2019届高考数学大二轮复习 第1部分 专题6 第2讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题

2.6.2 圆锥曲线的方程与性质1．(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)[解析] ∵a 2＝3，b 2＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝2.又∵焦点在x 轴上，∴双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．[答案] B2．(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a2＝3，即b2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ， 则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又∵d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9，∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 由题意易知直线AP 的方程为y ＝36(x ＋a )，① 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．② 联立①②得y ＝35(a ＋c )，如图，过P 向x 轴引垂线，垂足为H ，则|PH |＝35(a ＋c )． 因为∠PF 2H ＝60°，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PH |＝35(a ＋c )， 所以sin60°＝|PH ||PF 2|＝35a ＋c2c＝32， 即a ＋c ＝5c ，即a ＝4c ，所以e ＝c a ＝14.故选D.[答案] D4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________． [解析] 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则F (c,0)到这条渐近线的距离为|bc |b 2＋－a2＝32c ，∴b ＝32c ，∴b 2＝34c 2，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2＝4a 2，∴e ＝ca＝2. [答案] 25．(2018·北京卷)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，双曲线N：x2m2－y2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N的离心率为________．[解析] 解法一：如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝3x，∴nm＝ 3.设m＝k，则n＝3k，则双曲线N的离心率e2＝k2＋3k2k＝2.连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F2＝30°.设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝3c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝2a，即(3＋1)c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝ca＝23＋1＝23－13＋13－1＝3－1.解法二：双曲线N的离心率同解法一．由题意可得C点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c2，32c，代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c22a2＋⎝⎛⎭⎪⎫32c2b2＝1，a2－b2＝c2，解得ca＝3－1⎝⎛⎭⎪⎫ca＝3＋1舍去.[答案] 3－1 2圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．。

