导数切线方程11种题型(解析版)

切线、公切线与切线逼近型汇编目录题型一：有切点切线方程题型二：无切点型切线关系题型三：“在点”型切线求参题型四：“过点”型切线方程题型五：“过点”型切线条数判断题型六：“过点”型切线条数求参题型七：三角函数型切线综合应用题型八：函数公切线题型九：函数公切线求参数范围题型十：函数公切线条数判断题型十一：公切线综合题型十二：切线逼近求零点题型十三：双切线存在性题型十四：切线逼近：不等式整数解求参题型一：有切点切线方程1(2023·全国·三模)已知定义域为R的函数f x 的图像关于原点对称，且f3-x+f-x=0，若曲线y=f x 在6,f6处切线的斜率为4，则曲线y=f x 在-2022,f-2022处的切线方程为()A.y=-4x-8088B.y=4x+8088C.y=-14x-10112D.y=14x+10112【答案】B【详解】因为定义域为R的函数f x 的图像关于原点对称，所以f0 =0，因为f3-x+f-x=0，f6-x+f3-x=0，两式相减可得，f6-x=f-x，故T=6，故f-2022=f0 =0；因为f -2022=f 0 =f 6 =4，故所求切线方程为y=4x+8088，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，以及导函数的周期性，求原函数的切线问题，属于较难题.2(21-22高三下·福建莆田·阶段练习)函数f x =ln x+ax3的图象在点P1,f(1)切的切线分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，2OP =OA +OB，则a =()A.-32B.-14C.14D.32【答案】B【详解】f x =ln x +ax 3，f 'x =1x+3ax 2，故f '1 =1+3a ，f 1 =a ，P 1,a ，故切线方程为：y =1+3a x -1 +a ，故A 1+2a1+3a ,0，B 0,-1-2a .2OP =OA +OB ，即2,2a =1+2a 1+3a ,-1-2a ，解得a =-14.故选：B .【点睛】本题考查了切线方程，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3(21-22高三上·河南·阶段练习)已知f x 是定义在R 上的单调函数，满足f f x -e x =1，则f x 在(0,f (0))处的切线方程为()A.y =x +1B.y =x -1C.y =-x +1D.y =-x -1【答案】A【分析】由f x 是定义在R 上的单调函数，满足f f x -e x =1，可得f x -e x 为一固定的数，可设a =f x -e x ，则有f a =1，可得函数的解析式，求解出切线斜率和切点，可得答案.【详解】由题意可得f x -e x 为一固定的数，设a =f x -e x ，则有f a =1.由a =f x -e x 可得f x =a +e x ，当x =a 时，有f a =a +e a =1，解得a =0.∴f x =e x ， ∴f x =e x ．∴f 0 =e 0=1，又f 0 =e 0=1．∴曲线f x 在0,f 0 处的切线方程为y -1=x ，即y =x +1．故选：A ．4(2024·海南海口·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x +1 是偶函数，当x <12时，f x =ln 1-2x ，则曲线y =f x 在点2,f 2 处的切线斜率为()A.25B.-25C.2D.-2【答案】C【详解】因为f x +1 是偶函数，所以函数f x 的图象关于x =1对称，则f 2-x =f x ，当x >32时，∴2-x <12，∴f 2-x =ln 1-22-x =ln 2x -3 ，∴f x =ln 2x -3 ，则f x =22x -3，∴f 2 =2，即曲线y =f x 在点2,f 2 处切线的斜率为2.故选：C .5(23-24高二下·山西运城·开学考试)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2-x )+f (x )=0，且当x ∈[0,1)时，f (x )=x -1，则曲线y =f (x )在点-94,f -94 处的切线方程为.【答案】4x -4y +11=0【详解】因为f x 是R 上的偶函数，且f 2-x +f x =0，所以f x =-f 2-x =-f x -2 ⇒f x -2 =-f x ，所以f x -4 =-f x -2 =f x ，即f x 为周期函数，且周期为4.设x ∈1,2 ，则2-x ∈0,1 ，由f x =-f 2-x =-2-x -1 =1-2-x ；设x ∈-3,-2 ，则x +4∈1,2 ，由f x =f x +4 =1-2-x +4 =1--2-x .当x ∈-3,-2 时，f x =-12·1-x -2·-1 =12·1-x -2.所以：f -94=1-94-2=1-12=12，f -94 =12·194-2=1.所以曲线y =f x 在点-94,f -94 处的切线方程为：y -12=1·x +94⇒4x -4y +11=0.故答案为：4x -4y +11=0【点睛】方法点睛：该问题的解决方法可以有两种思路：(1)求出函数在区间-3,-2 上的解析式，可得f -94 和f -94，进而求出所求的切线方程；(2)利用函数的对称性和周期性，先求f -94=f 74 =-f 14 得到切点，再根据f x 的图象关于1,0 点对称，则f x 关于x =1轴对称，所以f -94=f 74 =f 14 得切线斜率，可得所求切线方程.题型二：无切点型切线关系1(2024·湖北·模拟预测)设D =x -a2+e x -2a 2+a +1，其中e ≈2.71828，则D 的最小值为()A.2 B.2+1C.3D.3+1【答案】A【详解】令Q x ,e x ，P a ,2a ，则点Q 在函数f x =e x 图象上，P 在函数g x =2x 的图象上，容易知道g x =2x 图象是抛物线y 2=4x 图象的上半部分，记抛物线焦点为F 1,0 ，过 P 作抛物线的准线l :x =-1的垂线，垂足为M ，如图所示：则D =x -a2+e x -2a 2+a +1=PQ +PM =PQ +PF ≥FQ ，当且仅当P 在线段 FQ 上时，取最小值.设这时Q 点坐标为Q x 0,e x 0，又f x =e x ，所以有e x 0⋅e x 0-0x 0-1=-1⇒e 2x 0=1-x 0，解得x 0=0 ，即该点为0,1 ，所以FQ ≥1-02+0-1 2=2，因此D min =2.故选：A .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，将D 的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的问题.2(2020·北京·二模)点P 在函数y =ex 的图象上．若满足到直线y =x +a 的距离为2的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为()A.22B.23C.3D.4【答案】C【解析】要满足到直线y =x +a 的距离为2的点P 有且仅有3个，则需要直线与函数y =ex 的图象相交，而且点P 在函数y =ex 的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为2，另外一侧两个点到直线距离为2．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．【详解】过函数y =ex 的图象上点P (x 0，y 0)作切线，使得此切线与直线y =x +a 平行∵y ′=ex ，于是e x 0=1，则x 0=0，y 0=1∴P (0，1)，于是当点P 到直线y =x +a 的距离为2时，则满足到直线y =x +a 的距离为2的点P 有且仅有3个，∴d =-1+a1+1=2，解得a =-1或a =3又当a =-1时，函数y =ex 的图象与直线y =x -1相切，从而只有两个点到直线距离为2，所以不满足；故a =3．故选：C ．【点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大.3(21-22高三·重庆·阶段练习)已知函数f (x )=x -ln x ，若f (x )在x =x 1和x =x 2(x 1≠x 2)处切线平行，则A.1x 1+1x 2>12 B.x 1x 2<128C.x 1+x 2<32D.x 21+x 22>512【答案】D【解析】求函数导数，进而利于导数的几何意义得切线斜率，列方程化简，结合基本不等式可得解.【详解】由f (x )=x -ln x ，得f '(x )=12x-1x(x >0)，∴12x 1-1x 1=12x 2-1x 2，整理得：x 2-x 12x 1x 2=x 2-x 1x 1x 2，则1x 1+1x 2=12，∴12=1x 1+1x 2≥21x 1x 2，则1x 1x 2≤116，∴x 1x 2≥256，∵x 1≠x 2，∴x 1x 2>256.∴x 21+x 22>2x 1x 2=512.故选D ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及基本不等式，属于难题.4(2024高三下·全国·专题练习)已知三次函数f x 有三个零点x 1，x 2，x 3，且在点x i ,f x i 处切线的斜率为k i i =1,2,3 ，则1k 1+1k 2+1k 3=.【答案】0【详解】令f x =a x -x 1 x -x 2 x -x 3 ，其中a ≠0，x 1，x 2，x 3互不相等.则f x =a x -x 2 x -x 3 +x -x 1 x -x 3 +x -x 1 x -x 2 .1k 1+1k 2+1k 3=1a 1x 1-x 2 x 1-x 3 +1x 2-x 1 x 2-x 3 +1x 3-x 1 x 3-x 2 =x 2-x 3+x 3-x 1+x 1-x 2a x 1-x 2 x 1-x 3 x 2-x 3=0.故答案为：0.5(23-24高二下·北京·期中)已知函数f x =a x -x 1 x -x 2 x -x 3 a >0 ，设曲线y =f x 在点x i ,f x i 处切线的斜率为k i i =1,2,3 ，若x 1，x 2，x 3均不相等，且k 2=-2，则1k 1+1k 3=.【答案】12/0.5【详解】f x =a x -x 1 x -x 2 x -x 3 +a x -x 1 x -x 2 x -x 3=a 2x -x 1+x 2 x -x 3 +a x -x 1 x -x 2 .由k 2=-2，则a 2x 2-x 1+x 2 x 2-x 3 +a x 2-x 1 x 2-x 2 =2，即a x 2-x 3 x 2-x 1 =-2，又k 1=a x 1-x 2 x 1-x 3 ，k 3=a x 3-x 1 x 3-x 2 ，由于x 1，x 2，x 3均不相等，则1k 1+1k 3=1a x 1-x 2 x 1-x 3 +1a x 3-x 1 x 3-x 2 =x 3-x 2 -x 1-x 2a x 1-x 2 x 1-x 3 x 3-x 2=x 3-x 1-2x 1-x 3=12故答案为：12题型三：“在点”型切线求参1(22-23高二下·广东广州·期末)已知曲线y=x+ln x在点1,1处的切线与曲线y=ax2+a+4x +ln x-1只有一个公共点，则实数a的取值范围是()A.a≥0B.a≥0或a=-1C.-1≤a≤0D.a≥-1【答案】B【详解】由题意y=x+ln x得y =1+1x，则y|x=1=2，故曲线y=x+ln x在点1,1处的切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0，而切线2x-y-1=0与曲线y=ax2+a+4x+ln x-1只有一个公共点，即2x-1=ax2+a+4x+ln x-1有且只有一正解，即ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解，令g(x)=ax2+a+2x+ln x,(x>0)，则g (x)=2ax+a+2+1x=2ax2+(a+2)x+1x=(2x+1)(ax+1)x，由于x>0，故2x+1>0，当a=0时，g (x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，且g(x)=2x+ln x,(x>0)，g1e2=2e2-2<0,g(1)=2>0，即g(x)在(0,+∞)上存在唯一零点，即ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解；当a>0时，g (x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，由于ax2+a+2x的最小值为-(a+2)24a<0，故当x趋向于0时，g(x)可取到负值，且g(1)=2a+2>0，故g(x)在(0,+∞)上存在唯一零点，即ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解；当a<0时，当0<x<-1a时，g(x)>0，g(x)在0,-1a上单调递增，当x>-1a时，g(x)<0，g(x)在-1a,+∞上单调递减，故g(x)max=g-1 a=-1a-1+ln-1a，令h(x)=ln x+x-1,(x>0)，则h(x)在(0,+∞)上单调递增，且h(1)=0，此时要使ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解，故需-1a-1+ln-1a=0,∴a=-1，综合以上可知a≥0或a=-1，故选：B【点睛】难点点睛：根据导数的几何意义求出曲线y=x+ln x的切线方程，要保证切线与曲线y=ax2+a+4x+ln x-1只有一个公共点，关键就是转化为ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解，从而构造函数，分类讨论，结合导数解决问题.2(2022·山西晋城·一模)已知函数f x =ln x -x ，f x 的图像在点P 处的切线l 1与y 轴交于点A ，过点P 与y 轴垂直的直线l 2与y 轴交于点B ，则线段AB 中点M 的纵坐标的最大值是A.1-e2B.e -1C.2ln2-3D.ln2-32【答案】D【详解】设点P (x 0,ln x 0-x 0)(x 0>0)，∵f x =ln x -x ，∴f x =1x -1=1-xx ，∴f x 0 =1-x 0x 0，∴切线l 1的方程为y -(ln x 0-x 0)=1-x 0x 0(x -x 0)，令x =0，得y =ln x 0-1，故A (0,ln x 0-1)，又点B (0,ln x 0-x 0)，∴线段AB 中点M 的纵坐标t =12[(ln x 0-1)+(ln x 0-x 0)]=12(2ln x 0-x 0-1)，设g (x )=12(2ln x -x -1)(x >0)，则g (x )=122x -1 =2-x2x，故当0<x <2时，g (x )>0,g (x )单调递增；当x >2时，g (x )<0,g (x )单调递减．∴g (x )min =g (2)=12(2ln2-3)=ln2-32．选D ．3(2022·湖北·一模)已知函数f (x )=e x +ax 2(a ∈R )在点P (m ,f (m ))(m >1)处的切线为l ，若直线l 在y 轴上的截距恒小于1，则实数a 的取值范围是A.-12,+∞ B.[-1,+∞)C.-12,+∞ D.-1,-12【答案】B【详解】根据答案分析此题可用特殊值法：取a =-1,根据题意可得函数的切线方程为：y -(e m +am 2)=(e m +2am )(x -m )，故在y 轴的截距为：(1-m )e m -am 2，所以(1-m )e m -am 2<1恒成立(m >1),故令g (m )=(m -1)e m +am 2+1>0恒成立，g '(m )=m (e m +2a )，显然当a 取-1时，g '(m )>0，故g (m )在m ∈(1,+∞)单调递增，g (m )min =g (1)=0，故g (m )>0恒成立，故a 取-1成立，所以排除ACD ，选B点睛：对于12题这种压轴选择题，我们掌握一些做题技巧，巧借答案可根据备选答案去分析通过排除法轻而易举得出结论4(21-22高二上·河南商丘)设直线l 1、l 2分别是函数f (x )=|ln x |图象上点P 1、P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，则点P 横坐标的取值范围为()A.0,1B.(0,2)C.0,+∞D.(1,+∞)【答案】A【详解】解：设P 1x 1,y 1 ，P 2x 2,y 2 ，0<x 1<x 2 ，当0<x ≤1时，f (x )=-ln x ，f x =-1x；当x >1时，f (x )=ln x ，f x =1x ，若1<x 1<x 2，则k 1k 2=1x1⋅1x 2=1x 1x 2≠-1，不合题意；若0<x 1<x 2≤1，则k 1k 2=-1x 1⋅-1x 2=1x 1x 2≠-1，不合题意；∴0<x 1<1<x 2，l 1的斜率k 1=-1x 1，l 2的斜率k 2=1x 2，∵l 1与l 2垂直， ∴k 1k 2=-1x 1x 2=-1，即x 1x 2=1，∵直线l 1：y =-1x 1x -x 1 -ln x 1，l 2：y =1x 2x -x 2 +ln x 2，∴联立两直线l 1和l 2方程可得交点P 的横坐标为x =2x 1+x 2，∴x =2x 1+x 2=2x 1+1x1，∵函数y =x +1x 在0,1 上为减函数，且0<x 1<1，∴x 1+1x 1>1+1=2，则0<1x 1+1x1<12，∴0<2x 1+1x1<1．∴点P 横坐标的取值范围为0,1 ．故选：A ．5(2022全国·二模)设点P 在曲线y =ln x -1x +1上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为A.2 B.1C.65D.255【答案】D【详解】先求曲线上切线斜率为2的点的横坐标：令y =1x +1x2=2，解得x =1，代入曲线方程求得y =0，故切点为1,0 ，斜率为2的直线方程为y =2x -1 ，将两条平行直线的方程化为一般式得2x -y =0,2x -y -2=0，故两平行直线的距离为0--25=255.故选D .【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.题型四：“过点”型切线方程1(22-23高二下·湖北咸宁·开学考试)过原点的直线m ,n 与分别与曲线f x =e x ，g x =ln x 相切，则直线m ,n 斜率的乘积为()A.-1B.1C.eD.1e【答案】B【详解】设f x ,g x 的切点分别为x 1,e x 1,x 2,ln x 2 ，由题意可得f x =e x ，g x =1x，所以f x 在x =x 1处的切线为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，g x 在x =x 2处的切线为y -ln x 2=1x 2x -x 2 ，又因为两条切线过原点，所以0-e x 1=e x 10-x 1 0-ln x 2=1x 20-x 2，解得x 1=1x 2=e ，所以直线m ,n 斜率的乘积为f x 1 g x 2 =e 1×1e=1，故选：B2(22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末)过点P 1,0 可以作曲线f x =xe x 的两条切线，切点的横坐标分别为m ，n ，则m 2+n 2的值为()A.1B.2C.5D.3【答案】D【详解】f x =x +1 e x ，设切点为坐标x ,y ，则x +1 e x=y x -1=xe x x -1，即x 2-x -1 e x =0，则x 1+x 2=1,x 1⋅x 2=-1，由题意知x 2-x -1=0有两解，分别为m ，n ，故m 2+n 2=x 12+x 22=x 1+x 2 2-2x 1⋅x 2=1-2×-1 =3，故选：D .3(2022·河南·模拟预测)已知f x =12x 2-12x，过原点作曲线y =f x 的切线，则切点的横坐标为()A.232B.-232C.-32D.32【答案】C 【详解】由f x =12x 2-12x 得：f x =x +12x2；设切点坐标为x 0,12x 20-12x 0，∴f x 0 =x 0+12x 20，则切线方程为：y -12x 20+12x 0=x 0+12x 20x -x 0 ，∵切线过原点，∴-12x 20+12x 0=-x 0x 0+12x 20=-x 20-12x 0，解得：x 0=-32，即切点横坐标为-32.故选：C .4(2022·四川南充·三模)已知函数f x =x +1x，过点P 1,0 作函数y =f x 图象的两条切线，切点分别为M ，N ．则下列说法正确的是()A.PM ⊥PNB.直线MN 的方程为2x -y +1=0C.MN =210D.△PMN 的面积为32【答案】C【详解】因为f 1 =1+1=2，所以P 1,0 没有在函数的图象上，fx =1-1x 2=x 2-1x 2，设切点坐标为a ,b a ≠0 ，当a =1时，f 1 =2，x =1不与f x =x +1x相切，所以a ≠1，fa =a 2-1a 2=b a -1， 又因为a +1a =b ，解得a =-1±2，即-1-2,-22 ，-1+2,22 ，所以k PM ×k PN =222+2×222-2=-4≠-1，故A 错误；k NM =22+2222=2，所以直线MN 的方程为y =2x -1 ，即2x -y +2=0，故B 错误；MN =-1+2+1+2 2+22+22 2=210，故C 正确；P 1,0 到直线MN 的距离为d =2-0+24+1=455，所以△PMN 的面积为12MN d =12×210×455=42，故D 错误.故选：C .5(2022·河南商丘·三模)已知曲线y =x ln x -3x 2的一条切线在y 轴上的截距为2，则这条切线的方程为()A.4x -y -2=0B.5x -y -2=0C.4x +y -2=0D.5x +y -2=0【答案】D【详解】函数y =x ln x -3x 2的定义域为0,+∞ ，设切点坐标为x 0,x 0ln x 0-3x 02，因为y =ln x -6x +1，则切线斜率为ln x 0-6x 0+1，所以切线方程为y -x 0ln x 0+3x 20=ln x 0-6x 0+1 x -x 0 ，将点0,2 代入切线方程并整理得3x 20-x 0-2=0，解得x 0=1，或x 0=-23(舍去)，所以这条切线的方程为y +3=-5x -1 ，即5x +y -2=0．故选：D ．题型五：“过点”型切线条数判断1(2022·全国·模拟预测)过点P 0,b 作曲线y =xe x 的切线，当-4e 2<b <0时，切线的条数是()A.0B.1C.2D.3【答案】D【详解】设切点为m ,me m ，∵y =x +1 e x ，∴切线斜率k =m +1 e m ，∴切线方程为：y -me m =m +1 e m x -m ；又切线过P 0,b ，∴b =me m -m m +1 e m =-m 2e m ；设f m =-m 2e m ，则f m =-m m +2 e m ，∴当m ∈-∞,-2 ∪0,+∞ 时，f m <0；当m ∈-2,0 时，f m >0；∴f m 在-∞,-2 ，0,+∞ 上单调递减，在-2,0 上单调递增，又f -2 =-4e 2，f 0 =0，f m ≤0恒成立，可得f m 图象如下图所示，则当-4e 2<b <0时，y =b 与f m 有三个不同的交点，即当-4e 2<b <0时，方程b =-m 2e m 有三个不同的解，∴切线的条数为3条.故选：D .2(2024·北京海淀·一模)已知f x =x 3,x ≤0lg x +1 ,x >0，函数f (x )的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线y =f (x )相切的直线的条数为n ，则m ,n 的值分别为()A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B【详解】令f x =0，即x ≤0时，x 3=0，解得x =0，x >0时，lg x +1 =0，无解，故m =1，设过点(0,2)与曲线y =f (x )相切的直线的切点为x 0,y 0 ，当x <0时，f x =3x 2，则有y -x 30=3x 20x -x 0 ，有2-x 30=3x 20-x 0 ，整理可得x 30=-1，即x 0=-1，即当x 0<0时，有一条切线，当x >0时，f x =lg e x +1，则有y -lg x 0+1 =lg ex 0+1x -x 0 ，有2-lg x 0+1 =lg ex 0+1-x 0 ，整理可得2+lg e x 0+2-x 0+1 lg x 0+1 =0，令g x =2+lg e x +2-x +1 lg x +1 x >0 ，则g x =2-lg x +1 ，令g x =0，可得x=99，故当x∈0,99时，g x >0，即g x 在0,99上单调递增，当x∈99,+∞时，g x <0，即g x 在99,+∞上单调递减，由g99=2+lg e×99+2-200=99lg e>0，g0 =2-0=2>0，故g x 在x∈0,99上没有零点，又g999=2+lg e×999+2-1000×3=999lg e-1000<0，故g x 在99,999上必有唯一零点，即当x0>0时，亦可有一条切线符合要求，故n=2.故选：B.3(23-24高三上·湖北·期中)函数f(x)=x3+(a-1)x2-x+b为R上的奇函数，过点P-1 2 ,1作曲线y=f(x)的切线，可作切线条数为()A.1B.2C.3D.不确定【答案】A【详解】f(-x)=-x3+(a-1)x2+x+b=-f x =-x3-(a-1)x2+x-b，故a=1，b=0，f(x)=x3-x，f (x)=3x2-1，设切点为M x0,y0，则f (x0)=3x02-1=y0-1x0+12，且f(x0)=x30-x0=y0，整理得到x0+14x20-x0+1=0，解得x0=-1，f (-1)=2，故切线方程为y=2x+2，故选：A4(2023·吉林通化·模拟预测)若过点a,b可作曲线y=x2-2x的两条切线，则点a,b可以是()A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4【答案】C【详解】设切点坐标为t,t2-2t，对函数y=x2-2x求导可得y =2x-2，所以，切线斜率为k=2t-2，所以，曲线y=x2-2x在点t,t2-2t处的切线方程为y-t2-2t=2t-2x-t，即y=2t-2x-t2，将点a,b的坐标代入切线方程可得b=2t-2a-t2，即t2-2at+2a+b=0，因为过点a,b可作曲线y=x2-2x的两条切线，则关于t的方程t2-2at+2a+b=0有两个不等的实数解，所以，Δ=4a2-42a+b>0，即a2-2a-b>0，即b<a2-2a，对于点0,0，0=02-2×0，A不满足；对于点1,1，1>12-2×1，B不满足；对于点3,0，0<32-2×3，C满足；对于点3,4，4>32-2×3，D不满足.故选：C.5(2024·全国·模拟预测)过坐标原点作曲线f x =e x x2-2x+2的切线，则切线共有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】A【详解】设切点为x0,e x0x20-2x0+2，由f x =e x x2-2x+2可得f x =x2e x，则过坐标原点的切线的斜率k=e x0x20-2x0+2x0=x20e x0，故x30-x20+2x0-1=0，即x0-1x20+2=0，解得x0=1，故过坐标原点的切线共有1条．故选：A．题型六：“过点”型切线条数求参1(23-24高二下·河北保定·期中)已知函数f x =x+1e x，若过P-1,t可做两条直线与函数f x 的图象相切，则t的取值范围为()A.4e ,+∞B.4eC.0,4eD.0,4e∪0 【答案】B【详解】设过点P-1,t的直线与函数f x =x+1e x的图象相切时的切点为a,b，则b=a+1e a，因为f x =x+1e x,f x =e x-x+1e xe2x=-xe x，所以切线方程为y-a+1e a=-ae ax-a，又P-1,t在切线上，所以t-a+1e a=-ae a-1-a，整理得t=(a+1)2e a，则过点P-1,t的直线与函数f x =x+1e x的图象相切的切线条数即为直线y=t与曲线g a =(a+1)2e a的图象的公共点的个数，因为g a =2a+1e a-(a+1)2e ae2a=-a+1a-1e a，令g a =0，得a=±1，所以，当a <-1时，g a <0,g a 单调递减；当-1<a <1时，g a >0,g a 单调递增；当a >1时，g a <0,g a 单调递减，因为g -1 =0,g 1 =4e，当a →+∞时g a →0，所以，函数g a 的图象大致如图：所以当t =4e时，图像有两个交点，切线有两条.故选：B .【点睛】关键点点睛：依题意求出切线方程，本题关键是将过点P -1,t 的直线与函数f x =x +1e x的图象相切的切线条数转化为直线y =t 与曲线g a =(a +1)2e a 的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数g a 的图象.2(2023·全国·模拟预测)若过点m ,n 可作函数y =2x +1xx >0 图象的两条切线，则必有()A.0<2m +1m<n B.0<n <2m C.2m <n <2m +1mD.n <2m【答案】C【详解】设切点为a ,2a +1a，a >0，又y =2-1x 2，所以切线斜率k =2-1a 2，所以切线方程为y -2a +1a =2-1a 2x -a ，又切线过点m ,n ，则n -2a +1a =2-1a2m -a ，a >0，即2m -n a 2+2a -m =0，由过点m ,n 可作两条切线，所以2m -n a 2+2a -m =0有两个正根，即2m -n ≠0Δ=22-42m -n ⋅-m >0-22m -n >0-m 2m -n >0，整理可得2m <n <2m +1m ，故选：C.3(2023·江西九江·一模)已知函数f(x)=13x3+ax2+bx-b+43(a,b∈R)，点P(1,0)位于曲线y=f(x)的下方，且过点P可以作3条直线与曲线y=f(x)相切，则a的取值范围是()A.-53,+∞B.-53,1C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】D【详解】解：f (x)=x2+2ax+b，设切点为(x0,f(x0))，则切线斜率为f x0，切线方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0)，由于切线过点P(1,0)，∴-f(x0)=f (x0)(1-x0)，整理得23x30+(a-1)x20-2ax0-43=0.构造函数g(x)=23x3+(a-1)x2-2ax-43，∴y=g(x)有三个不同的零点，g (x)=2x2+2(a-1)x-2a=2(x-1)(x+a)，易知a≠-1，g(1)⋅g(-a)<0，即-53-a13a3+a2-43<0，即a+5 3(a-1)(a+2)2>0，又因为点P(1,0)在曲线下方，∴f(1)>0，即a>-5 3，解得a>1，故选：D.4(22-23高二下·山西晋中·阶段练习)已知过点A a,0作曲线y=x ln x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围为()A.0,+∞B.1,+∞C.1e,+∞D.e,+∞【答案】B【详解】设切点为x0,y0，对函数y=x ln x求导得y =ln x+1，所以，切线斜率为k=ln x0+1=y0x0-a=x0ln x0x0-a，整理得a=x0ln x0+1，关于x0的方程a=x0ln x0+1有两个不等的实根.令函数f x =xln x+1，由题意可得x>0ln x+1≠0，解得x>0且x≠1e，所以，函数f x 的定义域为0,1 e∪1e,+∞，且f x =ln x1+ln x2，当x∈0,1 e时，f x <0，f x <0；当1e<x<1时，f x >0，f x <0；当x>1时，f x >0，f x >0，所以f x 在0,1 e上单调递减，在1e,1上单调递减，在1,+∞上单调递增.f x极小值=f1 =1.作出函数y=a与函数f x 的图象如下图所示：由图可知，当a>1时，直线y=a与函数f x 的图象有两个交点，因此，实数a的取值范围是1,+∞.故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；(3)参变量分离法：由f x =0分离变量得出a=g x ，将问题等价转化为直线y=a与函数y=g x 的图象的交点问题.5(22-23高三·四川南充·期中)已知函数f x =xe x，过点a,b作曲线f x 的切线，当0<a<2时，可作两条切线，则b的取值为()A.4-ae2或ae aB.4-ae2或aeC.2-ae2或ae aD.2-ae2或ae【答案】A【详解】由f(x)=xe x，可得f (x)=1-xe x，设切点坐标为x0,y0，所以y0=x0e x0，则切线的斜率为k=1-x0e x0，切线方程为y-x0e x0=1-x0e x0x-x0，当0<a<2时，由切线方程为y-x0e x0=1-x0e x0x-x0得b-x0e x0=1-x0e x0a-x0，则b=x20+1-x0ae x0，设t x =x2+1-xae x，则t x =2+ax-x2-2ae x=x-a2-xe x，因为0<a<2，所以当x∈a,2时t x >0，t x 单调递增，所以当x∈-∞,a时t x <0，t x 单调递减，所以当x∈2,+∞时t x <0，t x 单调递减，x=a时，t x 有极小值为t a =a2+1-aae a=ae a>0，x=2时，t x 有极大值为t2 =4+1-2ae2=4-ae2>0，可画出函数t x 的大致图象，结合图象若作两条切线，则b的取值为4-ae2或ae a.故选：A.题型七：三角函数型切线综合应用1(23-24高三上·浙江温州·)已知0<x1<x2<x3<4π，函数f x =sin x在点x i,sin x ii=1,2,3处的切线均经过坐标原点，则()A.tan x1x1<tan x3x3B.tan x1x1>tan x3x3C.x1+x3<2x2D.x1+x3>2x2【答案】C【详解】由题意知，f (x)=cos x，则f (x1)=cos x1,f (x2)=cos x2,f (x3)=cos x3，所以曲线f(x)在点(x1,sin x1),(x2,sin x2),(x3,sin x3)处的切线方程分别为y-sin x1=cos x1(x-x1),y-sin x2=cos x2(x-x2),y-sin x3=cos x3(x-x3)，因为切线均过原点，所以sin x1=x1cos x1,sin x2=x2cos x2,sin x3=x3cos x3，即x1=tan x1,x2=tan x2,x3=tan x3，得tan x1x1=tan x2x2=tan x3x3=1，故AB错误；由tan x1x1=tan x2x2=tan x3x3=1，得tan x i=x i(i=1,2,3)，画出函数y=tan x与y=x图象，如图，设A x 1,tan x 1 ,B x 2,tan x 2 ,C x 3,tan x 3 ，如上图易知：D (x 2-π,tan x 2),E (x 2+π,tan x 2)，由正切函数图象性质k AD <k EC ，得tan x 2-tan x 1x 2-π-x 1<tan x 3-tan x 2x 3-x 2-π，即x 2-x 1x 2-π-x 1<x 3-x 2x 3-x 2-π，又x 2-π-x 1>0,x 3-x 2-π>0，所以(x 2-x 1)(x 3-π-x 2)<(x 3-x 2)(x 2-π-x 1)，即x 1π+x 3π<2πx 2，解得x 1+x 3<2x 2，故C 正确，D 错误.故选：C【点睛】关键点点睛：证明选项CD 的关键是根据tan x i =x i (i =1,2,3)构造新函数tan x =x ，通过转化的思想和数形结合思想分析是解题的关键.2(2023·湖北武汉·二模)已知直线y =kx +t 与函数y =A sin ωx +φ A >0,ω>0 的图象恰有两个切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大的两个值分别为k 1和k 2，且k 1>k 2，则()A.k 1k 2>73 B.53<k 1k 2<73 C.75<k 1k 2<53 D.k 1k 2<75【答案】B【详解】∵对于任意A >0，ω>0，φ∈R ，k1k 2的范围恒定，∴只需考虑y =sin x 的情况，设k 1对应的切点为x 1,sin x 1 ，x 1,sin x1 ，x 1<x 1，设k 2对应的切点为x 2,sin x2 ，x 2,sin x 2 ，x 2<x 2，∵sin x =cos x ，∴k 1=cos x 1=cos x 1，k 2=cos x 2=cos x 2，∴只需考虑x 1+x 1=2π，x 2+x 2=4π，其中-π2<x 2<x 1<0的情况，则k 1=sin x 1-sin x 1x 1-x 1=sin 2π-x 1 -sin x 12π-x 1 -x 1=-2sin x 12π-2x 1，k 2=sin x 2-sin x 2x2-x 2=sin 4π-x 2 -sin x 24π-x 2 -x 2=-2sin x 22π-2x 2，其中-π2<x 2<x 1<0，∴k 1k 2=sin x 1sin x 2⋅4π-2x 22π-2x 1=sin x 1sin x 2⋅2π-x 2π-x 1；又-2sin x 12π-2x 1=cos x 1，-2sin x 24π-2x 1=cos x 2，∴sin x 1=x 1-π cos x 1，sin x 2=x 2-2π cos x 2；令f x =tan x -x +π-π2<x <0 ，则fx =1cos 2x -1=sin 2x cos 2x =tan 2x >0，∴f x 在-π2,0 上单调递增，f 0 >0，设f x 0 =tan x 0-x 0+π=0,x 0<0⇒π-x 0 cos x 0+sin x 0=0，∴-π2<x 2<x 1<x 0，又sin x 2<sin x 1<0，∴0<sin x 1sin x 2<1，∴k 1k 2=sin x 1sin x 2⋅2π-x 2π-x 1<2π-x 2π-x 1<2π+π2π+π3=5243=158<73；令h x =sin x π-x -π2<x <x 0 ，则hx =π-x cos x +sin x π-x2，令t x =π-x cos x +sin x -π2<x <x 0 ，则t x =-π-x sin x >0，∴t x 在-π2,x 0 上单调递增，∴t x <t x 0 =π-x 0 cos x 0+sin x 0=0，即h x <0，∴h x 在-π2,x 0 上单调递减，∴sin x 1π-x 1<sin x 2π-x 2，∴sin x 1sin x 2>π-x 1π-x 2，∴k 1k 2=sin x 1sin x 2⋅2π-x 2π-x 1>π-x 1π-x 2⋅2π-x 2π-x 1=2π-x 2π-x 2=1+ππ-x 2>1+π3π2=53；综上所述：53<k 1k 2<73.故选：B .【点睛】关键点点睛：本题考查导数与三角函数综合应用问题，解题关键是能够采用特殊值的方式，考虑不含变量的函数y =sin x 的情况，采用构造函数的方式对所求式子进行放缩，从而求得k 1k 2的范围.3(23-24高三上·安徽·阶段练习)将函数y =12sin x +x x ∈0,π2 的图象绕着原点沿逆时针方向旋转θ角得到曲线Γ，已知曲线Γ始终保持为函数图象，则tan θ的最大值为()A.12B.23C.1D.32【答案】B 【详解】由题设y =12cos x +1，在原点处的切线斜率k =y x =0=12cos0+1=32， 所以切线方程为y =32x ，设切线倾斜角为α∈0,π2 ，则tan α=32，当y =12sin x +x 绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，则θ+α≤π2，故θ≤π2-α，显然θ为锐角，所以tan θ≤tan π2-α=cos αsin α=1tan α=23，故tan θ的最大值为23．故选：B4(23-24高三上·江苏南通·阶段练习)已知函数f x =a sin x +b cos x 图象上有一最低点11π6,-2 ，将此函数的图象向左平移π3个单位长度得y =g x 的图象，若函数g x 的图象在x =x 03π2<x 0<2π 处的切线与g x 的图象恰好有三个公共点，则tan x 0-x 0的值是.【答案】-3π【详解】f x =a sin x +b cos x =a 2+b 2sin x +φ ，因为函数f x =a sin x +b cos x 图象上有一最低点11π6,-2 ，所以a 2+b 2=2，且sin 11π6+φ=-1，所以11π6+φ=3π2+2k π，所以φ=-π3+2k π,k ∈Z ，所以f x =2sin x -π3+2k π =2sin x -π3，将函数f x 的图象向左平移π3个单位长度得y =g x 的图象，，则g x =2sin x ，如图，结合g (x )=2sin x 的图象及对称性可知，g (x )=2sin x 在x =x 03π2<x 0<2π 处的切线经过点3π,0 ，设切点为x 0,2sin x 0 ，则g x =2cos x ，所以2cos x 0=2sin x 0-0x 0-3π=2sin x 0x 0-3π，整理得tan x 0=sin x 0cos x 0=x 0-3π，所以tan x 0-x 0=-3π.故答案为：-3π.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键点是找到切线与g x 的图象有3个交点时，该切线过点3π,0 ，再利用导数处理即可.5(23-24高三上·河南南阳·阶段练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0且0≤φ≤π2)，其中f (x )的最小正周期T >π，且f -7π6=f π6 =12，函数f (x )的图象在x =x 0π2<x 0<π 处的切线与f (x )的图象恰好有3个公共点，则tan x 0-x 0=.【答案】-2π【详解】因为f -7π6 =f π6 ，则f (x )的图象关于x =-7π6+π62=-π2对称，或者π6--7π6=4π3=nT n∈N*；若π6--7π6=4π3=nT n∈N*：因为f(x)的最小正周期T>π，所以T=4π3，即T=2πω=4π3，解得ω=32，即f(x)=sin32x+φ，此时fπ6=sin32×π6+φ=sinπ4+φ=12，又0≤φ≤π2，则π4≤π4+φ≤3π4，所以sinπ4+φ≥22，与sinπ4+φ=12矛盾，不合题意；所以f(x)的一条对称轴为x=-π2，即-π2ω+φ=kπ+π2k∈Z，所以φ=kπ+π2+π2ω，0≤φ≤π2；因为T>π，所以T=2π|ω|=2πω>π，即0<ω<2，所以π2<π2+π2ω<3π2，又因为0≤φ≤π2，所以k=-1，则-π2ω+φ=-π2，因为0<ω<2，则0<π6ω<π3，又0≤φ≤π2，所以0<π6ω+φ<5π6，又fπ6=sinπ6ω+φ=12，则π6ω+φ=π6①又因为-π2ω+φ=-π2②，联立①②解得ω=1，φ=0，所以f(x)=sin x.如图，结合f(x)=sin x的图象及对称性可知，f(x)=sin x在x=x0处的切线经过点(2π,0)，切点为x0,sin x0，则f (x)=cos x，所以cos x0=sin x0-0x0-2π，整理得tan x0=sin x0cos x0=x0-2π，所以tan x0-x0=-2π.故答案为：-2π.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键点是找到切线与y=sin x的图象有3个交点时，该切线过点2π,0，再利用导数处理即可.题型八：函数公切线对函数 f(x)与g(x)，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：y-f(x1)=f (x1)(x-x1))和y-g(x2)=g (x2)(x-x2)再令 f (x)=g (x)f(x1)-x1f (x)=g(x2)-x2g (x2)，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。

