天津市北辰区2021届新高考数学二模试卷含解析

2021年天津市五区县高考数学二模试卷〔文科〕一、选择题〔本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．i 是虚数单位，复数 =〔 〕A ．B ．C ．D ．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员〔简称驾驶员〕对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查． 假设四个社区驾驶员的总人数为 N ，其中甲社区有驾驶员96人．假设在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，那么这四个社区驾驶员的总人数N 为〔〕A ．101B ．808C ．1212D ． 20213．命题p ：? x∈R，sin2x≤1，那么〔〕A ．￢p ：?x 0∈R，sin2x 0≥1B ．￢p ：?x∈R，sin2x≥1C ．￢p ：?x 0∈R，sin2x 0＞1D ．￢p ：?x∈R，sin2x ＞14．a=log2，b=log 2，，那么a ，b ，c 的大小关系为〔〕A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜cF PF 为圆心，以 | F 1F2| 5．双曲线C 的左右焦点为F1，2，双曲线右支上任意一点，假设以 1为半径的圆与以P 为圆心，|PF 2|为半径的圆相切，那么C 的离心率为〔〕A ．B ．2C ．4D ．6．如图，圆O 的直径AB长度为10，CD 是点C 处的切线，AD⊥CD，假设BC=8，那么CD=〔〕A ．B ．C ．D ．7f x 〕 =sin2x+cos2x 的图象关于点〔 ab 〕成中心对称图形，假设 a．函数 〔+ ， ∈〔﹣ 0 〕那么ab= 〔 〕， +A ．πB ．C ．D ．08fx=gx=ax 3a00 ，假设函数 〕﹣ x1∈[，．函数〔〕〔 +〔＞〕，假设对?1x 2∈[0， ]，使得f 〔x 1〕=g 〔x 2〕成立，那么实数 a 的取值范围是〔〕]，总?第1页〔共19页〕A．〔﹣∞，6]B．[6，+∞〕C．〔﹣∞，﹣4]D．[﹣4，+∞〕二、填空题：本大题共/6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..2xa=0无实根的概率901a x的一元二次方程x﹣+．从区间[，]上随机取一个实数，那么关于为_______．10．一个几何体的三视图〔单位：m〕如下图，那么此几何体的外表积为_______m211．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的N的值是10，那么输出的S的值是_______．12．函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且f〔x〕在[0，+∞〕上单调递减，假设f〔m〕＞f〔1﹣m〕，那么实数m的取值范围是_______．13O是△ABC的外接圆的圆心，假设AC=3，?=2，那么AB=_______．．14f x〕=，假设函数y=f x〕﹣ax1a．函数〔〔+恰有两个零点，那么实数的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤15．甲、乙、丙三种食物的维生素及本钱入戏表实数：食物类型甲乙丙维生素C〔单位/kg〕300500300维生素D〔单位/kg〕700100300本钱〔元/kg〕543某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．第2页〔共19页〕〔1〕设所用食物甲、乙、丙的质量分别为 xkg ，ykg ，100﹣x ﹣ykg 〔x ≥0，y ≥0〕，试列出x ，y 满足的数学关系式，并画出相应的平面区域； 〔2〕用x ，y 表示这100kg 混合食物的本钱z ，求出z 的最小值．16ABC的三个内角A， B ， C所对的边分别为abcacsinAcsinC﹣．△，，，且〔﹣〕+bsinB=0．〔1〕求B 的值；2 〕求 sinAsinC 的最大值及此时 A ， C 的值．〔 +17．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，PA ⊥BC ，平面PACD 为直角梯形，∠PAC=90°，PD ∥AC ，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120° 1〕求证：PA ⊥AB ；2〕求直线BD 与平面PACD 所成角的正弦值； 3〕求二面角D ﹣BC ﹣A 的平面角的正切值．18．椭圆 C ： +=1〔a ＞b ＞0〕上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆C 的短轴为直径的圆 O 经过两个焦点， A ，B 是椭圆C 的长轴端点． 1〕求椭圆C 的标准方程和圆O 的方程；2〕设P 、Q 分别是椭圆C 和圆O 上位于y 轴两侧的动点，假设直线PQ 与x 平行，直线AP 、 BP 与y 轴的交点即为 M 、N ，试证明∠MQN 为直角．（ 19．函数 f 〔x 〕=ax 2﹣lnx 〔a ∈R 〕1〕当a=1时，求曲线y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕的切线方程； 2〕假设?x ∈〔0，1]，|f 〔x 〕|≥1恒成立，求a 的取值范围．20 a n }与{b }满足：①a b 1=b 0 ② k 2 ﹣+b ﹣ ≥0 ，那么a， ， 当 ≥ 时，假设 ．数列{ ＜ ＞﹣1，b k = ；假设a k ﹣1+b k ﹣1＜0，那么a k = ，b k =b k ﹣1．〔Ⅰ〕假设a=﹣1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；〔Ⅱ〕设 S a b 2﹣ab a S a b 表示〕；n =〔 b 1﹣1〕+〔 2〕++〔 n ﹣n 〕，求 n 〔用 ，第3页〔共19页〕〔Ⅲ〕假设存在n ∈N *，对任意正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k ﹣1＞b k ，求n 的最大值〔用a ，b表示〕．