中南大学研究生入学考试数学分析试题
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2002年一、（共18分，每小题6分）求下列极限（1）lim ,(0)n n n n n x x x x x --→+∞->+； （2）1lim ()1x x x x →+∞+-；（3）01lim sin AA xdx A→∞⎰。
二、（共16分，每小题8分）设函数()sin f x xπ=，(0,1)x ∈（1）证明()f x 连续；（2）()f x 是否一致连续？（请说明理由）。
三、（共16分，每小题8分） （1）设ax by u e +=，求n 阶全微分n d u ；（2）设cos u x e θ=，sin u y e θ=，变换以下方程22220z zx y ∂∂+=∂∂。
四、（共20分，每小题10分）（1）求积分101ln 1dx x-⎰；（2）求曲面22az x y =+ (0)a >，和z =所围成的体积。
五、（共12分，每小题6分）设1cos 21p qn n n I nπ∞==+∑，(0)q > （1）求I 的条件收敛域； （2）求I 的绝对收敛域。
六、证明：积分2()0()x a F a e dx +∞--=⎰是参数a 的连续函数。
七、（8分）设定义于(,)-∞+∞上的函数()f x 存在三阶的导函数(3)()f x ，且(1)0f -=，(1)1f =，(1)(0)0f =证明：(3)(1,1)sup ()3x f x ∈-≥。
2003年一、（共27分，每小题9分）求下列极限（1）lim n →+∞； （2）12200lim[3(cos )]xxxx t dt →+⎰；（3）设()f x 在[0,1]上可积，且1()1f x dx =⎰，求1121lim ()2n n k k f n n →+∞=-∑。
二、（共24分，每小题12分）设函数()f x 在[,)a +∞上连续， （1）证明：若lim ()x f x →+∞存在，则()f x 在[,)a +∞上一致连续；（2）上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。
三、（共27分，每小题9分）设222222()sin 0,(,)0,0.x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩（1）求偏导数'x f 和'y f ；（2）讨论函数'x f 和'y f 在原点(0,0)的连续性； （3）讨论(,)f x y 在原点(0,0)的可微性。
四、（共30分，每小题15分）（1）求2()ln(2)f x x =+在0x =处的幂级数展开式及其收敛半径；（2）计算三重积分22()VI x y dxdydz =+⎰⎰⎰，其中V 是由曲面22x y z +=与平面4z =所围的区域. 五、（12分）计算下列曲面积分333SI x dydz y dzdx z dxdy =++⎰⎰，其中，2222:S x y z a ++=，积分是沿曲面S 的外侧。
六、（共15分，每题5分）设sin qpx I dx x +∞=⎰(0)q > （1） 求I 关于p 的收敛性；（2）在上述收敛域中I 是否一致收敛？ （3）讨论I 的条件收敛性和绝对收敛性。
七、（共8分，每题4分）设0n a >，1n n a ∞=∑发散，记1n n s a a =++ ，证明：（1）1n n n a s ∞=∑发散； （2）21n n nas ∞=∑收敛。
八、（8分）设定义于(,)-∞+∞的实值函数()f x 在0x =右连续，且对任何实数,x y ，都满足()()()f x y f x f y +=+证明：()f x ax = （a 为常数）2004年1．证明：若数列{}n x 收敛，则它有且只有一个极限。
（20分）2．证明下列结论： （a）12+> ；（10分）（b ）序列1n x =+- （20分）3．设()f x 在[,]a b 上连续，且2[()]0ba f x dx =⎰，证明：在[,]ab 上，恒有()0f x =。
（20分）4．在区间1(,)D =-∞+∞和21[,10]10D =上，分别讨论级数2211(1)n n x x ∞-=+∑的一致收敛性。
（20分）5．考察函数22220,(,)0,0.x y f x y x y +≠=+=⎩ 在原点(0,0)处的可微性。
（20分）6．设()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，且()f x 在开区间(,)a b 内没有极值点，则()f x 是[,]a b 的严格单调函数。
（20分）7．设1()g x 和2()g x 满足12()(),xxa ag t dt g t dt a x b ≤≤<⎰⎰及12()()bbaag t dt g t dt =⎰⎰又设()f x 可微，非增，则12()()()()bbaag t f x dt g t f x dt ≤⎰⎰ （20分）2005年一、（共30分，每小题10分）（1）求极限lim 0);n x ≥（2）求极限lim ];x x →+∞（3）设lim ,n n x a →+∞=证明lim ;n n y b →+∞=其中，0011!,2!()!n n nn n n n k nC x C x C x n y C k n k +++==- 0,1,,k n =二、（共20分，每小题10分）分别讨论函数2()f x x =在下列区间中是否一致连续：（1）(,)l l -，这里l 为随便多大的正数；（2）在区间(,)-∞+∞上。
三、（20分）证明下列拉格朗日定理并叙述其几何意义：“若函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导；则在(,)a b 内至少存在一点0x ，使'()()()f b f a f x b a-=-。
”四、（20分）求半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体的体积。
五、（共36分，每小题12分）（1）求积分1,(0)ln b ax x dx b a x->>⎰；（2）求第一类曲面积分22(),Sx y dS +⎰⎰其中S1z ≤≤的边界；（3）分别研究函数项级数1sin n nxn ∞=∑在下列区间上的一致收敛性： （a ）在2x επε≤≤-上，其中0ε>（b ）在02x π≤≤上。
六、（12分）设{()}n x φ是[0,1]上的非负可积函数序列，且1lim ()n n K x dx φ→+∞=⎰存在。
若(0,1]α∀∈，有1lim ()0n n x dx αφ→+∞=⎰；证明对任何一个[0,1]上的连续函数()f x 都有1lim ()()(0)n n x f x dx Kf φ→+∞=⎰。
