2019-2020学年四川省自贡市高一上学期期末数学试题及答案解析版

2019-2020学年四川省自贡市高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．已知集合A={}2|log ,1y y x x =>， B=1|(),12x y y x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂＝（ ） A ．( 0 , 1 ) B ．( 0 ,12)C ．(12, 1 ) D ．∅【答案】B【解析】1(0,),(0,).2A B =+∞=1(0,)2A B ⋂=故选B2．已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α的值等于（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-【答案】A【解析】由三角函数的定义可求出cos α的值. 【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α==-，故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.3．在下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．21y x=+ B ．cos y x = C ．2x y =D ．1y x=【答案】A【解析】由偶函数的判定方法:首先看定义域,其次计算()f x -与()f x 的关系;按照题意再判定函数是否在()0,∞+上单调递增. 【详解】对于A ,其定义域为R ,关于原点对称,21y x =+,则22()()11()f x x x f x -=-+=+=,故函数21y x =+是偶函数,由其图象可知在()0,∞+上单调递增,故A 选项符合题意; 对于B ,其定义域为R ,关于原点对称,cos y x =,则()cos()cos ()f x x x f x -=-==,故函数cos y x =是偶函数,但其图象可知在()0,∞+上有增有减,不是单调递增,不符合题意; 对于C ,其定义域为R ,关于原点对称, 2x y =,则()22x x f x --=≠,即()()f x f x -≠,故函数2x y =不是偶函数,不符合题意;对于D ,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞,关于原点对称, 1y x=,则11()()f x f x x x -===-,在()0,∞+上1y x=是单调减函数,不是增函数,故不符合题意. 故选A 【点睛】本题考查了偶函数和单调性的判定,判定是否为偶函数从两个方面:首先看定义域是否关于原点对称,其次要满足()()f x f x -=.其单调性的判定可以借助图象,也可以用定义法判定,本题较为基础. 4．已知函数()3xf x x =+，()3log g x x x =+，()3h x x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >>【答案】B【解析】判断函数()f x 、()g x 、()h x 的零点所在区间,然后再比较零点的大小. 【详解】 对于函数()3xf x x =+,令30x x +=,即3x x =-,将其转化为两个函数图象交点问题,如图所示,不难发现其交点的横坐标小于零,即0a <;对于函数()3log g x x x =+,令3log 0x x +=,即3log x x =-,将其转化为两个函数图象交点问题,如图所示,不难发现其交点的横坐标大于零,即0b >;对于函数()3h x x x =+,令()30h x x x =+=,即32(1)0x x x x +=+=则其零点为0x =,即0c ,综上可知b c a >>.故选:B 【点睛】本题考查了函数零点的大小比较,在求解其零点时有的可以直接求出结果,有的可以求出取值范围,本题在解答过程中运用了转化的思想,转化为两个函数的交点问题,也运用了数形结合法,题目本身较为基础. 5．若tan 2β=则()2cos 1722sin cos sin πββββ-=+（ ）A ．58-B ．58C ．38-D ．38【答案】D【解析】运用诱导公式和二倍角公式对要求的式子进行化简,然后运用sin tan cos βββ=转化为关于tan β的表达式,代入求解结果. 【详解】 由诱导公式可得()()222cos 172cos 2cos 22sin cos sin 2sin cos sin 2sin cos sin πβπβββββββββββ---==+++,由二倍角公式可得2222cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin cos sin βββββββββ--=++,分子分母同时除以2cos β,化简得到22222sin cos tan 12sin cos sin 2tan tan ββββββββ--=++,已知tan 2β=,代入可得2222tan 12132tan tan 2228βββ--==+⨯+,即()2cos 17232sin cos sin 8πββββ-=+. 故选D 【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角公式的运用,以及同角三角函数关系sin tan cos βββ=的应用,此类题目在解答时的方法:在化简后分子分母同时除cos β或2cos β,将其转化为关于tan β的表达式来求解. 6．函数()f x =）A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞【答案】B【解析】依据对数函数的定义域要求和含有根号的限制条件来求出本题的定义域. 【详解】 要求函数()f x =2340log (34)0x x ->⎧⎨-≥⎩,解不等式得3412x x ⎧<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩即12x ≤,故函数()f x =是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选:B 【点睛】本题是道求定义域的题目,在求解定义域的题目时的方法是:找出满足题意得限制条件或约束条件,如有根号时,根号里面要大于或等于零;在对数函数中真数位置要大于零;在分式中,分母不等于零等等,需要掌握解题方法并能计算正确.7．