高考数学高分必做专题分享——导数-曲线的切线题型汇总一

【高中数学】《函数的切线问题》微专题第一讲 函数切线及其应用1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==）2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩；3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）考点1 切线及斜率问题【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞⋃+∞，，，且0x >时， ()1x x f x e-=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 析】()()()21','1,10,xx f x f f e e-=∴==∴曲线y ， 是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1＝e 2x 0－1＋ex 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A.[答案] A【例1.3】设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（ ）A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，233x -，为第一象限角）．设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【练习2】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【解析】由题意可得： ()()'ln 11f x x =++ ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,e⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1111f e e⎛⎫-+=->- ⎪⎝⎭，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为()()()000,1ln 1x x x ++ ，该点的斜率为()0ln 11k x =++ ，切线方程为： ()()()()00001ln 1ln 11y x x x x x ⎡⎤-++=++-⎣⎦，切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ，解得:00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞．00点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0) 【练习4】设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x xx x θ=+∴=+≥⋅=' [)30,,2ππθπθ⎡⎫∈∴∈⎪⎢⎣⎭． 考点2 切线条数问题【例2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（ ）A ．()e -∞，B ．()+e ∞，C ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+∞，【练习】设函数233)(x x x f -=，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y =相切，则实数n 的取值范围是（ ）A ．)4,5(--B ．)0,5(-C ．)0,4(-D ．]3,5(--【解析】法一：()323f x x x =-,则()236f x x x '=-，设切点为()32000,3x x x -,则()200036f x x x '=-．∴过切点处的切线方程为()()32200000336y x x x x x x -+=--，把点()2n ，代入得： ()()322000003362n x x x x x -+=--．整理得：3200029120x x x n -++=．若过点()2n ，可作三条直线与曲线()y f x =相切,则方程3200029120x x x n -++=有三个不同根（左图）令()322912g x x x x =-+，则()()()261812612g x x x x x '=-+=--，∴当()()12+x ∈-∞⋃∞，，时,()0g x '>；当()12x ∈，时,()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为()1-∞，和()2+∞，；单调减区间为()12，． ∴当1x =时,()g x 有极大值为()15g =；当2x =时,()g x 有极小值为()24g =．由45n <-<，得54n -<<-． ∴实数n 的取值范围是()54--，．故选A ．法二：()323f x x x =-关于点()1,2-中心对称，()()23613f x x x f ''=-⇒=-，在对称中心的切线方程为31,25y x x y =-+==-时，，()24f =-，故当点()2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n -<<-．（如右图）考点3 零点、交点、极值点问题【例3.1】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0∞－，B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．(0,)+∞【解析】函数()()ln f x x x ax =-，则()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()'ln 210f x x ax =-+=得ln 21x ax =-，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，等价于()'ln 21f x x ax =-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a =时，直线21y ax =-与ln y x = 的图象相切，由图可知，当102a <<时， ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．例3.1图 例3.2图【例3.2】设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =．在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图1所示）．当1x >时， ()ln f x x =．由ln y x =得1y x'=．设过原点的直线y ax =与函数y xln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得0 1x ea e =⎧⎪⎨⎪⎩=．所以当直线y ax =与函数ln y x =的图象切时1a e =．又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =．结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 0x >()lg 0f x a x x=--≤a A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ．()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D ．()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况， 即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，如图， 很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时，()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=，由()'1g x =-可得：1lg ln10x e =-=-，则切点坐标为：()()lg ,lg lg e e --，切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+，令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -， 结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，．故选A ．考点4 参数范围问题【例4】已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（ ）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986==) A ．3B ．4C ．5D ．6【练习】已知,a b 为正实数，直线yx a =-与曲线()ln y x b =+相切，则2a b+的取值范围为 ．考点5 距离问题和平行切线问题【例5.1】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 最小值为（ ）A ．1ln2- B)1ln 2- C ．1ln2+D )1ln 2+【例5.2】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB的最小值为（ ） A B ．2 C ．3D ．32【练习1】已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为 ．【解析】由()()02x f x f e ''=-+，令0x =可得()01f '=，所以()2x f x e x =-+，所以切线的斜率()01k f '==，又()01f =-，故切线方程为10x y --=．由题意可知与直线10x y --=平行【练习2】函数()21x f x e x x =+++与()g x 的图象关于直线230x y --=对称，P Q 、分别是函数()()f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）ABC D ．【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y --=，Q 为P 关于直线230x y --=对称取最小值．()f x e '=12+=⇒考点6 两点间距离平方问题【例6】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a c b c -++的最小值为（ ）A ．12BC ．2D ．92225ln 0x x y --=，即()225ln 0y x x x =->，以x 代换c，可得点()x x -，，满足0y x +=．因此【练习】已知()()()22ln S x a x a a R =-+-∈，则S 的最小值为（ ） AB ．12C D ．2【解析】设()()ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点()()ln A x x B a a ，，，之间距离的第二讲函数公切线问题与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。

考点49：利用导数求切线方程【题组一 求切线斜率或倾斜角】 1．曲线在点处的切线斜率为 .()sin cos f x x x =,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．曲线在处的切线的斜率等于 .x y e x =+0x =3．曲线在点处的切线的倾斜角为 .34y x x =-()1,3-4．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则()323f x x =()()1,1f α222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+ .5．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为 .2ln y x x =-1x =αcos(22πα+6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为。

234x y lnx =-12-7．点P 在曲线上移动，设点P 处切线的倾斜角为，则角的范围是 。

323y x x =-+αα8．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是 。

()3ln f x x x x -+-()y f x =()()-1,-1f【题组二 在某点处求切线】1．曲线在点处的切线方程为________.()20xy x e --=()0,2-2．曲线在点处的切线方程为__________． cos y x x =+(0,1)3．曲线在点处的切线方程为______.()3x y x e x =+()0,04．曲线在处的切线方程为__________． ()sin 1ln 1=+++y x x x 0x =5．曲线在处的切线方程为__________． ()tan ln 11=+++y x x 0x =6． 曲线在点处的切线方程为__________. cos 2xy x =-()0,17．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是()f x 0x <()ln()3f x x x =-+()y f x =(1,3)-__________．8．若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()()3212f x a x ax x =++-()y f x =()()1,1f______________．【题组三 过某点求切线】1．过原点与曲线相切的直线方程为______. 2x y e =2．已知点在函数的图象上，则过点的曲线的切线方程()1,2A ()3f x ax =A ():C y f x =是 。

专题2：利用导数求切线知识点，例题及基础测试题(原卷版）函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。

题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。

相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-（2）曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。

题型1：在点的切线例1：已知()ln f x x x =，求函数()y f x =的图象在e x =处的切线方程．题型2：过点的切线例2：已知函数，过点作曲线的切线，求切线方程．一、单选题1．过原点作曲线ln y x =的切线，则切线的斜率为（ ）A ．eB ．1eC ．1D ．21e 2．函数()25x f x e x =-+的图像在点()()0,0f 处的切线方程是（ ）A ．60x y +-=B ．60x y --=C ．60x y ++=D ．60x y -+= 3．若曲线2y ax =在x a =处的切线与直线210x y --=平行，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或1 D ．12-或1 4．已知函数2()(1)sin f x a x a x =--是奇函数，则曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为（ ）A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣15．曲线()ln f x x =在点()1,0处的切线方程为（ ）A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++= 6．曲线2y x x =+在点(1,2)P 处切线的斜率为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．函数()2ln f x x x =-+的图像在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．10x y ++= B ．10x y -+= C ．210x y -+= D ．210x y +-= 8．曲线y ＝sin x 在点（0，0）处的切线方程为（ ）A ．y ＝2xB ．y ＝xC ．y ＝﹣2xD ．y ＝﹣x 9．曲线()22x f x x x e =+-在点()()0,0f 处切线的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-2 10．已知曲线234x y lnx =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12 11．曲线sin cos y x x =+在4x π=处的切线的倾斜角的大小是( )A ．0B ．4πC ．3πD ．34π 12．已知曲线sin 2x e y x x a π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭在点1,1e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．a e =，1b =B ．a e =-，1b =C ．a e =，0b =D ．a e =-，1b =-二、填空题 12．曲线()()()2211f x x x =-+在点（1，()1f ）处的切线方程为______． 13．已知函数()321313f x x x x =---+，则在曲线()y f x =的所有切线中，斜率的最大值为______. 15．已知曲线()ln f x x x x =+在点()00,A x y 处的切线平行于直线319y x =+，则点A 的坐标为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线()3x y x ax e =+在点()0,0处的切线方程为30x y -=（e 是自然对数的底数），则实数a 的值是_____________.三、解答题17．已知P （﹣1，1），Q （2，4）是曲线y=x 2上的两点，求与直线PQ 平行且与曲线相切的切线方程．18．已知函数()(1)x f x x e ax =--的图像在0x =处的切线方程是0x y b ++=，求a ，b 的值；19．函数321y mx x =++在点()1,3m +处的切线为l ．（1）若l 与直线3y x =平行，求实数m 的值；（2）若l 与直线12y x =-垂直，求实数m 的值．20．已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线 1l 平行于直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限,⑴求P 0的坐标;⑵若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.21．已知函数()a f x x b x =++()0x ≠，其中， （1）若曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为31y x ，求函数()f x 的解析式 （2）讨论函数()f x 的单调性22．已知函数22()1f x nx x x=++ （Ⅰ）求函数()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：()0.f x >。