重点增分专题十一 圆锥曲线的方程与性质[全国卷3年考情分析](1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．考点一 圆锥曲线的定义 保分考点·练后讲评 1.[椭圆的定义]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B.59C.49D.513解析：选D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513.2.[双曲线的定义]已知双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．8解析：选A 由题意可知2b ＝4，e ＝c a ＝62，于是a ＝2 2.∵2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，∴|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝4a ＝8 2. 3.[抛物线的定义]过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：4[解题方略] 圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.考点二 圆锥曲线的标准方程 保分考点·练后讲评 [大稳定——常规角度考双基]1.[双曲线的标准方程]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1解析：选A 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得ba ＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.2.[椭圆的标准方程]若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为3，则椭圆的标准方程为________．解析：设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ，a －c ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝3，c ＝ 3.∴椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝13.[抛物线的标准方程]若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．解析：因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到抛物线对称轴的距离为6， 若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10， 根据抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.② 由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1， 所以抛物线的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝36x . 答案：y 2＝4x 或y 2＝36x[解题方略] 求解圆锥曲线标准方程的思路[小创新——变换角度考迁移]1.[双曲线与向量交汇]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1解析：选D 不妨设B (0，b )，由BA ―→＝2AF ―→，F (c,0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，∴b 2a 2＝32.① 又|BF ―→|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2＝16.②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.2.[抛物线在物理知识中的创新]抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A ⎝⎛⎭⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.3.[椭圆中的创新]如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则P 到F 1(－4，0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程⎩⎨⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．所以正确命题的序号为②③.答案：②③考点三 圆锥曲线的几何性质 增分考点·深度精研 [析母题——高考年年“神”相似][典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12C.13D.14(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝( )A ．2B ．1C ．2 3D ．3(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2(e 为双曲线离心率)的值为________．[解析] (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14. (2)不妨设A 点在B 点上方，由双曲线的离心率为5，得1＋b 2a 2＝e 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .又抛物线的准线方程为x ＝－p2，则交点的坐标为A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－p ，所以|AB |＝2p .由△AOB 的面积为2，得12|AB |·p 2＝2，即12×2p ×p 2＝2，解得p ＝2，故选A.(3)如图所示，因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝4a . 所以|AF 1|＝22a ， |AF 2|＝22a －2a .因为|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2， 所以(2c )2＝(22a )2＋(22a －2a )2， 所以e 2＝5－2 2.[答案] (1)D (2)A (3)5－2 2[练子题——高考年年“形”不同]1．本例(3)若变为：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________.解析：设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，因为△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m . 由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝2m ＋2m ，即m ＝2(2－2)a . 所以|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a . 因为|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 所以4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2＝4c 2， 所以e 2＝9－6 2. 答案：9－6 22．本例(3)若变为：F 1，F 2为双曲线的两个焦点，点A 在双曲线上，且△AF 2F 1为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______．解析：注意到|F 2A |≠|F 1A |， 不妨设|F 2A |＞|F 1A |.因为△AF 2F 1为等腰直角三角形， 则|F 2A |∶|F 1F 2|∶|F 1A |＝2∶1∶1.所以e ＝c a ＝|F 1F 2||F 2A |－|F 1A |＝12－1＝2＋1.答案：2＋13．本例(3)中，若双曲线上存在一点P ，使得sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac ，求双曲线离心率的取值范围．解：如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|＝a c ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝2acc －a ，且|PF 2|＝2a 2c－a .又由|PF 1|≥a ＋c ，可得2acc －a≥a ＋c ，即e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤2＋1，又因为e >1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，2＋1]． [解题方略]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或ab的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·阜阳模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫55，1 B.⎣⎡⎭⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析：选B ∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22.又0＜e ＜1，∴22≤e ＜1. 3．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5. ∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴⎩⎨⎧16p2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.4．(2018·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎨⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－a b x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)考点四 直线与圆锥曲线 增分考点·广度拓展 [分点研究]题型一 直线与圆锥曲线的位置关系[例1] (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝pt x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点． [解题方略]1．直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2．直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．题型二 直线与圆锥曲线的弦长[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0，求线段AB 长度的取值范围． [解] (1)因为以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点， 所以b ＝c ＝1，即a ＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，即直线AB 的斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，与x 22＋y 2＝1联立，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2k1＋2k 2， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 21＋2k 2，k 1＋2k 2.所以线段AB 的垂直平分线的方程为 y －k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k 21＋2k 2， 设点P (x P ，y P )，令y ＝0，得x P ＝－k 21＋2k2.因为x P ∈⎝⎛⎭⎫－14，0，所以0＜k 2＜12.|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22－4×2k 2－21＋2k 2 ＝22(1＋k 2)1＋2k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋2k 2. 因为0＜k 2＜12，所以32＜1＋11＋2k 2＜2，即322＜|AB |＜2 2. 故线段AB 长度的取值范围是⎝⎛⎭⎫322，22.[解题方略] 直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k 2·(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 求之．[多练强化]已知点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，且点M 到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△PAB 的面积．解：(1)∵2a ＝43，∴a ＝2 3. 又点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆上， ∴23＋43b2＝1，解得b 2＝4， ∴椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4. ∵AB 是等腰△PAB 的底边，∴PE ⊥AB . ∴PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0， ∴y 1＝－1，y 2＝2，∴|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，∴△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.数学运算——直线与圆锥曲线综合问题的求解[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝3，(－1)2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2＞3，故a 2＝4，则b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AM ―→＝2MB ―→，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m 得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0， 则y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2， 得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2， 所以m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2. 易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t2，又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，得21m 4－16m 2－16＝0， 即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ＞0，所以M ⎝⎛⎭⎫±233，0. 在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121. [素养通路]本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a ，b 的方程组，解方程组可得a ，b 的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M ，A ，B 的坐标及直线l 的方程x ＝ty ＋m ，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m 与t 的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M 的坐标进而得|MN |.考查了数学运算这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13 B.12C.22D.223解析：选C ∵a 2＝4＋22＝8， ∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.2．一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 218－x 28＝1 B.x 218－y 28＝1C.x 216－y 210＝1 D.y 216－x 210＝1解析：选B 设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26.又焦点在x 轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x 218－y 28＝1.3．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选B 设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1,2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca＝1＋b 2a2＝2，∴b a ＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 5．已知双曲线x 2－y 28＝1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1解析：选C 设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4.6．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D.3－1解析：选D 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°， 不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2， 则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1. 二、填空题7．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，则其焦距为________．解析：由渐近线方程y ＝±33x ，可得1a ＝33，解得a ＝3，故c ＝(3)2＋1＝2，故焦距为4.答案：48．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意可知，直线l 过焦点，且垂直于x 轴，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ， 则|AB |＝2b 2a ，由|AB |＝2×2a ，则b 2＝2a 2，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a2＝ 3. 答案： 39．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为x ＝－1，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点为(1,1)，则直线l 的方程为________．解析：依题意易得抛物线的方程为y 2＝4x ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为线段MN 的中点为(1,1)，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，则x 1≠x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝0 三、解答题10．(2018·石家庄模拟)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 212，y 2＝x 222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝1.(2)由y ＝x 22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 22，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m >0，得m >－12，x 1,2＝1±1＋2m .从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝22(1＋2m ).由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1＋2m )＝⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72， 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.11．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线x ＋ky －3＝0所经过的定点是(3,0)， 即点F (3,0)．因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8， 所以a ＋3＝8，a ＝5，所以b 2＝52－32＝16， 所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上， 所以m 225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225.又原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n2＝1925m 2＋16<1，所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交． 则l 2＝4(12－d 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1925m 2＋16， 因为－5≤m ≤5，所以152≤l ≤465. 故直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围为⎣⎡⎦⎤152，465.B 组——大题专攻补短练1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N . 证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p . 又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py 消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，即y ＝x 22p，∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p . ∴直线AN 与抛物线相切．2．(2018·贵阳适应性考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1―→·MF 2―→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1―→·MF 2―→＝0，得b ＝c .①因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以b 2a ＝22.② 又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③，解得a 2＝2，b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)>0，设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k (2k ＋1)1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k 1＋2k 2， k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －(2k ＋2)×4k (2k ＋1)1＋2k 28k 2＋8k1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1， 所以k 1＋k 2＝－1.3．(2019届高三·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设 C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎨⎧ m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ， 由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2kk 2＋2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1， 即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2. 此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段P Q 的中点，且OP ⊥O Q ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解：(1)由已知|AB |＝52|BF |， 得 a 2＋b 2＝52a ， 即4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，所以e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，所以椭圆C 的方程可化为x 24b 2＋y 2b 2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 214b 2＋y 21b 2＝1，x 224b 2＋y 22b2＝1， 可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b2＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4b 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， 即－3217(x 1－x 2)4＋417(y 1－y 2)＝0，从而k P Q ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以直线l 的方程为y －217＝2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－1617， 即2x －y ＋2＝0. 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0. 则Δ＝322＋16×17×(b 2－4)>0⇔b >21717， x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217. 因为OP ⊥O Q ，OP ―→·O Q ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0，从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 综上，直线l 的方程为2x －y ＋2＝0，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.。

