数学知识点天津市和平区2017届高三第二次质量调查(二模)数学(理)试题 Word版含答案-总结

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项:1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：∙如果事件B A ，互斥,那么∙如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B A P += .)()()(B P A P B A P ⋅=⋅.∙锥体的体积公式13VSh =,其中S 表示∙球的体积公式343V R π=,其中R 表示 锥体的底面积,h 表示锥体的高. 球的半径.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合1{-=x A ≤}4<x ,}034{2<+-=x x x B ,则)(B A R可表示为（A ）)4,3()1,1[ - （B ）)4,3[]1,1[ - （C ）)3,1( （D ）),(+∞-∞（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+-+--+，，01022,04y kx y x y x 其中21>k ,若目标函数y x z -=的最小值大于3-,则k 的取值范围是（A ）)3,21(（B ）),3(+∞ （C ）)5,21(（D ）),5(+∞（3）阅读右面的程序框图,当该程序运行后输出的S 值是 （A ）12 （B ）16 （C ）24（D ）32（4）设∈x R ,则“b a =”是“b x a x x f ++=)()(为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=t y t x 314（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为θρsin 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为 （A ）5（B ）22（C ）32（D ）52（6）如图,圆O 的两条弦AB 与CD 相交于点E ,圆O 的切线CF 交AB 的延长线于F 点,且2:3:=EB AE ,CF EF =,2=CE ,23=ED ,则CF 的长为（A ）6（B ）5 （C ）62（D ）52（7）已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的左、右焦点分别为21F F 、,其一条渐近线为02=+y x ,点M 在双曲线上,且x MF ⊥1轴,若2F 同时为抛物线x y 122=的焦点,则1F 到直线M F 2的距离为 （A ）563 （B ）665 （C ）65（D ）56 （8）已知2()log 2g x x x =--的三个零点为c b a ,,且c b a <<,若2()log f x x =, 则)(),(),(c f b f a f 的大小关系为（A ）)()()(c f a f b f << （B ）)()()(a f c f b f << （C ）)()()(c f b f a f <<（D ）)()()(b f a f c f <<第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

• 锥体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高.π π 22017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页.考试结束后，将 II 卷和答题卡一并交回.第 I 卷（选择题，共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它 答案，不能答在试卷上.参考公式：·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P ( AB ) = P ( A ) + P (B )•柱体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.13一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1. 已知复数 z = 1 - i ，则z 2 z - 1=A. 2B. －2C. 2iD. －2i2．命题“函数 y = f ( x ) ( x ∈ M ) 是偶函数”的否定是A ． ∀x ∈ M ， f (- x ) ≠ f ( x )B. ∃x ∈ M ,C. ∀x ∈ M ， f (- x ) = f ( x )D. ∃x ∈ M ,f (- x ) ≠ f ( x )f (- x ) = f ( x )3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A ． 3 3 32 + π2 25 32 32 128B ． 3 3 +C ． 9 3 +D ． 9 3 +25 25 25π1.621.5正视图俯视图4. 如果执行右面的程序框图，输入 n = 6, m = 4 ，那么输出的 p 等于A ．720 B. 360 C. 180 D. 60邻交点的距离等于πA.(ππ8．已知g(x )=mx+2，f(x)=x2-，若对任意的x∈[-1,2]，总存在x∈[1,3]，x25．已知函数f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)的图象与x轴的两个相π，若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位26得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间为ππππ,) B.(-,) C.(0,) D.(-,0)434433⎧2,x>16.已知函数f(x)=⎨，则不等式f(1-x2)>f(2x)的解集是⎩(x-1)2+2,x≤1A．{x|-1<x<-1+2}B．{x|x<-1,或x>-1+2}C．{x|-1-2<x<1}D．{x|x<-1-2,或x>2-1}1 17．在平行四边形ABCD中，AE=AB,AF=AD,CE与BF相交于G点.若34AB=a,AD=b,则AG=2 1 23 3 14 2A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b777777773x2-412使得g(x)>f(x)，则m的取值范围是12A．{0}B．(-1121,1)C．(-,)D．(,1) 23322017年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）第Ⅱ卷(非选择题，共110分)(t 为参数）与曲线： ⎨y = 3sin θ ( ) ( )( )2 ( ,注意事项：1．第Ⅱ卷共 6 页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中． 2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．题号 二三15 16 17 18 1920总分分数得分 评卷人二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为．⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ ⎩ （θ 为参数） 相交于 A , B 两点,则 | AB |= ．3 511．已知离心率为 的双曲线 C :5 x 2 y 2 - a 2 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物线 y 2 = 2mx 的焦点重合，则实数 m = _________．112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23f (3) + f ( - ) 的值等于 ．213. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为 1 3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6k -1 k14. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的 五位数的个数是 ．（用数字作答）三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos 2 ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．16．（本小题满分 13 分）得分 评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作 为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 (490,495]，(495,500]，. . . ， (510,515].由此得到样本的频率分布直方图，如图所示ξ 得分 评卷人17. （本小题满分 13 分）= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 2（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设ξ 为重量超过505 克的产品数量，求 的分布列； （Ⅲ）从流水线上任取 5 件产品，估计其中恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.如图，在三棱柱 ABC - A B C 中， AB ⊥ AC ，顶点 A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ， 1 1 11且 AB = AC = A B = 2 ．1（Ⅰ）证明：平面 A AC ⊥ 平面 AB B ；1 1（Ⅱ）求棱 AA 与 BC 所成的角的大小；1（Ⅲ）若点 P 为 B C 的中点，并求出二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值．1 1 1C 1A 1B 1CAB得分 评卷人18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；e 0 n +1=⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足0 f ' ( x ) 20 = (t - 1)2 ,并确定这样的 x 的个数. x 320．（本小题满分 14 分）得分 评卷人已知数列{a n}满足： a 1= 3 ， a3a - 2 nan， n ∈ N * ．⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；nnn +1nnnn n+1的最大值．（Ⅲ）设c=n2(a-2)，求c cn n2 ( ) ( ) ( )已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．( ,2017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）答案一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） ABCB ADCB二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为 ． 答案： 4π⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ (t 为参数）与曲线： ⎨⎩ y = 3sin θ（θ 为 参数）相交于 A , B 两点,则 | AB |= ． 答案： 43 511．已知离心率为 的双曲线 C : 5 x 2 y 2 - a 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物 线y 2 = 2 的焦点重合，则实数 m = _________． 答案： -6112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23 1f (3) + f ( - ) 的值等于 ．答案： -2 413. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6 k -1 k2答案： (2k - 1)314. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是 ．（用数字作答） 答案：540三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x2 4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．x x x解：（I ） f ( x ) = m ⋅ n = 3 sin cos + cos 24 4 4----------------1 分 = 3 x 1 x 1sin + cos +2 2 2 2 2 ----------------3 分x π 1= sin( + ) + ----------------4 分2 6 2x π 1 π x π 1∵ f ( x ) = 1 ∴ sin( + ) = ∴ cos( x + ) = 1 - 2sin 2 ( + ) = -------6 分2 6 23 2 6 2（II ）∵ (2a - c )cos B = b cos C ，由正弦定理得 (2sin A - sin C )cos B = sin B cos C -----------------8 分 ∴ 2sin AcosB - sin C cos B = sin B cos C ∴ 2sin A c os B = sin( B + C ) - ----------------9 分 ∵ A + B + C = π ∴ sin( B + C ) = sin A ，且 sin A ≠ 0,∵0<B<π∴B=----------------10分262ξ得分评卷人17.（本小题满分13分）∴cos B=1π23 2π∴0<A<----------------11分3πAππ1Aπ∴<+<,<sin(+)<1----------------12分6262226Aπ13Aπ13∴1<sin(+)+<∴f(A)=sin(+)+∈(1,)---13分2622216．（本小题满分13分）得分评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，...，(510,515].由此得到样本率分布直方图，如图所示（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率.解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是40⨯(0.05⨯5+0.01⨯5)=12件-------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2（只有当下述没做或都做错时，此步写对给1分）情况，它们的频P(ξ=0)=C228=C24063C1C156C211,P(ξ=1)=1228=,P(ξ=2)=12=,130C2130C21304040（以上（Ⅱ）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1分）ξ的分布列为ξ012P 635611130130130------9分（每个2分，表1分）（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为0.3，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则ξ~B(5,0.3)，------11分故所求的概率为p(ξ=2)=C2(0.3)2(0.7)3=0.3087------13分5如图，在三棱柱ABC-A B C中，AB⊥AC，顶点A在底面ABC上的射影恰为点B，1111且AB=AC=A B=2．