第十讲：中考数学解答题模拟训练17—25题(1)

专题17归纳思想在两种题型中的应用通用的解题思路：解决这类问题的基本思路是观察一归纳一猜想一证明(验证)，具体做法是:①认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系:②分析概括所给数式图的特征，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论;③结合问题所给的材料查是证明或验证结论的正确性。

题型一：数式规律中的猜想归纳思想1．（2024•马鞍山一模）观察以下等式：第1个等式：1321122+⨯-=，第2个等式：14621 233+⨯-=，第3个等式：19921 344+⨯-=，第4个等式：1161221 455+⨯-=，.....．按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．2．（2024•包河区一模）观察下列等式：1112 123213a=+=⨯⨯⨯；2113 234324a=+=⨯⨯⨯；3114 345435a=+=⨯⨯⨯；⋯（1）猜想并写出第6个等式6a=；a=；（2）猜想并写出第n个等式n（3）证明（2）中你猜想的正确性．3．（2024•嘉善县一模）====⋯（1的结果；（2）按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数）（3）试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的．4．（2024•新乐市一模）每个人都拥有一个快乐数字，我们把自己出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差就是我们自己的快乐数字．比如我国著名的数学家华罗庚出生于1910年，他的快乐数字是-+++=．1910(1910)1899（1）某人出生于1949年，他的快乐数字是；（2）你再举几个例子并观察，这些快乐数字都能被整除，请你用所学知识说明你的猜想．（3）请你重新对快乐数字定义，并写出一个你找到的规律（直接写出结果，不用证明）．5．（2024•长安区一模）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：第1个等式：2151515225(12)10025=⨯==⨯⨯+；第2个等式：2252525625(23)10025=⨯==⨯⨯+；第3个等式：23535351225(34)10025=⨯==⨯⨯+；⋯按照以上规律，解决下列问题：（1）填空：2757575=⨯==；（2）已知19x 且n 为整数，猜想第n 个等式（用含n 的等式表示），并证明．6．（2024•庐江县一模）观察下列等式：第1个等式：223231133a +-=+；第2个等式：224242248a +-=+；第3个等式：2252533515a +-=+；第4个等式：2262644624a +-=+；⋯按照以上规律，解决下列问题：（1）各等式都成立时，a =；（2）在（1）的条件下，写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．7．（2023•利辛县模拟）观察下列等式：第①个等式：22221232+=-，第②个等式：22222376+=-，第③个等式：2222341312+=-，第④个等式：2222452120+=-，⋯根据上述规律解决下列问题：（1）写出第⑤个等式；（2）写出你猜想的第?个等式（用含n 的式子表示），并证明．8．（2023•全椒县三模）观察下列等式：第1个等式：221211--=；第2个等式：2312222--=；第3个等式：2413233--=；第4个等式：2514244--=；第5个等式：2615255--=；⋯；按照以上规律，解决下列问题（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性．9．（2023•夏邑县校级三模）设5a 是一个两位数，其中a 是十位上的数字(19)a ．例如：当4a =时，5a 表示的两位数是45．（1）尝试：①当1a =时，2152251210025==⨯⨯+；②当2a =时，2256252310025==⨯⨯+；③当3a =时，23512253410025==⨯⨯+；④当4a =时，2452025==．（2）归纳：25a 与100(1)25a a ++有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：若25a 与100a 的和为6325，求a 的值．10．（2023•凤台县校级三模）观察等式：第1个等式：311243234-=⨯⨯⨯；第2个等式：411354345-=⨯⨯⨯；第3个等式：511465456-=⨯⨯⨯；⋯根据以上等式的规律，解答下列问题：（1）直接写出第5个等式：；（2）猜想并写出第n 个等式，证明你所猜想的正确性．11．（2023•萧县三模）观察下列等式：第1个等式：21311515+-=⨯；第2个等式：211412626 +-=⨯；第3个等式：211513737 +-=⨯；⋯按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．12．（2023•无为市四模）观察下列等式：第1个等式：111 :1122-=⨯；第2个等式：111 2233 -=⨯；第3个等式：111 3344-=⨯；第4个等式：111 4455 -=⨯；⋯⋯按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：．（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．13．（2023•思明区模拟）“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂酿蜂蜜”这两句话从左往右读和从右往左读，结果完全相同．文学上把这样的现象称为“回文”，数学上也有类似的“回文数”，比如252，7887，34143．小明在计算两位数减法的过程中意外地发现有些等式从左往右读的结果和从右往左读的结果一样，如：-=-；54366345-=-．数学上把这类等式叫做“减法回文等式”．-=-；9137731965388356（1）①观察以上等式，请你再写出一个“减法回文等式”；②请归纳“减法回文等式”的被减数ab（十位数字为a，个位数字为)b与减数cd应满足的条件，并证明．（2）两个两位数相乘，是否也存在“乘法回文等式”？如果存在，请你直接写出“乘法回文等式”的因数xy与因数mn应满足的条件．14．（2023•武安市三模）某数学兴趣小组研究如下等式：38321216⨯=，⨯=，53573021⨯=，71795609⨯=．观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一84867224定的规律”．