第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第45~47页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2， 所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a 2-2ac-5c 2=0，所以5c 2+2ac-3a 2=0.所以5e 2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2019·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即22因为离心率e=ca=32，所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2. ②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(20)的距离与点P到定直线l：x=2222，求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358ca AF AF=⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.ca=⎧⎨=⎩，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为216x+212y=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得22(-2)|-22|x yx+=22，整理，得24x+22y=1，所以动点P的轨迹C'的方程为24x+22y=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(1)(2019·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1))(2)(2019·临川一中质检)如图(2)，已知点A，F分别是2 2 xa-22yb=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2019·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】75(2)2(3)13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A1B2的方程为-xa+yb=1，直线B1F的方程为xc+-yb=1.联立方程组解得T2()--ac b a ca c a c+⎛⎫⎪⎝⎭，.又M()-2(-)ac b a ca c a c⎛⎫+⎪⎝⎭，在椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上，故22(-)ca c+22()4(-)a ca c+=1，即e2+10e-3=0，解得e=275.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=±ba x 联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R-bcca⎛⎫⎪⎝⎭，，Sbcca⎛⎫⎪⎝⎭，，则S△ROS=12·2bca·c=2bca，S△POQ =12a·2b=ab，于是由S△ROS=2S△POQ，得2bca=2ab，即22ca=2，所以e=2.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=5cc+·5-cc=2225-cc=2125-1c.又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c<4，0<225c-1<3，所以e1e2=2125-1c>13.变式1(2019·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2ABk=k AM，得ba=2Myaac+，所以y M=b1ac⎛⎫+⎪⎝⎭.由1FBk=k FM，得bc=2-Myacc，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2019·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2019·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 .(变式3)【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF=FA ，而FA=2a c -c ，PF ≤a+c ，所以2a c -c ≤a+c ，即a 2≤ac+2c 2.又e=ca，所以2e 2+e ≥1，所以2e 2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2019·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a =32，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB uuu r ·A C uuu r =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2019·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l的斜率为12，求APAQ的值；(2)若PQu u u r=λAPuuu r，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知2222422acaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得22.ab=⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x+22y=1，圆的方程为x2+y2=4.由题知直线l的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得3y2-4y=0，所以y P=4 3.由222-24x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得5y2-8y=0，所以y Q=85.所以APAQ=PQyy=43×58=56.(2)因为PQu u u r=λAPuuu r，且APuuu r，PQu u u r同向，则λ=PQAP=-AQ APAP=AQAP-1，设直线l：y=k(x+2)，联立方程组224(2)x yy k x⎧+=⎨=+⎩，，消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421k k +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2019·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为 .【答案】22【解析】根据双曲线的方程知a=22a=22.(2019·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x 为双曲线的渐近线，则b a =1，又a 2+b 2=c 2，所以a 2=12，b 2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】92【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2019·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】33【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=3所以e=ca=1212F FAF AF=33nn=33.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2019·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2019·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2019·普陀区调研)离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2019·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2019·盐城中学)设椭圆22xm+..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2019·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2019·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、 解答题9.(2019·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M u u u u r =λMP u u u r(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2019·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB u u u r=1，|OF u u u r |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(22)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x ，即y=±2x.3. 43 【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，焦点F (1，0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0+1=5，所以x 0=4，所以20y=4x 0=16，y 0=4，从而点A (4，4)，直线AF 的斜率k=4-04-1=43.4.2 【解析】不妨设椭圆方程为22x a +22y b =1(a>b>0)，则有222-1b a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221b a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF 2+AF 2+AB=4a=8，因为BF 2+AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A 3-2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B3--2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c +294b =1.又c 2=a 2-b 2=4-b 2，所以24-4b +294b =1，即1-24b +294b =1，所以24b =294b ，解得b 2=3，所以6.4【解析】由题意可知抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以47.【解析】由题意知A (-a ，0)，B (a ，0)，取P (0，b )，则k AP ·k BP =b a×-b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=3.8. 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1=F 1F 2=2c 时，PF 2=2a-PF 1=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF 2=F 1F 2=2c 时，PF 1=2a-PF 2=2a-2c ，即2a-2c>2c ，且2c>a-c ，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、 解答题9. (1) 因为28x +24y =1，所以F 1(-2，0)，F 2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F M k=4，所以直线F 2M 的方程为x-2)，直线F 1M 的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM u u u u r=2MPuuu r ，所以1FM u u u u r =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M u u u u r =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P uuu r=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )， 所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF uuu r ·F B uuu r=1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP uuu r·FQ u u u r=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件， 所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)， 直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)， 解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m+23n=1，得n2=321-4m⎛⎫⎪⎝⎭，代入上式得24x+23y=1.所以点M恒在椭圆C上.。