1（Ⅰ）证明：平面A AC⊥平面AB B；11（Ⅱ）求棱AA与BC所成的角的大小；1（Ⅲ）若点P为B C的中点，并求出二面角P-AB-A的平面角的余弦值．111证明：（Ⅰ）∵A B⊥面ABC∴A B⊥AC,------1分11又AB⊥AC，AB A B=B1∴AC⊥面AB B，------3分1∵AC⊂面A AC，∴平面A AC⊥平面AB B；------4分111（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，11 1 AA ⋅ BC8 ⋅ 8 2则 ⎨ ,由 ⎨ 得 ⎨A 12 y = 0 ⎪⎩n AB = 0 ⎪⎩ AB = (0,2,0) ⎩而平面 ABA 的法向量 n =(1,0,0)，21xAn n 2 2 55 5 n n0 0 2 0 2 2 4 2 2 2 - 0 1 3 2⎪ ⎪ 1 1 2 B5= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 21则 C (2，， )，B (0，， )，A (0，， )，B (0，， ) ，C (2,2,2) 1 1 AA = (0，， ) ， BC = B C = (2， 2， )------6 分 1 AA ⋅ BC -4 1cos 〈 AA ，BC 〉 = = =- ，1 1故 AA 与棱 BC 所成的角是 π． ------8 分 1 3（Ⅲ）因为 P 为棱 B C 的中点，故易求得 P (1，， )． ------9 分1 1设平面 PAB 的法向量为 n = (x , y , z ) ，1z⎧n AP = 0 ⎧ AP = (1,3,2) ⎧ x + 3 y + 2 z = 0 C 11B 1令 z = 1 ，则 n = (-2，0， )------11 分 1C则 cos n , n = = -=- ------12 分1 2 y12由图可知二面角 P - AB - A 为锐角1故二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值是 2 51 ------13 分得分评卷人 18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2 b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7解：（Ⅰ）由题意，| FF |= 2c = 2,∴ A (a 2 ,0) -------1 分2AF = 2 A F ∴ F 为 AF 的中点------------2 分1 221∴ a 2 = 3, b 2 = 2即：椭圆方程为x 2 y 2+ = 1. ------------3 分 3 2（Ⅱ）当直线 DE 与 x 轴垂直时， | DE |= 2 b 2 4 =a 3，此时 | MN |= 2a = 2 3 ， 四边形 DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉；------------4 分同理当 MN 与 x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉； ------------5 分 当直线 DE ， MN 均与 x 轴不垂直时，设 DE : y = k ( x + 1) ， 代入消去 y 得： (2 + 3k 2 ) x 2 + 6k 2 x + (3k 2 - 6) = 0. ------------6 分⎪⎪ 1 2 + 3k 2 设 D ( x , y ), E ( x , y ), 则⎨ ------------7 分⎪x x = 3k 2 - 6 , 3k 2 + 2 2 + 3k 2 ⎩ = . | DE | ⋅ | MN | 1 4 3(k 2 + 1) k k= ⋅ ⋅ =e 03e x 0e33⎧ - 6k 2 x + x = ,21 12 2⎪ 1 22 + 3k 24 3 ⋅ k 2 + 1所以 | x - x |= ( x + x ) 2 - 4x x = ，------------8 分 1 2 1 2 1 24 3(k 2 + 1)所以 | DE |= k 2 + 1 | x - x |= ，------------9 分1 2 同理 | MN |= 1 1 4 3[(- )2 + 1] 4 3( + 1) k k 2 1 32 + 3(- )2 2 +k k 2------------11 分所以四边形的面积 S =由 S = 27 7⇒ k 2= 2 ⇒ k = ± 2 ， ------------12 分所以直线 lDE: 2x - y + 2 = 0 或 l DE: 2x + y + 2 = 0或 l: 2x - 2 y + 2 = 0 或 l : 2x + 2 y + 2 = 0---------13 分DEDE得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足的个数.f ' ( x ) 2= (t - 1)2 ,并确定这样的 xx解：（Ⅰ）因为 f '( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x + (2 x - 3) ⋅ e x = x ( x -1)⋅ e x--------------1 分由 f '( x ) > 0 ⇒ x > 1或x < 0 ；由 f '( x ) < 0 ⇒ 0 < x < 1,所以 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减 --------------3 分 要使 f ( x ) 在 [- 2, t ]上为单调函数,则 -2 < t ≤ 0-------------4 分 （Ⅱ）因为 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减， ∴ f ( x ) 在 x = 1 处有极小值 e-------------5 分又 f (-2) = 13 e 2< e ，∴ f ( x ) 在 [ -2, +∞) 上的最小值为 f (-2) -------------7 分 从而当 t > -2 时, f (-2) < f (t ) ，即 m < n-------------8 分（Ⅲ）证：∵f ' ( x ) f ' ( x ) 20 = x 2 - x ，又∵ 0 = (t - 1)2 ， 0 0x2 ∴ x 2 - x = (t - 1)2 , 0②当 1 < t < 4 时, g (-2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = - (t - 1)2 < 0 , (t - 1)2 = - 3 n +1 = ⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； n n +1 的最大值． 3a - 2 - 2 n +1 n = =n n = 2 ≠ 0 ，∴ ⎨ n ⎬ 等比数列，且公比为 2 ，----------3 分 a - 2 ⎩ a - 2 ⎭ a - 2 2n - 1令 g ( x ) = x 2- x - 2 2 (t - 1)2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x ) = x 2 - x - (t - 1)2 =0 在 (-2, t ) 上有 3 3 解,并讨论解的个数 -------------9 分 ∵ g (-2) = 6 - 2 2 (t + 2)(t - 4) , 3 3 2 1 g (t ) = t (t - 1) - (t - 1)2 = (t + 2)(t - 1) , ---------------- 10 分 3 3① 当 t > 4或 - 2 < t < 1 时, g (-2) ⋅ g (t ) < 0 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且只有一解 ---------------- 11 分2 3所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且有两解 ------------------- 12 分③当 t = 1 时, g ( x ) = x 2 - x = 0 ⇒ x = 0或x = 1 ,故 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有且只有一解；当 t = 4 时, g ( x ) = x 2 - x - 6 = 0 ⇒ x = -2或x = 3 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, 4) 上也有且只有一解 ------------------- 13 分综上所述, 对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ,满足 0 f ' ( x ) 2 0 = (t - 1)2 , e x 0 3且当 t ≥ 4或 - 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x 适合题意； 0 当1 < t < 4 时,有两个 x 适合题意. --------------14 分0 2 （说明:第（3）题也可以令ϕ ( x ) = x 2 - x , x ∈ (-2, t ) ,然后分情况证明 (t - 1)2 在其值域内,并讨论直 3 2 线 y = (t - 1)2 与函数ϕ ( x ) 的图象的交点个数即可得到相应的 x 的个数） 020．（本小题满分 14 分）得分 评卷人 已知数列{a n }满足： a 1 = 3 ， a 3a - 2 n a n ， n ∈ N * ． ⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n ⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；n n n +1 n n n （Ⅲ）设 c = n 2 (a - 2) ，求 c c n n 3a - 2 n - 1 a - 1 a 2(a - 1) 证明：（Ⅰ）∵ n +1 ， ------------2 分 a - 2 a - 2 n an又∴ a -1 2n +1 - 1 n = 2n ，解得 a = nn ； ------------4 分 （Ⅱ） b = a (a n nn +1 - 2) = 2n +1 - 1 2n +2 - 1 1 ( - 2) = 2n - 1 2n +1 - 1 2n - 1 ，------------5 分2 22 2n -1 [1- ( )n -1] = 1 + 2 2 1 2 n n +1 = 7∴当 n ≥ 2 时， b = n 1 1 1 = < ------------6 分 2n - 1 2n -1 + 2n -1 - 1 2n -11 1 1 S = b + b + b + + b < 1 + + + + n 123 n 1 1 1 = 2 - ( )n -1 < 2 ------------8 分 1 - 2 （Ⅲ） c = n 2 (a - 2) = n n n 2 n 2 (n + 1)2 ⇒ c c 2n - 1 (2n - 1)(2n +1 - 1) ----------9 分令 c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ > 1 ------------10 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n ⇒ [(n + 2)2 - 4n 2 ]2n > (n + 2)2 - n 2 ------------11 分⇒ (3n + 2)(2 - n )2n > 4n + 4 ⇒ n = 1c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ < 1 ⇒ n ≥ 2 ------------12 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n 所以： c c < c c > c c > 1 2 2 3 3 4 12 故 (c c ) = c c = ． ------------14 分 n n +1 max 2 3。

天津市和平区2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )A．4 B．8 C．9 D．123．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．54．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( ) A．B．3 C．D．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( )A．m∈（0，1）B．m∈（0，1]C．m∈D．m∈（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．天津市和平区2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等的条件进行化简即可．解答：解：由=b（1+i）得a+i﹣（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi．即a﹣+i=2bi．则a﹣=0且=2b，解得a=，b=，故选：D．点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )A．4 B．8 C．9 D．12考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，可得m=4，n=﹣1，结合条件，即可求出z=2x+3y的最大值．解答：解：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，∴m=4，n=﹣1，∴2x+3y=4（x+y）﹣（2x+y）≤12﹣4=8，∴z=2x+3y的最大值为8，故选：B．点评：本题考查目标函数的最大值，考查学生的计算能力，正确运用待定系数法是解题的关键．3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )A．2 B．﹣5 C．﹣D．5考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=11时，满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2，i=1不满足条件i＞10，x=﹣5，i=2不满足条件i＞10，x=﹣，i=3不满足条件i＞10，x=2，i=4不满足条件i＞10，x=﹣5，i=5…观察规律可知x的取值以3为周期，故不满足条件i＞10，x=﹣，i=9不满足条件i＞10，x=2，i=10不满足条件i＞10，x=﹣5，i=11满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识是考查．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1•k2=2，则双曲线的离心率e等于( ) A．B．3 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．解答：解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），则，，∴k1•k2===2，∴该双曲线的离心率e==．故选：A．点评：本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为( )A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．解答：解：∵=+，，∴=+，∵=﹣，，∴=﹣∴=+==+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，则λ+μ=+=，故选：A点评：本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键．