图形与几何内容的理解和分析
一、图形与几何内容变化及其主线
“图形与几何”的课程内容，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力和应用意识为核心展开。这一领域的教学内容仍然分为四部分：
图形的认识；测量；图形的运动；图形与位置。
将“图形与变化”改为“图形的运动”因为运动更为直观易懂，突出了从运动的角度刻画图形。
“图形的认识”
对图形认识的要求主要包括两个方面：一是对图形自身特征的认识，二是对图形个元素之间、图形与图形之间关系的认识。对图形自身特征的认识，是图形与几何领域的重要内容，是进一步研究图形的基础。学生在丰富的生活经验的基础上，认识常见的立体图形和平面图形，它们分别是“无线、五角、七形、四体”。在不同学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从辨认到初步认识。如“平行四边形、长方体和正方体”等，第一学段都是要求能辨认；第二学段要求认识其特征；这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程，也符合学生的认知特点，逐步深入、循序渐进。
对于图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。如三角形三边关系、五种角的大小关系、四边形之间的关系都是对图形大小关系的研究。
如何通过图形的认识的教学，促进学生空间观念的发展？（教学建议）
1.重视通过对实物的观察和操作认识图形，发展空间观念。
在图形的认识的探索过程中，学生必然要从事多种活动。这些活动，既包括学生的观察活动，也包括学生的操作活动，比如撕、剪、拼、折、画，还包括学生的想象活动。当然，还包括一些简单的推理，以及对图形及其特征的表达。教学中，非常重要的一点，是能将观察、操作、想象、推理、表达进行有机地结合。举个例子：对于长方形特征的探索，教师可以首先鼓励学生观察，提出一些猜想：他们的对边相等…在此基础上，教师可以鼓励学生运用操作对猜想进行验证。最后，还可以鼓励学生用自己的语言表达出长方形的特征。
这里需要强调的是学生操作的重要性。学生通过折叠、剪拼、画图、测量、建构模型、分类等活动，对图形的多方面性质有了亲身的感受，这不仅为正式学习图形的性质打下基础，同时也积累了数学活动经验，发展了空间观念。亲身实践远比只是看一下要获得远远多的对图形的“洞察”。教师还要鼓励学生在操作中积极思考，否则，缺乏思
考的盲目操作会造成操作的无效性。
为了说明问题，下面介绍“三角形三边关系”一课：
首先，教师精心设计了学生操作的学具，画在透明胶片上的16厘米长的线段作为学生操作探究的学具，线段可以较好地控制因粗细造成的歧义，更好地抓住认知本质。16厘米能够出现我们所需要的
各种数据情况，为找关系、归纳规律做好条件准备。学具的选择给学生的探究提供了空间。
学生每人一条胶片，剪三段后，有的能够围成三角形（4，5，7；2，7，7），有的不能围成三角形（4，3，9；3，5，8；4，4，8），多种情况的出现为后面总结三角形三边关系提供了充足的数据，也为学生发现问题、提出问题提供了空间。
学生在自主操作的基础上，结合大量的数据，能够容易得出“任意两边之和大于第三边”。教师引导学生进一步对“任意”进行理解，适时加入字母，使学生深入理解了任意的含义。课堂上，学生“随便两条边”到“所有两边”再到“两条短边之和大于长边”的结论，这个过程就是学生认知不断发展的过程，从片面到全面，最后达到了数学的简洁、严谨。字母表达式的引入，突出了数学结论的概括性，培养了符号感。教师在处理“两边之和等于第三边”时，对“3，5，8”这种情况给予了足够的时间，适时利用学生之间的认知冲突，引发生生之间的对话，学生通过对数据的分析，进行了简单的推理，如有学生说：3+5=8，8和8都重合了，鼓不起来了，拼不成。很容易理解了“两边之和等于第三边围不成三角形”的情况，既使学生感受到了数据的作用，又发展了学生的空间观念。