第2讲圆锥曲线的概念、方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程1.(2015广东卷)已知椭圆错误!未找到引用源。

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=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)9解析:由4=错误!未找到引用源。

(m>0)⇒m=3,故选B.2.若圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为( A )(A)错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

=1 (B)错误!未找到引用源。

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=1(C)错误!未找到引用源。

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=1 (D)错误!未找到引用源。

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=1解析:解方程组错误!未找到引用源。

得错误!未找到引用源。

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因为圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以A(0,-3),B(0,3),所以a=3,2c=18,所以b2=(错误!未找到引用源。

)2-32=72,所以双曲线方程为错误!未找到引用源。

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=1.故选A.3.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C 的准线上一点,则△ABP的面积为( C )(A)18 (B)24 (C)36 (D)48解析: 设抛物线方程y2=2px(p>0),F为抛物线焦点,则直线l垂直于x轴,AF=错误!未找到引用源。

=6,所以△ABP的边AB上的高h=6,所以S△ABP=错误!未找到引用源。

×12×6=36.故选C.4.已知P为椭圆错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.答案:75.(2015佛山模拟)设F1,F2是双曲线x2-错误!未找到引用源。

重点增分专题十 圆锥曲线的方程与性质[全国卷3年考情分析](1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考内容，多以选择题的形式考查，常出现在第4～11题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法，难度中等．(2)圆锥曲线与直线的综合问题多以解答题的形式考查，常出现在第20题的位置，一般难度较大．考点一 圆锥曲线的定义 保分考点·练后讲评 1.[椭圆的定义]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B.59C.49D.513解析：选D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513. 2.[双曲线的定义]已知双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．8解析：选A 由题意可知2b ＝4，e ＝c a ＝62，于是a ＝2 2.∵2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，∴|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝4a ＝8 2.3.[抛物线的定义]过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4. 答案：4[解题方略] 圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.考点二 圆锥曲线的标准方程 保分考点·练后讲评 [大稳定——常规角度考双基]1.[双曲线的标准方程]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1解析：选A 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得ba ＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.2.[椭圆的标准方程]若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为3，则椭圆的标准方程为________．解析：设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，由已知得⎩⎨⎧b ＝3c ，a －c ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝23，b ＝3，c ＝ 3.∴椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝13.[抛物线的标准方程]若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．解析：因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到抛物线对称轴的距离为6， 若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p2，0的距离为10， 根据抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.② 由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1， 所以抛物线的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝36x . 答案：y 2＝4x 或y 2＝36x[解题方略] 求解圆锥曲线标准方程的思路[小创新——变换角度考迁移]1.[双曲线与向量交汇]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1解析：选D 不妨设B (0，b )，由BA ―→＝2AF ―→，F (c,0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1， ∴b 2a 2＝32.① 又|BF ―→|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16.②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.2.[抛物线在物理知识中的创新]抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A ⎝⎛⎭⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.3.[椭圆中的创新]如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则P 到F 1(－4，0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程⎩⎨⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．所以正确命题的序号为②③.答案：②③考点三 圆锥曲线的几何性质 增分考点·深度精研 [析母题——高考年年“神”相似][典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12C.13D.14(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝( )A ．2B ．1C ．2 3D ．3(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2(e 为双曲线离心率)的值为________．[解析] (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠tan ∠PAB ＝|PB ||AB |F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.(2)不妨设A 点在B 点上方，由双曲线的离心率为5，得1＋b 2a 2＝e 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .又抛物线的准线方程为x ＝－p2，则交点的坐标为A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－p ，所以|AB |＝2p .由△AOB 的面积为2，得12|AB |·p 2＝2，即12×2p ×p 2＝2，解得p ＝2，故选A.(3)如图所示，因为|AF1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝4a . 所以|AF 1|＝22a ， |AF 2|＝22a －2a .因为|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2， 所以(2c )2＝(22a )2＋(22a －2a )2， 所以e 2＝5－2 2.[答案] (1)D (2)A (3)5－2 2[练子题——高考年年“形”不同]1．本例(3)若变为：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________.解析：设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，因为△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m . 由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝2m ＋2m ，即m ＝2(2－2)a . 所以|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a . 因为|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 所以4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2＝4c 2， 所以e 2＝9－6 2.答案：9－6 22．本例(3)若变为：F 1，F 2为双曲线的两个焦点，点A 在双曲线上，且△AF 2F 1为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______．解析：注意到|F 2A |≠|F 1A |， 不妨设|F 2A |＞|F 1A |.因为△AF 2F 1为等腰直角三角形， 则|F 2A |∶|F 1F 2|∶|F 1A |＝2∶1∶1. 所以e ＝c a ＝|F 1F 2||F 2A |－|F 1A |＝12－1＝2＋1.答案：2＋13．本例(3)中，若双曲线上存在一点P ，使得sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac ，求双曲线离心率的取值 范围．解：如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|＝a c ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 得|PF 1|＝2ac c －a ，且|PF 2|＝2a 2c －a.又由|PF 1|≥a ＋c ，可得2acc －a≥a ＋c ，即e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤2＋1，又因为e >1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，2＋1]． [解题方略]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或ab 的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·阜阳模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫55，1 B.⎣⎡⎭⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析：选B ∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22.又0＜e ＜1，∴22≤e ＜1. 3．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5. ∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴⎩⎨⎧16p 2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.4．(2018·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．线y ＝abx 平行的解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎨⎧y ＝abx ＋c ，y ＝－a b x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c 2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线的离心率e ＝ca＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)考点四 直线与圆锥曲线 增分考点·广度拓展 [分点研究]题型一 直线与圆锥曲线的位置关系[例1] (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t ， 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．[解题方略]1．直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2．直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．题型二 直线与圆锥曲线的弦长[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0，求线段AB 长度的取值范围． [解] (1)因为以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点， 所以b ＝c ＝1，即a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，即直线AB 的斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，与x 22＋y 2＝1联立，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2k1＋2k 2， 即M ⎝⎛⎭⎫－2k 21＋2k 2，k1＋2k 2.所以线段AB 的垂直平分线的方程为y －k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k 21＋2k 2，设点P (x P ，y P )，令y ＝0，得x P ＝－k 21＋2k 2.因为x P ∈⎝⎛⎭⎫－14，0，所以0＜k 2＜12.