6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( )A．m∈（0，1）B．m∈（0，1]C．m∈D．m∈，∴m∈（0，1]，故函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为m∈（0，1]，故选：B．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，以及充分条件和必要条件的应用，利用参数分离法是解决本题的关键．7．如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：①CD=3；②BC=5；③BD=2AC；④∠CBD=30°．则所有正确结论的序号是( )A．①③B．①④C．①②③D．①③④考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑；推理和证明．分析：①由PB=10，AB=6，可得PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，解得PC，即可得出CD．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2=，解出BC．③由△PCA∽△PBD，可得，即可判断出正误．④连接OD，则△OCD为正三角形，可得∠COD=2∠CBD=60°即可判断出正误．解答：解：①∵PB=10，AB=6，∴PA=4．由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，∴4×10=8PC，解得PC=5，∴CD=PD﹣PC=3，正确．②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2==，解得BC==，因此②不正确．③∵△PCA∽△PBD，∴=，∴BD=2CA，正确．④连接OD，则△OCD为正三角形，∴∠COD=2∠CBD=60°，∴∠CBD=30°，正确．综上可得：只有①③④正确．故选：D．点评：本题考查了割线定理、圆的性质、相似三角形的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．8考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：通过换元法求解x2﹣1的根，然后求解方程的解的个数．解答：解：令t=|x2﹣1|，方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0化为：t2﹣3t+2=0，解得t=1或t=2，即|x2﹣1|=1，或|x2﹣1|=2，由|x2﹣1|=1，解得x=，x=0，由|x2﹣1|=2解得x=．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是：5．故选：C．点评：本题考查函数的零点以及方程根的个数的求法，考查计算能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图把几何体复原成立体图形，进一步根据立体图形的体积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体的表面积是：上面是一个以1为半径的球体，下面是一个以2为半径，高为2的圆柱的组合体．所以：V=故答案为：点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力．10．抛物线y=x2与直线2x+y﹣3=0所围成图形的面积等于．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：解方程组可得图象的交点，由题意可得积S=dx，计算可得．解答：解：联立可解得或，∴所求面积S=dx=（﹣x2+3x﹣x3）=﹣（﹣9）=故答案为：点评：本题考查定积分求面积，属基础题．11．若函数f（x）=log a（ax2﹣x）在上单调递增，则实数a的取值范围是（2，+∞）．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由复合函数的单调性和二次函数的性质分类讨论可得．解答：解：（1）当a＞1时，令t=ax2﹣x，则由题意可得函数t在区间上单调递增，且t＞0，故有，解得a＞2，综合可得a＞2；（2）当0＜a＜1时，则由题意可得函数t在区间上单调递减，且t＞0，故有，解得a∈∅，故此时满足条件的a不存在．综合（1）（2）可得a＞2故答案为：（2，+∞）点评：本题考查对数函数的单调性，涉及分类讨论思想和二次函数的性质，属中档题．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=，则cosA+cosB的值为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件求得cosB的值，再根据cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）利用两角和的余弦公式求得cosA，从而求得cosA+cosB的值．解答：解：在△ABC中，∵C=120°，sinB=，∴cosB==，cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）=﹣cos120°cosB+sin120°sinB=+=，故cosA+cosB=+=，故答案为：．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．13．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C到直线l距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步转换成标准形式，再把直线的参数方程转换为直角坐标方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果．解答：解：圆C的方程为ρ=2，转化为：ρ=2sinθ+2cosθ，进一步转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，转化为标准形式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2所以：该曲线是以（1，1）为圆心，为半径的圆．直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：2x﹣y+1=0．所以：圆心到直线的距离为：d=．故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线间的距离公式的应用．主要考查学生的应用能力．14．已知S n=3+7+13+…+（2n+2n﹣1），S10=a•b•c，其中a，b，c∈N*，则a+b+c的最小值为68．考点：基本不等式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意得S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+...+（210+19）=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)=211﹣2+100=2146；再求2146的质因子，从而解得．解答：解：由题意，S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+…+（210+19）=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)=211﹣2+100=2146；又∵2146=2×29×37=1×58×37=1×2×1073=1×29×74=2×29×37；∴a+b+c的最小值为2+29+37=68；故答案为：68．点评：本题考查了等差数列与等比数列前n项和的求法，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数x+b，x∈R，且．（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先利用函数f（0）=f（）=1，建立方程组求出a和b的值，进一步听过三角函数的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）x+b由于：f（0）=f（）=1，所以：，解得：所以：2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=，所以：函数的最小正周期：T=，（Ⅱ）由于：函数f（x）=，当时，．所以：即：函数的最大值为，函数的最小值为﹣1．点评：本题考查的知识要点：利用待定系数法求函数的解析式，三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期的确定，利用函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的应用能力．16．盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4种不同花色的扑克牌各3张，从中一次任取3张牌，每张牌被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3张牌中的花色互不相同的概率；（Ⅱ）用X表示取出的3张牌中花色是“黑桃”的张数，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，录用古典概率计算公式即可得出；（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，得出分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．解答：解：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，∴P（A）==．（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P（X）数学期望E（X）=1+×+2×+3×=．点评：本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）求得则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），运用向量垂直的条件，可得法向量，再由法向量和垂直，即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量和平面ACD的法向量，运用向量的数量积的坐标表示，求得它们夹角的余弦，即可得到所求；（Ⅲ）求得向量，的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，求得余弦，即可得到所求角．解答：（Ⅰ）证明：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0），D（0，1，0），C1（0，2，1），则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），由，，可得﹣2x1+y1=0，且﹣2x1+2y1+z1=0，可取x1=1，y1=2，z1=﹣2．即有=（1，2，﹣2），由于=﹣2+0+2=0，即有，则A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣1，0），由C1C⊥平面ABC，即有平面ABC的法向量为=（0，0，1），由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量为=（1，2，﹣2），由cos＜，＞===﹣．故二面角C﹣AD﹣C1的余弦值为；（Ⅲ）解：E为A1B1的中点，则E（1，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，1），cos＜，＞===，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=，则AE与DC1所成的角为．点评：本题考查线面平行的判定和二面角的平面角以及异面直线所成角的求法，考查向量的运用，考查运算能力，属于中档题．18．已知数列{a n}满足：a1=6，a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，n∈N*且n≥2．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把已知的数列递推式变形，得到，然后直接利用=证得数列{}是公差为的等差数列；（2）由（1）中的等差数列求出通项公式，即可得到数列{a n}的通项公式；（3）把{a n}的通项公式代入b n=，整理后利用裂项相消法求得答案．解答：（1）证明：由a n﹣1•a n﹣6a n﹣1+9=0，得，∴，则==，∴数列{}是公差为的等差数列；（2）解：由（1）知，=，∴；（3）解：b n==，则=．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．19．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=．过F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF1的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用椭圆的定义，可得a=2，再由离心率公式，可得c，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，可得切点P 的坐标，再令x=﹣4，可得Q的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．解答：（Ⅰ）解：∵|AB|+|AF1|+|BF1|=8，即|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，而|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，∴4a=8，即a=2．∵，∴c=1，则．∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．如图，设P点的坐标为（x0，y0），依题意m≠0且△=0，即△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，整理得4k2+3=m2．此时，，∴P点的坐标为．由解得y=﹣4k+m．∴Q点的坐标为（﹣4，﹣4k+m）．由F1（﹣1，0），求得，，∴．∴直线PF1垂直于直线QF1．点评：本题考查椭圆的定义和方程，性质，主要考查定义和离心率公式及方程的运用，注意联立直线方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，求出f（x）的导数，令f'（x）=0，列出表格即可得出函数的单调性，极值；（2）问题转化为求函数y=ax2﹣x与y=lnx的解得个数问题，通过讨论a的范围即可求出；（3）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，令f′（x）=0得：x1=，x2=1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，）（，1） 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增∴f（x）在（0，）单调递增，在（，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，当x=时：f（x）有极大值，且f（x）极大值=f（）=﹣﹣ln2；当x=1时：f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2；（2）∵f（x）=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣（2a+1）x+lnx=2ax2﹣2（a+1）x，∴ax2﹣x=lnx，x∈（0，+∞），显然a≤0时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，当a=1时，函数y=x2﹣x=﹣，x=时：y min=﹣，而y=ln＜ln，∴0＜a＜≤1时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，a＞1时，画出函数y=ax2﹣x与y=lnx的图象，如图示：，图象有2个交点，综上：a＞1；（3）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1，令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0．对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，f′（x）=，（1）当a=0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合题意．（2）当a＜0时，f′（x）=，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．（3）当a＞0时，f′（x）=，f′（x）=0得：x1=，x2=1，a＞时，0＜x1＜1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1；令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理0＜a≤时也不成立．综上所述：a的取值范围为．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．。