导数——大题——切线：1.（2022年河南益阳J37）已知函数()ln x f x x =，()()()21(0)2x g x axf x a x a =--->，()g x '为()g x 的导函数.（1）若直线y x b =+是曲线()y f x =的切线，求实数b 的值；（2）求()g x 的最大值；（①）（3）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y g x =图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为()00,C x y ，记直线AB 的斜率为k ，证明：()'0k g x >.（切线，易；第二问，未；）1.（2022年广东启光卓越J21）已知函数()()3ln f x x ax ax a =+-∈R .（1）若1a =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（②）（2）若()0f x ≤在[)1,x ∞∈+上恒成立，求实数a 的取值范围.（切线，易；第二问，未；）2.（2022年广东惠州三模J17）已知函数ln ()xa xf x e a x=--(e 为自然对数的底数)有两个零点．（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（③）（2）若()f x 的两个零点分别为2,x x ，证明：12212x x e x x e+>．（切线，易；第二问，未；）3.（2022年广东六校联考J34）若()e x f x k =，且直线e y x =与曲线()y f x =相切.(1)求k 的值；（④）（切线，中下；第二问，未；）(2)证明：当[1,2]a ∈，不等式22()sin 23f x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立.1.（2022年江苏苏州J19）已知函数21()e cos 2=++xf x a b x x （其中a ，b 为实数）的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =．（1）求实数a ，b 的值；（⑤）（切线，中下；第二问，未；）（2）证明：方程()|ln sin |f x x x =+有且只有一个实根．2.（2022年江苏南京宁海中学J13）已知0a >且1a ≠，函数21()log 2a f x x ax =+.（1）若e a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（⑥）（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（切线，易；第二问，未；）3.（2022年江苏南京五中J12）已知a R ∈，函数()()214ln 12f x x ax x =-++.（1）当0a =时，求曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间),0(+∞上存在两个不同的极值点.①求a 的取值范围；（⑦）②若当0x ≥时恒有()f x t >成立，求实数t 的取值范围.（参考数据：ln 20.69≈，ln 3 1.10≈）（切线，易；零点分析，中档；第三问，未；）4.（2022年山东百师联盟J56）已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =+--∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（⑧）（2）若方程()0f x =有两个不等实数根，求实数a 的取值范围．（切线，易；第二问，未；）1.（2022年山东淄博三模J20）已知,2m m ∈≥N ，,a b 为函数()()e xx f x m m=-的两个零点，a b <，曲线()y f x =在点(,0)a 处的切线方程为()y g x =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数．（1）当0x >时，比较()f x 与()g x 的大小；（⑨）（切线，中下；第二问，未；）（2）若120x x <<，且12()()f x f x n ==，证明：212ln ln nx x m m-<+．导数——大题——切线（中档、中上、未）：4.（2022年广东佛山J11）已知函数1()e 1xf x x a=-+，其中a ∈R 且0a ≠.（⑩）（1）设0a >，过点11,2A ⎛⎫--⎪⎝⎭作曲线:()C y f x =的切线（斜率存在），求切线的斜率；（2）证明：当1a =或20e a <≤时，1()(1)2f x ax x ≥≥-.（切线，中档；第二问，未；）①【答案】（1）1b =-（2）最大值为2ln 2a a a a+-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由()'1fx =，结合切点坐标求得b 的值.（2）由()'g x 求得()g x 的最大值.（3）将()'0k g x >转化为21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，利用换元法，结合导数来证得不等式成立.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，令()'21ln 1xfx x-==，2ln 10x x +-=，令()()()2'1ln 10,20h x x x x h x x x=+->=+>，()h x 在()0,∞+上递增，()10h =，所以()h x 有唯一零点1.所以方程2ln 10x x +-=有唯一解1x =.()10f =，即切点为()1,0，将()1,0代入y x b =+得01,1b b =+=-.【小问2详解】()()()()()22211ln 122ln 2x x x x x g x axf x a x ax a x a x a x =---=⋅---=--，其中0,0x a >>，()()2'11x a x a ag x x a x x-+-+=-+-=()()1x x a x -+-=，所以()g x 在区间()()()'0,,0,a g x g x >递增；在区间()()()',,0,a g x g x +∞<递减.所以()()()22maxln 1ln 22a a g x g a a a a a a a a ==---=+.【小问3详解】由（2）得()()2ln 12x g x a x a x =---，()'1a g x x a x =-+-，依题意1202x x x +=，要证明()'0k g x >，即证明'2112212y y x x g x x -+⎛⎫> ⎪-⎝⎭，即证明()()21'12212g x g x x x g x x -+⎛⎫> ⎪-⎝⎭，即证明()()22212212122111ln 1ln 121222x x a x a x a x a x x x a a x x x x +>-⎡⎤-------⎢⎦-⎣+-+⎥，整理得212121ln ln 2x x x x x x ->-+，不妨设120x x <<，即证()2121212ln ln x x x x x x -->+，即证21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，令211x t x =>，即证()2144ln 2,ln 20111t t t t t t ->=-+->+++，构造函数()()4ln 211m t t t t =+->+，()()()()2'22114011t m t t t t t -=-=>++，()m t 在()1,+∞上递增，()()10m t m >=，所以4ln 201t t +->+成立.得证()'0k g x >成立.【点睛】证明不等式的方法有分析法和综合法，本题采用的是分析法.即从结论()'0k g x >出发，化简得到21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，然后利用换元法，结合导数即可证得不等式成立.②【答案】（1）330x y --=（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）当1a =时，求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）分析可知，不等式()()1f x f ≤在[)1,+∞上恒成立，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：当1a =时，()3ln f x x x x =+-，则()2131f x x x'=+-，所以，()10f =，()13f '=，此时，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()31y x =-，即330x y --=.【小问2详解】解：()0f x ≤在[)1,x ∞∈+上恒成立，且()10f =，所以，()()1f x f ≤，因为()3ln f x x ax ax =+-，所以，()213f x ax a x'=+-.①当0a =时，()10f x x'=>，此时函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，则()()10f x f ≥=，不合乎题意；②当0a <时，令()()g x f x '=，则()2130g x a x '=-<，此时函数()f x '在[)1,+∞上单调递减.若()1210f a '=+≤，即当12a ≤-时，对任意的1≥x ，()()10f x f ''≤≤且()f x '不恒为零，此时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递减，则()()10f x f ≤=，合乎题意；若()1210f a '=+>，即当102a -<<时，取0113a x a-=>，则2011311a x a a -->-=-，则()200131x x a ->-，此时()2311110ax x -+<-+=，所以，()()20020000311130ax x f x ax a x x -+'=+-=<，所以，存在()101,x x ∈，使得()10fx '=，当11x x <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，则()()110f x f >=，不合乎题意；③当0a >时，因为()2ln 260f a =+>，与题设矛盾，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键在于计算得出()10f =，结合端点效应将问题转化为()()1f x f ≤恒成立，然后借助导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性求解即可.③【答案】（1）(1)y e x =-；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由()0f x =化简得到ln()xxa xe xe =，利用换元法，将要证12212x x e x x e +>转化为证明1ln 21t t t ->+，结合导数证得结论成立.【详解】（1）当1a =时，ln ()1xx f x e x=--，21ln ()x xf x e x -'=-．又(1)1f e =-，所以切点坐标为(1,1)e -，切线的斜率为(1)1k f e '==-，所以切线的方程为(1)(1)(1)y e e x --=--，即(1)y e x =-．（2）由己知得.(ln )()0x xe a x x f x x-+==有两个不等的正实根，所以方程(ln )0x xe a x x -+=有两个不等的正实根，即ln()0x x xe a xe -=有两个不等的正实根，ln()x x a xe xe =①.要证12212x x e x x e +>，只需证12212()()x x x e x e e ⋅>，即证1212()()2x xln x e ln x e +>，-令111x t x e =，222xt x e =，所以只需证12ln ln 2t t +>．由①得11ln a t t =，22ln a t t =，所以2121(ln ln )a t t t t -=-，2121(ln ln )a t t t t +=+，消去a 得221121212122111ln ln ln (ln ln )1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--，只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-．设120t t <<，令21t t t =，则1t >，所以只需证1ln 21t t t ->+．令1()ln 21t h t t t -=-+，1t >，则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t '-=-=>++，所以()(1)0h t h >=，即当1t >时，4ln 201t t +->+成立．所以12ln ln 2t t +>，即12212()()x x x e x e e ⋅>，即12212x x e x x e+>．【点睛】证明不等式恒成立问题，可利用构造函数法，结合导数求最值来进行求解.④【答案】(1)1k =(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设切点为00(,)x y ，则有000()e ()ef x x f x '=⎧⎨=⎩，解之即可的解；(2)要证当[1,2]a ∈，不等式22()sin 23f x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立，只需证当[1,2]a ∈时，不等式22e sin 23x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立，令2()2e sin 23,[0,)x h x a x x x x =+---∈+∞，只需证明()min 0h x ≥即可，利用导数求出函数()h x 的最小值，即可得证.【小问1详解】解：设切点为00(,)x y ，()e x f x k ¢=，则000000()e e e ()e e e x x f x x k x f x k =⎧⎧=⇒⎨⎨==⎩'⎩，解得：01,1x k ==，1k ∴=；【小问2详解】证明：要证当[1,2]a ∈，不等式22()sin 23f x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立，只需证当[1,2]a ∈时，不等式22e sin 23x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立，令2()2e sin 23,[0,)x h x a x x x x =+---∈+∞，令()()2e cos 23,[0,)xg x h x a x x x ==+-'-∈+∞，()2e sin 2,[0,)x g x a x x '=--∈+∞，令()sin ,[0,)m x x x x =-∈+∞，则o 0(c )1s x m x =-≥'，所以函数()m x 在()0,∞+上递增，所以()(0)0m x m ≥=，所以sin ,[0,)x x x ≤∈+∞，故()()2e sin 22e 22e 222e 1xxxxg x a x ax x x '=--≥--≥--=--，()[)()e 1,0,x x x x ϕ=--∈+∞令，则()e 10,(0)x x x ϕ'=-≥≥，所以函数()x ϕ在()0,∞+上递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以()()2e 10xg x x '≥--≥，所以函数()g x 在()0,∞+上递增，即函数()h x '在()0,∞+上递增，又(0)230h a +-'=≥，所以()0h x '≥，所以()h x 在()0,∞+上递增，又因为(0)0h =，故()0,[0,)h x x ≥∀∈+∞恒成立，即当[1,2]a ∈，不等式22()sin 23f x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立.【点睛】本题考查了导数的几何意义，还考查了利用导数证明不等式问题，考查了放缩及转换思想，考查了学生的数据分析能力、计算能力及逻辑推理能力，难度很大.⑤【答案】（1）1,1.a b =⎧⎨=-⎩（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得()e sin '=-+x f x a b x x ，由题知(0)0(0)1f a b f a =+=⎧⎨=='⎩，解方程得解.（2）令()ln sin g x x x =+，分三种情况讨论：当[,)x π∈+∞，[1,)x π∈，(0,1)x ∈时()g x 的零点情况；令()()|ln sin |x f x x x ϕ=-+，分两种情况讨论：当()00,x x ∈，()0,x x ∈+∞时，对()ϕx 求导，借助()ϕx 单调性及零点存在性定理，判断()ϕx 的零点情况，进而得证.【小问1详解】因为21()e cos 2=++xf x a b x x ，所以()e sin '=-+x f x a b x x ．因为()y f x =的图象在(0,(0))f 处的切线为y x =，所以(0)0(0)1f a b f a =+=⎧⎨=='⎩解得1,1.a b =⎧⎨=-⎩【小问2详解】令函数()ln sin g x x x =+，定义域为(0,)+∞．当[,)x π∈+∞时，ln 1,sin 1x x >≥-，所以()ln sin 0g x x x =+>；当[1,)x π∈时，ln 0,sin 0x x ≥>，所以()ln sin 0g x x x =+>；当(0,1)x ∈时，由1()cos 0g x x x+'=>知()g x 在(0,1)上单调递增，又11(1)sin10,1sin0e e⎛⎫=>=-+< ⎪⎝⎭g g 且函数连续不间断，所以0(0,1)x ∃∈，有()000ln sin 0g x x x =+=．综上所述，函数()g x 在(0,)+∞有唯一的零点0(0,1)x ∈，且()g x 在()00,x 上恒小于零，在()0,x +∞上恒大于零．令函数()()|ln sin |x f x x x ϕ=-+，讨论如下：①当()00,x x ∈时，21()()|ln sin |e cos ln sin 2=-+=-+++xx f x x x x x x x ϕ，求导得1()e (sin cos )⎛⎫=++++ ⎪'⎝⎭xx x x x x ϕ．因为12,sin cos 2x x x x +≥+≥-，所以1()e (sin cos )0⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭'x x x x x x ϕ，即函数()ϕx 在()00,x 单调递增．又因为()()0022000000011e cos ln sin e cos 022=-+++=-+>xx x x x x x x ϕ，()333e 363e 63311e e cos e e 3sin e e e sin e 3cos e 022---------⎛⎫=-+-+=++--< ⎪⎝⎭ϕ，所以函数()ϕx 在()00,x 存在唯一的零点，所以方程()|ln sin |f x x x =+在()00,x 上有唯一的零点．②当()0,x x ∈+∞时，21()()|ln sin |e cos ln sin 2=-+=-+--xx f x x x x x x x ϕ．法一：由（1）易证21e cos 2-+>xx x x 在(0,)+∞上恒成立．事实上，令21()e cos 2=-+-xh x x x x ，则()e sin 1=+'+-x h x x x ．因为()e (cos 1)0=++''>x h x x ，所以()h x '在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h ''>=，即()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h >=，即21e cos 2-+>xx x x 在(0,)+∞上恒成立．从而21()e cos ln sin ln sin ln 102=-+-->--≥--≥xx x x x x x x x x x ϕ，所以方程()|ln sin |f x x x =+在()0,x +∞上无零点．综上所述，方程()|ln sin |f x x x =+有且只有一个实根．法二：因为1ln x x -≥，所以ln(1)x x ≥+，所以e 1x x ≥+，所以e ln (1)(1)2-≥+--=x x x x ，所以2211e cos ln sin (2sin cos )022-+--≥--+>xx x x x x x x ，所以方程()|ln sin |f x x x =+在()0,x +∞上无零点．综上所述，方程()|ln sin |f x x x =+有且只有一个实根．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题第一问考查导数的几何意义，第二问利用导数求函数的单调区间，判断单调性，并借助零点存在性定理研究方程的实根，考查数形结合思想的应用．⑥【答案】（1）()1112y e x e =+--（2）110,,1a e e ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）由a e =时，得到()21ln 2f x x ex =+，求导，进而得到()()1,1f f '，写出切线方程；（2）将函数()f x 有两个零点，转化为函数2ln x y x =与1ln 2y a a =-的图象在()0,x ∈+∞上有两个交点求解.【小问1详解】解：当a e =时，()21ln 2f x x ex =+，则()1f x ex x'=+，故()1111f e e '=+=+，1x =时，()111ln122f e e =+=，故切点为11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 在1x =处的切线方程为()()1112y e e x -=+-，即()1112y e x e =+--.【小问2详解】函数()f x 有两个零点，⇔方程21log 02a x ax +=在()0,x ∈+∞上有两个根，⇔方程2ln 1ln 2x a a x =-在()0,x ∈+∞上有两个根，⇔函数2ln xy x=与1ln 2y a a =-的图象在()0,x ∈+∞上有两个交点，设()2ln x g x x =，则()312ln x g x x -'=，()312ln 0x g x x -'=>时，0x e <<；()312ln 0xg x x-'=<时，x e >，所以()2ln xg x x=在(e 上单调递增，在)e +∞上单调递减，由()10g =，12g e e =，当1x >时，()0g x >，当x →+∞时，()0g x →，作图如下：由图得110ln 22a a e <-<，即1ln 0a a e-<<，设()()ln 0h x x x x =>，则()1ln h x x '=+，()1ln 0h x x '=+>时，1x e >，()1ln 0h x x '=+<时，10x e<<；所以()ln h x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为01x <<时ln 0x <，且()10h =，所以当01x <<时，()10h x e-≤<；当1x >时，()0h x >，又因为()min 11h x h e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以1ln 0x x e -<<的解集为110,,1e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述110,,1a e e ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.⑦【答案】（1）4y x =；（2）①34a <<；②158ln 22t ≤-.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求()()0,0f 处的切线方程即可.（2）①由题意知，()2140x a x a --+-=有两个不相等的正根，即可求a 的取值范围；②由①得到()f x 的单调区间，可知要使0x ≥时，恒有()f x t >成立，只需满足()(){}2min 0,t f f x <，而2212152a a a x -++-=，结合①的结论得()21,3x ∈，则()()3222222222414ln 121x x x f x x x x ++=-+++，构造中间函数并应用导数研究单调性，确定()2f x 的范围，即可比较()()20,f f x 的大小，进而求t 的取值范围.【详解】（1）当0a =时，()()214ln 12f x x x =++，则()41f x x x '=++，∴()00=f ，()04f '=，即所求的切线方程为4y x =.（2）①()()214411x a x a f x x x x a --+-+'=-=++，设()f x 在),0(+∞上的极值点为1x ，()212x x x <，则1x ，2x 是方程()2140x a x a --+-=的两正根，∴()()2401021440a a a a ⎧->⎪-⎪>⎨⎪⎪∆=--->⎩，解得34a <<.②由①知：当10x x ≤<时，()0f x ¢>，所以()f x 单调递增；当12x x x <<时，()0f x ¢<，所以()f x 单调递减；当2x x >时，()0f x ¢>，所以()f x 单调递增.∴要使0x ≥时，恒有()f x t >成立，只需满足()(){}2min 0,t f f x <.由2212152a a a x -++-=，34a <<，则()21,3x ∈，又222241x x a x ++=+，∴()()()322222222222224114ln 14ln 1221x x x f x x ax x x x x ++=-++=-+++，()21,3x ∈.设()()322144ln 121x x x F x x x x ++=-+++，()1,3x ∈，则()()()()2131x x x F x x --+'=+.∴()0F x '<，()F x 在()1,3上单调递减，即()()1538ln 22F x F >=-，从而()2158ln 22f x >-.由ln 20.69≈，得158ln 202-<，又()00=f ，∴()(){}215min 0,8ln 22f f x >-，得158ln 22t ≤-.【点睛】关键点点睛：第二问，①求()f x ¢的解析式，将问题转化为()2140x a x a --+-=有两个不相等的正根求参数范围；②由①判断()f x 的区间单调性，将问题转化为()(){}2min 0,t f f x <，再构造中间函数并应用导数求()2f x 的范围，并比较()()20,f f x 的大小关系.⑧【答案】（1）12y =（2）(2,)+∞【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，求出切线方程；（2）求定义域，求导，对导数因式分解，由最小值小于0得到2a >，进而证明充分性成立，a 的其他范围均不合要求，得到a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，21()ln 2f x x x =-，所以1()f x x x'=-，又有1(1),(1)02f f =='，所以切线方程为12y =．【小问2详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，∵21()(1)ln 2f x ax a x x =---，∴21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x---+-=---=='，若方程()0f x =有两个不等实数根，即函数()f x 有两个不同的零点，当0a ≥时，由()0f x '<得：(0,1)x ∈，由()0f x '>得(1,)x ∈+∞，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴若函数()f x 有两个不同的零点则必有1(1)102f a =-+<，即2a >．此时，在(1,)x ∈+∞上有(2)22(1)ln 22ln 20f a a =---=->，在(0,1)x ∈上，2120x x -<-<，∵()21()2ln 2f x a x x x x =-+-，∴()1ln 2f x a x x >-+-，∴111122221e e ln e e 02a a a f a ----⎛⎫⎛⎫>-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()f x 在区间()0,1、(1,)+∞上各有一个零点，故2a >满足题意；当1a =-时，∵函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴函数()f x 至多一个零点，不合题意；当10a -<<时，∵函数()f x 在区间(0,1)上单调递减，在11,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，∴函数()f x 的极小值为1(1)102f a =->，∴函数()f x 至多一个零点，不合题意；当1a <-时．∵函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴函数()f x 的极小值为11111(1)ln 1ln()022f a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+---=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 至多一个零点，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(2,)+∞．【点睛】导函数研究函数的零点个数问题，一般思路为求定义域，求导，得到函数极值，最值情况，进而由最值情况先得到必要性，再证明充分性.⑨【答案】（1）()()f xg x >（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程，作差即可比较大小；（2）先求出曲线()y f x =在点(ln ,0)m 处的切线方程，作差后构造函数()()()F x f x h x =-，利用导数求最小值为0，可得()()f x h x ≥，设()h x n =的正根为0x ，可得2103(11ln ln x x mn x x m m m --<-=++，再利用放缩法求证即可.【小问1详解】令()(e )0xx f x m m=-=，因为a b <所以函数()f x 的两个零点分别是0a =，ln b m =，e ()(1)1xf x x m+'=-，所以11(0)1m f m m -='-=，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为1my x m-=，所以1(e )(e 1)()()x x x m x m x x m m mf xg -=---=-，若0x >，则()()0f x g x ->，即()()f x g x >．【小问2详解】e ()(1)1xf x x m+'=-，所以(ln )ln f m m ='，所以曲线()y f x =在点(ln ,0)m 处的切线方程为ln (ln )y m x m =-，记()ln (ln )h x m x m =-，)(()()()ln (l )n e xF x x m mf x h x m x m =-=---，e (1)l 1(n )x x m m F +-=-'，2)0(()e xF mx x '+'>=，所以()F x '在(0,)+∞上单调递增，又(ln )0F m '=，所以当(0,ln )x m ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()F x 在ln x m =处取得极小值，即()(ln )0F x F m ≥=，即当0x ≥时，()()f x h x ≥，设()h x n =的正根为0x ，则0ln (ln )m x m n -=，所以0ln ln nx m m=+，因为()h x 是增函数，220()()()h x f x n h x ≤==，即20x x ≤，结合（1），设1()m g x x n m -==的根为3x ，则31mnx m=-，因为()g x 为减函数，113()()()g x f x n g x <==，所以13x x ≥，所以2103()11ln ln x x mn x x m m m --<-=++，设1()ln x x x x ϕ-=-，22111()0(2)x x x x x xϕ-=-=>≥'，所以()ϕx 在[2,)+∞上单调递增，1()(2)ln 202x ϕϕ≥=->，所以1ln 0m m m-->，所以11ln m mm -<，所以112ln ln m mm m >+-，()()e 11x f x x m +'=-，()(2)0xe f x x m=+'>'，所以′(p 单调递增，因为1(0)10f m'=-<，(ln )ln 0f m m '=>，所以存在唯一4(0,ln )x m ∈，使得4()0f x '=，当4(0)x x ∈,时，()0f x '<，()f x 单调递减；当4(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；因为(0)(ln )0f f m ==，若关于x 的方程()f x n =有两个正根，必有0n <，所以(112ln ln m m n m nm +<-，所以212ln ln n x x m m-<+【点睛】思路点睛：本题第二问难度很大，证明212ln ln nx x m m-<+的过程中，用导数最值先证明2103(11ln ln x x m n x x m m m --<-=++，再利用()112ln ln mm n m n m +<-放缩得证，思维难度较大，属于难题.⑩【答案】（1）112a -；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)设出切点坐标，对函数()f x 求导，再借助导数的几何意义列式计算作答.(2)当1a =时，不等式等价转化为证1e 12xx x -≥+，当20ea <≤时，转化证明111e e 22x x ax x a -≥-，作差构造函数即可推理作答.【小问1详解】0a >，11()e 21x f x a x '=-+，而1(1)0e f a -=>，即点11,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭不在曲线C 上，设切点000(,()),1T x f x x >-，则切线AT 的斜率为00011()e 21x f x a x k '=+=，又001()21f x k x +=+，于是得00002()111e 2(1)21x f x a x x +=++000002(1)1e 12(e 1)1x x x x x a a +-+=-++，整理得：002e 110x x x a ++=，即00002e 011x x a x =++，有00021(e )011x x a x +=++，而0021e 011x a x +>++，因此，00x =，11(0)2f a '=-，所以切线的斜率为112a -.【小问2详解】当1a =时，1x ≥-，111()e 10e 1222x x f x ax x x x x ≥⇔-+≥⇔-≥+令()e 1x h x x =--，求导得()e 1x h x '=-，当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，即函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，R x ∀∈，()(0)0h x h ≥=，即e 1x x ≥+，因此当1x ≥-时，111(1)e 11222xx x x x ++-≥+=≥+，当且仅当0x =时取“=”，则1e 102xx x -+≥，于是得当1a =且1x ≥-时，1()2f x ax ≥.当20e a <≤时，1x ≥-，111()e 122x f x ax ax x a ≥⇔-≥+，令1e )(1)(21111()e ()22x x x x a x ax x a a ϕ-=+-=--，1x ≥-，由20e a <≤得10a ->，则(1)(11()e )02x x a a ϕ'+->=，即()ϕx 在[1,)-+∞上单调递增，又(1)11(1))0e (2a a ϕ=--≥-，即当1x ≥-时，()(1)0x ϕϕ≥-≥，于是得当20e a <≤，1x ≥-时，111e e 22x x ax x a -≥-，而1e 12xx x -≥+，因此，11e 12x ax x a -≥+，从而得当20e a <≤，1x ≥-时1()2f x ax ≥，所以当1a =或20e a <≤时，1()(1)2f x ax x ≥≥-.【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f (x )的切线问题，先设出切点坐标00(,)x y ，求导并求出切线方程000()()y y f x x x '-=-，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.。

