．e－1
其原函数
是什么?
C．e2
D．e＋1
解析：
∫e12x＋1xdx＝(x2＋ln
x)|e1＝e2.
积分上下限
答案： C
与分段函数
3．设 f(x)＝2xx2
x x
的定义域
，则
1 −1
������(������)dx
23.
答案：
1－
3 2
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解析： 由图象可知 A＝1，T2＝23π－－π3＝π，所以 ω＝1，
f(x)＝sinx－π6.图中其与 x 轴的交点横坐标为6π，所以图中的阴影部分的
面积为
π 6
0
－sin������－π6dx＝cosx－π6｜0π6 ＝1－
b
么从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝av(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 x
b
＝a 移动到 x＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝aF(x)dx.

答案：2
11.一条水渠横断面为抛物线型，如图，渠宽AB=4 m，渠深CO=2 m， 12.当水面距地面0.5 m时，求水的横断面的面积.
解析：如图,建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=2py(p>0), 把点(2,2)代入抛物线得2p=2,∴x2=2y, 将点(x,1.5)代入得x=±3,
S 3 (1.5 1x2 )dx
dx
2 (4 x2 )dx
3 (x2 4)dx
0
0
2
(4x
1 3
x3 )
|02
(1 3
x3
4x) |32
23 . 3
题型三 定积分的几何意义
【例3】利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积. (1)y=0,y= x,x=2; (2)y=x-2,x=y2.
分析 先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿—莱布尼 兹公式计算.
【例4】列车以72 km/h的速度行驶，当制动时，列车获得加速度为a=0.4 m/s2,问:列车应在进站前多少秒的时候，以及离车站多远处开始制动? 分析 因为列车停在车站时速度为0,故应先求出速度的表达式之后, 令v=0,求出t,再根据v和t应用定积分求出路程.
解 列车的初速度v0=72 km/h=20 m/s.
2
xdx
2 x2dx
21 dx
1
x
1
1
1x
x2 2
|12
x3 3
|12
ln
x |12
3 2
7 3
ln 2
ln 2 5 . 6
(4)设y= 16 6，x 则x(2x-3)2+y2=25(y≥0).
∵ 3 16 6x表示x2半dx径为5的圆的四分之一的面积, 2

(2)‫׬‬−55 (3x3+4sin x)dx.
解析
(1)根据定积分的几何意义,可知∫
1 0
1−(������−1)2dx
表示的是圆(x-1)2+y2=1的面积的14(如图中阴影部分).
故∫
1 0
1−(������−1)2dx=π4.
理科数学 第三章：导数及其应用
(2) 设y=f(x)=3x3+4sin x, 则f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sin x)=-f(x),所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是 奇函数. 所以‫׬‬−05 (3x3+4sin x)dx=-∫ 05(3x3+4sin x)dx. 所以‫׬‬−55 (3x3+4sin x)dx=‫׬‬−05 (3x3+4sin x)dx+∫ 05(3x3+4sin x)dx=0.
理科数学 第三章 ：导数及其应用
示例4 一物体A以速度v(t)=t2-t+6作直线运动,则当时间由t=1变化到t=4时, 物体A运动的路程是 A.26.5 B.53 C.31.5 D.63
思路分析 利用微积分基本定理求解.
解析 答案
S=‫׬‬14 (t2-t+6)dt=(13t3-12t2+6t) 14=(634-8+24)-(13-12+6)=31.5. C
物体从时刻t=a到t=b所经过的路程s=-‫׬‬������������ v(t)dt. (2)变力做功
物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与力F(x)相同的方向从
x=a移动到x=b(a<b),则变力F(x)所做的功W=‫׬‬������������ F(x)dx.

1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成
n 个小区间，在每个区间[xi
n n
b－a xi]上取一点 ξi(i＝1， 2， …， n)， 作和式∑ f(ξi)Δ xi＝∑ f(ξi)， －1， i＝1 i＝1 n 当 n→＋∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x) 在区间 [a ， b]上定积分，记作 f(x)dx ，即 b－a n f(ξi)．
－a 0
a (4)若 f(x)是奇函数，则 f(x)dx＝0.
－a
答案
(1)√
(2)× (3)√
(4)√
2 1 x 2．(课本习题改编) (e ＋3x )dx 等于(
0
)
A．1 C．e
答案 解析 C
B．e－1 D．e＋1
1 x 2 x 3 1 0 1 (e ＋3x )dx＝(e ＋x ) ＝(e ＋1)－e ＝e，故选 0

0

0

1
2 2 1 ∴ f(x)dx＝ f(x)dx－ f(x)dx＝－1－1＝－2.
1 0 0
6．(2015· 天津)曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成的封闭图形的 面积为________．
答案 解析 1 6 两曲线的交点坐标为(0，0)，(1，1)，所以它们所围成的
第4 课时
定积分与微积分基本定理
…2018 考纲下载… 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解 定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义． 请注意 本节为新增内容，高考中多以选择填空题形式考查，主要借 助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识．
课前自助餐
定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－