A.1B. C. D.1A. B.x29.若点A(1,y1),B(2,y2),C(-3,y3)在反比例函数y=6的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（2016-2017和平区初三二模数学试卷一选择题：1.计算(-6)+(-2)的结果等于（）A.8B.-8C.12D.-122.cos60°的值等于（）232223.下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）4.纳米是非常小的长度单位，1纳米=10-9米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（）A．2.51×10-5米B．25.1×10-6米C．0.251×10-4米D．2.51×10-4米5.如图，几何体上半部为三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（）6.估计5+1的值在（）A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间7.若下列分式中的x、y均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）x2xx-y y2C. D.y3x32y28.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为（）A.43B.23C.4D.2x）A.y3<y1<y2B.y1<y2<y3C.y2<y1<y3D.y3<y2<y110.若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）A.1B.2C.-1D.-211.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）B. C. D.④使得M=1的x值是或．其中正确的个数是（）A.3433321212.如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；1222A．1个B．2个C．3个D．4个二填空题：13.计算a4a的结果等于；14.如图，AB=AC,点D在AB上，点E在AC上，DC、EB交于点△F，要使ADE≌△AEB，只需增加一个条件，这个条件可以是；15.第一盒乒乓球中有4个白球2个黄球，第二盒乒乓球中有3个白球3个黄球，分别从每个盒子中随机地取出1个球，则取出的两个球都是黄球的概率是；16.如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②～⑥中，与①相似的三角形的个数是______．17.如图，面积为1的正方形ABCD中，M，N分别为AD、BC的中点，将C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ．以PQ为边长的正方形的面积等于；(2)若点C是以AB为底边的等腰直角三角形的顶点，点D在边AC上，且满足△SABD=1⎨118.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B均为格点.(1)AB的长等于；S2△ABC.请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段BD，并简要说明点D的位置时如何找到的（不要求证明）.三解答题：19.解不等式组：⎧-x+3≥6⎩-2x-1≤9(1)(2)请结合题意填空，完成本题的解答：（i）解不等式（1），得；（ii）解不等式（2），得；（iii）把不等式(1)和(2)的解集在数轴上表示出来：（iv）原不等式的解集为：.20.某校申报“跳绳特色运动”学校一年后，抽样调查了部分学生的“分钟跳绳”成绩，并制成了下面的频数分布直方图（每小组含最小值，不含最大值）和扇形图．（1）补全频数分布直方图，扇形图中m=；（2）若把每组中各个数据用这组数据的中间值代替（如A组80≤x＜100的中间值是=90次），则这次调查的样本平均数是多少？（3）如果“1分钟跳绳”成绩大于或等于120次为优秀，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？21.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心，OB为半径作圆，且⊙O过点A.(1)如图1，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；(2)如图2，过点A作AD//BC交⊙O于点D，连接BD，求BD:AC的值.22.如图，长方形广告牌加载楼房顶部，已知CD=2m，经测量得到∠CAH=37°，∠DBH=60°，AB=10m，求GH 的长.(参考数据：tan37°≈0.75，3,1.732，结果精确到0.1m)23.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适.甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元.设小明快递物品x千克.（1）根据题意，填写下表：重量(千克)费用(元)甲公司乙公式0.511122351467.........（2）请分别写出甲乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；（3）小明应选择哪家快递公司更省钱？24.在平面直角坐标系中，O为原点，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，现将正方形OABC绕点O顺时针旋转.(1)如图①，当点A的对应的A/落在直线y=x上时，点A/的对应坐标为；点B的对应点B/的坐标为；(2)旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N，当A点第一次落在直线y=x上时，停止旋转.①如图2，在正方形OABC旋转过程中，线段AM，MN，NC三者满足什么样的数量关系？请说明理由；②当AC//MN时，求△MBN内切圆的半径（直接写出结果即可）25.在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A.(1)当m=4时，求n的值；(2)设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；(3)当-3≤x≤0时，若二次函数-3≤x≤0时的最小值为-4，求m、n的值.参考答案1.B2.A3.B4.A5.C6.C7.A8.C9.D10.D11.C12.B13.答案为：a5；14.答案为：∠B=∠C；15.答案为：0.5；16.答案为：3；17.答案为：1/3；18.答案为：(1)17；(2)如图，以AB为边连接格点，构成正方形，连接对角线，则对角线交点即为C点，正方形相邻两边分别与网格线有两个交点，且为两边中点，连接中点与对角线交于D点，连接BD.19.(1)x≤-3;(2)x≥-5;(3)略;(4)-5≤x≤-3.20.解：（1）由直方图和扇形图可知，A组人数是6人，占10%，则总人数：6÷10%=60，m=（2）平均数是：×360°=84°，D组人数为：60﹣6﹣14﹣19﹣5=16，；=130；（3）绩为优秀的大约有：2100×=1400人21.解：（1）OC=10;(2)22.解：GH≈7.6m.23.33.24.解：(1)A/(2，,2),B/(22,0)；(2)AM+CN=MN；（3）6-42.25.解：(1)n=3;（2）最小值当x=0时，最小值为-15；(3)。

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，复数的共轭复数是，故选B.2. 设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）A. 29B. 25C. 11D. 9【答案】D【解析】画出约束条件表示的可行域，如图，由得，由图知，平移直线，经过点时，最小值，故选D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】A4. 甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，可得甲的平行数为，乙的平行数为，，可得甲的平行数大于乙的平行数；若甲的平行数大于乙的平行数可得，即或，所以“”是甲的平均分大于乙的平均分的充分不必要条件，故选A.5. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，（）.若直线与圆相交于，两点，的面积为2，则值为（）A. 或3B. 1或5C. 或D. 2或6【答案】C6. 设的内角，，所对边的长分别为，，.若，，，则的值为（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由正弦定理得，，由余弦定理得，代为，解得，故选D.7. 已知双曲线的离心率为，圆心在轴的正半轴上的圆与双曲线的渐近线相切，且圆的半径为2，则以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设双曲线渐近线的方程为，圆心坐标为，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得，即，又因为离心率为，可得，所以抛物线的方程为，故选B.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率双曲线的渐近线及抛物线的标准方程与性质，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8. 已知函数在定义域上单调递增，且对于任意，方程有且只有一个实数解，则函数在区间（）上的所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】数在定义域上单调递增，且对于任意，方程有且只有一个实数解，则是连续函数,可得 ,画出与的图象,图象交点横坐标就是函数的零点,由图知,在区间（）上的所有零点的和为,故选B.【方法点睛】本题主要考查函数零点与图象交点之间的关系及分段函数的解析式及图象，属于难题.函数零点个数的三种判断方法:(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知集合，，，则集合__________．【答案】{0，2}10. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】15【解析】的展开式的通项为 ,令，得，所以的系数为，故答案为 .11. 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：），其中俯视图为正三角形，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】由三视图知，该几何体是如图所示的以边长正方形为底面，高为的四棱锥， ,其体积为，故答案为 .【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12. 如图，在长方形内任取一点，则点落在阴影部分内的概率为__________．【答案】13. 已知定义在上的函数满足，且对于任意，，，均有.若，，则的取值范围为__________．【答案】【解析】定义在上的函数满足，且对于任意，，，均有，在上递减，在上递增，，因为是偶函数，所以或，可得或，故答案为 .14. 在梯形中，已知，，，动点和分布在线段和上，且的最大值为，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由，得，当与重合时，有最大值，此时，作于，则，可得，以为原点，以为正半轴建立直角坐标系，则，直线方程，则可设，，故答案为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为2，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角公式及辅助角公式可将函数化为即可求得周期；（Ⅱ）根据三角函数的有界性不，求出函数的最值，列方程求解即可.（Ⅱ）因为，所以当，即时，单调递增当，即时，单调递减所以又因为，所以故，因此【方法点晴】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的周期性及三角函数的有界性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．16. 某校高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学.从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查.（Ⅰ）设为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，求事件的概率；（Ⅱ）设为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）试题解析：（Ⅰ），故事件发生的概率为.（Ⅱ）随机变量的所有可能值为0，2，4.所以随机变量的分布列为随机变量的数学期望17. 如图，四边形为菱形，，与相交于点，平面，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）当直线与平面所成角为时，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明四边形为菱形，再根据三角形中位线定理可得，进而可得结论；（Ⅱ）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量及平面的法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果；（Ⅲ）根据为与平面所成角为可得的值，进而利用空间向量夹角余弦公式可得结果.（Ⅱ）分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，设平面的法向量，则得，令，，所以设平面的法向量，则得，令，，所以于是，所以.所以，二面角的正弦值为.（Ⅲ）设，，因为与平面所成角为，所以解得或（舍）.于是，.因此，异面直线与所成角的余弦值.18. 已知数列满足（，且），，，，且，，成等比数列. （Ⅰ）求的值及数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和.【答案】（1）为偶数为奇数（2）于是当时，当时，因此为偶数为奇数.（Ⅱ），所以于是19. 设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为. （1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，求的最大值.【答案】（1）（2）4试题解析：（Ⅰ）由已知，则.，（Ⅱ）（1）设点，于是，所以或而无解；由得.又因为三角形面积，所以，于是，椭圆的方程为.①当时，所以当且仅当时等号成立而时，，因此②当时，四边形为矩形此时综上①②可知，的最大值为4.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程和最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（Ⅱ）就是用的这种思路，利用均值不等式法的最大值的.20. 设函数，，其中，.（Ⅰ）若函数在处有极小值，求，的值；（Ⅱ）若，设，求证：当时，；（Ⅲ）若，，对于给定，，，，，其中，，，若.求的取值范围.【答案】（1），.（2）见解析（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导函数，再由可得结果；（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，求出的最大值，在利用绝对值不等式结论证明；（Ⅲ）讨论三种情况，可得、不合题意，只有符合题意.（Ⅱ）因为，所以函数的对称轴位于区间之外，于是，在上的最大值在两端点处取得，即.于是，故.（Ⅲ）所以，当时，，所以在上单调递减.①当时，，，，因为在上单调递减，所以，且.因此，成立，符合题意.③时，，，.所以，不符合题意. 综上，.。

