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正态分布[A组学业达标]1．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )A．P1＝P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．不确定解析：根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．答案：A2．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5，由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.答案：A3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：P(3＜ξ＜6)＝12[P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)]＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B.答案：B4．随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，若P (2＜ξ＜3)＝a ，则P (ξ＜－1)＋P (1＜ξ＜2)＝( ) A.1－a 2 B.12－a C ．a ＋0.003a D.12＋a 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，所以正态曲线关于x ＝1对称，因为P (2＜ξ＜3)＝a ，所以P (－1＜ξ＜0)＝a ，P (1＜ξ＜2)＝P (0＜ξ＜1)，P (ξ＜－1)＋P (1＜ξ＜2)＝12－a .答案：B5．已知X ～N (0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率为( )A ．0.954B ．0.046C ．0.977D ．0.023解析：由题意知，正态曲线的对称轴为x ＝0，所以P (X ＜－2)＝0.5－12P (－2≤X ≤2)＝0.5－0.954 42＝0.022 8.故选D. 答案：D6．若随机变量ξ～N (10，σ2)，P (9≤ξ≤11)＝0.4，则P (ξ≥11)＝________.解析：由P (9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝μ＝10为对称轴知，P (9≤ξ≤11)＝2P (10≤ξ≤11)＝0.4.P (10≤ξ≤11)＝0.2，∵P (ξ≥10)＝0.5，∴P (ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.37．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)成立，则μ＝________.解析：因为ξ～N (μ，σ2)，故正态密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ＜1)＝P (ξ＞3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2. 答案：28．抽样调查表明，某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜ξ＜450)＝0.3，则P (550＜ξ＜600)＝________.解析：由图可以看出P (550＜ξ＜600)＝P (400＜ξ＜450)＝0.3.答案：0.39．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72＜X ≤88)＝0.682 6.(1)求参数μ，σ的值．(2)求P (64＜X ≤72)．解析：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72＜x ≤88)＝0.682 6.结合P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，可知σ＝8.(2)因为P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝P (64＜X ≤96)＝0.954 4.又因为P (X ≤64)＝P (X ＞96)，所以P (X ≤64)＝12(1－0.954 4)＝12×0.045 5＝0.022 8. 所以P (X ＞64)＝0.977 2.又P (X ≤72)＝12[1－P (72＜X ≤88)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，所以P (X ＞72)＝0.841 3，P (64＜X ≤72)＝P (X ＞64)－P (X ＞72)＝0.135 9.10．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？ 解析：因为ξ～N (90,100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率就是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．[B 组 能力提升]11．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1B ．2C ．4D ．不能确定解析：因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ＜0，得ξ＞4，即P (ξ＞4)＝12＝1－P (ξ≤4)，故P (ξ≤4)＝12，所以μ＝4. 答案：C12．已知随机变量X 服从正态分布即X ～N (μ，σ2)，且P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6，若随机变量X ～N (5,1)，则P (X ＞6)≈( )A ．0.341 3B ．0.317 4C ．0.158 7D ．0.158 6解析：由题设P (4＜X ≤6)≈0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P (X ≥6)＝12[1－P (4＜X ≤6)]≈12(1－0.682 6)≈0.158 7. 答案：C13.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 解析：X ～N (0,1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6，所以P (0≤X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3， 故S ≈0.341 3，所以落在阴影部分中点的个数x 的估计值为x 10 000＝S1，所以x ＝10 000×0.341 3≈3 413.答案：3 41314．某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩X ～N (100，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120分的学生约有________人．