七、（12分）设()f x ，()g x 都是周期函数，且li m [()()]0x f x g x →+∞-=；证明()()f x g x ≡。
2006年一、判断题：（每题5分，共25分）（1） 若级数1n n a ∞=∑收敛，则0().n n a n →→∞ （）；（2） 收敛的数列一定有界. （）；（3） 开区间(,)a b 内可导的函数一定在闭区间[,]a b 上连续. （）；（4） 若函数()f x 在0x x =点附近具有二阶连续导数，且'0()0f x =，"0()0f x >，则()f x 在0x x =处达到极小值. （）；（5） 若函数()f x 在[,)a +∞上有定义且是连续的，而且极限lim ()x f x →∞存在且有限，则()f x 在此区间上一致连续. （）.二、求下面数列的极限值：（每小题10分，共30分）（1）1,n x x == 其中0a >为常数；（2）0,n x x ==（3）001101,1,,1.11n n nx xx x x x x +==+=+++三、求下列函数的极值：（每小题10分，共20分） （1）ln(1)y x x =-+；（2）.y x =四、（20分）设{}n na 收敛，11()n n n n a a ∞-=-∑收敛，试证明级数0n n a ∞=∑收敛.五、（15分）若非负函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，且0()().xf x f t dt =⎰则()0.f x ≡六、（20分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，证明1lim ()()()()nbi i i ai f g x f x g x dx ξθ→∞==∑⎰其中0111,,n n i i i x a x x x b x x ξ--=≤≤≤≤=≤≤11,,1,,;max{,1}.i i i i i i x x x x x i n x i n θ--≤≤=-==≤≤七、（20分）若函数():f x （1）在区间[,]a b 上有二阶导函数"()f x ， （2）''()()0.f a f b ==则在区间(,)a b 内至少存在一点c 使得"4()()().f c f b f a b a≥-- 2007年一、判断题：（正确的打√，错误的打×，每题5分，共25分）（1） 任何定义在(),-∞+∞上的函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和。
（）（2） 设()()f x g x 、连续且'()()0g x g x ≠ ，则()''()()l i m l i m .()x x f x f xg x g x →∞→∞= （）（3） 若序列{}n n x y 收敛，则{}n x 和{}n y 必有一序列收敛。
（）（4） 若对任意0ε>，函数()f x 在[,]a b εε+-上连续，则()f x 在(,)a b 内连续。
（）（5） 若函数()f x 在(,)a b 内连续且有极大值点ξ，则'()0f ξ=。
（）二、求下列极限值：（每小题10分，共20分） （1）n →∞++；（2）0110,(),0,1,,2n n nax x x n x +>=+= 其中0.a >三、（20分）求曲线241y x =-在点1(,0)2处的切线方程和法线方程。
四、（15分）试证明0x >时3sin .6x x x >-五、（20分）试求20ln sin .C xdx π=⎰六、（25分）设()f x 为[0,1][0,1]→的连续函数，(0)0,(1)1,(()).f f f f x x === 证明().f x x ≡七、（25分）设函数()f x 在[,]a b 上可导且非常数函数，()()0f a f b ==，试证明，在[,]a b 中至少存在一点ζ，使得'24()().()baf f x dx b a ζ>-⎰2008年一、判断题（5分，共25分）（1） 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上一致连续，则)(x f 在开区间()b a ,内可导（2） 设)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在()b a ,内每一点存在有限的左导数，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a c ∈使得)(x f 在c x =处的左导数等于0（3） 若序列{}n n y x +和序列{}n n y x -都收敛，则序列{}n x 和序列{}n y 必收敛（4） 若函数)(x f 是在区间()b a ,上的连续递增函数，则)(x f 在()b a ,内可导且0)(≥'x f（5） 若序列n x 收敛，则它一定有界一、计算题（10分，共20分）（1）求级数∑∞=12!k k k（2）求积分dx e x ⎰∞-02三、（20分）在什么条件下三次抛物线q px x y ++=3与OX 轴相切？并求出其切点四、（15分）设函数)(x f 在区间()b a ,内有有界的导函数)(x f '，证明)(x f 在()b a ,内一致连续五、（20分）若)(x f 在区间),(0+∞x 内可导，且0)(lim ='+∞→x f x ，证明0)(lim=+∞→xx f x六、（25分）设)(x f ：（i ）在闭区间[]b a ,上有二阶连续导数；（ii ）在区间()b a ,内有三阶导函数；（iii ）且下面等式成立：0)()(='=a f a f 及0)()(='=b f b f 证明在()b a ,内存在一点c 使得0)(='''c f七、（25分）设k a ＞0)0(≥k 且∑∞==01k ka，定义函数∑∞=-=0)(k k k x x a x f证明（i ）)(x f 是[]1,0内的下凸函数（ii ）0)(=x f 在[)1,0内有根的充要条件是)1(f '＞02009年一、计算题（10分，共60分） 1、 计算极限))1(sin 2sin (sin 1lim nn n n n L n πππ-++=∞→2、 已知1≤y ，求⎰--11dx e y x x3、 已知dx x f a⎰+∞)(条件收敛，计算极限[][]⎰⎰-++∞→xaxax dtt f t f dt t f t f )()()()(lim4、 求空间曲线222226,x y z z x y ++==+在0(1,1,2)P 处的法平面方程5、z =被柱面222x y x +≤所截下那一部分的面积6、 计算()()()I x z dydz y x dzdx z y dxdy∑=-+-+-⎰，其中∑是曲面225z x y =--上1z ≥的部分，并取外侧二、（20分）证明sin x 在[)0,+∞上一致连续，但2sin x 不一致连续三、（15分）已知(,)f x y 在000(,)P x y 处取得极小值。
