高考数学导数切线专题

第 1 页 共 12 页专题1:切线问题1．若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(ln ,)2e+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞1．A【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有2121212(1){ln 1x x x x a =+-=-+，．∵210x x <<，∴1102x <<．又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t ，<<=--．设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t--=--'=<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln2h t h e >=--=，∴1ln 2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故选A ． 2．已知直线2y x =与曲线()()ln f x ax b =+相切，则ab 的最大值为（ ） A ．4e B ．2eC ．eD ．2e2．C【解析】设切点()()00,ln x ax b +，则由()002a f x ax b '==+得()0102ax b a a +=>，又由()00ln 2ax b x +=，得()0011ln ln 222a x ax b =+=，则0ln 2222a a a ab ax =-=-， 有()2211ln 0222a ab a a a =->，令()2211ln 222a g a a a =-，则()1ln 22a g a a ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，故当0a <<()0g a '>；当a >()0g a '<，故当a =()g a 取得极大值也即最大值(g e =. 故选：C.3．已知P 是曲线1C ：x y e =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ） A ．ln 212- B ．ln 212+C ．2 D3．D【解析】（1）曲线1C ：e x y =，求导得e x y '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+.下面证明e 1x x ≥+恒成立：构造函数()e 1x f x x =--，求导得()e 1x f x '=-，则(),0x ∈-∞时，0f x，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立，有1C 为下凸曲线 （2）曲线2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立：令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==，第 3 页 共 12 页当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立，有2C 为上凸曲线（3）由1C 在()0,1A 处切线1y x =+与2C 在B ()1,0处的切线1y x =-，知：它们相互平行又直线AB 的斜率k = -1，即可知：直线AB 与两条切线同时垂直 ∴综上，知：PQ 最小时，A 即为P 点，B 即为Q 点，故min ||||PQ AB = ∴min ||PQ =AB ==故选：D4．若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[] B ．[﹣1，1] C ．（﹣∞，1] D ．[1]4．A【解析】2sin y a x '=-，要使曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，只需切线斜率最小时，其负倒数仍在导函数值域内取值，即1max miny y -''，显然0mn y '<， 故只需()()1min maxy y '⨯'-，因为2sin y a x '=-最小值为20a -<，最大值为20a +>， 所以(2)(2)1a a -+-，即23a ，解得33a．故选：A ．5．已知关于x 不等式x ae x b ≥+对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则a b的最小值为（ ） A ．12B ．1CD ．25．B【解析】设()xf x ae =，()g x x b =+，若x ae x b ≥+，对任意x ∈R 和正数b 恒成立， 则()()f x g x ≥，对任意x ∈R 和正数b 恒成立， 如图，0a ≤时，x ae x b ≥+，对任意x ∈R 和正数b 不恒成立；如图，0a >时，()x f x ae =，则()x f x ae '=，设()001x f x ae '==，解得0ln x a =-，且()0ln 01x af x ae ae -===，∴当()x f x ae =的切线斜率为1时，切点坐标为()ln ,1a -，第 5 页 共 12 页由直线的点斜式方程可得切线方程为1ln y x a -=+， 即ln 1y x a =++，若()()f x g x x b ≥=+，对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则ln 1a b +≥ ∴ln ln 1ln a b b b -≥--∴1ln b b a e b--≥， 设()1ln h b b b =--，0b >()111b h b b b-'=-=，∴()1,0b h b '==，()1,0b h b '>>，()1,0b h b '<<， ∴()()10h b h ≥=，∴()1ln 01h bb b a e e e b--≥≥≥=故选：B.6．若存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值是（ ） AB ．2e C．D ．26．C【解析】存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求a 的最大值，临界条件即为直线y ax b =+恰为函数21()=2ln ,()2f x e xg x x e =+的公切线. 设()=2ln f x e x 的切点为111(,)(0)x y x >，122()=,e e f x a x x '∴=. 设21()2g x x e =+的切点为222(,)(0)x y x >，2()g x x a x '=∴=，,所以21212=,2ea x x x e x =∴=. 由题得21221212112ln 22,2ln 30e x x ee a x x x x x --==∴+-=-.设111212()2ln 3(0)eh x x x x =+->， 所以211331112424()x ee h x x x x -'=-=， 所以函数11212()2ln 3eh x x x =+-在(0,上单调递减，在)+∞单调递增.又22ln 3=1+23=0eh e=+--， 当1x →+∞时，11212()2ln 30eh x x x =+->，所以方程另外一个零点一定大于，所以max a ==故选：C7．若对函数()2sin f x x x =-的图象上任意一点处的切线1l ，函数()()2x g x me m x =+-的图象上总存在一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则m的取值范围是（ ） A ．,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．()0,17．D第 7 页 共 12 页【解析】由()2sin f x x x =-，得()[]2cos 1,3f x x '=-∈，所以111,=2cos 3A x ⎡⎤-∈--⎢⎥-⎣⎦，由()()2x g x me m x =+-，得()2xg x me m '=+-.(1)当0m >时，导函数单调递增，()()2,g x m '∈-+∞， 由题意得()()1212211,,()1()x x f x g x g x A B f x '''∀∃=-∴=-∴⊆' 故21m -<-，解得01m <<；(2)当0m <时，导函数单调递减，()(),2g x m '∈-∞-，同理可得123m ->-，与0m <矛盾，舍去； （3）当0m =时，不符合题意. 综上所述：m 的取值范围为()0,1. 故选：D .8．若过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:x C y xe =相切，则m 的取值范围是（ ）A ．25,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．25,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭8．A【解析】设切点为()00,M x y ，∵e x y x =，∴()1e xy x '=+，∴M 处的切线斜率()001e x k x =+，则过点P 的切线方程为()()000001e e x x y x x x x =+-+，代入点P 的坐标，化简得()02001e x m x x =-++，∵过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:e x C y x =相切，∴方程()0201e x m x x =-++有三个不等实根.令()()21e x f x x x =-++，求导得到()()22e xf x x x '=--+，可知()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,1-上单调递增，在1,上单调递减，如图所示，故()20f m -<<，即250e m -<<.故选：A.9．已知y kx b =+是函数()ln f x x x =+的切线，则2k b +的最小值为______． 9．2ln2+【解析】根据题意，直线y ＝kx +b 与函数f （x ）＝lnx +x 相切，设切点为（m ，lnm +m ），函数f （x ）＝lnx +x ，其导数f ′（x ）1x =+1，则f ′（m ）1m =+1，则切线的方程为：y ﹣（lnm +m ）＝（1m+1）（x ﹣m ），变形可得y ＝（1m+1）x +lnm ﹣1， 又由切线的方程为y ＝kx +b ，则k 1m=+1，b ＝lnm ﹣1， 则2k +b 2m =+2+lnm ﹣1＝lnm 2m++1， 设g （m ）＝lnm 2m++1，其导数g ′（m ）22122m m m m -=-=，在区间（0，2）上，g ′（m ）＜0，则g （m ）＝lnm 2m++1为减函数，第 9 页 共 12 页在（2，+∞）上，g ′（m ）＞0，则g （m ）＝lnm 2m++1为增函数， 则g （m ）min ＝g （2）＝ln 2+2，即2k +b 的最小值为ln 2+2； 故答案为ln 2+2．10．存在0, 0k b >>使2ln kx k b x -+≥对任意的0x >恒成立，则bk的最小值为________. 10．1【解析】存在0, 0k b >>使2ln kx k b x -+≥对任意的0x >恒成立， 则等价于等价于存在0k >，0b >，()2y k x b =-+在ln y x =的上方. 直线()2y k x b =-+过定点()2,b ，即定点在直线2x =上， 设直线()2y k x b =-+与ln y x =相切于点()00,x y ，()''1ln y x x==，所以01k x =， 由0000ln 22y b x b k x x --==--得1ln12b kk k -=-，化简得21ln b k k =--，故1ln 2b kk k k=--. 构造函数()()1ln 20kg k k k k =-->， 则()'22211ln ln k k g k k k k-=-=， 所以当01k <<时，()'0g k <，函数()g k 递减， 当1k >时，()'0g k >，函数()g k 递增，所以()()min1211g k g ==-=.所以bk的最小值为1. 故答案为：111．若直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_____．11．1或1e【解析】设y kx b =+与e x y =和()ln 2y x =+，分别切于点()11,x x e ，()()22,ln 2x x+，由导数的几何意义可得：1212xk e x ==+，即1212x x e+=，① 则切线方程为111()x x y e e x x -=-，即1111x x xy e x e x e =-+，或2221ln(2)()2y x x x x -+=-+，即2221ln(2)()2y x x x x -+=-+，② 将①代入②得11121x xy e x e x =+--，又直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则111x x e x e -+=1121xe x --，即11(1)(1)0xe x -+=，则11x =-或10x =， 即01k e ==或11k e e-==， 故答案为：1或1e.12．已知直线y kx b =+与函数x y e =的图像相切于点()11,P x y ，与函数ln y x =的图像相切于点()22,Q x y ，若21>x ，且()2,1x n n ∈+，n Z ∈，则n =__________． 12．4【解析】依题意，可得112112221ln x xe k x y e kx b y x kx b⎧==⎪⎪⎪==+⎨⎪==+⎪⎪⎩，整理得2222ln ln 10x x x x ---=令()ln ln 1(1)f x x x x x x =--->，则1()ln f x x x'=-在()1,+∞单调递增第 11 页 共 12 页且(1)(2)0f f ''⋅<，∴存在唯一实数()1,2m ∈，使()0f m '= min ()()(1)0f x f m f =<<，(2)ln 230f =-<，(3)2ln340f =-<， (4)3ln 450f =-<，(5)4ln560f =->，∴2(4,5)x ∈，故4n =. 13．若直线y kx b =+既是曲线ln y x =的切线，又是曲线2x y e -=的切线，则b =______.13．0或1-【解析】令()ln f x x =，()2x g x e -=，则()1'f x x=，()2'x g x e -=. 设切点分别()11,P x y ，()22,Q x y ， 则切线方程为()1111ln y x x x x -=-，即111ln 1y x x x =⋅+-； ()22222x x y e e x x ---=-，即()222221x x y e x x e --=⋅+-， ∴()22212121ln 11x x e x x x e --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，即()212212ln 2ln 11x x x x x e -=-⎧⎨-=-⎩， ∴()()222110x x e --⋅-=，∴21x =或22x =. 当21x =时，切线方程为1y x e =，∴0b =；当22x =时，切线方程为1y x =-，∴1b =-.综上所述，0b =或1b =-.故答案为: 0b =或1b =-14．已知实数 a b c d ,,,，满足ln 211a cb d ==- ，那么()()22ac bd -+-的最小值为_________．14．2(2+ln 2)5 【解析】由ln 1a b =可知，点(),A a b 在函数()ln f x x =上，由211c d =-知，点(),B c d 在直线21y x =+上，则()()222=||a c b d AB -+-，所以当点A 处的切线与直线21y x =+平行时，点A 到直线21y x =+的距离的平方就是()()22a c b d -+-的最小值.由()f x '12x ==得，12x =，所以1,ln22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()()22222+ln25a c b d -+-≥=，所以()22ln 2min 5+=， 故答案为()22ln 25+. 15．若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k =_________.15．2【解析】设直线与ln 2y x =+相切与点(),ln 2m m +，此时斜率为1m ，由点斜式得切线方程为()()1ln 2y m x m m -+=-，即1ln 1y x m m=++.对于曲线()ln 1y x =+，其导数'11y x =+，令111m x =+，得1x m =-，故切点坐标为()1,ln m m -，代入切线方程得1ln 1ln m m m m -++=，解得12m =，故12k m==.。

模块一：切线方程知识点一：导数的几何意义。

导数的几何意义：导数值等于原函数在该点处的切线斜率。

知识点二：直线的点斜式方程。

直线的点斜式方程：直线过点),(00y x ，直线的斜率为k ⇒直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-。

题型一：已知切点的横坐标，求解切线方程。

模型：已知：函数)(x f 的解析式。

求解：函数)(x f 在0x x =处的切线方程。

解法设计：第一步：求切点的纵坐标。

把0x x =代入函数)(x f 得到切点的纵坐标⇒)(0x f 切点))(,(00x f x 。

第二步：求导函数。

根据函数)(x f 的解析式计算导函数)('x f 。

第三步：求切线斜率。

根据导数的几何意义得到：把0x x =代入导函数)('x f 得到切线斜率)('0x f 。

第四步：求切线方程。

根据直线的点斜式方程得到：切点))(,(00x f x ，切线斜率为)('0x f ⇒切线方程：))((')(000x x x f x f y -=-。

例题：2020年高考理科数学新课标Ⅰ卷第6题：函数342)(x x x f -=的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为（）A、12--=x y B、12+-=x y C、32-=x y D、12+=x y 本题解析：第一步：求切点的纵坐标。