解析：因为成绩X ～N (100，a 2)，所以其正态曲线关于直线x ＝100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，由对称性知：成绩在120分以上的人数约为总人数的12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝15，所以此次数学考试成绩不低于120分的学生约有：15×600＝120(人)． 答案：12015．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (3,22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？解析：由题意知，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N (8,32)，则μ＝8，σ＝3.于是P (8－3＜ξ≤8＋3)＝P (5＜ξ≤11)≈0.682 6.所以P (ξ≤5)＝12[1－P (5＜ξ≤11)] ≈12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以P (ξ＞5)≈1－0.158 7＝0.841 3.对于第二套方案ξ～N (3,22)，则μ＝3，σ＝2.于是P (3－2＜ξ≤3＋2)＝P (1＜ξ≤5)≈0.682 6，所以P (ξ＞5)＝12[1－P (1＜ξ≤5)] ≈12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以应选择第一套方案．。
基于“卡西欧图形计算器FX-CG20”下的一节教学设计 ---“正态分布”一、内容和内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-3中的2.4《正态分布》第一课时，属于新授概念课．正态分布是选修2-3第二章随机变量及其分布的最后一节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识.正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型随机变量的分布规律，离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修3统计和概率知识的一种拓展.同时本节课内容反映了数形结合的思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异.生活中除了离散型随机变量更多的是连续型随机变量的例子，因此正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.从形式看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石，它在概率和统计中占有重要的地位.一方面，本节课内容为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述，因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位.二、教学目标设置1、通过采用卡西欧图形计算器统计出生活中学生身高、体重、测量误差、用水量等随机变量的样本频率分布直方图，作出概率密度曲线，感受正态曲线的特征。
2、理解连续型随机变量的特征，能描述出概率密度函数的作用，借助图形计算器利用正态分布密度函数的图象对性质进行合情猜想，部分学生能从代数推理证明正态曲线所具有部分性质。
3、通过数学史介绍正态分布密度函数，感受数学文化；通过数据的分析，渗透概率统计思想。
4、培养学生合作意识、提高交流表述能力。
三、学生学情分析本班学生人手一台卡西欧图形计算器FX-CG20的图形计算器，已经能熟练的运用图形计算器统计数据、作出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图及概率密度曲线，能根据频率分布直方图和频率分布折线图初步分析数据的分布规律，具有一定的统计思想.部分学生会用数形结合思想方法研究一些简单的数学问题，能够收集、整理和分析一些简单的统计问题.但是，本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量，由离散型随机变量的分布列得到连续型随机变量的分布密度函数，这对学生来说是一个挑战，如何认识正态曲线的特点及其表示的意义也是学生学习的难点.正态曲线的特点和意义学生画频率分布直方图和频率分布折线图以及图形计算器的探究活动来学习，正态分布密度函数的得出需要教师给予适度的指导.基于以上教学目标，确定本堂课的难点为：探索正态分布密度曲线性质；教学重点：正态分布密度曲线的性质四、教学策略分析传统的教学过程困难在于学生缺少技术手段，缺少工具去发现、去猜想。
正态分布教学设计刘一(湖北省沙市中学）一、教学目标分析结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下:知识与技能目标:（1）学习正态分布密度函数解析式；（2)认识正态曲线的特点及其表示的意义；过程与方法目标:（1）设置课前自主学习学案,使学生在课前自学；(2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习.情感、态度与价值观：（1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣,调动学生的学习热情；（2）运用讨论探究形式,增强学生的合作意识。
二、教学内容解析正态分布是人教A版选修2—3第二章第四节的内容，该内容共一课时。
之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识,这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。
三、教学问题诊断学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。
正态曲线的特征较多，证明也较为复杂,如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量.本班学生为理科名校班,学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。
教学重点：（1）正态分布密度函数解析式；（2）正态曲线的特点及其所表示的意义.教学难点：正态曲线的特点四、教学对策分析通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需要用到的知识.设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。
为完成教学任务,教师需要在课前为学生提供学案,课堂中引导学生,掌控学习进度。
五、教学基本流程课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲线正态曲线与函数课堂练习 正态分布正态曲线特点 课堂检测条件及举例课堂小结课后查阅六、教学过程设计(1)课前自主学习：1。
频率分布直方图用什么表示频率？2.由频率分布直方图得到总体密度曲线的过程是:首先绘制样本的频率分布折线图，然后随着 的无限增加，作图时 的减小、 的增加,频率分布折线图越来越接近一条光滑曲线，这条曲线就是 曲线。