从对实物的观察和操作过程中来认识图形，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展空间观念，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感和态度。
2.重视二维图形和三维图形之间的转换，发展空间观念。
“面对一个几何体或者实物时，能想象出它所对应的平面图形,如三视图、展开图；反之，当看到某个三视图展开图时，能想象出它所对应的几何体或实物的形状”是空间观念的重要表现。所以，教师应注意设计丰富的活动促进学生进行平面和立体的转化。在第一、二学段，可以借助以下教学内容实现这种转换：观察物体，物体的折叠和展开；旋转体——圆柱、圆锥的形成和剪切等。
如，观察物体的教学，在小学阶段有如下要求：
从不同角度观察，虽然还不是真正的视图，但的确实现了把三维空间向二维空间转化的过程，教学时要通过各种观察活动促成目标的达成。
图形的折叠是指把一个平面图形进行折叠成为一个立体图形，图形的展开即是立体图形展开成平面图形。折叠和展开过去教材也有长方体正方体和圆柱的展开图。但是现在这个做法要加强，而且在进行折叠和展开当中，操作过程必须要通过学生的想象，那么这个过程本身实际上是让学生认识到，立体图形的结构和展开图之间的对应关系。那怎么让学生认识这个对应关系呢？
正方体展开图，让学生经历这样的学习过程：
转化——转化——思考：探索正方体的展开图
学生在操作之前，首先得想象一下，可能会是什么样子；然后再通过操作，验证自己的想法；再进一步理解三维和二维图形之间的对应关系并把这个过程表现出来。这几步对发展学生的空间观念非常重要。
在图形的转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应注重展开和折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量和类型的做法是不可取的。
如教学圆柱的认识，应该开展以下活动进一步认识：
第一从不同角度观察圆柱，分析从不同角度观察圆柱，分析从不同角度分别看到什么样的结果；
第二从不同的角度观察圆柱，想象剪开后的图形会是什么样子？
第三把圆柱切割成两部分，不同的切法截面可能是什么形状？
总之，认识图形过程中学生要经历大量的操作活动，有利于积累数学活动经验，发展学生空间观念，教学中要予以充分重视。
“测量”
测量在内容上稍有调整：考虑到学生的生活经验，将“平方千米和公顷”的学习移到第二学段，并降低了要求。那么，如何以“测量”为载体，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，渗透度量意识？如何在图形测过程中帮助学生感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养学生的空间观念？如何在图形测量的过程中培养学生的估测意识和能力，体验解题方法的多样性？
1.使学生体会建立统一度量单位的必要性，体会度量单位的实际意义原来度量单位的教学常常是把重点放在计量单位的换算上，而对于为什么要引入这个度量单位，以及对这些度量单位实际大小的感知相对比较忽视。
许多教师困惑，在教学长度单位的认识时为什么要先讲统一单位，再认识长度单位呢？例如，二年级上册第一单元“长度单位”，例1不是认识厘米，而是创设了一个活动的情境，让学生测量数学书封面的长度。教材呈现有的学生用硬币量，有的用三角形、曲别针量…对比测量的结果。还包括让学生感受同一物体用不同的测量工具，测量出的结果的对比。教学时为什么不直接认识厘米，为什么要拐弯呢？
度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。因此，在课程的实施过程中，应该为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不通过的方法进行测量，并在相互交流中发现单位的选择对测量结果的影响，进而体会到建立统一度量单位的必要性。
比如，长度单位的认识，鼓励学生采用不同的方法测量相同的长度，学生随意将身边的物体作为测量工具测量，所得到的结果不同，问题是你的长度你知道，我的长度我知道，但是大家不知道，怎样表示测量结果使大家都知道？这时同学们就会有一个共同的心理需求。必须要有一个公认的单位作为大家交流的工具，统一单位作为大家的需求产生了，体会了知识产生的必要和自然。