2017年天津市和平区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2＞4}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|x＜﹣2或2＜x≤3}D．{x|x＜﹣2或2＜x＜3}2．（5分）从数字1，2，3，4，5，6中任取2个求出乘积，则所得结果是3的倍数的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．4C．D．54．（5分）已知双曲线﹣y2＝1的一条渐近线与直线x+y+1＝0垂直，则该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．25．（5分）已知x，y∈R，则“xy＜1是“0＜x＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下列函数中，周期为π，且在（，）上为增函数的是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E、F分别是边BC、AB上的点，且满足＝＝λ，当•＝0时，则有（）A．λ∈（，）B．λ∈（，）C．λ∈（，）D．λ∈（，）8．（5分）定义一种运算a⊗b＝，若f（x）＝2x⊗|x2﹣4x+3|，当g（x）＝f（x）﹣m有5个零点时，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．（1，3）D．[1，3]二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知复数z＝1﹣2i，则复数的实部为．10．（5分）等比数列{a n}中，a3＝2，a5＝6，则a9＝．11．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的T值为．12．（5分）已知点P是直线3x+4y﹣2＝0上的点，点Q是圆（x+1）2+（y+1）2＝1上的点，则|PQ|的最小值是．13．（5分）设f（x）是定义在R上连续的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）是单调函数，则满足条件f（x）＝f（1﹣）的所有x之积为．14．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+2x，则曲线y ＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝（Ⅰ）若b＝2，求a的值；（Ⅱ）若角A是钝角，且c＝3，求b的取值范围．16．（13分）某餐厅装修，需要大块胶合板20张，小块胶合板50张，已知市场出售A、B两种不同规格的胶合板．经过测算，A种规格的胶合板可同时截得大块胶合板2张，小块胶合板6张，B种规格的胶合板可同时截得大块胶合板1张，小块胶合板2张．已知A种规格胶合板每张200元，B种规格胶合板每张72元．分别用x，y表示购买A、B两种不同规格的胶合板的张数．（1）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）根据施工需求，A、B两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数．17．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝4，D为BB1上一点，E为AC上一点，且B1D＝CE＝1，BE＝．（Ⅰ）求证：BE⊥AC1；（Ⅱ）求证：BE∥平面AC1D；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCC1B1的体积．18．（13分）已知等差数列{a n}满足a2＝5，a5+a9＝30．{a n}的前n项和为S n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率e ＝（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E的右顶点为A，若直线l：y＝kx+m与椭圆E相交于M、N两点（异于A点），且满足MA⊥NA，试证明直线l经过定点，并求出该定点的坐标．20．（14分）已知函数f（x）＝ax﹣﹣2lnx（a＞0）（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）零点的个数；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性（Ⅲ）设函数g（x）＝，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．2017年天津市和平区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2＞4}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|x＜﹣2或2＜x≤3}D．{x|x＜﹣2或2＜x＜3}【解答】解：∵集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜﹣2}，∴A∩B＝{x|x＜﹣2或2＜x≤3}．故选：C．2．（5分）从数字1，2，3，4，5，6中任取2个求出乘积，则所得结果是3的倍数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从数字1，2，3，4，5，6中任取2个求出乘积，基本事件总数n＝，所得结果是3的倍数包含的基本事件个数m＝，∴所得结果是3的倍数的概率是p＝＝＝．故选：B．3．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．4C．D．5【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是四棱锥与三棱锥的组合体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为V＝V四棱锥P﹣ABCD+V三棱锥P﹣CDM＝×22×2+××2×1×2＝．故选：A．4．（5分）已知双曲线﹣y2＝1的一条渐近线与直线x+y+1＝0垂直，则该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．2【解答】解：双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为y＝±，渐近线与直线x+y+1＝0垂直，可得渐近线的斜率为1，可得a＝±1，则双曲线的方程为x2﹣y2＝1，则a＝b＝1，c＝，焦距为2．故选：C．5．（5分）已知x，y∈R，则“xy＜1是“0＜x＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“0＜x＜“得：0＜xy＜1，故“xy＜1是“0＜x＜“的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）下列函数中，周期为π，且在（，）上为增函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝sin（x+）与y＝cos（x+）的周期均为2π，故可排除A，B；对于C，∵y＝sin（2x+）＝cos2x在（，）上为减函数，故排除C；对于D，y＝cos（2x+）＝﹣sin2x，T＝π，由2kπ+≤2x≤2kπ+（k∈Z）得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z∴y＝cos（2x+）的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z∵（，）⊂[kπ+，kπ+]，k∈Z故y＝cos（2x+）在（，）上为增函数，故D符合题意．故选：D．7．（5分）如图，等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E、F分别是边BC、AB上的点，且满足＝＝λ，当•＝0时，则有（）A．λ∈（，）B．λ∈（，）C．λ∈（，）D．λ∈（，）【解答】解：等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，可得，，，．∵＝＝λ，∴，，则，，∴•＝＝＝0．即16λ﹣4﹣4λ2﹣2λ＝0，∴2λ2﹣7λ+2＝0，解得λ＝（舍）或λ＝∈（，）．故选：B．8．（5分）定义一种运算a⊗b＝，若f（x）＝2x⊗|x2﹣4x+3|，当g（x）＝f（x）﹣m有5个零点时，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．（1，3）D．[1，3]【解答】解：由题意，f（x）＝2x⊗|x2﹣4x+3|，其图象如下：结合图象可知，g（x）＝f（x）﹣m有5个零点时，实数m的取值范围是（0，1），故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知复数z＝1﹣2i，则复数的实部为．【解答】解：复数＝＝＝+i的实部为．故答案为：．10．（5分）等比数列{a n}中，a3＝2，a5＝6，则a9＝54．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3＝2，a5＝6，∴q2＝3，则a9＝＝6×32＝54．故答案为：54．11．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的T值为39．【解答】解：第一次循环：S＝n2﹣S＝1，S＜20，第二次循环：则n＝n+2＝3，S＝n2﹣S＝8，S＜20，第三次循环：则n＝n+2＝5，S＝n2﹣S＝17，17＜20，第四次循环：则n＝n+2＝7，S＝n2﹣S＝32，32＜20，结束循环，则T＝S+n＝32+7＝39，故答案为：39．12．（5分）已知点P是直线3x+4y﹣2＝0上的点，点Q是圆（x+1）2+（y+1）2＝1上的点，则|PQ|的最小值是．【解答】解：圆心（﹣1，﹣1）到点P的距离的最小值为点（﹣1，﹣1）到直线的距离d＝＝，故点Q到点P的距离的最小值为d﹣1＝．如图：故答案为：．13．（5分）设f（x）是定义在R上连续的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）是单调函数，则满足条件f（x）＝f（1﹣）的所有x之积为﹣4．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）是单调函数，则f（x）在（﹣∞，0）上也单调，若f（x）＝f（1﹣）＝f（）则必有|x|＝||，即±x＝，若x＝，即x2+2x﹣2＝0，则x1•x2＝﹣2，若﹣x＝，即x2+4x+2＝0，则x3•x4＝2，∴故方程|x|＝||有4个解，且4个解之积x1•x2•x3•x4＝﹣4，故选：﹣4．14．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+2x，则曲线y ＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣y+1＝0．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）＝lnx﹣2x，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣lnx+2x，∴f′（x）＝﹣+2，x＝1，f′（1）＝1，f（1）＝2，∴曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣2＝x﹣1，即为x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝（Ⅰ）若b＝2，求a的值；（Ⅱ）若角A是钝角，且c＝3，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意及正弦定理，得，即sin C cos B﹣2sin C cos A＝2sin A cos C﹣sin B cos C，则sin C cos B+sin B cos C＝2（sin C cos A+sin A cos C），∴sin（B+C）＝2sin（A+C）．∵△ABC中，A+B+C＝π，∴sin A＝2sin B，故a＝2b．由b＝2，得a＝4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a＝2b，由余弦定理可得：cos A＝＜0，则b＞．在△ABC中，b+c＞a，即b+3＞2b，则b＜3．∴b的取值范围为（）．16．（13分）某餐厅装修，需要大块胶合板20张，小块胶合板50张，已知市场出售A、B两种不同规格的胶合板．经过测算，A种规格的胶合板可同时截得大块胶合板2张，小块胶合板6张，B种规格的胶合板可同时截得大块胶合板1张，小块胶合板2张．已知A种规格胶合板每张200元，B种规格胶合板每张72元．分别用x，y表示购买A、B两种不同规格的胶合板的张数．（1）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）根据施工需求，A、B两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数．【解答】解：（1）买A胶合板x张，B胶合板y张，由题意得到，平面区域如图：（2）设花费资金z＝200x+72y，由（1）得A（5，10）．由图可知当x＝5，y＝10时．z min＝1000+720＝1720（元）答：买A型木板5张，B型木板10张，付出资金最少为1720元．17．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝4，D为BB1上一点，E为AC上一点，且B1D＝CE＝1，BE＝．（Ⅰ）求证：BE⊥AC1；（Ⅱ）求证：BE∥平面AC1D；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCC1B1的体积．