切线题型归纳总结学习目标理解导数与函数之间的联系，掌握导数的几何意义，及其作为工具在解决有关函数问题的作用，核心是利用导数研究函数单调性及其极值最值.知识点函数()x f y =在0x x =处导数()0x f '是曲线()x f y =在点()()00x f ,x 处切线l 的斜率，切线l 的方程是()()()000x x x f x f y -'=-.注意:直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点.热身训练1.已知曲线x ln x y 342-=的一条切线斜率是21，则切点的横坐标为______; 3 2.设0>a ，()c bx ax x f ++=2，曲线()x f y =在点()()00x f ,x P 处切线的倾斜角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，，则P 到曲线()x f y =对称轴距离的取值范围为______.⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 210， 3.曲线113+=x y 在点()121,P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是________. 94.若点P 是曲线x ln x y -=2上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小值为______. 解析：由已知x x y 12-='，令112=-xx ，解得1=x .曲线x ln x y -=2在1=x 处的切线方程为x y =.两直线x y =，2-=x y 之间的距离为21.切线问题常见题型（1）求切线方程：①在曲线上一点的切线方程；②过一点的切线方程. （2）求切点坐标；（3）求切线方程的参数值或者范围；（4）求公切线（公切点或者两个切点）； （5）判断切线的条数；2.切线的应用（1）研究最值极值； （2）判断位置关系 （3）讨论方程的根的情况 （一）求切线方程例1.【例3】已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程； （2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【解析】（1）由()231f x x '=-，()12f '=，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为22y x =-．（2）设切点的坐标为()3000,x x x -，则所求切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--代入点()1,0的坐标得()()320000311x x x x -+=--，解得01x =或012x =-当012x =-时，所求直线方程为1144y x =-+由（1）知过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程为22y x =-或1144y x =-+． 总结：求曲线在某点处的切线方程的步骤过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程． 变式训练1：已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程． 【答案】（1） 10x y -+=（2）10x y -+=或570x y --=.变式训练2：设函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线为l ，若垂直于函数()x f的图像在点()()11f ,处的切线，求直线l 的方程解析：因为()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥+-=e x ,x ln x e x ,x ln x x f 01122，故()21=f ，而()11='f ，又当e x ≥时，()x x x f 12+='，得()x f y '=在[)+∞,e 上单调递增，此时()ee xf 12+≥'，故当e x ≥时，()x f 的图像上任意一点的切线都不垂直于函数在点()()11f ,处的切线，当e x <<0时，由于函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线l 垂直于函数()x f 的图像在点()()11f ,处的切线，故()10-='x f ，则210=x ，故直线l 的方程为024744=--+ln y x（二）求切线方程的参数例1．已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．1D ．3 【解析】设切点为00(,)x y 因为切线y x m =-+，所以0003|21x x y x x ='=-=-， 解得0031,2x x ==-（舍去）代入曲线23ln y x x =-得01y =， 所以切点为1,1（）代入切线方程可得11m =-+，解得2m =.例2.（2015全国卷1（21）） 已知函数()413++=ax x x f ，当a 为何值时，x 轴为曲线()x f y =的切线.答案：43-=a 例3.设曲线()xe ax y 1-=在点()10y ,x 处的切线为1l ，曲线()xe x y --=1在点()20y ,x 处的切线为2l ，若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是________解析：函数()x e ax y 1-=的导数：()xe a ax y 1-+='，故1l 的斜率为：()0101xe a ax k -+=，函数()xex y --=1的导数：()xe x y --='2，故2l 的斜率：()0202x ex k --=，可得121-=k k ，从而()010x e a ax -+()1200-=--x e x ，故()32002-=--x x x a ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x 得，02020≠--x x ，故230200---=x x x a ，令()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤---=230232x x x x x f ，则()()()()22251-----='x xx x x f ，令导数大于0，得510<<x ，故在()10,是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛231，上是增函数，00=x 时取得最大值为23；10=x 时取得最小值为1，故231≤≤a . 变式训练1： 设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 变式训练2： 已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( ) AB．2C． 【解析】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.设21y x =-与函数()e xg x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e =222x a ==.故选：B.变式训练3：已知b ,a 为正实数，直线a x y -=与曲线()b x ln y +=相切，则ba -22的取值范围是（ C ）()+∞,.A 0 ()10,.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛210,.C [)+∞,.D 1（三）公切线问题 题型一：公切点 例1.曲线221x y =与x ln e y =相切于点⎪⎭⎫ ⎝⎛e ,e 21.求切线方程解析：设曲线221x y =在1x x =处的切线方程为()112121x x x x y -=-①，曲线x ln e y =在2x x =处的切线方程为()222x x x ex ln ye -=②，由两曲线有公切线知，联立①②，消掉2x 得02121=-x ln e x ，设(),x ln e x x g 22-=则()()()e x e x xx g -+='2，可得()()0==e g x g min ，即e x x ==21，因此公切线方程为e x e y 21-=.变式训练1.已知函数()12-=x x f 与函数()()0≠=a x ln a x g ，若曲()x f y =，()x g y =的图像在点()01,处有公共的切线，则实数a =_______.2变式训练2.若一直线与曲线x ln y =和曲线()02>=a ay x 相切于同一点P ，则=a ___.2e题型二：两个切点例2.（2016全国卷1理16）若直线b kx y +=是曲线2+=x ln y 的切线，也是曲线()1+=x ln y 的切线，则b =_____解析：设2+=x ln y 在切点()11y ,x 处的切线方程为：1111++⋅=x ln x x y ； ()1+=x ln y 在切点()22y ,x 处的切线方程为：()11112222+-+++=x xx ln x x y ， 联立得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=++=111111222121x x x ln x ln x x，解得212121-==x ,x ，∴2111ln x ln b -=+=.变式训练1：曲线12-=x y 和1-=x ln a y 存在公切线，则正实数a 取值范围是_()e ,20__变式训练2.若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()()10xg x ae a =+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．240,e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．280,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．22e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．26e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【解析】设公切线与f （x ）＝x 2+1的图象切于点（x 1，21x +1），与曲线C ：g （x ）＝ae x +1切于点（x 2，21x ae +），∴2x 1＝2x ae＝()()222211212111x x aex aex x x x x +-+-=--，化简可得，2x 1＝211212x x x x --，得x 1＝0或2x 2＝x 1+2，∵2x 1＝2x ae ，且a ＞0，∴x 1＞0，则2x 2＝x 1+2＞2，即x 2＞1，由2x 1＝1x ae 得a ＝()2221412x x x x ae ae-=， 设h （x ）＝()41xx e-（x ＞1），则h′（x ）＝()42xx e-，∴h （x ）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h （x ）max ＝h （2）＝24e ，∴实数a 的取值范围为（0，24e ] （四）切线条数问题例1.已知三次函数()()2613+-+=x x x f ,若过点()m ,A 1()4≠m 可作曲线()x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围.解析：()()6132-+='x x f ，由题意知点A 不在曲线上，过点A 作曲线()x f y =的切线，设切点()00y ,x M ，则切线方程为()()()000x x x f x f y -'=-，代入点A 化简得062030=+-m x x ，若有三条切线，则方程有三个不等的实根，设()m x x x g +-=030062，则()66200-='x x g ，由()00>'x g 可得，10>x 或10-<x ，故()0x g 在区间()1-∞-,和()∞+，1上单调递增，即得极大值()1-g ，极小值为()1g ；方程满足有三个实根的充要条件是()()⎩⎨⎧<>-0101g g ，即44<<-m变式训练：设函数()c bx x a x x f ++-=23231，其中0>a ，曲线()x f y =在点 ()()00f P ，处的切线方程为1=y（1）确定c ,b 的值（2）若过点()20,可作曲线()x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围. 答案：（1）10==c ,b（2）()∞+，332 （五）切线综合问题例1.设曲线()x e x f x--=上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()x cos ax x g 2+=上一点处的切线2l ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是（ ）(]32,.A - ()32,.B - []21,.C - ()21,.D -解析：由()x e x f x--=，得()1--='xe xf ，∵11>+xe ，∴()1011,e x∈+，由()x cos ax x g 2+=，得()x sin a x g 2-='，又∵[]222,x sin -∈-，∴[]a ,a x sin a ++-∈-222，要满足题意，则得⎩⎨⎧≥+≤+-1202a a ，得21≤≤-a .变式训练1.若函数()x sin ax x f +=的图像上存在互相垂直的切线，则实数a 的值____.0 变式训练2.已知函数()2ax x f =，若存在两条过点()21-,P 且互相垂直的直线与函数()x f的图像都没有公共点， 则实数a 的取值范围为______. 81>a 课后训练1.若直线kx y =与曲线x x x y 2323+-=相切，试求k 的值. 答案：412或解析：设kx y =与x x x y 2323+-=相切于()00y ,x P ，则00kx y =，02030023x x x y +-= ∵2632+-='x x y ，()2630200+-='=x x x f k ，联立得()02030002023263x x x x x x+-=+-，解得00=x 或23-，即2=k 或41-=k2. 已知函数()ax e x f x2-=与()()x a ax x x g 1223+-+-=的图像不存在互相平行或者重合的切线，则实数a 的取值范围为_______.[]33,-3.曲线()01<-=x xy 与曲线x ln y =（切线相同）的条数为______. 答案：14.直线l 与曲线()02>=x x y 和()03>=x x y 均相切，切点分别为()11y ,x A ，()22y ,x B ，则21x x 的值为______. 答案：34.5.已知()x x x f 33-=，过点()m ,A 1可作曲线的三条切线，则m 的取值范围是___.()23--,6.直线b x y +=是曲线x ln a y =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是_____. 1-。