75=；（1）根据上述的运算规律，直接写出结果：5852⨯=；2（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为(0,0)>>．b a b①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如:3832⨯调换为8323)⨯．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：m n-能被99整除．15．（2024•安徽模拟）【观察】观察下列式子：①14223⨯+=⨯；②25234⨯+=⨯；③36245⨯+=⨯；④47256⨯+=⨯；【猜想】根据上述式子猜想式子⑥：692⨯+=⨯；【发现】用含n 的式子表示出第n 个式子：；【应用】利用你发现的规律计算：202120242202220252⨯+⨯+．16．（2024•芜湖二模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，⋯⋯，我们把第1个数记为1a ，第2个数记为2a ，第3个数记为3a ，⋯⋯，第n 个数记为n a ．（1）根据这列数的规律，8a =，n a =；（2）这列数中有66这个数吗？如果有，求n ；如果没有，请说明理由．17．（2024•池州二模）观察下列式子：第1个等式：21310(1016)19=⨯⨯+⨯+；第2个等式：22310(1026)29=⨯⨯+⨯+；第3个等式：23310(1036)39=⨯⨯+⨯+；⋯⋯（1）请写出第4个等式：；（2）设一个两位数表示为103a +，根据上述规律，请写出2(103)a +的一般性规律，并予以证明．18．（2024•庐江县校级模拟）观察下列等式：第1个等式：1101111-=⨯；第2个等式：1113443-=⨯；第3个等式：21125995-=⨯；第4个等式：2113716167-=⨯；⋯⋯（1）请你按照上述等式规律写出第5个等式；（2）根据上述等式规律写出第n 个等式；（3）证明（2）中你所写等式的正确性．19．（2024•沅江市一模）设22131a =-，22253a =-，22375a =-⋯，容易知道18a =，216a =，324a =，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整除，所以1a ，2a ，3a 都能被8整除．（1）试探究n a 是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出1a ，2a ，3n a a ⋯这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数．20．（2023•新华区校级二模）【发现】如果一个整数的个位数字能被5整除，那么这个整数就能被5整除．【验证】如：34510031045=⨯+⨯+ ，又100 和10都能被5整除，5能被5整除，10031045∴⨯+⨯+能被5整除，即：345能被5整除．（1）请你照着上面的例子验证343不能被5整除；（2）把一个千位是a 、百位是b 、十位是c 、个位是d 的四位数记为abcd ．请照例说明：只有d 等于5或0时，四位数abcd 才能被5整除．【迁移】（3）设abc 是一个三位数，请证明；当a b c ++的和能被3整除时，abc 能被3整除．题型二：图案规律中的猜想归纳思想1．（2023•枣庄）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：，；（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．2．（2024•肥西县一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形，拼如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题：（1）在图②中用了块白色正方形，在图③中用了块白色正方形；（2）按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用块白色正方形；（3）如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2024块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．3．（2024•镜湖区校级一模）将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：（1）图6中的“☆”的个数有个；（2）图n中的“☆”的个数有个；（3）图n中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由．4．（2024•宣城模拟）【观察思考】如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；依此规律，请解答下面的问题．【规律发现】（1）第5个图案有正方形个．（2）第n个图案有正方形个．【规律应用】（3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完），若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．5．（2024•淄博模拟）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面：（1）观察图形，填写下表：图形①②③⋯黑色瓷砖的块数47⋯黑白两种瓷砖的总块数915⋯（2）依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为，黑白两种瓷砖的总块数为（用含n的代数式表示）；（3）白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数可能是2024块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由．6．（2024•蜀山区模拟）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块；⋯．（1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块；（2）若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，分别用含a的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量；（3）当25a=时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量．7．（2024•瑶海区校级模拟）将字母“C ”，“H ”按照如图所示的规律摆放，其中第1个图形中有1个字母C ，有4个字母H ；第2个图形中有2个字母C ，有6个字母H ；第3个图形中有3个字母C ，有8个字母H ；⋯⋯根据此规律解答下面的问题：（1）第4个图形中有个字母C ，有个字母H ；（2）第n 个图形中有个字母C ，有个字母H （用含n 的式子表示）；（3）第2024个图形中有个字母C ，有个字母H ．