浙大附中专用精品2018届理科数学复习试题选编24：不等式的性质与均值不等式(学生版)

［思路］1）认真阅读弄清题意建立目标函数是解决应用性
问题的关键。 2）目标函数建立后利用均值不等式求最值 ［解题］解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数， 则y=，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y 值最小. 根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0）
得b=（0＜a＜30 ① 于是 当a+2=时取等号，y达到最小值. 这时a=6，a=－10（舍去） 将a=6代入①式得b=3 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的 质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大. 由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0） 即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0） ∵a+2b≥2 ∴2＋ab≤30 当且仅当a=2b时，上式取等号. 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18 即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18. ∴2b2＝18．解得b=3，a=6. 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的 质量分数最小. ［收获］本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解 决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最 小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理 解能力、建模能力.
第1变 变结构，创造基本不等式“一正、 二定、 三相等”的条件证不等式。
［变题1］设x,y,z∈R+且x+y+z=1求证: + + ≥36. ［思路］从左到右事实上是求和式+ + 的最小值，需变式出现积为 定值的情况，而条件中是和为定值x+y+z=1，所以对待证式的左边需变 形出现积为定值的情况。 ［破解］证法一:巧用1代换 ++= ++ =14+(+)+(+)+(+) ≥14+4+6+12=36 当且仅当=,=,=,x+y+z=1取等号. 证法二:分式代换法 令x= ,y= , z= 则++ =++ =14+(+)+(+)+ (+) ≥14+4+6+12=36 当且仅当……取等号. 解法三: ∵x+y+z=1 ∴mx+my+mz=m, (m>0) ∴++=+++ mx+my+mz-m =(+ mx)+( + my)+( + mz)-m

(浙江版)2018年高考数学一轮复习数列中不等式证明特色
训练（附答案）
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七、数列中不等式证明
一、解答题
1．【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列满足，
(1)求数列的通项式；
(2)证明
【答案】（1）；(2)证明过程见解析
（2）本问主要通过不等式的放缩对数列求和，根据得，所以试题解析（1）∵
∴ ，∴ 是以为首项，2为比的等比数列
∴ ，即
(2)证明∵ ，，
∴
2．【2018届北京西城35中高三上期中】等差数列满足，．（）求的通项式．
（）设等比数列满足，，问与数列的第几项相等？
（）试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（）（）（）
试题解析
（）∵ 是等差数列，
，
∴解出，，
∴
，
．。

§6.3 基本不等式(时间：50分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若实数a 、b 满足0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a 2．(2011·天津模拟)已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2 ab 的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．53．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，则1x ＋1y的最大值为 ( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12解析：由a x ＝b y ＝3得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a ＞1，b ＞1知x ＞0，y ＞0，1x ＋1y＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝ 3时“＝”号成立，则1x ＋1y 的最大 值为1.答案：C4．(2010·重庆理，7)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为 ( )A ．3B ．4 C.92 D.112解析：(x ＋2y )24＋x ＋2y ≥x ＋2y ＋2xy ＝8，设t ＝x ＋2y ，则t 2＋4t －32≥0，(t ＋8)(t －4)≥0， 因此t ≥4，t ≤－8(舍去)．当且仅当x ＝2y 即x ＝2，y ＝1时等号成立，因此x ＋2y 的最 小值为4.答案：B5．(2010·四川理，12)设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．4 C ．2 5 D ．