第4页〔共19页〕2021年天津市五区县高考数学二模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．i是虚数单位，复数=〔〕A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把分子利用虚数单位i的运算性质化简，然后分子分母同时乘以分母的共轭复数化简得答案．【解答】解：，应选：D．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员〔简称驾驶员〕对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．假设在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，那么这四个社区驾驶员的总人数N为〔〕A．101 B．808C．1212D．2021【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12∴每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808应选B．3．命题p：?x∈R，sin2x≤1，那么〔〕A．￢p：?x0∈R，sin2x0≥1B．￢p：?x∈R，sin2x≥1C．￢p：?x0∈R，sin2x0＞1D．￢p：?x∈R，sin2x＞1【考点】命题的否认．【分析】根据全称命题的否认是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，那么命题的否认为：：?x0∈R，sin2x0＞1，应选：C．第5页〔共19页〕4．a=log2，b=log 2，，那么a ，b ，c 的大小关系为〔 〕A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【考点】对数值大小的比拟．【分析】由条件利用对数函数和指数函数的单调性能比拟 a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵﹣1=＜a=log2＜log1=0，∴b=log 0.3=a 2＜，0＜＜0=1， b ＜a ＜c ． 应选：D ．5．双曲线 F PF为圆心，以|F 1F 2|C 的左右焦点为F 1， 2，双曲线右支上任意一点，假设以 1为半径的圆与以 P 为圆心，|PF 2|为半径的圆相切，那么C 的离心率为〔〕A ．B ．2C ．4D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据两圆相切的等价条件，结合双曲线的定义建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：设两圆相切时的切点为 A ， |F 1F 2|=c ，∴PA=c ，|PF 1|﹣|PF 2|=|PA|+|AF 1|﹣|PF 2|=|AF 1|=2a ，∵|AF 1|=c ， c=2a ，即离心率 e= =2， 应选：B ．第6页〔共19页〕6．如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，假设BC=8，那么CD=〔〕A．B．C．D．【考点】弦切角．【分析】利用弦切角定理可得∠DCA=∠CBA，分别求出其余弦值，即可解得CD的值．【解答】解：∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，cos∠CBA==，又AD⊥CD，cos∠DCA===，∵由可得：∠DCA=∠CBA，∴cos∠DCA=cos∠CBA，可得：=，进而解得：CD=．应选：D．7．函数f〔x〕= sin2x+cos2x+的图象关于点〔a，b〕成中心对称图形，假设a∈〔﹣，0〕那么a+b=〔〕A．πB．C．D．0【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用两角和的正弦化简，由相位落在x轴上求得x值，可得a，b的值，那么答案可求．【解答】解：∵f〔x〕=sin2x+cos2x+=．由，得x=．∵a∈〔﹣，0〕，取k=0，得x=．又f〔x〕的图象关于点〔a，b〕成中心对称图形，∴，那么a+b=0．应选：D．第7页〔共19页〕8．函数f〔x〕=，假设函数g〔x〕=ax﹣+3〔a＞0〕，假设对?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，]，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，那么实数a的取值范围是〔〕A ．〔﹣∞6]B6∞〕C∞4D4∞，．[，+．〔﹣，﹣]．[﹣，+〕【考点】全称命题．【分析】函数f〔x〕=，当时，f〔x〕∈.时，f〔x〕=，利用导数研究函数的单调性可得：f〔x〕∈．可得?x1∈[0，1]，f〔x1〕∈[01gx〕=ax3a0〕在[]上单调递增，由于对，]．由于函数〔﹣+〔＞，?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，]，使得〔fx1〕=g〔x2〕成立，可得[0，1]∈{g〔x〕|x∈}，即可得出．【解答】解：函数f〔x〕=，当时，f〔x〕∈．时，f〔x〕=，f′〔x〕==＞0，∴函数f〔x〕在上单调递增，∴ f〔x〕∈．?x1∈[0，1]，∴f〔x1〕∈[0，1]．gx〕=ax﹣3a0〕在[]上单调递增，由于函数〔+〔＞，假设对?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，]，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，∴[0，1]∈{g〔x〕|x∈}，∴，解得a≥6．应选：B．二、填空题：本大题共/6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..第8页〔共19页〕2xa=0 无实根的概率91ax 的一元二次方程x﹣+．从区间[ ，]上随机取一个实数，那么关于为 ．【考点】几何概型．【分析】根据关于 x 的一元二次方程x 2﹣x+a=0无实根，得到△=1﹣4a ＜0，解得：a ＞，从而求出符合条件的事件的概率．