|AB |＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－4k 21＋2k 22－4×2k 2－21＋2k 2＝22(1＋k 2)1＋2k 2＝2⎝⎛⎭⎫1＋11＋2k 2. 因为0＜k 2＜12，所以32＜1＋11＋2k 2＜2，即322＜|AB |＜2 2. 故线段AB 长度的取值范围是⎝⎛⎭⎫322，22.[解题方略] 直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k 2·(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 求之．[多练强化]已知点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，且点M 到两焦点的距离之和 为4 3. (1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△PAB 的面积．解：(1)∵2a ＝43，∴a ＝2 3. 又点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆上， ∴23＋43b 2＝1，解得b 2＝4， ∴椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.∵AB 是等腰△PAB 的底边，∴PE ⊥AB .∴PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0， ∴y 1＝－1，y 2＝2，∴|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，∴△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.数学运算——直线与圆锥曲线综合问题的求解[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.[解](1)由题意知⎩⎨⎧a 2－b 2＝c 2＝3，(－1)2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2＞3，故a 2＝4，则b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AM ―→＝2MB ―→，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0， 则y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2， 得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2， 所以m 2－4t 2＋4＝－2⎝⎛⎭⎫－2tm t 2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2， 又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m |1＋t2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，得21m 4－16m 2－16＝0， 即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ＞0，所以M ⎝⎛⎭⎫±233，0. 在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121.[素养通路]本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a ，b 的方程组，解方程组可得a ，b 的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M ，A ，B 的坐标及直线l 的方程x ＝ty ＋m ，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m 与t 的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M 的坐标进而得|MN |.考查了数学运算这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13 B.12C.22D.223解析：选C ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.2．一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 218－x 28＝1 B.x 218－y 28＝1C.x 216－y210＝1 D.y 216－x210＝1解析：选B 设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26.又焦点在x轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x 218－y 28＝1.3．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选B 设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1,2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca＝1＋b 2a2＝2，∴b a ＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 5．已知双曲线x 2－y 28＝1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1解析：选C 设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4.6．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D.3－1解析：选D 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°， 不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1， 所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.二、填空题7．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，则其焦距为________．解析：由渐近线方程y ＝±33x ，可得1a ＝33，解得a ＝3，故c ＝(3)2＋1＝2，故焦距为4.答案：48．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意可知，直线l 过焦点，且垂直于x 轴，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ， 则|AB |＝2b 2a ，由|AB |＝2×2a ， 则b 2＝2a 2，所以双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝ 3. 答案： 39．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为x ＝－1，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点为(1,1)，则直线l 的方程为________．解析：依题意易得抛物线的方程为y 2＝4x ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为线段MN 的中点为(1,1)，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，则x 1≠x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝0 三、解答题10．(2018·石家庄模拟)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 212，y 2＝x 222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝1.(2)由y ＝x22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 22，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m >0，得m >－12，x 1,2＝1±1＋2m .从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝22(1＋2m ).由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1＋2m )＝⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72， 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.11．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线x ＋ky －3＝0所经过的定点是(3,0)， 即点F (3,0)．因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8， 所以a ＋3＝8，a ＝5，所以b 2＝52－32＝16， 所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上， 所以m 225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225.又原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n 2＝1925m 2＋16<1，所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交． 则l 2＝4(12－d 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1925m 2＋16， 因为－5≤m ≤5，所以152≤l ≤465. 故直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围为⎣⎡⎦⎤152，465.B 组——大题专攻补短练1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N . 证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p . 又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0. ∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，即y ＝x 22p，∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p . ∴直线AN 与抛物线相切．2．(2018·贵阳适应性考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1―→·MF 2―→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1―→·MF 2―→＝0，得b ＝c .①因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点， 且|AB |＝2，所以b 2a ＝22.②又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③，解得a 2＝2，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0， 由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)>0， 设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k (2k ＋1)1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k1＋2k 2，k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －(2k ＋2)×4k (2k ＋1)1＋2k 28k 2＋8k 1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1，所以k 1＋k 2＝－1.3．(2019届高三·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设 C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )， 所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→， 知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2kk 2＋2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2. 此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段P Q 的中点，且OP ⊥O Q ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解：(1)由已知|AB |＝52|BF |， 得a 2＋b 2＝52a ， 即4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， 所以e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，所以椭圆C 的方程可化为x 24b 2＋y 2b 2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 214b 2＋y 21b 2＝1，x 224b 2＋y 22b 2＝1， 可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b2＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4b 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即－3217(x 1－x 2)4＋417(y 1－y 2)＝0，从而k P Q ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以直线l 的方程为y －217＝2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－1617， 即2x －y ＋2＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0. 则Δ＝322＋16×17×(b 2－4)>0⇔b >21717，x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.因为OP ⊥O Q ，OP ―→·O Q ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0，从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.综上，直线l 的方程为2x －y ＋2＝0， 椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.。