把1=x 代入函数342)(x x x f -=得到1121)1(34-=⨯-=f ⇒切点)1,1(-。

第二步：求导函数。

342)(x x x f -=2364)('x x x f -=⇒。

第三步：求切线斜率。

根据导数的几何意义得到切线斜率：21614)1('23-=⨯-⨯=f 。

第四步：求切线方程。

根据直线的点斜式方程得到：切点)1,1(-，切线斜率为2-⇒切线方程：12221)1(2)1(+-=⇒+-=+⇒--=--x y x y x y 。

跟踪训练一：2019年高考数学新课标Ⅰ卷理科第19题文科第19题：曲线xe x x y )(32+=在)0,0(处的切线方程为。

导数——大题——切线：1.（2022年江苏徐州J53）已知0a >，函数()x f x ax xe =-．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（①）（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．（切线，易；第二问，未；）2.（2022年江苏常州J59）已知函数()()ln xxe f x a x x =+-，a R ∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（②）（2）讨论函数()f x 的零点个数．（切线，易；第二问，未；）3.（2022年福建福州联考J01）已知函数()ln(1)ln x f x ae x b =-+-(1)若()f x 在0x =处的切线方程为1y =，（i ）求a ，b 的值；（ii ）讨论()f x 的单调性.（③）(2)若b a =，证明：()f x 有唯一的极小值点.（切线，中下；单调性，中下；第二问，未；）4.（2022年福建福州J05）设函数()1ex f x x a -=+，曲线()y f x =在1x =-处的切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（1）求a ；（④）（2）若当[)2,x ∈-+∞时，()()1f x b x ≥-，记符合条件的b 的最大整数值､最小整数值分别为M ，m ，求M m +.注：e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数.（切线，中下；第二问，未；）1.（2022年福建三明一中J39）已知函数()()ln()x f x e x a x a x =-+++，a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程；（⑤）（2）若函数()f x 在定义域上为单调增函数．①求a 最大整数值；②证明：23341ln 2(ln (ln )(ln231n n en e +++++<-L ．（切线，易；第二问，未；）2.（2022年湖南长沙一中J02）已知函数()()()e xf x x b a =+-．（0b >）在()()1,1f --处的切线l方程为()e 1e e l 0x y -++-=．（1）求a ，b ，并证明函数()y f x =的图象总在切线l 的上方（除切点外）；（⑥）（2）若方程()f x m =有两个实数根1x ，2x ．且12x x <．证明：()2112e 11em x x --≤+-．（切线，中下；第二问，未；）1.（2022年高考乙卷J04）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（⑦）（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．（切线，易；第二问，未；）1.（2022年湖北华师附中J61）已知函数()e ln ()x f x x a x a R =-∈在1x =处的切线方程为2e 1)+y x b =-（.（1）求实数,a b 的值；（⑧）（2）（i ）证明：函数()y f x =有且仅有一个极小值点0x x =，且01(,1)2x ∈；（ii ）证明：03141()1515f x <<.（切线，中下；第二问，未；）参考数据：ln 20.693≈e 1.648≈，0.55e 1.734≈，11303e 0.69-≈.2.（2022年河北演练一J39）已知函数()ln f x x bx a =++，其中,a b ∈R .（⑨）（1）若1a =，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，求()f x 的极值；（2）当1,1b a =≤-时，证明：2()ex f x x-≥.（切线，中下，单调性，极值，中下；第二问，未；）3.（2022年河北联考J42）设函数2()e mx f x x mx t =+-+在(0,(0))f 处的切线经过点(1,1).(1)求t 的值，并且讨论函数()f x 的单调区间；（⑩）(2)当1m =时，,()0x ∈+∞时，不等式(2)(2)4[()()]f x f x b f x f x -->--恒成立，求b 的取值范围.（切线，中下，单调性，中下；第二问，未；）1.（2022年湖北襄阳五中J24）已知函数()e 2xf x ax b =-+在0x =处的切线经过点()1,2.（1）若函数()f x 至多有一个零点，求实数a 的取值范围；（⑪）（2）若函数()f x 有两个不同的零点()1212,x x x x <，且25x >，求证：12211x x a ax >-.（23e 2.7,e 7.4,e 20.1≈≈≈）（切线，中下；零点分析，中档，未；第二问，未；）1.（2022年湖南三湘名校J45）已知函数()x f x e =（其中e 是自然对数的底数）.过点(,1)(0)P m m >作曲线()y f x =的两条切线，切点坐标分别为()()()121212,e ,,e x x x x x x <.(1)若21x =，求m 的值；（⑫）(2)证明：12x x +随着m 的增大而增大.（切线，易；第二问，未；）2.（2022年湖北武汉J01）定义在π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的函数()()sin f x x k x =-.（⑬）（1）当π6k =时，求曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；（2）将()f x 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列{}n x ，若()()120f x f x +=，求k 的值.（切线，中下；第二问，未；）3.（2022年湖北四校联考J17）已知函数()()e ln (0),ln x f x a x b x g x x x x=+->=+．（⑭）（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2e 3y x =+-，求,a b ；（2）在（1）的条件下，若()()f m g n =，比较m 与n 的大小并证明．（切线，中下；第二问，未；）①【答案】（I ）(1),(0)y a x a =->；（II ）证明见解析；（III ）[),e -+∞【解析】【分析】（I ）求出()f x 在0x =处的导数，即切线斜率，求出()0f ，即可求出切线方程；（II ）令()0f x '=，可得(1)x a x e =+，则可化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点，利用导数求出()g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，题目等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，利用导数即可求出()h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e =-+'，则(0)1f a '=-，又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =->；（II ）令()(1)0x f x a x e =-+='，则(1)x a x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，当(,2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x →-∞时，()0g x <，()10g -=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且()()0f m a g m '=-=，当(,)x m ∈-∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,m a m e m +>-=，所以()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m -=-=-->-，令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-，1x >-，当(1,1)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ≥-，所以实数b 的取值范围[),e -+∞.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥.②【答案】（1）11y e=-；（2）答案不唯一，见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，得切线斜率(1)f '，从而可得切线方程；（2）定义域是(0,)+∞，在0a ≤时直接由函数()f x 的解析式确定无零点（需用导数证明ln 0x x -<），在1a >时，由导函数()'f x ，得单调性，确定函数的最大值为(1)f ，根据(1)f 的正负分类讨论．在(1)0f >时，通过证明()0f a <和1(0f a<，得零点个数．【详解】（1）当1a =时，()ln x x e f x x x =+-，()111f e=-，()111xe xf x x -'=+-，()10f '=，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为11y e=-．（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()1111111e e e x x x x x x a f x a a x x x x ---⎛⎫⎛⎫'=+-=+⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．①当0a =时，()0e xxf x =>，()f x 无零点．②当0a >时，10e x ax+>，令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<，得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有最大值()11ef a =-．当10ea -<，即1e >a 时，()f x 无零点．当10e a -=，即1a e=时，()f x 只有一个零点．当10a e ->，即10a e<<时，()10f >，()()ln a a e f a a a a =+-，令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=，则()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g x g ==，所以()ln 10g x x x =-+≤，因此当10a e <<时，ln 1a a -<-，()()1ln 1a a a a a f a a a a a a e e e ⎛⎫=+-<-=- ⎪⎝⎭．因为0a >，所以1ae >，于是()110af a a e ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭．又()f x 在()0,1上单调递增，()10f >，且1a <，所以()f x 在()0,1上有唯一零点．1111111ln ln 1a aa a f a a a a a e a e ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当10a e<<时，1e a >，令()2e x h x x =-，其中x e >，则()2xh x e x '=-，令()2xx e x ϕ=-，x e >，则()20xx e ϕ'=->，所以()h x '在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e '>->，所以()h x 在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e >->，故当x e >时，2x e x >．因为1e a >，所以211ae a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11aa e a <，所以111ln 1ln 1aa f a a a a a a e ⎛⎫=--<-- ⎪⎝⎭．由ln 10x x -+≤，得11ln10a a -+<，即1ln 10a a--+<，得ln 10a a a --<，于是10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．又()10f >，11a>，()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在()1,+∞上有唯一零点．故10ea <<时，()f x 有两个零点．③当0a <时，由ln 10x x -+≤，得ln 10x x -≤-<，则()ln 0a x x ->，又当0x >时，0e xx>，所以()0f x >，()f x 无零点．综上可知，0a ≤或1a e >时，()f x 无零点；1a e =时，()f x 只有一个零点；10a e<<时，()f x 有两个零点．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点个数．解题关键是求出函数的导数()'f x ，由()'f x 确定单调性和最值，本题在最大值(1)f 0>的情况下，通过证明()f a 0<和10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合零点存在定理得出零点个数．难度较大，对学生的要求较高，属于困难题．③【答案】(1)（i ）11a b =⎧⎨=⎩，（ii ）答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）（i ）求出导数，由题可得(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩即可求出；（ii ）根据导数的正负即可求出.（2）求出导数，构造函数()(1)1x g x ae x =+-，利用零点存在定理可判断函数的变化情况，得出单调性即可判断.(1)（i ）()11xf x ae x =-+'，由已知得，(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩，故10ln 1a a b -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩；（ii ）1()(1)1xf x e x x '=->-+，显然()'f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f '=，所以10x -<<时，()0f x '<；0x >时，()0f x '>，因此()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．(2)()ln(1)ln xf x ae x a =-+-，则1(1)1()11x xae x f x ae x x '+-=-=++，令()(1)1x g x ae x =+-，0a >，1x ≥-，显然()g x 在[1,)-+∞上单调递增，又(1)0g -<，10g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以存在11,t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0g t =，当1x t -<<时，()0<g x ；x t >时，()0>g x ，所以1x t -<<时，()0f x '<；x t >时，()0f x '>，即()f x 在(1,)t -上单调递减；在(,)t ∞+上单调递增，因此f (x )有唯一极小值点t ．④【答案】（1）e（2）8【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求出()f x 在1x =-处的切线方程，根据切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭，即可求得a ；（2）法一：由（1）知()1e e xf x x -=+，则不等式可化为()1e 1e 0x x b x ---+≥，构造函数()()1e1e x g x x b x -=--+，利用导数并讨论导数的正负，从而求得存在()02,x ∈-+∞，()()()01000min e 1e 0x g x g x x b x -==--+≥，分离参数，表示出()0101e x b x -=+，构造新函数，结合导数求得32e e3e 3b --≤≤，进而求得答案；法二：讨论x 的取值范围，从而分离出参数b ，在1x >，21x -£<的情况下，分别构造函数，利用导数判断单调性求的最值，最后确定32e e3e 3b --≤≤，由此可得答案；法三：令2x =-，由()()1f x b x ≥-可解得32e e13b --≥>-，从而取0m =，证明证当0b =时，不等式1e e 0x x -+≥在2x ≥-时恒成立，令2x =，由()()1f x b x ≥-，解得3e b ≤，故取8M =，再证当8b =时，不等式()1e 81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，由此求得答案.【小问1详解】依题意得：()()11e x f x x -'=+，所以()10f '-=.又因为()211e f a -=-+，所以()f x 在1x =-处的切线方程为21ey a =-+，因为曲线()y f x =在1x =-处的切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2211e e e a -+=-，解得e a =.【小问2详解】解法一:由（1）知()1e e xf x x -=+，则不等式可化为()1e 1e 0x x b x ---+≥，设()()1e1e x g x x b x -=--+，则()()11e x g x x b -='+-，设()()x g x ϕ'=，则()()12e x x x ϕ-=+'，因为[)2,x ∈-+∞，所以()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在[)2,-+∞单调递增，即()g x '在[)2,-+∞单调递增，所以()()3min 2e g x g b -=-=-'-'，①若3e b -≤-，则()()20g x g '-'≥≥，所以()g x 在[)2,-+∞单调递增，所以()()3min 22e3e 0g x g b -=-=-++≥，解得32e e 3b --≥，所以332e e e 3b ---≤≤-；②若3e b ->-，则()()min 20g x g =-'<'，因为()g x '在[)2,-+∞单调递增，当3e 0b --<≤时，()100eg b ='->，则存在()2,0x ∈-使得()0g x '=，当0b >时，取{}max 0,ln 1n b =+，则()0g n >，所以存在()12,x n ∈-，使得()10g x '=，综上，当3e b ->-时，存在()02,x ∈-+∞，使得()00g x '=，即()0101e 0x x b -+-=，故当02x x -<<时，()0g x '<，则()g x 在()02,x -单调递减，当0x x >时，()0g x '>，则()g x 在()0,x +∞单调递增，所以()()()01000min e1e 0x g x g x x b x -==--+≥,（*）由()0101e 0x x b -+-=，得()0101e x b x -=+，代入（*）得()()()000111200000e 1e 1e 1e e 0x x x x x x x x ----+-+=-+++≥，设()()211e e x F x x x -=---+，则()()()()2112e 21e x x F x x x x x --=-+---'=+，因为2x ≥-，所以由()0F x '=得1x =，当21x -<<时，()0F x '>，所以()F x 在()2,1-上单调递增，当1x >时，()0F x '<，所以()F x 在()1,+∞单调递减，又因为()32e e 0F -=-+<，()11e 0F =+>，()20F =，所以当2x >时，()0F x <，所以满足()012001ee 0x x x --+++≥的0x 的取值范围是022x -<≤，又因为()0101ex b x -=+，设()()11e x H x x -=+，则()()12e 0x H x x -+'=≥，所以()H x 在()2,-+∞单调递增，所以3e 3e b --<≤，综上所述32e e 3e 3b --≤≤，又因为32e e 103---<<，83e 9<<所以0m =，8M =，所以8M m +=.解法二：由（1）知：()1e e x f x x -=+，则()1e 1e 0x x b x ---+≥，①当1x =时，左边等于1e 0+≥恒成立，此时b ∈R ；②当1x >时，原不等式可化为1e e 1x x b x -+≤-对任意()1,x ∈+∞恒成立.设()1e e 1x x h x x -+=-，则()()()2121e e1x x x h x x --'--=设()()211e e x k x x x -=---，则()()()()2112e 21e x x k x x x x x --=+-'=+-.因为1x >，所以()0k x '>，所以()k x 在()1,+∞上单调递增.又因为()()220h k '==，所以2x =是()h x '在()1,+∞上的唯一零点，所以当12x <<时，()0h x '<，()h x 在()1,2上单调递减，当2x >时，()0h x '>，()h x 在()2,+∞上单调递增，所以()()min 23e h x h ==，所以3e b ≤.③当21x -£<时，原不等式可化为1e e 1x x b x -+≥-，此时对于②中函数()k x 的导函数，()()()()2112e 21e x x k x x x x x --=+-'=+-，可知当21x -£<时，()0k x '<，所以()k x 在21x -£<单调递减，且()325ee 0k --=-<，所以当21x -£<时，()()20k x k <-<，所以当21x -£<时，()0h x '<，所以()h x 在[)2,1-上单调递减，所以()3max 2e e (2)3h x h --=-=，所以32e e 3b --≥，综上所述32e e 3e 3b --≤≤，又因为32e e 103---<<，83e 9<<所以0m =，8M =，所以8M m +=.解法三：令2x =-，由()()1f x b x ≥-得()32e 3e b --≥--，解得32e e 13b --≥>-，取0m =，下证当0b =时，不等式1e e 0x x -+≥在2x ≥-时恒成立，设()1e e x g x x -=+，则()()11e x g x x -=+'，由()0g x '=可得1x =-，当21x -<<-时，()0g x '<，所以()g x 单调递减，当1x >-时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，所以()()2min 11e 0e g x g =-=-+≥，所以0m =符合题意；令2x =，由()()1f x b x ≥-得2e 20b -+≥，解得3e b ≤，取8M =，下证当8b =时，不等式()1e81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，设()1e e x h x x -=+，则()()11e x h x x -=+'，令()0h x '=，则1x =-，所以当21x -<<-时，()0h x '<，则()h x 在()2,1-上单调递减，当1x >-时，()0h x '>，则()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()211e 0e h x h ≥-=->，所以当21x -≤≤时，()1e81e 0x x x ---+≥恒成立.当1x >时，10x ->，所以()()813e 1x x -<-，所以()()11e 81e e 3e 1e x x x x x x ----+>--+，设()()1e 3e 1e x k x x x -=--+，则()()11e 3e x k x x -'=+-，设()()x k x ϕ'=，则()()12e 0x x x ϕ-+'=≥，所以()k x '在()1,+∞单调递增，且()20k '=，所以当12x <<时，()0k x '<，则()k x 在()1,2单调递减，当2x >时，()0k x '>，则()k x 在()2,+∞单调递增，所以()()min 20k x k ==，所以()0k x ≥，所以()1e 81e 0x x x ---+≥，综上当8M =时，不等式()1e81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，所以8M m +=.【点睛】本小题主要考查函数的单调性､导数､导数的几何意义及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查分类与整合思想､数形结合思想､一般与特殊思想，涉及的核心素养有直观想象､数学抽象､数学运算､逻辑推理等，体现综合性与创新性.⑤【答案】（1）10x y -+=（2）①2②见解析【解析】【详解】试题分析：（1）将1a =代入到函数()f x ，再对()f x 求导，分别求出()0f 和()'0f ，即可求出切线方程；（2）①若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()'0f x ≥恒成立，则先证明1x e x ≥+，构造新函数，求出单调性，再同理可证ln 1x x ≤-，即可求出a 的最大整数值；②由①得()ln 2x e x ≥+，令1t x t -+=，可得11ln tt t e t -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，累加后利用等比数列求和公式及放缩法即可得证.试题解析：（1）当1a =时，()()()1ln 1xf x e x x x =-+++∴()01f =，又()()'ln 1xf x e x =-+，∴()'01f =，则所求切线方程为1y x -=，即10x y -+=．（2）由题意知，()()'ln xf x e x a =-+，若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()'0f x ≥恒成立．①先证明1x e x ≥+．设()1x g x e x =--，则()'1xg x e =-，则函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，∴()()00g x g ≥=，即1x e x ≥+．同理可证ln 1x x ≤-∴()ln 21x x +≤+，∴()1ln 2xe x x ≥+≥+．当2a ≤时，()'0f x >恒成立．当3a ≥时，()'01ln 0f a =-<，即()()'ln 0xf x e x a =-+≥不恒成立．综上所述，a 的最大整数值为2．②由①知，()ln 2x e x ≥+，令1t x t-+=，∴111ln 2ln t t t t e t t -+-++⎛⎫⎛⎫≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11ln t t t e t -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．由此可知，当1t =时，0ln2e >．当2t =时，213ln 2e -⎛⎫> ⎪⎝⎭，当3t =时，324ln 3e -⎛⎫> ⎪⎝⎭， ，当t n =时，11ln nn n e n -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．累加得0121n e e e e ---+++++> 23341ln2ln ln ln 23n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．又0121n e e e e ---+++++= 11111111n e e e e e⎛⎫- ⎪⎝⎭<=---，∴2334ln2ln ln 23⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 1nn e n e +⎛⎫++< ⎪-⎝⎭ ．点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和及放缩法.⑥【答案】（1）1,1a b ==；证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()10f -=，()111ef -=-+'，即可解得a 、b ，从而得到()()()1e 1x f x x =+-，设()f x 在()1,0-处的切线l 方程为()y h x =，令()()()F x f x h x =-，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（2）由（1）知()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则1e 11em x '=-+-，即可得到11x x '≤，在设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，令()()()T x f x t x =-，利用导数说明函数的单调性，即可得到()()22f x t x ≥．设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，再说明22x x '≥，即可得证；【小问1详解】解：将1x =-代入切线方程()e 1e e l 0x y -++-=，有0y =，所以()10f -=，所以()()1110e f b a ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，又()()1e x f x x b a +'=+-，所以()111e e b f a -=-=-+'，若1ea =，则2e 0b =-<，与0b >予盾，故1a =，1b =．∴()()()1e 1x f x x =+-，()00f =，()10f -=，设()f x 在()1,0-处的切线l 方程为()()111e y h x x ⎛⎫==-+⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =-，即()()()()11e 111e x F x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，所以()()12e e x F x x =+-'，当2x -≤时，()()112e 0e ex F x x =+-≤-<'，当2x >-时，设()()()12e ex G x F x x =+-'=，()()3e 0x G x x =+>'，故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又()10F '-=，所以当()2,1x ∈--时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，综合得函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增，故()()10F x F ≥-=，即函数()y f x =的图象总在切线l 的上方（除切点外）．【小问2详解】解：由（1）知()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则1e 11em x '=-+-，又函数()h x 单调递减，故()()()111f x h h x x =≥'，故11x x '≤，设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，因为()00f =，()()2e 1xf x x '=+-，所以()01f '=，所以()t x x =．令()()()()()1e 1x T x f x t x x x =-=+--，()()2e 2xT x x =+-'，当2x -≤时，()()2e 220xT x x =+-≤-<'，当2x >-时，设()()()2e 2x H x T x x ==+-'，则()()3e 0xH x x =+>'，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又()00T '=，所以当()2,0x ∈-时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，综合得函数()T x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00T x T ≥=，即()()22f x t x ≥．设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，又函数()t x 单调递增，故()()()222f x t t x x =≥'，故22x x '≥，又11x x '≤，所以()221112e e 111e 1em m x x x x m -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．⑦【答案】（1）2y x=（2）(,1)-∞-【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21ex x f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=【小问2详解】()ln(1)e xaxf x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x =+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a - ,当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+ ,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.⑧【答案】（1）2,2ea b ==-（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用导数的意义列方程组()()()'1211f e f e ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即可解得；（2）（i ）求出导函数2()(1)e x f x x x '=+-.利用导数和零点存在对立即可证明；（ii ）求出0000001()e 2ln 2(ln )1x f x x x x x =-=-+，令11()2(ln )(1)12x x x x ϕ=-<<+，利用导数判断出()y x ϕ=在(,1)2上单调递减，即可证明122741()(2(ln 2)2(2331015x ϕϕ<=+<+=；要证031()15f x >，即证0320312ln 15x x x x+>.令()x F x x =1(1)2x <<，利用导数证明出1()( 2.332F x F >≈；令32312ln 115()(1)2x G x x x+=<<，利用导数证明出1130max()(e ) 2.312G x G -=≈，得到()()G x F x <，即可证明.【小问1详解】定义域为(0,)+∞，'((e )1)xa f x x x=+-由题意知()()()()'1221121f e a e f e b e ⎧=-=-⎪⎨=-+=⎪⎩，解得2,2e a b ==-.【小问2详解】（i ）由（1）知()e 2ln x f x x x =-，2()(1)e xf x x x'=+-令()()h x f x '=，则22()(2)e 0xh x x x'=++>，从而()y h x =即()y f x '=单调递增又13e 8(1)2e 20,()022f f -''=->=<，故存在唯一的01(,1)2x ∈使得0()0f x '=x 0(0,)x 0x 0(,)x +∞()'f x -0+()f x极小值从而()y f x =有且仅有一个极小值点0x x =，且01(,1)2x ∈（ii ）00002()(1)e 0x f x x x '=+-=，()y f x =的极小值000000()e 2ln 2(ln )1x f x x x x x =-=-+令11()2(ln )(1)12x x x x ϕ=-<<+，则222'()0(1)x x x ϕ=--<+，从而()y x ϕ=在1(,1)2上单调递减，122741()(2(ln 2)2(2331015x ϕϕ<=+<+=，故041()15f x <下证031()15f x >0320312ln e15x x x x+>一方面令e ()xF x x =1(1)2x <<，则32e (21)()02x x F x x -'=>，则()F x 在1(,1)2上单调递增，从而1()()2e 2.332F x F >=≈另一方面，令32312ln 115()(1)2x G x x x +=<<，52113ln 10'()x G x x --=令()0'=G x 有1130e x -=x 11301(,e )2-1130e-1130(e,1)-()G x '+0-()G x极大值从而110.5530max 44()(e)e 1.734 2.31233G x G -==≈⨯≈从而()()G x F x <32312ln e15xx xx+>成立，故031()15f x >.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数证明不等式.⑨【答案】（1）极大值为(1)0f =，无极小值.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得1b =-，进而得'11()10xf x x x-=-==，再列表求解即可；（2）根据题意，只需证明2e ln e e xx x x a ≥+，由于函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，e 0x y x =>，故转化为证明2ln e t t a ≥+，再令()2ln ,0et t g t a t -->=，再求函数最值即可证明.【小问1详解】解：1a =，()ln 1f x x bx =++，'1()f x b x=+，因为曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，所以，'11(2)22f b =+=-，解得1b =-，所以，()ln 1f x x x =-+，'11()10xf x x x-=-==，解得1x =，所以，x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表，x ()0,11()1,+∞'()f x ++()f x 单调递增极大值单调递减所以，当1x =时，()f x 有极大值(1)0f =，无极小值.【小问2详解】解：当1,1b a =≤-，()ln f x x x a =++，因为222()e ee ln ln e ex x x x f x x x x x a x a x --≥⇔≥++⇔≥+，所以只需证明2e ln e exx x x a ≥+成立即可.令e ,0x y x x >=，则()'1e 0,0xy x x =+>>，所以，函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，即e 0x y x =>.令e ,0xx t t =>，则22e ln e ln e ex x x tx a t a ≥+⇔≥+，令()2ln ,0e t t g t a t -->=，则()2'2211e e e t t t t g --==，所以，当()20,et ∈时，()'0g t <，()g t 单调递减，当()2e ,t ∈+∞时，()'0g t >，()g t 单调递增，所以，()()22e1ln e1a a g g t ≥=--=--，因为1a ≤-，所以10a --≥，即()0g t ≥，所以2ln ett a ≥+成立，所以2()ex f x x-≥成立，证毕.⑩【答案】(1)0=t ；()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.(2)b 的取值范围为(,2]-∞.【分析】（1）、先求出切线方程，根据切线经过点(1,1)即可求出t 的值；求出()f x '，分0m ≥，0m <两种情况讨论函数的单调区间即可;（2）、将原不等式转化为函数值在,()0x ∈+∞时恒大于零问题，分类讨论即可得到b 的取值范围.(1)2()e mx f x x mx t =+-+ ，()e 2mxf x m x m '∴=+-，(0)0f '∴=，又()01f t =+ ，∴切线方程为1y t =+，又 切线经过点(1,1)，11t ∴+=，0t ∴=，故2()e mx f x x mx =+-，()()1e 2e 2mx mx f x m x m m x '=-=+-+.①、若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx -≤，()0f x '<；当,()0x ∈+∞时，e 10mx -≥，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.②、若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx ->，()0f x '<；当,()0x ∈+∞时，e 10mx -<，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调区间递减，在(0,)+∞上单调区间递增.综上所述：()f x 的单调递减为(,0)-∞，单调递增(0,)+∞.(2)当1m =时，2()e x f x x x =+-,22(2)(2)e 4e x x x f x f x -∴----=,()()e e 2x x x f x f x -----=,(2)(2)4[()()]f x f x b f x f x -->-- ,()22e e 4e e 42x x x x x b x --∴----≥,()22e e 4e e (84)0x x x x b b x --∴---+-≥在,()0x ∈+∞上恒成立.设()22()e e 4e e (84)x x x xg x b b x --=---+-，,()0x ∈+∞()()()()22()2e e 2e e 422e e 2e e 22x x x xx x x x g x b b b ----⎡⎤'∴=+-++-=+-+-+⎣⎦，且e e2xx-+>.①、当2b ≤时，e e 20,e e 220x x x x b --+->+-+>,()0g x '∴≥，当且仅当0x =时等号成立，所以()g x 在,()0x ∈+∞上单调递增，而()00g =，所以对0x >时，()0>g x .符合题意②、当2b >时，若x 满足2e e 22x x b -<+<-，即(20ln 12x b b b <<--时，()0g x '<，而(0)0g =，因此(20ln 12x b b b <<-+-时，()0<g x ,不符合题意.综上:b 的取值范围为(,2]-∞.⑪【答案】（1）2e 2a ≤（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据切线过点()1,2可得2b a =，参变分离后研究()e 1xg x x =-的单调性，得到极值，数形结合得到答案；（2）在第一问基础上，得到22e a >，对不等式变形，结合放缩，转化为只需证22212e 20(4)t t t +->>，二次求导后得到证明.【小问1详解】()e 2x f x a =-'，∴()012f a '=-，∴0x =处的切线方程为()121y a x b =-++，切线过点()1,2，所以2b a =，∴()e 22x f x ax a =-+.∵()()1e 0,f f x =≠∴的零点不为1，∴e 21xa x =-在()(),11,-∞+∞ 上至多一个解.设1t x =-，则1e 2()t a g t t+==在()(),00,∞-+∞U 上至多一个解.1122111()()e e t t t g t t t t++-'=-=，令()0g t '>得：1t >，令()0g t '<得：01t <<或0t <，∴()g t 在(),0∞-和(]0,1上单调递减，[)1,+∞上单调递增，当0t <时，()0g t <恒成立，当0t >时，()g t 在1t =处取得极小值，且2(1)e g =，画出函数图象如图所示：所以22(1)e a g ≤=时，()f x 至多有一个零点，∴2e 2a ≤【小问2详解】由（1）知，要想有两个不同零点，则22e a >且12(0,1),(1,)t t ∈+∈∞，即()()121,2,2,x x ∈∈+∞，故要证12211x x a ax >-，只需证121ax x >-，由（1）知()()11110,1,1,2t x x =-∈∴∈，故只需证221x t a -=<，∵21222e (14)2t t x t a +==->.只需证：21222e (4)2t t t t +><，即22212e 20(4)t t t +->>，令()()()121e 24,e 4t t h t t t h t t ++=->'=-，15()e 4e 40t h t +''=->->，∴()h t '在()4,+∞上递增，∴()5416)e 0(h t h '>'=->，∴()h t 在()4,+∞上递增，∴()()54e 320h t h >=->，∴2122e 2t t +>，∴12211x x a ax >-【点睛】导函数研究函数零点问题，参变分离是一种重要方法，把零点问题转化为函数交点问题，通过构造函数，研究构造函数的单调性，极值和最值，数形结合得到答案.⑫【答案】(1)1em =(2)证明见解析【分析】(1)由导数的几何意义求切线方程，由点P 在切线上列方程求m 的值；(2)由导数的几何意义可得1x ，2x 是方程11e x m x =+-的两根，设21(0)x x t t -=>由此可得()1222e 1e e tx x tt +-=，证明t 随着m 的增大而增大，12e x x +随着t 的增大而增大，由此证明12x x +随着m 的增大而增大.(1)因为21x =，所以切点为(1,)e ，又()e x f x '=，则(1)e f '=，所以切线方程为e(1)e e y x x =-+=，因为切线过点(,1)P m ，所以1e m =，解得1em =；(2)设切点为()00,e x x ，因为()()000 e x f x f x '==，则切线方程为()000e e x x y x x =-+，因为切线过点(,1)P m ，所以()0001e e xxm x =-+，整理得0011(0)e x m x m =+->，所以1x ，2x 是方程11e xm x =+-的两根，设1()1e xg x x =+-，则1()1e x g x '=-，令()0g x '=，解得0x =，当0x <时，()0g x '<，()g x 在(,0)-∞上单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以120x x <<，设1()g x m =的两根为()1212,0x x x x ''''<<，其中10m m >>，则由()g x 单调性可知，11220x x x x ''<<<<，所以2121x x x x ''->-，设21(0)x x t t -=>，即t 随着m 的增大而增大，因为12121111e e x x m x x =+-=+-，所以111111e e x x t x x t ++=++，整理得1e 1e e t x tt -=，所以21e 1e et x x tt +-==，所以()1222e 1e (0)e t x x t t t +-=>，设()22e 1()(0)et t h t t t -=>，则()()()()()2222322e e 1e 2e e 1e 1(2)e 2()e e t t t t t tttt t t t t t h t t t '⎡⎤-⋅-+⋅---++⎣⎦==，设()(2)e 2t t t t ϕ=-++，则()(1)e 1t t t ϕ'=-+，()(1)e 1t m t t =-+，则'()e 0t m t t =>所以()t ϕ'单调递增，所以()(0)0t ϕϕ''>=，所以()t ϕ单调递增，所以()(0)0t ϕϕ>=，即()0,()h t h t '>单调递增，所以12e x x +随着t 的增大而增大，又t 随着m 的增大而增大，所以12x x +随着m 的增大而增大.【点睛】本题解决的关键在于根据函数方程的思想确定1x ，2x 是方程11e xm x =+-的两根和构造函数证明12e x x +随着21x x -的增大而增大.⑬【答案】（1）2π144（2）π2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及点斜式，再结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.【小问1详解】当π6k =时，()()ππsin ,sin cos 66f x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎝⎭'⎭，故ππ1sin 662f ⎛⎫== ⎪'⎝⎭.曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为π162k f ⎛⎫== ⎪⎝⎭'，曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1π26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π0,12x y ==-.所以切线与y 轴的交点π0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.此时所求三角形的面积为21πππ2126144⨯-⨯=.【小问2详解】()()sin cos f x x x k x=+-'当ππ22x -<<时，()()cos tan f x x x x k =⋅+-'.由函数tan y x x =+在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，且值域为R ，故存在唯一0ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得00tan x x k +=.此时当0π2x x -<<时，()()0,f x f x '<单调递减；当0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增，因此10x x =.同理，存在唯一'0π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得''00tan x x k +=.此时当'0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；当'03π2x x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，因此'20x x =.由()()211111111sin 10,tan ,cos cos cos x f x x k x f x x x x =-=-=-=-'.同理：()222222sin 1cos cos cos x f x x x x =-=-.由()()120f x f x +=，整理得：()12121cos cos 10cos cos x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.又12ππ3π222x x -<<<<，故12cos cos 1x x ≠，则有()122cos cos cos πx x x =-=-由2πππ22x -<-<，故12πx x =-或()12πx x =--.又1122tan tan k x x x x =+=+，当12πx x =-时，不满足，舍去.所以()12πx x =--，即12πx x +=，则1122tan tan π22x x x x k +++==.综上所述，π2k =.【点睛】解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.⑭【答案】（1）2,1a b ==（2）m n ≤，证明见解析【解析】【分析】（１）求导得()'f x ，再求(1)f '的值即得切线的斜率，求出切点，利用点斜式求出切线方程，对比系数即可得答案;(2)先证明e 1x x ≥+，再令()()()h x f x g x =-，利用前面的结论说明()0h x ≥，最后根据()g x 的单调性证明即可.【小问1详解】解：()()()()2e 1(0),1e ,1x x af x x f b f a x x-=+>'=-='，所以()y f x =在1x =处的切线方程为e y ax b a =+--，比较系数可得2,1a b ==.【小问2详解】m n ≤.证明：设()=e 1xx x ϕ--，则()=e -1xx ϕ'，令()>0x ϕ'，则0x >；令()0ϕ'<x ，则0x <则0x =是()ϕx 的极小值点同时也是最小值点，故()()00x ϕϕ≥=即e 1x x ≥+（当且仅当0x =时等号成立）.令()()()h x f x g x =-，则()()ln e ln 1e ln 10xx x h x x x x x x-=+--=---≥，当且仅当ln 0=x x -=“”取“”，所以()(),f x g x ≥则有()(),f m g m ≥而()(),()()f m g n g m g n =∴≤，又()11,()g x g x x'=+∴ 单调递增，所以m n ≤.。