让学生了解建立标准测量单位的现实来源是非常重要的，它有助于学生从知识本身的逻辑体系出发，对建立标准长度的意义有个客观、正确的认识。同时，该编排也突出了数学的文化内涵，帮助学生感受数学对社会发展的推动作用。
关于建立统一度量单位的重要性，不仅在长度的测量中要予以关注，在面积和体积的测量中仍要让学生去感受，因为一个重要的思想是需要螺旋上升的。
如何帮助学生理解和把握度量单位的实际意义呢？
教学中，学生在完成“一张床长2（）；一个文具盒长2（）；一本书厚2（）”之类的练习时，不能正确选用适当的长度单位。再如：三年级学生认识面积单位之后，测试这样一题：将8张同学们用的课桌拼在一起，拼成的大课桌桌面面积大约是（）A80平方分米B8平方米C2平方米。多一半学生不会选择。这些现象说明了什么？
以“长度”内容教学为例，过去的教学模式大多是先给出标准的长度单位，然后在此基础上进行单位换算和周长计算，这很容易使教学的关注点集中于记忆长度单位有哪些、如何换算、周长计算公式是什么，从而导致学生对长度单位的实际意义、以及周长的概念理解存在一定程度的局限。学生练习时出现上述错误，就是没有建立起长度单位、面积单位的表象，对每个单位的实际意义不清楚。
长度、面积、体积单位是比较抽象的数学概念，对于它们的体会和认识应当通过实践活动，在具体体验和感悟中认识它们的意义。具体做法有：
借助身边熟悉的物体建立表象。
例如，生活中哪些物体的长度大约为1米，1厘米的长度可以用什么熟悉的物体来估计，哪些物体的面大约是1平方分米，哪些物体的体积大约是1立方米等。身边熟悉的物体可以随时帮助学生看到或
记忆单位的表象。
②重视在实际测量活动中建立表象
设计一些有意义的测量活动，让学生在操作中感受测量的实际意义，掌握测量的具体方法。例如：测量教室的长度；测量课桌的面积；测量土豆的体积等。在测量的过程中可以根据测量内容，学生自己恰当选择度量单位、工具和方法进行测量。选择的过程其实就是一个深化的过程。学生只有在亲身实践中才能积累对度量单位实际意义的认识。
③注意将估测与准确测量有机结合。
可以让学生先根据长度或面积单位的表象进行估测，然后利用标准的单位进行测量，这样对比精确测量的结果与估测结果之间的差距，不断调整在头脑中的单位表象，逐步帮助学生对单位的实际意义建立正确表象。
如果学生形成和获得单位的正确表象后，在今后的测量和计算中，脑中就会浮现相应的空间意义，这样学生就能正确解答相关问题，大大减少上述错例中的问题。对单位实际意义的建立不是一节课所能完成的任务，也不必仅仅局限于数学课堂，更需要学生在日常生活中经常观察、体验、感受，逐步地培养。
2.在图形测量过程中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养学生的空间观念。
测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等，通过这样的测量，学生不
仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，感悟数学思想。
在平面图形面积公式的推导过程中，教师经常是让学生利用学具进行操作活动，将新图形转化成学过的已知图形，从而找到新旧两个图形之间的对应关系，从而推导出公式。在这个过程中，巧妙地渗透了转化的思想。
以往的教学中，学生计算长、正方形和圆的周长非常熟练，但是对于平行四边形和三角形等没有给出周长计算公式的图形往往会感到困惑，尤其是面对一些不熟悉的图形，有些学生甚至无从下手。学生计算图形的周长和面积时总是混淆，计算立体图形的表面积和体积总分不清。
例如，学生不会计算没有公式的图形周长。
学生在解决这个问题时就是模仿长方形的周长计算方法，在脑海中没有周长的含义，只有周长计算公式，遇到此类题目简单模仿。
再如，学生将周长和面积问题相混淆。
这是利用面积知识解决问题，但是学生分不清面积和周长各指的是什么?头脑中两个概念是混乱的，解决问题时学生不能准确选择相应的知识解答。