[解析] 因为双曲线的离心率为2.所以ca ＝2.c ＝2a .b ＝3a .不妨令A (2a,3a ).B (2a .－3a ).双曲线其中一条渐近线方程为y ＝3x .所以d 1＝|23a －3a|(3)2＋(－1)2＝23a －3a2. d 2＝|23a ＋3a|(3)2＋(－1)2＝23a ＋3a 2；依题意得：23a －3a 2＋23a ＋3a2＝6.解得：a ＝3.b ＝3.所以双曲线方程为：x23－y29＝1.5．(20xx·北京卷.10)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4.则抛物线的焦点坐标为(1,0).[解析] 由已知.直线l ：x ＝1.又因为l 被抛物线截得的线段长为4.抛物线图象关于x 轴对称.所以点(1,2)在抛物线上.即22＝4a ×1.解得a ＝1.故抛物线方程为y 2＝4x .焦点坐标为(1,0)．6．(20xx·江苏卷.8)在平面直角坐标系xOy 中.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0.b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c .则其离心率的值是2.[解析] 由题意画图可知.渐近线y ＝b a x 与坐标轴的夹角为60°.故ba ＝3.c 2＝a 2＋b 2＝4a 2.故e ＝ca＝2.7．(文)(20xx·全国卷Ⅰ.20)设抛物线C ：y 2＝2x .点A ()2，0.B ()－2，0.过点A 的直线l 与C 交于M .N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时.求直线BM 的方程． (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .[解析] (1)当l 与x 轴垂直时.l 的方程为x ＝2.可得M 的坐标为(2,2)或(2.－2)．：a2－b2＝＝8的一条渐近线的距离为3.＝上两点4：a2＋b2＝3且与双曲线：b2－b2＋1＝G 跟踪训练en zong xun lian如图.点P (0.－1)是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的一个顶点.C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径.l 1.l 2是过点P 且互相垂直的两条直线.其中l 1交圆C 2于A .B 两点.l 2交椭圆C 1于另一点D ．(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 的面积取最大值时直线l 1的方程． [解析] (1)由已知可得b ＝1.且2a ＝4. 即a ＝2.所以椭圆C 1的方程是x24＋y 2＝1. (2)因为直线l 1⊥l 2.且都过点P (0.－1). 所以设直线l 1：y ＝kx －1.即kx －y －1＝0. 直线l 2：y ＝－1k x －1.即x ＋ky ＋k ＝0.所以圆心(0,0)到直线l 1的距离为d ＝11＋k2.所以直线l 1被圆x 2＋y 2＝4所截得的弦长为|AB |＝24－d2＝23＋4k21＋k2.由⎩⎨⎧x ＋ky ＋k ＝0，x24＋y2＝1⇒k 2x 2＋4x 2＋8kx ＝0.Δ＝64k 2≥0.所以x D ＋x P ＝－8kk2＋4.所以|DP |＝(1＋1k 2)64k 2(k 2＋4)2＝8k2＋1k2＋4.所以S △ABD ＝12|AB ||DP |故所求的双曲线方程为x24－y212＝1.故选D ． 4．(20xx·重庆一模)已知圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0.b >0)有两个交点.则双曲线C 的离心率的取值范围是( D ) A ．(1.3) B ．(1,2) C ．(3.＋∞)D ．(2.＋∞)[解析] 由题意.圆心到直线的距离d ＝|k|12＋k2＝32.所以k ＝±3. 因为圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0.b >0)有两个交点. 所以b a >3.所以1＋b2a2>4.所以e >2.5．(20xx·济南一模)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F .准线为l .P 是l 上一点.Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →＝4FQ →.则|QF |＝( B )A ．72B ．3C ．52D ．2[解析] 如图所示.因为FP →＝4FQ →.所以|PQ||PF|＝34.过点Q 作QM ⊥l 垂足为M .则MQ ∥x 轴.所以|MQ|4＝|PQ||PF|＝34.所以|MQ |＝3.由抛物线定义知|QF |＝|QM |＝3.6．(20xx·泉州一模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线l .过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A .与点C 的一个交点为点B .若AM →＝MB →.则p ＝2. [解析] 设直线AB ：y ＝3x －3.代入y 2＝2px 得： 3x 2＋(－6－2p )x ＋3＝0.。

