第一章实数小结与复习

第一章实数小结与复习

1、有理数的意义理解，整数与分数的统称。（注有限小数与无限循环小数都可以化为分数）

2、乘方运算的意义的回顾及与开方运算的关系：

①平方运算：记住20内的数平方：（a ×a ＝a 2）

12＝ ；22＝ ；32＝ ；42＝ ；52＝ ；62＝ ；72＝ ；82＝ ；92＝

；102＝ ；

112＝ ；122＝

；132＝ ；142＝

；152＝ ；162＝ ；172＝

；182＝ ；192＝

；202＝

；

≈1.414≈1.732）

a ，那么这个数是a 的平方根）值得注意的是：

只有非负数才有平方根，正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；这些都能成为考试

a

≧0）

填空：如果数a

的一个平方根是x 那么它的另一个平方根是

＝ ，－a,则a ＝ ，开方根等于本身的数是 ，中考很喜欢考； ③无理数的理解： 等，但一定的无理π（这个也通常作为一个考点）

无理数的分类，正无理数，负无理数（提示什么没有0）0是无理数还是有理数？？？

无理数是无限不循环小数。

④立方运算的意义及开立方运算的意义表示方法：

a ×a ×a ＝a 3

记住13＝ ；23

＝ ；33＝ ；

43＝ ；53＝ ；63＝ ；

73＝ ；83＝ ；93＝ ；103＝ ；

⑤开立方运算，简单的数的立方根的运算，

立方根的意义及表示方法：一个数的立方等于a,这个数就是a ，，它与平方根的区别，任意数都有立方根，并且被开方数a

＝ ；＝ 3、实数的意义理解：

和 统称为实数；其中有理数是

和 的统称；

的数叫无理数，一般常见的无理数是开方开不尽的数，但我们一定要记得至少有一个无理数不

是开方的数那就

。

实数内的运算与有理数的运算规律是一样的。

；

理解实数与数轴的对应关系；实数与数轴上的点一一对应；并且左边的数小于右边的数，负实数小于0，正实数大于0,0即不是正实数也不是负实数；

4、平面直角坐标系的意义理解：为了确定好平面内点的位置，我们建立了平面直角坐标系 ①平面直角坐标系的构成的理解，请画好一个平面直角坐标系；

②平面直角坐标系中横坐标及纵坐标的理解：（平面直角坐标系内的点与有序的实数对一一对应）

③四个象限的点及坐标轴上点的理解；

④通过坐标描出点，知道点找到坐标

并指出它们各在哪个象限或在哪格坐标轴上。

⑤引深题，一个点或一个图形关于坐标轴进行平移或轴反射后坐标的确定：

已知在平面直角坐标系中正方形ABCD 的四个顶点坐标分别是A （2,3）B （4,3）C （2,1）D （4,1），若将它沿y 轴向下平移8个单位，试说出其四个顶点坐标分别是 ，如果将它沿x 轴方向向左平移9个单位，那么它的四个顶点坐标分别是： 。 已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （3,4）；B （3,6）；C （6,1），若将它沿y 轴进行轴反射得到一新的三角形，你能说出它的三个顶点坐标分别是多少吗？

5、有效数字的意义理解，从左边第一个非零数数起，一直到最后都是有效数字，特别指出是左边第一个非零数字，一般体现在填空选择题内：

如0.003200它是一个3位有效数字的数；

求下列数字的近似值，保留4位有效数字

①π

6、非零的式子之和为0y 2＋ z －3 ＝0，则x 、y 、z 分别是

北师大版初中数学八年级上册《第二章实数回顾与思考》优质课教学设计0.doc

初级中学导学案 年级八学科教研组长主备人李博课型复习课第_8_课时课题第二章实数（复习） 1. 复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根 学习 式及其相关概念，会求一个数的平方根、立方根，并进行相关计算； 目标 2. 灵活运用公式进行二次根式的相关运算。 学习熟练掌握无理数、算术平方根、平方根、立方根、估算、实数、二次根 式及其相关概念。 重点 学习 灵活运用公式进行二次根式的相关运算。 难点 教法教学 开放导学法班班通 学法准备 1. 下列说法：（1）有理数都是有限小数；（2）有限小数都是 达成目标有理数；（3）无理数都是无限小数；（4）无限小数都是无理 数。其中正确的的有（）。 A．（1）（2） B.(1)(3) C.(2)(3) D.(2)(4) 2. 已知X - 3 +（4-Y） + 2X Y 3Z 的值为。 2 X 3. 已知Y= X 2+ 2 X -3 ，求Y 的值为。 4. 已知：5+ 11的小数部分是a，5- 11的小数部分是b。 （1）a+b的值； （2）a-b 的值。 5. 已知a =5， b =7，且a b =a+b，则a-b 的值为（） 2 A.2 或12 B.2 或-12 C.-2 或12 D.-2 或-12 6. 下列说法正确的有（）个。 （1）零是最小的实数（2）带根号的数一定是无理数 （3）比 2 小的数只有1,0 （4）数轴上每个点都表示一