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABE中，∵AB＝4，AE＝3，BE＝，∴AE2+BE2＝AB2，则BE⊥AE，∵CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥BE，又CC1∩AE＝E，∴BE⊥平面ACC1A1，又AC1⊂平面ACC1A1，∴BE⊥AC1；（Ⅱ）证明：在平面ACC1A1中，过E作EF∥C1C交AC1于F，∵，∴，∴，则．∴BD∥EF，且BD＝EF，则四边形BDFE为平行四边形，∴BE∥DF，∵BE⊄平面AC1D，DF⊂平面AC1D，∴BE∥平面AC1D；（Ⅲ）解：＝，，∴＝．18．（13分）已知等差数列{a n}满足a2＝5，a5+a9＝30．{a n}的前n项和为S n （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝5，a5+a9＝30可得，，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1，∴S n＝＝＝n（n+2）＝n2+2n，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n＝＝＝（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n＝[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]，＝（1+﹣﹣）＝﹣﹣19．（14分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率e ＝（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E的右顶点为A，若直线l：y＝kx+m与椭圆E相交于M、N两点（异于A点），且满足MA⊥NA，试证明直线l经过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆离心率e＝＝，则a＝2c，b2＝a2﹣c2＝3c2，将（1，﹣）代入椭圆方程：，解得：c＝1，则a2＝4，b2＝3，椭圆方程为…（3分）（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）＝0，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，且△＝64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，即3+4k2﹣m2＞0，∵以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A∴MA⊥NA，即•＝0，则（2﹣x1，﹣y1）（2﹣x2，﹣y2）＝0，即y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，又y1y2＝（kx1+m）•（kx2+m）＝k2x1x2+mk（x1+x2）+m2＝，∴++2×+4＝0，化简得，7m2+4k2+16mk＝0解得m＝﹣2k或m＝﹣且均满足3+4k2﹣m2＞0当m＝﹣2k时，L：y＝k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m＝﹣时，L；y＝k（x﹣），直线过定点（，0），综上，直线l过定点，定点坐标为（，0）．20．（14分）已知函数f（x）＝ax﹣﹣2lnx（a＞0）（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）零点的个数；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性（Ⅲ）设函数g（x）＝，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝2时，f（x）＝2x﹣﹣2lnx，原函数定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝＞0恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增．且f（1）＝0，函数f（x）零点的个数为1．（Ⅱ）原函数定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝∵a＞0，设g（x）＝ax2﹣2x+a（x∈（0，+∞））由题意知△＝4﹣4a2≤0，∴a≥1．即a≥1时，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调增函数，0＜a＜1，时，函数f（x）在（0，），（，+∞）内为单调增函数，在（）递减．（Ⅲ）原命题等价于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax﹣﹣2lnx﹣，∵F′（x）＝＞0，∴F（x）是增函数，…（10分）∴[F（x）]max＝F（e）＞0，解得a，∴a的取值范围是（，+∞）。

2017年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{0，1，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{0，1，2，4}B．{2，3}C．{2，4}D．{0，4}2．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）一个由底面是正三角形的三棱柱和三棱锥组成的组合体，其三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．B．C．D．54．（5分）已知a＝log0.50.3，b＝log30.5，c＝0.50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a5．（5分）设x∈R，则“x＜4”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点P（2，1）在双曲线的渐近线上，则ab的值为（）A．2B．C．8D．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上递增，f（2）＝1，则满足|f（x）|＞1的x的取值范围是（）A．（，4）B．（0，）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，）∪（4，+∞）8．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝的虚部是．10．（5分）已知函数f（x）＝，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．11．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应程序，输出s的值为．12．（5分）过点P（﹣1，2），圆心在直线x﹣y+2＝0上，且与直线2x+y＝0相切的圆的方程为．13．（5分）函数f（x）＝2sin x sin（﹣x）﹣2cos2x+在[0，]上的最大值为．14．（5分）已知函数f（x ）＝若关于x的方程f（x）﹣m＝0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，则x1•x2•x3的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c ，已知sin2C+cos （A+B）＝0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a＝4sin A，求△ABC面积的最大值．16．（13分）某机械厂组装A，B两种类型机械，每组装1台A或B所需要的配件材料费和工人数如下表所示．已知该机械厂现有工人32人，可用资金55万元，组装1台A类型机械可获纯利润4万元，组装1台B类型机械可获纯利润2万元，设该机械厂计划组装A，B两种类型机械分别为x台，y台．（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问该机械厂分别组装A，B两种类型机械各多少台，才能获得最大利润？并求出此最大纯利润．17．（13分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AC交BC于点O，△SBD是边长为2的正三角形，SA＝，E，F分别是CD，SB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面SAD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面SAC；（Ⅲ）求直线AB与平面SBD所成角的正弦值．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x+2a2+1（a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（﹣2，3）内极值点的个数；（Ⅲ）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥1．2017年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{0，1，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{0，1，2，4}B．{2，3}C．{2，4}D．{0，4}【解答】解：∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3}，∴∁U A＝{0，2，4}，∵B＝{0，1，4}，∴（∁U A）∩B＝{0，4}．故选：D．2．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：随机选派2人参加象棋比赛，有＝10种，选出的2人中恰有1人是女队员，有＝6种，∴所求概率为＝，故选：B．3．（5分）一个由底面是正三角形的三棱柱和三棱锥组成的组合体，其三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．B．C．D．5【解答】解：该组合体为由底面是正三角形的三棱柱和三棱锥组成的，由侧视图可得底面正三角形的高为，可得底面边长为2，由正视图可得三棱柱的高为3，三棱锥的高为2，则该组合体的体积为××2××2+×2××3＝．故选：A．4．（5分）已知a＝log0.50.3，b＝log30.5，c＝0.50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：∵a＝log0.50.3＞1，b＝log30.5＜0，0＜c＝0.50.3＜0.50＝1∴b＜c＜a．故选：A．5．（5分）设x∈R，则“x＜4”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣2＜x＜4．∴“x＜4”是“x2﹣2x﹣8＜0”的必要不充分条件．故选：A．6．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点P（2，1）在双曲线的渐近线上，则ab的值为（）A．2B．C．8D．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝4x的焦点为（，0），则双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为（，0），即c＝则有a2+b2＝5，①双曲线＝1的渐近线为y＝±x，又由P（2，1）在双曲线的渐近线上，则＝2，②，联立①、②可得a＝2，b＝1，则有ab＝2，故选：A．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上递增，f（2）＝1，则满足|f（x）|＞1的x的取值范围是（）A．（，4）B．（0，）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，）∪（4，+∞）【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上递增，∴f（x）在（0，+∞）上也单调递增，又f（2）＝1，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣1．由|f（x）|＞1，得|f（﹣log2x）|＞1，即|﹣f（log2x）|＞1，∴|f（log2x）|＞1，得f（log2x）＞1或f（log2x）＜﹣1，由f（log2x）＞1，得f（log2x）＞f（2），即log2x＞2，得x＞4；由f（log2x）＜﹣1，f（log2x）＜f（﹣2），即log2x＜﹣2，得0＜x＜．∴x的取值范围是（0，）∪（4，+∞）．故选：D．8．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5【解答】解：∵＝0，∴BA⊥BC，∵||＝1，∴M在以A为原点，1为半径的圆A上，∵＝2，∴N是MC的中点，以BC，BA为坐标轴建立坐标系，如图：则B（0，0），C（4，0），A（0，3），设M（cosθ，3+sinθ），则N（cosθ+2，sinθ+），∴||＝＝＝，∴||的最大值为＝3，最小值为＝2，∴||的最大值与最小值的和为5．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝的虚部是．【解答】解：∵z＝＝，∴复数z＝的虚部是．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）＝，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为1．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f′（x）＝＝，则f′（1）＝＝1；故答案为：1．11．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应程序，输出s的值为87．【解答】解：模拟程序的运行，可得s＝1，k＝4执行循环体，s＝6，k＝5不满足条件k＞7，执行循环体，s＝17，k＝6不满足条件k＞7，执行循环体，s＝40，k＝7不满足条件k＞7，执行循环体，s＝87，k＝8满足条件k＞7，退出循环，输出s的值为87．故答案为：87．12．（5分）过点P（﹣1，2），圆心在直线x﹣y+2＝0上，且与直线2x+y＝0相切的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5．【解答】解：因为圆心在直线x﹣y+2＝0上，所以设圆心坐标为（a，2+a）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣2﹣a）2＝r2，圆经过点P（﹣1，2），和直线2x+y＝0相切，所以有（﹣1﹣a）2+（2﹣2﹣a）2＝r2且＝r解得r＝，a＝1，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，故答案为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5．13．（5分）函数f（x）＝2sin x sin（﹣x）﹣2cos2x+在[0，]上的最大值为2．【解答】解：函数f（x）＝2sin x sin（﹣x）﹣2cos2x+化简可得：f（x）＝2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）当x在[0，]上时，可得2x﹣∈[﹣，]，当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为2．故答案为2．14．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）﹣m＝0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，则x1•x2•x3的取值范围是（4，5）．【解答】解：f（x）＝，作出f（x）的函数图象如图所示：不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x1＜1，1＜x2＜4，x3＞4由图象可知4＜x3＜5，且﹣log4x1＝log4x2，∴log4x2+log4x1＝log4（x1x2）＝0，即x1x2＝1，∴x1x2x3＝x3．