学生为什么会出现这种情况？究其原因，可能是因为传统教学的重点主要集中在几个特殊图形的周长、面积、体积的计算上，因为有公式可以直接计算，导致学生实际对周长、面积、体积概念理解不到位，没有真正理解这些概念的本质含义。包括对周长面积的计算分不
清，也是对周长、面积概念的理解不清晰导致的。
在周长、面积、体积三个测量的量中，周长是学生最难感知的，也是学生最难理解的。下面以“周长”为例谈谈如何帮助学生清晰的认识测量“量”。
首先，教师要准确把握概念的本质含义。周长在小学课本里解释为封闭曲线一周的长度，词典中解释为：环绕有限面积的区域边缘的长度积分，叫做周长。可见周长有两层含义：一是封闭图形的一周；二是长度。同时周长和长度有着密切的联系，它与长度同属于一维空间的测量。而周长却用于二维空间（平面）之上。
周长和面积同属于同一平面内，有周长一定会有面积，它们之间存在着一定的联系，但它们之间也有明显的区别。面积指的是封闭图形围成的面的大小，面积属于二维空间的度量，基础是相等面积单位的紧密铺排；周长是一维空间的度量，是相同长度单位的叠加。
因为面积和周长同处于一个平面内，平时我们观察图形时首先关注的一定是面积，所以学生对周长的感知会差一些，在解决周长和面积的问题时也易发生混淆。
接下来，教师教学时一定要突出概念的本质含义。例如，一位教师在教学“周长”一课时，在比较两个图形一周谁的更长些，利用活动学具将图形的边线断开从图形上取下来，拉直并测量长度。使学生清晰地看到周长是指图形的边线，是图形一周边线的长度，让学生很好地感受周长是一维的长度，引导学生对周长的进一步理解。
教材中不仅呈现了一些规则的图形，也呈现了不规则图形，要让
学生知道三角形、五角星、圆形这些图形也有周长，像树叶形、心形…这些图形也有周长，只要是平面上的任意封闭图形都有周长，帮助学生从更为一般的意义上理解周长的含义。同时，学生用直尺、绳子测量这些图形周长的时候，不仅能深化理解周长的含义，而且在学习测量不规则图形周长的过程中，很好地渗透数学思想方法（以直代曲——极限思想；化曲为直——转化思想）。
数学中还要考虑到小学生具体形象思维的特点，让学生通过充分的观察感知周长的特点；通过操作体验、感悟周长的含义；通过辨析等活动，进一步区分面积和周长的不同。这样通过不同感官、不同手段加深学生对概念内涵的深刻理解。
3.在图形测量的过程中培养学生的估测意识和能力，体验解决问题方法的多样性。
估测和估计是《标准（2017版）》突出强调的内容。估测和估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且有助于学生感受度量单位的大小。
估测的意识和能力是在实践中发展起来的。《标准（2017版）》要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”，并给出具体的实践任务“测量并计算一张给定正方形纸的面积，利用结果估计课桌面的面积；测量步长，利用步长估计教室的面积”。这样把测量和面积计算有机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估测的方法。
教材在学生积累了足够的实际测量经验后，给她们提供了先估测再实测的练习，让学生比较估测与实际测量所得结果的差别，从而修
订自己的估测策略。
一估测物体的长度
在理解长度单位“米”的基础上，估测自己的步长；
以自己的步长为参照物，估测教室的长和宽；
步测算出教室的长和宽；
利用长方形周长计算公式计算出教室一周的长度。
同样还可以测量步长，利用步长估计教师的面积。这样，把测量和面积计算有机结合起来，有利于学生体会估测的作用和方法。
二测量不规则图形的面积。
如图1，图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成的面积。教师对此题目并不陌生，解决这个问题通常做法是数方格。先数数有多少个整格，再数数有几个半格，把不满整格的进行整合，最后累加起来。这是我们估计不规则图形常用的方法。但是这种估算面积的方法并没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵，充分体现该题的数学教育价值。
