中考数学综合题专题二次函数压轴题解析专题解析一
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中考数学综合题专题【二次函数压轴题解析】专题解析一
1.已知抛物线y=ax2-2ax-3a (a<0)与x轴交于 A、B两点(点 A在点B的左侧)，与 y轴 交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A、B的坐标；
(2)过点D作DH，y轴于点H ,若DH = HC,求a的值和直线 CD的解析式；
(3)在第(2)小题的条件下，直线 CD与x轴交于点E,过线段 OB的中点N作NF，x 轴，并交直线 CD于点F,则直线NF上是否存在点 M,使得点M到直线CD的距离等 于点M到原点O的距离？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：(1)令y=0,求得x的值，从而得出点 A、B的坐标.
(2)令x=0,则y=- 3a,求得点C、D的坐标，设直线 CD的解析式为y = kx+b,把C、
D两点的坐标代入，求出直线 CD的解析式.
(3)设存在，作 MQLCD于Q,由RtAFQM ^RtAFNE,得MQ -FM- 及可得出关
EN EF
于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点 M的坐标.
解答：(1)由 y= 0 得，ax2 - 2ax- 3a= 0 .
a/0, ,2
• ・ x — 2x— 3 = 0,
解得 x1 = — 1 , x2=3,
・•・ A (— 1, 0) , B (3, 0).
(2)由 y= ax2 — 2ax— 3a,令 x = 0,得 y = — 3a
C (0, — 3a)
y= ax2— 2ax— 3a = a(x— 1)2— 4a
D (1, —4a)
DH = HC
・ .DH = 1, CH = — 4a — (— 3a) = — a
・ • 一 a = 1・ •.C (0, 3) , D (1, 4)
直线CD的解析式为y=x+3.
3
(3)存在，如下图，作 MQLCD 于 Q,由(2)得，E (― 3, 0) , N ( - , 0)
2
,EN= 9
2
M ( 3 , m)，则 FM = 9 - m,
2 2
QFM = / NFE , / FQM = / FNE = 90°
••• RtA FQMsRt^FNE
■ 2 9 9
- m - m
MQ FM 日口， 4 2
---- ------- 即 ----------------- -
EN EF 9 9.2
2 F
整理得 4m2+36m—63=0, (2m—3)(2m+21) = 0
•・•点 M 的坐标为 M1 ( - , 3 ) , M2 ( 3 , — © )
2 2 2 2
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法.在求有关 存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果.
....... 1 2 3 ____ 一
2.已知二次函数 y —x —x的图象如图.
4 2
(1)求它的对称轴与 X轴交点D的坐标;
C三点，若/ ACB=90°,求此时抛物线的解析式；
(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为 M,以AB为直径，D为圆心作。D,试判断直线
与。D的位置关系，并说明理由.
考点：二次函数综合题.
分析：(1)根据对称轴公式求出 x二金，求出即可； 设直线CD的解析式为 y=kx+3,则 k+3=4,解得 k= 1
设存在满足条件的点 MQ = OM
m2=- 21
(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 X轴，y轴的交点分别为 A、 B、
CM (2)假设出平移后的解析式即可得出图象与 x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可； (3)由抛物线的解析式¥ = —/工2+¥^+4可得，A, B, C, M各点的坐标，再利用勾股定理
逆定理求出 CDXCM,即可证明.
答案：解：(1)由y -x2 3x得X — 3
4 2 2a
D ( 3 , 0 )
(2)方法一：
如图1,设平移后的抛物线的解析式为
贝U C(0, k)oc=k
. 1 o 3
令 y 0 即—x -X k 0 4 2
得 x1 3 4k 9 x2 3 4k 9
.••A(3 J4k 9,0) , B(3 J4k 9,0)
「.AB2 (4k 9 3 3 、4k 9)2 16k
_ 2 __________2 _ 2
• AC BC AB
即：2k2 8k 36 16k 36
得k1 4 k2 0(舍去)
........... 12 3
.•・抛物线的解析式为 y 1 x2 3 x 4
4 2
方法二：
1 o 3 .... 一 9
, y — x —x .•顶点坐标 3,—
4 2 4
9 .
设抛物线向上平移 h个单位，则得到C 0,h，顶点坐标M 3- h
4
.. . ........... 1 2 9
.二平移后的抛物线：y x 3 — h
4 4
1 2 9 一 --- --- 一 -------- ---
当 y 0 时，一x3 — h 0,得 x 3 V4h9 x 3 V4h9
4 4
• .A(3 . 4h 9,0) B(3 、4h 9,0) 36 ・ •/ ACB=90° . AOCs^ COB
2
OC OA OB
h2 J4h 9 3 J4h 9 3 得 上 4h 0舍去
................ 1 2 9
:平移后的抛物线：y x 3 - 4
4 4
(3)方法一: 2 25
3 —
4
如图2,由抛物线的解析式 y
A(-2, 0), B(8, 0), C(4, 1 2 3
一x — x 4可得
4 2
g 25、
0), M(3,——)
4 过C、M作直线，连结 CD,过M作MH垂直y轴于H,
则MH 3
2 25 2 625
••• DM (——)——
4 16
在 RtA COD 中,CD= 732_4r 5 =AD
•・・点C在O D上
2 25 2 625
••• DM 2 (一)2 ——
4 16
_ 2 _ 2 _______ 2
••• DM CM CD
方法 ・•.△CDM 是直角三角形，・•. CDXCM
「•直线CM与O D相切
如图3,由抛物线的解析式可得
A(-2, 0), B(8, 0), C(4, 0), M (3, 25
25
作直线CM,过D作DE，CM于E,过M作MH垂直y轴于H,则MH 3, DM 分由
4 ’ 勾股定理得CM 15
4
••• DM
II OC
・ ./ MCH= / EMD
••• RtACMH ^RtADME
DE
MH MD小
——得DE
CM 由(2)知AB 10--O D的半径为5 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理以及逆定理的应用，利用数形结合得 出是解决问题的关键.
3.如图，半径为1的。M经过直角坐标系的原点 O,且与x的正半轴，y的正半轴交于点 A、B,
/OMA=60°,过点B的切线交x轴负半轴于点 C,抛物线过点 A、B、C.
(1)求点A、B的坐标.
(2)求抛物线的解析式.
(3)若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点 D,使得△ BCD是等腰三角
形？若存在，求出符合条件的点 D的坐标 若不存在，请说明理由.
考点：二次函数综合题。
分析：(1)由题意可直接得出点 A、B的坐标为A (1, 0) , B (0,);
(2)再根据BC是切线，可求出 BC的长，即得出点 C的坐标，由待定系数法求出抛物线的解 析式；
(3)先假设存在，看能否求出符合条件的点 D即可.
解答：解：(1),「OM为半径1
AB=2
・ ・,/ OMA= 60°,
・ ./ OAM= 60°
OA=1,OB= .3
・ •.A(1,0), B(0,、,3)
(2) AB是。M的切线
・ ./ CBA= 90°
・ •/ OAM= 60°
・ . AC=4
OA=3
C(-3,0)
设抛物线的解析式为 y ax2 bx c
把 A(1,0), B( 0,点),C(-3,0)代入得