要得到函数sin 2y x =的图象，只需要将函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度【答案】C【解析】试题分析：函数，将函数的图象向右平移π12个单位长度得到，故答案为C ．【考点】函数图象的平移．8．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如下表所示的关系．x… 30 40 45 50 … y…603015…销售单价为x 元时，才能获得最大日销售利润p ，则x 、p 分别为（ ） A ．35，225 B ．40，300 C ．45，350 D ．45，400【答案】B【解析】由表格中的数据反应在平面直角坐标系中,计算日销售量和销售单价的函数表达式,然后代入求日销售利润的函数中,求出最大值.在平面直角坐标系中画出表格中的各点,如图猜测为一次函数,故设y kx b =+(k ,b 为常数),将(30,60)和(40,30)代入得30604030k b k b +=⎧⎨+=⎩解得3150k b =-⎧⎨=⎩,故3150y x =-+,3050x ≤≤,把点(45,15)和(50,0)代入解析式验证,检验成立.则日销售利润2(30)(3150)32404500P x x x x =--+=-+-,3050x ≤≤,当取对称轴[]2404030,502(3)x =-=∈⨯-时, 日销售利润最大为300.故选:B 【点睛】本题考查了一次函数,二次函数的图象与性质,简单的作图能力,将实际生活问题转化为数学模型问题,并利用数学模型解得最值,在求最值时的方法:可以利用二次函数的性质,在对称轴取得最值.9．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin tan cos αβα+=则（ ）A ．π2βα-= B ．2πβα+=C ．22πβα-=D ．22πβα+=【答案】C【解析】运用同角三角函数关系和两角差的正弦公式进行化简,结合角的范围得到结果.由1sin tan cos αβα+=,则1sin sin cos cos αβαβ+=,即cos cos sin sin cos ββαβα+=,故cos sin cos cos sin sin()ββαβαβα=-=-,即sin()sin()2πββα-=-,又因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以(0,)22ππβ-∈,(,)22ππβα-∈-,因为函数sin y x =在(,)22x ππ∈-上是单调递增,所以2πββα-=-,即22πβα-=.故选:C 【点睛】本题考查了两角之间的数量关系,运用了同角三角函数公式和两角差的正弦公式进行化简,在解答此类题目时的方法:可以化切为弦,将正切运用同角三角函数关系转化为正弦和余弦,进而化简,需要熟练掌握公式.10．关于函数()331x f x a =-+，（其中a 为常数）下列说法正确的是（ ）A ．增函数，32a =时是奇函数 B ．减函数，1a =时是奇函数 C ．减函数，32a =时是奇函数 D ．增兩数，1a =时是奇函数【答案】A【解析】运用函数的奇偶性定义来求解a 的值,以及运用函数的单调性定义证明增减性. 【详解】 函数()331xf x a =-+的定义域为R ,任取12,x x R ∈不妨令12x x <, 则()()121212212112333(31)3(31)3(33)3131(31)(31)(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x a a +-+--=--+==++++++,因为12x x <,则12330x x -<,()()120f x f x -<,故()()12f x f x <,所以函数()331x f x a =-+在定义域内是增函数,故排除C 和D 选项. 函数()331x f x a =-+若为奇函数,则有()()f x f x -=-,即333131x x a a --=-+++,化简得333(31)23313131x x x x a -+=+==+++,即32a =,故排除B . 故选A 【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的判定,解答此类题目的方法较多,最核心的解法还是运用其性质的定义来解,熟练运用性质定义按步骤来求解答案.11．若定义在R 上的函数()y f x =满足()()1f x f x +=-，且当[]1,1x ∈-时，()2f x x =，函数()()()()3log 1121xx x g x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】由已知条件先求出函数()f x 是周期函数,然后将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题,画出两个函数图象求出结果. 【详解】定义在R 上的函数()y f x =满足()()1f x f x +=-, 则(2)[(1)1](1)[()]()f x f x f x f x f x +=++=-+=--=,所以函数()y f x =是以2为周期的函数,则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点个数可以转化为函数()y f x =和()()()()3log 1121x x x g x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩的图象在同一坐标系内的交点个数,画出两个函数图象:由图可得两个函数图象在[5,5]-内有8个交点,故函数()()()h x f x g x =-在区间[5,5]-内的零点个数为8个.故选:C 【点睛】本题考查了函数零点问题,解答此类问题是采用了数形结合的方法,转化为函数图象交点问题,画出函数图象,观察图象的交点个数,要能够画出图象,会画周期函数图象,也能够通过图象平移得到新函数的图象,总之要掌握数形结合的方法,零点问题是常考题型. 