导数的几何意义求切线方程专题题型一：切点已知求切线方程【例1】.函数f(x)=xe x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________．【答案】y=2ex−e【解析】因为f(x)=xe x，所以f(1)=e，f′(x)=e x+xe x，所以f′(1)=2e，所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即y=2ex−e．变式1.已知函数f(x)=x+aln⁡x．当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；【答案】2x−y−1=0【解析】当a=1时，f(x)=x+ln⁡x，f′(x)=1+1x(x>0)．所以f(1)=1，f′(1)=2，所以切线方程为2x−y−1=0．【备注】考查导数的几何意义，先由导数得到斜率，再根据点斜式得到切线方程．变式2.已知函数f(x)=(x+1)ln⁡x−a(x−1)．当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；【答案】y=−2x+2．【解析】当a=4时，f(1)=0，函数f(x)的导函数f′(x)=ln⁡x+1−3,因此f′(1)=−2，从而所求的切线方程为y=−2(x−1)，也即y=−2x+2．【备注】本小题是常规的利用导函数求函数的切线方程问题．题型二：切点未知求切线方程【例2】.【2018年浙江宁波高二下学期周测】过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为________【答案】y=ex【解析】y′=e x设切点的坐标为(x0,e x0)，切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y−e x0=e x0(x−x0)又切线过原点，∴−e x0=e x0(−x0)，∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．变式.已知函数f(x)=x3−3x，过点P(2,−6)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程是 ________【答案】3x+y=0或24x−y−54=0【解析】由f(x)=x3−3x，得f′(x)=3x2−3，设切点为(x0,x03−3x0)，则斜率k=3x02−3，∴切线方程为y−(x03−3x0)=(3x02−3)(x−x0)，即y=(3x02−3)x−2x03．∵切线过点P(2,−6)，则−6=2(3x02−3)−2x03，解得：x0=0或x0=3．∴所求切线方程是y=−3x或y=24x−54．故答案为：3x+y=0或24x−y−54=0．题型三：已知切线方程求参数【例3】.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切，则m= ________【答案】1【解析】设切点为P(x0,y0)．易知y′|x=x=2x0．由{2x0=−2,y0=x02,得{x0=−1,y0=1,所以P(−1,1)．又P(−1,1)在直线2x+y+m=0上，所以2×(−1)+1+m=0，解得m=1．变式1.【2016年辽宁大连单元测试】设函数f(x)=x2-ln⁡(x+a)+b，g(x)=x3．若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y=0，求实数a,b的值；【答案】a=1，b=0【解析】f′(x)=2x−1x+a依题意{f′(0)=−1a=−1 f(0)=−ln⁡a+b=0变式2.【2015年浙江舟山高二下学期月考】在同一坐标系中，直线l是函数f(x)=√1−x2在(0,1)处的切线，若直线l与g(x)=−x2+mx相切于x=1处，则m=________【答案】2【解析】函数y=f(x)=2即为上半圆x2+y2=1，(0,1)为与y轴的交点，即有在(0,1)处的切线为y=1，由题意可得直线l：y=1也是g(x)=−x2+mx的切线，所以g(x)在x=0处的导函数值为0,g′(0)=−2∗0+m=0且g(1)=1,所以m=2题型四:公切线求参数问题【例4】.若直线y=kx+t是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则t=________ ．【答案】4−2ln⁡2【解析】设y=kx+t与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为(x1,kx1+t)、(x2,kx2+t)．由导数的几何意义可得k=e x1=e x2+1，得x1=x2+1．再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+t=e x1+2，kx2+t=e x2+1．联立上述式子{k=e x1x1=x2+1 kx1+t=e x1+2 kx2+t=e x2+1解得k=2，x1=ln⁡2，t=4−2ln⁡2．故答案为4−2ln⁡2．【备注】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可变式：函数f(x)=ln⁡x+mxx+1与g(x)=x2+1有公切线y=ax(a>0)，则实数m的值为________ ．【答案】4【解析】设公切线y=ax与g(x)=x2+1的切点为(x0,x02+1)，g"(x)=2x，故切线斜率为2x0，则切线为y−(x02+1)=2x0(x−x0)，因为切线过原点(0,0)，所以−x 02−1=−2x 02，解答x 0=1或x 0=−1， 因为切线斜率a =2x 0>0，所以x 0=1，a =2， 设公切线y =2x 与f(x)=ln⁡x +mxx+1相切与点(x 1,ln⁡x 1+mx 1x 1+1)，f"(x)=1x +m (x+1)2，故斜率1x 1+m(x1+1)2=2①切线方程为y −(ln⁡x 1+mx 1x1+1)=(1x 1+m(x 1+1)2)(x −x 1)，因为过(0,0)，所以−ln⁡x 1−mx 1x1+1=−1−mx 1(x 1+1)2②联立①②解得x 1=1,m =4． 故答案为4．【备注】本题考查利用导数研究函数在某一点处的切线方程，根据条件设出切点，利用切线过原点且和两函数图象相切即可求出m 的值．针对训练1.曲线f(x)=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．−9 B ．−3 C ．9 D ．15【答案】C【解析】因为y ′=3x 2，切点为(1,12)，所以切线的斜率为3，故切线方程为3x −y +9=0，令x =0，得y =9【备注】求在某点处切线2.【2018年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高二下学期期中考试数学试卷】已知直线y =−2x −23与曲线2f(x)=13x 3−bx 相切，则b =________． 【答案】3【解析】f(x)=13x 3−bx ，f ′(x)=x 2−b =−2，{x 2−b =−213x 3−bx =−2x −23，x =1，b =3．3.已知函数f(x)=ax2+(2a−1)x−ln⁡x，a∈R．若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线经过点(2，11)，求实数a的值；【答案】a=2【解析】由题意得f′(x)=2ax+(2a−1)−1 x=2ax2+(2a−1)x−1x=(2ax−1)(x+1)x∴f′(1)=2(2a−1)∵f(1)=3a−1∴曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2(2a−1)(x−1)+3a−1代入点(2，11)，得a=2【备注】根据题意，对函数f(x)求导，由导数的几何意义分析可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程，代入点(2，11)，计算可得答案4.【2013年山西太原单元测试】设函数f(x)=x3−3ax+b,a≠0在点(2,f(2))处与直线y=8相切求实数a,b的值；【答案】a=4,b=24；【解析】f′(x)=3x2−3a，f′(2)=0,f(2)=8即12−3a=0,8−6a+b=8解得a=4,b= 245.函数f(x)=x2−2ax+ln⁡x(a∈R)．函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y+ 1=0垂直，求a的值；【答案】a=52【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2a+1x，f′(1)=3−2a，由题意f′(1)⋅12=(3−2a)⋅12=−1，解得a=52．6.已知函数f(x)=aln⁡x−bx2图像上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=−3x+2ln⁡2+2，求a,b 的值【答案】a=2,b=1【解析】f′(x)=ax−2bx{k=f′(2)=a2−4b=−3y0=f(2)=aln⁡2−4b=−6+2ln⁡2+2解得：a=2,b=1【备注】若想解得参数a,b需要注意两点：1、切点是个很特殊的点，既在曲线上，又在切线上。