如图2，教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，边观察边进行思考：“你认为曲线围成的面积可能会在哪个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？”教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位，再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩笔圈出，
估计出曲线围成图形面积的下界（75个单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有小方格数，彩笔圈出，估计出曲线围成图形面积的上界（113个单位）.进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积在这两个数之间。由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。
如图3，教师可以继续追问：“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！”对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估算值，渗透极限思想。
“数方格”的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当作一个操作技能去教，为了教估算而估算。“寻找区间”的设计则注重学生估算意识和方法的培养。特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。通过对上界和下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界和下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估算值更逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习很有意义。
三估测实物的体积，体验某些实物体积的测量方法。
教材安排用排水法来测量不规则物体体积。利用有刻度的量杯记录下放入西红柿前后水位的刻度，水面上升部分水的体积就是西红柿的体积。在实验操作中引导学生理解“水面上升空间大小就是浸入水中物体体积”，实际是把未知转化成已知来解决问题，这是解决问题的一个重要的思想方法。
“测量不规则物体的体积”既有助于学生进一步理解体积的含义，培养估算意识，又能帮助学生发展解决实际问题的能力。估测及其简单应用教学要通过在具体情境下的问题解决，培养学生用近似的思想解决问题，培养学生估算意识和方法，让学生多拥有一种解决问题的方法。并在其中帮助学生感受数学思想方法，积累数学活动的经验。
“图形的运动”
图形的运动有两种注意方式：一是合同运动，指运动前后图形的形状和大小不变，仅仅位置发生变化；二是相似运动，指运动前后图形的形状不变而大小变化。《标准（2017版）》在第一学段适当降低了要求，去掉了在方格纸上作图的要求，放入第二学段，这样两个学段层次更明确：第一学段侧重于对这两种运动的直观认识。第二学段。对于这两种运动，借助在方格纸上画图去定量刻画图形的运动，并通过丰富的活动体会两种运动的特征。
总体上看这部分内容降低了难度，更加强调观察与操作，积累数学活动经验。大量的操作性活动有利于学生积累数学活动经验，教学
中要予以充分的重视。
1.结合生活实例，在观察和比较中认识图形的运动。
内容的选择要贴近学生实际，有利于学生体验、思考与探索。因为儿童的抽象思维需要具体形象思维和生活经验予以支撑，对感知图形运动这样的抽象概念尤其重要。小学阶段关于图形的运动定位在积累感性经验，形成初步认识。因此结合实例展开教学是一条相当重要的教学策略。