12．已知函数()()2ln 122x x f x x-=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是（）A ．()(),11,-∞-+∞B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．()(),21,-∞-⋃+∞【答案】D【解析】先求出函数()f x 的定义域,然后求出函数()f x 的奇偶性和单调性,运用函数的性质解不等式()()12f x f x +<,最后求出结果. 【详解】 已知函数()()2ln 122x x f x x-=-++,令210x ->,解得1x <-或1x >,所以函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞,则其定义域关于原点对称, 又()()()()22ln ()122ln 122x x x x f x x x f x ---=--++=-++=,所以函数()f x 为偶函数,当1x >时, ()()2ln 122x x f x x -=-++,又()2ln 1y x =-及22x x y -=+在1x >时都是增函数,所以()f x 在1x >时也是增函数,故解不等式()()12f x f x +<,即121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩,解得113021122x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪><-⎨⎪⎪><-⎪⎩或或或即2x <-或1x >,综上不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围为()(),21,-∞-⋃+∞. 故选:D 【点睛】本题是道较为综合的函数题目,考查了函数的单调性和奇偶性,以及解不等式,此类题目看似较难,但解法很固定,一定要能看透题目的本质:研究出函数的奇偶性和单调性,运用函数的奇偶性和单调性最后来解不等式.需要平时对函数的性质题目有一定的积累,多思考,多总结.二、填空题13．若4log 31x =，则33x x -+=__________．【答案】174【解析】先求出x 的值,然后再运用对数的运算法则求解出3x 和3x -的值,最后求解答案.【详解】 若4log 31x =,则341log 4log 3x ==,所以33log 4log 41173333444x x --+=+=+=. 故答案为:174【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.14．已知1sin cos 5ββ+=-，()0,βπ∈，则tan β=__________． 【答案】34-【解析】由已知条件进一步缩小β的取值范围,确定sin β和cos β的符号,运用同角三角函数的关系求出sin β和cos β的值,进而得到tan β的值. 【详解】已知1sin cos 5ββ+=-,()0,βπ∈,两边同时平方得:112sin cos 25ββ+=,则242sin cos 25ββ=-,因为()0,βπ∈,所以sin 0β>,cos 0β<,则249(sin cos )12sin cos 25ββββ-=-=,所以7sin cos 5ββ-=,联立1sin cos 57sin cos 5ββββ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得3sin 54cos 5ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以sin 353tan ()cos 544βββ==⨯-=-. 故答案为:34- 【点睛】本题考查了同角三角函数得关系求解,在解答此类题目时需要注意由角得范围确定三角函数值得符号问题,这里容易出现错误,另外就是熟练运用同角三角函数关系正确运算. 15．若函数()222cos f x x x m ++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6，则m =__________． 【答案】3 【解析】由题得1cos 2()2221cos 22sin(2)123x f x x m x x m x m π+=+⨯+=+++=+++，40,2,2333x x ππππ≤≤∴≤+≤ 所以当max 2()216, 3.3212x x f x m m 即时，πππ+===++=∴=故填3.16．函数()()()243111x x ax x f x a x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩在x ∈R 内单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知分段函数在x ∈R 内单调递减,则分段函数的每一段在其定义域内都是减函数,且当1x =时要满足243x ax -+的最小值大于或等于1x a +的最大值,即可求出结果. 【详解】 已知函数()()()243111x x ax x f x a x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩在x ∈R 内单调递减,则243y x ax =-+在1x <必须是减函数,故其对称轴412a--≥,解得12a ≥;同时1x y a =+在1x ≥时也是减函数,故01a <<,并且1x =时要满足2431xx ax a -+≥+,解得35a ≤,综上实数a 的取值范围是13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为:13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了分段函数的单调性问题,解答此类题目时的方法:分别求出每一段函数在其定义域内满足单调性的取值范围,然后不要漏掉在分段的那一点处的取值大小情况.此类题目属于常考题型,需要掌握解题方法.三、解答题17．已知集合{}21,3,,{1,2}A a B a ==+,是否存在实数a ,使得A B A ⋃=?