5解析：2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝a 2＋(a －b )＋b ab (a －b )＋(a －5c )2 ≥a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4，当且仅当a ＝2＝2b ＝5c 时，等号成立． 答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)6．正数a ，b 满足1a ＋2b ＝1，则a ＋b 的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋2a b ＋b a ≥3＋22，当且仅当⎩⎨⎧a ＝2＋1b ＝2＋2时等号成立． 答案：3＋2 27．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析：ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3 ab －2ab －3≥0，(ab －3)(ab ＋1)≥0由a >0，b >0知ab －3≥0，即ab ≥9当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．答案：[9，＋∞)8．(2010·山东理，14)若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：设y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤15，则a ≥15. 答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 9．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________． 解析：y ＝x ＋3z 2，y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz≥3，当且仅当x ＝3z ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝3z ＝1时等号成立．答案：3三、解答题(共3小题，共34分)10．(本小题满分10分)若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30.(1)求xy 的取值范围．(2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ，则2＋x ≠0，y ＝30－x 2＋x＞0,0<x <30. (1)xy ＝－x 2＋30x x ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32＝－⎣⎡⎦⎤(x ＋2)＋64x ＋2＋ 34≤18，因此xy 的取值范围是(0,18]．(2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3， 当且仅当⎩⎨⎧x ＝42－2y ＝42－1时，等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x ＋y 的取值 范围是[82－3,30)．11．(本小题满分12分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥254. 证明：左边＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋b a ＋a b ＝⎝⎛⎭⎫1ab －ab 2＋b a ＋a b＋2. ∵a >0，b >0，∴a b ＋b a≥2， ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤12，1ab ≥2，－ab ≥－12， ∴1ab －ab ≥32，∴⎝⎛⎭⎫ab －1ab 2≥94，所以，左边≥94＋2＋2＝254，(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)． 12．(本小题满分12分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水 处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价 为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长，宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解：(1)设污水处理池的长为x 米，则宽为200x米． 总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x＋60×200 ＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600 x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．(2)记g (x )＝x ＋225x(0<x ≤14.5)，显然是减函数， ∴x ＝14.5时，g (x )有最小值，相应造价f (x )有最小值，此时宽也不超过14.5米．。

专题能力训练2不等式(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若<0,则下列结论不正确的是()A.a2<b2B.ab<b2C.a+b<0D.|a|+|b|>|a+b|2.(2017浙江宁波中学调研)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A.a<5B.a≥7C.5≤a<7D.a<5或a≥73.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)4.已知f(x)=a|x-2|,若f(x)<x恒成立,则a的取值范围为()A.a≤-1B.-2<a<0C.0<a<2D.a≥15.若x,y满足且z=y-x的最小值为-12,则k的值为()A.B.-C.D.-6.若m+2n=20(m,n>0),则lg m(lg n+lg 2)的最大值是()A.1B.C.D.27.(2017浙江嘉兴一中适应性模拟)已知xy=1,且0<y<,则的最小值为()A.4B.C.2D.48.