∴x1•x2•x3的取值范围是（4，5）．故答案为：（4，5）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sin2C+cos （A+B）＝0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a＝4sin A，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由sin2C+cos（A+B）＝0，得sin C cos C﹣cos C＝0．∵C为锐角，∴cos C＞0，∴sin C＝，∴C＝；（Ⅱ）由正弦定理可得＝＝4，∴c＝4×＝6，由余弦定理可得36＝a2+b2﹣2ab×，∴36＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号，∴S△ABC＝ab sin C＝ab≤×36＝9，故△ABC面积的最大值为9．16．（13分）某机械厂组装A，B两种类型机械，每组装1台A或B所需要的配件材料费和工人数如下表所示．已知该机械厂现有工人32人，可用资金55万元，组装1台A 类型机械可获纯利润4万元，组装1台B 类型机械可获纯利润2万元，设该机械厂计划组装A ，B 两种类型机械分别为x 台，y 台．（Ⅰ）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问该机械厂分别组装A ，B 两种类型机械各多少台，才能获得最大利润？并求出此最大纯利润．【解答】解：（Ⅰ）由已知x ，y 满足生产条件的数学关系式，，即， 画出相应的平面区域；图中阴影部分．（Ⅱ）设纯利润为z 万元，则目标函数为：z ＝4x +2y ，直线的斜率为﹣2，随z 变化的一系列直线，求出直线的截距的最大值，即可得到z 的最大值，由图象可知直线经过M 时取得最大值，由解得M （2，3）．所以Z 的最大值为：4×2+2×3＝14．所以，该机械厂分别组装A ，B 两种类型机械各2台，3台，才能获得最大利润14万元．17．（13分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AC 交BC于点O，△SBD是边长为2的正三角形，SA＝，E，F分别是CD，SB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面SAD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面SAC；（Ⅲ）求直线AB与平面SBD所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：取SA得中点为G，连接GD，GF，∵E，F分别是CD，SB的中点．∴GF∥AB，GF＝AB，DE∥AB，DE＝AB．∴GF∥DE，GF＝DE，∴四边形DEFG为平行四边形．∵DG⊂面SAD，EF⊄面SAD，∴EF∥面SAD．（Ⅱ）证明：连接SO，因为，△SBD是边长为2的正三角形，O为中点，∴SO⊥BO．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又SO∩AC＝O，∴BD⊥平面SAC．（Ⅲ）如图2过A作AH⊥SO与H，由（Ⅱ）得面SAC⊥面SDB．∴AH⊥面SDB，∴∠ABH就是AB与平面SBD所成角．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△SBD是边长为2的正三角形，∴AB＝2，AO＝SO ＝，∵SA＝，∴△SAO是边长为的正三角形．又因为AH⊥SO，∴H时SO得中点，∴AH＝，在Rt△ABH中，sin．∴直线AB与平面SBD所成角的正弦值为．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）由S n＝，得当n＝1时，，得a1＝1；当n≥2时，，化简得：（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n+a n﹣1）＝0，得a n﹣a n﹣1＝2（n≥2）．∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（Ⅱ）∵b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，∴T2n＝b1+b2+b3+b4+…+b2n＝（﹣1﹣12）+（3+32）+（﹣5﹣52）+（7+72）+…+[（4n﹣1）+（4n﹣1）2]＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（4n﹣3）+（4n﹣1）]+（﹣12+32）+（﹣52+72）+…+[﹣（4n﹣3）2+（4n﹣1）2]＝2n+8[1+3+5+…+（2n﹣1）]＝2n+8•＝8n2+2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：e＝＝，则a＝2c，由上顶点与右焦点的距离为2，则a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．，整理得：（3+4k2）x2+16kx+4＝0，由x1+x2＝﹣，x1x2＝，由△＝256k2﹣4×4（3+4k2）＞0，解得：k＜﹣，k＞，∵|DA|＝|DB|，则（+）•＝0，解得：t＝﹣，t∈[﹣，﹣]，则﹣≤﹣≤﹣，整理得：，由k＜﹣，k＞，则＜k≤，∴实数k的取值范围（，]．20．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x+2a2+1（a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（﹣2，3）内极值点的个数；（Ⅲ）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥1．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝3（x﹣a）（x+a），（a≥0），a＝0时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R递增，无递减区间；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣a），（a，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣a，a）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣a）递增，在（﹣a，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ），a＝0时，f（x）在R递增，函数无极值点，a＞0时，由（Ⅰ）得：x＝﹣a是极大值点，x＝a是极小值点，当即0＜a＜2时，f（x）在（﹣2，3）内有2个极值点，当或即2≤a＜3时，f（x）在（﹣2，3）内有1个极值点，a≥3时，x＝a和x＝﹣a均不在区间（﹣2，3）内，此时f（x）无极值点，综上，a＝0或a≥3时，f（x）在（﹣2，3）无极值点，2≤a＜3时，f（x）在（﹣2，3）内有1个极值点，0＜a＜2时，f（x）在（﹣2，3）内有2个极值点；（Ⅲ）证明，a＝0时，∵0≤x≤1，∴f（x）+|1﹣a2|＝x3+2＞1，0＜a＜1时，由（Ⅰ）（Ⅱ）得，f（x）在（﹣a，a）递减，在（a，1）递增，且x＝a是极小值点，故0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥f（a）+|1﹣a2|＝﹣2a3+a2+2＝（1﹣a3）+（a2﹣a3）+1＞1，a≥1时，由（Ⅱ）得，f（x）在（﹣a，a）递减，故0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥f（1）+|1﹣a2|＝1，综上，0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥1．。

2017年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1，2}B．{4，5}C．{1，2，3}D．{3，4，5}2．（5分）若x，y满足，且z＝y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2B．﹣2C．D．﹣3．（5分）在△ABC中，已知BC＝1，B＝，△ABC的面积为，则AC的长为（）A．3B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n＝5，则输出的S值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a≤﹣3C．a≥﹣1D．a≥16．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣7．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）＝0，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8．（5分）对任意的x＞0，总有f（x）＝a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，lge﹣lg（lge）]B．（﹣∞，1]C．[1，lge﹣lg（lge）]D．[lge﹣lg（lge），+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．、9．（5分）i是虚数单位，复数＝．10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为11．（5分）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．12．（5分）若（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a＝．13．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝．14．（5分）设函数y＝f（x）是定义在R上以1为周期的函数，若g（x）＝f（x）﹣2x在区间[2，3]上的值域为[﹣2，6]，则函数g（x）在[﹣2017，2017]上的值域为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（13分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C（tan A tan C ﹣1）＝1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a+c＝，b＝，求△ABC的面积．16．（13分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求取球次数X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的一点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）如图（1），若＝，求证：PD∥平面EAC；（Ⅲ）如图（2），若E是PB的中点，且二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．18．（13分）已知等差数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＞a n（n∈N*），a1+1，a2+1，a3+3成等比数列．a n+2log2b n＝﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．19．（14分）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，a+b＝3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2m﹣n为定值．20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．（3）探讨函数F（x）＝lnx﹣+是否存在零点？若存在，求出函数F（x）的零点，若不存在，请说明理由．2017年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1，2}B．{4，5}C．{1，2，3}D．{3，4，5}【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B 中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（∁U B）∩A，又A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥3}，∵∁U B＝{x|x＜3}，∴（∁U B）∩A＝{1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选：A．2．（5分）若x，y满足，且z＝y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2＝0与x轴的交点在x+y﹣2＝0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，当y＝0，由kx﹣y+2＝0，得x＝，∴B（﹣）．由z＝y﹣x得y＝x+z．由图可知，当直线y＝x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k＝﹣．故选：D．3．（5分）在△ABC中，已知BC＝1，B＝，△ABC的面积为，则AC的长为（）A．3B．C．D．【解答】解：∵BC＝1，B＝，△ABC的面积为＝BC•AB•sin B＝，∴AB＝4，∴AC＝＝＝．故选：B．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n＝5，则输出的S值为（）A．B．C．D．【解答】解：输入n＝5，i＝1，s＝0，s＝，i＝2≤5，s＝+，i＝3≤5，s＝++，i＝4≤5，s＝+++，i＝5≤5，s＝++++，i＝6＞5，输出s＝（1﹣）＝，故选：C．5．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a≤﹣3C．a≥﹣1D．a≥1【解答】解：由题意知：p：|x+1|＞2可化简为{x|x＜﹣3或x＞1}；q：x＞a∵“若￢p则￢q”的等价命题是“若q则p”，∴q是p的充分不必要条件，即q⊊p∴a≥1故选：D．6．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，即﹣2＝﹣，则p＝4，故抛物线的焦点坐标为：（2，0），则直线AF的斜率k＝＝﹣，故选：C．7．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）＝0，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解答】解：因为（﹣）•（+﹣2）＝0，即•（+）＝0；又因为﹣＝，所以（﹣）•（+）＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．故选：B．8．（5分）对任意的x＞0，总有f（x）＝a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，lge﹣lg（lge）]B．（﹣∞，1]C．[1，lge﹣lg（lge）]D．[lge﹣lg（lge），+∞）【解答】解：对任意的x＞0，总有f（x）＝a﹣x﹣|lgx|≤0，即a﹣x≤|lgx|恒成立，设y＝﹣x+a，g（x）＝|lgx|，如图当直线y＝﹣x+a与g（x）相切时是a的最大值时，设切点为A（x，y），则﹣1＝（﹣lgx）'，得到x＝lge，所以y＝﹣lg（lge），所以切线方程为：y+lg（lge）＝﹣（x﹣lge），令x＝0得到y＝lge﹣lg（lge），所以a的取值范围为：（﹣∞，lge﹣lg（lge））；故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．