考点49：利用导数求切线方程【题组一 求切线斜率或倾斜角】 1．曲线()sin cos f x x x =在点,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为 . 【答案】12【解析】1()sin 22f x x =，则()cos 2f x x '=，1()cos(2)662f ππ'=⨯=． 2．曲线x y e x =+在0x =处的切线的斜率等于 . 【答案】2【解析】函数的导数为()'1xf x e =+，则在0x =处的导数()0'01112f e =+=+=，即切线斜率()'02k f ==.3．曲线34y x x =-在点()1,3-处的切线的倾斜角为 . 【答案】135°【解析】由题得2()34,(1)341=tan f x x k f α''=-∴==-=-，所以切线倾斜角为135°.4．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+ . 【答案】35【解析】曲线()323f x x =，点的坐标为21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以2'()2f x x = ，在点21,3⎛⎫⎪⎝⎭处切线斜率2k = ，即tan 2α= 所以222sin cos 2sin cos cos ααααα-+分子分母同时除以 2cos α可得 222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 132tan 15αα-==+ 5．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos(2)2πα+的值为 . 【答案】35【解析】根据已知条件，212()f x x x '=+，因为曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，所以tan (1)123f α'==+=，02πα<<.因为22sin cos 1a α+=，sin tan 3cos ααα==，则解得sin α=cosα=，3cos(2)sin 22sin cos 25παααα+=-=-=-.6．已知曲线234x y lnx =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为 。