个有理数

A.3 B.2 C.1 D.0 7. 下列二次根式属于最简二次根式的是（） 评价 1 7 样题 A. 14 B. 8 C. 2 D. 4 8. 若3m 1有意义，则m能取的最小整数值是（） A.m=0 B.m=1 C.m=2 D.m=3 评价 设计通过教师提问、学生回答完成目标一。（目标达成率95%）通过评价样题完成目标二。（目标达成率90%） 学习知识点复习： 知识点一：有理数、无理数概念：

实数章节复习知识点归纳,总结

第六章 实 数 一．知识结构图： 二．知识定义 算术平方根 正数a 的算术平方根记作: . 正数和零的算术平方根都只有 个，零的算术平方根是 ，负数 算术平方根。 ? ?? ==||2 a a () =2 a 例：1. 25的算术平方根是 ；16 的算术平方根是 。 2.已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．1+a B. 1+a C. 12+a D. 12+a 3.面积为11的正方形边长为x ，则x 的范围是（ ） A ．31<

4.若∣a∣=6，b=3，且ab0，则a-b= 。 平方根 正数a的平方根记作: . 一个正数有平方根，他们互为； 零的平方根是；负数平方根。 例1.16的平方根是( ) A．4 B. 4 ± ± C. 2 D. 2 2.一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=____，x=___。 3.已知2a-1的算术平方根式3,4是3a+b-1的算术平方根，求a+2b的平方根。 立方根

a 的立方根记作: . 一个 数有一个 的立方根；一个 数有一个 的立方根；零的立方 根是 。3 3a a -=- =3 3 a ()=3 3 a 例：1. 4 12=_____， 169 ± =_____，3 27 8-_____. 2.下列说法中正确的是（ ） A 、81的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、 1=±1 D 、5-是 5的平方根的相反数 3.判断下列说法是否正确 （1） 的算术平方根是-3； （2） 225 的平方根是±15. （3）当x=0或2时，02=-x x （4）2 3 是分数 4.已知∣x ∣的算术平方根是8，那么x 的立方根是_____。 5.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）

实数教学反思

2.6 实数教学反思 《2.6实数》是北师大版数学八年级上册第二章第六节内容，这是一节实数的运算、化简课，只有在熟练掌握两个公式（和这两个公式的逆运用）的基础上，反复利用练习来巩固学生对知识理解和融汇，这也是数（或式）的运算（或化简）的最大的特点。 《数学课程标准》强调：要关注学生“是否积极主动地参与学习活动；是否有学好数学的自信心，能够不回避遇到的困难；是否乐于与他人合作，愿意与同伴交流各自的想法；是否能够通过独立思考获得解决问题的思路；能否找到有效的解决问题的方法，尝试从不同的角度去思考问题；是否能够使用数学语言有条理地表达自已的思考过程；是否理解别人的思路，并在与同伴的交流中获益；是否有反思自已思考过程的意识。”所以，我首先通过课本引例问题，旨在使学生通过自己的探究活动，经过老师的引导，感受并体验实数的运算、化简；让学生根据实例进行探索，通过同学们互相交流合作，得出两个化简的公式（实际上是两个运算公式的逆运用），培养他们的合作精神和探索能力，也让他们获得成功的体验（因为这是教材里没有写出来的），充分调动、发挥学生主体性的多样化的学习方式，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习。 因为课本的知识量比较少，我在新课引入和练习巩固方面所花的时间相对多一些，这也是数（或式）的运算的通用的做法，旨在通过练习、例题来巩固学生对所学知识的理解和掌握。但我也把练习、例题的量掌握在一定的尺度，以避免学生的反感与厌烦，从而导致前功

尽弃。 由于复习练习时学生配合相对不默契，浪费了一些时间，导致在课时小结时，显得比较仓促，这是本节课不足的地方。另外，实数的有关计算和化简，还有待于以后的练习和作业继续加强和巩固。