重点增分专题十一 圆锥曲线的方程与性质[全国卷3年考情分析](1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．考点一 圆锥曲线的定义 保分考点·练后讲评 1.[椭圆的定义]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B.59C.49D.513解析：选D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513. 2.[双曲线的定义]已知双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．8解析：选A 由题意可知2b ＝4，e ＝c a ＝62，于是a ＝2 2.∵2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，∴|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝4a ＝8 2. 3.[抛物线的定义]过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：4[解题方略] 圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.考点二 圆锥曲线的标准方程 保分考点·练后讲评 [大稳定——常规角度考双基]1.[双曲线的标准方程]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1解析：选A 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得ba ＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.2.[椭圆的标准方程]若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为3，则椭圆的标准方程为________．解析：设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ，a －c ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝3，c ＝ 3.∴椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝13.[抛物线的标准方程]若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．解析：因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到抛物线对称轴的距离为6， 若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10， 根据抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.② 由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1， 所以抛物线的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝36x . 答案：y 2＝4x 或y 2＝36x[解题方略] 求解圆锥曲线标准方程的思路[小创新——变换角度考迁移]1.[双曲线与向量交汇]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1解析：选D 不妨设B (0，b )，由BA ―→＝2AF ―→，F (c,0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，∴b 2a 2＝32.① 又|BF ―→|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2＝16.②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.2.[抛物线在物理知识中的创新]抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A ⎝⎛⎭⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.3.[椭圆中的创新]如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则P 到F 1(－4，0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程⎩⎨⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．所以正确命题的序号为②③.答案：②③考点三 圆锥曲线的几何性质 增分考点·深度精研 [析母题——高考年年“神”相似][典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12C.13D.14(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝( )A ．2B ．1C ．2 3D ．3(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2(e 为双曲线离心率)的值为________．[解析] (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a＝14. (2)不妨设A 点在B 点上方，由双曲线的离心率为5，得1＋b 2a 2＝e 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .又抛物线的准线方程为x ＝－p2，则交点的坐标为A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－p ，所以|AB |＝2p .由△AOB 的面积为2，得12|AB |·p 2＝2，即12×2p ×p 2＝2，解得p ＝2，故选A.(3)如图所示，因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝4a . 所以|AF 1|＝22a ， |AF 2|＝22a －2a .因为|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2， 所以(2c )2＝(22a )2＋(22a －2a )2， 所以e 2＝5－2 2.[答案] (1)D (2)A (3)5－2 2[练子题——高考年年“形”不同]1．本例(3)若变为：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________.解析：设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，因为△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m . 由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝2m ＋2m ，即m ＝2(2－2)a . 所以|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a . 因为|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 所以4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2＝4c 2， 所以e 2＝9－6 2. 答案：9－6 22．本例(3)若变为：F 1，F 2为双曲线的两个焦点，点A 在双曲线上，且△AF 2F 1为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______．解析：注意到|F 2A |≠|F 1A |， 不妨设|F 2A |＞|F 1A |.因为△AF 2F 1为等腰直角三角形， 则|F 2A |∶|F 1F 2|∶|F 1A |＝2∶1∶1. 所以e ＝ca ＝|F 1F 2||F 2A |－|F 1A |＝12－1＝2＋1.答案：2＋13．本例(3)中，若双曲线上存在一点P ，使得sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac ，求双曲线离心率的取值范围．解：如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|＝a c ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝2ac c －a ，且|PF 2|＝2a 2c －a.又由|PF 1|≥a ＋c ，可得2acc －a≥a ＋c ，即e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤2＋1，又因为e >1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，2＋1]． [解题方略]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca 的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或ab 的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·阜阳模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫55，1 B.⎣⎡⎭⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析：选B ∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22.又0＜e ＜1，∴22≤e ＜1. 3．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5. ∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴⎩⎨⎧16p2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.4．(2018·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎨⎧y ＝abx ＋c ，y ＝－a b x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线的离心率e ＝ca＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)考点四 直线与圆锥曲线 增分考点·广度拓展 [分点研究]题型一 直线与圆锥曲线的位置关系[例1] (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点． [解题方略]1．直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2．直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．题型二 直线与圆锥曲线的弦长[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0，求线段AB 长度的取值范围． [解] (1)因为以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点， 所以b ＝c ＝1，即a ＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，即直线AB 的斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，与x 22＋y 2＝1联立，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2k1＋2k2， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 21＋2k 2，k 1＋2k 2.所以线段AB 的垂直平分线的方程为y －k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k 21＋2k 2，设点P (x P ，y P )，令y ＝0，得x P ＝－k 21＋2k 2.因为x P ∈⎝⎛⎭⎫－14，0，所以0＜k 2＜12. |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22－4×2k 2－21＋2k 2 ＝22(1＋k 2)1＋2k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋2k 2.因为0＜k 2＜12，所以32＜1＋11＋2k 2＜2，即322＜|AB |＜2 2.故线段AB 长度的取值范围是⎝⎛⎭⎫322，22.[解题方略] 直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k 2·(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 求之．[多练强化]已知点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，且点M 到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△PAB 的面积．解：(1)∵2a ＝43，∴a ＝2 3. 又点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆上，∴23＋43b2＝1，解得b 2＝4， ∴椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.