【高考数学】导数的切线方程【套路秘籍】1. 导数的几何意义：切线的斜率2. 求斜率的方法 （1）公式：/12012tan ()y y k f x x x α-===-0απ为直线的倾斜角，范围[0,),x 是切点的横坐标（2）当直线l 1、l 2的斜率都存在时：1212l l k k ⇔=，12120l l k k ⊥⇔•= 3. 切线方程的求法 （1）求出直线的斜率 （2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式00()y y k x x -=-写出直线方程。

【套路修炼】考向一 斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为 。

(2)设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________．【举一反三】1.已知在曲线2y x =上过点00(),P x y 的切线为l ． （1）若切线l 平行于直线45y x =-，求点P 的坐标； （2）若切线l 垂直于直线2650x y -+=，求点P 的坐标； （3）若切线l 的倾斜角为135︒，求点P 的坐标．考向二 在某点处求切线方程【例2】设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．【举一反三】1.函数f (x )＝e x cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为 。

2.曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为_ __.考向三 过某点处求切线方程【例3】已知函数()3f x x =，则过（1,1）的切线方程为__________．【举一反三】1．已知曲线f(x)=1x ，则过点(−1,3)，且与曲线y =f(x)相切的直线方程为 。

2．过点p(−4,0)作曲线y =xe x 的切线，则切线方程为_______________________. 3．过坐标原点(0, 0)作曲线y =e x 的切线,则切线方程为________.考向四 求参数【例4】已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为 ． 【举一反三】1.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝ .2.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为 。

