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线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
专题二 二次型二次型问题考到的知识点多，涉及到行列式、矩阵（实对称矩阵、正交矩阵）、正交变换、线性方程组、特征值与特征向量等方面，因此这里的题目综合性很强。
二次型是线性代数的重要内容之一，也是考研的重点之一，题量一般只有一个，但分值大（见下表），需引起考生足够重视． 年 份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 题 量 1 1 1 1 1 1 分 值4（选择题）11114（填空题）1111分析近几年的考题，不难发现二次型问题不外乎考察如下三个方面内容：二次型的标准形问题、二次型的正定性、矩阵的合同．下面我结合近几年的考题就这三个方面内容逐个进行讨论．问题一 二次型的标准形问题其重点是用正交变换化二次型为标准形正反两个方面的问题，解题主要依据的是矩阵特征值的理论与方法．首先讨论正问题．例1（12，数1，11分）已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1001110101a a A ，二次型()()x A A x x x x f TT =321,,的秩为2．（1）求实数a 的值；（2）求正交变换Qy x =将f 化为标准形． 【解】（1）对A 作初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0001001101011001110101a a a A 因为()()2==A A R A R T，所以1-=a ．（2）当1-=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=422220202A A T ．由()()62422220202--=-------=-λλλλλλλA A E T可得A A T的特征值为0,2,6．对0=λ，解线性方程组()00=-x A A E T，得基础解系()T1,1,1--，对2=λ，解线性方程组()02=-x A A E T得基础解系()T0,1,1-，对6=λ，解线性方程组()06=-x A A E T得基础解系()T2,1,1．因为A A T为实对称矩阵，所以它对应于不同特征值的特征向量必正交，故只需将基础解系单位化．得TT T ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=62,61,61,0,21,21,31,31,31321γγγ令()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==62031612131612131,,321γγγQ ，则在正交变换Qy x =，f 化为标准形 232262y y f +=．例2（05，数1，9分）已知二次型()()()()2123222132112211,,x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2．（1）求a 的值；（2）求正交变换Qy x =，把()321,,x x x f 化为标准形； （3）求方程()0,,321=x x x f 的解．【解】（1）由二次型矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=200011011a a a a A 的秩等于2，得008=⇒=-=a a A ．（2）解特征方程()022=-=-λλλA E ，得A 的特征值为0,2321===λλλ．对221==λλ，解齐次线性方程组()02=-x A E ，得基础解系()T0,1,11=α，()T 1,0,02=α．由于21,αα已经正交，只需单位化，得T⎪⎭⎫⎝⎛=0,21,211γ，()T1,0,02=γ． 对03=λ，解齐次线性方程组()00=-x A E ，得基础解系()T0,1,13-=α，单位化3α，得T⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,213γ．令()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0102102121021,,321γγγQ ，则经正交变换Qy x =，得 ()222132122,,y y x x x f +=． （3）因标准形的解为021==y y ，3y 为任意常数，故()0,,321=x x x f 的解为()TTk y y Q x 0,1,10,21,210033-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=（k 为任意常数）．例3（03，数3，13分）设二次型()()0222,,31232221321>+-+==b x bx x x ax Ax x x x x f T，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-． （1）求b a ,的值；（2）利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．【解】（1）二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200200b b a A ，设它的特征值为321,,λλλ，由题设及特征值的性质，有()()⎩⎨⎧-=+-====-++=++12221222321321b a A a a λλλλλλ 解得()02,1>==b b a ． （2）解特征方程()()0322222012=+-=+----=-λλλλλλA E可得A 的特征值为3,2321-===λλλ．对221==λλ，解线性方程组()02=-x A E ，得基础解系()()TT1,0,2,0,1,021==αα．对33-=λ，解线性方程组()03=--x A E ，得基础解系()T2,0,13-=α．因为321,,ααα已两两正交，故只需将它们单位化，得()TT T⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==52,0,51,51,0,52,0,1,0321γγγ令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==5251000151520,,321γγγQ ，则在正交变换Qy x =，f 化为标准形 232221322y y y f -+=． 下面讨论反问题．例4（11，数1，4分）若二次曲面的方程42223222=+++++yz xz axy z y x 经正交变换化为442121=+z y ，则=a ．【分析】二次型经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值．根据特征值的性质，得()0410111113112=⨯⨯=--=a a a解得1=a ．例5（10，数1，11分）已知二次型()Ax x x x x f T=321,,在正交变换Qy x =下的标准形为2221y y +，且Q 的第3列为T⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0,22． （1）求矩阵A ；（2）证明E A +为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵．【解】（1）二次型()Ax x x x x f T=321,,在正交变换Qy x =下的标准形为2221y y +，说明A 的特征值为1，1，0．又因Q 的第3列为T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0,22，说明T⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22,0,223α是A 对应于特征值03=λ的特征向量．因为A 是实对称矩阵，所以A 对应于不同特征值的特征向量正交．设A 对应于特征值121==λλ的特征向量为()Tx x x 321,,=α，则031=+x x ．取()TT ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==22,0,22,0,1,021αα作为A 对应于特征值121==λλ的两个正交单位特征向量，并令()321,,ααα=Q ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-21021010210210111Q Q A ． （2）显见E A +为实对称矩阵，它的3个特征值为2，2，1．因为E A +的特征值都大于0，所以E A +为正定矩阵．例6（09，数1，11分）设二次型()()3231232221321221,,x x x x x a ax ax x x x f -+-++=．（1）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（2）若二次型f 的规范形为2221y y +，求a 的值．【解】（1）二次型矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111010a aa A ，解特征方程 ()()()0211111010=+----=+-----=-a a a a aaA E λλλλλλλ得A 的3个特征值2,1,-+a a a ．（2）因二次型f 的规范形为2221y y +，所以A 的3个特征值中必有2个大于0，一个等于0，故2=a ．例7（02，数1，3分）已知实二次型()()323121232221321444,,x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换Py x =可化为标准形216y f =，则=a ．【分析】因为二次型Ax x T经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值，所以6,0,0是A 的特征值．由特征值的性质()⇒++=++=006a a a A t r2=a ．问题二 二次型的正定性其重点是二次型正定性的判定及正定性性质的应用，解题主要依据的是二次型正定性的判定定理．判定实二次型或实对称阵是否正定的方法： （1） 利用定义，0.0nTx R x Ax ∀≠∈>正定；（2）用非退化线形变换化二次型为标准型，当正惯性指数p n =时正定； （3）令0E A λ-=，求A 的全部特征根，当它们全大于0时正定；（4）计算A 的各阶顺序主子式，当它们全大于0时正定， 方法1——利用定义证明或判别二次型及其矩阵的正定性 例8（05，数3，13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B C C A D T 为正定矩阵，其中B A ,分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵．（1）计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE OC A EP 1； （2）利用（1）的结果判断矩阵C A C B T1--是否为正定矩阵，并证明你的结论．【解】（1）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--n mT n TT m TE O C A E B C C A E AC O E DP P 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--n mT n T mE O C A E B C C A E A C O E 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---C A C B O O A E OC A E C A C B O C A T n mT 111 （2）因为D 是对称矩阵，所以DP P T是对称矩阵，故C A C B T1--为对称矩阵．因为D 与⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B O O A T 1合同，且D 正定，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B O O A T 1也正定，那么，0≠∀Y ，恒有()011>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--Y C A C B Y Y O C A C B O O A Y O T T T T，故C A C B T 1--是正定矩阵． 例9（00，数3，9分）设有n 元实二次型()()()()()212112322221121,,,x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=--其中()n i a i ,,2,1 =为实数．试问：当n a a a ,,,21 满足何种条件时，二次型f 是正定二次型．【解】f 是正定二次型⇔对于任意不全为0的实数n x x x ,,,21 ，恒有211x a x +，322x a x +，n n n x a x 11--+，1x a x n n +不全为0，即齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+--．0,0,0,0111322211x a x x a x x a x x a x n n n n n只有零解．而此方程组只有零解⇔系数行列式不等于0，即()011110000010000100001211121≠-+=+-n n nn a a a a a a a所以当()nn a a a 121-≠ 时，f 是正定二次型．例10（99，数3，7分）设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A A E B T+=λ，试证：当0>λ时，B 为正定矩阵． 【证明】因为()B A A E AA EB T TTT=+=+=λλ，所以B 是n 阶实对称矩阵．()()()Ax Ax x x Ax A x x x x A A E x Bx x TT T T T T T T +=+=+=λλλ0≠∀x ，恒有0>x x T ，()()0≥Ax Ax T，所以0≠∀x ，当0>λ时，0>Bx x T，故当0>λ时，B 为正定矩阵．