考点10 数列的综合应用

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考点10 数列的综合应用解答题1. （2011·湖北高考理科·T19）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a = (0)a ≠，1n n a rS += (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）若存在k ∈ N *，使得1k S +，k S ，2k S +成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +是否成等差数列，并证明你的结论.【思路点拨】(1)利用11S ,1S S ,2-=⎧=⎨-≥⎩n n n n a n ，将1S +=n n a r 转化为21(1)n n a r a ++=+，再分0r =与 0r ≠两种情况求解.（2）0r =时易证明；0r ≠时，由“存在*N ,∈k 使得12S ,S ,S ++k k k 成等差数列”可得12S S 2S +++=k k k ，据此可求出r ，最后可证明122m m m a a a +++=，即对任意的*,m N ∈且2m ≥时，有12,,m m m a a a ++成等差数列.【精讲精析】⑴由已知1S +=n n a r ，可得21S ++=n n a r ，两式相减可得2111(S S )r ,++++-=-=n n n n n a a r a 即21(1)n n a r a ++=+，又21a ra ra ==，所以0r =时，数列{}n a 为：,0,,0;a当0r ≠且1r ≠-时，由已知0a ≠，所以*0()n a n N ≠∈， 于是由21(1)n n a r a ++=+，可得21(1)n n a r a ++=+*()n N ∈， 2,,∴ n a a 成等比数列，综上，数列{}n a 的通项公式为2,1,(1), 2.n n a n a r r a n -⎧=⎪=⎨⎪+≥⎩⑵对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +成等差数列.证明如下 ：当0r =时，由⑴知，,1,0, 2.n a n a n =⎧=⎨≥⎩∴对于任意的m ∈N *，，且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +成等差数列. 当0r ≠，1r ≠-时，∵212S S +++=++k k k k a a ，11S S ++=+k k k a . 若存在*k N ∈，使得12S ,S ,S ++k k k 成等差数列，则12S S 2S +++=k k k ， ∴122S 22S ++++=k k k k a a ，即212k k a a ++=-，由⑴知，2,, n a a 的公比12r +=-，于是对于任意的m ∈N *，，且2m ≥，12m m a a +=-，从而24m m a a +=，∴122m m m a a a +++=，即12,,m m m a a a ++成等差数列.综上，对于任意的*,m N ∈且2m ≥时，有12,,m m m a a a ++成等差数列. 2.（2011·湖北高考文科·Ｔ17）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 中的b ，b ，b .(1) 求数列{}n b 的通项公式. (2) 数列{}n b 的前n 项和为nS，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列. 【思路点拨】(1)设等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+，由已知条件可构造含有,a d 的方程组求解.(2)由n b 先求出S n ，再利用定义证明数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列. 【精讲精析】(1)设等差数列的三个正数分别为a-d ，a ，a+d. 依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5. 所以{}n b 中的b 3,b 4,b 5依次为7-d ，10,18+d.依题意，有(7-d)(18+d)=100，解得d=2或d=-13(舍去). 故{}n b 的第3项为5，公比为2. 由b 3=b 1·22，即5=b 1·22，解得154b =.所以{}n b 是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为： 1352524n n n b --=⋅=⋅.(2)数列{}n b 的前n 项和()251254S 52124n n n --==⋅--，即25S 524n n -+=⋅. 所以155S 42+=，1125S 5242552S 4n n n n -+-+⋅==⋅+. 因此数列5S 4n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公比为2的等比数列.3．（2011·全国高考理科·Ｔ20）设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=--（1）求{}n a 的通项公式. （2）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：【思路点拨】解本题关键是由式子1111,11+-=--n n a a 得到1{}1na -是等差数列，进而可求出数列{}n a 的通项公式.（2）问先求出{}n b 的通项公式，注意观察能采用裂项相消的方式求和. 【精讲精析】 (1) 1{}1na -是公差为1的等差数列，所以111(1)1.11n n n a a =+-⨯=--所以1()*-=∈n n a n N n.(2)n b ===111nn k k S b ===+++=<∑ . 4.（2011·上海高考理科·T22）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*)n N ∈.将集合{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c （1）写出1234,,,c c c c .（2）求证：在数列{}n c 中，但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a .（3）求数列{}n c 的通项公式.【思路点拨】本题考查数列有关知识，利用两个等差数列，组合成一个新的数列，进而考查新数列的性质，以及求其通项公式，紧紧围绕新数列的构成特点是解决本题的关键. 【精讲精析】（1）对数列36n a n =+，依次是9，12，15，18，21,…对数列27n b n =+，依次是9，11，13，15，17，19，21,…，所以19c =，211c =，312c =，413c =.