若存在,试求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.【答案】存在,2a = 【解析】AB A B A =⇔⊆，分23a +=，22a a +=讨论，并满足互异性，列式求解. 【详解】解:{}2{1,2}1,3,A B A B A a a ⋃=⇔⊆∴+⊆，222313a a a +=⎧⎪∴≠⎨⎪≠⎩或22222113a a a a a ⎧+=⎪+≠⎪⎨≠⎪⎪≠⎩，2a ∴=，∴存在实数2a =，使得A B A ⋃=. 【点睛】本题考查并集的性质，注意集合元素的互异性，是基础题. 18．如图，已知直线12l l ，A 是1l ，2l 之间的一定点，并且点A 到1l ，2l 的距离分别为1h ，2h ，B 是直线2l 上的一动点，作AC AB ⊥，且使AC 与直线1l 交于点C ．设ABD β∠=．（1）写出ABC 面积S 关于角β的函数解析式()S β；（2）求()S β的最小值． 【答案】（1）()120sin 22h h S πβββ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，（2）12h h 【解析】（1）在直角三角形ADB 中运用三角函数求出AB 的表达式,同理求出AC 的表达式,运用直角三角形面积公式求出面积S 关于角β的函数解析式()S β.（2）结合（1）中的面积S 关于角β的函数解析式()S β,运用求出三角函数最值,就可以求出面积的最小值. 【详解】（1）根据题可得,在直角三角形ADB 中, 2sin h ABβ=,则2sin h AB β=,同理,在直角三角形AEC 中可得1cos h AC β=,则在直角三角形ABC 中()21122sin cos h h S AB AC βββ=⨯=,即()211202sin cos sin 22h h h hS πβββββ⎛⎫==<< ⎪⎝⎭（2）由（1）得()211202sin cos sin 22h h h hS πβββββ⎛⎫==<< ⎪⎝⎭,要求()S β的最小值,即求sin 2β的最大值,即当4πβ=时,sin 2β的最大值为1因此()12min 4S S h h πβ⎛⎫== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了运用三角函数模型来解决问题在解决问题中能熟练运用三角函数关系进行求值和化简,并能求出三角函数最值问题.熟练掌握各公式并灵活运用. 19．若02x ≤≤，求函数()129235x x f x -=-⨯+的最大值和最小值．【答案】()max 14f x =,()min 2f x =【解析】将3x 看作一个整体,对函数()f x 进行化简,运用二次函数的思想求解最大值和最小值. 【详解】 已知()129235x x f x -=-⨯+,化简得:()()1221923532353x x xx f x -=-⨯+=-⨯+()()()21332023xf x x =-+≤≤,当33x =时,即1x =时取得最小值,故()()min 12f x f ==, 当0x =时,10(0)3f =, 当2x =时,(2)14f =()()(){}()max max 0,2214f x f f f ===.综上,函数()f x 最大值为14,最小值为2. 【点睛】本题考查了求函数得最值问题,解答题目时运用二次函数的方法求出结果.求最值得方法有很多:如运用函数单调性求出最值;运用二次函数得模型在对称轴上取得最值等. 20．已知函数()cos cos sin 66f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）求使()1f x ≥成立的x 的取值集合．【答案】（1）()72,266k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭（2）()2,262k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）运用两角和与差的余弦公式对函数()f x 进行化简,运用辅助角公式将函数化成()sin()f x A x ωϕ=+的形式,进而求出函数()f x 的单调递减区间.（2）在（1）中得到函数()sin()f x A x ωϕ=+的形式,来求解使()1f x ≥成立的x 的取值集合.【详解】()11cos cos sin sin sin sin 6622sin f x x x x x x x x xx xππ⎛⎫⎛⎫=++-+=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+所以()12cos sin 2sin 223f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）由函数sin y x =的单调减区间为()32222k x k k Z ππππ+≤≤+∈,所以()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间为()322232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,求得()72266k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故函数()f x 的单调递减区间为()72,266k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. （2）要求()2sin 13f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭即1sin 32x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,即()522636k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得()2262k x k k Z ππππ-<<+∈.所以使()1f x ≥成立的x 的取值集合为()2,262x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了运用两角和与差的余弦公式进行展开及辅助角公式化简,然后求三角函数的单调区间和最值问题,属于常考题型,需要熟练掌握各公式,并能计算正确.21．