导数的几何意义求切线方程专题题型一：切点已知求切线方程【例1】.函数f(x)=xe x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________．【答案】y=2ex−e【解析】因为f(x)=xe x，所以f(1)=e，f′(x)=e x+xe x，所以f′(1)=2e，所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即y=2ex−e．变式1.已知函数f(x)=x+aln⁡x．当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；【答案】2x−y−1=0【解析】当a=1时，f(x)=x+ln⁡x，f′(x)=1+1x(x>0)．所以f(1)=1，f′(1)=2，所以切线方程为2x−y−1=0．【备注】考查导数的几何意义，先由导数得到斜率，再根据点斜式得到切线方程．变式2.已知函数f(x)=(x+1)ln⁡x−a(x−1)．当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；【答案】y=−2x+2．【解析】当a=4时，f(1)=0，函数f(x)的导函数f′(x)=ln⁡x+1−3,因此f′(1)=−2，从而所求的切线方程为y=−2(x−1)，也即y=−2x+2．【备注】本小题是常规的利用导函数求函数的切线方程问题．题型二：切点未知求切线方程【例2】.【2018年浙江宁波高二下学期周测】过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为________【答案】y=ex【解析】y′=e x设切点的坐标为(x0,e x0)，切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y−e x0=e x0(x−x0)又切线过原点，∴−e x0=e x0(−x0)，∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．变式.已知函数f(x)=x3−3x，过点P(2,−6)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程是 ________【答案】3x+y=0或24x−y−54=0【解析】由f(x)=x3−3x，得f′(x)=3x2−3，设切点为(x0,x03−3x0)，则斜率k=3x02−3，∴切线方程为y−(x03−3x0)=(3x02−3)(x−x0)，即y=(3x02−3)x−2x03．∵切线过点P(2,−6)，则−6=2(3x02−3)−2x03，解得：x0=0或x0=3．∴所求切线方程是y=−3x或y=24x−54．故答案为：3x+y=0或24x−y−54=0．题型三：已知切线方程求参数【例3】.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切，则m= ________【答案】1【解析】设切点为P(x0,y0)．易知y′|x=x=2x0．由{2x0=−2,y0=x02,得{x0=−1,y0=1,所以P(−1,1)．又P(−1,1)在直线2x+y+m=0上，所以2×(−1)+1+m=0，解得m=1．变式1.【2016年辽宁大连单元测试】设函数f(x)=x2-ln⁡(x+a)+b，g(x)=x3．若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y=0，求实数a,b的值；【答案】a=1，b=0【解析】f′(x)=2x−1x+a依题意{f′(0)=−1a=−1 f(0)=−ln⁡a+b=0变式2.【2015年浙江舟山高二下学期月考】在同一坐标系中，直线l是函数f(x)=√1−x2在(0,1)处的切线，若直线l与g(x)=−x2+mx相切于x=1处，则m=________【答案】2【解析】函数y=f(x)=2即为上半圆x2+y2=1，(0,1)为与y轴的交点，即有在(0,1)处的切线为y=1，由题意可得直线l：y=1也是g(x)=−x2+mx的切线，所以g(x)在x=0处的导函数值为0,g′(0)=−2∗0+m=0且g(1)=1,所以m=2题型四:公切线求参数问题【例4】.若直线y=kx+t是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则t=________ ．【答案】4−2ln⁡2【解析】设y=kx+t与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为(x1,kx1+t)、(x2,kx2+t)．由导数的几何意义可得k=e x1=e x2+1，得x1=x2+1．再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+t=e x1+2，kx2+t=e x2+1．联立上述式子{k=e x1x1=x2+1 kx1+t=e x1+2 kx2+t=e x2+1解得k=2，x1=ln⁡2，t=4−2ln⁡2．故答案为4−2ln⁡2．【备注】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可变式：函数f(x)=ln⁡x+mxx+1与g(x)=x2+1有公切线y=ax(a>0)，则实数m的值为________ ．【答案】4【解析】设公切线y=ax与g(x)=x2+1的切点为(x0,x02+1)，g"(x)=2x，故切线斜率为2x0，则切线为y−(x02+1)=2x0(x−x0)，因为切线过原点(0,0)，所以−x 02−1=−2x 02，解答x 0=1或x 0=−1， 因为切线斜率a =2x 0>0，所以x 0=1，a =2， 设公切线y =2x 与f(x)=ln⁡x +mxx+1相切与点(x 1,ln⁡x 1+mx 1x 1+1)，f"(x)=1x +m (x+1)2，故斜率1x 1+m(x1+1)2=2①切线方程为y −(ln⁡x 1+mx 1x1+1)=(1x 1+m(x 1+1)2)(x −x 1)，因为过(0,0)，所以−ln⁡x 1−mx 1x1+1=−1−mx 1(x 1+1)2②联立①②解得x 1=1,m =4． 故答案为4．【备注】本题考查利用导数研究函数在某一点处的切线方程，根据条件设出切点，利用切线过原点且和两函数图象相切即可求出m 的值．针对训练1.曲线f(x)=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．−9 B ．−3 C ．9 D ．15【答案】C【解析】因为y ′=3x 2，切点为(1,12)，所以切线的斜率为3，故切线方程为3x −y +9=0，令x =0，得y =9【备注】求在某点处切线2.【2018年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高二下学期期中考试数学试卷】已知直线y =−2x −23与曲线2f(x)=13x 3−bx 相切，则b =________． 【答案】3【解析】f(x)=13x 3−bx ，f ′(x)=x 2−b =−2，{x 2−b =−213x 3−bx =−2x −23，x =1，b =3．3.已知函数f(x)=ax2+(2a−1)x−ln⁡x，a∈R．若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线经过点(2，11)，求实数a的值；【答案】a=2【解析】由题意得f′(x)=2ax+(2a−1)−1 x=2ax2+(2a−1)x−1x=(2ax−1)(x+1)x∴f′(1)=2(2a−1)∵f(1)=3a−1∴曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2(2a−1)(x−1)+3a−1代入点(2，11)，得a=2【备注】根据题意，对函数f(x)求导，由导数的几何意义分析可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程，代入点(2，11)，计算可得答案4.【2013年山西太原单元测试】设函数f(x)=x3−3ax+b,a≠0在点(2,f(2))处与直线y=8相切求实数a,b的值；【答案】a=4,b=24；【解析】f′(x)=3x2−3a，f′(2)=0,f(2)=8即12−3a=0,8−6a+b=8解得a=4,b= 245.函数f(x)=x2−2ax+ln⁡x(a∈R)．函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y+ 1=0垂直，求a的值；【答案】a=52【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2a+1x，f′(1)=3−2a，由题意f′(1)⋅12=(3−2a)⋅12=−1，解得a=52．6.已知函数f(x)=aln⁡x−bx2图像上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=−3x+2ln⁡2+2，求a,b 的值【答案】a=2,b=1【解析】f′(x)=ax−2bx{k=f′(2)=a2−4b=−3y0=f(2)=aln⁡2−4b=−6+2ln⁡2+2解得：a=2,b=1【备注】若想解得参数a,b需要注意两点：1、切点是个很特殊的点，既在曲线上，又在切线上。

高考数学热点必会题型第4讲 导数求切线及公切线归类 ——每天30分钟7天轻松掌握一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求曲线切线的斜率与倾斜角例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()ln f x x x =+在1x =处的切线的斜率为（ ） A ．2 B ．-2 C ．0 D ．1【答案】A【分析】求出函数的导数后可得切线的斜率. 【详解】()11f x x'=+，故()12f '=，故曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2， 故选：A.例2．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '的图像如图，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 一定存在极大值点B ．()f x 有两个极值点C ．()f x 在(),a -∞单调递增D ．()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行【答案】ACD【分析】根据导函数()f x '的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断ABC ，利用导数的几何意义可判断D.【详解】由导函数()f x '的图象可知，当x a <时()0f x '≥，当x a >时()0f x '<，当0x =或x a =时()0f x '=，则()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得极大值，且只有一个极值点，故AC 正确，B 错误； 因为()00f '=，所以曲线()y f x =在0x =处切线的斜率等于零，即()f x 在x ＝0处的切线与x 轴平行，故D 正确. 故选：ACD.例3．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()ln 2f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的定义域是()0,∞+ B ．()f x 有两个零点C ．()f x 在点()()1,1f --处切线的斜率为1-D ．()f x 在()0,∞+递增 【答案】BCD【分析】对A ，根据定义域即可判断；对B ，直接解方程可求解；对C ，求出()f x 在=1x -处的导数可得；对D ，求出函数导数，根据导数可判断单调性. 【详解】对于A ：函数的定义域是()2,-+∞，故A 错误；对于B ：令()0f x =，即()ln 20x x +=，解得：0x =或=1x -，故函数()f x 有2个零点，故B 正确；对于C ：斜率()()11ln 12112k f -'=-=-++=--+，故C 正确； 对于D ：()()ln 22xf x x x '=+++，0x >时， ()ln 20x +>，02xx >+，故0f x，()f x 在()0,∞+单调递增，故D 正确.故选：BCD.【题型】二、求在曲线上一点处的切线方程或斜率例4．（2023·上海·高三专题练习）2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，()f x 在(3,(3))f 处切线方程为（ ） A ．290x y ++= B ．290x y +-= C ．290x y -++= D ．290x y -+-=【答案】B【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出()32f '=-再结合直线的点斜式公式，即可求解． 【详解】由已知，2(5)3lim2,(3)32x f x f x →--==-，令2x x ∆=-，∴()()33limx f x f x∆→-∆-∆＝()()()033lim32x f x f f x∆→-∆--'==-∆，解()32f '=-，∴()f x 在(3,(3))f 处切线方程为32(3)y x -=--，即290x y +-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．例6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F P 是C 上位于第一象限内的一点，若C 在点P 处的切线与x 轴交于M 点，与y 轴交于N 点，则与PF 相等的是（ ） A ．MN B ．FN C ．PM D ．ON【答案】B【分析】设2,(0)2a P a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求出222a pPF p =+，得到PF FN ON =>，PF PM MN >=，即得解.【详解】解：如图，设2,(0)2a P a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y p =，得x y p '=， 所以C 在点P 处的切线方程为()22a a y x a p p -=-，从而2,0,0,22a a M N p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据抛物线的定义，得2;22a pPF p =+ 又(0,)2pF ，222222p a a p FN p p ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，所以;PF FN ON => 由2,,,022a a P a M p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,2a N p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得M 是PN 的中点，则MF PN ⊥，从而PF PM MN >=． 故选：B ．例7．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知双曲线C ：224x y -=，曲线E ：2y ax x b =++，记两条曲线过点()1,0的切线分别为1l ，2l ，且斜率均为正数，则（ ） A ．若=0a ，1b =，则C 与E 有一个交点 B ．若=1a ，=0b ，则C 与E 有一个交点C ．若0a b ，则1l 与E 夹角的正切值为7-D ．若==1a b ，则1l 与2l 【答案】AC【分析】利用双曲线的渐近线、切线，利用导数求抛物线的切线，结合到角公式、向量的夹角公式进行求解.【详解】对于A ，若=0a ，1b =，则21y ax x b x =++=+， 因为双曲线C ：224x y -=的渐近线为y x =±， 所以曲线E ：=+1y x 与双曲线C 的渐近线为=y x 平行， 所以C 与E 有一个交点，故A 正确；对于B ，若=1a ，=0b ，则曲线E ：2y x x =+，与双曲线C ：224x y -=联立，则()22240x x x -+-=，即43240x x ++=，令()4324h x x x =++，则()()32246223h x x x x x '=+=+，则由()0h x '>有32x >-，由()0h x '≤有32x <-，所以()min 302h x h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以43240x x ++=无解，故B 错误；对于C ，若0a b ，曲线E ：=y x ，对于双曲线C ：224x y -=，易知过点()1,0的切线的斜率显然存在，设切线方程为()1y k x =- ，与224x y -=联立有：()22221240k x k x k -+--=，由()()4222444116120k k k k ∆=++-=-=，解得k =因为斜率均为正数，所以1l为：)1y x =-， 则1l 与E17=--C 正确； 对于D ，若==1a b ，曲线E ：21y x x =++，则21y x '=+，则1|3x y ='=， 则2l 为：()31y x =- ，其方向向量()1,3m = ，又1l为：)1y x =-，其方向向量231,3n ⎛= ⎝⎭， 所以3cos ,70m n m n m n⋅+==，故D 错误. 故答案为：AC.例8．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知函数()()e e x xf x x -=- ，则（ ）A ．()f x 在()0,∞+单调递增B ．()f x 有两个零点C ．()=y f x 在点()()ln 2,ln 2f 处切线的 斜率为35ln 222+D ．()f x 是奇函数 【答案】AC【分析】求导，运用导函数的符号判断单调性，并由此判断零点数量，运用定义法判断奇偶性.【详解】()()'=e e +e +e ,>0x x x xf x x x --- 时，e e >0x x --，()()()'e +e >0,>0,x x x f x f x -∴∴ 在()0,+∞ 上单调递增，A 正确；当0x ＜ 时，()'0f x ＜ ，单调递减，∴()f x 在0x = 处有极小值，()00f = ，()f x 有且仅有一个零点，B 错误；()'1135ln2=2+2+ln2=+ln22222f -⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，C 正确； ()()()()()=e e =e e =,x x x x f x x x f x f x ------∴为偶函数，D 错误；故选：AC .第二天学习及训练【题型】三、利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围例9．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A B ．C ．D ．-【答案】D【分析】根据导数的几何意义，写出切线方程的公式，直接计算求解即可【详解】对()()()2cos 0cos 2sin 0cos 2x f x x f x f x π⎛⎫-+=+' ⎝⎭=⎪'，求导可得，()()2cos 0sin f x x f x ''=-，得到(0)2f '=，所以，()22sin cos x x f x +=，所以，()2cos 2sin f x x x '=-，332cos 2sin 4434f πππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭故选D例10．（2023·全国·高三专题练习）已知点M 是曲线()22ln 5f x x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的倾斜角为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【分析】先求出()()2250f x x x x'=+->，再利用基本不等式求解即可. 【详解】根据题意得，()()2250f x x x x'=+->，所以()22551f x x x '=+-≥=-，当且仅当1x =时成立， 所以该切线的倾斜角为：34π. 故选：D.例11．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（理））若()ln f x x x =，则()f x 图像上的点的切线的倾斜角α满足（ ） A ．一定为锐角 B ．一定为钝角 C ．可能为0︒ D ．可能为直角【答案】C【分析】求出导函数，判断导数的正负，从而得出结论． 【详解】()ln 1f x x '=+，10e x <<时，()0f x '<，()f x 递减，1ex >时，()0f x '>，()f x 递增，而11ln 10e e f ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭，所以切线斜率可能为正数，也可能为负数，还可以为0， 则倾斜角可为锐角，也可为钝角，还可以为0︒，当90α=时，斜率不存在，而()f x '存在，则90α=不成立.故选：C ．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 0sin 0x x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，，， ()020x kx x g x x >⎧=⎨≤⎩，，，若x 1、x 2、x 3，x 4是方程()()f x g x =仅有的4个解，且x 1<x 2<x 3<x 4，则（ ） A ．0<x 1x 2<1 B ．x 1x 2>1 C ．43πtan π2x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．4πtan π2x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】分别作出函数()()f x ,g x 的图象，根据图象得出x 1、x 2、x 3，x 4的数量关系及范围即可求出结果.【详解】如图所示，|ln()|y x =-与2x y =的图象在(,0)-∞上有两个交点，所以()()12ln ln x x -<--，则()12ln 0x x <，则1201x x <<，故A 正确；|sin |y x =与y kx =的图象在(0,)+∞上有两个交点，则43,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且直线y kx =与|sin |y x =在4x x =处相切，所以44sin x kx -=，由导数几何意义得4cos x k -=，将上述两式相除得443tan ,2x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故C 正确．故选：AC.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【题型】四、求在过一点的切线方程例13．（2023·全国·高三专题练习）过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】设切点(),e mm m ，由导数几何意义可表示出切线方程，代入()0,P b 可将问题转化为方程2e m b m =-的解的个数的求解；令()2e mf m m =-，利用导数可得()f m 图象，根据y b=与()f m 图象交点个数可确定方程解的个数，进而得到切线条数.【详解】设切点为(),e mm m ，()1e x y x '=+，∴切线斜率()1e m k m =+， ∴切线方程为：()()e 1e m m y m m x m -=+-；又切线过()0,P b ，()2e 1e e m m mb m m m m ∴=-+=-；设()2e m f m m =-，则()()2e mf m m m '=-+，∴当()(),20,m ∈-∞-+∞时，()0f m '<；当()2,0m ∈-时，()0f m '>；()f m ∴在(),2-∞-，()0,∞+上单调递减，在()2,0-上单调递增，又()242e f -=-，()00f =，()0f m ≤恒成立，可得()f m 图象如下图所示，则当240e b -<<时，y b =与()f m 有三个不同的交点， 即当240eb -<<时，方程2e m b m =-有三个不同的解，∴切线的条数为3条. 故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b < B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <【答案】D【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(,)a b ，关于0x 的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，01ln ab x x +=+， 设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x =+有两个不同的交点，221()a x af x x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >. 故选：D.例15．（2023·全国·高三专题练习）过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点1,0A 作C 的切线恰有两条，则（ ） A ．a b = B ．1a b -= C ．1b a =+ D ．2a b =【答案】A【分析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出a ，b 的关系.【详解】()23f x x a '=-，过点1,0A 作曲线C 的切线，设切点()()00,x f x ，则切线方程为：()()2031y x a x =--， 将()()00,x f x 代入得：()()()230000031f x x a x x ax b =--=-+ 即3200230x x a b -+-=（*） 由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令()3223u x x x a b =-+-，()()26661u x x x x x '=-=-，显然有两个极值点0x =与1x =，于是()00u =或()10u =当()00u =时，a b =；当()10u =时，1a b -=，此时()()()32111f x x ax a x x x a =-+-=-++-经过()1,0与条件不符，所以a b =， 故选：A.例16．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，若方程()12f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，则实数k 的取值范围是________． 【答案】11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题可知直线1:2l y kx =-与函数()y f x =的图像有三个交点，利用导数研究函数的性质，利用数形结合思想能求出实数k 的取值范围．【详解】定义为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，方程1()2f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，即直线1:2l y kx =-与函数()y f x =的图像有三个交点， 由()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，当01x <≤时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+， 当10e x <<时，()0f x '<，当11ex <≤时，()0f x '>，()f x ∴在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()f x 在1,1e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，结合奇函数的对称性和“周期现象”得()f x 在[1-，2]上的图像如下：由于直线1:2l y kx =-过定点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，如图，连接A ，(1,0)B 两点作直线111:22l y x =-， 过点A 作()ln (01)f x x x x =<<的切线2l ，设切点0(P x ，0)y ，其中000ln y x x =，()ln 1f x x '=+，则斜率20ln 1l k x =+， 切线20000:ln (ln 1)()l y x x x x x -=+-过点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则00001ln (ln 1)(0)2x x x x --=+-，即012x =，则21ln 11ln 22l k =+=-，当直线1:2l y kx =-绕点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭在1l 与2l 之间旋转时，直线1:2l y kx =-与函数()y f x =在[1-，2]上的图像有三个交点，故11ln 2,2k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故答案为：11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭例17．（2023·全国·高三专题练习）若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是___________ 【答案】()0,1【分析】根据函数切线的求解方法，设切点求切线方程，代入点P ，根据方程与函数的关系，将问题转化为两个函数求交点问题，利用导数，作图，可得答案.【详解】由已知，曲线3y x =，即令3()f x x =，则()23f x x '=，设切点为300(,)x x ，切线方程的斜率为()2003f x x '=，所以切线方程为：00320(3)y x x x x -=-，将点()1,P t 代入方程得：320003(1)t x x x -=-，整理得230032t x x =-，设函数23()32g x x x =-，过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线， 可知两个函数图像y t =与23()32g x x x =-有三个不同的交点，又因为()()26661g x x x x x '=-=-，由()0g x '=，可得0x =或1x =，则当0x <或1x >时，()0g x '<；当01x <<时，()0g x '>， 所以函数()g x 在(,0)-∞，(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以函数()g x 的极大值为(1)321g =-=，函数()g x 的极小值为(0)000g =-=， 如图所示，当()0,1t ∈时，两个函数图像有三个不同的交点． 故答案为：()0,1．第三天学习及训练【题型】五、利用导数值求出参数值例18．（2023·上海·高三专题练习）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞【答案】D【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可.【详解】因为)2ln y x x a x =++，所以12y x a x'=++， 因为曲线在M 处的切线的倾斜角ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πtan3y ≥'0x >恒成立，即12x a x+≥0x >恒成立，即12a x x≤+，又12x x +≥12x x =，即x =时，等号成立，故a ≤所以a 的取值范围是(-∞． 故选：D ．例19．（2023·全国·高三专题练习）若曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，则a ＝（ ） A ．1 B ．e 2C ．2D ．e【答案】A【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】解：因为曲线()ln a xf x x=， 所以()()21ln a x f x x -'=， 又因为曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，所以()11f a '==， 故选：A例20．（2023·全国·高三专题练习）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ 和一段圆弧QM 组成，如图所示.假设圆弧QM 所在圆的方程为22:(25)(2)162C x y ++-=，若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）A ．232(1)y x =--B ．21364y x =-- C ．232(1)x y =-- D ．2364x y =-+【答案】C【分析】由题意可得到直线CM 所在的方程和圆方程联立求得点M 的坐标，设所求抛物线方程2y ax c =+，求导，根据导数的几何意义结合题意，可求得a,c ,即得答案. 【详解】由于某运动员在起跳点M 以倾斜角为45且与圆C 相切的直线方向起跳， 故1CM k =-,所以直线CM 所在的方程为：2(25)y x -=-+，代入22(25)(2)162x y ++-=，解得167x y =-⎧⎨=-⎩ 或3411x y =-⎧⎨=⎩ （舍，离y 轴较远的点），所以点M 的坐标为(16,7)--.由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分， 故设抛物线方程为：2y ax c =+，则2y ax '=，则由M 点处切线斜率为1可得321a -=，132a ∴=-， 又217(16)32c -=--+，解得1c =， 所以该抛物线的轨迹方程为21132y x =-+，即232(1)x y =--， 故选：C.例21．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（ ）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．【答案】D【分析】由函数为奇函数可得2b a =，根据切线的斜率为0建立方程求出a 即可得解.【详解】由()()()()220f x x x ax b a =-+≠可得32()(2)2f x ax b a x bx =+--，因为()()f x f x -=-，所以20b a -=，解得2b a =.所以()424y f a a a ==-，故切线斜率()0k f a '==，又2()(34)f x a x '=-，所以2()(34)0f a a a '=-=，解得a =a =，所以b =故选：D例22．（2023·上海·高三专题练习）设函数()ln f x x x =，()1x g x x =+. (1)若直线12y x b =+是曲线()f x 的一条切线，求b 的值； (2)证明：①当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-； ②0x ∀>，()()2e-<g x f x .（e 是自然对数的底数，e 2.718≈）【答案】(1)12e --(2)①证明见解析②证明见解析【分析】(1)首先利用导函数的几何意义求出切点，再将切点代入切线即可求出b ； (2)①将原不等式化简为1()2ln 0h x x x x=-+>，然后利用导函数求()h x 在(0,1)上的最大值大于0即可；②结合①中条件，利用放缩法只需证明2112122ex x x -+<+，然后利用隐零点证明不等式在(0,1)上恒成立即可，最后结合()f x 和()g x 的单调性即可证明原不等式在[1,)+∞上恒成立. （1）由()ln f x x x =，则'()ln 1f x x =+，设12y x b =+在()f x 上的切点为000(,ln )x x x ，从而1'20001()ln 1e 2f x x x -=+=⇒=，故12y x b =+在()f x 上的切点为11221(e ,e )2---，将11221(e ,e )2---代入12y x b =+得，11122211e e e 22b b ----=+⇒=-，故b 的值为12e --. （2）①当01x <<时，()()()1112ln 02g x f x x x x x x⋅>-⇔-+>， 不妨令1()2ln h x x x x =-+，则2'2221(1)()10x h x x x x -=--=-<， 故()h x 在(0,1)上单调递减，从而对(0,1)x ∀∈，都有()(1)0h x h >=，故当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-. ②(i)由①知，当01x <<时，()()()112g x f x x x ⋅>-， 从而21ln (1)2x x x >-，故()()211122x g x f x x x -<-++， 欲证()()2e -<g x f x ，只需证2112()122ex x x x ϕ=-+<+， 则2'2211(1)()(1)(1)x x x x x x ϕ-+=-=++，令2()1(1)x x x φ=-+，则'2()(1)2(1)0x x x x φ=-+-+<， 从而()x φ在(0,1)上单调递减，因为22111119()1(1)1(1)10e e e e 24e φ=-+>-+=->，219191966139111040404064000φ⎛⎫⎛⎫=-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在的基本定理可知，0119,e 40x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2000()1(1)0x x x φ=-+=，从而20000(1)1x x x x =++， 结合()x φ在(0,1)上单调递减可知，'0()00x x x ϕ>⇒<<；'0()01x x x ϕ<⇒<<，故()ϕx 在0(0,)x 上单调递增，在0(),1x 上单调递减， 从而222320max 00000000111111()()(1)1222222x x x x x x x x x x ϕϕ==-+=+-+=+++， 故32max 1911912()()()0.72402402ex ϕ<+⋅+<<， 即当01x <<时，()()2e-<g x f x ； (ii) 由'1()ln 10e f x x x =+>⇒>-，从而()f x 在1[,)e-+∞上单调递增，故当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，又因为()1111x g x x x ==-++在(0,)+∞上单调递增， 故当1e x ≤≤时，()()e 2()11e 1ex x g x f x f x x x -=-<≤<+++， 当e x >时，()(e)e f x f >=，此时()()121e<01eg x f x x -<--<+， 综上所述，0x ∀>，()()2e-<g x f x . 【点睛】利用隐零点证明不等式需要注意的地方：一、在利用隐零点求函数最值的时候，一定要精确隐零点所在区间I 的端点值，否则在证明的时候放缩过大或过小都很难求证；二、二分法是一种精确隐零点所在区间I 的一种较好的方法. 【题型】六、已知切线的斜率求参数方程例23．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()2e ,<1=e ,1x x x f x x -≥⎧⎨⎩若方程()0f x x a --=有三个不同的解，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,e 1- C ．()1,e D ．()e 1,e -【答案】B【分析】将原题转化为()=y f x 与y x a =+有三个不同的交点，结合图象分析相应的临界位置求解，并利用导数处理切线问题. 【详解】∵()0f x x a --=，则()f x x a =+ ∴原题转化为()=y f x 与y x a =+有三个不同的交点 y x a =+表示为斜率为1，纵截距为a 的直线，如图可知：满足条件的直线以过点()1,e A 的直线2l ，与()()e 1xf x x =≤相切的直线1l 为临界位置若过点()1,e A ，则e 1a =+，即e 1a =-若与()()e 1xf x x =≤相切，则()e 1x f x '==，可得()0,01x f ==即切点坐标为()0,1，则=1a ∴a 的取值范围是()1,e 1- 故选：B.例24．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知0a >，0b >，直线2e y x b-=+与曲线ln y x a =-相切，则11a b+的最小值是（ ） A ．16 B ．12C ．8D ．4【答案】D【分析】设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -，求导，根据导数的几何意义求出切点处的切线方程，再结合已知方程求出,a b 的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.【详解】解：设直线2e y x b -=+与曲线ln y x a =-的切点为()00,ln x x a -， 因为ln y x a =-，所以1y x'=， 切线方程为()0000011ln ln 1y x x x a x x a x x =-+-=+--， 所以201e x -=，0ln 1x a b --=， 所以1a b +=，又0a >，0b >，所以()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故11a b+的最小值是4. 故选：D.例25．（2023·全国·高三专题练习）若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】A【分析】由导数几何意义得1a b +=，然后由基本不等式得最小值． 【详解】由已知2()a b f x x x '=+，所以(1)1f a b '=+=， 222()122b a a b +≥=+，当且仅当12a b ==时等号成立．故选：A ．例26．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是曲线23ln y x x =-上任意的一点，则点P 到直线2230x y ++=的距离的最小值是（ ）A ．74B ．78C D 【答案】D【分析】由题意可知，过点P 的切线与直线2230x y ++=平行，由此可求出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可 【详解】令()321,0y x x x'=-=->，则1x =，即(1,1)P ，所以4d ==， 故选：D ．例27．（2023·全国·高三专题练习）设函数()e 2xf x x =-，直线=+y ax b 是曲线()=y f x 的切线，则2a b +的最大值是__________ 【答案】2e 4-##24e -+【分析】求出函数的导函数，设切点()(),t f t ，从而表示出()f t ，()f t '，即可得到切线方程，从而得到()=e 2=e 1tta b t --⎧⎪⎨⎪⎩，则243e e t t a b t +=-+-，再构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得解.【详解】解：因为()e 2x f x x =-，所以()e 2xf x '=-，设切点()(),t f t ，则()e 2tf t t =-，()e 2t f t '=-，则切线方程为()())e 2e 2(t ty t x t --=--，即()()e 2e 1t ty x t =-+-，又因为=+y ax b 是曲线()=y f x 的切线，所以()=e 2=e 1tta b t --⎧⎪⎨⎪⎩， 则243e e t t a b t +=-+-，令()43e e t tg t t +=--，则()()2e tg t t '=-，当2t >时，()0g t '<，()g t 在()2,+∞上单调递减， 当2t <时，()0g t '>，()g t 在(),2-∞上单调递增，所以=2t 时，()g t 取最大值()222243e 2e 4e g =-+-=-+，即2a b +的最大值为24e -+. 故答案为：24e -+第四天学习及训练【题型】七、两条切线平行、垂直、重合公切线问题例28．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14【答案】B【分析】由(0)0f =得0d =，然后求得()f x '，由20(0)10f -'=-求得2c =，设()()g x xf x =，由(1)2g =得(1)2f =及0a b +=，再由(1)2g '=得3220a b ++=，解得,a b 后可得(2)f '． 【详解】设32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，322(0)0,(),()32f d f x ax bx cx f x ax bx c ==∴=++∴'=++20(0)210f c -∴'===-， 设()()g x xf x =，则(1)(1)22g f a b ==++=，即0a b +=……① 又()()(),(1)(1)(1)2,(1)0g x f x xf x g f f f '=+'∴'=+'=∴'=，即3220a b ++=……②由①②可得2,2,2a b c =-==，(2)14f ∴'=-.故选：B.例29．（2023·全国·高三专题练习）若直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切，则直线l 的条数有（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．无数条【答案】C【分析】先设出所求直线l ，再通过设出的直线斜率得到切点，运用切点和斜率构造方程，再通过构造新的函数求解方程解的情况【详解】设直线:l y kx b =+因为直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切 所以对于曲线e x y =，e x y k '==，ln x k =，切点(ln ,)A k k 对于曲线ln y x =，1y k x '==(0)x >，1x k ，切点11(,ln )B k k(0)k > 因为公切线过A 、B 两点所以1lnln 11ln ln AB A B k y y k k k k x x k k k k--+===--- 进而可得ln ln 10k k k k ---= 令()ln ln 1g k k k k k =--- (0)k >1()ln g x k k'=-(0)k > 因为ln k ，1k -均为增函数，又因为(1)10g '=-<，()1e 10eg =->'所以存在0k 使得001ln =0k k -即001ln k k = 所以()g k 在0(0,)k k ∈时单调递减，在0(,)k k ∈+∞单调递增，()01,e k ∈ 0min 0000()()ln ln 1g k g k k k k k ==---又因为001ln k k =所以min 000000111()10g k k k k k k k =⋅---=--< 当2e k =时，()()222222e e e 1e 30g k g lnelne ==---=->因为()01,e k ∈，所以()()20e 0g k g <所以在()20,e k 内存在1k 使得直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切当21e k =时，()222222111111ln ln 1310e e e e e e g k g ⎛⎫==---=-+> ⎪⎝⎭因为()01,e k ∈，所以()0210e g k g ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以在021,e k ⎛⎫⎪⎝⎭内存在2k 使得直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切所以综上所述，存在两条斜率分别为12,k k 的两条直线l 与曲线e x y =和ln y x =都相切 故选：C【点睛】①本题运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来 ②通过构造新的函数求解所得到的跟直线斜率有关的方程③通过零点存在性定理最后得到函数是否存在零点，即方程解的情况例30．（2023·全国·高三专题练习）若直线l 与函数()e xf x =，()lng x x =的图象分别相切于点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，则1212x x x x -+=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】B【分析】利用导数可得切线斜率与切线方程，进而可得1x 与2x 的关系，即可得解.【详解】由()e xf x =，()lng x x =，得()e xf x '=，()1g x x'=， 则121e x x =，121ln e ln x x =，即21ln x x =-．曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111e e 1x xy x x =+-，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为2211ln y x x x =-+，所以()112e 11ln x x x -=-+，可得()112111x x x -=--，整理得12121x x x x -+=-， 故选：B.例31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x a x =，()e xg x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（ ）A ．2B ．2eC ．2e D【答案】B【分析】利用导数的几何意义分别得到e a k =、ekb =，再运用基本不等式即可求解. 【详解】设直线y kx =与函数()f x ，()g x 的图象相切的切点分别为(),A m km ，(),B n kn .由()af x x '=，有ln km a ma k m=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得e m =，e a k =. 又由()e xg x b '=，有e e n n kn b b k⎧=⎨=⎩，解得1n =，e k b =，可得1e e 2e a k b k +=+≥=，当且仅当e a =，1eb =时取“=”. 故选：B例32．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,2e B ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞【答案】B【分析】设公切线与曲线的切点为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，利用导数的几何意义分别求ln 1y x =-和2y ax =上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2xy x x =+-， 对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->， 令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令0g x，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫⎪⎝∈+⎭∞时，0g x，()g x 单调递减，所以()332max 1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.故选：B.【点睛】关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围.例33．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()22ln 12x axf x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（ ） A ．-1 B ．3 C ．1 D ．2【答案】AC【分析】求导，根据函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线，由()min 0f x '≥求解. 【详解】解：因为函数()()()22ln 112-=++>-x axf x x x ，所以()11111111'=+-=++--≥-=-++f x x a x a a a x x ， 当且仅当111x x +=+，即0x =时，等号成立， 因为函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线， 所以()min 0f x '≥，即10a -≥， 解得1a ≤， 故选：AC【题型】八、已知某点处的导数求参数或自变量例34．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线()40y x x x=+<在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直，则点P 的横坐标为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【分析】设P 点坐标，求出函数的导数，根据导数的几何意义列出方程，求得答案. 【详解】设()()40f x x x x=+<，点00(,)P x y ， 则()241f x x '=-， 由在点P 处的切线与直线310x y -+=垂直可得()03f x '=-，即20413x -=-，又00x <，∴01x =-, 故选：B例35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin f x m x b =+在6x π=处的切线方程为1y x =+，则实数b 的值为（ ）A ．12 B C ．1 D 【答案】A【分析】求得()cos f x m x '=，利用导数的几何意义，求得1m =，得到()sin f x x b =+，再求得切点(,1)6P π代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x m x b =+，则()cos f x m x '=，可得()cos 66f m ππ'==，即切线的斜率k =，=，解得1m =，所以()sin f x x b =+，当6x π=时，116y π+=，即切点(,1)6P π 代入函数()sin f x x b =+，可得sin16b π+=，解得12b =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.例36．（2023·全国·高三专题练习）若实数a ，b ，c ，d 满足ln ,1a b c d =+=，则()()22a c b d -+-的最小值为______.【答案】2 【分析】由ln b a =，1d c =+，故()()22a cb d -+-可理解为曲线ln y x =上一点(),a b 与直线1y x =+上一点(),cd 间的距离的平方，采用数形结合和对函数ln y x =求导可知，函数ln y x =在()1,0处的切线方程10x y --=与直线1y x =+之间的距离的平方为我们要求的()()22a c b d -+-的最小值.【详解】由ln b a =，1d c =+，故()()22a c b d -+-可理解为曲线ln y x =上一点(),a b 与直线1y x =+上一点(),c d 间的距离的平方，对于函数ln y x =，令11y x'==，故可得1x =，即函数ln y x =在()1,0处的切线方程为10x y --=，切线方程与直线1y x =+平行，则函数ln y x =在()1,0处的切线方程与直线1y x =+之间的距离d =()()22a cb d -+-的最小值为22d =.故答案为：2.。