人教版七年级数学第一章有理数教案

第一章有理数 1．1正数和负数(2课时) 第1课时正数和负数的概念 了解正数和负数的产生；知道什么是正数和负数；理解正负数表示的量的意义；知道0既不是正数，也不是负数． 重点 正、负数的意义． 难点 1．负数的意义． 2．具有相反意义的量． 一、新课导入 活动1：创设情境，导入新课 教师投影展示教材第2页图片，让学生体验自然数的产生，分数的产生离不开生产和生活的需要，可以让学生自由发表意见和感想． 二、推进新课 活动2：体验负数的引入的必要性 教师出示温度计： 安排三名同学进行如下活动：研究手中的温度计上刻度的确切含义，一名同学手持温度计，一名同学说出其中三个刻度，一名同学在黑板上速记． 教师根据活动情况，如果学生不能引入符号表示，教师也可参与活动，逐步引入负数．强调：0既不是正数，也不是负数． 活动3：分组活动，感受正负数的意义 各组派一名同学进行如下活动：按老师的指令表演，看哪一组获胜． 1．老师说出指令：向前2步，向后3步，向前－2步，向后－3步，学生按老师的指令表演． 2．各小组互相监督，派一名同学汇报完成的情况． 活动4：深入理解正负数的意义，提高分析解决问题的能力

师投影展示问题，讲解课本例题． 例：1.一个月内，小明体重增加2千克，小华体重减少1千克，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值． 2．某年，下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是： 美国减少6.4%，德国增长1.3%， 法国减少2.4%，英国减少3.5%， 意大利增长0.2%，中国增长7.5%. 写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率． 学生讨论后解决． 活动5：练习与小结 练习：教材第3页练习． 小结：这堂课我们学习了哪些知识？你能说一说吗？ 活动6：作业 习题1.1第4，5，6，8题 本课是有理数的第一课时，引入负数是数的范围的一次重要扩充，学生头脑中关于数的结构要做重大调整(其实是一次知识的顺应过程)，而负数相对于以前的数，对学生来说显得更抽象，因此，这个概念并不是一下就能建立的．为了接受这个新的数，就必须对原有的数的结构进行整理。负数的产生主要是因为原有的数不够用了(不能正确简洁地表示数量)，书本的例子或图片中出现的负数就是让学生去感受和体验这一点． 第2课时正数、负数以及0的意义 进一步理解正、负数及0的意义，熟练掌握正负数的表示方法，会用正、负数表示具有相反意义的量． 重点 进一步理解正、负数及0表示的量的意义． 难点 理解负数及0表示的量的意义．

实数复习课重难点(学习分享)

实数复习课 一、学生起点分析 本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础． 二、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流； 本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念． 本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握的难点．

第一章 有理数 单元总结 (解析版)

第一章有理数 单元总结【思维导图】 【知识要点】 知识点一有理数基础概念 有理数（概念理解） 有理数的分类（两种）（见思维导图）

?数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 ?数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） 任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 ?数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. ?相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） ?绝对值 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（互为相反数的两个数的绝对值相等。）?比较大小 （1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 （2）方法总结： 两个正数比较大小，与小学一致；正数与零比较，正数大于零；正数与负数比较，正数大于负数；负数与零比较，负数小于零；两个负数比较，绝对值大的反而小。 【典例分析】 1．x=7，则x=___7或-7____. 【解析】绝对值概念的理解。 2．按从小到大的顺序用“＜”号把下列各数连接起来：_-3<-1.6<0<1.6<3___． 1.6，﹣1.6，0，3，﹣3． 【解析】 方法一：在数轴上标出，右边的数字大于左边的。

方法二：利用绝对值比较大小（注意两个负数如何比较大小）。 3．若∣2x-4∣+(3y+9)2=0,则x+y=_____-1________ 【解析】本题考查非负数的应用及代数式的求值。根据已知条件可知，2x-4=0和3y+9=0，求得x ，y 的值。 4．当m=___-1___时，代数式3m-1与2(1-m)的值互为相反数。 【解析】本题考查相反数的概念和解一元一次方程，根据已知条件，列出方程求解即可。 知识点二 有理数的加减法 ? 有理数的加法（重点） 有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值） ◆ 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ◆ 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ◆ 互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数） ◆ 一个数同0相加，仍得这个数。 有理数的加法运算律： ◆ 两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a b b a +=+； ◆ 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即 ()()a b c a b c ++=++。 ? 有理数的减法 有理数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。即()a b a b -=+-。 注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。