8．（2024•蚌埠模拟）【观察思考】【规律发现】（1）若图1中小正方形个数记作1a ，图2中小正方形个数记作2a ，⋯，图n 中小正方形个数记作n a ，则n a =，12n a a a +++=；（用含n 的式子表示）【规律应用】（2）结合上述规律，试说明是否存在正整数n ，使得12n a a a +++ 等于n a 的4倍？9．（2024•蜀山区一模）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图案有颗黑色棋子，第n 个图案中黑色棋子的颗数为；（2）据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由．10．（2024•长丰县一模）如图，第1个图案中“〇”的个数为12⨯，“●”的个数为232⨯；第2个图案中“〇”的个数为23⨯，“●”的个数为342⨯；第3个图案中“〇”的个数为34⨯，“●”的个数为452⨯；⋯（1）在第n 个图案中，“〇”的个数为，“●”的个数为．（用含n 的式子表示）（2）根据图案中“●”和“〇”的排列方式及上述规律，求正整数n ，使得第n 个图案中“●”的个数是“〇”的个数的23．11．（2024•阜阳一模）【观察思考】【规律发现】（1）第4个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为．（2）第n个图案中黑色方块的个数为，黑、白两种方块的总个数为.（用含n的代数式表示）【规律应用】（3）白色方块的个数可能比黑色方块的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．12．（2024•安徽模拟）【观察思考】下列是由空白长方形和阴影长方形构成的图案：【规律发现】请用含n的式子填空：⨯+⨯=（块)；图1中有21块阴影长方形，空白长方形有32128⨯+⨯=（块)；图2中有22块阴影长方形，空白长方形有422212⨯+⨯=（块)；图3中有23块阴影长方形，空白长方形有523216⋯（1）图n中有块阴影长方形，空白长方形有=（块)；【规律应用】（2）在图n中，是否存在空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块？若存在，通过计算求出n的值；若不存在，请说明理由．13．（2023•芜湖三模）观察与思考：我们知道(1)1232n n n ++++⋯+=，那么3333123n +++⋯+结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：?（1）尝试：第5个图形可以表示的等式是；（2）概括：3333123n +++⋯+=；（3）拓展应用：求3331220231232023++⋯++++⋯+的值．14．（2023•青岛二模）如图，(1)n +个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△211B D C 的面积为1S ，△322B D C 的面积为2S ，⋯，△1n n n B D C +的面积为n S ．【规律探究】：探究一探究二探究三△121B BD ∽△11C AD ，1111:1:1B D D C ∴=，1S ∴=．232:1:2B B AC = ，2222:1:2B D D C ∴=，2S ∴=，1S =．343:1:3B B AC = ，3333:1:3B D D C ∴=，3S ∴=，2S =.【结论归纳】n S =.（用含n 的式子表示）15．（2023•定远县二模）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．按照以上规律，解决下列问题：（1）第4个图案需要花卉盆；（2）第n个图案需要花卉盆（用含n的代数式表示）；（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．16．（2023•定远县校级一模）用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成长方形．[观察思考]第（1）个图形中有212=⨯张正方形纸片；第（2）个图形中有2(12)623⨯+==⨯张正方形纸片；第（3）个图形中有2(123)1234⨯++==⨯张正方形纸片；第（4）个图形中有2(1234)2045⨯+++==⨯张正方形纸片；⋯⋯以此类推[规律总结]（1）第（5）个图形中有张正方形纸片（直接写出结果）；（2）根据上面的发现我们可以猜想：123n+++⋯⋯+=；（用含n的代数式表示）[问题解决]（3）根据你的发现计算：101102103200+++⋯⋯+．17．（2024•宣城一模）如图所示的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18．（1）推测第4个图形中，正方形的个数为，周长为；（2）推测第n个图形中，正方形的个数为，周长为；（都用含n的代数式表示）．18．（2024•安徽二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案．【规律发现】（1）第⑤个图案中“●”的个数为，“O”的个数为；（2）第n个图案中“●”的个数为，“O”的个数为；【规律应用】（3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“O”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为；此时还剩下枚棋子．19．（2024•合肥模拟）【观察思考】如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．【规律总结】请用含n 的式子填空：（1）第n 个图案中黄梅花的盆数为；（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为12⨯，第2个图案中红梅花的盆数可表示为23⨯，第3个图案中红梅花的盆数可表示为34⨯，第4个图案中红梅花的盆数可表示为45⨯，⋯，第n 个图案中红梅花的盆数可表示为；【问题解决】（3）已知按照上述规律摆放的第n 个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n 的值．20．（2024•河北一模）图1、图2均由边长为1的小正方形按照一定的规律排列而组成的．设图1中第(1)n n >个图形有小正方形的个数为t 甲，图2中第(1)n n >个图形有小正方形的个数为t 乙．（1）请用含(1)n n >的代数式表示t 甲、t 乙，并求6n =时，t t +乙甲的值；（2）比较t 甲和t 乙的大小，并说明理由．21．（2024•安庆一模）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为1C 的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为12的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为14的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为111,,81632⋯的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥⋯（1）第5个图形中卡纸的周长5C =；（2）记图(3)n n 中的卡纸的周长为n C ，则1n n C C --=；（3）若11512n n C C --=，求n 的值．。