考点36 利用导数求切线方程一．在型求切线方程()0000)1k f x 2y f x f x x ()()()()x (''求斜率:求该点处的导数值：＝求切线:点斜式对应的直线方程：－＝－二．过型求切线方程00'0'000000'00(1)x ,y )(2)f (x )y-y f (x )=x-x (3x y f (x )(4)y-y f (x )⎧⎪⎨⎪=⎩=设点：设切点的坐标（求导：求导函数）列式：求点斜式：三.已知切线求参数1.切点处的导函数为切线斜率2.切点在切线上也是曲线上考向一 在某点处的切线方程【例1-1】（2020·江苏期中）曲线1y x =-在点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．4y x = B ．44y x =- C ．()41y x =+ D ．24y x =-【答案】B【解析】由函数1y x =-，则21y x'= 所以曲线1y x =-在点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为12|4x k y ='== 所以切线方程为：1242y x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即44y x =- 知识理解考向分析故选：B【例1-2】（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）函数()ln 1f x x x =+-在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-+ B ．22y x =-C ．32y x =-D ．33y x =-+【答案】B【解析】由1(1)0,()1f f x x='=+，有(1)2f '=，则所求切线方程为2(1)y x =-． 故选：B. 【举一反三】1．（2020·北京市第十三中学高三期中）曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-= D ．50x y --=【答案】B【解析】求导得斜率1-，代点检验即可选B.21(21)y x -'=-，1k ∴=-，20x y ∴+-=故选：B2．（2021·辽宁高三其他模拟）已知函数()323f x x x =-++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______． 【答案】570x y +-= 【解析】()323f x x x =-++，()261f x x '∴=-+，()15f '∴=-，即切线斜率为5-，又()12132f =-++=，∴切线方程为()251y x -=--，即570x y +-=.故答案为：570x y +-=.3．（2021·江西吉安市·高三期末（文））曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 【答案】20x y π+-=【解析】cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为22y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即20x y π+-=．故答案为：20x y π+-=考向二 过某点处的切线方程【例2】（2021·山东聊城市）过点(2,2)P -且与曲线33y x x =-相切的直线方程是（ ） A ．916y x =-+ B ．920y x =- C ．2y =- D ．916y x =-+或2y =-【答案】A【解析】因为33y x x =-所以233y x '=-，曲线33y x x =-在(2,2)P -处的切线斜率为－2，故由直线方程的点斜式得曲线方程为916y x =-+，选A ． 【举一反三】1．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）函数()ln f x x =过点()0,0的切线方程为（ ） A ．y x = B ．y x e2=C ．12y x =D ．1y x e=【答案】D【解析】设切点为11(,ln )x x 因为()()1ln f x x f x x'=∴=11111ln 01ln 10x x x e x x -∴=∴=∴=- 因此切线方程为1y x e= 故选：D2．（2020·河南高三月考）过点()0,1-且与曲线11e xy x =-+相切的直线方程为______. 【答案】()e 110x y -++=【解析】设切点为()00,x y ，因为11e x y '=-，所以0011e x x x y ==-'， 所以过切点()00,x y 的切线方程为()00011e x y y x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.因为切线过点()0,1-，所以()0001110e x y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即00111e x x --+-=()0011e x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得01x =-，所以所求切线方程为()()()11e 0y x --=--，即切线方程为()e 110x y -++= 故答案为：()e 110x y -++=3．（2021·全国课时练习）已知某曲线的方程为22y x =+，则过点()2,3B -且与该曲线相切的直线方程为______．【答案】210x y +-=或10230x y --= 【解析】【解析】设直线与曲线切于点（x 0，y 0）（x 0≠2），则k=0032y x +-，∵y 0=x 02+2，且∵k=y ′0|x x ==2x 0，∴0032y x +-=2x 0，∴x 02﹣4x 0﹣5=0， ∵x 0=-1，或x 0=5，∴k=2x 0=-2或10，故直线l 的方程210x y +-=或10230x y --=. 故答案为：210x y +-=或10230x y --=．4．（2020·海林市朝鲜族中学）过点（2,0）且与曲线y ＝1x相切的直线的方程为________ 【答案】20x y +-=. 【解析】设切点为()0000220000111,2y x y y y x x x x -∴==-'∴-=-，所以切点为()1,1，由点()2,0可知直线方程为20x y +-=考向三 求参数【例3】（2021·山西晋中市·高三二模（理））曲线ln y x ax =+与直线21y x =-相切，则a =______． 【答案】1【解析】由题意，函数ln y x ax =+，可得1y a x'=+， 设切点为()00,P x y ，则01y a x '=+，因为曲线ln y x ax =+与直线21y x =-相切，可得12a x +=，即0021ax x =-，① 又由000ln y x ax =+，即切点为000(,ln )x x ax +，可得0002n 1l x ax x =-+，② 联立①②，可得01,1x a ==． 故答案为：1 【举一反三】1．（2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试（理））已知直线2y x b =+是曲线ln 3y x =+的一条切线，则b =_________． 【答案】2ln 2-．【解析】对ln 3y x =+，1y x '=，由12y x '==，得12x =时， 1ln 33ln 22y =+=-， 所以13ln 222b -=⨯+，2ln 2b =-． 故答案为：2ln 2-．2．（2021·山西吕梁市·高三一模（理））已知曲线32y x ax =+-与x 轴相切，则a =___________.【答案】3-【解析】设曲线上切点坐标为()300,2x x ax +-，因为23'=+y x a ，所以203003020k x a x ax ⎧=+=⎨+-=⎩，解得01x =-，3a =-.故答案为：3-3．（2021·江西赣州市·高三期末（文））若曲线ln 1y x x =+在1x =处的切线与直线2(1)30ax a y --+=垂直，则a =______. 【答案】13； 【解析】由题意得，()ln 1f x x '=+，所以(1)1f '=， 因为切线与直线2(1)30ax a y --+=垂直， 所以10a -≠，且2111aa ⨯=--，解得13a =. 故答案为：13． 4．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（文））若直线l ：2y ex b =+是曲线2ln y x =的切线，则实A ．-4B ．-2C ．2e D ．e【答案】A【解析】设l ：2y ex b =+与曲线2ln y x =相切于点()00,2ln x x ， 则()002f x x '=， 所以的方程为()00022ln y x x x x -=-， 则0022ln 2x y x x =+-，故022e x =，解得01x e=，则直线l ：24y ex =-，所以4b =-， 故选：A.1．（2021·安徽芜湖市·高三期末（理））已知1()ln 2f x x =-21(1)4f x x '++，则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．10x y --= B ．410x y --= C ．410x y --= D ．4410x y --=【答案】D【解析】由题意得：1()(1)1f x f x x''=-+， 令1x =，可得(1)1(1)1f f ''=-+，解得(1)1f '=，根据导数的几何意义可得，在点(1,(1))f 处切线斜率(1)1k f '==，又1()ln 2f x x =-214x x ++，所以113(1)ln11244f =-++=，即切点为3(1,)4，所以切线方程为3(1)4y x -=-，整理得：4410x y --=.故选：D2．（2021·内蒙古包头市·高三期末（理））若直线2y x b =-+为曲线xy x e =-的一条切线，则实数b 的强化练习A ．ln33-B ．3ln33+C ．ln33+D ．3ln33-【答案】D【解析】设切点为000(,)xx x e -， 由xy x e =-得1xy e '=-，所以012x e -=-，得03x e =，得0ln 3x =， 所以切点为(ln 3,ln 33)-，所以ln332ln3b -=-+，得3ln33b =-. 故选：D3．（2020·全国高三月考）曲线1axy x =-在点()2,2a 处的切线方程为30x y b -+=，则（ ）． A ．3a =，12b =- B ．3a =-，0b = C ．3a =，0b = D ．3a =-，12b =-【答案】D【解析】由题意得()()()22111a x axay x x --'==---，所以()2221x ay a ==-=--'，因为直线30x y b -+=的斜率为3， 所以3a -=，故3a =-，故切点为()2,6-，代入切线方程为30x y b -+=得12b =-． 故选：D.4（2021·全国高三专题练习）已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（ ）A ．12B ．1CD ．2【答案】D【解析】因为2()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2a f x x x'=+， 由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值， 因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥= 当且仅当2ax x=即22a x =时()f x '取得最小值， 又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=， 故选：D5．（2020·全国高三专题练习（文））曲线()ln 21y x =-上的点到直线280x y -+=的最短距离是（ ） A．B ．2C．D【答案】A【解析】如图所示，将直线280x y -+=平移至与函数()()ln 21f x x =-图象相切时， 切点到直线280x y -+=的距离最短,设切点坐标为()()00,x f x ，()221f x x ='-,令()02f x '=得，01x =，则切点坐标为()1,0， 所以切点()1,0到直线280x y -+=的距离为：()22211082521d ⨯-⨯+==+-.故选：A.6．（多选）（2020·全国高三专题练习）曲线3()3f x x x =-+在点P 处的切线平行于21y x =-，则点P 的坐标为（ ） A ．()1,3 B ．()1,3-C ．()1,3--D ．()1,3-【答案】AB【解析】因()231f x x '=-，令()2f x '=，故23121x x -=⇒=或1-，所以()1,3P 或()1,3-，经检验，点()1,3，()1,3-均不在直线21y x =-上， 故选：AB7．（2021·全国高三开学考试（文））曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线与曲线e x y =-相切，则a =___________. 【答案】2-【解析】由ln y a x =-求导得1y x'=-， ∴曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线方程为()1y a x -=--，即1y x a =-++. 设1y x a =-++与e x y =-相切于点()00,e x x -，由e x y =-求导得e xy '=-， ∴0e 1x -=-，∴00x =，即切点为()0,1-. 它在切线1y x a =-++上， ∴11a +=-， ∴2a =-. 故答案为：-28．（2021·安徽安庆市·高三一模（文））函数2()x f x x e =在点()()1,1f 处的切线方程为________. 【答案】320ex y e --= 【解析】因为2()x f x x e =， 所以()2'()2xf x exx =+，则()'13f e =，()1f e =，所以在()()1,1f 处的切线方程为320ex y e --=.9．（2021·内蒙古包头市·高三期末（文））曲线ln 32y x x x =++的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是______． 【答案】41y x =+【解析】因为ln 32y x x x =++， 所以ln 4y x '=+， 设切点为()00,x y ， 因为切线的斜率为4， 所以0ln 44x +=， 解得001,5x y ==，所以该切线的方程是()541y x -=-，即41y x =+ 故答案为：41y x =+10．（2021·安徽安庆市·高三一模（理））函数1()(1)x f x x e a -=++在(1,(1))f 处的切线经过点()3,7 ，则实数a =___________. 【答案】1-【解析】由1()(1)x f x x e a -=++，得()()12x f x ex -'=+，()13f '=，()12f a =+，而切线过点()3,7，从而有()72331a -+=-，解得1a =-， 故答案为：1-.11．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（文））曲线()e cos xf x x x =-在()0,1-处的切线方程为_________．【答案】1y x =-【解析】由()e cos xf x x x =-得：()e (1)sin x f x x x '=++，()00e sin01f '=+=，因为切点()0,1-在曲线上，所以所求切线方程为1y x +=，即1y x =-． 故答案为：1y x =-.12．（2021·山西吕梁市·高三一模（文））曲线31233y x =+在点()1,1处的切线方程为________．【答案】0x y -=【解析】()1,1为切点时，由2y x '=时，斜率k =1，所以切线方程：y -1=x – 1; 故答案为：0x y -=13．（2021·六盘山高级中学高三期末（文））曲线1xy xe x =++在点()0,1处的切线方程为______. 【答案】21y x =+【解析】1x x y e xe '=++，∴切线的斜率为00|12x k y e ='==+=则切线方程为12y x -=，即21y x =+故答案为：21y x =+14．（2020·湖北高三月考）函数2()2x f x x-=+在点()0,(0)f 处的切线方程为________. 【答案】10x y +-= 【解析】因为2()2x f x x -=+，所以()2(24)f x x -'=+，(0)1f '=-， 因为(0)1f =，所以切线方程为10y x ，即10x y +-=，故答案为：10x y +-=.15．（2021·江苏泰州市·高三期末）函数()e x f x x =+(其中e 为自然对数的底数)的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为________.【答案】21y x =+【解析】因为()e 1x f x '=+，所以()()00012,001f e f e '=+==+=， 所以切线方程为：()120y x -=-，即21y x =+，故答案为：21y x =+.16．（2020·贵州铜仁伟才学校高三月考（文））曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为________.【答案】2210x y +-π+=【解析】由2sin cos y x x =+，得2cos sin y x x '=-，则x π=时2cos sin 2y ππ'=-=-， 即切线斜率2k =-，故切线方程为()12y x π+=--，即2210x y +-π+=.故答案为：2210x y +-π+=.17．（2020·吉林油田第十一中学高三月考（文））曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为______．【答案】220x y --=【解析】因为()3f x x x =-， 所以()231f x x '=-。