、9．（5分）i是虚数单位，复数＝i．【解答】解：复数＝＝＝i．故答案为：i．10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为【解答】解：由三视图可知：该三棱锥的底面三角形的底边为1，高为1，三棱锥的高为1．∴该三棱锥的体积V＝＝．故答案为：．11．（5分）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为4．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y＝x3与直线y＝4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx，而∫02（4x﹣x3）dx＝（2x2﹣x4）|02＝8﹣4＝4∴曲边梯形的面积是4，故答案为：412．（5分）若（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a＝1．【解答】解：（a+x）5展开式中x2的系数为，因为（a+x）5展开式中x2的系数为10，所以＝10，解得a＝1，故答案为：1．13．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝2．【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0化为y直线x﹣y﹣1＝0．圆ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，∴x2+y2＝2x，配方为（x﹣1）2+y2＝1，可得圆心C（1，0），半径r＝1．则圆心C在直线上，∴|AB|＝2．故答案为：2．14．（5分）设函数y＝f（x）是定义在R上以1为周期的函数，若g（x）＝f（x）﹣2x在区间[2，3]上的值域为[﹣2，6]，则函数g（x）在[﹣2017，2017]上的值域为[﹣4030，4044]．【解答】解：由g（x）在区间[2，3]上的值域为[﹣2，6]，可设g（x0）＝﹣2，g （x1）＝6，x0，x1∈[2，3]，g（x0）＝f（x0）﹣2x0＝﹣2，∵y＝f（x）是定义在R上以1为周期的函数，∴g（x0+n）＝f（x0+n）﹣2（x0+n）＝f（x0）﹣2x0﹣2n＝﹣2﹣2n．同理g（x1+n）＝6﹣2n，2017﹣3＝2014，于是g（x）在[﹣2017，2017]上的最小值是﹣2﹣2×2014＝﹣4030；﹣2017﹣2＝﹣2019，于是g（x）在[﹣2017，2017]上的最大值是6﹣2（﹣2019）＝4044．∴函数g（x）在[﹣2017，2017]上的值域为[﹣4030，4044]．故答案为：[﹣4030，4044]．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（13分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C（tan A tan C ﹣1）＝1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a+c＝，b＝，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2cos A cos C（tan A tan C﹣1）＝1，得：2cos A cos C（﹣1）＝1，∴2（sin A sin C﹣cos A cos C）＝1，即cos（A+C）＝﹣，∴cos B＝﹣cos（A+C）＝，又0＜B＜π，∴B＝；（Ⅱ）由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得（a+c）2﹣3ac＝b2，又a+c＝，b＝，∴ac＝4，＝ac sin B＝×4×＝．∴S△ABC16．（13分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求取球次数X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，由题意知：＝＝＝，化简得n（n﹣1）＝6，解得n＝3或n＝﹣2（不合题意，舍去），即袋中原有3个白球；（Ⅱ）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，5，计算P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝；所以X的分布列为：数学期望是E（X）＝1×+2×+3×+4×+5×＝2．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的一点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）如图（1），若＝，求证：PD∥平面EAC；（Ⅲ）如图（2），若E是PB的中点，且二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，连接CM，∵AM＝AB＝1＝CD＝AD，AB⊥AD，AB∥CD，∴四边形CDAM是正方形，CM＝MA＝MB，∴AC⊥CB，∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC，又PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC；又AC⊂∴面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）连接BD交AC于G，连接GE，∵AB∥CD，AB＝2CD，∴，∵＝，∴PE：EB＝1：2，∴PD∥EG，PD⊄平面EAC，EG⊂平面EAC；∴PD∥平面EAC；（Ⅲ）如图，以C为原点，取AB中点F，分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（），＝（1，1，0），＝（0，0，a），＝（）．设面EAC的法向量为，由，取．可取面P AC的法向量＝（1，﹣1，0）依题意，|cos＜＞|＝，解得a＝2．于是＝（2，﹣2，﹣2），＝（1，1，﹣2）．设直线P A与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos＞|＝即直线P A与平面EAC所成角的正弦值为．18．（13分）已知等差数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＞a n（n∈N*），a1+1，a2+1，a3+3成等比数列．a n+2log2b n＝﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝1，a n+1＞a n（n∈N*），可得：d＞0，a2＝1+d，a3＝1+2d，由a1+1，a2+1，a3+3成等比数列，可得：（a2+1）2＝（a1+1）（a3+3），即为（d+2）2＝（1+1）（4+2d），解得d＝2（﹣2舍去），则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，由a n+2log2b n＝﹣1，即log2b n＝﹣n，可得b n＝（）n，n∈N*；（2）a n•b n＝（2n﹣1）•（）n，则前n项和T n＝1•（）1+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，T n＝1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n﹣1）•（）n+1，两式相减可得T n＝+2[（）2+（）3+（）4+…+（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1＝+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1＝﹣（2n+3）•（）n+1，可得T n＝3﹣（2n+3）•（）n，n∈N*．19．（14分）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，a+b＝3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2m﹣n为定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a＝2b，①a+b＝3，②，解得：a＝2，b＝1，则椭圆的标准方程为：；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为y＝n（x ﹣2）（n≠0，n≠±）．联立，整理得（4n2+1）x2﹣16n2x+16n2﹣4＝0．则x P+2＝，x P＝．则y P＝n（x P﹣2）＝．所以P（，）．又直线AD的方程为y＝x+1．联立，解得M（，）．由三点D（0，1），P（，）．N（x，0）共线，得＝，所以N（，0）．∴MN的斜率为m＝＝＝．则2m﹣n＝﹣n＝．∴2m﹣n为定值．20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．（3）探讨函数F（x）＝lnx﹣+是否存在零点？若存在，求出函数F（x）的零点，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，令f′（x）＝0，解得x＝．①当0＜t＜时，在x∈[t，）上f′（x）＜0；在x∈（．t+2]上f′（x）＞0．因此，f（x）在x＝处取得极小值，也是最小值．f min（x）＝﹣．②当t≥，f′（x）≥0，因此f（x）在[t，t+2]上单调递增，f min（x）＝f（t）＝tlnt；（2）由对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，即有2xlnx≥﹣x2+ax﹣3．即a≤2lnx+x+恒成立，令h（x）＝2lnx+x+，h′（x）＝+1﹣＝＝，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴a≤h（x）min＝h（1）＝4．即实数a的取值范围是（﹣∞，4]；（3）令m（x）＝2xlnx，m'（x）＝2（1+lnx），当x∈（0，）时，m'（x）＜0，m（x）递减；当x∈（，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）递增；∴m（x）的最小值为m（）＝﹣，则2xlnx≥﹣，∴lnx≥﹣，F（x）＝lnx﹣+＝0①则F（x）＝lnx﹣+≥﹣﹣+＝（﹣），令G（x）＝﹣，则G'（x）＝，当x∈（0，1）时，G'（x）＜0，G（x）递减；当x∈（1，+∞）时，G'（x）＞0，G（x）递增；∴G（x）≥G（1）＝0 ②∴F（x）＝lnx﹣+≥﹣﹣+＝（﹣）≥0，∵①②中取等号的条件不同，∴F（x）＞0，故函数F（x）没有零点．。

天津市和平区2017届高三第二次质量检测理科数学温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间100分钟。

祝同学们考试顺利！第I卷选择题（共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号抹黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3本卷共8小题，每小题5分，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(l)对于函数(),y f x x R =∈“函数()y f x =的图象关于y 轴对称”是“y=f(x)为奇函数”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(2)设变量z ，y 满足约束条件 7,2,10,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩，则目标函数y z x =的最大值为(A)95(B) 3 (C)6 (D) 9(3)阅读右面的程序框图，运行相应的程序,若输入n 的值为1，则输出的S 的值为 (A) 176 (B)160 (C) 145 (D) 117(4)已知下列四个命题：①底面积和高均相等的柱体体积是锥体体积的3倍： ②正方体的截面是一个n 边形，则n 的是大值是6 ;③在棱长为1的正方体 111ABCD AB C D -中，三棱锥 1A ABC -的体积是14；④6条棱均为13其中真命题的序号是(A)①②③ (B)①②④ (C)①③④ (D)②③④(5)己知双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则ab 的值为(A)163 (B) 3 (C) 316 (D) 4(6)设 {}{}2|24,|40A x x B x x ax =-≤<=--≤，若 B A ⊆,实数a 的取值范围是(A) []1,2- (B)[)1,2- (C) []0,3 (D) [)0,3 (7）已知 35x y a ==，且 112x y+=，则a 的值为(D) 225(8)在△ABC中，D为BC边上一点，2,45DC BD AD ADC==∠= ，若AC=，则BD等于(A) 2+(B)4 (C) 2+(D)3+第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项：l用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项:1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件B A ，互斥,那么 )()()(B P A P B A P += .·锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 表示 ·球的体积公式334R V π=,其中R 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.球的半径.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合1{-=x A ≤}3<x ,}023{2<+-=x x x B ,则)(B A R可表示为（A ）)3,2()1,1[ - （B ）)3,2[]1,1[ - （C ）)2,1(（D ）),(+∞-∞（2）若在区间],0[π上随机取一个数x ,则x sin 的值落在区间)1,21(内的概率为（A ）31（B ）21 （C ）32（D ）π2 （3）阅读右面的程序框图,当该程序运行后输出的S 值是（A ）57 （B ）63 （C ）110（D ）120（4）已知∈n m ,R ,则“0>mn ”是“一次函数nx n m y 1+=的图象不经过第二象限”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两条渐近线的斜率之积为2-,焦距为6,则双曲线的方程为 （A ）1241222=-y x（B ）1122422=-y x（C ）16322=-y x（D ）13622=-y x（6）如图,圆O 的两条弦AB 与CD 相交于点E ,圆O 的切线CF 交AB 的延长线于F 点,且2:3:=EB AE ,CF EF =,2=CE ,23=ED ,则CF 的长为（A ）6 （B ）5 （C ）62（D ）52（7）已知π(,π)2θ∈,sin cos θθ+=则πtan()4θ-的值为（A ）21（B ）2 （C ）21-（D ）2-（8）设函数⎪⎩⎪⎨⎧<--=1,log 1,3)21()(x x x m x m x f m , 其中)21,51[∈m ,若)23(-=f a ,)1(f b =,)2(f c =,则（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）c a b << （D ）a b c <<第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。