参考答案考点1、函数概念、数形结合、研究图像性质及相关作图 例1、解：（1）如图，（2）①x=4对应的函数值y 约为2.0；②该函数有最大值．故答案为2，该函数有最大值．变式1、解：（1）.（2）①②如图:③关于直线x=-1.5对称或增减性等.变式2、（1）1≠x ；（2）m 的值为49； （3）21x x --或21x x ≤-≥-或（4）当2>x 时， y 随自变量x 的增大而增大.当21<<x 时， y 随自变量x 的增大而减小.当0<x 时， y 随自变量x 的增大而增大.∵函数4y x=的图象经过点A (1,4)，B (2,2)， 函数2y x =的图象经过点C (1,1)，D (2,4)，若函数2(0)y x a a =+>经过点A (1,4)，则3a =，结合图象可知，当03a <<时，关于x 的不等式24(0)x a a x+<>只有一个整数解． 也就是当03a <<时，关于x 的不等式240 ()x a a x+-<＞0只有一个整数解. 变式1、解：(1) m = 1.(2)如图.（3）①答案不唯一.如：函数图象关于y 轴对称.②1＜b ＜2.例3、（1）x ≠0 （2） C （3） 4 ， ≥4（4）x x x y 452++==54++x x分类讨论：当x ﹥0时，44≥+x x ，∴9y ≥当x ﹤0时，-x ﹥0，04->x ，=x 4-x -22)4()(x x -+-由（3）得，44--≥x x ，所以，4-4≤+x x ，所以1y ≤y 的取值范围是9y ≥或1y ≤变式1、（1）x ≠0 （2） C （3）6 ， ≥6（4）x x x y 942+-==49-+x x分类讨论：当x ﹥0,时69≥+x x ，∴y ≥2当x ﹤0,时，-x ﹥0, 09-＞x ,-x- x 9=22)9()(x x -+-由（3）得，-x- x 9≥6，所以，69-≤+xx ，所以y ≤-10 y 的取值范围是y ≤-10或y ≥2考点2、几何相关综合阅读理解能力例1、解：（1）CADBC . 1tan α. （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点 1P ，2P 为符合题意的点.方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线1m ，画NQ 的垂直平分线2m ，直线1m 与 2m 交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ， 则点1P ，2P 为符合题意的点.变式2、解：10103x CD =． Sin2α=CD OC =53． 如图，连接NO ，并延长交⊙O 于Q ，连接MQ ，MO ，作NO MH ⊥于H ． 在⊙O 中，∠NMQ =90°．∵ ∠Q=∠P =β，ＯＭ＝ＯＮ，∴ ∠MON=2∠Q=2β．∵ tan β=21， ∴ 设MN =k ，则MQ =2k ，∴ NQ =k MQ MN 522=+． ∴ OM=21NQ=k 25． ∵ MH NQ MQ MN S NMQ ⋅=⋅=∆2121， ∴ MH k k k ⋅=⋅52 ．∴ MH=k 552．在MHO Rt ∆中，sin2β=sin ∠MON =5425552==kk OM MH ． 例2、解：BG 的长为2，AD 的长为22+；如图，过点P 分别作x PC ⊥轴于点C ，y PD ⊥轴于点D ， AB PE ⊥于点E∵AP 和BP 是△OAB 的外角的角平分线∴CAP EAP ∠=∠，EBP DBP ∠=∠∴PD PE PC ==∴四边形OCPD 是正方形，AE AC =，BE BD =∴DO PD CP OC ===∵()0,3A ，()4,0B∴5=AB∴12=++=+BO AB OA OD OC∴6==OD OC ,∴6==PD CP ∴()6,6P变式1、（1）设AD =x ，由题意得，BG=x －2，CG=x-3.在Rt △BCG 中，由勾股定理可得 222(2)(3)5x x -+-=.解得 6x =.（2）参考小萍的做法得到四边形AEGF ，∠EAF=60°，∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4.连结EF ，可得 △AEF 为等边三角形.∴ EF=4.∴ ∠FEG=∠EFG= 30°.∴ EG=FG.在△EFG中，可求，EG =∴△EFG 的周长＝. 例3、解：（1）AB =3EH ，CG =2EH ，32. （2）如图，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H .∴ EH ∥AB ∥CD ．∵ EH ∥CD ，∴ 23CD BC EH BE ==， ∴ CD =23EH ． 又∵ 2AB CD=，∴ AB =2CD =43EH ． ∵ EH ∥AB ，∴ △ABF ∽△EHF ． ∴4433AF AB EH EH EF EH ===． GF ED C BA HFE CB A D变式1、答案：DG =2；如图（画图正确，正确标出点E 、F ）过E 作EG ∥AD ，延长CA 交于点G∴△CAD ∽△CGE ． ∴AD CD GE CE=． ∵CD bCE =， ∴AD b GE=． ∴AD bEG =．∵AD ∥BC ，∴BC ∥EG ．∴△GEF ∽△CBF ． ∴BC BF EG EF=． ∵BC aAD =，∴BC abEG =． ∴BF ab EF =变式2、解：PD AP 的值为23 . 解决问题： （1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2，∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k .∵E 是AC 中点，∴AE ＝CE .∵AF ∥DB ，∴∠F ＝∠1.又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB .∴AF ＝BC ＝2k .∵AF ∥DB ，∴△AFP ∽△DBP . ∴DBAF PD AP =. ∴32=PD AP . （2） 6.例4、解：△BDE 的面积等于1．（1）如图．以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形是△CFP ．