201x版八年级数学上册第四章实数小结与思考学案新版苏科版

2019版八年级数学上册第四章实数小结与思考学案新版苏科版 【学习目标】 回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解,感受数形结合的思想。在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣。 【教学重难点】 建立本章知识结构和各知识简单应用 【预习导航】 1．化简：16= ；9-= ；38-= ； 327--= 。 2．64的平方根是 ，立方根是 ；25的算术平方根是 。 3．一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________；某数的立方根等于它本身，则这个数是 。 4．若12+x 的算术平方根是2，x ＝________． 5．将实数 23 1 ，38-，3.14159，-2π，2-，39,25,0.121121112…,填入下列集合 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …} 正实数集合: { …}; 负实数集合: { …}。 6． 21-的相反数是 ；绝对值是 。 7．比较下列各组数的大小： ⑴ 2- -1.4 ⑵3 1 3 12- 8．5.47×105 精确到 位， 28035≈_______ (精确到千位)，0.03196≈______ (精确到0.001) 9．比较下列各组数的大小： （1） 2- -1.4 ；（2） π- -3.14159 ； （3） 23________32 （设计意图：尊重学生已有的知识和经验，通过小题唤醒，复习旧知，为本课知识点归纳做准备） 【知识梳理】 本章的知识网络结构：

（设计意图：因为学生的学习要经历短时记忆到长时记忆过程，而网络化的总结方式有利于长时记忆的形成，有利于完善学生的认知结构，有利于加强知识之间的联系，构建知识体系） 例题分析 例1．（1）若实数x y ，满足2 6(5)0x y ++-=，则xy 的值是 ． （2）已知2x-1的是9的平方根，2y-4的立方为216，求3x+y 的平方根。 例2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，8，5； （3）在图3中，画一个三边都是无理数的直角三角形三角形。 例3．已知：如图，AC 是?ABD 的高，BC=2cm ， ∠BAC=30°, ∠DAC=45°，求AD 。 图2 图3 图1 45? 30? A

江苏省灌云县穆圩中学七年级数学上册 小结与思考教学案(2)(无答案) 苏科版

课题：小结与思考（2） 教学目标: 1.会运用有理数的运算法则、运算律,熟练进行有理数的运算； 2.用四舍五入法,按要求(有效数字或精确度)确定运算结果； 3.会利用计算器进行有理数的简单计算和探索数的规律. 教学重点：在学生自主归纳的过程中，感受数学的整体性. 教学难点：鼓励学生主动观察、归纳，提出猜想，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略. 教学过程 一、创设情境： 这章我们学习的有理数,教材从引入负数开始,首先介绍有理数的基本概念,然后讲解了有理数的运算.通过今天的复习,相信同学们对有理数有更系统、更深刻的理解.本堂课我们将对后一部分作一具体复习. 二、探究归纳 根据知识结构复习相关的知识要点，并回答以下问题。 1．有理数的加、减、乘、除、乘方的法则各是什么？ 2．在有理数运算中，有哪些运算律？混合运算的顺序是什么？ 3．什么是科学计数法？怎样进行科学计数法？ 三、实践应用 例1 计算：

(1) 7)1.10()4 1 ()21(1.4+-+-+++ (2) )16 1(94412)81(-??÷- 例2 计算： (1) []24)2(231)5.01(1--?? --- (2) 433)2(2 .01)1.0(12323-----+--- 例3 填空： (1)504.03是由四舍五入所得的近似数，这个近似数精确到 ，有效数字是 ，用科学记数法可表示为 . (2)如果a 为有理数,那么在|a |, -|-a |， ， , -, -这几个数中,一定是非负数的是 . 例4 阅读理解 计算： 100 991321211?++?+? 解：原式= )100 1991()3121()211(-++-+- = 100 199********-++-+- = 100 9910011=- 仿照这种算法，计算101991531311?++?+? 四、交流反思

第二章 实数回顾与思考(教学设计)

第二章实数 回顾与思考 一、学生起点分析 本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础． 二、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流； 本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念． 本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握

回顾与反思

第二章回顾与反思 一、学生起点分析 本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础． 二、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可． 作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 三、教学目标 （一）知识与技能 复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算。 （二）过程与方法 在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想。 (三）情感态度与价值观 通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学

生学会倾听学会交流。 四、教学重点 二次根式四则运算、化简。 五、教学难点 1.算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用。 2.实数的混合运算。 3.如实数与几何知识勾股定理结合在一起的应用． 六、教学方法 启发式教学法讲授教学法 七、教学过程 本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：典例精析；第三环节：运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节知识回顾 知识框图展示。 第二环节典例精析 （一）实数的相关概念 例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 23 3.14159265π-1，2 (，3.1010010001…（相邻两个1之间0的各数逐次加1） 设计说明：此题考查概念．整数和分数统称为有理数，这是有理数的判断方法．无理数是无限不循环的小数，这是无理数的判断方法．而无限不循环小数主要有以下几种：①开方开不尽的方根；②含π的数；③是无限小数且不循环．在 判断时还应注意，一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式，如此题中的