x 2xa=0【解答】解：假设关于 x的一元二次方程 无实根，﹣+那么△=1﹣4a ＜0，解得：a ＞，“0 1]上随机取一个实数 ax的一元二次方程x 2xa=0〞设事件从区间[， ，那么关于﹣+ 无实根为事件A ，那么P 〔A 〕== ，故答案为：．10．一个几何体的三视图〔单位：m 〕如下图，那么此几何体的外表积为12π+12m 2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是半个圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的侧面积公式、圆的面积公式和三角形的面积公式求出此几何体的外表积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆锥，且底面圆的半径 r=3m 、圆锥的高是4m ，那么母线l= =5〔m 〕，∴此几何体的外表积S===12π+12〔m2〕，故答案为： 12π12．+11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的N 的值是10，那么输出的 S 的值是．第9页〔共19页〕【考点】程序框图．【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得N=10，S=0，k=1执行循环体，S=，满足条件k≤10，执行循环体，k=2，S=+，满足条件k≤10，执行循环体，k=3，S=++，满足条件k≤10，执行循环体，k=11，S=++++，不满足条件k≤10，退出循环，输出S=+=1++〔﹣〕+〔﹣〕++〔﹣〕+〔﹣〕=．故答案为：．12．函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且f〔x〕在[0，+∞〕上单调递减，假设f〔m〕＞f〔1﹣m〕，那么实数m的取值范围是〔﹣∞，〕．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性可得|m|＜|1﹣m|，由此求得m的范围．【解答】解：∵函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，∴f〔x〕的图象关于y轴对称．∵f x〕在[，+∞〕上单调递减，∴f〔x〕在〔﹣∞0上单调递增，〔，]假设f〔m〕＞f〔1﹣m〕，那么|m|＜|1﹣m|，∴m＜，故答案为：．第10页〔共19页〕13．O是△ABC的外接圆的圆心，假设AC=3，? =2，那么AB=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把=代入? =2，再转化为与的等式求解．【解答】解：如图，? =，∵AC=3，∴，那么，∴AB=．故答案为：．14．函数f〔x〕=，假设函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，那么实数a的取值范围是a≤0或1≤a＜2．【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数f〔x〕=的图象，函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，即函数y=f〔x〕与y=ax﹣1恰有两个交点，利用图象，即可得出结论．【解答】解：函数f〔x〕=，图象如下图，函数y=f x〕﹣ax1y=f x〕与y=ax﹣1恰有两个交点，〔+恰有两个零点，即函数〔由图可得a≤0时，函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，1，1〕代入y=ax﹣1得a=2，∴1≤a＜2．函数y=f〔x〕与y=ax﹣1恰有两个交点，综上所述，a≤0或1≤a＜2．故答案为：a≤0或1≤a＜2．第11页〔共19页〕三、解答题：本大题共6小题，总分值80分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤15．甲、乙、丙三种食物的维生素及本钱入戏表实数：食物类型甲乙丙维生素C〔单位/kg〕300500300维生素D〔单位/kg〕700100300本钱〔元/kg〕543某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．〔1〕设所用食物甲、乙、丙的质量分别为xkg，ykg，100﹣x﹣ykg〔x≥0，y≥0〕，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；〔2〕用x，y表示这100kg混合食物的本钱z，求出z的最小值．【考点】简单线性规划．【分析】〔1〕根据条件建立不等式关系，即可作出对应的平面区域．2〕根据线性规划的应用进行平移求解即可．【解答】解：〔I〕因为x≥0，y≥0，那么，化简为，结合100﹣x﹣y≥0，可列出x，y满足的数学关系式为，在xOy平面中，画出相应的平面区域如下图；II〕这100kg混合食物的本钱z=5x+4y+3=2x+y+300，平面区域是一个三角形区域，顶点为A〔，25〕，B〔50，50〕，C〔75，25〕，目标函数z=2x+y+300在经过点A〔，25〕时，z取得最小值400元．第12页〔共19页〕16ABC的三个内角 A， B ， C 所对的边分别为 a bc acsinAcsinC﹣．△，，，且〔﹣〕 +bsinB=0．〔1 〕求B 的值； 2 〕求 sinA sinC 的最大值及此时 A ， C 的值．〔 +【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】〔1〕根据正弦定理化简的式子， 再由余弦定理求出cosB ，由内角的范围求出B ；〔2〕由〔I 〕和内角和定理求出C ，代入sinA+sinC 后利用两角和与差的正弦公式化简，利用正弦函数的性质求出式子sinA +sinC 的最大值，以及此时 A ，C 的值．1a c 〕 sinAcsinC ﹣ bsinB=0 ，【解答】解：〔〕由得，〔﹣+根据正弦定理得〔 ac ac 2 ﹣ b 2﹣〕+=0，化简得b 2=a 2+c 2﹣ac由余弦定理得 b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，所以cosB= ，由0＜B ＜π得B=〔II 〕由〔I 〕得：C=π﹣A ﹣B=，sinA sinC=sinAsin〕++〔==当时，所以当A= 时，且C= ，sinA+sinC 取得最大值．