（2）平移AF 到PE ，可得AF ∥PE ，AF=PE ，∴四边形AFEP 为平行四边形，∴AE 与PF 互相平分，即M 为PF 的中点，又∵AP ∥FN ，F 为AB 的中点，∴N 为PC 的中点，∴E 为△PFC 各边中线的交点，∴△PEC 的面积为△PFC 面积的连接DE ，可知DE 与PE 在一条直线上∴△EDC 的面积是△ABC 面积的所以△PFC 的面积是1××3=∴以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于．变式1、解：BC ＋DE解决问题：连接AE ，CE ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB // DC ．∵四边形ABEF 是矩形，∴AB // FE ，BF ＝AE ．∴DC //FE ．∴四边形DCEF 是平行四边形． ∴ CE // DF ．∵AC ＝BF ＝DF ，∴AC ＝AE ＝CE ．∴△ACE 是等边三角形．∴∠ACE ＝60°．∵CE ∥DF ，∴∠AGF ＝∠ACE ＝60°．例5、解：（1）画图如下：(答案不唯一)（2）图3中△FGH 的面积为7a . （3）变式1、解： （1）拼接成的四边形所图虚线所示；（2） ； .（注：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来菱形的边AB =4，左右两边的长等于线段MN 的长，当MN 垂直于BC 时，其长度最短，等于原来菱形的高的一半，于是这个平行四边形的周长的最小值为2）=；当点E 与点A 重合，点M 与点G 重合，点N与点C 重合时，线段MN 最长，等于，此时，这个四边形的周长最大，其值为.） 变式2、解：8+8+8+8+（1）拼接成的平行四边形是平行四边形ABCD （如图3）． （2）正确画出图形（如图4）平行四边形MNPQ 的面积为． 例6、解：（1）150°(2) 如图，将△ADC 绕点A 顺时针旋转60°，使点D 与点B 重合， 得到△O AB '，连结O C '. 则△O AC '是等边三角形， 可知4,5'===='DC BO CA O C ，ADC ABO ∠=∠'在四边形ABCD 中，︒=∠-∠-︒=∠+∠270360DCB DAB ABC ADC ,)(360''ABO ABC BC O ∠+∠-︒=∠∴︒=︒-︒=90270360．34522=-=∴BC 6432543215432''-=⨯⨯-⨯=-=∴∆∆BCO ACO ABCD S S S 四边形． 变式1、解：（1）AP 的最大值是：6（2）AP+BP+CP 的最小值是：6222+（或不化简为31632+） 例7、解：AD 的长为6． 解决问题：如图，延长AB 与DC 相交于点E ． ∵135ABC BCD ∠=∠=︒， ∴︒=∠=∠45ECB EBC ． ∴CE BE =，︒=∠90E ． 设x CE BE ==，则x BC 2=，x AE +=9，3DE x =+．在Rt △ADE 中，︒=∠90E ，O 'DCBA∵21tan =A ， ∴21=AE DE ． 即2193=++x x ． ∴3=x ．经检验3=x 是所列方程的解，且符合题意． ∴23=BC ，12=AE ，6=DE ． ∴56=AD ．变式1、解：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰三角形，因此可求得α+β=∠ABC=45°； 参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan α=4，tan β=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=α﹣β，由此可得α﹣β=45°． 故答案为：45；45变式2、 解：（1）32m ；（2）由题意可知∠AEO =90°． ∵ AO = m ，∠AOB =30°，∴AE =12m ． ∴S △ABD =m AE BD 2321=⋅． 同理，CF =1(4)2m -． ∴S △BCD =m CF BD 23621-=⋅ ∴S 四边形ABCD = S △ABD ＋S △BCD 6=． 解决问题：αsin 21⋅ab ． 例8、 （1）∵菱形的四条边相等， ∴菱形是筝形， 故答案为：菱形；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等． 已知：四边形ABCD 是筝形， 求证：∠B=∠D ， 证明：如图1，连接AC ， 在△ABC 和△ADC 中，，∴△ABC ≌△ADC ， ∴∠B=∠D ；（3）如图2，连接AC ，作CE ⊥AB 交AB 的延长线于E ， ∵∠ABC=120°， ∴∠EBC=60°，又BC=2， ∴CE=BC ×sin ∠EBC=， ∴S △ABC =AB ×CE=2，∵△ABC ≌△ADC ， ∴筝形ABCD 的面积=2S △ABC =4．变式1、解：（1）菱形（正方形）.（2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线直平分另一条对角线.（写出其中的两条就行）已知：筝形ABCD.求证：∠B=∠D.证明：连接AC.∵AB=AD,CB=CD,AC=AC，∴△ABC≌△ADC.∴∠B=∠D.（3）连接AC.过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E.∵∠ABC=120°， ∴∠EBC=60°. 又∵B C=2，∴BE =1，CE∴S四边形ABCD=21122422ABC S AB CE ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯.例9、解：⑴在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线，∴12CD AB =， ∴CD =BD ． ∴∠BCE ＝∠ABC ． ∵BE ⊥CD ， ∴∠BEC ＝90°， ∴∠BEC ＝∠ACB ． ∴△BCE ∽△ABC ． ∴E 是△ABC 的自相似点． ⑵①作图略．（方法不唯一）②连接PB 、PC ．∵P 为△ABC 的内心，∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=∠． ∵P 为△ABC 的自相似点， ∴△BCP ∽△ABC ．∴∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC =2∠PBC =2∠A ， ∠ACB ＝2∠BCP =4∠A ． ∵∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°． ∴∠A +2∠A +4∠A ＝180°． ∴1807A ∠=． ∴该三角形三个内角的度数分别为1807、3607、7207．变式1、解：（1）结论：点是四边形在边上的相似点. 