导数——大题——切线：1.（2022年河南益阳J37）已知函数()ln x f x x =，()()()21(0)2x g x axf x a x a =--->，()g x '为()g x 的导函数.（1）若直线y x b =+是曲线()y f x =的切线，求实数b 的值；（2）求()g x 的最大值；（①）（3）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y g x =图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为()00,C x y ，记直线AB 的斜率为k ，证明：()'0k g x >.（切线，易；第二问，未；）1.（2022年广东启光卓越J21）已知函数()()3ln f x x ax ax a =+-∈R .（1）若1a =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（②）（2）若()0f x ≤在[)1,x ∞∈+上恒成立，求实数a 的取值范围.（切线，易；第二问，未；）2.（2022年广东惠州三模J17）已知函数ln ()xa xf x e a x=--(e 为自然对数的底数)有两个零点．（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（③）（2）若()f x 的两个零点分别为2,x x ，证明：12212x x e x x e+>．（切线，易；第二问，未；）3.（2022年广东六校联考J34）若()e x f x k =，且直线e y x =与曲线()y f x =相切.(1)求k 的值；（④）（切线，中下；第二问，未；）(2)证明：当[1,2]a ∈，不等式22()sin 23f x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立.1.（2022年江苏苏州J19）已知函数21()e cos 2=++xf x a b x x （其中a ，b 为实数）的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =．（1）求实数a ，b 的值；（⑤）（切线，中下；第二问，未；）（2）证明：方程()|ln sin |f x x x =+有且只有一个实根．2.（2022年江苏南京宁海中学J13）已知0a >且1a ≠，函数21()log 2a f x x ax =+.（1）若e a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（⑥）（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（切线，易；第二问，未；）3.（2022年江苏南京五中J12）已知a R ∈，函数()()214ln 12f x x ax x =-++.（1）当0a =时，求曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间),0(+∞上存在两个不同的极值点.①求a 的取值范围；（⑦）②若当0x ≥时恒有()f x t >成立，求实数t 的取值范围.（参考数据：ln 20.69≈，ln 3 1.10≈）（切线，易；零点分析，中档；第三问，未；）4.（2022年山东百师联盟J56）已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =+--∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（⑧）（2）若方程()0f x =有两个不等实数根，求实数a 的取值范围．（切线，易；第二问，未；）1.（2022年山东淄博三模J20）已知,2m m ∈≥N ，,a b 为函数()()e xx f x m m=-的两个零点，a b <，曲线()y f x =在点(,0)a 处的切线方程为()y g x =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数．（1）当0x >时，比较()f x 与()g x 的大小；（⑨）（切线，中下；第二问，未；）（2）若120x x <<，且12()()f x f x n ==，证明：212ln ln nx x m m-<+．导数——大题——切线（中档、中上、未）：4.（2022年广东佛山J11）已知函数1()e 1xf x x a=-+，其中a ∈R 且0a ≠.（⑩）（1）设0a >，过点11,2A ⎛⎫--⎪⎝⎭作曲线:()C y f x =的切线（斜率存在），求切线的斜率；（2）证明：当1a =或20e a <≤时，1()(1)2f x ax x ≥≥-.（切线，中档；第二问，未；）①【答案】（1）1b =-（2）最大值为2ln 2a a a a+-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由()'1fx =，结合切点坐标求得b 的值.（2）由()'g x 求得()g x 的最大值.（3）将()'0k g x >转化为21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，利用换元法，结合导数来证得不等式成立.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，令()'21ln 1xfx x-==，2ln 10x x +-=，令()()()2'1ln 10,20h x x x x h x x x=+->=+>，()h x 在()0,∞+上递增，()10h =，所以()h x 有唯一零点1.所以方程2ln 10x x +-=有唯一解1x =.()10f =，即切点为()1,0，将()1,0代入y x b =+得01,1b b =+=-.【小问2详解】()()()()()22211ln 122ln 2x x x x x g x axf x a x ax a x a x a x =---=⋅---=--，其中0,0x a >>，()()2'11x a x a ag x x a x x-+-+=-+-=()()1x x a x -+-=，所以()g x 在区间()()()'0,,0,a g x g x >递增；在区间()()()',,0,a g x g x +∞<递减.所以()()()22maxln 1ln 22a a g x g a a a a a a a a ==---=+.【小问3详解】由（2）得()()2ln 12x g x a x a x =---，()'1a g x x a x =-+-，依题意1202x x x +=，要证明()'0k g x >，即证明'2112212y y x x g x x -+⎛⎫> ⎪-⎝⎭，即证明()()21'12212g x g x x x g x x -+⎛⎫> ⎪-⎝⎭，即证明()()22212212122111ln 1ln 121222x x a x a x a x a x x x a a x x x x +>-⎡⎤-------⎢⎦-⎣+-+⎥，整理得212121ln ln 2x x x x x x ->-+，不妨设120x x <<，即证()2121212ln ln x x x x x x -->+，即证21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，令211x t x =>，即证()2144ln 2,ln 20111t t t t t t ->=-+->+++，构造函数()()4ln 211m t t t t =+->+，()()()()2'22114011t m t t t t t -=-=>++，()m t 在()1,+∞上递增，()()10m t m >=，所以4ln 201t t +->+成立.得证()'0k g x >成立.【点睛】证明不等式的方法有分析法和综合法，本题采用的是分析法.即从结论()'0k g x >出发，化简得到21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，然后利用换元法，结合导数即可证得不等式成立.②【答案】（1）330x y --=（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）当1a =时，求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）分析可知，不等式()()1f x f ≤在[)1,+∞上恒成立，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：当1a =时，()3ln f x x x x =+-，则()2131f x x x'=+-，所以，()10f =，()13f '=，此时，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()31y x =-，即330x y --=.【小问2详解】解：()0f x ≤在[)1,x ∞∈+上恒成立，且()10f =，所以，()()1f x f ≤，因为()3ln f x x ax ax =+-，所以，()213f x ax a x'=+-.①当0a =时，()10f x x'=>，此时函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，则()()10f x f ≥=，不合乎题意；②当0a <时，令()()g x f x '=，则()2130g x a x '=-<，此时函数()f x '在[)1,+∞上单调递减.若()1210f a '=+≤，即当12a ≤-时，对任意的1≥x ，()()10f x f ''≤≤且()f x '不恒为零，此时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递减，则()()10f x f ≤=，合乎题意；若()1210f a '=+>，即当102a -<<时，取0113a x a-=>，则2011311a x a a -->-=-，则()200131x x a ->-，此时()2311110ax x -+<-+=，所以，()()20020000311130ax x f x ax a x x -+'=+-=<，所以，存在()101,x x ∈，使得()10fx '=，当11x x <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，则()()110f x f >=，不合乎题意；③当0a >时，因为()2ln 260f a =+>，与题设矛盾，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键在于计算得出()10f =，结合端点效应将问题转化为()()1f x f ≤恒成立，然后借助导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性求解即可.③【答案】（1）(1)y e x =-；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由()0f x =化简得到ln()xxa xe xe =，利用换元法，将要证12212x x e x x e +>转化为证明1ln 21t t t ->+，结合导数证得结论成立.【详解】（1）当1a =时，ln ()1xx f x e x=--，21ln ()x xf x e x -'=-．又(1)1f e =-，所以切点坐标为(1,1)e -，切线的斜率为(1)1k f e '==-，所以切线的方程为(1)(1)(1)y e e x --=--，即(1)y e x =-．（2）由己知得.(ln )()0x xe a x x f x x-+==有两个不等的正实根，所以方程(ln )0x xe a x x -+=有两个不等的正实根，即ln()0x x xe a xe -=有两个不等的正实根，ln()x x a xe xe =①.要证12212x x e x x e +>，只需证12212()()x x x e x e e ⋅>，即证1212()()2x xln x e ln x e +>，-令111x t x e =，222xt x e =，所以只需证12ln ln 2t t +>．由①得11ln a t t =，22ln a t t =，所以2121(ln ln )a t t t t -=-，2121(ln ln )a t t t t +=+，消去a 得221121212122111ln ln ln (ln ln )1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--，只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-．设120t t <<，令21t t t =，则1t >，所以只需证1ln 21t t t ->+．令1()ln 21t h t t t -=-+，1t >，则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t '-=-=>++，所以()(1)0h t h >=，即当1t >时，4ln 201t t +->+成立．所以12ln ln 2t t +>，即12212()()x x x e x e e ⋅>，即12212x x e x x e+>．【点睛】证明不等式恒成立问题，可利用构造函数法，结合导数求最值来进行求解.④【答案】(1)1k =(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设切点为00(,)x y ，则有000()e ()ef x x f x '=⎧⎨=⎩，解之即可的解；(2)要证当[1,2]a ∈，不等式22()sin 23f x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立，只需证当[1,2]a ∈时，不等式22e sin 23x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立，令2()2e sin 23,[0,)x h x a x x x x =+---∈+∞，只需证明()min 0h x ≥即可，利用导数求出函数()h x 的最小值，即可得证.【小问1详解】解：设切点为00(,)x y ，()e x f x k ¢=，则000000()e e e ()e e e x x f x x k x f x k =⎧⎧=⇒⎨⎨==⎩'⎩，解得：01,1x k ==，1k ∴=；【小问2详解】证明：要证当[1,2]a ∈，不等式22()sin 23f x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立，只需证当[1,2]a ∈时，不等式22e sin 23x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立，令2()2e sin 23,[0,)x h x a x x x x =+---∈+∞，令()()2e cos 23,[0,)xg x h x a x x x ==+-'-∈+∞，()2e sin 2,[0,)x g x a x x '=--∈+∞，令()sin ,[0,)m x x x x =-∈+∞，则o 0(c )1s x m x =-≥'，所以函数()m x 在()0,∞+上递增，所以()(0)0m x m ≥=，所以sin ,[0,)x x x ≤∈+∞，故()()2e sin 22e 22e 222e 1xxxxg x a x ax x x '=--≥--≥--=--，()[)()e 1,0,x x x x ϕ=--∈+∞令，则()e 10,(0)x x x ϕ'=-≥≥，所以函数()x ϕ在()0,∞+上递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以()()2e 10xg x x '≥--≥，所以函数()g x 在()0,∞+上递增，即函数()h x '在()0,∞+上递增，又(0)230h a +-'=≥，所以()0h x '≥，所以()h x 在()0,∞+上递增，又因为(0)0h =，故()0,[0,)h x x ≥∀∈+∞恒成立，即当[1,2]a ∈，不等式22()sin 23f x a x x x +-≥+对于[0,)x ∀∈+∞恒成立.【点睛】本题考查了导数的几何意义，还考查了利用导数证明不等式问题，考查了放缩及转换思想，考查了学生的数据分析能力、计算能力及逻辑推理能力，难度很大.⑤【答案】（1）1,1.a b =⎧⎨=-⎩（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得()e sin '=-+x f x a b x x ，由题知(0)0(0)1f a b f a =+=⎧⎨=='⎩，解方程得解.（2）令()ln sin g x x x =+，分三种情况讨论：当[,)x π∈+∞，[1,)x π∈，(0,1)x ∈时()g x 的零点情况；令()()|ln sin |x f x x x ϕ=-+，分两种情况讨论：当()00,x x ∈，()0,x x ∈+∞时，对()ϕx 求导，借助()ϕx 单调性及零点存在性定理，判断()ϕx 的零点情况，进而得证.【小问1详解】因为21()e cos 2=++xf x a b x x ，所以()e sin '=-+x f x a b x x ．因为()y f x =的图象在(0,(0))f 处的切线为y x =，所以(0)0(0)1f a b f a =+=⎧⎨=='⎩解得1,1.a b =⎧⎨=-⎩【小问2详解】令函数()ln sin g x x x =+，定义域为(0,)+∞．当[,)x π∈+∞时，ln 1,sin 1x x >≥-，所以()ln sin 0g x x x =+>；当[1,)x π∈时，ln 0,sin 0x x ≥>，所以()ln sin 0g x x x =+>；当(0,1)x ∈时，由1()cos 0g x x x+'=>知()g x 在(0,1)上单调递增，又11(1)sin10,1sin0e e⎛⎫=>=-+< ⎪⎝⎭g g 且函数连续不间断，所以0(0,1)x ∃∈，有()000ln sin 0g x x x =+=．综上所述，函数()g x 在(0,)+∞有唯一的零点0(0,1)x ∈，且()g x 在()00,x 上恒小于零，在()0,x +∞上恒大于零．令函数()()|ln sin |x f x x x ϕ=-+，讨论如下：①当()00,x x ∈时，21()()|ln sin |e cos ln sin 2=-+=-+++xx f x x x x x x x ϕ，求导得1()e (sin cos )⎛⎫=++++ ⎪'⎝⎭xx x x x x ϕ．因为12,sin cos 2x x x x +≥+≥-，所以1()e (sin cos )0⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭'x x x x x x ϕ，即函数()ϕx 在()00,x 单调递增．又因为()()0022000000011e cos ln sin e cos 022=-+++=-+>xx x x x x x x ϕ，()333e 363e 63311e e cos e e 3sin e e e sin e 3cos e 022---------⎛⎫=-+-+=++--< ⎪⎝⎭ϕ，所以函数()ϕx 在()00,x 存在唯一的零点，所以方程()|ln sin |f x x x =+在()00,x 上有唯一的零点．②当()0,x x ∈+∞时，21()()|ln sin |e cos ln sin 2=-+=-+--xx f x x x x x x x ϕ．法一：由（1）易证21e cos 2-+>xx x x 在(0,)+∞上恒成立．事实上，令21()e cos 2=-+-xh x x x x ，则()e sin 1=+'+-x h x x x ．因为()e (cos 1)0=++''>x h x x ，所以()h x '在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h ''>=，即()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h >=，即21e cos 2-+>xx x x 在(0,)+∞上恒成立．从而21()e cos ln sin ln sin ln 102=-+-->--≥--≥xx x x x x x x x x x ϕ，所以方程()|ln sin |f x x x =+在()0,x +∞上无零点．综上所述，方程()|ln sin |f x x x =+有且只有一个实根．法二：因为1ln x x -≥，所以ln(1)x x ≥+，所以e 1x x ≥+，所以e ln (1)(1)2-≥+--=x x x x ，所以2211e cos ln sin (2sin cos )022-+--≥--+>xx x x x x x x ，所以方程()|ln sin |f x x x =+在()0,x +∞上无零点．综上所述，方程()|ln sin |f x x x =+有且只有一个实根．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题第一问考查导数的几何意义，第二问利用导数求函数的单调区间，判断单调性，并借助零点存在性定理研究方程的实根，考查数形结合思想的应用．⑥【答案】（1）()1112y e x e =+--（2）110,,1a e e ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）由a e =时，得到()21ln 2f x x ex =+，求导，进而得到()()1,1f f '，写出切线方程；（2）将函数()f x 有两个零点，转化为函数2ln x y x =与1ln 2y a a =-的图象在()0,x ∈+∞上有两个交点求解.【小问1详解】解：当a e =时，()21ln 2f x x ex =+，则()1f x ex x'=+，故()1111f e e '=+=+，1x =时，()111ln122f e e =+=，故切点为11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 在1x =处的切线方程为()()1112y e e x -=+-，即()1112y e x e =+--.【小问2详解】函数()f x 有两个零点，⇔方程21log 02a x ax +=在()0,x ∈+∞上有两个根，⇔方程2ln 1ln 2x a a x =-在()0,x ∈+∞上有两个根，⇔函数2ln xy x=与1ln 2y a a =-的图象在()0,x ∈+∞上有两个交点，设()2ln x g x x =，则()312ln x g x x -'=，()312ln 0x g x x -'=>时，0x e <<；()312ln 0xg x x-'=<时，x e >，所以()2ln xg x x=在(e 上单调递增，在)e +∞上单调递减，由()10g =，12g e e =，当1x >时，()0g x >，当x →+∞时，()0g x →，作图如下：由图得110ln 22a a e <-<，即1ln 0a a e-<<，设()()ln 0h x x x x =>，则()1ln h x x '=+，()1ln 0h x x '=+>时，1x e >，()1ln 0h x x '=+<时，10x e<<；所以()ln h x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为01x <<时ln 0x <，且()10h =，所以当01x <<时，()10h x e-≤<；当1x >时，()0h x >，又因为()min 11h x h e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以1ln 0x x e -<<的解集为110,,1e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述110,,1a e e ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.⑦【答案】（1）4y x =；（2）①34a <<；②158ln 22t ≤-.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求()()0,0f 处的切线方程即可.（2）①由题意知，()2140x a x a --+-=有两个不相等的正根，即可求a 的取值范围；②由①得到()f x 的单调区间，可知要使0x ≥时，恒有()f x t >成立，只需满足()(){}2min 0,t f f x <，而2212152a a a x -++-=，结合①的结论得()21,3x ∈，则()()3222222222414ln 121x x x f x x x x ++=-+++，构造中间函数并应用导数研究单调性，确定()2f x 的范围，即可比较()()20,f f x 的大小，进而求t 的取值范围.【详解】（1）当0a =时，()()214ln 12f x x x =++，则()41f x x x '=++，∴()00=f ，()04f '=，即所求的切线方程为4y x =.（2）①()()214411x a x a f x x x x a --+-+'=-=++，设()f x 在),0(+∞上的极值点为1x ，()212x x x <，则1x ，2x 是方程()2140x a x a --+-=的两正根，∴()()2401021440a a a a ⎧->⎪-⎪>⎨⎪⎪∆=--->⎩，解得34a <<.②由①知：当10x x ≤<时，()0f x ¢>，所以()f x 单调递增；当12x x x <<时，()0f x ¢<，所以()f x 单调递减；当2x x >时，()0f x ¢>，所以()f x 单调递增.∴要使0x ≥时，恒有()f x t >成立，只需满足()(){}2min 0,t f f x <.由2212152a a a x -++-=，34a <<，则()21,3x ∈，又222241x x a x ++=+，∴()()()322222222222224114ln 14ln 1221x x x f x x ax x x x x ++=-++=-+++，()21,3x ∈.设()()322144ln 121x x x F x x x x ++=-+++，()1,3x ∈，则()()()()2131x x x F x x --+'=+.∴()0F x '<，()F x 在()1,3上单调递减，即()()1538ln 22F x F >=-，从而()2158ln 22f x >-.由ln 20.69≈，得158ln 202-<，又()00=f ，∴()(){}215min 0,8ln 22f f x >-，得158ln 22t ≤-.【点睛】关键点点睛：第二问，①求()f x ¢的解析式，将问题转化为()2140x a x a --+-=有两个不相等的正根求参数范围；②由①判断()f x 的区间单调性，将问题转化为()(){}2min 0,t f f x <，再构造中间函数并应用导数求()2f x 的范围，并比较()()20,f f x 的大小关系.⑧【答案】（1）12y =（2）(2,)+∞【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，求出切线方程；（2）求定义域，求导，对导数因式分解，由最小值小于0得到2a >，进而证明充分性成立，a 的其他范围均不合要求，得到a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，21()ln 2f x x x =-，所以1()f x x x'=-，又有1(1),(1)02f f =='，所以切线方程为12y =．【小问2详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，∵21()(1)ln 2f x ax a x x =---，∴21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x---+-=---=='，若方程()0f x =有两个不等实数根，即函数()f x 有两个不同的零点，当0a ≥时，由()0f x '<得：(0,1)x ∈，由()0f x '>得(1,)x ∈+∞，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴若函数()f x 有两个不同的零点则必有1(1)102f a =-+<，即2a >．此时，在(1,)x ∈+∞上有(2)22(1)ln 22ln 20f a a =---=->，在(0,1)x ∈上，2120x x -<-<，∵()21()2ln 2f x a x x x x =-+-，∴()1ln 2f x a x x >-+-，∴111122221e e ln e e 02a a a f a ----⎛⎫⎛⎫>-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()f x 在区间()0,1、(1,)+∞上各有一个零点，故2a >满足题意；当1a =-时，∵函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴函数()f x 至多一个零点，不合题意；当10a -<<时，∵函数()f x 在区间(0,1)上单调递减，在11,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，∴函数()f x 的极小值为1(1)102f a =->，∴函数()f x 至多一个零点，不合题意；当1a <-时．∵函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴函数()f x 的极小值为11111(1)ln 1ln()022f a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+---=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 至多一个零点，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(2,)+∞．【点睛】导函数研究函数的零点个数问题，一般思路为求定义域，求导，得到函数极值，最值情况，进而由最值情况先得到必要性，再证明充分性.⑨【答案】（1）()()f xg x >（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程，作差即可比较大小；（2）先求出曲线()y f x =在点(ln ,0)m 处的切线方程，作差后构造函数()()()F x f x h x =-，利用导数求最小值为0，可得()()f x h x ≥，设()h x n =的正根为0x ，可得2103(11ln ln x x mn x x m m m --<-=++，再利用放缩法求证即可.【小问1详解】令()(e )0xx f x m m=-=，因为a b <所以函数()f x 的两个零点分别是0a =，ln b m =，e ()(1)1xf x x m+'=-，所以11(0)1m f m m -='-=，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为1my x m-=，所以1(e )(e 1)()()x x x m x m x x m m mf xg -=---=-，若0x >，则()()0f x g x ->，即()()f x g x >．【小问2详解】e ()(1)1xf x x m+'=-，所以(ln )ln f m m ='，所以曲线()y f x =在点(ln ,0)m 处的切线方程为ln (ln )y m x m =-，记()ln (ln )h x m x m =-，)(()()()ln (l )n e xF x x m mf x h x m x m =-=---，e (1)l 1(n )x x m m F +-=-'，2)0(()e xF mx x '+'>=，所以()F x '在(0,)+∞上单调递增，又(ln )0F m '=，所以当(0,ln )x m ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()F x 在ln x m =处取得极小值，即()(ln )0F x F m ≥=，即当0x ≥时，()()f x h x ≥，设()h x n =的正根为0x ，则0ln (ln )m x m n -=，所以0ln ln nx m m=+，因为()h x 是增函数，220()()()h x f x n h x ≤==，即20x x ≤，结合（1），设1()m g x x n m -==的根为3x ，则31mnx m=-，因为()g x 为减函数，113()()()g x f x n g x <==，所以13x x ≥，所以2103()11ln ln x x mn x x m m m --<-=++，设1()ln x x x x ϕ-=-，22111()0(2)x x x x x xϕ-=-=>≥'，所以()ϕx 在[2,)+∞上单调递增，1()(2)ln 202x ϕϕ≥=->，所以1ln 0m m m-->，所以11ln m mm -<，所以112ln ln m mm m >+-，()()e 11x f x x m +'=-，()(2)0xe f x x m=+'>'，所以′(p 单调递增，因为1(0)10f m'=-<，(ln )ln 0f m m '=>，所以存在唯一4(0,ln )x m ∈，使得4()0f x '=，当4(0)x x ∈,时，()0f x '<，()f x 单调递减；当4(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；因为(0)(ln )0f f m ==，若关于x 的方程()f x n =有两个正根，必有0n <，所以(112ln ln m m n m nm +<-，所以212ln ln n x x m m-<+【点睛】思路点睛：本题第二问难度很大，证明212ln ln nx x m m-<+的过程中，用导数最值先证明2103(11ln ln x x m n x x m m m --<-=++，再利用()112ln ln mm n m n m +<-放缩得证，思维难度较大，属于难题.⑩【答案】（1）112a -；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)设出切点坐标，对函数()f x 求导，再借助导数的几何意义列式计算作答.(2)当1a =时，不等式等价转化为证1e 12xx x -≥+，当20ea <≤时，转化证明111e e 22x x ax x a -≥-，作差构造函数即可推理作答.【小问1详解】0a >，11()e 21x f x a x '=-+，而1(1)0e f a -=>，即点11,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭不在曲线C 上，设切点000(,()),1T x f x x >-，则切线AT 的斜率为00011()e 21x f x a x k '=+=，又001()21f x k x +=+，于是得00002()111e 2(1)21x f x a x x +=++000002(1)1e 12(e 1)1x x x x x a a +-+=-++，整理得：002e 110x x x a ++=，即00002e 011x x a x =++，有00021(e )011x x a x +=++，而0021e 011x a x +>++，因此，00x =，11(0)2f a '=-，所以切线的斜率为112a -.【小问2详解】当1a =时，1x ≥-，111()e 10e 1222x x f x ax x x x x ≥⇔-+≥⇔-≥+令()e 1x h x x =--，求导得()e 1x h x '=-，当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，即函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，R x ∀∈，()(0)0h x h ≥=，即e 1x x ≥+，因此当1x ≥-时，111(1)e 11222xx x x x ++-≥+=≥+，当且仅当0x =时取“=”，则1e 102xx x -+≥，于是得当1a =且1x ≥-时，1()2f x ax ≥.当20e a <≤时，1x ≥-，111()e 122x f x ax ax x a ≥⇔-≥+，令1e )(1)(21111()e ()22x x x x a x ax x a a ϕ-=+-=--，1x ≥-，由20e a <≤得10a ->，则(1)(11()e )02x x a a ϕ'+->=，即()ϕx 在[1,)-+∞上单调递增，又(1)11(1))0e (2a a ϕ=--≥-，即当1x ≥-时，()(1)0x ϕϕ≥-≥，于是得当20e a <≤，1x ≥-时，111e e 22x x ax x a -≥-，而1e 12xx x -≥+，因此，11e 12x ax x a -≥+，从而得当20e a <≤，1x ≥-时1()2f x ax ≥，所以当1a =或20e a <≤时，1()(1)2f x ax x ≥≥-.【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f (x )的切线问题，先设出切点坐标00(,)x y ，求导并求出切线方程000()()y y f x x x '-=-，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.。