切线问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,由确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等. 二、解题秘籍(一) 求曲线在某点处的切线求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简．【例1】（2022届天津市静海区高三上学期开学摸底）已知函数()ln 2f x x x =+,()2g x x mx =−.（1）在()f x 点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在[](),20t t t +>上的最小值；（3）若存在01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()0002mf x g x x m '+≥+成立,求实数m 的取值范围.【分析】（1）由()12f =,()ln 1f x x '=+,()11f '=,得函数在()()1,1f 处的切线方程为21y x −=−即10x y −+=.（2）()'ln 1(0)f x x x =+>令()'0f x =,解得1=x e ,则1x e >时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,10x e<<时,()'0f x <,函数()f x 单调递减1≥t e ,()()min ln 2f x f t t t ==+；10<<t e ,()min 112f x f e e ⎛⎫==−+ ⎪⎝⎭(3)先证明ln 0x x −>恒成立,故2max2ln x x m x x ⎛⎫−≤ ⎪−⎝⎭ 1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,令()22ln x xh x x x −=−,1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()()()()()()()222122ln 21122ln ln ln x x x x x x x x x h x x x x x ⎛⎫−−−−−⎪−+−⎝⎭'==−−,因为1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以222ln x x +>≥,即22ln 0x x +−>,所以当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()0h x '<,()h x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,当(]1,x e ∈时,()0h x '>,()h x 在(]1,e 上单调递增,2212112011e e e h e e e e−−⎛⎫==< ⎪+⎝⎭+,()2201e e h e e −=>−, 所以()()()max 21e e h x h e e −==−,所以()21e e m e −≤− (二)求曲线过某点的切线求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x 0,y 0),解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0,y 0),进而确定切线方程．【例2】（2022届河北省部分学校高三上学期第一次月考）已知函数()1e ln xf x x −=−.（1）求过点()0,1与曲线()y f x =相切的切线方程.（2）若0a >,函数()()()1h x f x a x =−−有且只有一个零点0x ,证明：()01,2x ∈.【分析】（1）设切点()()00,x f x ,则()0100e ln x f x x −=−.因为()11e x f x x−'=−,所以()01001e x k f x x −'==−, 所以切线方程为()()00110001e ln e x x y x x x x −−⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭, 将点()0,1代入,得()01001e ln 0x x x −−+=.01x =,切点为()1,1,k =0,故所求切线方程为1y =.（2）由()1eln x h x x ax a −=−−+得()11e x h x a x−'=−−.先证明e 1x x ≥+,所以()1111e 110111ah a a a a a a a '+=−−≥+−−=−>+++. ()11e x h x a x−'=−−在()0,∞+上单调递增,且()10h a '=−<,所以存在唯一的()01,1t a ∈+,使得()00h t '=,即001e 10ta t −−−=.当()00,x t ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减；当()0,x t ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增.所以当0x t =时,()h x 取得最小值,且()110h =>.()ln 11ln x x x x ≥+⇒−≥,x =1时取“=”,则ln x x >,所以()()1e1x h x a x a −>−++,2211212eee e 244x x x x x x x x −−−−≥⇒≥⇒≥⇒≥, 所以()()()2114144x h x a x a x x a a >−++=−++⎡⎤⎣⎦,则()410h a a +>>⎡⎤⎣⎦,于是要使()h x 有唯一的零点,则()()000h t h x ==,即01e 1x a x −=+, 所以()()000001ln 201h x x ax a x x =−−+=>. 设()1ln 2φx x ax a x=−−+,则()x ϕ在()1,+∞上单调递减. 因为()110φa =+>,()12ln 202φ=−<, 所以012x <<,即()01,2x ∈. (三)求曲线的切线条数求曲线切线的条数一般是设出切点()(),t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题.【例3】（2022届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数()ln af x x x=+,a ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线()y f x =相切,求a 的取值范围. 【分析】（1）221()a x af x xx x−'=−=,0x >, 当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上单调递增；0a >时,()f x 在(0,)a 上单减,在(,)a +∞上单增；（2）设切点横坐标为0x ,则切线方程为0200012ln 1a ay x x x x x ⎛⎫=−++− ⎪⎝⎭,代入(0,0)得002ln 10a x x +−=,即0002ln a x x x =−,关于0x 的方程0002ln a x x x =−在(0,)+∞内恰有两个解,令()ln g x x x x =−,()g x 在(0,1)上单增,在(1,)+∞上单减,又(1)1g =,当0x →时,()0g x →,且()0g e =,故当021a <<时,方程()2g x a =有两个解,所以102a <<,故a 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.(四)曲线的公切线研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.【例4】已知函数()()()1ln 1,x f x x g x e −=+=（1）若直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线,求直线l 的方程； （2）证明：2ln 1x x x e x <−−．（参考数据：0.69ln 20.7<<）【分析】（1）1()1f x x '=+,1()x g x e '−=, 函数()f x 在点11(,())x f x 处的切线方程为：1111ln(1)()1y x x x x −+=−+,即11111ln(1)11x y x x x x =++−++, 函数()g x 在点22(,())x g x 处的切线方程为：22112()x x y ee x x −−−=−,即22112(1)x x y e x e x −−=+−,因为直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线, 所以22111112111ln(1)(1)1x x e x x x e x x −−⎧=⎪+⎪⎨⎪+−=−⎪+⎩, 将211ln(1)x x −=−+代入得1ln(1)1111ln(1)ln(1)1x x x e x x −++−=⋅++,即111ln(1)x x x +=, 所以10x =或11x e =−,若10x =,则21x =,此时直线l 的方程为：y x =； 若11x e =−,则20x =,则此时直线l 的方程为：11y x e e =+,综上得：y x =或11y x e e=+.（2）先证明ln 1≤−x x ,所以2ln x x x x ≤−,设2()21(0)x F x e x x x =−+−>,则()41x F x e x '=−+,令()()41x G x F x e x '==−+,则()'4xG x e =−,令()'0G x =,得ln 4x =,所以存在12,x x 使得()F x 满足()F x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增,在12(,)x x 上单调递减, 所以{}{}min 22()min (0),()min 0,()F x F F x F x ==,又因为22222222()21252x F x e x x x x =−+−=−+−,且2ln 42x <<,因为2252y x x =−+−在(ln 4,2)上单调递减,所以2222520x x −+−>,所以2()0F x >,所以2()210x F x e x x =−+−>,即221ln x e x x x x x −−>−≥,即2ln 1x x x e x <−−.(五)取得满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.【例5】（2021届北京人大附中高三考前热身）已知函数()22x f x e x =−.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）是否存在()12,0,2x x ∈,使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直？说明理由.（参考数据： 2.72e ≈,ln 20.69≈）【分析】由（1）()'01f =,()01f =,得切线方程为 1y x =+.（2）令()()'4xg x f x e x ==−,若存在()12,0,2x x ∈,使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直,则存在()12,0,2x x ∈,()()121g x g x ⋅=−.()'4x g x e =−,令()'0g x =,解得：()ln 40,2x =∈.所以()g x 在()0,ln 4上单调递减,在()ln 4,2上单调递增.()01g =,()ln 444ln 4 1.42g =−≈−,()2280.6016g e =−≈−故()[)1.42,1g x ∈−,所以存在()12,0,2x x ∈,使得()()121g x g x ⋅=−,例如()()1265,56g x g x =−=.三、典例展示【例1】函数()()ln 1,f x a x a =+∈R ．（1）当1a =时,求曲线()y f x =在3x =处的切线方程；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞,都有()212f x x x −恒成立,求实数a 的取值范围；（3）设()()1,0p x f x a =−>,若()()1122,,,A x y B x y 为曲线()y p x =的两个不同点,满足120x x <<,且()312,x x x ∃∈,使得曲线()y p x =在3x 处的切线与直线AB 平行,求证：123.2x x x +< 【解析】（1）当1a =时,()()ln 1f x x =+,得出切点()3,ln4, ()1,1f x x '=∴+Q 切线的斜率()13.4k f '== ∴曲线()y f x =在3x =处的切线方程为()1:ln434y x −=−, 化为48ln230.x y −+−=（2）对任意[)0,x ∈+∞,()212f x x x −恒成立,即()21ln 102a x x x +−+恒成立．令()()()()()2211ln 10.10211a x a h x a x x x x h x x x x x +−=+−+=−+=++'．①当1a 时,()0h x '恒成立,∴函数()h x 在[)0,x ∈+∞上单调递增,()()00,h x h ∴=1a ∴时符合条件．②当1a <时,由()0h x '=,及0x ,解得x = 当(x ∈时,()0h x '<；当)x ∞∈+时,()0.hx '>则()h x 在(单调递减,在)∞+单调递增．所以()()min 00h x hh =<=,这与()0h x 相矛盾,应舍去．综上可知1,a a 的取值范围为[1,)+∞ （3）()()2121ln ln 1ln ,AB a x a x p x f x a x k x x −=−==−．()()33,,a ap x p x x x ''=∴=QQ 曲线()y p x =在3x 处的切线与直线AB 平行,21213ln ln ,a x a x ax x x −∴=−要证123:.2x x x +<即证明212121ln ln 2a x a x a x x x x −>−+,变形可得()2211221211212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫− ⎪−⎝⎭>=++,令21x t x =,则 1.t > 要证明的不等式等价于()()()21ln 1ln 21.1t t t t t t −>⇔+>−+构造函数()()()1ln 21,(1)q t t t t t =+−−>．()11ln 2ln 1(1)t q t t t t t t+=+−=+−>' 则()()221110,t q t q t t t t−=−=>∴'''在区间()1,+∞上单调递增．()()10,q t q ∴'>='∴函数()q t 在区间()1,+∞上单调递增, ()()()10,0q t q q t ∴>=∴>在()1,+∞上恒成立． ()()1ln 21t t t ∴+>−在()1,+∞上恒成立,即1232x x x +<成立． 【例2】（2021届安徽师大附中高三5月最后一卷）已知函数()x f x e =,()ln g x x =.（1）若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为y kx b =+,且存在实数m ,n ,使得直线()y m k x n b −=++与曲线()y g x =相切,求m n +的值； （2）若函数()()(())x x af x g x x ϕ=+−有零点,求实数a 的取值范围. 【解析】（1）()x f x e '=,(0)1f '=,(0)1f =,所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+,所以1k b ==, 则()y m k x n b −=++,即1y x m n =+++. 1()g x x '=,则曲线()y g x =在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x −=−,即001ln 1y x x x =+−, 从而11x =,0ln 11x m n −=++,所以01x =,2m n +=−. （2）由题意知()(ln )x x x ae x x ϕ=+−,(0,)x ∈+∞, 函数()ϕx 有零点,即()0x ϕ=有根. 当0a =时,()0x x ϕ=>,不符合题意. 当0a ≠时,函数()ϕx 有零点等价于1ln 1x x e a x ⎫⎛=− ⎪⎝⎭有根. 设ln ()1x x h x e x ⎫⎛=− ⎪⎝⎭,则2ln 1ln ()1x x x x h x e e x x −⎫⎫⎛⎛=−+− ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭'2(1)(1ln )x e x x x x =−+−,设()1ln s x x x =+−,则1()1s x x =−', 当(0,1)x ∈时,()0s x '<,()s x 单调递减, 当(1,)x ∈+∞时,()0s x '>,()s x 单调递增,所以()(1)20s x s =>,所以()0h x '=仅有一根1x =,且当(0,1)x ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减, 当(1,)x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增,所以()(1)h x h e ≥=. 数形结合可知,若函数()ϕx 有零点,则1e a,从而10a e <.【例3】（2021届西南名校联盟“3 3 3”高三5月诊断）已知函数()33f x x x =−（1）求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若过点()2,t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围.【解析】（1）()()()233311f x x x x '=−=+−Q ,当()0,1x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减；当()1,2x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,()f x ∴在1x =处取得极小值为12f ,又()()00,22f f ==,()f x ∴在[]0,2上的值域为[]22−,； （2）设切点为()30003,x x x −,则切线斜率为()20033k f x x '==−,所以切线方程为()()()320000333y x x x x x −−=−−,又切线过点()2,t ,则()()()3200003332t x x x x −−=−−,整理得3200266x x t −+=−,则曲线有三条切线方程等价于()32000266g x x x =−+与y t =−有三个交点,()()20000061262g x x x x x =−=−',令()00g x '>解得00x <或02x >,令()00g x '<解得002x <<,()0g x ∴在()(),0,2,−∞+∞单调递增,在()0,2单调递减,()0g x ∴在0x =处取得极大值()60g =,在2x =处取得极小值()22g =−,要使()0g x 与y t =−有三个交点,则需满足26t −<−<,解得62t −<<. 四、跟踪检测1.（2021届】重庆市巴蜀中学高三适应性月考）函数3221(),()ln 2f x x ax bg x a x m =−+=+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时,设()()h x f x '=,()h x 与()g x 有公共点,且在公共点处的切线方程相同,求实数m 的最大值． 【解析】（1）321(),2f x x ax b x =−+∈R ,则2334()2223f x x ax x x a '⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭,当0a =时,23()02f x x '=≥,所以()f x 在R 上单调递增； 当0a <时,令()0f x '>0x ⇒>或43x a <,4()003f x a x '<⇒<<, 所以()f x 在4,3a ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上单调递增,4,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,(0,)+∞上单调递增；当0a >时,令4()03f x x a '>⇒>或40,()003x f x x a <<⇒<<',所以()f x 在(,0)−∞上单调递增,40,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,4,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；综上所述：当0a =时,()f x 在R 上单调递增；当0a <时,()f x 在4,3a ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上单调递增,4,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,(0,)+∞上单调递增；当0a >时,()f x 在(,0)−∞上单调递增,40,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,4,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）23()()22h x f x x ax '==−,因为()h x 与()g x 有公共点,设公共点为()00,x y ,所以2()32,()a h x x a g x x''=−=,则20032a x a x −=,且00,0x a >>,解得0x a =, 又因为2200032ln 2x ax a x m −=+,则221ln ,02m a a a a =−−>,令221()ln (0),()2(1ln )2x x x x x x x x ϕϕ=−'=−−>+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0x ϕ'>；当1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时,()0x ϕ'<,故()ϕx 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以max 211()e 2ex ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故实数m 的最大值为212e ．2.已知函数2()()ln f x x a b x =++,,a b ∈R ．（1）若直线2y ax =是曲线()y f x =的切线,求2a b −的最小值； （2）设1b =,若函数()f x 有两个极值点1x 与2x ,且12x x <,证明()()12122f x f x a x x a−>−−．【解析】（1）设切点()00,x y ,由2()()ln f x x a b x =++得222()x ax bf x x++'=, 因为切线为2y ax =,故2000222x ax b a x ++=,所以202b x =−．又因为()2000ln 2x a b x ax ++=,所以222200000ln 2ln 0a x b x x x x =−−=−+≥,所以0x ≥因此2220002ln a b x x x −=+．令()2200002ln g x x x x =+,0x ≥则()000044ln 0g x x x x ='+>对)0x ∈+∞恒成立, 所以()0g x在)0x ∈+∞上单调递增,则()02e g g x ≥=,所以2a b −的最小值为2e ．（2）因为2221()x ax f x x++'=, 若函数()f x 有两个极值点1x 与2x ,则1>0x ,20x >,2121248012a x x a x x ⎧⎪∆=−>⎪+=−⎨⎪⎪⋅=⎩,所以a <因此()()()22112212121212121222ln ln ln ln x ax x ax x x f x f x x x a x x x x x x +−++−−−==+−−−112121112222111ln ln ()()1x x x x x x a a x a x x x a x x ++=+=+−−−−,令12x t x =,(01)t <<, 则()()12121111ln ln 11f x f x t t a t a t x x a t a t −++=+⋅=−⋅−−−−, 构造函数1()ln 21t g t t t −=−+,(01)t << 则221214()20(1)(1)g t t t t t −'=−=+>++在()0,1t ∈上显然恒成立, 所以()g t 在()0,1t ∈上单调递增,则()(1)0g t g <=； 所以1ln 21t t t −<+,即1ln 21t t t +>−,又a <则112ln 1t t a t a +−⋅>−−,因此112ln 1t a t a a t a+−⋅>−−, 所以()()1212112ln 1f x f x t a t a x x a t a−+=−⋅>−−−．3.（2021届四川省遂宁市高三三模）已知函数2()ln x f x e x x =−+,()2ln x g x e x =−−．（1）设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为1k ,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线斜率为2k ,求12k k +的值；（2）若()()()h x f x g x =+,设曲线()y h x =在点(,())t h t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ,求()S t 的最小值．【解析】（1）因为2()ln x f x e x x =−+,所以1()2xf x e x x'=−+,故()111k f e '==−；又因为()2ln x g x e x =−−,所以1()xg x e x'=−−,故()211k g e '==−−, 所以122k k +=−（2）2()()()2h x f x g x x =+=−,(0)x >,()2h x x '=−,则()2h t t '=−, 又点(,())t h t 为()2,2t t −,所以()y h x =在点()2,2t t −处的切线方程为()222()y tt x t −−=−−,故当0x =时,22y t =+；当0y =时,222t x t+=, 所以()24221244()222||4||t t t S t t t t +++=+⋅=,(0)t > 则4234414()444t t S t t t t t ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,则2214()344S t t t ⎛⎫'=+− ⎪⎝⎭4223444t t t +−=()()2223224t t t −+=()2224t t+=,由()0S t '>得t >由()0S t '<得0t <,所以()S t 在⎛ ⎝⎭上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,所以当t =,()S t 取得极小值,也是最小值S =⎝⎭． 4．已知函数()()ln e xf x x m x −=+−.（1）若()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y −=平行,求m 的值； （2）在（1）的条件下,证明：当0x >时,()0f x >； （3）当1m 时,求()f x 的零点个数.【解析】（1）因为()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y −=平行, 所以()112f '=,因为()()11e x f x x x m−+−'=+, 所以()11112f m ='=+,解得1m =. （2）由（1）得当1m =时,()()()21e 11e 11e x xxx f x x x x −+−=+−=++', 当0x >时,因为()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增, 因为()00f =,所以()0f x >在()0,∞+上恒成立.（3）由（2）可知当1m 且0x >时,()()ln 1e 0xf x x x −>+−>,即()f x 在()0,∞+上没有零点,当(),0x m ∈−时,()()()()2e 111e e x xxx m x m f x x x m x m −++−−=+−=++', 令()()2e 1x g x x m x m =++−−,(),0x m ∈−,则()e 21xg x x m =++−'单调递增,且()e21e 10mm g m m m m −−−=−+−=−−<',()00g m '=>,所以()g x '在(),0m −上存在唯一零点,记为0x , 且()0,x m x ∈−时,()0g x '<,()0,0x x ∈时,()0g x '>, 所以()g x 在()0,m x −上单调递减,在()0,0x 上单调递增, 因为1m , 所以()e0mg m −−=>,()010g m =−<,因为()()00g x g <,所以()00g x <,所以()g x 在()0,m x −上存在唯一零点1x ,且在()0,0x 上恒小于零, 故()1,x m x ∈−时,()0g x >；()1,0x x ∈时,()0g x <,所以()f x 在()1,m x −上单调递增,在()1,0x 上单调递减,且()0ln 0f m =>,所以()f x 在(),0m −上至多有一个零点, 取()e 2e ,0mm x m m −=−+∈−,则有()()22ln e 0mf x x m m <++=,所以由零点存在定理可知()f x 在(),0m −上只有一个零点, 又f (0)不为0,所以()f x 在(),m −+∞上只有一个零点. 5.（2021届辽宁省高三临门一卷）已知函数()2132f x x x =−,()()12ln g x a x a x =−+,a ∈R ． （1）若函数()()()h x f x g x =+在()0,1上单调递增,在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,求实数a 的取值范围；（2）设曲线()y f x =在点P 处的切线为l ,是否存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y g x =（其中1a =）也相切？若存在,判断满足条件的点P 的个数,若不存在,请说明理由． 【解析】（1）因为()()()()2122ln 2h x f x g x x a x a x =+=−++, 则()()()()222x x a a h x x a x x−−'=−++=. ①当0a ≤时,若02x <<,则()0f x '<,此时函数()f x 单调递减, 若2x >,则()0f x '>,此时函数()f x 单调递增,不合乎题意；②当02a <<时,由()0f x '<,可得2a x <<,由()0f x '>,可得0x a <<或2x >. 此时函数()f x 的单调递增区间为()0,a 和()2,+∞,单调递减区间为(),2a , 因为函数()h x 在()0,1上单调递增,在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则312a ≤≤；③当2a =时,对任意的0x >,()()220x h x x−'=≥,则函数()f x 在()0,∞+上单调递增,不合乎题意；④当2a >时,若02x <<,则()0f x '>,此时函数()f x 单调递增,不合乎题意.综上所述,实数a 的取值范围是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）设20001,32P x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭,因为()3f x x '=−,所以()003f x x =−'．所以直线l 的方程为()()200001332y x x x x x −+=−−,即()200132y x x x =−−．①假设直线l 与2ln y x =的图象也相切,切点为()11,2ln x x ． 因为2y x'=,所以直线l 的方程也可以写作()11122ln y x x x x −=−,即1122ln 2y x x x =+−．② 又因为0123x x −=,即0123x x =+,代入①式得直线l 的方程为21121232y x x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭．由①②有211122ln 232x x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭,即211122ln 2302x x ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭．令()2111122ln 232x x x ϕ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭,1>0x ,所以()()21112311112222332x x x x x x x ϕ'⎛⎫⎛⎫=++⋅−=⋅−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令()10x ϕ'>,得1x >令()10x ϕ'<,可得10x <所以()1x ϕ在⎛⎝⎭上递减,在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增, 即()1min xϕ0ϕ==>⎝⎭, 所以()10x ϕ>在()0,∞+上恒成立,即()10x ϕ=无解,故不存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y g x =（其中1a =）的图象也相切．6.（2021届安徽省六安市高三下学期适应性考试）已知函数()()2ln f x x x ax x a =−+∈R .（1）证明：曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 恒过定点； （2）若()f x 有两个零点1x ,2x ,且212x x >,证明：1228x x e >. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞,由2()ln f x x x ax x =−+,得()ln 22f x x ax '=−+,则(1)2(1)f a '=−,又(1)1f a =−,则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线l 的方程为(1)2(1)(1)y a a x −−=−−,即12(1)2y a x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭,显然恒过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若()f x 有两个零点1x ,2x ,则21111ln 0x x ax x −+=,22222ln 0x x ax x −+=,得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+.因为2120x x >>,令21(2)x tx t =>,则111111ln ln()11x tx x x tx tx +=+, 得1ln ln 11tx t =−−,则211ln ln ln()ln ln 11t t x tx t x t ==+=−−, 所以()1212ln ln (+1)ln ln ln ln 112111t t t t tx x x x t t t =+=−+−=−−−−. 令(+1)ln ()2(2)1t th t t t =−>−,则212ln ()(1)t t t h t t −+−'=−,令1()2ln (2)t t t t t ϕ=−+−>,则22221(1)()10t t t t t ϕ−'=−++=>, 则()t ϕ在(2,)+∞上单调递增,所以3()(2)2ln 202t ϕϕ>=−>. 所以2()()0(1)t h t t ϕ'=>−,则()h t 在(2,)+∞上单调递增,所以28()(2)3ln 22ln h t h e >=−=,即()1228ln ln x x e >,故1228x x e >. 7.已知函数1()ln f x x a x=++. （1）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能与x 轴相切,求实数a 的值；否则请说明理由； （2）若函数()f x 恰好有两个零点1x ,212(0)x x x <<,求证：121132x x +>. 【解析】（1）函数1()ln f x x a x =++的导数为211()f x x x'=−, 由'(1)0f =,得1x =,若()f x 与x 轴相切,切点为(1,f （1）),必有f （1）10a =+=,解得1a =−,当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 递减；当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 递增, 所以函数()f x 的图象能与x 轴相切,此时1:a =−（2）证明：设21x tx =,所以1t >,由12()()0f x f x ==,可得111111ln ln()0x a tx a x tx ++=++=, 解得11ln 1t tx t =−, 所以1211111ln 1(1)ln (1)11t t t t t x x x t t t t +++=+=⋅=−−, 要证121132x x +>,即证(1)ln 312t t t +>−,即为3(1)ln 02(1)t t t −−>+,1t >, 令3(1)()ln 2(1)t h t t t −=−+,1t >,222131()0(1)(1)t t h t t t t t −+'=−=>++, 所以()h t 在(1,)+∞递增,可得()h t h >（1）0=, 则121132x x +>.8．（2022届浙江省名校协作体高三上学期开学联考）设函数2()(1)ln (0)2a f x x a x x x a =+−−>． （1）若()f x 为单调递增函数,求a 的值；（2）当02a <≤时,直线y kx =与曲线()y f x '=相切,求k 的取值范围； （3）若()f x 的值域为[)0,+∞,证明：2ln 2ln a a −=−． 【解析】（1）因为2()(1)ln (0)2a f x x a x x x a =+−−>,定义域为()0,∞+, 因为()f x 为单调递增函数,所以()ln 0f x ax a x '=−−≥在0x >上恒成立． 即()1ln a x x −≥恒成立． 当1x =时显然成立,当1x >时ln 1x a x ≥−；当01x <<时ln 1xa x ≤−．设 ln ()1xg x x =−,则211ln ()(1)x xg x x −−'=−,又1ln 1y x x =+−,则22111x y x x x −'=−=,即当1x >时0y '>,当01x <<时0y '<,所以min1ln1101y =+−=,所以11ln x x −≤,所以211ln ()0(1)x x g x x −−'=≤−, 所以1x >时1a ≥,01x <<时1a ≤,所以1a =．（2）设y kx =与()ln y f x ax a x '==−−相切于点()()000,1ln x a x x −−, ()001ln 1a x x k a x x −−==−得101a e x −=代入01k a x =−得1a k a e −=−．设1()x h x x e −=−,1()1x h x e −='−,()0,1x ∈,()0h x '>；()1,x ∈+∞,()0h x '<,即()h x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减． 又()10h e =−,()10h =,()22h e =−．而1(0)(2)2h h e e=−>=−．所以当02a <≤时,[]12,0a k a ee −=∈−−．（3）()()1ln f x a x x '=−−,0x >,当1a ≥,()1ln a x x −=,如图所示存在两根101x <<,21x =, 当()10,x x ∈时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增；当()1,1x x ∈时,()1ln a x x −<,()0f x '<,()f x 递减； 当()1,x ∈+∞时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增．又因为()f x 在0x =处无定义,所以只有min ()(1)102af x f a ==+−=, 则2a =,从而2ln 2ln a a −=−成立,当01a <<,()1ln a x x −=,如图所示存在两根11x =,21>x ． 当()0,1x ∈时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增； 当()21,x x ∈时,()1ln a x x −<,()0f x '<,()f x 递减； 当()2,x x ∈+∞时,()1ln a x x −>,()0f x '>,()f x 递增． 又因为()f x 在0x =处无定义, 所以只有()222222(1)ln 0(*)2a f x x a x x x =+−−=, 将()221ln a x x −=代入()*式得22202a x x −+=,所以22x a=．从而有221ln a a a ⎛⎫−= ⎪⎝⎭,从而2ln 2ln a a −=−成立．综上,对任意0a >,都有2ln 2ln a a −=−成立．。