证明：∵50A B DEC ∠=∠=∠=︒， ∴1+2=130∠∠︒，1+3=130∠∠︒， ∴2=3∠∠，∴△AED ∽△BCE ，∴点是四边形在边上的相似点. （2）例10、 解：（1）如图1，画出对角线AC 与BD 的交点即为点P ．注：以BC 为直径作上半圆（不含点B 、C ），则该半圆上的任意一点即可． （2）如图2， 以BC 为一边作等边△QBC ， 作△QBC 的外接圆⊙O 分别与AB ，DC 交于点 M 、N ， 弧MN 即为点P 的集合．（3）如图3， 以BC 为一边作等边△QBC ， 作△QBC 的外接圆⊙O 与AD 交于点 P 1、P 2 ， 点P 1、P 2即为所求．321A BCDE E ABCD AB E ABCD AB 或BA D CE E CD A B A BB变式1、解：补全小明的图形如图1所示，（1）∵正方形的边长为2，∴BC=CD=2，∵点E是CD中点，∴CE=CD=1，在Rt△BCE中，BE==，由作图知，EF=CE=1，∴BF=BE﹣EF=﹣1，由作图知，BG=BF=﹣1，∴CG=BC﹣BG=3﹣，（2）由（1）知，BG=﹣1，CG=3﹣，∴=，∴CG，BG的比是黄金比；（3）如图2所示，考点3、找规律、新定义运算、模仿操作及其他例1、（1）a= m2+3n2；b=2mn．（2）答案不唯一（3）由题意，得：a =m 2+3n 2，b =2mn∵4=2mn ，且m 、n 为正整数， ∴m =2，n =1或者m =1，n =2， ∴a =22+3×12=7，或a =12+3×22=13．变式1、解：(1)(0,1)τ=(2,2)-；(2)a =1-，b =12；(3) ∵点(,)P x y 经过变换τ得到的对应点(,)P x y '''与点P 重合， ∴(,)(,)τ=x y x y .∵点(,)P x y 在直线2y x =上， ∴(,2)(,2)τ=x x x x . ∴2,22.x ax bx x ax bx =+=-⎧⎨⎩ 即(12)0,(22)0.a b x a b x --=-+=⎧⎨⎩∵x 为任意的实数，∴120,220.a b a b --=-+=⎧⎨⎩ 解得3,21.4a b ==-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴32a =，14b =-.【模考链接】1、解：（1）0x ≠. （2）38,23m n ==. （3）该函数的图象如下图所示.①当x <0时，y 随x 的增大而增大；当x >0时，y 随x 的增大而增大； ②函数的图象与y 轴无交点,图象由两部分组成. ③关于原点成中心对称. ……（写出一条即可） 2、 (2) ①； ②； (3)正确标出点B 的位置，画出函数图象. 3、解：（1）∵x+1≠0， ∴x ≠﹣1． 故答案为：x ≠﹣1．60m =-11n =（2）当y==时，x=3．故答案为：3．（3）描点、连线画出图象如图所示．（4）观察函数图象，发现：函数在x＜﹣1和x＞﹣1上均单调递增．4、解：（1）∵在y=x+中，x≠0，∴x的取值范围是x≠0．故答案为：x≠0．（2）∵x≠0，∴A中图象不符合题意；∵当x＞0时，x+＞0，当x＜0时，x+＜0，∴函数y=x+的图象在第一、三象限，∴B、D中图象不符合题意，故选C．（3）解：∵x＞0，∴y=x+，=（）2+（）2，=（﹣）2+6，∵（﹣）2≥0，∴y ≥6．故答案为：6；≥6．（4）y==x +﹣5．由（3）可知：当x ＞0时，x +≥6；当x ＜0时，x +≤﹣6．∴y=x +﹣5≥6﹣5=1，y=x +﹣5≤﹣6﹣5=﹣11．y 的取值范围是y ≤﹣11或y ≥1．故答案为：y ≤﹣11或y ≥1．5、解：2a <-； 解决问题：将原方程转化为a x x =+-342·设函数3421+-=x x y ，a y =1记函数1y 在40<<x 内的图象为G ，于是原问题转化为2y a =与G 有两个交点时a 的取值范围，结合图象可知 a 的取值范围是：31<<-a ．6、（1）如图所示，（2）（1，-1）（3）x =1或12-2=，所有符合条件的点P 组成的图形如图所示．（3） ∵d =23x y -+-=223x x -++-=21x x -+-∴x 可取一切实数，21x x -+-表示数轴上实数x 所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1．∴点M （2，3）到直线y ＝x ＋2的直角距离为1．8、（1）解： 由题意可得2132x x =+． ∵12x x <，∴132x =-，22x =．∴121116x x +=-． ∵直线132y x =+与x 轴交于点C ，C 点横坐标为3x ， ∴36x =-．∴3116x =-． ∴123111x x x +=． （2）①证明：如图，过点B 作BE ∥PA 交PC 于点E ．∴△BEC ∽△APC ．由PB 平分APC ∠，120APC ∠=︒，可得△PBE 是等边三角形．∴3BE PE PB x ===． ∴23EC x x =-．∵BE EC AP PC=， ∴32312x x x x x -=． ∴231312x x x x x x +=．∴123111x x x +=． ②解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E ．l∵点C 在直线y x =上，且横坐标为3x ，∴点C (3x ，3x )．∴3CE CD x ==．∵BOC AOC AOB S S S ∆∆∆+=， ∴231312111222x x x x x x +=． ∴． 9、(1)(2)答案不唯一(理由支持观点即可).10、解：2DF AD CD =⋅解决问题：法一：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，延长AD 到E ，使得DE =AM ，以AE 为直径作半圆，过点123111x x x +=lxyED x 3x 1x 2C A B OD 作AE 垂线，交半圆于点F ，以DF 为边作正方形DFGH ，正方形DFGH 即为所求．法二：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥BC 交BC 延长线于点N ，将平行四边形转化为等面积矩形，后同小骏的画法．说明：画图2分，步骤2分．3．11、（1）0∠B=∠D连接AC ，证△ABC ≌△ABD（2）①筝形的两条对角线互相垂直②筝形的一条对角线平分一组对角③筝形式轴对称图形（3）不成立.12、解：第二步：6BD BC ==；第四步：如图，△ABC 即为所求．第五步： ② ，18．13、解：（1）sin α=13， sin2α.（2）∵AC = cos α，BC =sin α，∴CD =AC BC AB⨯=sin cos αα⋅. ∵∠DCB =∠A ，∴在Rt △BCD 中，BD =sin 2α.∴OD =12- sin 2α. ∴tan2α=CD OD =. 14、（1）（2）045F ︒︒<∠≤15、解：（1）差，积（4）存在. 设这两个实数分别为x ，y ．可以得到∴．∴111y x =-+． ∵ 要满足这两个实数x ，y 都是整数，∴ x +1的值只能是1±．∴当时，；当时，．22sin cos 2sin cos 112sin sin 2αααααα⋅⋅=--36°45°72°25°50°.xy y x =-1+=x x y 0=x 0=y 2-=x 2=y∴满足两个实数都是整数的等式为，0000⨯=-222)2(⨯-=--。