导数中八大切线问题题型总结【考点预测】1.在点的切线方程切线方程y-f(x0)=f (x0)(x-x0)的计算：函数y=f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)，抓住关键y0=f(x0) k=f (x0) ．2.过点的切线方程设切点为P(x0，y0)，则斜率k=f (x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f (x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n-y0=f (x0)(m-x0)然后解出x0的值．(x0有几个值，就有几条切线)注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P处切线(此类题目点P即为切点)题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为x0,y0)题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围)题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】(2022·全国·高三专题练习(文))函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是( )A.0<f (2)<f (3)<f(3)-f(2)B.0<f (2)<f(3)-f(2)<f (3)C.0<f (3)<f(3)-f(2)<f (2)D.0<f(3)-f(2)<f (2)<f (3)【例2】函数y=f x 的图象如图所示，f′x 是函数f x 的导函数，则下列大小关系正确的是( )A.2f′4 <f4 -f2 <2f′2B.2f′2 <f4 -f2 <2f′4C.2f′4 <2f′2 <f4 -f2D.f4 -f2 <2f′4 <2f′2【题型专练】1.(2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中)(多选题)已知函数f x 的图象如图所示，f x 是f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是()A.f 3 <f 2B.f 3 <f 3 -f 2C.f 2 <f 3 -f 2D.f 3 -f 2 <02.(2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末)函数y =f x 的图象如图所示，f x 是函数f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A.2f 3 <f 5 -f 3 <2f 5B.2f 3 <2f 5 <f 5 -f 3C.f 5 -f 3 <2f 3 <2f 5D.2f 3 <2f 5 <f 5 -f 3题型二：在点P 处切线(此类题目点P 即为切点)【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线y =ae x +x ln x 在点1,ae 处的切线方程为y =2x +b ，则A.a =e ,b =-1B.a =e ,b =1C.a =e -1,b =1D.a =e -1,b =-1【例2】(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )=-2x 3+3ax 2-f (1)x ，则函数f (x )的图象在点(-2,f (-2))处的切线的斜率为( )A.-21B.-27C.-24D.-25【例3】(2022·河南省浚县第一中学模拟预测(理))曲线y =x ln (2x +5)在x =-2处的切线方程为( )A.4x -y +8=0B.4x +y +8=0C.3x -y +6=0D.3x +y +6=0【例4】过函数f (x )=12e 2x-x 图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为( )A.0,3π4B.0,π2∪3π4,π C.3π4,π D.π2,3π4【例5】(2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测(文))曲线y =2x +ax +2在点1,b 处的切线方程为kx -y +6=0，则k 的值为( )A.-1B.-23C.12D.1【例6】(2022·江西·丰城九中高二期末(理))已知函数f x =f 2 3x 2−x ,x >0g x ,x <0图像关于原点对称，则f (x )在x=-1处的切线方程为( )A.3x-y+2=0B.3x-y-2=0C.3x+y+4=0D.3x+y-4=0【题型专练】1.【2018年新课标1卷理科】设函数f x =x3+a-1x2+ax．若f x 为奇函数，则曲线y=f x 在点0，0处的切线方程为( )A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.【2021年甲卷理科】曲线y=2x-1x+2在点-1,-3处的切线方程为__________．3.【2019年新课标1卷理科】曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为___________．4.【2018年新课标2卷理科】曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________．5.【2018年新课标3卷理科】曲线y=ax+1e x在点0，1处的切线的斜率为-2，则a=________．题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为x0,y0)【例1】【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，_____ _______．【例2】(2022·四川·广安二中二模(文))函数f x =x2e x过点0,0的切线方程为( )A.y=0B.ex+y=0C.y=0或x+ey=0D.y=0或ex+y=0【例3】(2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习(文))若过点12,0的直线与函数f(x)=xe x的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为( )A.e+1B.-12C.1D.12【例4】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)直线y=12x-b与曲线y=-12x+ln x相切，则b的值为( )A.2B.-2C.-1D.1【题型专练】1.(2022·陕西安康·高三期末(文))曲线y=2x ln x+3过点-12,0的切线方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+4y+1=0D.2x-4y+1=02.(2022·广东茂名·二模)过坐标原点作曲线y=ln x的切线，则切点的纵坐标为( )A.eB.1C.1eD.1e3.过点(0，-1)作曲线f(x)=x ln x的切线，则切线方程为()A.x+y+1=0B.x-y-1=0C.x+2y+2=0D.2x-y-1=04.已知f (x )=x 2，则过点P (-1，0)且与曲线y =f (x )相切的直线方程为( )A.y =0B.4x +y +4=0C.y =0或4x +y +4=0D.y =0或4x -y +4=0题型四：已知切线求参数问题【例1】(2022·湖南·模拟预测)已知P 是曲线C :y =ln x +x 2+3-a x 上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若π3≤θ<π2，则实数a 的取值范围是( )A.23,0B.22,0C.-∞,23D.-∞,22【例2】(2022·广东·石门高级中学高二阶段练习)若直线y =kx +1-ln2是曲线y =ln x +2的切线，则k =________．【例3】(2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习(文))已知曲线y =ae x +x ln x 在点1,ae 处的切线方程为y =2x +b ，则b =_____【例4】(2022·江苏苏州·模拟预测)已知奇函数f x =x 2-2x ax +b a ≠0 在点a ,f a 处的切线方程为y =f a ，则b =( )A.-1或1B.-233或233C.-2或2D.-433或433【题型专练】1.(2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末)已知曲线f (x )=(x +a )e x 在点(-1,f (-1))处的切线与直线2x +y -1=0垂直，则实数a 的值为_________．2.(2022·云南昆明·模拟预测(文))若函数f x =a x +ln x 的图象在x =4处的切线方程为y =x +b ，则( )A.a =3，b =2+ln4B.a =3，b =-2+ln4C.a =32，b =-1+ln4D.a =32，b =1+ln43.(2022·河南·方城第一高级中学模拟预测(理))已知直线l 的斜率为2，l 与曲线C 1：y =x 1+ln x 和圆C 2：x 2+y 2-6x +n =0均相切，则n =( )A.-4B.-1C.1D.4题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围)【例1】(2022·河南洛阳·三模(文))若过点P 1,0 作曲线y =x 3的切线，则这样的切线共有( )A.0条B.1条C.2条D.3条【例2】(2022·全国·高三专题练习)若过点(a ,b )可以作曲线y =ln x 的两条切线，则( )A.a <ln bB.b <ln aC.ln b <aD.ln a <b【例3】【2021年新高考1卷】若过点a ,b 可以作曲线y =e x 的两条切线，则( )A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a【例4】(2022·河南洛阳·三模(理))若过点P 1,t 可作出曲线y =x 3的三条切线，则实数t 的取值范围是( )A.-∞,1B.0,+∞C.0,1D.0,1【例5】(2022·河北·高三阶段练习)若过点P (1,m )可以作三条直线与曲线C :y =xe x相切，则m 的取值范围为( )A.-∞,3e 2B.0,1eC.(-∞,0)D.1e ,3e 2【例6】(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末)过直线y =x -1上一点P 可以作曲线f x =x -ln x 的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为( )A.0<t <1B.1<t <eC.0<t <eD.1e<t <1【题型专练】1.(2022·内蒙古呼和浩特·二模(理))若过点P -1,m 可以作三条直线与曲线C ：y =xe x 相切，则m 的取值范围是( )A.-3e 2,+∞ B.-1e,0 C.-1e ,-1e2 D.-3e2,-1e 2.(2022·广东深圳·二模)已知a >0，若过点(a ,b )可以作曲线y =x 3的三条切线，则( )A.b <0B.0<b <a 3C.b >a 3D.b b -a 3 =03.(2022·安徽·安庆市第二中学高二期末)若过点a ,b a >0 可以作曲线y =xe x 的三条切线，则()A.0<a <be bB.-ae a <b <0C.0<ae 2<b +4D.-a +4 <be 2<04.(2022·山东枣庄·高二期末)已知函数f x =x +1 e x ，过点M (1，t )可作3条与曲线y =f x 相切的直线，则实数t 的取值范围是( )A.-4e 2,0B.-4e 2,2eC.-6e 3,2e D.-6e 3,05.(2022·山东潍坊·三模)过点P 1,m m ∈R 有n 条直线与函数f x =xe x 的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为( )A.-5e 2<m <e B.-5e 2<m <0 C.-1e<m <0 D.m <e题型六：公切线问题【例1】(2023届贵州省遵义市新高考协作体）高三上学期入学质量监测数学(理)试题)若直线y =kx +b 是曲线y =e x +1的切线，也是y =e x +2的切线，则k =( )A.ln2B.-ln2C.2D.-2【例2】(2022·全国·高三专题练习)若函数f x =ln x 与函数g (x )=x 2+x +a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是( )A.ln12e,+∞ B.-1,+∞C.1,+∞D.ln2,+∞【例3】(2022·河北石家庄·高二期末)若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值可能是( )A.1.2B.4C.5.6D.2e【例4】(2022·全国·高三专题练习)已知曲线C 1:f x =e x +a 和曲线C 2:g x =ln (x +b )+a 2a ,b ∈R ，若存在斜率为1的直线与C 1，C 2同时相切，则b 的取值范围是( )A.-94,+∞B.0,+∞C.-∞,1D.-∞,94【例5】(2022·江苏·南京外国语学校模拟预测)若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为( )A.0,2eB.0,eC.2e ,+∞D.e ,2e【例6】(2022·重庆市育才中学高三阶段练习)若直线l :y =kx +b (k >1)为曲线f x =e x -1与曲线g x =e ln x的公切线，则l 的纵截距b =( )A.0B.1C.eD.-e【例7】(2022·河南·南阳中学高三阶段练习(理))若直线y =k 1x +1 -1与曲线y =e x 相切，直线y =k 2x +1 -1与曲线y =ln x 相切，则k 1k 2的值为( )A.12B.1C.eD.e 2【题型专练】1.已知函数f x =x ln x ，g x =ax 2-x ．若经过点A 1,0 存在一条直线l 与曲线y =f x 和y =g x 都相切，则a =( )A.-1B.1C.2D.32.【2020年新课标3卷理科】若直线l 与曲线y =x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1D.y =12x +123.(2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习)已知函数f x =a ln x ，g x =be x ，若直线y =kx k >0 与函数f x ，g x 的图象都相切，则a +1b 的最小值为( )A.2B.2eC.e 2D.e4.(2022·全国·高三专题练习)若两曲线y =ln x -1与y =ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是( )A.0,2eB.12e -3,+∞C.0,12e -3 D.2e ,+∞5.(2022·全国·高三专题练习)若仅存在一条直线与函数f (x )=a ln x (a >0)和g (x )=x 2的图象均相切，则实数a =( )A.eB.eC.2eD.2e6.若曲线y =ln x 与曲线：y =x 2−k 有公切线，则实数k 的最大值为( )A.78+12ln2 B.78-12ln2 C.12+12ln2 D.12+12ln2题型七：切线平行、垂直、重合问题【例1】(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x +ax 存在与直线2x -y =0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,2] B.-∞,2-1e ∪2-1e ,2C.2,+∞D.0,+∞【例2】(2022·安徽·合肥一中模拟预测(文))对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y=xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=( )A.-34B.-14C.-4D.14【例3】(2022·全国·高三专题练习)若直线x =a 与两曲线y =e x ,y =ln x 分别交于A ,B 两点，且曲线y =e x 在点A 处的切线为m ，曲线y =ln x 在点B 处的切线为n ，则下列结论：①∃a ∈0,+∞ ，使得m ⎳n ；②当m ⎳n 时，AB 取得最小值；③AB 的最小值为2；④AB 最小值小于52．其中正确的个数是( )A.1 B.2C.3D.4【题型专练】1.(2022·山西太原·二模(理))已知函数f x =a sin x +b cos x +cx 图象上存在两条互相垂直的切线，且a 2+b 2=1，则a +b +c 的最大值为( )A.23B.22C.3D.22.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x 2+2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<0)处的切线互相垂直，则x 2-x 1的最小值为( )A.12B.1C.32D.23.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x 2+x +2a (x <0)-1x(x >0)的图象上存在不同的两点A ,B ，使得曲线y =f (x )在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是( )A.-∞,-18B.-1,18C.(1,+∞)D.(-∞,1)∪18,+∞题型八：与切线相关的最值问题【例1】(2022·全国·高三专题练习)若点P 是曲线y =32x 2-2ln x 上任意一点，则点P 到直线y =x -3的距离的最小值为( )A.724B.332C.2D.5【例2】(2022·山东省淄博第一中学高三开学考试)动直线l 分别与直线y =2x -1，曲线y =32x 2-ln x 相交于A ,B 两点，则AB 的最小值为( )A.510B.55C.1D.5【例3】(2022·河南·许昌高中高三开学考试(理))已知函数y =e 2x +1的图象与函数y =ln x +1 +12的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为( )A.2ln22B.2ln24C.24+ln22D.24+ln2【例4】(2022·山东聊城·二模)实数x 1，x 2，y 1，y 2满足：x 21-ln x 1-y 1=0，x 2-y 2-4=0，则x 1-x 2 2+y 1-y 22的最小值为( )A.0B.22C.42D.8【题型专练】1.(2022·山西·高二期末)已知点P 是曲线y =x 2-3ln x 上一点，若点P 到直线2x +2y +3=0的距离最小，则点P 的坐标为___________.2.(2022·江苏·高三专题练习)已知a ，b 为正实数，直线y =x -a 与曲线y =ln (x +b )相切，则a 22-b的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,1)C.0,12D.[1，+∞)3.(2022·全国·高三专题练习)曲线y =e 2x 上的点到直线2x -y -4=0的最短距离是( )A.5B.3C.2D.14.(2022·河北衡水·高三阶段练习)已知函数f(x)=ln x x-2x2在x=1处的切线为l，第一象限内的点P(a,b)在切线l上，则1a+1+1b+1的最小值为( )A.2+324 B.3+424 C.4+235 D.3+245.(2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测(文))已知直线y=kx+b是曲线y=x+1的切线，则k2+b2 -2b的最小值为( )A.-12B.0C.54D.3。

专题突破卷03 导数中的公切线问题题型一 求在曲线上一点处的切线方程1．已知函数()[]()()23,0,2,22,2,,x x x f x f x x ¥ì-Îï=í-Î+ïî则()f x 在点()()5,5f 处的切线方程为（ ）A ．4280x y --=B ．4120x y +-=C ．4120x y --=D ．4220x y +-=2．若曲线e x y a =+在0x =处的切线也是曲线ln y x =的切线，则=a （ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．e3．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(3)f x f x -=-，当[0,1]Î时，2()f x x =，若6()log |1|g x x =-，下列命题：①()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象在72x =处的切线方程为44170x y +-=；③函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为12；④(2022)(2023)(2024)(2025)2f f f f +++=．其中正确命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1M 为抛物线E ：()220x py p =>上一点，若抛物线E 在点M 处的切线恰好与圆C ：()()2220x y b b +-=<相切，则b =（ ）A ．B ．2-C ．3-D ．4-5．若函数()3221f x x x =++，则()f x 在点()1,2P -处的切线方程为（ ）A ．10x y +-=B ．30x y ++=C ．250x y -+=D ．230x y +-=6．已知函数2()e x f x x =-，则下列结论中错误的是（ ）A ．e 1((0))ef f -=B ．()f x 为减函数C ．()2log 3(2)f f <D ．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(2e)1y x =--7．已知曲线211ln 22y x x =++在点()1,1处的切线与抛物线2x ay =也相切，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．0或18．已知曲线1:()sin()c f x A x w j =+与2π:()cos()0,0,||2c g x A x A w j w j æö=+>><ç÷èø，下面结论不正确的是（ ）A ．12,c c 有公切线B ．12,c c 在区间[,]a b 上均达到一个极大值点和极小值点，则3π2a b w-³C ．不等式()()f x g x >在π45π4,44j j w w ++æöç÷èø一定成立D ．记点π4,4P m j w -æöç÷èø处12,c c 9．设A ，B ，C ，D 为抛物线24x y =上不同的四点，A ，D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设点D 到直线AB 和直线AC 的距离分别为1d ，2d ，已知12d d +=sin BAC Ð=（ ）A ．12B C ．1D 10．若过点(),a b 可以作曲线ln 1y x =+的两条切线，则（ ）A ．ln b a<B ．ln 1b a >+C ．0a <D ．e ab >11．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()32f x x x =+，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为（ ）A ．52y x =--B ．58y x =--C ．52y x =+D ．58y x =+12．曲线()e 3xf x x =-在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．1313．曲线ln 2y x =在点1,02æöç÷èø处的切线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．220x y -+=D ．220x y --=14．已知二次函数()y ax x b =-（0b ¹且1b ¹）的图象与曲线ln y x =交于点P ，与x 轴交于点A （异于点O ），若曲线ln y x =在点P 处的切线为l ，且l 与AP 垂直，则a 的值为（ ）A ．1e-B ．1-C ．D ．2-15．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 ()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为 ()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x L ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（ ）A ．1B ．12C ．23D ．34题型二 求过一点的切线方程16．已知曲线23ln y x x =-的一条切线方程为y x m =-+，则实数m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．217．若过点(),(0)m n m >可以作两条直线与曲线1ln 2y x =相切，则下列选项正确的是（ ）A ．2ln n m <B ．2ln n m >C ．2ln 0m n >>D ．2ln 0m n <<18．若过点(),2a 可以作曲线ln y x =的两条切线，则a 的取值范围为（ ）A ．()2,e -¥B ．(),ln2-¥C ．()20,eD ．()0,ln219．已知点()1,P m 不在函数3()3=-f x x mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与()f x 的图象相切，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1110,,442æöæöç÷ç÷èøèøU B ．1(,0)(,)4-¥+¥U C ．110,,44æöæö+¥ç÷ç÷èøèøU D ．11(,)(,)42-¥È+¥20．已知函数()211ln ,0224ln ,0x x f x x x ìæöæö£ïç÷ç÷=íèøèøï>î，若函数()()g x f x mx =-有4个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．216e m m ìü³íýîþB ．{}2eln 2m m ³C ．2216eln 2e m m ìü<<íýîþD ．2216eln 2e m m m ìü==íýîþ或21．若过点()1,b 可以作曲线()ln 1y x =+的两条切线，则（ ）A ．ln22b <<B ．ln2b >C ．0ln2b <<D ．1b >22．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B ¢都落在边AD 上，记为B ¢；折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB ¢=+uuur uuuu r uuu r ．以点B 为坐标原点建立坐标系，若曲线T 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，等腰梯形1111D C B A 的111111,,A B B C C D 分别与曲线T 切于点P 、Q 、R ，且11,A D 在x 轴上．则梯形1111D C B A 的面积最小值为（ ）A ．6B ．C ．D ．23．若曲线 1e xax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（ ）A ．14B C ．13D 24．过坐标原点作曲线()()2e 22xf x x x =-+的切线，则切线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条25．若曲线()1log a f x x x=+（0a >且1a ¹）有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围为（ ）A ．æççèB ．ö÷÷øC ．(D ．)+¥26．已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ì£ï=í+>ïî，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（ ）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,227．已知抛物线C ：24x y =，过直线l ：24x y +=上的动点P 可作C 的两条切线，记切点为,A B ，则直线AB （ ）A ．斜率为2B ．斜率为2±C ．恒过点()0,2-D ．恒过点()1,2--28．已知点(),P x y 是曲线2y x = ）A B C D 29．设点P (异于原点)在曲线()4:0C y ax a =¹上，已知过P 的直线l 垂直于曲线C 过点P 的切线，若直线l 的纵截距的取值范围是34,éö+¥÷êëø，则=a （ ）A ．2B ．1C ．1-D ．1±30．已知(,)P x y 为函数12e 24x y x x -=+-（ ）A B C ．1D )e 5+题型三 已知切线求参数问题31．函数()e x f kx b x =--恰好有一零点0x ，且0k b >>，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,0)-¥B ．(0,1)C ．(,1)-¥D ．(1,)+¥32．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为4，C 的一条渐近线与曲线sin y x =在3π4x =处的切线垂直，M ，N 为C 上不同两点，且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则2211OMON+=（ ）A ．14B ．4C ．12D ．233．已知直线y kx b =+恒在曲线()ln 2y x =+的上方，则bk的取值范围是（ ）A ．()1,+¥B ．3,4æö+¥ç÷èøC ．()0,¥+D ．4,5æö+¥ç÷èø34．已知 0m > ，0n >，直线 2e y x m =+ 与曲线 2ln 4y x n =-+ 相切，则 11m n+ 的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．135．贝塞尔曲线（Beziercurve ）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数()f x 的图象是可由A ，B ，C ，D 四点确定的贝塞尔曲线，其中A ，D 在()f x 的图象上，()f x 在点A ，D 处的切线分别过点B ，C .若()0,0A ，()1,1B --，()2,2C ，()1,0D ，则()f x =（ ）A ．3254x x x --B ．333x x -C ．3234x x x-+D ．3232x x x--36．已知函数()1e xf x ax =++，曲线()y f x =在ln3x =处的切线与直线2ln50x y -+=平行，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．12C ．1-D ．32-37．若直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k =（ ）A ．21e B ．22e C ．1eD ．2e38．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．雪飞天的助滑道可以看成一条线段PQ 和一段圆弧 QM组成，如图所示．在适当的坐标系下圆弧 QM所在圆C 的方程为()()22103128x y ++-=．若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45°且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，则该抛物线的方程为（ ）A ．()244x y =-+B ．2132y x =--C ．()2321x y =--D ．()2144y x =-+39．已知函数2()ln f x x m x =+的图象在点(1,1)P 处的切线经过点(0,1)Q ，则实数m 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．240．函数e x m y n +=-的图象与直线e y x =相切，则以下错误的是（ ）A ．若1m =，则e n =B ．若1n =，则1em =C ．en m =+D ．e n m=41．已知曲线e x y x =，过点()3,0作该曲线的两条切线，切点分别为()()1122,,,x y x y ，则12x x +=（ ）A ．3-B ．CD ．342．已知()ln f x x x =+，曲线()y f x =在点Q 处的切线l 与直线2140x y --=平行，则直线l 的方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y ++=D ．210x y +-=43．已知函数()()1e xf x x =+，过点(),0P m 作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),A a f a 和()(),B b f b ，若0a b +=，则实数m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．344．若曲线()ln f x ax x =-与直线222ln20x y -+-=相切，则实数=a （ ）A ．1-B ．1C ．2D ．e45．函数()ln f x x a x =-在区间()1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则a 的取值范围（ ）A ．()1,6B ．()1,3C ．()3,4D ．()4,6题型四 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题46．设曲线()e xf x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()0,2P 处有相同的切线，则+a b c 的值为 .47．已知函数y =x y a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为.48．已知函数()24e 2(0)x f x x x x -=->，函数()2233()g x x ax a a a =-+--ÎR ．若过点()0,0O 的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q ，当P 、Q 两点不重合时，线段PQ 的长为 ．49．已知函数31e ,0,()2,0,xx x f x x x ìæö+>ïç÷=èøíï<î点A ，B 在曲线()y f x =上（A 在第一象限），过A ，B 的切线相互平行，且分别交y 轴于P ，Q 两点，则BQ AP的最小值为 ．50．若两个函数()ln =+f x x a 和()()e ,R xg x b a b =Î存在过点12,2æöç÷èø的公切线，设切点坐标分别为()()()()1122,,,x f x x g x ，则()()()121222x x f x g x éù++=ëû.51．已知函数121y x =的图象与函数2xy a =（0a >且1a ¹）的图象在公共点处有相同的切线，则=a .52．曲线e x y =在()11,A x y 处的切线与曲线ln y x m =+相切于点()22,B x y ，若12x x <且2121111x x y y +=--，则实数m 的值为 .53．已知函数121y x =的图象与函数2(0xy a a =>且1)a ¹的图象在公共点处有相同的切线，则=a，切线方程为 .54．已知函数()1sin 22f x x =.若曲线()y f x =在点()()11,A x f x 处的切线与其在点()()22,B x f x 处的切线相互垂直，则12x x -的一个取值为.55．写出与函数()sin f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = .56．写出与函数()sin2f x x =在0x =处有公共切线的一个函数()g x = ．57．若曲线(),0f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(),0f x y =的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．22222;3sin 4cos ;310;10y x x y x x x xy x y x x =-=+-+=+---=①②③④．58．已知实数x ，y 满足23ln 0x x y --=)R m Î的最小值为 ．59．已知曲线()e xf x x =+在点()()0,0f 处的切线与曲线()ln 1y x a =-+相切，则=a.60．已知曲线()f x =()ln g x a x =（a R Î）相交，且在交点处有相同的切线，则=a .1．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++有且仅有一个公共点，则实数a 的值是（ ）A ．8-B ．0C ．0或8D ．82．直线2y x a =+与曲线()22ln f x bx x x =+-相切于点()()22f ,，则ab 的值为（ ）A ．12B ．2ln2-C ．ln2-D ．2ln2-3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =-+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为A ．33y x =+B ．33y x =-C ．3y x =+D ．3y x =-4．过点()3,0作曲线()e xf x x =的两条切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，则12x x +=（ ）A ．3-B ．C D ．35．已知函数()g x 为奇函数，其图象在点(,())a g a 处的切线方程为210x y -+=，记()g x 的导函数为()g x ¢，则()g a ¢-=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．点P 是曲线()f x =P 到直线20x y -+=的距离的最小值是（ ）A B ．74C D ．347．若函数()ln x f x x=与()e x ab g x -=-在1x =处有相同的切线，则a b +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28．已知函数()f x 在点=1x -处的切线方程为10x y +-=，则()()11f f ¢-+-=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29．若曲线33y x x =++在点()1,5处的切线与ln y x ax =+在点()1,a 处的切线平行，则=a （ ）A ．3B ．2C ．32D ．1210．若过点2(2,)P a a 可作3条直线与曲线3()f x x =相切，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,8)B ．1(,)8+¥C ．1(,0)(0,8-¥U D ．(,0)(8,)-¥È+¥11．对于函数()2e xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 恰有一个极值点B ．()f x 有最小值但没有最大值C ．直线()2y k x =+与曲线()y f x =的公共点个数最多为4D ．经过点()0,0可作曲线()y f x =的两条切线12．已知函数()b f x ax =的导函数为2()3f x x ¢=，则a b += ，过点(1,1)且与曲线()y f x =相切的直线方程为 .13．若函数()21ln 2f x x t x =-的图象在点()()1,1f 处的切线方程为y kx b =+，则k b += ；若方程()0f x =有两个不等的实根，则实数t 的取值范围为 .14．已知函数()21e xx x f x -+=.(1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)求函数()f x 的极值.15．已知()()21ln 12f x ax x x =-+-+，其中0a >．(1)若函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；(2)求()f x 的极值点；(3)若()f x 在[)0,¥+上的最大值是0，求a 的取值范围．16．已知函数()sin x x x j =-，()()ln 1e x f x a x =-+，其中a ÎR .(1)当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)证明：当[)0,x Î+¥时()306x x j +≥；(3)对任意[]0,πx Î，()()22f x x j ¢³+恒成立，求实数a 的取值范围.17．已知函数()2e e x f x ax =+-，R a Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（注：e 2.71828=×××是自然对数的底数）(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)讨论()f x ¢的单调性；(3)若()f x 无极值点，求实数a 的取值范围．18．已知函数()ln f x x x =-．(1)求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求证：()1f x £-；19．已知函数()()1e x f x ax a =-+.(1)若1a =，求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若关于x 的方程()1ef x =-恰有两个不同的实数解，求a 的取值范围.20．已知0a >，函数()()2ln ln e f x x a a x x =-+-，其中e 是自然对数的底数.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.(2)已知R t Î，2()(2)ln g x tx t x x =+--时，讨论函数()g x 的单调性.(3)求证：函数()f x 存在极值点，并求极值点0x 的最小值.。