第十二讲 导数的切线方程1. 导数的几何意义：切线的斜率2. 求斜率的方法（1）公式：/12012tan ()y y k f x x x α-===- 0απ为直线的倾斜角，范围[0,),x 是切点的横坐标（2）当直线l 1、l 2的斜率都存在时：1212l l k k ⇔=，12120l l k k ⊥⇔•=3. 切线方程的求法（1）求出直线的斜率（2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式00()y y k x x -=-写出直线方程。

考向一 斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为 。

（2）设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________．【答案】（1）π4.（2）e 【解析】（1）∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4. （3）由题意得()ln 1f x x '=+，又00()ln 12f x x '=+=，解得0e x =．【举一反三】1.已知在曲线2y x =上过点00(),P x y 的切线为l ．（1）若切线l 平行于直线45y x =-，求点P 的坐标；（2）若切线l 垂直于直线2650x y -+=，求点P 的坐标；（3）若切线l 的倾斜角为135︒，求点P 的坐标．【答案】（1）(2,4)；（2）39(,)24-；（3）11(,)24-．【解析】（1）两条直线平行斜率相等，2x 0=4,x 0=2,代入曲线y 0=4,切点P （2,4）（2）直线直线垂直，斜率相乘等于- 1.0000139392x =-1,x =-,将x 代入曲线y =,故P （-，）32424（3）因为切线l 的倾斜角为135︒，所以其斜率为1-．即021x =-，得012x =-，014y =，故11(,)24P -．考向二 在某点处求切线方程【例2】设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．【解析】因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0.【答案】x －y －1＝0【举一反三】1.函数f (x )＝e x cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为 。

利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线万程【例11 .已知曲线f(x)=x 3-2x 2+1.(1) 求在点P (1,0 )处的切线l 1的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【例21.( 2014?北京)已知函数f (x ) =2x 3 - 3x .(I)求f (x )在区间［-2, 1］上的最大值；(n)若过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切，求t 的取值范围;(川)问过点 A (- 1, 2), B (2, 10), C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f (x )相切？(只需写出结论)【解答1 解：(I)由 f (x ) =2x 3 - 3x 得 f '( x ) =6x 2- 3, 令 f '(x ) =0 得，x= -^_或 x=」,•- f (-2) =- 10, f (-=) =：-：, f (斗)=-::,f (1) =- 1, .f (x )在区间［-2, 1］上的最大值为：.：.(n)设过点P (1, t )的直线与曲线y=f (x )相切于点(X 。

，y °),则y °=2诃-3X 0，且切线斜率为k=6爲-3, .切线方程为 y -y o = (6-,- - 3)(x - x o ), +t+3=0，设 g (x ) =4x 3 - 6x 2+t+3 ,则“过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切”，等价于“ g (x )有3 个不同的零点”.T g '(x ) =12x 2- 12x=12x (x - 1),.g (0) =t+3是g (x )的极大值，g (1) =t+1是g (x )的极小值. .g (0)> 0 且 g (1)v 0,即-3v t v- 1,.当过点过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切时，t 的取值范围是 (-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x )相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x )相切； 过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x )相切.(6t - y o = -3)( 1-X 。

导数中的公切线问题知识点梳理一、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f x 1 -g x 2x 1-x 2.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．题型精讲精练1若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则k =______．【解析】设y =kx +b 与y =e x 和y =ln x +2 ，分别切于点x 1,e x 1，x 2,ln x 2+2 ，由导数的几何意义可得：k =e x 1=1x 2+2，即x 2+2=1ex 1，①则切线方程为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，即y =e x 1x -e x 1x 1+e x 1，或y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，即y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，②将①代入②得y =e x 1x +2e x 1-1-x 1，又直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则-e x 1x 1+e x 1=2e x 1-1-x 1，即e x 1-1 x 1+1 =0，则x 1=-1或x 1=0，即k =e 0=1或k =e -1=1e ，故答案为1或1e．2已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =ln x 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ，n ∈Z ，则n =______．【解析】依题意，可得e x 1=k =1x 2y 1=e x 1=kx 1+by 2=ln x 2=kx 2+b，整理得x 2ln x 2-ln x 2-x 2-1=0令f x =x ln x -ln x -x -1x >1 ，则f x =ln x -1x在1,+∞ 单调递增且f 1 ⋅f 2 <0，∴存在唯一实数m ∈1,2 ，使f m =0f x min =f m <f 1 <0，f 2 =ln2-3<0，f 3 =2ln3-4<0，f 4 =3ln4-5<0，f 5 =4ln5-6>0，∴x 2∈4,5 ，故n =4．【题型训练】1.求公切线方程一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)曲线y =1x与曲线y =-x 2的公切线方程为()A.y =-4x +4B.y =4x -4C.y =-2x +4D.y =2x -4【答案】A【分析】画出图象，从而确定正确选项.【详解】画出y =1x,y =-x 2以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A 选项符合.故选：A2(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y =xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=()A.-34B.-14C.-4D.14【答案】B【分析】由f(0)=0得d=0，然后求得f (x)，由f (0)=2-01-0求得c=2，设g(x)=xf(x)，由g(1)=2得f(1)=2及a+b=0，再由g (1)=2得3a+2b+2=0，解得a,b后可得f (2)．【详解】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(0)=d=0,∴f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c∴f′(0)=c=2-01-0=2，设g(x)=xf(x)，则g(1)=f(1)=a+b+2=2，即a+b=0⋯⋯①又∵g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(1)=f(1)+f′(1)=2,∴f′(1)=0，即3a+2b+2=0⋯⋯②由①②可得a=-2,b=2,c=2，∴f′(2)=-14.故选：B.3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x，g x =ax2-x．若经过点A1,0存在一条直线l与曲线y=f x 和y=g x 都相切，则a=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【分析】先求得f(x)在A(1,0)处的切线方程，然后与g x =ax2-x联立，由Δ=0求解【详解】解析：∵f x =x ln x，∴f x =1+ln x，∴f 1 =1+ln1=1，∴k=1，∴曲线y=f x 在A1,0处的切线方程为y=x-1，由y=x-1y=ax2-x得ax2-2x+1=0，由Δ=4-4a=0，解得a=1．故选：B4(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.三条B.二条C.一条D.0条【答案】A【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程8n3-8n2+1=0，构造函数f x =8x3-8x2+1,f x =8x3x-2，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与f x 和g x 分别相切于点m,f m,n,f n,f x =2x-4，g x =-x -2,gn =fm =g n -f m n -m ，解得m =-n -22+2，代入化简得8n 3-8n 2+1=0，构造函数f x =8x 3-8x 2+1,f x =8x 3x -2 ，原函数在-∞，0 ↗，0，23 ↘，23，+∞ ↗，极大值f 0 >0,极小值，f 23<0故函数和x 轴有交3个点，方程8n 3-8n 2+1=0有三解，故切线有3条.故选A .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x 轴的交点问题.5(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x ，若y =f x 与y =g x在公共点处的切线相同，则m =()A.-3B.1C.2D.5【答案】B【分析】设曲线y =f x 与y =g x 的公共点为x 0,y 0 ，根据题意可得出关于x 0、m 的方程组，进而可求得实数m 的值.【详解】设函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x 的公共点设为x 0,y 0 ，则f x 0 =g x 0 f x 0 =g x 0 ，即x 20-2m =3ln x 0-x 02x 0=3x 0-1x 0>0，解得x 0=m =1，故选：B .【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x 在点P (x 0,f (x 0))处的切线与函数g (x )=e x 的图象也相切，则满足条件的切点的个数有A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】先求直线l 为函数的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线方程，再设直线l 与曲线y =g (x )相切于点(x 1，e x 1)，进而可得ln x 0=x 0+1x 0-1，根据函数图象的交点即可得出结论．【详解】解：∵f (x )=ln x ，∴f ′(x )=1x ，∴x =x 0，f ′(x 0)=1x 0，∴切线l的方程为y-ln x0=1x0(x-x0)，即y=1x0x+ln x0-1，①设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1，e x1)，∵g (x)=e x，∴e x1=1x0，∴x1=-ln x0．∴直线l也为y-1x0=1x0(x+ln x0)即y=1x0x+ln x0x0+1x0，②由①②得ln x0=x0+1 x0-1，如图所示，在同一直角坐标系中画出y=ln x,y=x+1x-1的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.故选：C二、填空题7(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)与曲线y=e x和y=-x24都相切的直线方程为.【答案】y=x+1【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线y=e x相切于点x1,e x1，因为y =e x，所以该直线的方程为y-e x1=e x1x-x 1，即y=e x1x+e x11-x1，设直线与曲线y=-x24相切于点x2,-x224，因为y =-x2，所以该直线的方程为y+x224=-x22x-x2，即y=-x22x+x224，所以e x1=-x22e x11-x1=x224，解得x1=0,x2=-2，所以该直线的方程为y=x+1，故答案为：y=x+1.8(2023·全国·高三专题练习)已知f x =e x-1(e为自然对数的底数)，g x =ln x+1，请写出f x 与g x 的一条公切线的方程．【答案】y=ex-1或y=x【分析】假设切点分别为m,e m-1，n,ln n+1，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得m，代入公切线方程即可得到结果.【详解】设公切线与f x 相切于点m,e m-1，与g x 相切于点n,ln n+1，∵f x =e x，g x =1x，∴公切线斜率k=e m=1n；∴公切线方程为：y-e m+1=e m x-m或y-ln n-1=1nx-n，整理可得：y=e m x-m-1e m-1或y=1nx+ln n，∴e m=1nm-1e m+1=-ln n，即m=-ln nm-1e m +1=-ln n，∴m-1e m+1-m=m-1e m-1=0，解得：m=1或m=0，∴公切线方程为：y=ex-1或y=x.故答案为：y=ex-1或y=x.9(2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试)已知直线l与曲线y=e x、y=2+ln x都相切，则直线l的方程为．【答案】y=x+1或y=ex【分析】分别求出两曲线的切线方程是y=e x1x+e x11-x1和y=1x2x+1+ln x2，解方程e x1=1x2，e x11-x1=1+ln x2，即得解.【详解】解：由y=e x得y =e x，设切点为x1,e x1，所以切线的斜率为e x1，则直线l的方程为：y=e x1x+e x11-x1；由y =2+ln x 得y =1x ，设切点为x 2,2+ln x 2 ，所以切线的斜率为1x 2，则直线l 的方程为：y =1x 2x +1+ln x 2．所以e x 1=1x 2，e x 11-x 1 =1+ln x 2，消去x 1得1x 2-11+ln x 2 =0，故x 2=1或x 2=1e，所以直线l 的方程为：y =x +1或y =ex ．故答案为：y =x +1或y =ex 10(2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知直线y =kx +b 是曲线y =ln 1+x 与y =2+ln x 的公切线，则k +b =.【答案】3-ln2【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算k +b .【详解】设曲线y =ln 1+x 上切点A x 1,ln 1+x 1 ，y =11+x，切线斜率k =11+x 1，切线方程y -ln 1+x 1 =11+x 1x -x 1 ，即y =11+x 1x -x 11+x 1+ln 1+x 1同理，设曲线y =2+ln x 上切点B x 2,2+ln x 2 ，y =1x，切线斜率k =1x 2，切线方程y -2+ln x 2 =1x 2x -x 2 ，即y =1x 2x +1+ln x 2，所以11+x 1=1x 2-x11+x 1+ln (1+x 1)=1+ln x 2，解得x 1=-12x 2=12，所以k =2，b =1-ln2，k +b =3-ln2.故答案为：3-ln2.2.公切线中的参数问题一、单选题1(2023·陕西渭南·统考一模)已知直线y =ax +b (a ∈R ,b >0)是曲线f x =e x 与曲线g x =ln x +2的公切线，则a +b 等于()A.e +2B.3C.e +1D.2【答案】D【分析】由f x 求得切线方程，结合该切线也是g x 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y =ax +b ，从而求得正确答案.【详解】设t ,e t 是f x 图象上的一点，f x =e x ，所以f x 在点t ,e t 处的切线方程为y -e t =e t x -t ，y =e t x +1-t e t ①，令g x =1x=e t ，解得x =e -t ，g e -t=ln e -t+2=2-t ，所以2-t -e te -t-t=e t ，1-t =1-t e t ，所以t =0或t =1(此时①为y =ex ，b =0，不符合题意，舍去)，所以t =0，此时①可化为y -1=1×x -0 ,y =x +1，所以a +b =1+1=2.故选：D2(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，与曲线y =x +32也相切，切点为N x 2,y 2 ，则2x 1-x 2的值为()A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.【详解】因为直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，可知直线l 的方程为y =e x 1x -x 1 +e x 1=e x 1x +1-x 1 e x 1，又直线l 与曲线y =x +3 2也相切，切点为N x 2,y 2 ，可知直线l 的方程为y =2x 2+3 x -x 2 +x 2+3 2=2x 2+3 x -x 22+9，所以e x 1=2x 2+3 1-x 1 e x 1=-x 22+9，两式相除，可得21-x 1 =3-x 2，所以2x 1-x 2=-1.故选：B3(2023春·河南·高三校联考阶段练习)已知曲线y =x 在点x 0,x 0 0<x 0<14处的切线也与曲线y =e x 相切，则x 0所在的区间是()A.0,14e 4B.14e 4,14e 2C.14e 2,14eD.14e ,14【答案】C【分析】设切线l与曲线y=e x的切点为m,e m，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.【详解】设该切线为l，对y=x求导得y =12x，所以l的方程为y-x0=12x0x-x0，即y=12x0x+x02．设l与曲线y=e x相切的切点为m,e m，则l的方程又可以写为y-e m=e m x-m，即y=e m x+1-me m．所以e m=12x0，x02=1-me m．消去m，可得x0=1+ln2x0，0<x0<1 4，令t=2x0∈0,1，则ln t-t24+1=0．设h t =ln t-t24+1，当0<t<1时，h t =1t-t2>0，所以h t 在0,1上单调递增，又h1e=-14e2<0，h1e=12-14e>0，所以t0=2x0∈1e,1e，所以x0∈14e2,14e．故选：C.4(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =2a ln x+1与g x =x2+1的图像存在公共切线，则实数a的最大值为()A.eB.2eC.e22D.e2【答案】A【分析】分别设公切线与g x =x2+1和f(x)=2a ln x+1的切点x1,x21+1，x2,2a ln x2+1，根据导数的几何意义列式，再化简可得a=2x22-2x22ln x2，再求导分析h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x >0)的最大值即可【详解】g x =2x，f x =2a x，设公切线与g x =x2+1的图像切于点x1,x21+1，与曲线f(x)=2a ln x+1切于点x2,2a ln x2+1，所以2x1=2ax2=2a ln x2+1-x21+1x2-x1=2a ln x2-x21x2-x1，故a=x1x2，所以2x1=2x1x2ln x2-x21x2-x1，所以x1=2x2-2x2⋅ln x2，因为a=x1x2，故a=2x22-2x22ln x2，设h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x>0)，则h (x)=2x(1-2ln x)，令h (x)=0⇒x=e当h (x)>0时，x∈(0,e)，当h (x)<0时，x∈(e,+∞)，所以h x 在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，所以h(x)max=h(e)=e，所以实数a的最大值为e，故选：A.5(2023·湖南郴州·统考模拟预测)定义：若直线l与函数y=f x ，y=g x 的图象都相切，则称直线l为函数y=f x 和y=g x 的公切线．若函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为()A.eB.eC.2eD.2e【答案】C【分析】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为y=2x1x-x21，y=ax2x+a ln x2-1.两条切线重合，即可得出a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.构造h x =4x2-4x2ln x x>0，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.【详解】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，因为g x =2x，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2x1，即该直线的方程为y-x21=2x1x-x1，即y=2x1x-x21.设直线与f x =a ln x的切点为(x2,a ln x2)，因为f x =ax，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为ax2，即该直线的方程为y-a ln x2=ax2x-x2，即y=ax2x+a ln x2-1.因为函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且只有一条公切线，所以有2x1=ax2a ln x2-1=-x21 ，即a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.令h x =4x2-4x2ln x x>0，则h x =8x-8x ln x-4x=4x1-2ln x.解h x =0，可得x= e.当4x1-2ln x>0时，0<x<e，所以h x 在0,e上单调递增；当4x1-2ln x<0时，x>e，所以h x 在e,+∞上单调递减.所以h x 在x=e处取得最大值h e=4e-4e×12=2e.当x→0时，h x →0，h e =4e2-4e2ln e=0，函数h x 图象如图所示，因为a>0，a=4x2-4x2ln x有唯一实根，所以只有a=2e.故选：C6(2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习)已知函数f x =2+ln x，g x = a x，若总存在两条不同的直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则实数a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.1,2D.1,e【答案】B【分析】设函数y=f x ，y=g x 的切点坐标分别为x1,2+ln x1，x2,a x2，根据导数几何意义可得a2=4ln x1+4x1，x1>0，即该方程有两个不同的实根，则设h x =4ln x+4x,x>0，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】解：设函数f x =2+ln x上的切点坐标为x1,2+ln x1，且x1>0，函数g x =a x 上的切点坐标为x2,a x2，且x2≥0，又f x =1x,g x =a2x，则公切线的斜率k=1x1=a2x2，则a>0，所以x2=a24x21，则公切线方程为y-2+ln x1=1x1x-x1，即y=1x1x+ln x1+1，代入x 2,a x 2 得：a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1，则a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，整理得a 2=4ln x 1+4x 1，若总存在两条不同的直线与函数y =f x ，y =g x 图象均相切，则方程a 2=4ln x 1+4x 1有两个不同的实根，设h x =4ln x +4x,x >0，则h x =4x⋅x -4ln x +4x2=-4ln xx，令h x =0得x =1，当x ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，x ∈1,+∞ 时，h x <0，h x 单调递减，又h x =0可得x =1e，则x →0时，h x →-∞；x →+∞时，h x →0，则函数h x 的大致图象如下：所以a >00<a 2<4，解得0<a <2，故实数a 的取值范围为0,2 .故选：B .【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为x 1,2+ln x 1 ，且x 1>0，x 2,a x 2 ，且x 2≥0，可得k =1x 1=a 2x 2，即有x 2=a 24x 21，得公切线方程为y =1x 1x +ln x 1+1，代入切点x 2,a x 2 将双变量方程a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1转化为单变量方程a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，根据含参方程进行“参变分离”得a 2=4ln x 1+4x 1，转化为一曲一直问题，即可得实数a 的取值范围.7(2023·全国·高三专题练习)若曲线y =ln x +1与曲线y =x 2+x +3a 有公切线，则实数a 的取值范围()A.2ln2-36,3-ln22B.1-4ln212,3-ln22C.2ln2-36,+∞ D.1-4ln212,+∞【答案】D【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设x 1,y 1 是曲线y =ln x +1的切点，设x 2,y 2 是曲线y =x 2+x +3a 的切点，对于曲线y =ln x +1，其导数为y =1x ，对于曲线y =x 2+x +3a ，其导数为y =2x +1，所以切线方程分别为：y -ln x 1+1 =1x 1x -x 1 ，y -x 22+x 2+3a =2x 2+1 x -x 2 ，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：1x 1=2x 2+1ln x 1=-x 22+3a，解得3a =ln x 1+x 22=ln 12x 2+1+x 22=-ln 2x 2+1+x 22x 2>-12 ，令h x =-ln 2x +1 +x 2x >-12，hx =-22x +1+2x =4x 2+2x -22x +1=2x +1 2x -1 2x +1=0，得：x =12，当x ∈-12,12时，h x <0，h x 是减函数，当x ∈12,+∞时，h x >0，h x 是增函数，∴h min x =h 12 =14-ln2且当x 趋于-12时，，h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，h x 趋于+∞；∴3a ≥14-ln2，∴a ≥1-4ln212；故选：D ．8(2023·河北·统考模拟预测)若曲线f (x )=3x 2-2与曲线g (x )=-2-m ln x (m ≠0)存在公切线，则实数m 的最小值为()A.-6eB.-3eC.2eD.6e【答案】A【分析】求出函数的导函数，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，即可得到m =-6x 1x 2，则x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，从而得到m =12x 22ln x 2-12x 22，在令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；【详解】因为f (x )=3x 2-2，g (x )=-2-m ln x (m ≠0)，所以f (x )=6x ，g (x )=-mx，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，所以6x 1=-m x 2=-2-m ln x 2-3x 21-2 x 2-x 1=-m ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以m =-6x 1x 2，所以6x 1=6x 1x 2ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，因为m ≠0，所以x 1≠0，所以x 1=2x 2-x 2ln x 2，所以m =-62x 2-x 2ln x 2 x 2=12x 22ln x 2-12x 22，令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，则h x =12x 2ln x -1 ，所以当0<x <e 时h x <0，当x >e 时h x >0，所以h x 在0,e 上单调递减，在e ,+∞ 上单调递增，所以h x min =h e =-6e ，所以实数m 的最小值为-6e.故选：A【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.二、多选题9(2023·湖北·统考模拟预测)若存在直线与曲线f x =x 3-x ,g x =x 2-a 2+a 都相切，则a 的值可以是()A.0B.-24C.log 27D.e π+πe【答案】ABC【分析】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，求出切线方程为y =3x 21-1 x -2x 31，设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，求出切线方程为y =2x 2x -x 22-a 2+a ，联立方程组，得到-a 2+a =94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14，讨论h x 的单调性，从而得到最值，则可得到-a 2+a ≥-1，解出a 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，因为f x =3x 2-1，所以f x 1 =3x 21-1，所以该切线方程为y -x 31-x 1 =3x 21-1 x -x 1 ，即y =3x 21-1 x -2x 31.设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，因为g x =2x ，所以g x 2 =2x 2，所以该切线方程为y -x 22-a 2+a =2x 2x -x 2 ，即y =2x 2x -x 22-a 2+a ，所以3x 21-1=2x 2-2x 31=-x 22-a 2+a ，所以-a 2+a =x 22-2x 31=3x 21-122-2x 31=94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14,∴h x =9x 3-6x 2-3x ，所以当x ∈-∞,-13 ∪0,1 时，hx <0；当x ∈-13,0 ∪1,+∞ 时，h x >0；∴h x 在-∞,-13和0,1 上单调递减；在-13,0 和1,+∞ 上单调递增；又h -13 =527,h 1 =-1，所以h x ∈-1,+∞ ，所以-a 2+a ≥-1，解得1-52≤a ≤1+52，所以a 的取值范围为1-52,1+52，所以A 正确；对于B ，-24-1-52=25-2+2 4>0，所以1-52<-24<0，所以B 正确；对于C ，因为0<log 27<log 222=32<1+52，所以C 正确；对于D ，因为e π+πe>2e π⋅πe=2>1+52，所以D 不正确.故选：ABC10(2023·全国·高三专题练习)函数f x =ln x +1，g x =e x -1，下列说法正确的是( )．(参考数据：e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10)A.存在实数m ，使得直线y =x +m 与y =f x 相切也与y =g x 相切B.存在实数k ，使得直线y =kx -1与y =f x 相切也与y =g x 相切C.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上不单调D.函数g x -f x 在区间23,+∞上有极大值，无极小值【答案】AB【分析】对AB ，设直线与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；对CD ，令h x =g x -f x ，由二阶导数法研究函数单调性及极值.【详解】对AB ，设直线l 与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，f x =1x，gx =ex，则有y1=f x1=ln x1+1y2=g x2=e x2-1y1-y2x1-x2=1x1=e x2⇒ln x1+1-e x2-1x1-x2=e x2⇒-x2+1-e x2-11e x2-x2=e x2⇒e x2-1x2-1=0，解得x2=0或x2=1.当x2=0，则y2=0，x1=1，y1=1，公切线为y=x，此时存在实数m=0满足题意；当x2=1，则y2=e-1，x1=1e，y1=0，公切线为y=e x-1e=ex-1，此时存在实数k=1满足题意，AB对；对CD，令h x =g x -f x =e x-ln x-2，x∈0,+∞，则m x =h x =e x-1 x，由m x =e x+1x2>0得h x 在0,+∞单调递增，由h23=e23-32=e2-278e232+32e23+94>0得，x∈23,+∞时，h x >0，h x 单调递增，CD错.故选：AB.三、填空题11(2023·全国·高三专题练习)若曲线y=ax2与y=ln x有一条斜率为2的公切线，则a= .【答案】1ln2e【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线y=ax2与y=ln x上的切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，由y=ln x可得y =1x，所以1x2=2，解得x2=12，所以y2=ln x2=-ln2,则B12,-ln2 ，所以切线方程为y+ln2=2x-1 2，又由y=ax2，可得y =2ax，所以2ax1=2，即ax1=1，所以y1=ax21=x1，又因为切点A(x1,y1)，也即A(x1,x1)在切线y+ln2=2x-1 2上，所以x1+ln2=2x1-1 2，解得x1=ln2+1，所以a =1x 1=1ln2+1=1ln2e .故答案为:1ln2e.12(2023·河北唐山·统考三模)已知曲线y =ln x 与y =ax 2a >0 有公共切线，则实数a 的取值范围为.【答案】12e,+∞【分析】设公切线与曲线的切点为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，利用导数的几何意义分别求y =ln x 和y =ax 2上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线y =ln x 和y =ax 2的切点分别为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，其中x 1>0，对于y =ln x 有y =1x ，则y =ln x 上的切线方程为y -ln x 1=1x 1x -x 1 ，即y =xx 1+ln x 1-1 ，对于y =ax 2有y =2ax ，则y =ax 2上的切线方程为y -ax 22=2ax 2x -x 2 ，即y =2ax 2x -ax 22，所以1x 1=2ax 2ln x 1-1=-ax 22，有-14ax21=ln x 1-1，即14a=x 21-x 21ln x 1x 1>0 ，令g x =x 2-x 2ln x ，g x =x -2x ln x =x 1-2ln x ，令gx =0，得x =e 12，当x ∈0,e12时，g x >0，g x 单调递增，当x ∈e 12,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减，所以g x max =g e12=12e ，故0<14a ≤12e ，即a ≥12e.∴正实数a 的取值范围是12e,+∞.故答案为：12e,+∞.13(2023·浙江金华·统考模拟预测)若存在直线l 既是曲线y =x 2的切线，也是曲线y =a ln x 的切线，则实数a 的最大值为.【答案】2e【分析】设切线与两曲线的切点分别为(n ,n 2)，(m ,a ln m )，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得a4m2=1-ln m，由题意可知a4=m2(1-ln m)有解，故令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，利用导数求得其最值，即可求得答案.【详解】由题意知两曲线y=x2与y=a ln x,(x>0)存在公切线，a=0时，两曲线y=x2与y=0,(x>0)，不合题意；则y=x2的导数y =2x，y=a ln x的导数为y =a x，设公切线与y=x2相切的切点为(n,n2)，与曲线y=a ln x相切的切点为(m,a ln m)，则切线方程为y-n2=2n(x-n)，即y=2nx-n2，切线方程也可写为y-a ln m=am(x-m)，即y=amx-a+a ln m，故2n=am-n2=-a+a ln m，即a24m2=a-a ln m，即a4m2=1-ln m，即a4=m2(1-ln m)有解，令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，则g (x)=2x(1-ln x)+x2-1 x=x(1-2ln x)，令g (x)=0可得x=e，当0<x<e时，g (x)>0，当x>e时，g (x)<0，故g(x)在(0,e)是增函数，在(e,+∞)是减函数，故g(x)的最大值为g(e)=e 2，故a4≤e2，所以a≤2e，即实数a的最大值为2e，故答案为：2e。