已知函数()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，（0a >，且1a ≠）．（1）求函数()()y f x g x =-的定义域；（2）判断函数()()y f x g x =-的奇偶性和单调性，并说明理由．【答案】（1）()1,1-（2）奇函数，证明见解析，当1a >时是增函数，当01a <<时，是减函数，证明见解析【解析】（1）分别求出函数()()log 1a f x x =+,()()log 1a g x x =-满足的条件,然后就可以得到函数()()y f x g x =-的定义域. （2）在已经求出定义域的基础上运用函数的奇偶性和单调性的定义对函数()()y f x g x =-加以判断,注意分两种情况讨论. 【详解】（1）由1010x x +>⎧⎨->⎩得函数()()y f x g x =-定义域为()1,1-；（2）()()y f x g x =-是奇函数设()y h x =,()()()()()log 1log 1a a h x f x g x x x =-=+--,()1,1x ∈- 因为()()()()log 1log 1a a h x x x h x -=--+=- 所以()()y f x g x =-是奇函数函数()()()()()log 1log 1a a h x f x g x x x =-=+--,()1,1x ∈- 当1a >时,()y h x =,()1,1x ∈-是增函数 当01a <<时,()y h x =,()1,1x ∈-是减函数 任取()12,1,1x x ∈-且12x x <则()()11122211log log 11a ax x h x h x x x +--=++-因为1211x x -<<<∴121011x x +<<+,121011x x -<<- 所以当1a >时,()()120h x h x -<,()()12h x h x <,()y h x =,()1,1x ∈-是增函数当01a <<时,()()120h x h x ->,()()12h x h x >,()y h x =,()1,1x ∈-是减函数 【点睛】本题考查了求函数的定义域,并求函数的奇偶性和单调性,在判定函数的奇偶性时的方法:一看定义域是否关于原点对称,二看()f x -与()f x 之间的关系.在用定义法证明函数单调性的方法:一设二作差,三化简四定号,五给结论不忘答.本题需要注意分类讨论.22．已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足()()()()0,0f mn f m f n m n =+>>，而且当1x >时，有()0f x >．（1）求证：()f x 在()0,∞+上是增函数； （2）判断2m n f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()()12f m f n +的大小，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析，（2）()()()122m n f f m f n +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，理由见解析【解析】（1）运用已给条件构造出2211x x x x =⋅,代入题中的函数法则中进行化简,结合增函数的定义进行判定. （2）结合条件中的函数法则,对2m n f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()()12f m f n +进行化简,结合函数的单调性进行证明其大小关系. 【详解】（1）任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <,则211x x >,有210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭, 由已知得()()2221111x x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭即()()12f x f x <,故()f x 在()0,∞+上是增函数； （2）()()()122m n f f m f n +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭当且仅当m n =取等号 理由如第 21 页 共 21 页 下:()()()()()21112()222222m n m n m n f f m f n f f mn f f mn +⎡+⎤⎡+⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦又()221024m n mn m n +⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭当且仅当m n =取等号,即22m n mn +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,又函数()f x 在()0,∞+上是增函数, 所以()22m n f f mn +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭ 即()()()1022m n f f m f n +⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭ 因此()()()122m n f f m f n +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭当且仅当m n =取等号． 【点睛】本题考查了抽象函数单调性的证明和不等关系的判定,在证明抽象函数的单调性时的方法时需要构造的数量关系是2211x x x x =⋅,然后灵活运用题目的法则进行求解证明是关键,在证明过程中题目中的每一句都要进行灵活运用,类似单调性定义证法作差,化简,定号.本题有难度,需要在平常学习过程中多积累,多思考,多运用方法解题.。