第5讲导数切线方程11类【原卷版】【题型一】求切线基础型：给切点求切线【典例分析】已知函数()2sin 1xf x x =+，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线的方程为__________.【变式演练】1.曲线()()1xf x x e x =++在点()0,1处的切线方程为______.2.已知点()1,1P -在曲线2xy x a=+上，则曲线在点P 处的切线方程为_________.3.已知曲线2()ln x f x x a=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．12-D ．4-【题型二】求切线基础型：有切线无切点求切点【典例分析】曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（）A ．()1,0B ．()2,8C ．()1,0和()1,4--D ．()2,8和()1,4--【变式演练】1.已知函数()x x af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（）AB ．2C ．2ln 2D ．ln 22.过曲线cos y x =上一点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的方程为（）A ．2π2032x -=B 2103y +--=C ．2π203x -=D 210y +=3.曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________.【题型三】求切线基础：无切点求参【典例分析】已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的取值是（）A ．-1B ．±1C ．1D ．3±【变式演练】1.若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+，则实数b 的值为___________2.已知曲线3y ax =与直线640x y --=相切，则实数a 的值为__________.3.已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【题型四】无切点多参【典例分析】若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是______.【变式演练】1已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____.2.若曲线()xf x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=__________3.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（）A ．,1a eb ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-【题型五】“过点”型切线【典例分析】过原点作曲线ln y x =的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.【变式演练】1.过点(1,1)--与曲线x y e x =+相切的直线方程为______________.2.过点(0,1)-作曲线ln f x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．3.已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =（）A ．12B ．12eC ．1e D ．21e 【题型六】判断切线条数【典例分析】已知曲线3:3S y x x =-，则过点()2,2P 可向S 引切线，其切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【变式演练】1.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）2.已知函数()=-xa f x x e 存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线x y e =相切，符合情况的切线l （）A ．有3条B ．有2条C ．有1条D ．不存在3.已知函数()3291,f x x ax x a R =+-+∈，当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()02,2x f x --处的切线总是平行时，则由点(),a a 可作曲线()y f x =的切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【题型七】多函数（多曲线）的公切线【典例分析】直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知函数2(),()ln ,f x x g x a x ==，其中0a ≠，若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为（）A ．0a <B ．1a <-C ．02ea <<D ．20a e<<【变式演练】1.函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．122.曲线1()x f x e -=与曲线()ln g x x =有（）条公切线.A ．1B ．2C ．3D ．43.若函数()ln (0)f x x x =>与函数2()g x x a =+有公切线，则实数a 的最小值为（）A ．11ln222--B ．ln 21--C ．12-D ．ln 2-【题型八】切线的应用：距离最值【典例分析】点P 在函数ln y x =的图像上，若满足到直线y x a =+的距离为1的点P 有且仅有1个，则a =（）A1B 1C ．1-D ．1【变式演练】1.点A 在直线y ＝x 上，点B 在曲线ln y x =上，则AB 的最小值为（）A2B ．1C D ．22.已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（）A ．1B C ．2D ．33.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是A ．B ．C ．D ．【题型九】切线的应用：距离公式转化型【典例分析】若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．4【变式演练】1.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．42.设0b <，当224()()a b a b++-取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为___________.3.已知a R ∈，b R ∈______．【题型十】切线的应用：恒成立求参等应用【典例分析】已知a 为实数，则“e x ax >对任意的实数x 恒成立”是“02a <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式演练】1.已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，若()f x mx x ≥+恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[]1,21e --B ．(,21]e -∞-C ．[]1,1e --D ．(,1]e -∞-2.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________.3.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【题型十一】切线的应用：零点等【典例分析】已知函数()f x 满足1()()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是．【变式演练】1.已知函数sin(),2,2()2223sin(),2,2()222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎡⎫+∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-+∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，其中1334x x x x <<<，则44(2)tan x x +=______.2.关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对3.已知函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，若22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，方程()()2f x k x =-有三个不同的根，则k 的取值范围为（）A ．221,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【课后练习】1.已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围为_________.2.已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.3.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（）A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或44.已知直线0x y -=是函数ln ()a xf x x=图像的一条切线，且关于x 的方程(())f f x t =恰有一个实数解，则（）A ．{}ln 2t e ∈B ．[0,ln 2]t e ∈C ．[0,2]t ∈D ．(,0]t ∈-∞5.．函数()ln f x x =在点()()00,P x f x 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.已知过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条，则实数m 的取值范围是______.7.已知函数21()44,()f x x x g x x -=-+=，则()f x 和()g x 的公切线的条数为A ．三条B ．二条C ．一条D ．0条8.若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________．9.已知函数()21f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 2x x -=___________.10.已知ln 0a b -=，1c d -=，求22()()a c b d -+-的最小值________.11.已知方程cos (0)xk k x=>有且仅有两个不同的实数解θ，()ϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A ．cos sin ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos cos θθϕ=D ．sin sin θθϕ=-12.已知11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有2个不同的实根，实数a 取值范围__________________.13.已知函数()3.f x x x =-（1）求曲线()y f x =在点()1,0M 处的切线方程；（2）如果过点()1,b 可作曲线()y f x =的三条切线,求实数b 的取值范围第5讲导数切线方程11类【解析版】【题型一】求切线基础型：给切点求切线【典例分析】已知函数()2sin 1xf x x =+，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线的方程为__________.【答案】20x y -=【解析】【分析】先求导函数，求得在切点处的直线斜率；再根据点斜率求得切线方程．【详解】因为()()()221cos 2sin 1x x xf x x +-'=+，所以()02k f ='=，则所求切线的方程为2y x =.故答案为：20x y -=.【变式演练】1.曲线()()1xf x x e x =++在点()0,1处的切线方程为______.【答案】310x y -+=【分析】利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点()0,1的横坐标代入导函数所得的值就是切线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程.解：由()()1xf x x e x =++，得()'(1)1x x fx e x e =+++，所以在点()0,1处的切线的斜率为()'000(01)13fe e =+++=，所以所求的切线方程为13(0)y x -=-，即310x y -+=，故答案为：310x y -+=，2.已知点()1,1P -在曲线2x y x a=+上，则曲线在点P 处的切线方程为_________.【答案】 32y x =--【分析】将点P 的坐标代入曲线方程，可求得a 的值，然后利用导数的几何意义可求得曲线在点P 处的切线方程.【详解】因为点()1,1P -在曲线2x y x a=+上，111a ∴=-，可得2a =，所以，22x y x =+，对函数求导得()()()222222422x x x x xy x x +-+'==++，则曲线在点P 处的切线斜率为13x k y =-'==-，因此，曲线在点P 处的切线方程为()131y x -=-+，即32y x =--.故答案为：32y x =--.3.已知曲线2()ln x f x x a=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．12-D ．4-【答案】B【分析】求出函数()2ln x f x x a=+的导数'12()x f x x a =+,利用函数f(x)在x=1处的倾斜角为34π得'(1)1f =-,由此可求a 的值.解:函数()2ln x f x x a =+的导数'12()x f x x a =+,函数f(x)在x=1处的倾斜角为34π,∴'(1)1f =-,∴211a+=-,∴1a =-故选B.【题型二】求切线基础型：有切线无切点求切点【典例分析】曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（）A ．()1,0B ．()2,8C ．()1,0和()1,4--D ．()2,8和()1,4--【答案】C 【详解】令()'2314f x x =+=，解得1x =±，()()10,14f f =-=-，故0p 点的坐标为()()1,0,1,4--，故选C.【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.【变式演练】1.已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（）A B ．2C ．2ln 2D ．ln 2【答案】D【分析】先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】()f x 为偶函数，则()()(1)0xxx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D2.过曲线cos y x =上一点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的方程为（）A．2π203x -=B210y +-=C．2π2032x -=D2103y +-+=【答案】A 【分析】求出函数得导函数，根据导数得几何意义即可求得切线得斜率，从而可求得与切线垂直得直线方程.【详解】解：∵cos y x =，∴sin y x '=-，曲线在点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率是π3πsin32x y ='=-=，∴过点P 且与曲线在点P∴所求直线方程为1π23y x ⎫-=-⎪⎭，即2π203x -=．故选：A.3.曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________.【答案】()0,1【分析】由导数的几何意义，求得切点P 处的切线的斜率，得到0cos 1x =，求得02()x k k Z π=∈，分类讨论，即可求解.【详解】由函数sin 21y x x =++，则cos 2y x '=+，设切点P 的坐标为()00,x y ，则斜率00cos 23x x k y x ==+'==，所以0cos 1x =，解得02()x k k Z π=∈，当0k =时，切点为()0,1，此时切线方程为310x y -+=；当0k ≠，切点为(2,41)()k k k Z ππ+∈，不满足题意，综上可得，切点为()0,1.故答案为：()0,1.【题型三】求切线基础：无切点求参【典例分析】已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的取值是（）A ．-1B ．±1C ．1D ．3±【答案】B【分析】求导得到()2'3f x x =，根据垂直关系得到()2'33f a a ==，解得答案.【详解】()3y f x x ==，()2'3f x x =，直线310x y ++=，13k =-，故()2'33f a a ==，解得1a =±.故选：B .【变式演练】1.若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+，则实数b 的值为___________【答案】1ln 2-+【解析】【分析】先设切点为00(,)x y ，对函数求导，根据切线斜率，求出切点坐标，代入切线方程，即可得出结果.【详解】设切点为00(,)x y ，对函数ln y x =求导，得到1y x'=，又曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+，所以切线斜率为0112x =，∴02x =，因此0ln 2y =，即切点为()2,ln 2，代入切线12y x b =+，可得1ln 2b =-+.故答案为：1ln 2-+.2.已知曲线3y ax =与直线640x y --=相切，则实数a 的值为__________.【答案】2【分析】先设出切点坐标(,)m n ，然后由切点是公共点和切点处的导数等于切的斜率列方程组可求得结果.解：设切点为(,)m n ，由3y ax =得'23y ax =，则由题意得，2336640am m n n am ⎧=⎪--=⎨⎪=⎩，解得1,2,2m n a ===，故答案为：23.已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【答案】14【分析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解.【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()302004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为：14.【题型四】无切点多参【典例分析】若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是______.【答案】2-【解析】【分析】求出2ln y a x =的导数，设切线为(,)m n ，由切点处的导数值为切线斜率求出m a =，再由切点坐标可把b 表示为a 的函数，再利用导数可求得b 的最小值．【详解】2ln y a x =的导数为2a y x '=，由于直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，设切点为(),m n ，则22am=，∴m a =，又22ln m b a m +=，∴2ln 2b a a a =-（0a >），()2ln 122ln b a a '=+-=，当1a >时，0b '>，函数b 递增，当01a <<时，0b '<，函数b 递减，∴1a =为极小值点，也为最小值点，∴b 的最小值为2ln122-=-.故答案为：2-．【变式演练】1已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____.【答案】0【分析】由题意()()'2,3f e e fe ==，列方程组可求,a b ，即求+a b .【详解】∵在点()(),e f e 处的切线方程为3y x e =-，()2f e e ∴=，代入()ln f x ax x bx =-得2a b -=①.又()()()''1ln ,23f x a x b f e a b =+-∴=-=②.联立①②解得：1,1a b ==-.0a b ∴+=.故答案为：0.2.若曲线()xf x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=__________【答案】12e +解：将1x =代入y ex =，得切点为()1,e ，∴e me n =+①，又()()1xf x me x '=+，∴()12f me e '==，12m =②.联立①②解得：12m =，2e n =，故11222e e m n ++=+=.故答案为：12e +.3.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（）A ．,1a e b ==-B ．,1a eb ==C ．1,1a eb -==D ．1,1a eb -==-【答案】D【详解】ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【题型五】“过点”型切线【典例分析】过原点作曲线ln y x =的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.【答案】(),1e 1e【分析】设切点坐标为(,)x lnx ；利用导数求切线方程并求切点坐标．解：设切点坐标为(,)x lnx ；1y x '=；故由题意得，1lnx x x=；解得，x e =；故切点坐标为(,1)e ；切线的斜率为1e；故切线方程为1()1y x e e =-+，整理得0x ey -=．故答案为：(,1)e ；1e.【变式演练】1.过点(1,1)--与曲线x y e x =+相切的直线方程为______________.【答案】21y x =+.【详解】设切点坐标为()000,e xx x +，由x y e x =+得e 1x y '=+，∴切线方程为()()0000e 1e x x y x x x =+-++，切线过点()1,1--，∴()()00001e 11e x xx x -=+--++，即00e 0x x =，∴00x =，即所求切线方程为21y x =+.故答案为：21y x =+.2.过点(0,1)-作曲线ln f x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．【答案】【分析】先求出曲线的方程，再根据导数值为切线斜率，求出切点坐标.【详解】由ln f x =（0x >），则2()ln ,0f x x x =>，化简得()2ln ,0f x x x =>，则2()f x x'=，设切点为00(,2ln )x x ，显然(0,1)-不在曲线上，则0002ln 12x x x +=，得0x =，则切点坐标为.故答案为：.3.已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =（）A ．12B ．12eC ．1eD ．21e 【答案】C【分析】设切点为00(,ln )x x ，求出切线方程00ln 1xy x x =+-，即得001ln 10a x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解方程即得a 的值.【详解】设切点为00(,ln )x x ，∴切线方程是000001ln ()ln 1xy x x x y x x x -=-⇒=+-，∴0011ln 10a x a e x ⎧=⎪⇒=⎨⎪-=⎩，故答案为：C 【题型六】判断切线条数【典例分析】已知曲线3:3S y x x =-，则过点()2,2P 可向S 引切线，其切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C 【解析】【分析】设切点为()3,3t t t-，利用导数求出曲线S 在切点()3,3t t t -处的切线方程，再将点P 的坐标代入切线方程，可得出关于t 的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求.【详解】设在曲线S 上的切点为()3,3t t t -，33y x x =-，则233y x '=-，所以，曲线S 在点()3,3t t t-处的切线方程为()()()32333y t t t x t --=--，将点()2,2P 的坐标代入切线方程得32320t t -+=，即()()21220t t t ---=，解得11t =，21t =+31t =.因此，过点()2,2P 可向S 引切线，有三条.故选：C.【变式演练】1.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）【答案】A【详解】设切点为()000,e xx x ，(1)x y x e =+'，000(1)x x x y x e =∴=+⋅'，则切线方程为：()00000=1()x x y x e x e x x -+⋅-，切线过点(,0)A a 代入得：()00000=1()x x x e x e a x -+⋅-2001x a x ∴=+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a ∆=+>⇒>或4a <-.故答案为:A.2.已知函数()=-xa f x x e 存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线x y e =相切，符合情况的切线l （）A ．有3条B ．有2条C ．有1条D ．不存在【答案】D 【解析】试题分析：()1x a e f x a=-'，依题意，()0f x '<在R 上有解.当0a <时，()0f x '<在R 上无解，不符合题意；当0a >时，()0,,ln x af x a e x a a <'符合题意，故0a >.易知曲线()y f x =在0x =处的切线为111y x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.假设该直线与x y e =相切，设切点为()00,x y ，即有0011111xe x a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，消去a 化简得0001x x ex e =-，分别画出,1x x e xe -的图像，观察可知它们交点横坐标01x >，0x e e >，这与111a-<矛盾，故不存在.3.已知函数()3291,f x x ax x a R =+-+∈，当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()02,2x f x --处的切线总是平行时，则由点(),a a 可作曲线()y f x =的切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】C 【解析】分析：由曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行,可得导函数的对称轴，从而求出a 的值，设出切点坐标，可得关于切点横坐标的方程有三个解，从而可得结果.详解：由()3291f x x ax x =+-+，得()2'329f x x ax =+-，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行，()'y f x ∴=关于1x =对称，即133aa -=⇒=-，点(),a a ，即为()3,3--，所以()32391f x x x x =--+，()2'329f x x ax =+-，设切点为()(),t f t 切线的方程为()()3'3y f t x +=+，将点()32,391t t t t --+代入切线方程可得()()3223933693t t t t t t --+=--+，化为322636310t t t ---=，设()32263631g t t t t =---()2'61218g t t t =--令()'0g t >得3t >或1t <-，令()'0g t <得10t -<<，()32263631g t t t t =---在()(),1,3,-∞-+∞上递增，在()1,3-上递减，t ∴在1-处有极大值，在3处有极小值，()110g ∴-=>且()31390g =-<，()32263631g t t t t =---与x 有三个交点，∴方程()0g t =有三个根，即过(),a a 的切线有3条，故答案为3.【题型七】多函数（多曲线）的公切线【典例分析】直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知函数2(),()ln ,f x x g x a x ==，其中0a ≠，若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为（）A ．0a <B ．1a <-C ．02ea <<D ．20a e<<【答案】C 【解析】【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量a 关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出a 的取值范围.【详解】设曲线2()f x x =的切点为：2(,)s s ，2'()()2f x x f x x ⇒==，所以过该切点的切线斜率为'()2f s s =，因此过该切点的切线方程为：222()2y s s x s y sx s -=-⇒=-；设曲线()y g x =的切点为：(,ln )t a t ，'()ln ()a g x a x g x x =⇒=，所以过该切点的切线斜率为'()a g t t=，因此过该切点的切线方程为：ln ()ln a ay a t x t y x a a t t t-=-⇒=-+，则两曲线的公切线应该满足：2224(1ln )ln a s a t t t s a a t⎧=⎪⇒=-⎨⎪-=-+⎩，构造函数2'()4(1ln )(0)()4(12ln )h t t t t h t t t =->⇒=-,当12t e>时，'()0,()h t h t <单调递减，当120t e<<时，'()0,()h t h t >单调递增，所以函数有最大值为：12()2h e e =，当t e >时，()0h t <，当0t e <<，()0h t >，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为02e a <<.故选：C【变式演练】1.函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（）A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】A 【解析】【分析】设两个切点A ()11x y ，和B ()22x y ，，然后求函数的导函数(),()f x g x ''，由()g x 的导函数()g x '分析求解参数2a =，再由()f x 的导函数和公切线分析得出关于m 的方程组，求解即可得出答案.【详解】设公切线,(0)y ax a =>与两个函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+图象的切点分别为A ()11x y ，和B ()22x y ，，由()21()1m f x x x '=++，()2g x x '=，可得()22222222()21g x x ay ax g x x y⎧==⎪=='⎨⎪+=⎩解得2a =，所以有()1211111111111()21()ln 12m f x a x x mx f x x y x y ax x ⎧=+==⎪+⎪⎪⎪=+'=⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩化简得21112ln 10x x x -+-=，令()22ln 1h x x x x =-+-()0x >，则()11304h x x x'+-≥>=恒成立，即得函数()22ln 1h x x x x =-+-()0x >在定义域上为增函数，又因()10h =，则可解得方程21112ln 10x x x -+-=，11x =，则由()21(1)2111mf '=+=+解得4m =.故选：A.2.曲线1()x f x e -=与曲线()ln g x x =有（）条公切线.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】设()010,x x e -是曲线()f x 图像上任意一点，()'1x f x e-=，所以()01'0x fx e -=，所以过点()010,x x e -的切线方程为()00110x x y e e x x ---=-，整理得()001101x x y e x x e --=⋅+-①.令()01'1x g x e x-==，解得011x x e -=，则()101g x x =-，所以曲线()g x 上过点()010,1x e x --的切线方程为：()()001101x x y x e x e ----=-，整理得010x y e x x -=⋅-②.由于切线①②重合，故()01001x x e x --=-，即()010010x x ex --⋅-=③.构造函数()()11x h x x e x -=--，则()'11x h x xe -=-，()()''11x h x x e -=+，故当1x <-时()()'''0,h x h x <递减、当1x >-时()()'''0,h x h x >递增，注意到当0x <时()'0h x <，且()'10h =，所以当1x <时()()'0,h x h x <递减，当1x >时，()()'0,h x h x >递增，而()()()22110,110,220h h h e e-=->=-<=->，根据零点存在性定理可知在区间()()1,1,1,2-各存在()h x 的一个零点，也即()h x 有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线()f x 和曲线()g x 有两条公切线.故选：B 3.若函数()ln (0)f x x x =>与函数2()g x x a =+有公切线，则实数a 的最小值为（）A ．11ln 222--B ．ln 21--C ．12-D ．ln 2-【答案】A 【解析】【分析】求出()f x 导数，设出切点，求出切线，将其与2()g x x a =+联立，通过判别式为零，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的最小值.【详解】解：'1()f x x=，设公切线与曲线()ln f x x =相切的切点为(),ln ,0m m m >，则公共切线为()1ln y x m m m=-+，即ln 0x my m m m --+=，其与2y x a =+相切，联立消去y 得：2ln 0mx x am m m m -++-=，则()14ln 0m am m m m ∆=-+-=有解，即211ln 4a m m=-+有解，令()211ln 4h m m m=-+，0m >，则()2'33112122m h m m m m -=-+=，令232102m m -=，得22m =，则()211ln 4h m m m =-+在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，则()2min11ln 224211ln 222h m h ⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝--⎭，则11ln 222a --≥，所以实数a 的最小值为11ln 222--.故选：A.【题型八】切线的应用：距离最值【典例分析】点P 在函数ln y x =的图像上，若满足到直线y x a =+的距离为1的点P 有且仅有1个，则a =（）A1+B1C．1-D．1【答案】B 【分析】先求导，设直线y x m =+与ln y x =相切于点00(,)x y ，利用导数几何意义和切点在曲线、直线上求得切点()1,0，再利用()1,0到直线y x a =+的距离为1，结合图象解得参数即可.【详解】函数ln y x =的导函数为1y x=，设直线y x m =+与ln y x =相切于点00(,)x y ，则00000ln 11y x y x m x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得切点为()1,0，由题可知()1,0到直线y x a =+的距离为1，1=，解得1a =，结合图象可知，1a =-.故选：B.【变式演练】1.点A 在直线y ＝x 上，点B 在曲线ln y x =上，则AB 的最小值为（）A．2B ．1CD ．2【答案】A设平行于直线y ＝x 的直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =相切，将题意转化为两平行线间的距离，由导数的几何意义可得b 的值，进而可得结果.【详解】设平行于直线y ＝x 的直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =相切，则两平行线间的距离即为AB 的最小值．设直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =的切点为(,ln )m m ，则由切点还在直线y ＝x ＋b 上可得ln m m b =+，由切线斜率等于切点的导数值可得11m=，联立解得m ＝1，b ＝－1，由平行线间的距离公式可得AB=故选：A.2.已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（）A ．1BC ．2D ．3【答案】B 【分析】根据函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，将问题转化为求函数()x f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果.【详解】因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，所以||MN 的最小值为函数()x f x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为函数()x f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，因为()x f x e '=，所以函数()x f x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离d ==所以||MN 故选：B.3.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是A ．B ．C ．D ．【答案】A试题分析：对y=x 2求导可求与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x 2相切的切线方程，然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d ．解：（法一）对y=x 2求导可得y′=2x ，令y′=2x=1可得x=∴与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x 2相切的切点（，），切线方程为y-=x-即x-y-=0由两平行线的距离公司可得所求的最小距离d=，故选A.【题型九】切线的应用：距离公式转化型【典例分析】若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】原题等价于函数x y e =上的点()11,x A x e 与函数ln y x =上的点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，结合两个函数关于y x =对称，将其转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可.【详解】由题意可转化为点()11,x A x e 与点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，点A 在函数x y e =上，点B 在函数ln y x =上，这两个函数关于y x =对称，所以转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，此时11y x '==，∴ln y x =斜率为1的切线方程为1y x =-，它与y x =的距离为2.故原式的最小值为2.故选：B .【变式演练】1.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】原题等价于函数x y e =上的点()11,x A x e 与函数ln y x =上的点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，结合两个函数关于y x =对称，将其转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可.【详解】由题意可转化为点()11,x A x e 与点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，点A 在函数x y e =上，点B 在函数ln y x =上，这两个函数关于y x =对称，所以转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，此时11y x'==，∴ln y x =斜率为1的切线方程为1y x =-，它与y x =的距离为2.故原式的最小值为2.故选：B .2.设0b <，当224()()a b a b++-取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为___________.【答案】10【分析】224()(a b a b ++-表示点(,)a a 与点4(,b b -距离的平方，而点(,)a a 是直线y x =上任一点，点4(,b b-（0b <）是反比例函数4y x=-在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得0,2a b ==-，从而得8c =，再利用绝对值三角不等式可求出函数()f x 的最小值【详解】解：224()()a b a b++-表示点(,)A a a 与点4(,B b b -距离的平方，而点A 是直线y x =上任一点，点B 是反比例函数4y x =-在第四象限上的点，当B 是斜率为1的直线与4y x=-相切的切点时，点B 到直线y x =的距离即为||AB 的最小值，由2244,|1,2(0),(2,2)x b y y b b B x b ='='==∴=>-，min ||8AB c ∴===，所以()|||||2||8|(2)(8)10f x x b x c x x x x =-+-=++-≥+--=，当且仅当28x -≤≤取等号，所以函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为10，故答案为：103.已知a R ∈，b R ∈______．【分析】利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答.【详解】(),1a a -到点(),bb e 的距离，而点(),1a a -的轨迹是直线1y x =-，点(),b b e 的轨迹是曲线()xf x e =，则所求最小值可转化为曲线()x f x e =上的点到直线1y x =-距离的最小值，而曲线()xf x e =在直线1y x =-上方，平移直线1y x =-使其与曲线()xf x e =相切，则切点到直线1y x =-距离即为所求，设切点00(,)xx e ，()x f x e '=，由()001x f x e '==得00x =，切点为(0,1)则(0,1)到直线1y x =-距离d ==.【题型十】切线的应用：恒成立求参等应用【典例分析】已知a 为实数，则“e x ax >对任意的实数x 恒成立”是“02a <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】先根据导数的几何意义求出直线y kx =与曲线x y e =相切时k 的值，再数形结合将e x ax >对任意的实数x 恒成立转化为0a e ≤<，最后判断充要关系即可得解.【详解】设直线y kx =与曲线x y e =相切，且切点为()00,xx e ，则000xx k e e kx ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得01x =，所以切点为()1,e ，k e =，所以切线方程为y ex =.数形结合可知，e x ax >对任意的实数x 恒成立等价于0a e ≤<.而由0a e ≤<不能得到02a <<，故充分性不成立；反之，由02a <<可得到0a e ≤<，故必要性成立.故选：B .【变式演练】1.已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，若()f x mx x ≥+恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[]1,21e --B ．(,21]e -∞-C ．[]1,1e --D ．(,1]e -∞-【答案】A 【分析】由题意求得a ，代入函数解析式，把问题转化为2x e mx x + 恒成立，对x 分类讨论，分离参数m ，再由导数求最值得答案．【详解】解：因为()x f x a =，所以()ln x f x a a '=，又函数()f x 的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，所以0(0)ln 2f a a '==，解得2e a =，所以2()e x f x =，因为()f x mx x ≥+恒成立，所以2e x mx x ≥+恒成立．当0x =时，0e 0≥成立．当0x ≠时，令2e ()1x g x x =-，则22e (21)()x x g x x -'=．当1(,0)0,2x ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在(,0)-∞和10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x >时，e 1xm x ≤-恒成立，所以2mine 112e 12x m g x ⎛⎫⎛⎫≤-==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当0x <时，2e 1xm x ≥-恒成立，而2e ()11xg x x=-<-，所以1m ≥-．综上，12e 1m ≤≤-一，所以m 的取值范围为[1,2e 1]--．故选：A 2.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________.【答案】0【分析】利用导数的几何意义分别求解出ln y x =在点()11,P x y 处的切线方程以及x y e =在点()22,Q x y 处的切线方程，根据两切线重合，求解出12,x x 之间的关系式，由此可化简计算出12111x x x ++-的值.【详解】ln y x =的导数为1y x'=，可得曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线方程为()1111ln y x x x x -=-，x y e =的导数为e x y '=，可得曲线x y e =在点()22,Q x y 处的切线的方程为()222x xy e e x x -=-，由两条切线重合的条件，可得211x e x =，且()212ln 11xx e x -=-，则21ln x x =-，即有()1111ln 11ln x x x -=+，可得1111ln 1x x x +=-，则121111ln ln 01x x x x x ++=-=-.故答案为:03.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：①直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11ae-=-+，得2a e =；②直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am m a m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【题型十一】切线的应用：零点等【典例分析】已知函数()f x 满足1()(f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是．【答案】ln 31[,)3e 【解析】试题分析：由题意知，ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，∵在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，∴函数ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩与y ax =在区间1[,3]3内有三个不同的交点，合图象可知，当直线y ax =与()ln f x x =相切时，ln 1x x x =，解得：x e =；此时1a e =；当直线y ax =过点(3,ln 3)时，ln 33a =；故ln 313a e≤<.【变式演练】1.已知函数sin(),2,2()2223sin(2,2()222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎡⎫+∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-+∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，其中1334x x x x <<<，则44(2)tan x x +=______.【答案】1-函数的图象如下图所示：直线(2)(0)y m x m =+>过定点(2,0)-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos f x x =-，()sin f x x '=，由图象可知切点坐标为()44,cos x x -，切线方程为：()444cos sin y x x x x +=-，又因为切线过点(2,0)-，则有()444cos sin 2x x x =--，即44(2)tan 1.x x +=-2.关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是A ．tan αα>B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对【答案】C 【分析】由题，先做出图像，然后找到最大根α，利用斜率公式可得α与tan α的大小关系.【详解】由题意作出y kx =与sin y x =在(3,3)ππ-的图象，如图所示：∵方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，最大的根是α.∴α必是y kx =与sin y x =在(2,3)ππ内相切时切点的横坐标设切点为()00,x y ，052,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0x α=，斜率0cos k x =则000sin cos cos tan y x x ααααα=∴=⋅∴=故选C.3.已知函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，若22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，方程()()2f x k x =-有三个不同的根，则k 的取值范围为（）A ．221,e e ⎛⎤ ⎝⎦B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由()()11f x f x +=-，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，由此可画出函数图像，而直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线，当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案【详解】因为()()11f x f x +=-，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称.当21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，则当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，()f x 的图像如图所示，直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线.当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点.当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，函数()()()2ln 2f x f x x =-=-，()12x f x '=-，设切点为()()00,ln 2x x -，切线的斜率012k x =-，则切线方程为()()0001ln 22y x x x x --=--，把点()2,0代入得02x e =-，所以1k e =-；当直线过点()22,2e -时，22k e =-，所以k 的取值范围为212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，故选：C.【课后练习】1.已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围。