切线题型归纳总结学习目标理解导数与函数之间的联系，掌握导数的几何意义，及其作为工具在解决有关函数问题的作用，核心是利用导数研究函数单调性及其极值最值.知识点函数()x f y =在0x x =处导数()0x f '是曲线()x f y =在点()()00x f ,x 处切线l 的斜率，切线l 的方程是()()()000x x x f x f y -'=-.注意:直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点.热身训练1.已知曲线x ln x y 342-=的一条切线斜率是21，则切点的横坐标为______; 3 2.设0>a ，()c bx ax x f ++=2，曲线()x f y =在点()()00x f ,x P 处切线的倾斜角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，，则P 到曲线()x f y =对称轴距离的取值范围为______.⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 210， 3.曲线113+=x y 在点()121,P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是________. 94.若点P 是曲线x ln x y -=2上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小值为______. 解析：由已知x x y 12-='，令112=-xx ，解得1=x .曲线x ln x y -=2在1=x 处的切线方程为x y =.两直线x y =，2-=x y 之间的距离为21.切线问题常见题型（1）求切线方程：①在曲线上一点的切线方程；②过一点的切线方程. （2）求切点坐标；（3）求切线方程的参数值或者范围；（4）求公切线（公切点或者两个切点）； （5）判断切线的条数；2.切线的应用（1）研究最值极值； （2）判断位置关系 （3）讨论方程的根的情况 （一）求切线方程例1.【例3】已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程； （2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【解析】（1）由()231f x x '=-，()12f '=，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为22y x =-．（2）设切点的坐标为()3000,x x x -，则所求切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--代入点()1,0的坐标得()()320000311x x x x -+=--，解得01x =或012x =-当012x =-时，所求直线方程为1144y x =-+由（1）知过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程为22y x =-或1144y x =-+． 总结：求曲线在某点处的切线方程的步骤过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程． 变式训练1：已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程． 【答案】（1） 10x y -+=（2）10x y -+=或570x y --=.变式训练2：设函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线为l ，若垂直于函数()x f的图像在点()()11f ,处的切线，求直线l 的方程解析：因为()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥+-=e x ,x ln x e x ,x ln x x f 01122，故()21=f ，而()11='f ，又当e x ≥时，()x x x f 12+='，得()x f y '=在[)+∞,e 上单调递增，此时()ee xf 12+≥'，故当e x ≥时，()x f 的图像上任意一点的切线都不垂直于函数在点()()11f ,处的切线，当e x <<0时，由于函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线l 垂直于函数()x f 的图像在点()()11f ,处的切线，故()10-='x f ，则210=x ，故直线l 的方程为024744=--+ln y x（二）求切线方程的参数例1．已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．1D ．3 【解析】设切点为00(,)x y 因为切线y x m =-+，所以0003|21x x y x x ='=-=-， 解得0031,2x x ==-（舍去）代入曲线23ln y x x =-得01y =， 所以切点为1,1（）代入切线方程可得11m =-+，解得2m =.例2.（2015全国卷1（21）） 已知函数()413++=ax x x f ，当a 为何值时，x 轴为曲线()x f y =的切线.答案：43-=a 例3.设曲线()xe ax y 1-=在点()10y ,x 处的切线为1l ，曲线()xe x y --=1在点()20y ,x 处的切线为2l ，若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是________解析：函数()x e ax y 1-=的导数：()xe a ax y 1-+='，故1l 的斜率为：()0101xe a ax k -+=，函数()xex y --=1的导数：()xe x y --='2，故2l 的斜率：()0202x ex k --=，可得121-=k k ，从而()010x e a ax -+()1200-=--x e x ，故()32002-=--x x x a ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x 得，02020≠--x x ，故230200---=x x x a ，令()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤---=230232x x x x x f ，则()()()()22251-----='x xx x x f ，令导数大于0，得510<<x ，故在()10,是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛231，上是增函数，00=x 时取得最大值为23；10=x 时取得最小值为1，故231≤≤a . 变式训练1： 设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 变式训练2： 已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( ) AB．2C． 【解析】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.设21y x =-与函数()e xg x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e =222x a ==.故选：B.变式训练3：已知b ,a 为正实数，直线a x y -=与曲线()b x ln y +=相切，则ba -22的取值范围是（ C ）()+∞,.A 0 ()10,.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛210,.C [)+∞,.D 1（三）公切线问题 题型一：公切点 例1.曲线221x y =与x ln e y =相切于点⎪⎭⎫ ⎝⎛e ,e 21.求切线方程解析：设曲线221x y =在1x x =处的切线方程为()112121x x x x y -=-①，曲线x ln e y =在2x x =处的切线方程为()222x x x ex ln ye -=②，由两曲线有公切线知，联立①②，消掉2x 得02121=-x ln e x ，设(),x ln e x x g 22-=则()()()e x e x xx g -+='2，可得()()0==e g x g min ，即e x x ==21，因此公切线方程为e x e y 21-=.变式训练1.已知函数()12-=x x f 与函数()()0≠=a x ln a x g ，若曲()x f y =，()x g y =的图像在点()01,处有公共的切线，则实数a =_______.2变式训练2.若一直线与曲线x ln y =和曲线()02>=a ay x 相切于同一点P ，则=a ___.2e题型二：两个切点例2.（2016全国卷1理16）若直线b kx y +=是曲线2+=x ln y 的切线，也是曲线()1+=x ln y 的切线，则b =_____解析：设2+=x ln y 在切点()11y ,x 处的切线方程为：1111++⋅=x ln x x y ； ()1+=x ln y 在切点()22y ,x 处的切线方程为：()11112222+-+++=x xx ln x x y ， 联立得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=++=111111222121x x x ln x ln x x，解得212121-==x ,x ，∴2111ln x ln b -=+=.变式训练1：曲线12-=x y 和1-=x ln a y 存在公切线，则正实数a 取值范围是_()e ,20__变式训练2.若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()()10xg x ae a =+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．240,e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．280,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．22e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．26e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【解析】设公切线与f （x ）＝x 2+1的图象切于点（x 1，21x +1），与曲线C ：g （x ）＝ae x +1切于点（x 2，21x ae +），∴2x 1＝2x ae＝()()222211212111x x aex aex x x x x +-+-=--，化简可得，2x 1＝211212x x x x --，得x 1＝0或2x 2＝x 1+2，∵2x 1＝2x ae ，且a ＞0，∴x 1＞0，则2x 2＝x 1+2＞2，即x 2＞1，由2x 1＝1x ae 得a ＝()2221412x x x x ae ae-=， 设h （x ）＝()41xx e-（x ＞1），则h′（x ）＝()42xx e-，∴h （x ）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h （x ）max ＝h （2）＝24e ，∴实数a 的取值范围为（0，24e ] （四）切线条数问题例1.已知三次函数()()2613+-+=x x x f ,若过点()m ,A 1()4≠m 可作曲线()x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围.解析：()()6132-+='x x f ，由题意知点A 不在曲线上，过点A 作曲线()x f y =的切线，设切点()00y ,x M ，则切线方程为()()()000x x x f x f y -'=-，代入点A 化简得062030=+-m x x ，若有三条切线，则方程有三个不等的实根，设()m x x x g +-=030062，则()66200-='x x g ，由()00>'x g 可得，10>x 或10-<x ，故()0x g 在区间()1-∞-,和()∞+，1上单调递增，即得极大值()1-g ，极小值为()1g ；方程满足有三个实根的充要条件是()()⎩⎨⎧<>-0101g g ，即44<<-m变式训练：设函数()c bx x a x x f ++-=23231，其中0>a ，曲线()x f y =在点 ()()00f P ，处的切线方程为1=y（1）确定c ,b 的值（2）若过点()20,可作曲线()x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围. 答案：（1）10==c ,b（2）()∞+，332 （五）切线综合问题例1.设曲线()x e x f x--=上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()x cos ax x g 2+=上一点处的切线2l ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是（ ）(]32,.A - ()32,.B - []21,.C - ()21,.D -解析：由()x e x f x--=，得()1--='xe xf ，∵11>+xe ，∴()1011,e x∈+，由()x cos ax x g 2+=，得()x sin a x g 2-='，又∵[]222,x sin -∈-，∴[]a ,a x sin a ++-∈-222，要满足题意，则得⎩⎨⎧≥+≤+-1202a a ，得21≤≤-a .变式训练1.若函数()x sin ax x f +=的图像上存在互相垂直的切线，则实数a 的值____.0 变式训练2.已知函数()2ax x f =，若存在两条过点()21-,P 且互相垂直的直线与函数()x f的图像都没有公共点， 则实数a 的取值范围为______. 81>a 课后训练1.若直线kx y =与曲线x x x y 2323+-=相切，试求k 的值. 答案：412或解析：设kx y =与x x x y 2323+-=相切于()00y ,x P ，则00kx y =，02030023x x x y +-= ∵2632+-='x x y ，()2630200+-='=x x x f k ，联立得()02030002023263x x x x x x+-=+-，解得00=x 或23-，即2=k 或41-=k2. 已知函数()ax e x f x2-=与()()x a ax x x g 1223+-+-=的图像不存在互相平行或者重合的切线，则实数a 的取值范围为_______.[]33,-3.曲线()01<-=x xy 与曲线x ln y =（切线相同）的条数为______. 答案：14.直线l 与曲线()02>=x x y 和()03>=x x y 均相切，切点分别为()11y ,x A ，()22y ,x B ，则21x x 的值为______. 答案：34.5.已知()x x x f 33-=，过点()m ,A 1可作曲线的三条切线，则m 的取值范围是___.()23--,6.直线b x y +=是曲线x ln a y =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是_____. 1-。