（ 17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥BC ，平面PACD 为直角梯形，∠PAC=90°，PD ∥AC ，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120° 1〕求证：PA ⊥AB ；2〕求直线BD 与平面PACD 所成角的正弦值； 3〕求二面角D ﹣BC ﹣A 的平面角的正切值．第13页〔共19页〕【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】〔Ⅰ〕由PA⊥BC，PA⊥AC，得到PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥AB．〔Ⅱ〕过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，那么∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角，由此能求出直线BD与平面PACD所成角的正弦值．〔Ⅲ〕过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，那么∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BC﹣A 的平面角的正切值．【解答】〔本小题总分值13分〕证明：〔Ⅰ〕因为PA⊥BC，∠PAC=90°，即PA⊥AC，因为AC，BC交于点C，所以PA⊥平面ABC，而AB?底面ABC，所以PA⊥AB．解：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，平面PACD⊥平面ABC，过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，那么∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角；取AC的中点E，连接BE，DE，那么DE∥PA；在△ABE中，AB=AE=1，∠BAE=120°，所以BE==，，所以因为DE∥PA，所以DE⊥平面ABC，BD==2，在直角三角形△BDM中，，即直线BD与平面PACD所成角的正弦值为．〔Ⅲ〕过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，那么∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，在△EBC中，，那么BC==，，，，即二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值为．第14页〔共19页〕18．椭圆 C ： + =1〔a ＞b ＞0〕上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆 O 经过两个焦点， A ，B 是椭圆C 的长轴端点．1〕求椭圆C 的标准方程和圆O 的方程；2〕设P 、Q 分别是椭圆C 和圆O 上位于y 轴两侧的动点，假设直线PQ 与x 平行，直线AP 、BP 与y 轴的交点即为 M 、N ，试证明∠MQN 为直角．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕运用椭圆的定义和a ，b ，c 的关系，解方程可得椭圆的方程和圆的方程；〔2〕设P 〔x 0，y 0〕，直线AP ：y=k 〔x+2〕〔k ≠0〕，求得M ，代入椭圆方程，求得 P 的坐标，求出直线BP 的方程，可得N 的坐标，设Q 〔x Q ，y 0〕，求得向量QM ，QN 的坐标，运用向量数量积计算即可得证．【解答】解：〔1〕由椭圆定义可得2a=4，又b=c 且b 2+c 2=a 2，解得a=2，b=c= ，即椭圆 C 的标准方程为 ，那么圆O 的方程为 x 2+y 2=2；2〕证明：设P 〔x 0，y 0〕，直线AP ：y=k 〔x+2〕〔k ≠0〕，令x=0可得M 〔0，2k 〕．将和 y=kx2k 0〔+〕〔 ≠〕联立可得（ 2k 2+1〕x 2+8k 2x +8k 2﹣4=0，第15页〔共19页〕那么 ，， ，故 ，直线BP 的斜率为 ，直线BP ： ，令x=0可得 ．设Q 〔x Q ，y 0〕，那么，由， ，可得 ，所以 ，即∠MQN 是定值90°．19．函数 f 〔x 〕=ax 2﹣lnx 〔a ∈R 〕1〕当a=1时，求曲线y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕的切线方程； 2〕假设?x ∈〔0，1]，|f 〔x 〕|≥1恒成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔1〕求出函数的导数，计算f ′〔1〕，f 〔1〕，求出切线方程即可；〔2〕求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性确定出 a 的具体范围即可． 【解答】解：〔1〕a=1时，f 〔x 〕=x 2﹣lnx ，f ′〔x 〕=2x ﹣ ， 因为f'〔1〕=1，f 〔1〕=1， 所以切点为〔1，1〕， 切线方程为 y=x ．〔2〕由得 f ′〔x 〕=2ax ﹣ ．① 假设 f ′x 〕≤ 0 在〔 0 1 2a〔 ，]上恒成立，那么 ≤恒成立，所以2a ≤ =1，即a ≤．即a ≤时，f 〔x 〕在〔0，1]单调递减，〔f 〔x 〕〕min =f 〔1〕=a ，与|f 〔x 〕|≥1恒成立矛盾．②当 a时，令 f ′x 〕 =2ax ﹣=0 ，得 x=01]，＞ 〔∈〔，第16页〔共19页〕所以当x∈〔0，〕时，f′〔x〕＜0，f〔x〕单调递减；当x∈〔1]时，f′x〕＞0f x〕单调递增．，〔，〔所以〔f〔x〕〕min=f〔〕=〔1+ln2a〕，由|f〔x〕|≥1得，〔1+ln2a〕≥1，所以a≥．综上，所求a的取值范围是[，+∞〕．20．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，假设a k﹣1+b k﹣1≥0，那么a k=a k﹣1，b k=；假设a k﹣1+b k﹣1＜0，那么a k=，b k=b k﹣1．