专题11:用导数求切线高考真题赏析(解析版）一、单选题1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，试卷第2页，总8页由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 3．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.4．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷） 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】DD试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．5．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 6．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解.试卷第4页，总8页当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．二、填空题7．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ） 曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】2y x = 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 8．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3- 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解：()y 1xxae ax e =++'则()f 012a =+=-'所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题． 9．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则． 【答案】 【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同． 10．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ． 【答案】8 【解析】试卷第6页，总8页试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．11．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 【答案】30x y -=. 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．12．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. ）【答案】2y x = 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.13．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷） 曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+ 【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．14．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()ex f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________. 【答案】2y x = 【解析】试卷第8页，总8页试题分析：当0x >时，0x -<，则1()e x f x x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()e x f x f x x -=-=+，所以1()e 1x f x -='+，则(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．15．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1 【解析】 试题分析：()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)(21)1a a =+-⇒=.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)a =+ •(21)1a -⇒=.。

导数求切线方程专题训练高二数学A层学案导数求切线方程专题训练一、典型例题一）已知曲线方程和切点坐标，求切线方程例1：求曲线y=4x³在点P（16，8）处的切线方程。

解：首先求得该点处的导数：y'=12x²。

将点P的横坐标代入导数中，得到斜率k=12×16²=3072.再将点P的坐标代入直线方程y=kx+b中，得到b=8-3072×16=-.所以该点处的切线方程为y=3072x-.二）已知曲线方程和切点斜率，求切线方程例2：已知曲线方程y=x，求与直线y=-2x-4垂直的切线方程。

解：由于所求切线垂直于直线y=-2x-4，因此其斜率为直线的倒数，即k=1/2.又因为所求切线过曲线y=x上的点，可以得到该点处的导数y'=1.将斜率k和点的坐标代入直线方程y=kx+b中，得到b=-1/2.所以所求切线方程为y=1/2x-1/2.三）已知曲线方程和曲线外一点，求切线方程例3：过原点做曲线y=ex的切线，求切线斜率和切线方程。

解：首先求得该点处的导数：y'=ex。

将原点的坐标代入导数中，得到斜率k=1.将斜率和原点的坐标代入直线方程y=kx+b中，得到b=0.所以所求切线方程为y=x。

四）已知曲线方程和曲线上一点，求过该点的切线方程例4：求曲线y=3x-x³过点A（2，-2）的切线方程。

解：首先求得该点处的导数：y'=3-3x²。

将点A的横坐标代入导数中，得到斜率k=-15.将斜率和点A的坐标代入直线方程y=kx+b中，得到b=-28.所以所求切线方程为y=-15x-28.二、当堂检测1.求过曲线y=-x³+x上过点（1，0）的切线方程。

2.求经过原点且与曲线y=x²-1相切的曲线方程。

3.求过曲线y=2x²+3x-1上一点（-1，0）的切线方程。

4.若直线e^(2x)+y-e^(2-1)=0与曲线y=1-aex相切，求a的值。

最新最全高考数学导数切线真题总结（1）基础题1. （2021全国甲13）曲线212x y x -=+在点(1,3)--处的切线方程为________. 2. （2020全国一6）函数43()2f x x x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+3. （2019全国一13）曲线23()x x y x e e =+在点(0,0)处的切线方程为________.4. （2017新课标一14）曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为________. 5. （2012新课标13）曲线(3ln 1)y x x =+在点)1,1(处的切线方程为________.6. （2019全国二10）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为（ ）A ．10x y π---=B ．2210x y π---=C ．2210x y π+-+=D ．10x y π+-+=7. （2014大纲7）曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率等于（A ）2e （B ）e （C ）2 （D ）18. （2018全国一6）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =9. （2014新课标II8）设曲线在点处的切线方程为，则（A ） （B ） （C ）（D ） 10. （2015新课标一14）已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1,(1))f 处的切线过点()2,7，则a =________11. （2014江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +=________．12. （2007海南10）曲线x y e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） ln(1)y ax x =-+(0,0)2y x =a =0123A ．232eB ．22eC ．2eD ．212e 13. （2005重庆12）曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴，直线2x =所围成的三角形面积为________．14. （2014江西11）若曲线ln y x x =在点P 处的切线平行于直线210x y -+=，则点P的坐标是________．15. （2008辽宁6）设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围是（ ）A ．1[1,]2-- B ．[﹣1，0] C ．[0，1] D ．1[,1]216. （2009福建15）若曲线()2ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．17. （2010江苏8）函数2y x =（x ＞0）的图象在点（k a ，2k a ）处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，k 为正整数，116a =，则135a a a ++= ．18. （2007湖北13）已知函数()y f x =的图像在点()()1,1M f 处的切线方程是12,2y x =+则()()11f f '+=________． 19. （2009江西5）设函数2()(),f x g x x =+曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21,y x =+则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12- 20. （2020全国甲15）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_____．21. （2008江苏8）设直线12y x b =+是曲线ln y x =()0x >的一条切线，则实数b 的值为 ．22. （2019全国三7）已知曲线ln x y ae x x ==+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==- 23. （2008天津20,1）已知函数()()0a f x x b x x=++≠，其中,a b R ∈若曲线()y f x =在点 ()()2,2P f 处的切线方程为31y x =+，求函数()f x 的解析式：________．24. （2010海南7）若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程是10,x y -+=则a =________b =________． 、（2）中档题1. （2010江西4）若()42f x ax bx c =++满足()12,f '=则()1f '-=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．02. （2009江西5）设函数()()2,f x g x x =+ 曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21,y x =+则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12- 3. （2009北京11）设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为1，则该曲线在()()1,1f --处的切线的斜率为 ．4. （2016新课标III15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln 3,f x x x =-+则曲线()y f x =在点()1,3-处的切线方程是 ．5. （2016新课标III 文16）已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，()1,x f x e x --=-则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．6. （2010山东10）观察()()()2432,4,cos sin ,x x x x x x '''===-由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()(),f x f x -=记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ）A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -7. （2007福建11）已知对任意实数,x 有()()()(),,f x f x g x g x -=--=且0x >时，()()0,0,f x g x ''>>则0x <时，（ ） A ．()()0,0f x g x ''>> B ．()()0,0f x g x ''><C ．()()0,0f x g x ''<>D ．()()0,0f x g x ''<<8. （2007江西11）设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ）A ．15-B ．0C ．15D ．59. （2013北京18）已知函数()2sin cos f x x x x x =++．（I ）若曲线()y f x =在点()(),a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值；10. （2009安徽9）已知函数()f x 在R 上满足()()212131,f x f x x x +=--++则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是（ ）A ．20x y --=B ．0x y -=C ．320x y +-=D ．320x y --=11. （2011四川10）在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为124,2x x =-=的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）A ．(2,9)--B ．(0,5)-C ．(2,9)-D ．(1,6)12. （2010辽宁12）已知点P 在曲线4+1x y e =上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 13. （2005湖北11）在函数38y x x =-的图像上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 14. （2005北京12）过原点作曲线x y e =的切线，则切点坐标为________切线的斜率为___．15. （2019江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A处的切线经过点(,1)e --（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是________．16. （2021新高考7）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则（ ）A ．b e a <B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0ab e << 17. （2015新课标II16）已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a =________．18. （2020全国三10）若直线l 与曲线y =2215x y +=都相切，则l 的方程为（ ） A ．21y x =+ B ．122y x =+ C ．112y x =+ D ．1122y x =+ 19. （2009江西12）若存在过点()1,0的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ）A ．1- 或2564-B ．1-或214C ．74-或2564-D ．74-或7 20. （2016新课标II16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b =________．21. （2016四川10）设直线12,l l 分别是函数ln ,01,()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图像上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 2,l 分别与y 轴相交于,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是（A ）()0,1 （B ）()0,2（C ）()0,+∞ （D ）()1,+∞ 22. （2011江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()()0x f x e x =>的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．23. （2016山东10）若函数()y f x =的图像上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质，下列函数具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）x y e = （D ）3y x = 24. （2014安徽15）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan =⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．25. （2019江苏10）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值为 ． 26. （2012浙江17）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a = ．27. （2012新课标12）设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln 2y x =上，则PQ 的最小值为（A ） 1-ln2-ln2) （C ） 1++ln2)。