利用导数求切线方程一．选择题（共8小题）1．曲线y=1xx过（1，0）点的切线方程为（）A．y＝﹣4x+4B．y＝4x﹣4C．y＝﹣x+1D．y＝x﹣12．抛物线y＝x2上横坐标为3的点的切线方程（）A．3x﹣y﹣9＝0B．6x﹣y﹣9＝0C．3x+y﹣9＝0D．6x+y﹣9＝0 3．经过点P（2，4）且与曲线y=13x3+43相切的直线方程为（）A．y＝x+2B．y＝4x﹣4C．y＝x+2或y＝4x﹣4D．y＝﹣x+2或y＝﹣4x+44．过点Q（1，0）且与曲线yy=1xx相切的切线方程是（）A．y＝﹣2x+2B．y＝﹣x+1C．y＝﹣4x+4D．y＝﹣4x+25．曲线yy=−1xx在点(12，−2)处的切线方程是（）A．y＝﹣4x B．y＝4x﹣4C．y＝4x+4D．y＝﹣4x+46．曲线y＝（x﹣1）•e x（e为自然对数的底数）在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝ex﹣e B．y＝ex+e C．y＝x﹣1D．y＝x+17．已知函数f（x）＝sin2x﹣xf'（0），则该函数的图象在xx=ππ2处的切线方程为（）A．3x+y﹣π＝0B．3x﹣y﹣π＝0C．x+3y﹣π＝0D．3x+y+π＝08．已知曲线y＝axe x+lnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝3x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣2B．a＝e，b＝2C．a＝e﹣1，b＝﹣2D．a＝e﹣1，b＝2二．多选题（共1小题）（多选）9．已知曲线f（x）＝2x3+1，则曲线过点P（1，3）的切线方程为（）A．6x﹣y﹣3＝0B．3x﹣2y+3＝0C．6x+y﹣9＝0D．3x+2y﹣9＝0三．填空题（共6小题）10．设y=ee1−xx2与x＝﹣1的交点为P．则过P点的切线方程为．11．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）cos x﹣3x，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）过点（2a，﹣6）的切线方程为．12．已知函数f（x）＝（2x+3）4+m的图象过原点，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是．13．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=12x+2，则f（1）+f′（1）＝．14．函数y＝f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x﹣8，则ff(2)ff′(2)=．15．曲线f（x）＝3−xx ee xx，在点（0，3）处的切线方程为．四．解答题（共5小题）16．已知曲线ff(xx)=13xx3．（1）求曲线在点P（2，83）处的切线方程；（2）若曲线上某点的切线过点Q（0，−23），求该点坐标以及该点处的切线方程．17．已知曲线f（x）＝2x3+1．（1）求曲线在点P（1，3）处的切线方程；（2）求曲线过点P（1，3）的切线方程．18．已知曲线C：y=1tt−xx经过点P（2，﹣1）．（1）求曲线C在点P处的切线方程；（2）求过点O（0，0），且与曲线C相切的切线方程．19．（1）已知f（x）＝eπx sinπx，求f'（x）及f'（12）；（2）在曲线y=11+xx2上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．20．（文做）已知曲线y=13xx3+43，（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程．利用导数求切线方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：设切点坐标为（xx0，1xx0），由y=1xx，得y′=−1xx2，可得过切点的切线方程为y−1xx0=−1xx02(xx−xx0)，把（1，0）代入，可得−1xx0=−1xx02(1−xx0)，解得xx0=12．∴曲线y=1xx过（1，0）点的切线方程为y﹣2＝﹣4（x−12），即y＝﹣4x+4．故选：A．2．【解答】解：由y＝x2，得y′＝2x，∴y′|x＝3＝6，又当x＝3时，y＝9．∴曲线C上横坐标为3的点处的切线方程为y﹣9＝6（x﹣3），即6x﹣y﹣9＝0．故选：B．3．【解答】解：设切点为（m，n），y=13x3+43的导数为y′＝x2，即有切线的斜率为k＝m2，切线方程为y﹣n＝m2（x﹣m），其中n=13m3+43，又4﹣n＝m2（2﹣m），消去n，得m3﹣3m2+4＝0，解得m＝﹣1或2，即有k＝1或4，则有切线方程为y﹣4＝（x﹣2）或y﹣4＝4（x﹣2），即为y＝x+2或y＝4x﹣4．故选：C．4．【解答】解：由yy=1xx，得y′=−1xx2，设切点为（xx0，1xx），则yy′|xx=xx0=−1xx02，∴在切点处的切线方程为y−1xx0=−1xx02(xx−xx0)，把（1，0）代入，可得−1xx0=−1xx02(1−xx0)，解得xx0=12．∴过点Q（1，0）且与曲线yy=1xx相切的切线方程是y﹣2＝﹣4（x−12），即y＝﹣4x+4．故选：C．5．【解答】解：由y=−1xx，得y′=1xx2，∴yy′|xx=12=4，则曲线yy=−1xx在点(12，−2)处的切线方程是y+2＝4（x−12），即4x﹣y﹣4＝0．故选：B．6．【解答】解：∵y＝（x﹣1）•e x（e为自然对数的底数），∴y′＝xe x，根据导数的几何意义，则切线的斜率为y′|x＝1＝e，又切点坐标为（1，0），由点斜式方程可得y＝e（x﹣1），即y＝ex﹣e，∴曲线y＝（x﹣1）•e x（e为自然对数的底数）在点（1，0）处的切线方程为y＝ex﹣e．故选：A．7．【解答】解：f（x）＝sin2x﹣xf'（0），则f'（x）＝2cos2x﹣f'（0），∴f'（0）＝2cos0﹣f'（0），解得f′（0）＝1，∴ff(xx)=ssss ss2xx−xx，ff(ππ2)=−ππ2，ff′(xx)=2ccccss2xx−1，ff′(ππ2)=−3，则切点(ππ2，−ππ2)，kk=−3，故切线方程为yy+ππ2=−3(xx−ππ2)，即3x+y﹣π＝0，故选：A．8．【解答】解：由y＝axe x+lnx，得y′＝ae x+axe x+1xx，由题意，�2aaee+1=3aaee=3+bb，解得a＝e﹣1，b＝﹣2．故选：C．二．多选题（共1小题）（多选）9．【解答】解：设切点为QQ(xx0，2xx03+1)，则f'（x）＝6x2，所以ff′(xx0)=6xx02，所以切线方程为yy−2xx03−1=6xx02(xx−xx0)，因为切线过点（1，3），所以3−2xx03−1=6xx02(1−xx0)，即2xx03−3xx02+1=0，即(xx0−1)2(2xx0+1)=0，解得x0＝1或xx0=−12，所以切线方程为6x﹣y﹣3＝0或3x﹣2y+3＝0．故选：AB．三．填空题（共6小题）10．【解答】解：将x＝﹣1代入函数的解析式可得y＝1，即P（﹣1，1），设出切点为（m，ee1−mm2），由y=ee1−xx2的导数为y′＝﹣2x•ee1−xx2，可得切线的斜率为k＝﹣2m•ee1−mm2，即有切线的方程为y−ee1−mm2=−2m•ee1−mm2（x﹣m），代入点（﹣1，1），可得（1+2m+2m2）•ee1−mm2=1，由g（m）＝（1+2m+2m2）•ee1−mm2，可得g′（m）＝2（m+1）（1﹣2m2）•ee1−mm2，可得m＝﹣1或±√22，由m＝﹣1时，取得极值1，且唯一．则所求切线的方程为y﹣1＝2（x+1），则切线的方程为y＝2x+3．故答案为：y＝2x+3．11．【解答】解：因为f（x）＝x3+（a﹣1）cos x﹣3x为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），得a＝1，f（x）＝x3﹣3x，f′（x）＝3x2﹣3，设切点（x0，y0），则切线方程为yy−(xx03−3xx0)=(3xx02−3)(xx−xx0)，又切线过点（2，﹣6），代入得−6−(xx03−3xx0)=(3xx02−3)(2−xx0)，解得x0＝0或x0＝3．当x0＝0时，切点为（0，0），切线方程为y＝﹣3x；当x0＝3时，切点为（3，18），切线方程为y＝24x﹣54．故答案为：y＝﹣3x和y＝24x﹣54．12．【解答】解：∵f（0）＝81+m＝0，∴m＝﹣81，f（﹣1）＝﹣80，f'（x）＝8（2x+3）3，∴f'（﹣1）＝8，∴所求切线方程为y+80＝8（x+1），即y＝8x﹣72．故答案为：y＝8x﹣72．13．【解答】解：∵点M（1，f（1））是切点，∴点M在切线上，∴f（1）=12+2=52，∵函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线的方程是y=12x+2，∴切线斜率是12，即f′（1）=12，∴f（1）+f'（1）=52+12=3．故答案为：3．14．【解答】解：由题意，f′（2）＝2，又f（2）＝2×2﹣8＝﹣4，∴ff(2)ff′(2)=−42=−2．故答案为：﹣2．15．【解答】解：由f（x）＝3−xx ee xx，则f′（x）=xx−1ee xx，所以f′（0）＝﹣1，所以在点（0，3）处的切线方程为y﹣3＝﹣x，即x+y﹣3＝0，故答案为：x+y﹣3＝0．四．解答题（共5小题）16．【解答】解：（1）ff(xx)=13xx3，f′（x）＝x2，f′（2）＝4，∴曲线在点P（2，83）处的切线方程为：y−83=4（x﹣2），化为：4x﹣y−163=0，即12x﹣3y﹣16＝0；（2）设切点P（x0，13xx03），f′（x）＝x2，切线斜率k＝f′（x0）=xx02，切线方程为：y−13xx03=xx02（x﹣x0），∵切线过点Q（0，−23），∴−23−13xx03=xx02（0﹣x0），解得x0＝1，y0=13．∴切点（1，13），该点处的切线方程为：y−13=x﹣1，化为：3x﹣3y﹣2＝0．17．【解答】解：f′（x）＝6x2，（1）k＝f′（1）＝6，故切线方程为y﹣3＝6（x﹣1），即6x﹣y﹣3＝0即为所求．（2）由题意设切点为（m，2m3+1），k＝f′（m）＝6m2，则切线方程为y﹣（2m3+1）＝6m2（x﹣m）……①，将点（1，3）代入得：3﹣（2m3+1）＝6m2（1﹣m），即2m3﹣3m2+1＝0，即（m﹣1）2（2m+1）＝0，解得m＝1，或mm=−12，代入①式得切线方程为：6x﹣y﹣3＝0，或3x﹣2y+3＝0．18．【解答】解：（1）由题意可得1tt−2=−1，解得t＝1，即有y=11−xx，导数为y′=1(xx−1)2，曲线C在点P处的切线斜率为1，可得曲线C在点P处的切线方程为y+1＝x﹣2，即为x﹣y﹣3＝0；（2）设切点为（m，11−mm），可得切线的斜率为1(mm−1)2，切线的方程为y−11−mm=1(mm−1)2（x﹣m），代入点（0，0），可得−11−mm=−mm(mm−1)2，解得m=12，切线的斜率为4，即有与曲线C相切的切线方程为y＝4x．19．【解答】解：（1）由f（x）＝eπx sinπx，得f'（x）＝πeπx sinπx+πeπx cosπx＝πeπx（sinπx+cosπx），f'（12）=ππeeππ2(ssss ssππ2+ccccssππ2)=ππeeππ2；（2）由y=11+xx2，得yy′=−2xx(1+xx2)2，令y′＝0，得x＝0，则切点坐标为（0，1），切线方程为y＝1．20．【解答】解：（1）y=13xx3+43的导数为y′＝x2，可得曲线在点P（2，4）处的切线斜率为4，则曲线在点P（2，4）处的切线方程为y﹣4＝4（x﹣2），即为4x﹣y﹣4＝0；（2）设切点为（m，n），则n=13m3+43，曲线过点P（2，4）的切线斜率为m2，切线的方程为y−13m3−43=m2（x﹣m），代入点（2，4），可得4−13m3−43=m2（2﹣m），化为（m+1）（m﹣2）2＝0，解得m＝﹣1或m＝2，则所求切线的方程为y﹣1＝x+1或y﹣4＝4（x﹣2），即为x﹣y+2＝0或4x﹣y﹣4＝0．。

导数第一讲：求导、切线、单调性、极值、最值例1．（1）求曲线21xy x =-，在点()1,1处的切线方程；（2）求过点()2,3的抛物线2y x =的切线方程．解:（1）()2121y x '=--，可知所求切线的斜率1k =-故所求切线的方程为()11y x -=--，即20x y +-=．（2）设切点坐标为()200,x x ，2y x '=，可知所求切线的斜率022k x =∵切线过点()2,3和点()200,x x ，∴2000322x x x -=-，解得01x =或03x =，∴切线的斜率为2或6故所求切线的方程为()322y x -=-或()362y x -=-，即210x y --=或690x y --=．练习1．已知函数()3233f x x x bx c =-++在=0x 处取得极大值1.(1)求函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程；(2)求过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线方程.解:（1）()3233f x x x bx c =-++，则()2363f x x x b '=-+，由题意可得()()03001f b f c ⎧'==⎪⎨==⎪⎩，解得01b c =⎧⎨=⎩，即()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，令()0f x ¢>，解得2x >或0x <，故()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，则()f x 在=0x 处取得极大值1，即0,1b c ==符合题意.∵()()13,19f f '-=--=，则切点坐标为()1,3--，切线斜率9k =，∴函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程为()391y x +=+，即960x y -+=.（2）由（1）可得：()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，设切点坐标为()32000,31x x x -+，切线斜率20036k x x =-，则切线方程为()()()322000003136y x x x x x x --+=--，∵切线过点()1,1-，则()()()32200000131361x x x x x ---+=--，整理得()3010x -=，即01x =，∴切线方程为()131y x +=--，即320x y +-=.例2．函数32()(1)31f x x a x x =+--+．(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若过原点O 可作三条直线与()f x 的图像相切，求实数a 的取值范围．解:（1）当1a =时，3()31,R f x x x x =-+∈．由2()33f x x '=-，令()0f x '>，解得1x <-或1x >；令()0f x '<，解得11x -<<．所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-．（2）易知原点O 不在函数()f x 的图像上，设切点为(,())(0)t f t t ≠．求导得2()32(1)3f x x a x =+--'，则()()f t f t t ='，即322(1)3132(1)3t a t t t a t t +--+=+--，整理得322(1)10t a t +--=，所以2112a t t -=-，令21()2(0)g t t t t =-≠，则32()2g t t =+'，令()0g t '>，解得0t >或1t ≤-；令()0g t '<，解得10t -<<，所以函数()g t 在区间(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上递增，故当0t <时，max ()(1)3g t g =-=-；当t →-∞时，()g t →-∞；0t →时，()g t →-∞，当0t >时，()g t 的取值范围为R ．而过原点O 可作三条直线与()f x 的图像相切，则()()f t f t t='有三个不相等的实数根，也就是直线1y a =-与函数()y g t =的图象有三个交点，则有13a -<-，即4a >．练习2．已知函数()f x =e x ，()ln g x x =．()f x 的图象与()g x 的图象是否存在公切线？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．解:曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与g （x ）＝lnx ，f （x ）＝ex 的切点分别为（m ，lnm ），（n ，en ），m ≠n ，∵g ′（x ）1x =，f ′（x ）＝ex ，可得11nne mlnm e m n m ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，化简得（m ﹣1）lnm ＝m +1，当m ＝1时，（m ﹣1）lnm ＝m +1不成立；当m ≠1时，（m ﹣1）lnm ＝m +1化为lnm 11m m +=-，由lnx 11x x +==-121x +-，即lnx ﹣121x =-．分别作出y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象，由图象可知：y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象有两个交点，可得方程lnm 11m m +=-有两个实根，则曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2条．例3．已知函数()()()21ln 1R 2f x x ax a x a =+-+∈．(1)当2a =时，求函数()y f x =的极值；(2)求当0a >时，函数()y f x =在区间[1,e]上的最小值()Q a .解:（1）当2a =时，函数2()ln 3(0)f x x x x x =+->．1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=，令()0f x '=，得1x =或12x =,当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)2上单调递增，当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，()f x 在1(,1)2上单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增，则()f x 在12x =处取得极大值，在1x =处取得极小值．极大值为15()ln 224f =--，极小值为(1)2f =-．（2）函数()f x 的定义域是[1,e]，1()(1)1()(1)(0)a x x a f x ax a a x x--'=+-+=>．当0a >时，令()0f x '=有两个解，1x =或1x a=．当10ea <≤，即1e a ≥时，()0f x '≤，()f x ∴在[1,e]上单调递减，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(e)f 211e (1)e 2a a =+-+，当11ea <<，即11e a <<时，当1(1,)x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴在1(1,)a上单调递减，当1(,e)x a ∈时，()0f x '>，()f x ∴在1(,e)a 上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是11()ln 12f a a a=---，当1a ≥，即101a<≤时，[1,e]x ∈，()0f x '≥，()f x ∴在[1,e]上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(1)f 112a =--．综上，2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩．练习3．已知()()2,R f x x x c c =-∈.(1)若()f x 在2x =处有极大值，求c 的值；(2)若03c <<，求()f x 在区间[1]2，上的最小值.解:（1）由题知，()()()3f x x c x c =--'，由题意，()()()2260f c c '=--=，得2c =或6c =，当2c =时，在()2,,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，在2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<，此时，()f x 在2x =处有极小值，不符题意；当6c =时，在()(),2,6,-∞+∞上()0f x ¢>，在()2,6上()0f x '<，此时，()f x 在2x =处有极大值，符合题意.综上，6c =.（2）令()0f x '=，得3cx =或x c =，由03c <<，则在(),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，在,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 在(),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.由题意，13c <，当23c ≤<时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，则()2min ()22(2)f x f c ==-，当12c <<时，()f x 在区间()1,c 上单调递减，在(),2c 上单调递增，则()min ()0f x f c ==，当01c <≤时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，则()2min ()1(1)f x f c ==-，综上，()()()2min21,010,1222,23c c f x c c c ⎧-<≤⎪⎪=<<⎨⎪-≤<⎪⎩.例4．已知函数()()22ln f x x x a x a =-+∈R ．(1)若()f x 的单调递减区间为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的值；(2)若0x 是()f x 的极大值点，且()2002f x x a <-恒成立，求a 的取值范围．解:（1）由题可知()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a x x af x x x x-+'=-+=．()f x 的单调递减区间为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦等价于()0f x '≤的解集为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2220x x a -+≤的解集为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以方程2220x x a -+=的两个根分别为14，34，由根与系数的关系可得13244a =⨯，所以38a =．（2）若0x 是()f x 的极大值点，定义域为()0+∞，，则()0f x '=至少有一正根，即方程2220x x a -+=至少有一正根．若0a =，则方程2220x x a -+=的正根为1x =，因为当01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x ¢>，所以此时()f x 只有极小值点1，不符合题意．若0<a ，则方程2220x x a -+=有一正根和一负根，设为α，β，且0α>，0β<，则()()2222x x a x x αβ-+=--．因为当0x α<<时，()0f x '<，当x α>时，()0f x ¢>，所以此时()f x 只有极小值点α，不符合题意．若0a >，由题可知方程2220x x a -+=应有两个不等的正根，设为1x ，2x ，其中12x x <，则Δ48002a a =->⎧⎪⎨>⎪⎩解得102a <<．所以()()()212222x x x x x x a f x x x ---+'==．列表如下：x()10,x 1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以1x 是极大值点，2x 是极小值点，则01x x =．由120x x <<，且121x x =+，得110x 2<<．由题可知()22000002ln 2f x x x a x x a =-+<-，即00ln 220a x x a -+<当0102x <<时恒成立．令()ln 22h x a x x a =-+，102x <<，则()222a x a x h x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==．因为102a <<，所以1024a <<．所以当02a x <<时，()0h x '>，当2ax >时，()0h x '<，所以()max ln 022a a h x h a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，解得20e a <<，又102a <<，所以此时a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．综上，实数a 的取值范围是102⎛⎫⎪⎝⎭，．练习4．设函数21()3ln ,2af x x x a R x=+-∈．(1)若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得1x =是()f x 的极值点？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由．解:（1）23()a f x x x x=--'，∵()f x 是增函数，∴23()0a f x x x x=--≥'对0x ∀>恒成立，∴()3min3a x x ≤-,令32()3,()33g x x x g x x '=-=-,令()01g x x '=⇒=且当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.∴min ()(1)2g x g ==-，∴2a ≤-，即a 的取值范围为(,2]-∞-．（2）若1x =是()f x 的极值点，则必有(1)1302f a a =--=⇒=-'（必要性）当2a =-时，322222332(1)(2)()0x x x x f x x x x x x -+-+=+-='=≥∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 无极值点，故假设不成立，即不存在这样的a ．练习5．已知函数()()=ln 3R f x a x ax a --∈(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 的图像在点()()2,2f 处的切线斜率为12，设()()m g x f x x=-，若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数m 的取值范围.解:（1）(1)()(0)a a x f x a x x x-=-=>'当0a >时，()f x 的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为()0,1；当=0a 时，()f x 不是单调函数.（2）∵1(2)2f '=，∴12122a -⋅=，解得1a =-，∴()ln 3f x x x =-+-()()()ln 30m m g x f x x x x x x =-=-+-->,又()221()10m x g x x x x x x m-+'=-++=>()g x 要在区间[1,2]上单调递增，只需()0g x '≥在[]1,2上恒成立，即20x x m -+≥在[]1,2上恒成立，即()2maxm x x≥-，又在[1,2]上()2maxx x-=∴0m ≥.练习6．已知函数()(ln 1),R f x x x k k =--∈．(1)当1x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若对于任意2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数k 的取值范围；解:（1）由题知，()()ln 1,R f x x x k k =--∈，所以1()ln 1ln ,0f x x k x x k x x'=--+⋅=->，当0k ≤时，因为1x >，所以()ln 0f x x k '=->，所以()f x 的单调增区间是(1,)+∞，无单调减区间，无极值，当0k >时，令ln 0x k -=，解得e k x =，当1e k x <<时，()0f x '<，当e k x >时，()0f x '>，所以()f x 的单调减区间是()1,e k ，单调增区间是()e ,k ∞+，极小值为()()e e 1e k k kf k k =⋅--=-，无极大值.（2）因为对于任意2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，所以()4ln 0f x x -<，即问题转化为(4)ln (1)0x x k x --+<，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，即(4)ln 1x x k x -+>，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令(4)ln ()x x g x x -=，所以24ln 4()x x g x x +-'=，令()24ln 4,e,e t x x x x ⎡⎤=+-∈⎣⎦，所以4()10t x x'=+>，所以()t x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以()()min e e 44e 0t x t ==-+=>，所以()0g x '>，所以()g x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以函数()()22max 8e 2eg x g ==-，要使(4)ln 1x x k x -+>，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，只要max 1()k g x +>，所以2812e k +>-，即281e k >-，所以实数k 的取值范围为281,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；备选1．设a 为实数，已知函数()()32211932f x x a x =-++(1)讨论()f x 的单调性(2)若过点()0,10有且只有两条直线与曲线()32111132y x a x ax =-+++相切，求a 的值.解:（1）因为()()32211932f x x a x =-++，则()()221f x x a x '=-+，由()0f x '=可得10x =，212a x +=，①当102a +=时，即当1a =-时，对任意的x ∈R ，()0f x '≥且()f x '不恒为零，此时，函数()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；②当102a +<时，即当1a <-时，由()0f x '<可得102a x +<<，由()0f x ¢>可得12a x +<或0x >，此时，函数()f x 的减区间为1,02a +⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、()0,∞+；③当102a +>时，即当1a >-时，由()0f x '<可得102a x +<<，由()0f x ¢>可得0x <或12a x +>，此时，函数()f x 的减区间为10,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为(),0∞-、1,2a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭.综上所述，当1a =-时，函数()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当1a <-时，函数()f x 的减区间为1,02a +⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、()0,∞+；当1a >-时，函数()f x 的减区间为10,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为(),0∞-、1,2a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭.（2）解：设切点为()3211,1132t t a t at ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭，对函数()32111132y x a x ax =-+++求导得()21y x a x a '=-++，所以，切线方程为()()()3221111132y t a t at t a t a x t ⎡⎤⎡⎤--+++=-++-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，将点()0,10的坐标代入切线方程整理可得()322119032t a t -++=，即()0f t =，故关于t 的方程()0f t =有两个不等的实根，①当1a =-时，函数()f t 在R 上单调递增，则方程()0f t =至多一个实根，不合乎题意；②当1a <-时，则()()090f t f ==>极小值，故当12a t +>时，()0f t >，此时方程()0f t =至多一个实根，不合乎题意；③当1a >-时，则()()090f t f ==>极大值，则()()311910224a f t f a +⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭极大值，解得5a =，合乎题意.综上所述，5a =.备选2．已知函数()22ln 2x af x x x-=-．(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若1a =，试问过点()0,1向曲线()y f x =可作几条切线？解:（1）依题意，因为()22ln 2x af x x x-=-，所以()f x 的定义域为()0,∞+，()()()22222222112142x x x a x a f x x x x ⨯----+-'=-=，若()f x 在()0,∞+上单调递减，则有()0f x '≤在()0,∞+上恒成立，即()21120x a --+-≤恒成立，所以()22111a x ≥--+≥，解得12a ≥，所以实数a 的取值范围为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）当1a =时，()22ln 2x f x x x -=-且点()0,1不在()f x 上，所以()()22112x f x x---'=，设切线方程的斜率为k ，切点为()00,P x y ，根据导数的几何意义，则有()2020112x k x---=，又切线过点()0,1，所以切线方程可设为1y kx =+，则有001y kx =+，200002ln 2x y x x -=-，所以()2002020002112ln 21x x x x x x --=---⨯+，整理得000ln 220x x x -+=，令()ln 22g x x x x =-+()0x >，则()ln 1g x x '=-，所以在x ∈()0,e 时，()0g x '<，()g x 单调递减；在()e,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在e x =处取得最小值，又()10g =，所以()g x 在()0,e 有一零点，又因为()0e e 2g =-<，()2222eeln e 2e 220g =-+=>，由零点存在性定理可知，在()2e,e x ∈必有一个根0x ，使得000ln 220x x x -+=成立，综上，方程000ln 220x x x -+=有两个解，所以过点()0,1向曲线()y f x =可作2条切线.备选3．已知函数1()2ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中a R ∈.（1）若()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，判断()f x 与()2g x x =的图象在其公共点处是否存在公切线？若存在，求满足条件的a 值的个数；若不存在，请说明理由.解:（1）222122()1ax x a f x a x x x -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭.当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，满足题意；当0a >时，要使得()f x 在(0,)+∞上单调，则恒有()0f x '≥.∴2440a ∆=-≤，解得：1a ≥.综上，1a ≥或0a ≤（2）假设()f x ，()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线，则()()()()2000200000200002212ln ax x ax x f x g x f x g x a x x x x ⎧-+=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎛⎫⎪⎩⎪--= '⎪'⎪⎝⎭⎩①②由①可得：()()32200000220120x ax x a x x a -+-=⇔+-=，∴002x a=>.将02a x =代入②，则222ln 2224a a a --=，即：28ln 82a a-=.令28()182x xh x n -=-，则11()4h x x x '=-，故()h x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.又1(2)02h =-<，且当0x →，()h x →+∞；当x →+∞，()h x →+∞∴()h x 在(0,)+∞有两个零点，即方程28ln 82a a-=在(0,)+∞有两个不同的解.所以，()f x 与2()g x x =的图象在其公共点处存在公切线，满足条件的a 值有2个。