在生活中有很多图形和图案呈现出对称、平移或旋转的形式，通过对称、平移和旋转变换同样可以设计制作美丽的图案。因此，在教学中，多收集一些这样的素材，通过学生的观察、比较，引导学生从运动变化的角度去发现不同的图形变换。
2.借助操作活动，加深对图形运动的认识，帮助学生体会变换的特征。
操作是一种重要的实践活动。图形变换的操作主要是在方格纸上画一个图形经过某种变换后的图形和剪对称图形。应鼓励学生动手操作，并在操作过程中积极思考，发展思维能力。
特别是学生存在的困难，比如在方格纸上进行平移时，找平移距离时没有找对平移前后两个对应点之间的距离，而是中间空白部分的距离。要克服这个困难最重要的还是要操作；学生对确定旋转角度感觉很困难，也是要鼓励学生去操作。
再如，在教学“线的旋转”环节让学生通过用铅笔表示线段，在桌面方格中以三种不同的旋转中心（铅笔尖、铅笔尾与铅笔中心）进行旋转，来感悟旋转中心可以是线段上的任意一点。为后面在方格纸
上画线段提供实物支撑。
当然，操作还应该与适当的想象相结合。低年级可以先操作然后再去回想变换的过程，到了高年级可以先想象，然后再操作，然后再回想。
3.注重从变换的角度，引导学生欣赏图形、设计图案。
学习图形与变换的内容一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界，因此，教学中要鼓励学生从变换的角度欣赏图形、设计图案。例如，在生活中随处可见的美丽图案，学生在观察这些图案时，可以发现其中包含的熟悉的图形；可以运用数学的眼光分析图案的组成，例如是否运用了变换；可以欣赏这些各具特色的图案，发现其中蕴含的对称美、和谐美、简洁美；可以以此为启发，发挥自己的个性和创造力，亲自动手设计图案。
4.在解决问题中注重“图形的运动”和相关知识的联系，发展空间想象力和解决问题的能力。
对于图形的认识，不仅仅是从静态的角度去认识它，还可以从动态的角度去丰富对它的认识。如角的大小与什么有关，教师鼓励学生动态地认识，利用活动角的不断张开，学生会慢慢关注角的张口。事实上，利用图形的运动变换来认识图形，是一个将静态认识和动态认识相结合的途径。
又如，学习“圆柱和圆锥的认识”，使学生从旋转的角度认识圆柱，感受平面图形和立体图形的转换，教师会安排（旋转长方形成圆柱或三角形）这样一个操作活动。通常教师喜欢将这个活动放在开课
时用，认为既可以激发学生的学习兴趣，又能让学生感受“面旋转成体”。但是，用手旋转长方形纸片，由于速度不够快，并不能直观看到一个圆柱，主要是学生的一种想象。怎样能很好引导学生去想象和感受这个面和其旋转所形成的体的关系，发展学生的空间观念呢？
首先让学生想象长方形硬纸绕着木棒旋转会得到一个什么图形。学生会想到是圆柱，但并不是所有的学生都会在头脑中形成长方形旋转后得到圆柱的过程。这时教师要让学生进一步想象：在旋转过程中这个长方形的长是圆柱体的什么？宽呢？让学生在脑海中刻画出它运动的轨迹，得出结论。接着，让学生去动手旋转验证，虽然不能快速旋转看出一个圆柱体，却能借助这个长方形实物帮助学生进一步刻画出它的运动轨迹。最后，教师可以借助多媒体的优势，先将其慢慢旋转看到其留下的一个个轨迹，再不断快速旋转形成一个圆柱。这样的教学不仅进一步巩固了对圆柱的认识，而且引导学生通过想象，在头脑中刻画和经历长方形经过旋转形成圆柱的过程，发展了学生的空间观念。
小学阶段，在平面几何和立体几何的面积和体积公式推导过程中，时刻都能体会到变换的重要作用
总之，小学阶段有关图形的运动目标的达成是一个循序渐进的过程。教师在课堂教学中应注重多种策略的运用，以内容为载体，帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观。
“图形的位置”
总体上看，修订前后“图形与位置”方面内容变化不大。
1.充分利用学生的生活经验
学生的空间知识来自于丰富的现实原型，与现实生活关系非常密切。这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。让学生在“教室里、校园里、电影院中、上学路上”等熟悉的情境中学习，不仅可以激发学生的兴趣，而且有利于更好地认识空间，发展空间观念。在有趣的情境游戏中要利用刚学到的方位知识，实现了兴趣与数学思考的有机结合。