专题02 曲线的切线方程考点一 求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； 第二步，由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．【例题选讲】[例1](1) (2021·全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． 答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0．(2) (2020·全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1答案 B 解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1．(3) (2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x答案 D 解析 法一 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0．因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法二 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法三 易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．(4) (2020·全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．答案 2x －y ＝0 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x＋1，所以切线的斜率为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1．所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋lnx ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．(6) (2021·新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D 解析 根据y ＝e x 图象特征，y ＝e x 是下凸函数，又过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a ．故选D ．(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)答案 C 解析 设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1，∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上，∴y 0＝x 30－x 0＋3，∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3．∴切点P 为(1，3)或(－1，3)．(8) (2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e ，1) 解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1．故点A 的坐标为(e ，1)． (9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为 ．答案 (0，0) 解析 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0，∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A ．18 B ．14 C ．12D ．1 答案 B 解析 ∵y ＝x －1x ＋1，∴y ′＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2x ＋12，∴k ＝y ′|x ＝0＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x －0)，即y ＝2x －1，令x ＝0，得y ＝－1；令y ＝0，得x ＝12，故所求的面积为12×1×12＝14． (11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ．答案2 解析 设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则0|x x y '＝＝12x x x x 0=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2x 0－1x 0＝1．∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1，1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2． 【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B ．⎣⎡⎭⎫2π3，π C ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 1．答案 C 解析 y ′＝3x 2－3，∴y ′≥－3，∴tan α≥－3，又α∈[0，π)，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，故 选C ．2．函数f (x )＝e x ＋1x在x ＝1处的切线方程为 ． 2．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切 线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2．3．(2019·全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．3．答案 y ＝3x 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率 k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x ．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝04．答案 D 解析 因为f (x )＝1－2ln x x ，所以f ′(x )＝－3＋2ln x x 2．又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3，故所求切线方 程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0．5．(2019·全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝05．答案 C 解析 设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1) 处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0．故选C ．6．(2019·天津)曲线y ＝cos x －x 2在点(0，1)处的切线方程为________． 6．答案 y ＝－12x ＋1 解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12．所以切线方程为y －1 ＝－12x ，即y ＝－12x ＋1． 7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为 ． 7．答案 2x －y ＝0 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e－a e ＝0，解得a ＝1，f (x )＝ x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0．8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________． 8．答案 3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 解析 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0 ＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝⎛⎭⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4．故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0．9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ．9．答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝110．答案 A 解析 因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，所以f ′(x )＝2f ′⎝⎛⎭⎫12x －2＋f （1）x ．令x ＝12得f ′⎝⎛⎭⎫12＝2f ′⎝⎛⎭⎫12 ×12－2＋2f (1)，即f (1)＝1．又f (1)＝f ′⎝⎛⎭⎫12－2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝3，所以f ′(1)＝2f ′⎝⎛⎭⎫12－2＋f (1)＝6－2＋1＝5．所以曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝5(x －1)，即5x －y －4＝0．11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________．11．答案 y ＝x 12 021 解析 函数f (x )＝ln(1＋x )，则f ′(x )＝11＋x，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴切线方程为y ＝x ．∴ ln2 022－ln2 021＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋12 021＝f ⎝⎛⎭⎫12 021，根据以直代曲，x ＝12 021也非常接近切点x ＝0．∴可以将x ＝12 021代入切线近似代替f ⎝⎛⎭⎫12 021，即f ⎝⎛⎭⎫12 021≈12 021． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1412．答案 D 解析 f ′(x )＝1＋1x，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D ． 13．已知曲线y ＝13x 3＋43． (1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．13．解析 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4．∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0．(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20． ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43． ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0．14．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0． (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．14．解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x ． (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点， 由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6． 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6．15．(2021·全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．15．解析 (1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增； ②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3， 令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增． (2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1)．因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0)．由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(1＋a )x ，y ＝x 3－x 2＋ax ＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1－a . 所以曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标为(1，1＋a )和(－1，－1－a )．考点二 求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．答案 13 解析 f ′(x )＝3ax 2＋1x ，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13． (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．答案 [2，＋∞) 解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0．又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2．∴a 的取值范围是[2，＋∞)．(3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为 ．答案 0 解析 依题意得f ′(x )＝a x ＋3bx 2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－1，f ′(1)＝1＋10－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1，a ＋3b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以a ＋b ＝0．(4)(2019·全国Ⅰ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D 解析 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1. (5)设曲线y ＝x ＋1x －2在点(1，－2)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b ＝( ) A ．13 B ．－13C ．3D ．－3 答案 B 解析 由题可得y ′＝－3（x －2）2，所以曲线在点(1，－2)处的切线的斜率为－3．因为切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，所以－3·⎝⎛⎭⎫－a b ＝－1，解得a b ＝－13，故选B ． (6)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为________．答案 1＋ln 2 解析 设切点为(m ，m ln m )，y ′＝1＋ln x ，y ′|x ＝m ＝1＋ln m ，∴y －m ln m ＝(1＋ln m )(x －m )，即y ＝(1＋ln m )x －m ，又y ＝kx －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋ln m ＝k ，m ＝2，即k ＝1＋ln 2． (7)已知函数f (x )＝x ＋a 2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是 ．答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞) 解析 f ′(x )＝1－a 2x 2，设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋a 2x 0，∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝1－a 2x 20，∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a2x 20(x －x 0)，又切线过点(1，0)，即－⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a2x 20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，∵曲线存在两条切线，故该方程有两个解，∴Δ＝4a 2－8(－a )>0，解得a >0或a <－2．(8)关于x 的方程2|x ＋a |＝e x 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．答案 (1－ln2，＋∞) 解析 由题意，临界情况为y ＝2(x ＋a )与y ＝e x 相切的情况，y ′＝e x ＝2，则x ＝ln2，所以切点坐标为(ln2，2)，则此时a ＝1－ln2，所以只要y ＝2|x ＋a |图象向左移动，都会产生3个交点，所以a >1－ln2，即a ∈(1－ln2，＋∞)．【对点训练】1．若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．1．答案 e －2 解析 因为y ′＝ln x ＋1，所以(ln1＋1)(ln t ＋1)＝－1，∴ln t ＝－2，t ＝e －2．2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．答案 D 解析 ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1．∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3．故选D ．3．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)3．答案 C 解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)， 经检验点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C ．4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．4．答案 (－∞，2) 解析 由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x＋a ＝2在(0，＋∞)上有解， 则a ＝2－1x ．因为x ＞0，所以2－1x＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． 5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为 ．5．答案 2 解析 f ′(x )＝cos x ＋x ·(－sin x )＋a cos x ＝(1＋a )cos x －x sin x ，∴f ′(0)＝1＋a ＝3，∴a ＝2．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________．6．答案 －1 －3 解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋a ，则由切线方程得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a ＋b ＝2×1－5，f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1，b ＝－3．7．若函数f (x )＝ax －3x的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________． 7．答案 2 解析 f ′(x )＝a ＋3x 2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y －(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e8．答案 C 解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1．设y ＝x ＋1与y ＝ln x ＋b 相切的切点为(m ，m ＋1)．又y ′＝1x，则1m＝1，解得m ＝1．所以切点坐标为(1，2)，则2＝b ＋ln 1，得b ＝2． 9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝ ； 9．答案 1 解析 y ′＝e x (ax ＋1＋a )，所以y ′|x ＝0＝1＋a ，则曲线y ＝(ax ＋1)e x 在(0，1)处的切线方程为y＝(1＋a )x ＋1，又切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0，所以0＝(1＋a )×⎝⎛⎭⎫－12＋1，解得a ＝1． 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ ．10．答案 －274 解析 设切点坐标为(t ，2t 3＋at ＋a )，∵y ′＝6x 2＋a ，∴6t 2＋a ＝2t 3＋at ＋a t ＋1，即4t 3＋6t 2 ＝0，解得t ＝0或t ＝－32，∵|MA |＝|MB |，∴两切线的斜率互为相反数，即2a ＋6×⎝⎛⎭⎫－322＝0，解得a ＝－274． 11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．答案 A 解析 因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3．设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎨⎧ 3x 20－3＝a ，2x 30＝3a ，解得⎩⎨⎧ x 0＝3，a ＝6或⎩⎨⎧ x 0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A ． 12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．12．解析 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53， ∴斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为y －53＝－1×(x －2)，即3x ＋3y －11＝0． (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．13．解析 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1． (2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12． 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞． 14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ． (1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．14．解析 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1， 则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，解得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．。

文科导数、切线方程练习一、选择题1．函数()22)(x x f π=的导数是（ ） A.x x f π4)(=' B.x x f 24)(π=' C. x x f 28)(π=' D. x x f π16)(=' 2.曲线2313-=x y 在点)37,1(--处的切线的倾斜角为（ ） A . 30o B . 45o C . 135o D . -45o3. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D. 0 4．曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(1,4)--D. (2,8)和(1,4)--5．曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为（ ）A ．31y x =-B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =6.曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A .1B .2C .eD .1e 7.曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（ ）A .1y x =-B .1y x =-+C .22y x =-D .22y x =-+8．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则A .1,1a b ==B . 1,1a b =-=C .1,1a b ==-D . 1,1a b =-=-9．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=10．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e 二、填空题 11.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.12.曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________13.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于_______________14.若23ln 4x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为 三、解答题：13．已知a ∈R,函数f(x)=2x 3-3(a +1)x 2+6a x 若a =1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;14．已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x-=-+-∈）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；15．已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a >0. 若a =1，求曲线y=f （x ）在 点（2，f （2））处的切线方程；16． 已知函数f （x ）=3213x x ax b -++的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2. 求实数a , b 的值；17. 已知函数32()23 3.f x x x =-+求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；18．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

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导数与曲线切线问题
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()
f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()
y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。

2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为()()00,Q x f x ；
第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；
第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．
二、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。

三、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。

四、已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。

常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的
根的情况或函数性质去求解。

新高考背景下的切线问题研究一．基本原理1. 用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点00(,())x f x 的坐标；②求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x ' ③得切线方程00()()()y f x f x x x '-=- 2. 求过点A 处切线方程方法如下：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，∵过点(,)A m n ，∴000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值，0x 有几个值，就有几条切线. 3.若函数)(x f y =的图象在点),(11y x A 处的切线与函数)(x g y =的图象在点),(22y x B 处的切线相同（公切线），则等价于)(x f 的图象在点A 处的切线：))(()(11'1x x x f x f y -=-与)(x g 的图象在点B 处的切线：))(()(22'2x x x g x g y -=-重合.进一步等价于下列方程组有解：⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=⋅-=)()()()()()(2'221'112'1'x g x x g x f x x f x g x f . 4.若动点C 为函数)(x f y =图象上任一点，直线l 与)(x f y =图象相离，则C 到l 距离的最小值为函数)(x f y =图象在点C 处的切线与l 平行时产生，故此时最小距离即为切点到直线l 的距离.5.切线不等式求解双参数恒成立问题，分离性常见的两个不等式:（1）与xe 有关：0,1≥+≥x x e x；0,≥≥x ex e x.（2）与x ln 有关：0,ln 1>≥-x x x几何解释：凸函数的图象上切线总在图象的下方；几何解释：凹函数的切线总在的上方； 可以看到，分离性是导数中切线放缩的理论依据. 二．典例分析例1.已知直线21y x =-与曲线ln(3)y x t =+相切，则实数t 的值为__________． 解析：依题意，设切点坐标为00(,ln(3))x x t +，由ln(3)y x t =+求导得：33y x t'=+，于是得000323ln(3)21x t x t x ⎧=⎪+⎨⎪+=-⎩，即00332321ln 2x t x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：33ln 22t =-，所以实数t 的值为33ln 22-. 故答案为：33ln 22-例2．（2021新高考1卷）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<解析：在曲线xy e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y '=，所以，曲线xy e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==， 由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D. 例3.（2022新高考1卷）若曲线()e =+x y x a 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是____________．解析：易得曲线不过原点，设切点为()000,()e +x x x a ，则切线斜率为：000'()(1)e =++x f x x a ．可得切线方程为00000()e (1)e ()-+=++-x x y x a x a x x ，又切线过原点，可得00000()e (1)e -+=-++x x x a x x a ，化简得0020=-+a ax x ，又切线有两条，即方程有两不等实根，由判别式042>+=∆a a ，得4<-a ，或0>a ．例4．若过点()(),0a b a >可以作曲线e x y x =的三条切线，则（） A ．0e b a b << B ．e 0a a b -<<C ．20e 4a b <<+D ．()24e 0a b -+<<解析：由题可得()1e xy x '=+，设切点()00,ex x x ，则()00000e 1e x x x bx x a-+=-，整理得()0200e x xax a b --=-，由题意知关于0x 的方程()0200e x x ax a b --=-有三个不同的解，设()()2e x f x x ax a =--，()()()2e x x x f x a '=+-，由0fx ，得2x =-或x a =，又0a >，所以当2x <-时，0f x，()f x 单调递增，当2x a -<<时，0fx，()f x 单调递减，当x a >时0f x，()f x 单调递增，当x →-∞时()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，且()242eaf +-=，()e 0a f a a =-<，函数()f x 的大致图像如图所示，因为()f x 的图像与直线y b =-有三个交点，所以240ea b +<-<，即()24e 0a b -+<<. 故选：D.例5．（2022浙江卷）设函数()ln (0)2ef x x x x=+>． （1）求()f x 的单调区间；（2）已知a ，b R ∈，曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若a e >，则0b f <-)(a 1(1)2ae<-；解析：证明：设经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象相切时切点坐标为000(,)2ex lnx x +， 则切线方程为0000:()()2yl lnx f x x x x -='-，2001()2e f x x x '=-+，∴切线l的方程为020001()102e ex y lnx x x x -+-++-=， 020001()102e ea b lnx x x x ∴-+-++-=， 令21()()12e eg x a b lnx x x x=-+-+++-，(0)x >， 曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ， ∴函数()g x 有三个不同的零点，322311()()()()e e x e x a g x a x x x x x --'=--+=， a e >，x e ∴<，或x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，e x a <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，从而()g x g =极大值)(e 0>，()g x g =极小值)(a 0<，∴102a b e -+>①，且02e lna b a+-<②， 由②得b f -)(a 02e b lna a =-->，由①有12ab e<+， b f -)(a 2e b lna a =--，∴要证明b f -)(a 1(1)2ae<-， 只需证明11(1)222a e a lna e a e +--<-，即322e lna a +>， 令h )(a 2e lna a =+，则2212()022e a eh a a a a -'=-=>，h ∴（a ）在 ()e,+∞上单调递增， h ∴)(a h >)(e 32=，b f ∴-)(a 1(1)2a e <-，综上，若a e >，则0b f <-)(a 1(1)2ae<-. 例6.若曲线与曲线存在公切线，则的最值情况为（ ）A ．最大值为B ．最大值为C ．最小值为D ．最小值为解析：设公切线与曲线1C 切于点()211,x x，与曲线2C切于点()22,x x ae，由''2xy x y ae⎧=⎪⎨=⎪⎩可得：22211212x x ae x x ae x x -==-，所以有221111221122222x x x x x x x x x ae ⎧-=⇒=-⎪-⎨⎪=⎩，所以2244x ae x =-，即()2241x x a e-=，设()()41xx f x e-=，则()()'42xx fx e-=，可知()f x 在()1,2单调递21x y C =：xae y C =：2a 28e 24e 28e 24e增，在()2,+∞单调递减，所以()max 242a f e ==例7.（2015年新课标卷）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a =_______ 解析：'11y x=+，所以'1|2x y ==，切线方程为()12121y x y x -=-⇒=-，联立方程()22212021y x ax ax y ax a x =-⎧⎪⇒++=⎨=+++⎪⎩，从而由相切可得：2808a a a ∆=-=⇒= 例8．已知函数1()e ln x f x x -=+，则过点(,)a b 恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（ ） A ．211b a =-> B ．211b a =-< C ．21()a b f a -<<D ．211b a <--由1()e ln x f x x -=+，得11()e (0)x f x x x-'=+>，设切点为0100(,e ln )x x x -+，则切线的斜率为0101e x k x -=+，所以有00110001e ln e ()x x x b x a x --⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，整理得010000e (1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>，由题意可知此方程有且恰有两个解， 令1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x -=---++->，11(1)e (11)ln11121a g ab b a -=---++-=+-，112211()e ()()e (0)x x a g x x a x a x x x x --⎛⎫'=--+=--> ⎪⎝⎭，令121()e (0)x F x x x -=->，则132()e 0(0)x F x x x-'=+>>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，因为11(1)e 10F -=-=， 所以当01x <<时，()0<F x ，当1x >时，()0F x >， ①当1211a -<-<，即01a <<时，当0x a <<时，()0g x '>，则()g x 递增，当1<<a x 时，()0g x '<，则()g x 递减，当1x >时，()0g x '>，则()g x 递增， 所以只要()0g a =或(1)0g =，即1e ln ()a b a f a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；②当211a -≤-，即0a ≤时，当01x <<时，()0g x '<，则()g x 递减，当1x >时，()0g x '>，则()g x 递增，所以只要(1)0<g ，即21b a <-，而211a -≤-；③当211a ->，即1a >时，当01x <<时，()0g x '>，则()g x 递增，当1x a <<时，()0g x '<，则()g x 递减，当x a >时，()0g x '>，则()g x 递增， 当x a =时，1()e ln a g a b a -=--，所以只要(1)0g =或()0g a =，由(1)0g =，得211b a =->，由()0g a =得1e ln ()a b a f a -=+=； ④当1a =时，121()(1)e 0x g x x x -⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭，所以()g x 在(0,)+∞上递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：0a ≤时，211b a <-≤-；01a <<时，1e ln ()a b a f a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；1a >时，211b a =->或1e ln ()a b a f a -=+=，故A 正确，B 错误，C 错误，D 正确.故选：AD.例9．已知函数()ln a xf x b x =+在1x =处的切线方程为220x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=的距离的最小值.解析：（1）∵函数()ln a xf x b x =+，∴()f x 的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x x-'=， ∴()f x 在1x =处切线的斜率为()12k f a '===，由切线方程可知切点为()1,0，而切点也在函数()f x 图象上，解得0b =，∴()f x 的解析式为()2ln xf x x=； （2）由于直线220x y --=与直线230x y -+=平行，直线220x y --=与函数()2ln x f x x=在()1,0处相切，所以切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，最小值为d =故函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=例11.设点P 在曲线2()2ln f x x x =-上，Q 在直线32y x =-上，则PQ 的最小值=________. 解析：函数2()2ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，求导得1()4f x x x'=-，当曲线在点P 处的切线与直线32y x =-平行时，PQ 最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离.设(,)P m n ，由导数的几何意义，可得143m m -=，解得11,4m m ==-（舍去），故切点为(1,2)P ，点P 到直线32y x =-的距离d ==，所以PQ例10.若直线y ax b =+和()ln f x x =的图象相切，则a b +的最小值为________. 解析：解法1：设y ax b =+和()f x 的图象相切于点()()000,ln 0P x x x >， 因为()1f x x'=，所以()f x 的图象在点P 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-,从而01a x =，0ln 1b x =-，所以001ln 1a b x x +=+-， 设()()1ln 10x x x x ϕ=+->，则()22111x x x x xϕ-=-+='，所以()01x x ϕ'>⇔>， ()001x x ϕ'<⇔<<，故()x ϕ在()0,1上，在()1,+∞上，从而()()min 01x ϕϕ==,所以a b +的最小值为0.解法2：如图，a b +表示切线y ax b =+上横坐标为1的点的纵坐标，易得()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，对于这条切线，()110a b +=+-=，而对于其它切线，显然切线上横坐标为1的点M 必在x 轴的上方，所以0a b +>，故a b +的最小值为0.下面把上述问题一般化到恒成立，其实可以看到临界条件还是相切时产生. 例11.已知直线y kx b =+是曲线x y e x =+的一条切线，则k b +的最大值是________. 解析：设切点为(),a a e a +，()1x x e x e +=+'，所以切线方程为()()()1a a y e a e x a -+=+-，整理得：()()11a a x y e a e ++--，所以1a k e =+，()1a b a e =-，从而()21a k b a e +=-+，设()()()21a f a a e a =-+∈R ，则()()1a f a a e '=-，所以()01f a a '>⇔<，()01f a a '<⇔>,从而()f a 在(1),-∞上，在(1,,)+∞上，故()()max 11f a f e ==+，即k b +的最大值为1e +.例12.已知函数()ln f x x =，2()1g x ax bx =++，其中,a b ∈R ．（1）当0a =时，直线()y g x =与函数()y f x =的图象相切，求b 的值； （2）当0a ≠时，若对任意0x >，都有()()f x g x ≤恒成立，求ba的最小值．解析：()()f x g x ≤恒成立，转化为ln 1ax b x x≤-+对任意0x >恒成立，即等价于 )]([1ln a b x a x x --≤-，故只需使得a b -最大即可，即函数xx x h 1ln )(-=的切线横截距最大，那么当e x =时取得，故ba的最小值为e -.。

高考数学小题压轴题之导数解公切线专题一、函数图像的公切线的定义及求法我们可仿照圆的公切线来定义两条曲线公切线:若直线l 同时是曲线1C 和2C 的切线,则称直线l 是曲线1C 和2C 的公切线．设曲线()1:C y f x =在点()()11 ,A x f x 处的切线为()()()1111:'l y f x f x x x -=-，整理得()()()1111''y f x x f x x f x ⋅⋅=-+设曲线()2:C y g x =在点()()22,B x g x 处的切线为()()()2222:'l y g x g x x x -=-,整理得()()()2222''y g x x g x x g x ⋅⋅=-+．由于与12l l ，是相同的直线,故有()()()()()()12111222f x g x f x f x x g x g x x ''=⎧⎪⎨''-⋅=-⋅⎪⎩， 从而可求出公切线方程．从上述分析还可看成，曲线()1:C y f x =()2:C y g x =公切线条数等价于该方程组解的个数．二、函数图像的公切线的应用 1．求参数的值例1．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 变式1：若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ） A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64D ．74-或7变式1．1：若一直线与曲线ln y x =和曲线()20x ay a =>相切于同一点 P ，则a = 变式1．2：若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公切线，则实数a = ．2．求参数范围例2．若曲线21:C y x =与曲线()2:0x C y ae a =>存在公共切线,则a 的取值范围是 ．变式2．两曲线21y x =-和ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是 ． 变式2.1．已知a ,b 为正实数，直线=y x a -与曲线()ln y x b =+相切，则22a b+的取值范围是（ ）A ．(0,+∞)B ．(0, 1)C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．[1,+∞)变式2.2．若二次函数2()1f x x =+的图像与曲线:()1(0)x C g x ae a =+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为 （ ）A ． 28(0,]eB ． 24(0,]eC ． 24[,)e +∞D ． 28[,)e +∞变式2.3．若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 1(ln,)2e+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞ 变式2.4．若曲线21x y C =：与曲线x ae y C =：2存在公切线，则a 的（ ）A ．最大值为28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24e3．求公切线方程例3．已知抛物线21:2C y x x =+ ,和22:C y x a =-+若直线l 同时是1C 和2C 的切线,则称l 为1C 与2C 的公切线,公切线上两个切点之间线段称为公切线段．a 取什么值时,1C 和2C 有且仅有一条公切线?写出此公切线方程．4．讨论公切线条数例4．已知函数()()2214f x x a x a =+--,()()211g x a x=-+,讨论()()f x g x 和图像的公切线条数．变式4．已知曲线x a y e +=与()21y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为 A ．()2ln 23-∞+， B ．()2ln 23-∞-， C ．()2ln 23-+∞， D ．()2ln 23+∞，+5．解决一些存在性问题例5．()12ln f x a x x x ⎛⎫ ⎪⎝-⎭=- 与()2g x x =的图像在其公共点处是否存在公切线?若存在,研究a 的值的个数；若不存在,请说明理由．6．利用公切线证明不等式 例6．证明 :x >0时,2ln x e x >+．切线易错题型过点切线和在点切线的区别 例7．已知曲线322y x x x =+－．(1)求曲线在点A (1,0)处的切线方程; (2)求曲线过点A (1,0)的切线方程．变式7．已知曲线31433y x =+(1)求曲线在点x=2处切线方程; (2)求曲线过点(2,4)切线方程．变式7．1．求曲线1y x=在点(11)，的切线1l 方程，与过点(20)-，的切线2l 方程． 变式7．2．过点(11)，作曲线3y x =的切线，则切线方程为__________．变式7．3．⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________． 变式7．4．过原点O 作曲线4236y x x =-+的切线,求切线方程； 变式7．5．过点(0,2)作抛物线21y x x =-++的切线,求切线方程．有意思题目练习1、已知函数()314f x x ax =++，当 a 为何值时，x 轴为曲线()=y f x 的切线2、设*n N ∈，x 是曲线221n y x +=+在点(1, 2) 处切线与x 轴交点的横坐标，求数列{}n x 的通项公式．3、设函数 ()()23xax axf x a R e +=∈，若 f (x ) 在 x = 0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程．4、函数2 c )o (s f x x =在点 , 24ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为 ．5、过()32 325f x x x x =-++ 图像上一个动点作函数切线，则切线倾斜角范围是6、(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =，在点(1,3)-处的切线方程是_________．7、（2015陕西）设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．8、（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．。