（2）266n a n =+表示的是从12开始的所有的能被6整除的数，当然能被2整除，而n b 表示的是从9开始的所有奇数，故2n a 均不在n b 中；再证明：21n a -项均在n b 中，2163n a n -=+，表示的是从9开始除以6余3的数，故都是奇数，而n b 表示的是从9开始的所有奇数，故21n a -项均在n b 中，这就证明了在数列{}n c 中但不在数列{}n b 中的n a 的项恰好是所有的偶数项2n a .（3）根据上面的讨论可知6是数列{}n c 在自然数中的截取周期，即在从9开始连续的6个自然数中，第一项一定是{}n a 与{}n b 的公共项，第二项不存在于{}n c 中，第三项一定是{}n b 中的项，第四项一定是{}n a 中的项，第五项是{}n b 中的项，第六项不在{}n c 中，这样的话数列{}n c 是以4为截取周期的，故{}n c 的通项公式是323123(43)(42)(41)(4)k k n k k b n k b n k c a n k b n k --=-⎧⎪=-⎪=⎨=-⎪⎪=⎩k 1,2,3,= （）5.（2011·上海高考文科·T23）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+(*)n N ∈.将集合{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c （1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项. （2）数列12340,,,, c c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？请说明理由. （3）求数列{}n c 的前4n 项和4(*)n S n N ∈.【思路点拨】本题考查数列的有关知识，利用两个等差数列，组合成一个新的数列，进而考查新数列性质，以及求其通项公式，紧紧围绕新数列的构成特点是解决本题的关键.【精讲精析】（1）显然36n a n =+表示的是从9开始能被3整除的所有的正整数，b n =2n+7表示从9开始的所有奇数，故最小的三个数为9，15，21.（2）可知6是数列{}n c 在自然数中的截取周期，即在从9开始连续的6项自然数中，第一项一定是{}n a 与{}n b 的公共项，第二项不存在于{}n c 中，第三项一定是{}n b 中的项，第四项一定是{}n a 中的项，第五项是{}n b 中的项，第六项不在{}n c 中，这样的话数列{}n c 是以4为截取周期的，故{}n c 的通项公式是323123(43)(42)(41)(4)k k n k k b n k b n k c a n k b n k --=-⎧⎪=-⎪=⎨=-⎪⎪=⎩*()k N ∈.∴c 1，c 2，c 3，…，c 40中有10项不是数列{}n b 中的项.（3）因为4342414323123-----+++=+++n n n n k k k k c c c c b b a b =636566672421k k k k k +++++++=+， 故241(1)(2421)242112332=+=+=⨯+=+∑nn k n n S k n n n . 6.（2011·四川高考文科·Ｔ20）已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和. （1）当134,,S S S 成等差数列时，求q 的值.(2)当,,m n l S S S 成等差数列时，求证：对任意自然数,,,m k n k l k k a a a +++也成等差数列. 【思路点拨】（1）直接利用4331S S S S -=-求公比q . (2)当=1q 时，,,m k n k l k a a a +++显然成等差数列.当1q ≠时，2m l n S S S +=即为(1)(1)(1)2.111m l n a q a q a q q q q ---+=---可得2.mlnq q q +=再证明2m k l k n k a a a ++++=成立. 【精讲精析】（1）由已知得1.n n a aq -=∴223134,(1),(1).S a S a q q S a q q q ==++=+++ 当134,,S S S 成等差数列时，4331S S S S -=-， 可得32.aq aq aq =+化简得210.q q --=解得q =(2)若=1q ，{}n a 的每项n a a =，此时,,m k n k l k a a a +++显然成等差数列.若1q ≠，由,,m n l S S S 成等差数列可得2m l n S S S +=.即(1)(1)(1)2.111m l n a q a q a q q q q ---+=---整理得2.m l n q q q +=∴11()22.k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==∴,,m k n k l k a a a +++成等差数列.7.(2011·重庆高考理科·T21)设实数数列{}n a 的前n 项和n S 满足n n n S a S 11++=（n ∈N *） (1)若2212,,a S a -成等比数列,求2S 和3a . (2)求证:对,3≥k 有3401≤≤≤+k k a a . 【思路点拨】根据题目中的条件可以列出等式,求2S 和3a 的值,灵活运用题目中的条件,找到1+n a 与n S 的关系是求解第二问的关键.【精讲精析】(1)由题意⎩⎨⎧==-=,,2211222122a a S a S a a S 得2222S S -=，由2S 是等比中项知02≠S ,因此22-=S 由23332S a S a S ==+解得.321221223=---=-=S S a(2)由题设条件有n n 1n 1n S a a S +++=. 故1,11≠≠+n n a S 且,1,1111-=-=+++n n n n n n a a S S S a 故对3≥k 有k 1k 12k 1k 1k 2k 1k 1k 2k 1k 1k 1k 2k 1k 1k 1k 1a a S a S a a 1a a S 1a S 1a a 1a 1a 1---------------++-====-+--++-- ①因22k 1k 1k 113aa 1a 024---⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭且2k 1a 0-≥,由①得k k 1a 0,a 0.+≥≥要证,34≤k a 由①只要证2k 12k 1k 1a 4,a a 13---≤-+即证22k 1k 1k 13a 4(a a 1)---≤-+,即0)2(21≥--k a .此式明显成立.因此k 4a (k 3).3≤≥ 最后证k k a a ≤+1.假设2k k 1k 2k k a a a a a 1+=>-+,又因k a 0≥,故k 2k k a 1a a 1>-+,即0)1(2<-k a ，矛盾. 因此k k a a ≤+1)3(≥k . 综上，对,3≥k 有3401≤≤≤+k k a a . 关闭Word 文档返回原板块。