第十七节尺规作图【知识点梳理】一）尺规作图1．定义只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．二）五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三）基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．【课堂练习】一．选择题（共8小题）1．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．【解答】解：连接EG，∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，∴∠1=∠2，∴AG⊥DE，OD=DE=3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AD=DG．∵AG⊥DE，∴OA=AG．在Rt△AOD中，OA===4，∴AG=2AO=8．故选B．2．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF 【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】直接根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【解答】解：由题意可得，GH垂直平分线段EF．故选C．3．如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于12AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．4．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【考点】N2：作图—基本作图．【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】N2：作图—基本作图；KO：含30度角的直角三角形．【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE 是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B．6．如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B．以点F为圆心，EF长为半径画弧C．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧【考点】N2：作图—基本作图．【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．7．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是（）A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC=BC•AH D．AB=AD【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．【解答】解：A、正确．如图连接CD、BD，∵CA=CD，BA=BD，∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确．B、错误．CA不一定平分∠BDA．C、错误．应该是S△ABC=•BC•AH．D、错误．根据条件AB不一定等于AD．故选A．8．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）A．B．C．D．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．二．填空题（共5小题）9．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为．【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，∴∠DAQ=∠BAQ．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，∴∠DAQ=∠DQA，∴△AQD是等腰三角形，∴DQ=AD=3．∵DQ=2QC，∴QC=DQ=，∴CD=DQ+CQ=3+=，∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．故答案为：15．10．如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．则∠AOC的大小为．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠AOB=20°．故答案为：20°．11．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=°．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF 是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF=∠DAC=34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣34°=56°，∴∠α=56°．故答案为：56．12．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是．【考点】N2：作图—基本作图；D5：坐标与图形性质；J5：点到直线的距离．【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数．【解答】解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，又∵点P（a，b）第二象限内，∴b=﹣a，即a+b=0，故答案为：a+b=0．13．图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．【考点】N3：作图—复杂作图；MA：三角形的外接圆与外心．【分析】由于90°的圆周角所对的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径．故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义．三．解答题（共8小题）14．