2.使学生经历探索如何描述图形位置的过程。
“位置与方向”教学，引入情境中提出问题：以学校为观测点，你能在这幅图上标出小红家的位置吗？
通过思考让学生体会到：要确定小红家在图中的位置，需要知道具体方向和学校到小红家的距离。
使学生“经历探究、解决问题”的过程：要确定位置只知道“北偏西方向”行吗？（只能确定所在区域）；要确定位置只知道“北偏西400方向”行吗？（只能确定在一条射线上）要确定位置只知道“距离学校800米”行吗？（只能确定在一个半径800米的圆周上）。
这样的引入，激发了学生的兴趣，利用了学生的生活经验，唤起了学生“位置与方向”的已有知识经验。
学习“用方向和距离确定位置”，学生的一个主要困惑点是：既要考虑方向，又要考虑距离，容易顾此失彼。这正是儿童的思维特点，她们善于从一个维度去思考问题，当需要从两个维度甚至多个维度去
深入思考时，就会显得力不从心，教师引导学生开展探究，先从单个维度考虑，让学生真正体会到了：方向和距离在确定位置中缺一不可，只有二者结合，才能确定物体的位置。
学习用“用方向和距离确定位置”，学生另一个困惑点是：方向混淆，学生很容易暴露出一个问题：确定“北偏西400方向”，让学生摆量角器，在探索比较中鉴别：先要判断以哪个方向为标准，以北为标准就要把量角器的零刻度线与表示北方向线重合，量角器的中心点与观测点重合。
综上所述，在图形与几何领域的教学中有三点大的建议：
一是把握好空间观念、几何直观、推理能力和应用意识等核心概念；
二是在数学活动中感悟数学思想，积累数学活动经验；
三是通过开展观察、操作、想象等活动使学生经历学习过程，从而发展学生的空间观念。
生活中的平面几何图形 适用年级：初中一年级所属学科：数学 引言: 首先播放一些在我们身边经常接触的为几何图形的物品，询问同学们这些物品有什么特点，由此开始创设情境。 常见的桌面、黑板面、平静的水面等，都给我们以平面的形象。几何里所说的平 面就是从这样的一些物体抽象出来的。但是，几何里的平面是无限延展的。我们作为数 学方向的师范类学生，今天以一名实习教师的身份对生活中的平面几何图形这一北师大 版7年级的教学内容进行探究，本次探究鉴于之前所学的几何图形的相关知识进行深入 探究，目的为让学生通过已经建立的知识结构来进行自主探究，完善关于几何图形的知 识系统。 任务: 为了成功完成这次的探究学习任务，全面认识生活中的平面几何图形，我们要归纳一些主要主题进行探究，做到有的放矢。我们主要对以下主题进行探究： 1.看生活中的几何图形 2.由已建立的知识体系下自主探究本节学习的几何图形 3.熟悉几何图形的性质及应用 要探究以上主题，需要分别从生活、数学等角度探究生活中的平面几何图形，我们需要分别担任生活小组组长、数学小组组长、后勤小组组长、技术小组组长，也就是需要分成四个小组从不同的方面收集、整理和探究。 生活小组：搜寻生活中的平面几何图形、查找关于几何图形在生活中的应用，熟悉教案。 数学小组：以专业知识角度对其他小组的任务内容进行修改。 后勤小组：搜索资料、整合资料。 技术小组：将后勤小组整理好的内容整合为ppt。 请将自己收集到的资料综合整理为演示文稿，以便授课时展示讲演。 资源: 生活： https://www.doczj.com/doc/a616957403.html,/link?url=iHJMGJqjJ4zBBpC8yDF8xDh8vibiAUtaISoEb5kSN NGgO9BzWnQwsgtaACLw6j4Q39iQ https://www.doczj.com/doc/a616957403.html,/view/73af955f804d2b160b4ec082.html https://www.doczj.com/doc/a616957403.html,/?wskm=news&act=show&id=56 数学： https://www.doczj.com/doc/a616957403.html,/t_ja_319760.html
解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l