实数题型总结

实数题型总结 一、填空题 1、 .平方根 （1）算术平方根的定义：一个正数x 的平方等于a,即_____，那么这个正数x 就叫做a 的 ________.0的算术平方根是_____。 （2）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的_______。 （3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________； 0只有_____个平方根，它是 _____；负数_____平方根。 （4）开平方：求一个数a 的________的运算，叫做开平方。 2、.立方根 （1）立方根的定义：如果一个数x 的_____等于a ，即_____，那么这个数x 就叫做a 的立方根。 （2）立方根的性质：每个数a 都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____； 负数的立方根是_____。 （3）开立方：求一个数a 的________的运算叫做开立方。 3、实数 （1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。 （2）实数的定义： _____和_____统称实数。 （3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。 （4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。 （5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_____。 4、已知实数x ，y 满足 2x -+(y+1)2 =0，则x-y 等于 5、一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 ， 一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 6、若2 a =25, b =3,则a+b= ，4的平方的倒数的算术平方根是 7、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是 8、若 a a -=2 ，则a______0，若73-x 有意义，则x 的取值范围是 9、16的平方根是±4”用数学式子表示为 ，大于-2，小于10的整数有______个。 10、当x 时，式子21 --x x 有意义. 11、绝对值小于5的所有实数的积为 化简 = 12、若x x =3 ，则=x ；若x x =3，则=x x 1-

(完整版)实数全章总结

课题：第六章 实数（全章小结） 耿城中心学校 张 莺 教学目标：1、理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的 平方根或立方根； 2、了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义 3、进一步体会数系扩充的必要性与合理性，了解实数与数轴上的点一一对应以 及有理数的运算律适用于实数范围 教学重点：．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义； 教学难点：．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义以及相关概念及运算。． 教学过程： 一、 知识点回顾 1、 特别是平方根、立方根、算术平方根的概念，进行对比复习，注重它们的区别与联系，可让学生找一找区别与联系。 2、当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数。 ①实数分类： 正有理数 正实数 正无理数 实数 0 负有理数 负实数 负无理数 ②每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的。 ③你会在数轴上寻找2、、5 ???????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????→←.00;;___00;.;00:,的立方根是方根负数有一个负的立方根正数有一个正的立性质定义立方根开立方的算术平方根是的正的平方根正数性质定义算术平方根负数没有平方根的平方根是们互为相反数根一个正数有两个平方性质定义平方根开平方开方乘方互为逆运算a ???? ?????????????负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数0

第十三章实数小结

第十三章实数小结 昆明市实验中学初二（５）班陈璇一、平方根、算术平方根的概念及其性质 （１）平方根的概念及其性质 ①如果一个数x的平方等于a，即x2=a，则称这个数x为a的平方根（或二次方根）。正数a的正的平方根表示为“2a”或“a”，其中a叫做被开放数；“2”中的2叫做根指数（一般可省去不写）；“2a”或“a”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a 的负的平方根表示为“－2a”或“－a”；正数a的平方根为±a，读作“正、负根号a”。 ②一个正数的平方根有两个且它们互为相反数；零只有一个平方根还是零；负数没有平方根。 （２）算术平方根的概念及其性质 ①一个正数a的平方根有两个，分别为a和－a，我们把那个正的平方根a为a 的算术平方根。 ②一个正数的算术平方根是一个正数；零的算术平方根仍为零；负数没有算术平方根。 （３）开平方运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中数a叫做被开方数；平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系。 （４）平方根（或算术平方根）的几个公式 ①式子±ａ有意义的条件为ａ≥０。 ②ａ表示ａ的算术平方根，ａ是非负数，即ａ≥０。 ａａ≥０

③ａ2＝︱ａ︱＝０ａ＝０ －ａａ＜０ ④（ａ）2＝ａ（ａ≥０），（－ａ）2＝ａ（ａ≥０）。 二、立方根的概念及其性质 （１）如果一个数ｘ的立方等于ａ，即ｘ3＝ａ，那么就称这个数ｘ为ａ的立方根（或三次方根）。 ａ的立方根（或三次方根）表示为3ａ，其中ａ为被开方数，“3”符号中的３为根指数（这个数不能省略）；3ａ读作“三次根号ａ”或“ａ的立方根”。 （２）任意数都有立方根，正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根仍为零。 （３）有关立方根的补充说明和两个公式 ①在3ａ中，被开方数ａ可为正数、零，也可为负数。即3ａ的正负与ａ一致。 ②3－ａ=－3ａ ③(3a) 3=3a3＝ａ （４）开立方运算 求一个数ａ的立方根的运算叫做开立方运算。开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系。 三、实数的有关性质 （１）实数ａ的相反数为－ａ，零的相反数是其本身，若ａ与ｂ互为相反数，则ａ＋ｂ＝０；反之亦然。 （２）实数ａ的倒数为１/ａ（ａ≠０）。若ａ与ｂ互为倒数，则ａｂ＝１；反之亦然。 （３）实数ａ的绝对值表示为︱ａ︱，正实数的绝对值是它本身，零的绝对值是