如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．【考点】N2：作图—基本作图；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM=∠ABC即可；（2）根据△ACD与△ABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可．【解答】解：（1）如图所示，射线CM即为所求；（2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AD=4．15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．【考点】N2：作图—基本作图；KO：含30度角的直角三角形．【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE=，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；（2）由题可得，AE=AC=，∠A=30°，∴Rt△ADE中，DE=AD，设DE=x，则AD=2x，∴Rt△ADE中，x2+（）2=（2x）2，解得x=1，∴△ADE的周长a=1+2+=3+，∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，∴当a=3+时，T=3（3+）+1=10+3．16．如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．【考点】N3：作图—复杂作图；KX：三角形中位线定理．【分析】作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．【解答】解：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．17．如图，已知△ABC，∠B=40°．（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．【考点】N3：作图—复杂作图；MI：三角形的内切圆与内心．【分析】（1）直接利用基本作图即可得出结论；（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，⊙O即为所求．（2）如图2，连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB=∠OEB=90°，∵∠B=40°，∴∠DOE=140°，∴∠EFD=70°．18．在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．参考以上材料作图的方法，解决以下问题：（1）以上材料作图的依据是：（3）已知，直线l和l外一点P，求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）【考点】N3：作图—复杂作图；MD：切线的判定．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案．【解答】解：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）如图．19．“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．【考点】N3：作图—复杂作图；KS：勾股定理的逆定理；M5：圆周角定理．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根据圆周角定理，可得答案．【解答】解：（1）如图1，在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°（2）如图2，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°．20．如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．【考点】N3：作图—复杂作图；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质．【分析】（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．【解答】解：（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）连接AF、DF，∠延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．21．图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．【考点】N4：作图—应用与设计作图；KI：等腰三角形的判定；KK：等边三角形的性质；L6：平行四边形的判定．【分析】（1）根据等腰三角形的定义作图可得；（2）根据平行四边形的判定作图可得．【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；（2）如图③所示，▱ABCD即为所求．。

中考数学模拟测试试题卷（附答案解析） 1 中考数学模拟测试试题卷（附答案解析） 一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）

A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 2．（2分）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（ ） A．0.1692×1012 B．1.692×1012

C．1.692×1011 D．16.92×1010 3．（2分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60° 4．（2分）下列多边形中，内角和最大的是（ ）

A． B． C． D． 5．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0 6．（2分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（ ） 中考数学模拟测试试题卷（附答案解析） 2 A． B． C． D． 7．（2分）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜

n+1，则n的值为（ ） A．43 B．44 C．45 D．46 8．（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 二、填空题(共16分，每题2分) 9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 10．（2分）分解因式：5x2﹣5y2＝ ．