．．．．【答案】B【详解】解：函数()e xxf x =-的定义域为时()0f x <，排除A ．1)e xx x -=，当1x <时，()f x '<时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞递减，在(1,)+∞．．．．．．．．因为()f x 的图像与直线y b =-有三个交点，所以240ea b +<-<，即()24e 0a b -+<<.故选：D.2．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知函数f 相切的直线有三条，则（）又()03g =-，()1e g =-，且(g 有3个解，则3e a -<<-.故选：A3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线由图可知，0e t <<，故选：C.当0a ≤时，()()f x g x >至多有一个整数解因为()f x 为偶函数，且不等式()()20f x af x +>在[200,200-所以不等式()()20f x af x +>在()0,200内有100个整数解，因为()f x 周期为8，所以()f x 在()0,200内有25个周期，所以不等式()()20f x af x +>在()0,8有4个整数解，要使ln (1)xk x x+≤有且只有两个整数解，则(1)y k x =+与()g x 若交点的横坐标为12x x <，则121234x x <≤<≤<，ln 232ln 3k ⎧≤⎪⎪⎪ln 2ln 3故答案为：22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6．（2022·重庆·高三阶段练习）设函数()f x =有两个整数解，则a 的取值范围是______.【答案】2533e 2ea ≤<结合图象可得()()()()()()001122h g h g h g ⎧>⎪->-⎨⎪-≤-⎩，即12123e 35e a a a --->-⎧⎪->-⎨⎪-≤-⎩，解得2533e 2ea ≤<，即a 的取值范围是2533e 2ea ≤<.故答案为；2533e 2ea ≤<.7．（2022·重庆·高二阶段练习）已知函数()(e =x f x x2．（2022·新疆·模拟预测（理））若函数()f x 范围为（）A ．10,2e 2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B C ．21,12e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦D 【答案】B【详解】问题转化为函数32()e g x x ax x =-+,(h 设切点的横坐标为0x .则()()()()0000g x h x g x h x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩,即32002032x ax x ax ⎧-+⎪⎨-⎪⎩消去a 得3000e 2ln 10x x x -+-=设3()e 2ln 1x x x x ϕ=-+-22211()3e 3x x x x x x ϕ'=-+=++-即()x ϕ在(0,)+∞上单调递增易知直线(2)y a x =+恒过定点()2,0A -,斜率为a ，当直线与()f x 相切时是一种临界状态,设此时切点的坐标为(C 则()()000122ln 2a y x a x x ⎧==⎪+⎨⎪+=+⎩',解得0e 21e =-⎧⎪⎨=⎪⎩x a ，所以0112ey x ==+'，当直线过点()2,ln 4B 时,ln 4ln 2k ==，又方程7()20f x x -+=的根即()y f x =与()127y x =-的交点，有3个交点，且关于()2,0对称，加上()2,0共7个交点，其根之和为故选：A6．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知函数()g x由图可知，当10m -<<时，直线因此，实数m 的取值范围是(故选：C.7．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二阶段练习）已知函数()()22f x af x a a -+-=因为关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等实根．则函数()g t 必有两个不同的零点1t 、2t ，不妨设12t t <①若10t =，则21t =，由韦达定理可得()121211t t a a t t a ⎧=-⎨+==⎩②若10t <，则201t <<，则()()()20101210g a a g a a ⎧=-<⎪⎨=-+>⎪⎩，解得9．（2022·北京·北师大二附中高三开学考试）已知函数()22f x x m =+(1)当1m =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若关于x 的方程()()2212e xx f x m =+恰有四个不同的解，求m 的取值范围【答案】(1)1；(2)2211,e 22⎛⎫--- ⎪⎝⎭.（1）当1m =时，()22e xf x x =+，所以()02f =，又()22e xf x x '=+，要使方程()()2212e xx f x m =+恰有四个不同的解，因为1t =与函数()g x 的图象有一个交点，则12t m =--与函数∴24012e m <--<，即2211e 22m --<<-，其中444,ln x D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()00,P x f x ，则1201x x x <<<得11e x mx =，44ln x x m=，因为34ln 4344e e ln ln x x x x x x ==111221e e ln ln e x x x x x x ==，由11<x ，2ln 1x <，因此2x 所以存在满足条件的一个排列，如2i =，3j =11．（2022·辽宁大连·高二期末）已知()ax f x =设()f x 和()g x 的图象交于点A ，则当直线y b =经过点A 时，直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，则12301e x x x <<<<<，且12312223ln ln ,,e e x x x x x x b b b x x ====，因为1122ln e x x x b x ==，ln x x直线e y ax =-恒过定点(0,与ln y x x =，0x >相切时，设切点得ln 1y x ¢=+，可得1ln k =+解得0e x =，则切线的斜率为()211y x =--++，0x ≤相切时，直线故有1e b a -≤，解得1eb a ≥-，当且仅当()g x ax b =+恰为ln 1()x f x x+=的图像恒在()g x ax b =+图像的下方，即满足ln 1x ax b x +≤+恒成立，即2ln 1x ax bx ≤+-恒成立切线方程为221e ()e e ey x x =-=-，即2e ,e a b ==-时，ba取得最小值1e -.故答案为：1e-.由（1）中函数()f x 的单调性可知，①当0a <时，()f x 在(0,∞+当0x +→时，()f x →+∞，当所以，()t f x =∈R ，此时g ②当0a >时，()max f x f ⎛= ⎝又''12e ,x a y y x ==，由切点性质知0000e e ln ln x x a x a x a a⎧=⎪⎨⎪=+⎩，所以00ln ln aa x a a x =+即001ln ln x a x =+，故当1e>a 时，()f x 无零点；。