∵AB 是等腰△PAB 的底边，∴PE ⊥AB . ∴PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0， ∴y 1＝－1，y 2＝2，∴|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，∴△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.数学运算——直线与圆锥曲线综合问题的求解[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝3，(－1)2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2＞3，故a 2＝4，则b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AM ―→＝2MB ―→，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m 得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0， 则y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2， 得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2， 所以m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2. 易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2，又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1， 得21m 4－16m 2－16＝0， 即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ＞0，所以M ⎝⎛⎭⎫±233，0. 在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121. [素养通路]本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a ，b 的方程组，解方程组可得a ，b 的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M ，A ，B 的坐标及直线l 的方程x ＝ty ＋m ，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m 与t 的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M 的坐标进而得|MN |.考查了数学运算这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13 B.12C.22D.223解析：选C ∵a 2＝4＋22＝8， ∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.2．一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 218－x 28＝1 B.x 218－y 28＝1C.x 216－y 210＝1 D.y 216－x 210＝1解析：选B 设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26.又焦点在x 轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x 218－y 28＝1.3．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选B 设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1,2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca＝1＋b 2a2＝2，∴ba ＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 5．已知双曲线x 2－y 28＝1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1解析：选C 设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4.6．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D.3－1解析：选D 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°， 不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2， 则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.二、填空题7．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，则其焦距为________．解析：由渐近线方程y ＝±33x ，可得1a ＝33，解得a ＝3，故c ＝(3)2＋1＝2，故焦距为4.答案：48．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意可知，直线l 过焦点，且垂直于x 轴，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ， 则|AB |＝2b 2a ，由|AB |＝2×2a ，则b 2＝2a 2，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a2＝ 3. 答案： 39．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为x ＝－1，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点为(1,1)，则直线l 的方程为________．解析：依题意易得抛物线的方程为y 2＝4x ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为线段MN 的中点为(1,1)，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，则x 1≠x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝0 三、解答题10．(2018·石家庄模拟)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 212，y 2＝x 222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝1.(2)由y ＝x 22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 22，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m >0，得m >－12，x 1,2＝1±1＋2m .从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝22(1＋2m ).由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1＋2m )＝⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72， 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.11．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线x ＋ky －3＝0所经过的定点是(3,0)， 即点F (3,0)．因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8， 所以a ＋3＝8，a ＝5，所以b 2＝52－32＝16， 所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上， 所以m 225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225.又原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n2＝1925m 2＋16<1，所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交． 则l 2＝4(12－d 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1925m 2＋16， 因为－5≤m ≤5，所以152≤l ≤465. 故直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围为⎣⎡⎦⎤152，465.B 组——大题专攻补短练1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N . 证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p . 又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py 消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，即y ＝x 22p，∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p . ∴直线AN 与抛物线相切．2．(2018·贵阳适应性考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1―→·MF 2―→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1―→·MF 2―→＝0，得b ＝c .①因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以b 2a ＝22.② 又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③，解得a 2＝2，b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)>0，设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k (2k ＋1)1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k 1＋2k 2， k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －(2k ＋2)×4k (2k ＋1)1＋2k 28k 2＋8k1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1， 所以k 1＋k 2＝－1.3．(2019届高三·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设 C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎨⎧ m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1， 即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2. 此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段P Q 的中点，且OP ⊥O Q ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解：(1)由已知|AB |＝52|BF |， 得 a 2＋b 2＝52a ， 即4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，所以e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，所以椭圆C 的方程可化为x 24b 2＋y 2b2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 214b 2＋y 21b 2＝1，x 224b 2＋y 22b2＝1， 可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b2＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4b 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， 即－3217(x 1－x 2)4＋417(y 1－y 2)＝0，从而k P Q ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以直线l 的方程为y －217＝2⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－1617， 即2x －y ＋2＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0. 则Δ＝322＋16×17×(b 2－4)>0⇔b >21717， x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217. 因为OP ⊥O Q ，OP ―→·O Q ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0，从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 综上，直线l 的方程为2x －y ＋2＝0，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.。