〔Ⅰ〕假设a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；S a b2﹣a b a S a b表示〕；〔Ⅱ〕设n=〔b1﹣1〕+〔2〕++〔n﹣n〕，求n〔用，〔Ⅲ〕假设存在n∈N *，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b﹣＞b，求n的最大值〔用k1ka，b表示〕．【考点】数列的应用．【分析】〔Ⅰ〕由题意可直接写出答案；〔Ⅱ〕分情况计算b﹣a，得{b﹣a}是以b﹣a=b a为首项，为公比的等比数列，从k k k k11﹣而可得S n；〔Ⅲ〕由b k﹣1＞b k，数列{a n}与{b n}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a=a，解之即可．k，结合〔Ⅱ〕知【解答】解：〔Ⅰ〕a2=﹣1，b2=0，a3=，b3=0；〔Ⅱ〕∵=，=，∴无论是a k﹣1+b k﹣1≥0，还是a k﹣1+b k﹣1＜0，都有b k﹣a k=，即{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，所以S a ba b a=；n=〔b1﹣1〕+〔2﹣2〕++〔n﹣n〕〔Ⅲ〕∵b k﹣1＞b k，及数列{a n}与{b n}满足的关系，a k﹣1+b k﹣1≥0，∴a k=a k﹣1，即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，第17页〔共19页〕由〔Ⅱ〕知b﹣a=，∴b=a+，k k k所以a k﹣1+b k﹣1=，解得，所以n的最大值为不超过的最大整数．第18页〔共19页〕2021年9月8日第19页〔共19页〕。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，
2，本卷共9小题，每小题5分，共45分
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么 ．
•如果事件A、B相互独立，那么 ．
•球的体积公式 ，其中R表示球的半径．
15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________．
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．
16.在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ．
（I）求a 值；
10. 是虚数单位，复数 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法化简可得结果.
【详解】 .
故答案为： .
11.在 的展开式中， 的系数是__________．
【答案】160
【解析】
【分析】求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
12.若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________．
13.若 ，则 的最小值为____________．
14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．

6.若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子进行齐次化处理，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（）
【答案】(1).5(2).
【解析】
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）对折 次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共 种；
（2）由题意可得 ， ， ， ， ， ，
设 ，
则 ，
两式作差得
，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：数列求和 常用方法：
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.

2021年高考数学试卷新高考2卷含参考答案解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（新高考2卷）注意事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号。

用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

不要在试卷上作答。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案。

不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

单选题：1.复数2-i在复平面内对应的点所在的象限为（）。

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，B={2,3,4}，则A∪B的结果为（）。

A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=（）。

A．1 B．2 C．22 D．44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，其中地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km。

将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1-cosα)（单位：km2）。

则S占地球表面积的百分比约为（）。

A．26% B．34% C．42% D．50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2和4，侧棱长为2，则其体积为（）。

A．20+123 B．282 C．56√3/2 D．282√3/36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ)，下列结论中不正确的是（）。