高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数;两个函数的和、差、差不多导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1. 在区间上的最大值是22.已知函数处有极大值，则常数c= 6 ;3.函数有极小值-1 ,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1.曲线在点处的切线方程是2.若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为(1，0)3.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为4.求下列直线的方程：(1)曲线在P(-1,1)处的切线; (2)曲线过点P(3,5)的切线;解：(1)因此切线方程为(2)明显点P(3，5)不在曲线上，因此可设切点为，则①又函数的导数为，因此过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，因此有②，由①②联立方程组得，，即切点为(1，1)时，切线斜率为;当切点为(5，25)时，切线斜率为;因此所求的切线有两条，方程分别为题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1.已知函数的切线方程为y=3x+1(Ⅰ)若函数处有极值，求的表达式;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求函数在[-3，1]上的最大值;(Ⅲ)若函数在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范畴解：(1)由过的切线方程为：而过故由①②③得a=2，b=-4，c=5(2)当又在[-3，1]上最大值是13。

(3)y=f(x)在[-2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。

依题意在[-2，1]上恒有0，即①当;②当;③当综上所述，参数b的取值范畴是教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

专题11:用导数求切线高考真题赏析(解析版）一、单选题1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 3．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.4．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷） 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．5．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 6．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【分析】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．二、填空题7．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ） 曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】2y x = 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 8．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3- 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解：()y 1xxae ax e =++'所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题． 9．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则． 【答案】 【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同． 10．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ． 【答案】8试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．11．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 【答案】30x y -=. 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．12．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. ）【答案】2y x =设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.13．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷） 曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+ 【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．14．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()ex f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________. 【答案】2y x =试题分析：当0x >时，0x -<，则1()e x f x x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()e x f x f x x -=-=+，所以1()e 1x f x -='+，则(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．15．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1 【解析】 试题分析：()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)(21)1a a =+-⇒=.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)a =+ •(21)1a -⇒=.。

函数的公切线与切线数量问题问题概述：函数的公切线问题，指的是直线b kx y +=同时与两个函数()x f y =与()x g y =同时相切，并在此基础上讨论直线和函数的性质的问题。

解法探究：公切线问题主要关注两个点，（1）两个切点均在函数和切线上；（2）切线斜率满足导数公式。

根据以上两个点，列出等式，即可进行计算求解。

具体公式如下：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧'='=+⋅=+⋅=212211x g x f k b x k x g b x k x f 一般的，公切线问题都可以转换为解方程组求参数问题，或者是讨论方程组解的个数问题。

一、已知两个函数的解析式求公切线【例1】曲线21:C y x =与曲线2:C y lnx =公切线的条数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3分析：最基本的求公切线问题，直接套用基本解法，进行计算即可。

解：设与曲线2y x =和曲线y lnx =相切的切点分别为()2a a ，，()b b ln ,，0>b ，设切线为m kx y +=由题可知2()2x x '=，1()lnx x'=，………………………………准备工作 根据公切线的解法可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=b a k m kb b m ka a 12ln 2………………………………列方程 把k 和a 消去，用b 表示剩下的式子，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+⋅=+==m m b b b m b b b a 11ln 21412122，把m 消去有141ln 02-+=b b………………………………方程组消元想求公切线的条数，相当于求这个方程的解的个数设()141ln 2-+=x x x f ，()33222222211x x x x x x f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='， 所以()x f y =在⎪⎪⎭⎫⎝⎛220，上递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，22上递增。

用导数研究曲线的切线应注意的几个问题■江苏省泰兴市第二高级中学高峰用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点,常与解析几何知识交汇命题,旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。

主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。

一、曲线在某点处的切线例1(2021 届四川省遂宁市高三三模)已知函数f(x)=ex-x2+lnx,g(x)=2-ex-lnx。

(1)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为k1,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线的斜率为k2,求k1+k2的值;(2)若h(x)=f(x)+g(x),设曲线y=h(x)在点(t,h(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为s(t),求s(t)的最小值。

解析:(1)因为f(x)=ex-x2+lnx,所以f＇(x)=ex-2x+,所以k1=f＇(1)=e-1。

又因为g(x)=2-ex-lnx,所以g＇(x)=-ex-,所以k2=g＇(1)=-e-1。

所以k1+k2=-2。

(2)h(x)=f(x)+g(x)=2-x2(x＞0),h＇(x)=-2x,则h＇(t)=-2t。

又因为点(t,h(t))为(t,2-t2),所以y=h(x)在点(t,2-t2)处的切线方程为y-(2-t2)=-2t(x-t),故当x=0 时,y=t2+2;当y=0时,x=。