第十三章实数小结与复习教案

第十三章实数小结与复习 辽宁省开原市业民中学孙国庆 教案背景 1、面向八年级学生 2、学科：数学 教学课题 第十三章实数小结与复习 教材分析 《人教版义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册第十三章实数小结与复习。本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题。在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何的大部分知识做好准备。 教学目标 （一）教学知识点： 1、经历小结与复习，建立本章知识框架图。 2、进一步复习本章知识，强调有关概念、运算的联系与区别及数的范围由有理数扩大到实数后，有关概念和运算的变化情况。（二）能力训练要求：

通过回顾与思考使学生能进一步掌握实数的相关知识并会灵活运用，体会归纳的数学思想方法。 （三）情感与价值观要求： 1、培养学生学会归纳，整理所学知识的能力。 2、认识事物之间的内在联系及相互转化。 3、培养学生的数学应用意识。 教学重点 有关概念、运算。 教学难点 知识间的内在联系与区别。 教学方法 教师引导学生进行归纳 教具准备 多媒体演示等 教学过程 （一）引导学生复习知识要点： 1、平方根和开平方： ±。若x≥（1）如果2(0) =≥，那么x叫做a的平方根．a的平方根记作a x a a 0，则x叫a的算术平方根 （2）求一个数平方根的运算叫开平方。 互逆 开平方平方 （3）一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 注：a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.

中考数学第1讲 实数(含答案)

第1讲 实数 【回顾与思考】 （1）实数的有关概念 { } ????????????????????? ?????? ?????? 正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 ①实数： 和 统称实数， 和数轴上的点是一一对应．．．．的。（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。） ②有理数: 和 的统称.任何一个有绿树都可以写成分数p q 的形式，其中p 和q 是整数且最大公约数是1。 ③无理数：无限 叫无理数，常见的有三类：① ；② ；③ ； ④对实数进行分类，应先 ，后 。 (2)数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)。 和数轴上的点是一一对应．．．． 的。（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。） (3)相反数： 实数的相反数是一对数(只有 的两个数，叫做互为相反数， 零的相反数是 )． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于 对称． (4)绝对值 ①从数轴上看，一个数的绝对值就是 的距离。 ??? ??<-=>=)0() 0(0) 0(||a a a a a a

②一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，零的绝对值是 。 (5)倒数： 实数a(a ≠0)的倒数是 (乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零 倒数． （6）平方根：如果 ,即 ，那么这个数x 叫做做a 的平方根（也叫二次方根）。一个正数有 平方根，且互为相反数；0的平方根是 ；负数 平方根。 （7）算术平方根：如果 ，即 ，那么这个正数x 叫做a 的算．术． 平方根，即x a =；特别规定0的算术平方根是 。即00=。 （8）立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3 =a ，那么这个数x 叫做a 的立方根（也叫三次方根），一个正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根是 。 （9）科学计数法：用 的方法叫科学计数法，若N 是大于10的整数，记成N=a n 10?，其中1≤a<10，n= ；若0

七年级上册第一章有理数知识点小结

????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一章《有理数》知识点 1、具有相反意义的量 ①在实际中表示意义相反的量上升5米记为：5， -8则表示下降8米。 ②正数：大于0的数。 ③负数：在正数的前面加上“-”。 ④0既不是正数也不是负数。把正数和0统称为非负数。 ⑤有理数的分类 1、按正数与分数分 正整数 整数 0 负整数 有理数 正分数 分数 负分数 2、数轴 ①三要素：原点、正方向、单位长度。通常原点用“O”表示，向右的方向为正方向，单位长度为1. ②如何画数轴 1、画直线（一般画成水平的），定原点，标出原点“O”； 2、取原点向右的方向为正方向，并标出箭头； 3、选适当的长度为单位长度，并标出-3，-2，-1,1,2,3……各点。 ③数轴上的点与有理数： （1）数轴上的点与有理数一一对应（2）右边的数＞左边的数 3、相反数 ①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。0的相反数是0。