切线问题综合近5年考情(2020-2024)考题统计考点分析考点要求2024年甲卷第6题，5分考察导数的几何意义，切线的相关计算求值求参(1)求在某处的切线(2)设切点求过某点的切线以及公切线(3)利用切线的条数求参数范围2024年新高考I 卷第13题，5分2023年甲卷第8题，5分2022年I 卷第15题，5分2021年甲卷第13题，5分2021年I 卷第7题，5分热点题型解读（目录）【题型1】求在曲线上一点的切线【题型2】求过某点的切线【题型3】已知切线斜率求参数【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值【题型5】奇偶函数的切线斜率问题【题型6】切线斜率取值范围问题【题型7】公切线问题【题型8】由切线条数求参数范围【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题【题型11】牛顿迭代法核心题型·举一反三【题型1】求在曲线上一点的切线函数y =f (x )在点A (x 0 ，f (x 0))处的切线方程为y -f (x 0)=f (x 0)(x -x 0)，抓住关键y 0=f (x 0)k =f (x 0)1.(2024年高考全国甲卷数学(文))曲线f x =x6+3x-1在0,-1处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-322.(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数f x =e x+2sin x1+x2，则曲线y=f x 在0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.233.已知曲线f x =x ln x在点1,f1处的切线为l，则l在y轴上的截距为()A.-2B.-1C.1D.24.(23-24高三·福建宁德·期末)已知函数f x 在点x=-1处的切线方程为x+y-1=0，则f -1+ f-1=()A.-1B.0C.1D.2【题型2】求过某点的切线【方法技巧】设切点为P(x0，y0)，则斜率k=f (x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f (x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(a,b)，所以b-y0=f (x0)(a-x0)然后解出x0的值．5.(2024·全国·模拟预测)过坐标原点作曲线f x =e x x2-2x+2的切线，则切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条6.(2022年新高考全国I卷T15)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．7.已知直线y=ex-2是曲线y=ln x的切线，则切点坐标为()A.1e ,-1B.e,1C.1e,1D.0,18.(2024·山西吕梁·二模)若曲线f x =ln x在点P x0,y0处的切线过原点O0,0，则x0=.9.(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e，-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.10.(23-24高三·广东·期中)过点P1,1作曲线y=x3的两条切线l1，l2.设l1，l2的夹角为θ，则tanθ= ()A.513B.713C.913D.1113【题型3】已知切线斜率求参数已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．11.(2024·湖北武汉·模拟预测)已知曲线f x =ln x +x 2a 在点1,f 1 处的切线的倾斜角为π3,则a 的值为.12.(2024·贵州六盘水·三模)已知曲线y =x 2-3ln x 的一条切线方程为y =-x +m ，则实数m =()A.-2B.-1C.1D.213.(2024·全国·高考真题)若曲线y =e x +x 在点0,1 处的切线也是曲线y =ln (x +1)+a 的切线，则a =.14.(23-24高三·山西晋城·期末)过原点O 作曲线f (x )=e x -ax 的切线，其斜率为2，则实数a =()A.eB.2C.e +2D.e -215.(2024·四川·模拟预测)已知m >0,n >0，直线y =1ex +m +1与曲线y =ln x -n +3相切，则m +n =．16.(23-24高三·安徽合肥·期末)若函数f x =ln xx与g x =e x -a -b 在x =1处有相同的切线，则a +b =()A.-1B.0C.1D.217.(2024·河北沧州·模拟预测)已知直线l :y =kx 是曲线f x =e x +1和g x =ln x +a 的公切线，则实数a =．【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.18.(23-24高三·安徽·阶段练习)已知P 是函数f x =e x +x 2图象上的任意一点，则点P 到直线x -y -9=0的距离的最小值是()A.32B.5C.6D.5219.(23-24高三·广东惠州·阶段练习)已知点P 在函数f x =e 2x +x +9的图象上，则P 到直线l :3x -y -10=0的距离的最小值为．20.(23-24高三·河南南阳·阶段练习)点P 是曲线f (x )=x 上一个动点，则点P 到直线x -y +2=0的距离的最小值是()A.728B.74C.324D.3421.(23-24高三·河北石家庄·阶段练习)曲线y =ln (3x -2)上的点到直线3x -y +7=0的最短距离是()A.5 B.10C.35D.122.(23-24高三·河南·阶段练习)最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点P 是曲线y =3ln x -12x 2上任意一点，则P 到直线4x -2y +5=0的距离的最小值为.23.(2024·山西朔州·模拟预测)已知A ，B 分别为曲线y =2e x +x 和直线y =3x -3上的点，则AB 的最小值为.【题型5】奇偶函数的切线斜率问题奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.24.已知f x 为奇函数，且当x <0时，f x =xe x，其中e 为自然对数的底数，则曲线f x 在点1,f 1 处的切线方程为．25.(2024·福建福州·模拟预测)已知函数f x 是偶函数，当x >0时，f x =x 3+2x ，则曲线y =f x 在x =-1处的切线方程为()A.y =-5x -2B.y =-5x -8C.y =5x +2D.y =5x +826.(2024·湖北·一模)已知函数f x 为偶函数，其图像在点1,f 1 处的切线方程为x -2y +1=0，记f x的导函数为f x ，则f -1 =()A.-12B.12C.-2D.227.已知f x 是奇函数，当x <0时，f x =xx +2，则函数f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.2x -y +1=0B.x -2y +1=0C.2x -y -1=0D.x +2y -1=028.(23-24高三·河南洛阳·期末)已知函数g x 为奇函数，其图象在点a ,g a 处的切线方程为2x -y +1=0，记g x 的导函数为g x ，则g -a =()A.2B.-2C.12D.-1229.(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )=ln (-x )+x 2，则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是()A.3x -y -2=0B.3x +y -2=0C.3x +y +2=0D.3x -y +2=030.(2024·海南海口·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x +1 是偶函数，当x <12时，f x =ln 1-2x ，则曲线y =f x 在点2,f 2 处的切线斜率为()A.25B.-25C.2D.-231.(23-24高三·广东深圳·期中)已知函数f x =e x ln x 与偶函数g x 在交点1,g 1 处的切线相同，则函数g x 在x =-1处的切线方程为()A.ex -y +e =0B.ex +y -e =0C.ex -y -e =0D.ex +y +e =0【题型6】切线斜率取值范围问题利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率32.点P 在曲线y =x 3-x +23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是()A.0,π2B.π2,3π4C.3π4,π D.0,π2∪3π4,π33.(2021·河南洛阳·二模)已知点P 在曲线y =x 3-x 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是.34.过函数f (x )=12e 2x-x 图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为()A.0,3π4B.0,π2 ∪3π4,π C.3π4,πD.π2,3π435.(22-23高三·江苏镇江·阶段练习)点P 在曲线y =x 3-33x +14上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是()A.5π6,π B.2π3,π C.0,π2 ∪5π6,π D.-π6,π2【题型7】公切线问题公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．公切线问题主要有以下3类题型(1)求2个函数的公切线解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解(2)2个函数存在公切线，求参数范围解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题(3)已知两个函数之间公切线条数，求参数范围解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题36.(浙江绍兴二模T 15)与曲线y =e x和y =-x 24都相切的直线方程为.37.(2024·广东茂名·一模)曲线y =ln x 与曲线y =x 2+2ax 有公切线，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-12B.-12,+∞ C.-∞,12D.12,+∞ 38.(2024·福建泉州·模拟预测)若曲线y =x 2与y =te x t ≠0 恰有两条公切线，则t 的取值范围为()A.0,4e 2B.4e 2,+∞C.-∞,0 ∪4e2,+∞D.-∞,0 ∪4e 239.(23-24高三·江西吉安·期末)函数f(x)=2+ln x与函数g(x)=e x公切线的斜率为()A.1B.±eC.1或eD.1或e240.已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f x =e x与曲线g x =ln x+2的公切线，则a+b的值为.41.已知直线l与曲线C1:y=x2和C2:y=-1x均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.42.已知函数f x =mx+ln x,g x =x2-mx，若曲线y=f x 与曲线y=g x 存在公切线，则实数m的最大值为．43.(2024·湖南长沙·三模)斜率为1的直线l与曲线y=ln x+a和圆x2+y2=12都相切，则实数a的值为()A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或144.(长沙雅礼中学月考(六))已知函数f x =2ln x，g x =ax2-x-12a>0，若直线y=2x-b与函数y=f x ，y=g x 的图象均相切，则a的值为；若总存在直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则a的取值范围是【题型8】由切线条数求参数范围设切点为P(x0 ， y0)，则斜率k=f (x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f (x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(a,b)，所以b-y0=f (x0)(a-x0)然后解出x0的值，有多少个解对应有多少条切线．45.(2022年新高考全国I卷数学真题)若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．46.(2024·河南信阳·模拟预测)若过点1,a仅可作曲线y=xe x的两条切线，则a的取值范围是. 47.(2024届广东省六校高三第一次联考T8)已知函数f(x)=-x3+2x2-x，若过点P1,t可作曲线y=f x 的三条切线，则t的取值范围是48.(23-24高三·湖北武汉·阶段练习)已知过点A a,0可以作曲线y=x-1e x的两条切线，则实数a的取值范围是()A.1,+∞B.-∞,-e ∪2,+∞C.-∞,-2 ∪2,+∞D.-∞,-3 ∪1,+∞49.(2024届·广州中山大学附属中学校考)过点3,0 作曲线f x =xe x 的两条切线，切点分别为x 1,f x 1 ，x 2,f x 2 ，则x 1+x 2=()A.-3B.-3C.3D.350.(2024·宁夏银川·二模)已知点P 1,m 不在函数f (x )=x 3-3mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与f (x )的图象相切，则实数m 的取值范围为()A.0,14 ∪14,12B.(-∞,0)∪14,+∞ C.0,14 ∪14,+∞ D.-∞,14 ∪12,+∞ 51.(2024·内蒙古·三模)若过点a ,2 可以作曲线y =ln x 的两条切线，则a 的取值范围为()A.-∞,e 2B.-∞,ln2C.0,e 2D.0,ln252.已知点A 在直线x =2上运动，若过点A 恰有三条不同的直线与曲线y =x 3-x 相切，则点A 的轨迹长度为()A.2B.4C.6D.853.若曲线f x =xe x有三条过点0,a 的切线，则实数a 的取值范围为()A.0,1e 2B.0,4e 2C.0,1eD.0,4e54.若过点a ,b 可以作曲线y =ln x 的两条切线，则()A.e b >0>aB.ln a >0>bC.e b >a >0D.ln a >b >055.(2024高三·辽宁本溪·期中)若过点1,b 可以作曲线y =ln x +1 的两条切线，则()A.ln2<b <2B.b >ln2C.0<b <ln2D.b >1【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.56.(2024·河北邢台·二模)已知函数f x =x 2+2ln x 的图像在A x 1,f x 1 ，B x 2,f x 2 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是()A.x1+x2=2B.x1+x2=103C.x1x2=2 D.x1x2=10357.已知函数f x =a-3x3+a-2x2+a-1x+a若对任意x0∈R，曲线y=f x 在点x0,f x0和-x0,f-x0处的切线互相平行或重合，则实数a=()A.0B.1C.2D.358.(2024·辽宁·二模)已知函数y1=x12的图象与函数y2=a x(a>0且a≠1)的图象在公共点处有相同的切线，则a=，切线方程为.59.(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x+a2+ln x的图象上存在不同的两点A,B，使得曲线y=f x 在点A,B处的切线都与直线x+2y=0垂直，则实数a的取值范围是()A.-∞,1-2B.1-2,0C.-∞,1+2D.0,1+260.(23-24高三·辽宁·阶段练习)已知函数f x =x m-e x，曲线y=f x 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线y=x平行，则实数m的取值范围是()A.1-e-2,1B.-1-e-2,-1C.-e-2,0D.1-e-2,+∞61.(2024·河南·三模)已知函数f(x)=x+12e x,x>0,x3,x<0,点A，B在曲线y=f(x)上(A在第一象限)，过A，B的切线相互平行，且分别交y轴于P，Q两点，则BQAP的最小值为．62.(2024·北京朝阳·一模)已知函数f x =12sin2x.若曲线y=f x 在点A x1,f x1处的切线与其在点B x2,f x2处的切线相互垂直，则x1-x2的一个取值为.【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题利用导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，从而求出相关式子的取值范围.63.(2024·全国·模拟预测)若直线y=2x-b与曲线f(x)=e2x-2ax(a>-1)相切，则b的最小值为()A.-eB.-2C.-1D.064.(2024·重庆·模拟预测)已知直线y=ax+b与曲线y=e x相切于点x0,e x0，若x0∈-∞,3，则a+b的取值范围为()A.-∞,eB.-e 3,eC.0,eD.0,e 365.(2024·广东广州·模拟预测)已知直线y =kx +b 恒在曲线y =ln x +2 的上方，则bk的取值范围是()A.1,+∞B.34,+∞C.0,+∞D.45,+∞66.已知直线y =kx +b 与函数f x =12x 2+ln x 的图象相切，则k -b 的最小值为．67.对给定的实数b ，总存在两个实数a ，使直线y =ax -b 与曲线y =ln x -b 相切，则b 的取值范围为.【题型11】牛顿迭代法数形结合处理68.(23-24高三·河南郑州·期中)“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r 是函数f x 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r 的实数x 0，x 1，x 2，⋯，x n ，其中x 1是f x 在x =x 0处的切线与x 轴交点的横坐标，x 2是f x 在x =x 1处的切线与x 轴交点的横坐标，⋯，依次类推．当x n -r 足够小时，就可以把x n 的值作为方程f x =0的近似解．若f x =115x 3-35x 2+2x -125，x 0=4，则方程f x =0的近似解x 1=．69.(2024·山东潍坊·三模)牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程f x =0的根就是函数f x 的零点r ，取初始值x 0,f x 的图象在点x 0,f x 0 处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 1,f x 的图象在点x 1,f x 1 处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 2，一直继续下去，得到x 1,x 2,⋯,x n ，它们越来越接近r ．设函数f x =x 2+bx ，x 0=2，用牛顿迭代法得到x 1=1619，则实数b =()11A.1B.12C.23D.3470.牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程f x =0的根就是函数f x 的零点r ，取初始值x 0，f x 的图象在横坐标为x 0的点处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 1，f x 的图象在横坐标为x 1的点处的切线与x 轴的交点的横坐标为x 2，一直继续下去，得到x 1，x 2，⋯，x n ，它们越来越接近r ．若f x =x 2-2x >0 ，x 0=2，则用牛顿法得到的r 的近似值x 2约为()A.1.438B.1.417C.1.416D.1.37571.(2023·湖北咸宁·模拟预测)英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton -Raphson method 译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设r 是f x =0的根，选取x 0作为r 的初始近似值，过点x 0,f x 0 作曲线y =f x 的切线l ：y -f x 0 =f x 0 x -x 0 ，则l 与x 轴交点的横坐标为x 1=x 0-f x 0 f x 0f x 0 ≠0 ，称x 1是r 的一次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中x n +1=x n -f x n f x nf x n ≠0 ，称x n +1是r 的n +1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数f x =ln x +x -3的零点一次近似值为( )(精确到小数点后3位，参考数据：ln2=0.693)A.2.207B.2.208C.2.205D.2.20472.(多选)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法--牛顿法．具体做法如下：如图，设r 是f x =0的根，首先选取x 0作为r 的初始近似值，在x =x 0处作f x 图象的切线，切线与x 轴的交点横坐标记作x 1，称x 1是r 的一次近似值，然后用x 1替代x 0重复上面的过程可得x 2，称x 2是r 的二次近似值；一直继续下去，可得到一系列的数x 0,x 1,x 2,⋯,x n ,⋯在一定精确度下，用四舍五入法取值，当x n-1,x n n∈N∗近似值相等时，该值即作为函数f x 的一个零点r，若使用牛顿法求方程x2=3的近似解，可构造函数f(x)=x2-3，则下列说法正确的是()A.若初始近似值为1，则一次近似值为3B.x4=x0-f x0f x0-f x1f x1-f x2f x2-f x3f x3C.对任意n∈N∗，x n<x n+1D.任意n∈N∗，x n+1=12x n+32x nx n≠012。

专题11:用导数求切线高考真题赏析(解析版）一、单选题1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 3．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.4．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷） 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．5．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 6．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【分析】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．二、填空题7．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ） 曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】2y x = 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 8．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3- 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解：()y 1xxae ax e =++'所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题． 9．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则． 【答案】 【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同． 10．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ． 【答案】8试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．11．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 【答案】30x y -=. 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．12．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. ）【答案】2y x =设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.13．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷） 曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+ 【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．14．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()ex f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________. 【答案】2y x =试题分析：当0x >时，0x -<，则1()e x f x x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()e x f x f x x -=-=+，所以1()e 1x f x -='+，则(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．15．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1 【解析】 试题分析：()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)(21)1a a =+-⇒=.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)a =+ •(21)1a -⇒=.。

导数求切线方程的练习题及答案精品文档导数求切线方程的练习题及答案类型一:已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数f?，并代入点斜式方程即可( 例1 曲线y?x3?3x2?1在点处的切线方程为 ,(y?3x?4,(y??3x?,(y?4x?5类型四:已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解( 例求过点且与曲线y?例已知函数y?x3?3x，过点A作曲线y?f的切线，切线方程(1x相切的直线方程(,(y??4x?3类型二:已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决(例与直线2x?y?4?0的平行的抛物线y?x的切线方程是2,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?0,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?01 / 6精品文档类型三:已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法(例求过曲线y?x3?2x上的点的切线方程(高二数学第1页共2页高二数学第2页共2页学校数学学科导学案编制人: 审核人: 授课日期: 月日姓名: 班级: 编号:第周号运用导数求切线方程的专项训练11.对任意x，有f?=4x3，f=,1，则此函数为A.f=x4,2C.f=x3B.f=x4+D.f=,x42.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=s时的瞬时速度为A. B.1C.5 D.813(曲线y=x3,3x2+1在点处的切线方程为A.y=3x,4B.y=,3x+2C.y=,4x+D.y=4x,54.函数f=的导数是A.x2,x+1B.C.3xD.3x2+15.曲线y=f在点)处的切线方程为3x+y+3=0，则A. f?>0B. f? 6. 曲线y?x在点?1,1?处的切线方程为2x?12 / 6精品文档A. x?y?2?0B. x?y?2?0C.x?4y?5?0D. x?4y?5?07. 在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.8. 曲线f?lnx?x在点处的切线的倾斜角为_______.9(曲线y?xe?2x?1在点处的切线方程为。

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导数与曲线切线问题
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()
f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()
y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。

2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为()()00,Q x f x ；
第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；
第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．
二、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。

三、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。

四、已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。

常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的
根的情况或函数性质去求解。

第十二讲 导数的切线方程【套路秘籍】1. 导数的几何意义：切线的斜率2. 求斜率的方法 （1）公式：/12012tan ()y y k f x x x α-===-0απ为直线的倾斜角，范围[0,),x 是切点的横坐标（2）当直线l 1、l 2的斜率都存在时：1212l l k k ⇔=，12120l l k k ⊥⇔•= 3. 切线方程的求法 （1）求出直线的斜率 （2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式00()y y k x x -=-写出直线方程。

【套路修炼】考向一 斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为 。

(2)设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________．【举一反三】1.已知在曲线2y x =上过点00(),P x y 的切线为l ． （1）若切线l 平行于直线45y x =-，求点P 的坐标； （2）若切线l 垂直于直线2650x y -+=，求点P 的坐标； （3）若切线l 的倾斜角为135︒，求点P 的坐标．考向二 在某点处求切线方程【例2】设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．【举一反三】1.函数f (x )＝e x cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为 。

2.曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为___.考向三 过某点处求切线方程【例3】已知函数()3f x x =，则过（1,1）的切线方程为__________．【举一反三】1．已知曲线f(x)=1x ，则过点(−1,3)，且与曲线y =f(x)相切的直线方程为 。

2．过点p(−4,0)作曲线y =xe x 的切线，则切线方程为_______________________.3．过坐标原点(0, 0)作曲线y =e x 的切线,则切线方程为________.考向四 求参数【例4】已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为． 【举一反三】1.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝.2.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为 。