例11（99，数1，6分）设A 为m 阶正定矩阵，B 为n m ⨯实矩阵，试证：AB B T为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩()n B r =． 【证明】 显然AB B T是实对称矩阵．必要性 因AB B T为正定矩阵，按定义0≠∀x ，恒有()0>x AB B x TT，即0≠∀x ，恒有()()0>Bx A Bx T，从而0≠∀x ，恒有0≠Bx ，所以齐次线性方程组0=Bx 只有零解，故()n B r =．充分性 因()n B r =，所以齐次线性方程组0=Bx 只有零解，即0≠∀x ，恒有0≠Bx ．又A 为正定矩阵，所以0≠∀x ，恒有()()()0>=x AB B x Bx A Bx TT T，故AB B T 为正定矩阵．方法2——利用特征值都大于0证明或判别二次型及其矩阵的正定性例12（98，数3，7分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，()2A kE B +=，其中k 为实数，E 为单位矩阵．求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．【解】因为A 是对称矩阵，有()[]()[][]()B A kE A kE A kE A kE B T T TT =+=+=+=+=2222所以B 是实对称矩阵，故B 可对角化．由()0211201012=-=-----=-λλλλλλA E ，解得A 的特征值为221==λλ，03=λ，从而得到()2A kE B +=的特征值为()22+k ，()22+k ，2k ．故B 的相似对角矩阵为()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=Λ22222k k k ． B 正定⇔B 的所有特征值都大于0，即当2-≠k 且0≠k 时，B 正定．方法3——利用顺序主子式都大于0证明或判别二次型及其矩阵的正定性例13（97，数3，3分）若二次型()322123222132122,,x tx x x x x x x x x f ++++=是正定的，则t 的取值范围是 ． 【分析】二次型f 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120211012t t A ，因f 正定⇔A 的所有顺序主子式都大于0，又021>=∆，012>=∆，23211t -=∆，所以f 正定⇔021123>-=∆t ，即22<<-t ．方法4——利用正惯性指数等于n 证明或判别二次型及其矩阵的正定性 例14 证明：实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同．【证明】n 阶实对称矩阵A 正定⇔n 元二次型Ax x T的正惯性指数等于n ⇔n 元二次型Ax x T 的规范形为22221n y y y +++ ⇔A 与单位矩阵E 合同（规范形22221n y y y +++ 的矩阵为E ）．此例之结论可以直接作为判定矩阵正定性的依据． 问题三 矩阵的合同其重点是矩阵合同的判定及矩阵合同性质的应用，解题主要依据的是矩阵合同的充分必要条件．例15（08，数4，4分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112 （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221 【分析】n 阶实对称矩阵A 与B 合同⇔A 与B 有相同个数的正特征值和相同个数的负特征值．A 的特征值为1-，3，选项（A ）中矩阵的特征值为1-，3-，选项（B ）中矩阵的特征值为1，3，选项（C ）中矩阵的特征值为1，3，选项（D ）中矩阵的特征值为1-，3，故选（D ）．例16（07，数1，4分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000010001B ，则A 与B（A ）合同且相似 （B ）合同但不相似 （C ）不合同但相似 （D ）不合同且不相似 【分析】实对称矩阵A 的特征值为0，3，3，故二次型Ax x T的正惯性指数为2，负惯性指数为0．显然二次型Bx x T的正惯性指数也为2，负惯性指数为0，所以A 与B 合同．因为()()B tr A tr ≠，所以A 与B 没有相同的特征值，从而A 与B 不相似．选（B ）．例17（01，数1，3分）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111111111111A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000004B ，则A 与B（A ）合同且相似 （B ）合同但不相似 （C ）不合同但相似 （D ）不合同且不相似【分析】因为A 是实对称矩阵，且它的特征值为4，0，0，0，所以A 与B 合同且相似．选（A ）．例18（96，数3，8分）设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210010000010010y A ． （1）已知A 的一个特征值为3，求y ；（2）求可逆矩阵P ，使()()AP AP T为对角矩阵． 【解】（1）因为3是A 的一个特征值，故()02811133113111300003100133=-=-----=-----=-y y y A E解得2=y ．（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5400450000100001A A T为实对称矩阵，构造二次型()x A A x T T ，将其化为标准形． ()4324232221855x x x x x x x A A x T T ++++=242443232221592516585x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++++= 24243222159545x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=⇔=+==．444333432211,5454,,y x y y x y x x y x y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321432110005410000100001y y y y x x x x经此线性变换，二次型化为标准形()24232221595y y y y x A A x T T +++=令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10005410000100001P则()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=59511AP AP T小结：1．二次型的标准形问题．其重点是用正交变换化二次型为标准形正反两个方面的问题，解题主要依据的是矩阵特征值的理论与方法．2．二次型的正定性．其重点是二次型正定性的判定及正定性性质的应用，解题主要依据的是二次型正定性的判定定理．3．矩阵的合同．其重点是矩阵合同的判定及矩阵合同性质的应用，解题主要依据的是矩阵合同的充分必要条件．11。