②a的相反数-a ③a与b互为相反数：a+b=0 ④a-b的相反数是：-a+b或b-a ⑤a+b的相反数是：-a-b ⑥求一个数的相反数方法：在这个数的前面加“-”号. ⑦在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 4、绝对值 一个正数的绝对值等于它本身；（1）当a是正数时，︱a︱=a； 一个负数的绝对值等于它的相反数；（2）当a是负数时，︱a︱=-a； 0的绝对值等于0。（3）当a=0时，︱a︱=0。 互为相反数的两个数的绝对值相等。 几何意义：从数轴上看，一个数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。 5、有理数的大小比较 正数大于负数，0大于负数；两个负数比较，绝对值大的的反而小。 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 比较一群数的大小时，先将数分成三类：正数、0、负数。 6、有理数的运算 ①有理数的加法： 加法一般步骤： 1、确定符号：同号取相同的符号。 异号取绝对值大的加数的符号。 2、确定绝对值：同号将绝对值相加。 异号用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。一个数与0相加，仍得这个数。 用字母表示加法的交换律a+b=b+a；加法结合律a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。 三个或三个以上有理数相加，可以写成这些数的连加式，对于连加式，根据加法

实数小结

课时7：实数小结与思考 主备人：徐玉香 审核人：靳红芬 2015年 9月 教学目标： 能灵活应用平方根、立方根、实数相关知识解决一些有价值的问题，提高学生用所学的知识探索、分析、解决问题的能力，引导学生用数学的眼光看待问题 教材分析 重点：平方根、立方根、实数的有关概念 难点：平方根、立方根、实数的有关概念 课型方法 新授课 电教手段 实物投影 前置作业： 知识点一、平方根与立方根 1、 1 4 的算术平方根是 ；-27的立方根是 ；_____ 的立方根是 。 2、算术平方根等于它本身的数是 ；立方根等于它本身的数是 。 3、若一正数的两个平方根分别是2a －7与－a ＋2，则这个正数等于__________ 知识点二、实数 4、在 22，4π ，1.732，327 1-，0.3，16，－722，38.0等数中，无理数的个数有 个。 5 、1的相反数是 ；π-的倒数是 ； 的负整数有 。 6、比较大小： 12； 7、实数上的点A 和点B 之间的整数点有 知识点三、近似数 8、用四舍五入法对0.8075取近似值为________(精确到0.01) 9、地球的半径约为3 6.410?㎞，精确到 位， 教学过程： 一、展示交流： 二、合作探究： 例1、计算：（1）312523832-+-- （2）98)2 1 ()2()2(31 2-++--- 例2、求下列各式中的x 。 （1）2 5(2)245x -= （2）3 (2)27x += 例3、（13 80,b -=求2a b - 的平方根及4a b 的立方根。 （2）已知2x －1的平方根为±3，3x ＋y －1的平方根为±4，求x ＋2y 的平方根 -

第二章实数回顾与思考(教学设计)

实数回顾与思考 一、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即可．作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法． 因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让学生学会倾听学会交流； 本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念． 本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用，常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握的难点． 本章的知识结构框图

2 2 2 3 3 0) x a x a x a x a x x a a x x a x a x a x a x a ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?= ?? == ? ?= ?? ?= ? ? == ?? ≥ 整数 有理数 分数 实数分类 正无理数 无理数 负无理数 定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根平方根表示：若，则 算术平方根：若，则的算术平方根为 定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根立方根 表示：若，则 实数叫做二次根式 二次根式 最简二次 2 3 (0) 0,0) 0,0) a a a a a a b a b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? =≥ ? ? = ? ?= ? ? ?= ? ?=≥≥ ? ? =≥≥ ? ? ?? 根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式重要性质 实数的性质应用 二、教学过程设计 第一环节知识回顾 知识点填空: （1）无限不循环小数叫做无理数． （2）有理数和无理数统称为实数． ??? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? 整数 有理数 分数 实数分类 正无理数 无理数 负无理数