设x,y满足约束条件若0≤ax+by≤2恒成立,则a2+b2的最大值是()A.1B.C. D.4二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知x,y,z∈R,x2+y2+z2=4,则xz+yz的最大值是;又若x+y+z=0,则z的最大值是.10.已知实数m,n,且点(1,1)在不等式组表示的平面区域内,则m+2n的取值范围为,m2+n2的取值范围为.11.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是.12.已知实数x,y满足则z=2|x|+y的取值范围是.13.(2017浙江温州瑞安七中模拟)若x>0,y>0,则的最小值为.14.已知函数f(x)=(1+ax+x2)e x-x2,若存在正数x0,使得f(x0)≤0,则实数a的取值范围是.三、解答题 (本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x+(x>3).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若不等式f(x)≥+7恒成立,求实数t的取值范围.16.(本小题满分15分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a=2,当x∈[-1,3]时,f(x)的最大值不大于7,求b+c的最大值;(2)若当|f(x)|≤1对任意的x∈[-1,1]恒成立时,都有|ax+b|≤M对任意的x∈[-1,1]恒成立,求M的最小值.参考答案专题能力训练2不等式1.D解析由题意可知b<a<0,因此选项A,B,C正确.而|a|+|b|=-a-b=|a+b|,故D错误,应选D.2.C解析如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件.故选C.3.A解析①∵当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,∴x<1.②∵当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解.综合①②③,可知x<4.故选A.4.A解析依题意,f(x)=易知当a≥0时,f(x)<x不恒成立,故a<0.在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)与y=x的图象如图所示,观察可知f(x)<x⇔-a≥1,即a≤-1.故选A.5.D解析依题意,易知k≤-1不符合题意,由可得直线kx-y+3=0与y=0的交点为,在平面直角坐标系中作出各直线(图略),结合图形可知,当直线z=y-x过点时,z有最小值,于是有0+=-12,k=-.故选D.6.A解析因为lg m·(lg n+lg 2)=lg m·lg 2n≤,又m+2n=20≥2,所以mn≤50,从而lg m·(lg n+lg 2)≤1,当且仅当m=10,n=5时等号成立.故选A.7.A解析因为xy=1且0<y<,所以x>,所以x-2y>0.所以=x-2y+≥4,当且仅当x=+1,y=时等号成立.故选A.8.C解析由约束条件作出可行域如图中阴影所示,联立可得A(2,1),联立可得C(0,1),联立可得B(1,2).由0≤ax+by≤2恒成立,可得画出关于a,b的可行域,如下图阴影部分所示:a2+b2的几何意义是可行域内的点到原点的距离的平方,显然点D到原点的距离最大,由可得D.故a2+b2的最大值为.9.2解析xz+yz=+2y·=2,当且仅当x=y=z时取等号;∵x2+y2=4-z2,x+y=-z,则(x+y)2=4-z2+2xy≤4-z2+,即z2≤8-2z2,∴-≤z≤.故z的最大值是,当且仅当x=y 时取等号.10. [1,4]解析由点(1,1)在不等式组表示的平面区域内,故有作出可行域如图中阴影三角形ABC,令z=m+2n,则直线z=m+2n过点B(0,2)时,z max=4,过点C时,z min=,故m+2n的取值范围为.令|OP|2=m2+n2=u,其中P在阴影三角形ABC内(包括边界),由图知当点P的坐标为(0,2)时,u max=4,当点P 的坐标为(0,1)时,u min=1,故m2+n2的取值范围为[1,4].11.(-∞,0)∪{2}解析当a<0时,显然成立;当a>0时,∵|x+1|+|x-3|的最小值为4,∴a+≤4.∴a=2.综上,可知a∈(-∞,0)∪{2}.12.[-1,11]解析根据约束条件画出可行域,画出z=2|x|+y表示的虚线部分.由图得当虚线部分z=2|x|+y过点D(0,-1)时,z最小为-1.当虚线部分z=2|x|+y过点A(6,-1)时,z最大为11.故所求z=2|x|+y的取值范围是[-1,11].13. 解析设=t>0,则+t=(2t+1)-≥2,当且仅当t=时取等号.故答案为.14. 解析由f(x)=(1+ax+x2)e x-x2≤0,得a≤-x-,令g(x)=-x-,则g'(x)=,∴g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)的最大值为g(1)=-2,存在正数x0,使得a≤-x-,则a≤-2.15.解 (1)∵x>3,∴x-3>0.∴f(x)=x+=x-3++3≥2+3=9,当且仅当x-3=,即(x-3)2=9时,上式取得等号.又x>3,∴x=6.∴当x=6时,函数f(x)的最小值是9.(2)由(1)知,当x>3时,f(x)的最小值是9,要使不等式f(x)≥+7恒成立,只需9≥+7, ∴-2≤0,即≤0,解得t≤-2或t>-1.∴实数t的取值范围是(-∞,-2]∪(-1,+∞).16.解 (1)由题意知,f(x)=2x2+bx+c,当x∈[-1,3]时,f(x)≤7恒成立,即f(x)max≤7. (ⅰ)当-≤1,即b≥-4时,f(x)max=f(3)=18+3b+c≤7,得3b+c≤-11,故b+c=(3b+c)+2(-b)≤-11+8=-3.(ⅱ)当->1,即b<-4时,f(x)max=f(-1)=2-b+c≤7,得-b+c≤5,故b+c=(-b+c)+2b<5-8=-3.综上,可得(b+c)max=-3.(2)当|x|≤1时,易知≤1,≤1,故由题意知≤1,≤1,所以|ax+b|=≤1+1=2,所以M≥2.故M的最小值为2.。