感悟:曲线在某点(x0,f(x0))处的切线,则已知点一定是切点,求切线方程的步骤为:①求出函数f(x)的导数f＇(x);②求出切线的斜率k=f＇(x0);③写出切线方程yf(x0)=f＇(x0)(x-x0),并化简为直线方程的一般式。

二、过某点的曲线的切线例2(2022 届山东省潍坊市高三上学期期中)已知a∈r,函数f(x)=lnx+a(1-x),g(x)=ex。

(1)讨论f(x)的单调性;(2)过原点分别作曲线y=f(x)和y=g(x)的切线l1和l2,求证:存在a＞0,使得切线l1和l2的斜率互为倒数。

新高考背景下的切线问题研究一．基本原理1. 用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点00(,())x f x 的坐标；②求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x ' ③得切线方程00()()()y f x f x x x '-=- 2. 求过点A 处切线方程方法如下：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，∵过点(,)A m n ，∴000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值，0x 有几个值，就有几条切线. 3.若函数)(x f y =的图象在点),(11y x A 处的切线与函数)(x g y =的图象在点),(22y x B 处的切线相同（公切线），则等价于)(x f 的图象在点A 处的切线：))(()(11'1x x x f x f y -=-与)(x g 的图象在点B 处的切线：))(()(22'2x x x g x g y -=-重合.进一步等价于下列方程组有解：⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=⋅-=)()()()()()(2'221'112'1'x g x x g x f x x f x g x f . 4.若动点C 为函数)(x f y =图象上任一点，直线l 与)(x f y =图象相离，则C 到l 距离的最小值为函数)(x f y =图象在点C 处的切线与l 平行时产生，故此时最小距离即为切点到直线l 的距离.5.切线不等式求解双参数恒成立问题，分离性常见的两个不等式:（1）与xe 有关：0,1≥+≥x x e x；0,≥≥x ex e x.（2）与x ln 有关：0,ln 1>≥-x x x几何解释：凸函数的图象上切线总在图象的下方；几何解释：凹函数的切线总在的上方； 可以看到，分离性是导数中切线放缩的理论依据. 二．典例分析例1.已知直线21y x =-与曲线ln(3)y x t =+相切，则实数t 的值为__________． 解析：依题意，设切点坐标为00(,ln(3))x x t +，由ln(3)y x t =+求导得：33y x t'=+，于是得000323ln(3)21x t x t x ⎧=⎪+⎨⎪+=-⎩，即00332321ln 2x t x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：33ln 22t =-，所以实数t 的值为33ln 22-. 故答案为：33ln 22-例2．（2021新高考1卷）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<解析：在曲线xy e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y '=，所以，曲线xy e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==， 由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D. 例3.（2022新高考1卷）若曲线()e =+x y x a 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是____________．解析：易得曲线不过原点，设切点为()000,()e +x x x a ，则切线斜率为：000'()(1)e =++x f x x a ．可得切线方程为00000()e (1)e ()-+=++-x x y x a x a x x ，又切线过原点，可得00000()e (1)e -+=-++x x x a x x a ，化简得0020=-+a ax x ，又切线有两条，即方程有两不等实根，由判别式042>+=∆a a ，得4<-a ，或0>a ．例4．若过点()(),0a b a >可以作曲线e x y x =的三条切线，则（） A ．0e b a b << B ．e 0a a b -<<C ．20e 4a b <<+D ．()24e 0a b -+<<解析：由题可得()1e xy x '=+，设切点()00,ex x x ，则()00000e 1e x x x bx x a-+=-，整理得()0200e x xax a b --=-，由题意知关于0x 的方程()0200e x x ax a b --=-有三个不同的解，设()()2e x f x x ax a =--，()()()2e x x x f x a '=+-，由0fx ，得2x =-或x a =，又0a >，所以当2x <-时，0f x，()f x 单调递增，当2x a -<<时，0fx，()f x 单调递减，当x a >时0f x，()f x 单调递增，当x →-∞时()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，且()242eaf +-=，()e 0a f a a =-<，函数()f x 的大致图像如图所示，因为()f x 的图像与直线y b =-有三个交点，所以240ea b +<-<，即()24e 0a b -+<<. 故选：D.例5．（2022浙江卷）设函数()ln (0)2ef x x x x=+>． （1）求()f x 的单调区间；（2）已知a ，b R ∈，曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若a e >，则0b f <-)(a 1(1)2ae<-；解析：证明：设经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象相切时切点坐标为000(,)2ex lnx x +， 则切线方程为0000:()()2yl lnx f x x x x -='-，2001()2e f x x x '=-+，∴切线l的方程为020001()102e ex y lnx x x x -+-++-=， 020001()102e ea b lnx x x x ∴-+-++-=， 令21()()12e eg x a b lnx x x x=-+-+++-，(0)x >， 曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ， ∴函数()g x 有三个不同的零点，322311()()()()e e x e x a g x a x x x x x --'=--+=， a e >，x e ∴<，或x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，e x a <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，从而()g x g =极大值)(e 0>，()g x g =极小值)(a 0<，∴102a b e -+>①，且02e lna b a+-<②， 由②得b f -)(a 02e b lna a =-->，由①有12ab e<+， b f -)(a 2e b lna a =--，∴要证明b f -)(a 1(1)2ae<-， 只需证明11(1)222a e a lna e a e +--<-，即322e lna a +>， 令h )(a 2e lna a =+，则2212()022e a eh a a a a -'=-=>，h ∴（a ）在 ()e,+∞上单调递增， h ∴)(a h >)(e 32=，b f ∴-)(a 1(1)2a e <-，综上，若a e >，则0b f <-)(a 1(1)2ae<-. 例6.若曲线与曲线存在公切线，则的最值情况为（ ）A ．最大值为B ．最大值为C ．最小值为D ．最小值为解析：设公切线与曲线1C 切于点()211,x x，与曲线2C切于点()22,x x ae，由''2xy x y ae⎧=⎪⎨=⎪⎩可得：22211212x x ae x x ae x x -==-，所以有221111221122222x x x x x x x x x ae ⎧-=⇒=-⎪-⎨⎪=⎩，所以2244x ae x =-，即()2241x x a e-=，设()()41xx f x e-=，则()()'42xx fx e-=，可知()f x 在()1,2单调递21x y C =：xae y C =：2a 28e 24e 28e 24e增，在()2,+∞单调递减，所以()max 242a f e ==例7.（2015年新课标卷）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a =_______ 解析：'11y x=+，所以'1|2x y ==，切线方程为()12121y x y x -=-⇒=-，联立方程()22212021y x ax ax y ax a x =-⎧⎪⇒++=⎨=+++⎪⎩，从而由相切可得：2808a a a ∆=-=⇒= 例8．已知函数1()e ln x f x x -=+，则过点(,)a b 恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（ ） A ．211b a =-> B ．211b a =-< C ．21()a b f a -<<D ．211b a <--由1()e ln x f x x -=+，得11()e (0)x f x x x-'=+>，设切点为0100(,e ln )x x x -+，则切线的斜率为0101e x k x -=+，所以有00110001e ln e ()x x x b x a x --⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，整理得010000e (1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>，由题意可知此方程有且恰有两个解， 令1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x -=---++->，11(1)e (11)ln11121a g ab b a -=---++-=+-，112211()e ()()e (0)x x a g x x a x a x x x x --⎛⎫'=--+=--> ⎪⎝⎭，令121()e (0)x F x x x -=->，则132()e 0(0)x F x x x-'=+>>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，因为11(1)e 10F -=-=， 所以当01x <<时，()0<F x ，当1x >时，()0F x >， ①当1211a -<-<，即01a <<时，当0x a <<时，()0g x '>，则()g x 递增，当1<<a x 时，()0g x '<，则()g x 递减，当1x >时，()0g x '>，则()g x 递增， 所以只要()0g a =或(1)0g =，即1e ln ()a b a f a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；②当211a -≤-，即0a ≤时，当01x <<时，()0g x '<，则()g x 递减，当1x >时，()0g x '>，则()g x 递增，所以只要(1)0<g ，即21b a <-，而211a -≤-；③当211a ->，即1a >时，当01x <<时，()0g x '>，则()g x 递增，当1x a <<时，()0g x '<，则()g x 递减，当x a >时，()0g x '>，则()g x 递增， 当x a =时，1()e ln a g a b a -=--，所以只要(1)0g =或()0g a =，由(1)0g =，得211b a =->，由()0g a =得1e ln ()a b a f a -=+=； ④当1a =时，121()(1)e 0x g x x x -⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭，所以()g x 在(0,)+∞上递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：0a ≤时，211b a <-≤-；01a <<时，1e ln ()a b a f a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；1a >时，211b a =->或1e ln ()a b a f a -=+=，故A 正确，B 错误，C 错误，D 正确.故选：AD.例9．已知函数()ln a xf x b x =+在1x =处的切线方程为220x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=的距离的最小值.解析：（1）∵函数()ln a xf x b x =+，∴()f x 的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x x-'=， ∴()f x 在1x =处切线的斜率为()12k f a '===，由切线方程可知切点为()1,0，而切点也在函数()f x 图象上，解得0b =，∴()f x 的解析式为()2ln xf x x=； （2）由于直线220x y --=与直线230x y -+=平行，直线220x y --=与函数()2ln x f x x=在()1,0处相切，所以切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，最小值为d =故函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=例11.设点P 在曲线2()2ln f x x x =-上，Q 在直线32y x =-上，则PQ 的最小值=________. 解析：函数2()2ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，求导得1()4f x x x'=-，当曲线在点P 处的切线与直线32y x =-平行时，PQ 最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离.设(,)P m n ，由导数的几何意义，可得143m m -=，解得11,4m m ==-（舍去），故切点为(1,2)P ，点P 到直线32y x =-的距离d ==，所以PQ例10.若直线y ax b =+和()ln f x x =的图象相切，则a b +的最小值为________. 解析：解法1：设y ax b =+和()f x 的图象相切于点()()000,ln 0P x x x >， 因为()1f x x'=，所以()f x 的图象在点P 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-,从而01a x =，0ln 1b x =-，所以001ln 1a b x x +=+-， 设()()1ln 10x x x x ϕ=+->，则()22111x x x x xϕ-=-+='，所以()01x x ϕ'>⇔>， ()001x x ϕ'<⇔<<，故()x ϕ在()0,1上，在()1,+∞上，从而()()min 01x ϕϕ==,所以a b +的最小值为0.解法2：如图，a b +表示切线y ax b =+上横坐标为1的点的纵坐标，易得()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，对于这条切线，()110a b +=+-=，而对于其它切线，显然切线上横坐标为1的点M 必在x 轴的上方，所以0a b +>，故a b +的最小值为0.下面把上述问题一般化到恒成立，其实可以看到临界条件还是相切时产生. 例11.已知直线y kx b =+是曲线x y e x =+的一条切线，则k b +的最大值是________. 解析：设切点为(),a a e a +，()1x x e x e +=+'，所以切线方程为()()()1a a y e a e x a -+=+-，整理得：()()11a a x y e a e ++--，所以1a k e =+，()1a b a e =-，从而()21a k b a e +=-+，设()()()21a f a a e a =-+∈R ，则()()1a f a a e '=-，所以()01f a a '>⇔<，()01f a a '<⇔>,从而()f a 在(1),-∞上，在(1,,)+∞上，故()()max 11f a f e ==+，即k b +的最大值为1e +.例12.已知函数()ln f x x =，2()1g x ax bx =++，其中,a b ∈R ．（1）当0a =时，直线()y g x =与函数()y f x =的图象相切，求b 的值； （2）当0a ≠时，若对任意0x >，都有()()f x g x ≤恒成立，求ba的最小值．解析：()()f x g x ≤恒成立，转化为ln 1ax b x x≤-+对任意0x >恒成立，即等价于 )]([1ln a b x a x x --≤-，故只需使得a b -最大即可，即函数xx x h 1ln )(-=的切线横截距最大，那么当e x =时取得，故ba的最小值为e -.。