实数小结与复习

《实数》小结与复习 【要点梳理】 1．算术平方根、平方根、立方根的定义及性质（开方与乘方的关系）； 2．有理数的概念以及实数的分类； 3．实数大小的比较以及实数的计算． 例1 (1)下列说法正确有 ．（填序号） ①无限小数都是无理数；②带根号的数是无理数；③有理数都是有限小数；④实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和与积都是无理数；⑥有理数与无理数分别平方后不可能相同． （2）下列数中那些是有理数？那些是无理数？ －5.2，3 8-，? 6.0 ， 4π，7 22， 0．010010001， 0．121121112 ，3 4 ， 7． 例2 （1）求下列各数的相反数与绝对值: ①7；②－38 27 - ；③32- （2）比较下列各组数的大小: ①7与34；②－211与53-； ③51-与31-；④353与． 例3计算： （1 ；（2 （3）221213-； （4 024.π+ （5 ）- （最后两题均精确到0.01）． 例4某种牙膏上部圆的直径为3cm ，下部底边的长为4.8cm,如图，现要制作长方形的牙膏盒，牙膏盒上面是正方形．在手工课上，小明，小毛，小丽和小芳4位同学分别制作的牙膏盒高度都一样高，且符合要求．不同的是上面正方形的边长，如下表： （1)这4位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗？ （2)若你是这种牙膏厂的厂长，从节省材料又方便取放牙膏的角度来看，你认为谁的制作更优秀？ 【课堂操练】 1．有下列说法： （1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数； （3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．求下列各式中的x （1）2 25x =；（2）2 (1)9x -=； （3）3 64x =-；（4）3 (21)2160x +-=． 3 13- 4． 10.1=， = ． 5．若1＜x ＜2，则｜x －3｜＋2)1(-x 的值为 ． 6 ．在5,3 2 π --四个数中，最小的 数是 ． 7 2的值是在（ ） A ．5和6之间 B ．6和7之间 C ．7和8之间 D ．8和9之间 8． 观察分析下列数据，寻找规律： 那么第10个 数据应是 ． 9．已知坐标平面内一点A (－2,3),将点A 先 个单位, ,得到A ′,则A ′的坐标为 ． 10．一个正数x 的平方根是2a -3与5-a ，则a 是多少？ 11．（1）用一块面积为400 cm 2 的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300 cm 2 的长方形纸片,你会怎样剪? （2） 若用上述正方形纸片，沿着边的方向剪 出面积为300cm 2 的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,?你又怎样剪？ （3）根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗? 正方形 的边长 小明小毛小丽小芳 2.4cm 3cm 3.6cm 4.8cm

有理数反思

有理数教学反思 本课是小学数学向初中数学的一节过渡课，随着数域扩大到有理数范畴，对学生的数学思维的转变将起到重大作用。同时也为进一步阐述有理数的有关概念、运算作了铺垫，是一节非常重要的基础课、启蒙课。 本节课学习目标 1、了解正、负数是实际需要的。 2、会判断正、负数。 3、会对有理数进行分类，并解决简单的实际问题。拓展数学思维。 重点：有理数的分类。 难点：解决问题思维的全面性（正、负、零三方面）。 关键：理解有理数的分类。 方法；独立思考、小组合作学习。 本课难度不大，主要是转变学生的数学思维，由小学单一的非负数思考问题转化到正、负、零三种情况思考问题。为此本节设计了一下几个教学环节： 1、创设情境导入新课。通过生活实例列举三位奥运冠军的报道中出现的数字，结合多媒体生动形象的画面导入新课，学生根据既有的知识对数进行简单分类，同时进行民族自豪感教育。 2、综合归纳形成新知。首先通过学生自主探究明确分数可以化成有限小数或无限循环小数，反之，可以把有限小数或无限循环小

数化成分数，从而把小数分数归为分数。同时留给学生一课外问题怎样把循环小数化成分数，进一步激发学生的学习兴趣。随后给出整数、分数、有理数定义。进一步简化数的分类。并通过多媒体，把有理数的分类通过大树的形式给出，通过形象思维的方式帮助学生理解、识记。符合学生的年龄特点和接受能力。 经过上述归纳学生对有理数分类已有初步认识，通过练习强化学生对有理数的理解，通过练习中出现错误，和学生喜欢给别人挑毛病，不但激发孩子的兴趣，还自然引伸出有理数的第二种分类方法，按正、负有理数分类。提出什么时候用第一种分类，什么时候用第二种分类。通过小组合作完成。并使学生理解不管哪种分类最后都归为正整数、负整数、零、正分数、负分数这五种数。强化数学思维的转变。 3、分析探究拓展新知。通过生活实例中的数学让学生感受数学，并能解决简单的实际问题。同时加快数学思维的培养，思考问题的全面性（正、负、零三方面）。 4、小节作业巩固引伸。①学生谈本节收获，有什么新发现？知道了那些新知识？学会了做什么？②教师小结,对本节知识作系统说明。 5、激发兴趣课外拓展。能力提升促学生全面发展 本课成功之处： 1、课的设计以学生身边事出发，结合学生的年龄、认知、接受能力去设计问题，解决问题。