A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22
《几何图形初步》复习学案 知识点一：余角和补角的概念（思考什么叫互为余角，什么叫互为补角） 1．★若∠α=79°25′，则∠α的补角是（） A．100°35′B．11°35′C．100°75′D．101°45′ 2 ★已知∠α与∠β互余，若∠α=43°26′，则∠β的度数是（） A．56°34′B．47°34′C．136°34′D．46°34′ 3 ★已知α=25°53′，则α的余角和补角各是 4★★已知∠1=30°21’，则∠1的余角的补角的度数是（） 知识点二从正面、上面、左面看立体图形 1★画出从正面、上面、左面三个方向看到的立体图的形状 ２★从正面、上面、左面看圆锥得到的平面图形是（） A．从正面、上面看得到的是三角形，从左面看得到的是圆 B．从正面、左面看得到的是三角形，从上面看得到的是圆 C．从正面、左面看得到的是三角形，从上面看得到的是圆和圆心 D．从正面、上面看得到的是三角形，从左面看得到的是圆和圆心 ３★★下列四个几何体中，从正面、上面、左面看都是圆的几何体是（） A 圆锥Ｂ圆柱Ｃ球Ｄ正方体 ４★★一个几何体从正面、上面、左面看到的平面图形 如右图所示，这个几何体是（） A 圆锥Ｂ圆柱Ｃ球Ｄ正方体 ５★★观察下列几何体，，从正面、上面、左面看都是长方形的是（） ６★★从正面、左面、上面看四棱锥，得到的3个图形是（） ＡＢＣ ７★★★如下图，是一个几何体正面、左面、上面看得到的平面图形，下列说法错误的是
（） A．这是一个棱锥B．这个几何体有4个面 C．这个几何体有5个顶点D．这个几何体有8条棱 ８★★★如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形体的数 字表示该位置小立方块的个数，则从正面看该几何体的图形是（） 知识点三：度分换算 １度分 °= 度分 °=°′ °=°′ ２分度 79°24′=°29°48′=° 把56°36′换算成度的结果是 把37°54′换算成度的结果是 知识点四对直线、射线、线段三个概念的理解 1 ★图中有条直线，条射线，条线段 2★★过ABC三点中两点的直线有多少条（画图表示） 3★★过ABCD四点中两点的直线有多少条（画图表示） A．1或4B．1或6C．4或6D．1或4或6 4 ★★同一平面内的四点，过其中任意两点画直线，仅能画四条，则这四点的位置关系是（）A．任意三点不在同一直线上B．四点都不在同一直线上 C．四点在同一直线上D．三点在同一直线上，第四点在直线外 5 ★★已知A，B，C，D四点都在直线L上，以其中任意两点为端点的线段共有（）条；已知A，B，C，D四点都在直线L上，以其中任意一点为端点的射线共有（）条 6 ★★下列说法中正确的个数为（）个 （1）过两点有且只有一条直线；（2）连接两点的线段叫两点间的距离； （3）两点之间所有连线中，线段最短；（4）射线比直线小一半． 知识点五线段计算——涉及分类讨论（线段双解问题，画图很重要！！！） 引例★：线段AB=15cm，BC=5cm，则线段AC等于（） 1 ★线段AB=7cm, 点C在直线ＡＢ上，ＢＣ＝３cm, 求线段AC长
《生活中的几何图形图形》教学设计 永年县第十三中学李美茹 《生活中的几何图形图形》是冀教版七年级上册第二单元第一节的内容，本节课的任务是引导学生初步掌握生活中的基本立体图形，能把生活中的图形抽象到数学模型中，并能用语言描述几何体的特点，学生对生活经验缺乏深刻的认识，常常是知其然而不知其所以然，对事物仅限于表面的认识，但是他们的观察力极强，针对这一特点，一方面我在本节课中大量收集了生活中的立体几何图形，利用电子白板进行展示和分类，让学生通过观察而对同一类物体的特征进行提炼，同时，为了是这节课更贴近生活，我们收集了很多生活中的立体图形，让学生通过看、说等一系列活动，从而了解生活中的立体图形特点。 一、教材与学习任务分析 《生活中的几何图形图形》是新课改之后的重要内容，是步入中学的第一课，学生之前对一些简单几何体和平面图形有了一定的了解，这节课使学生对物体形状的认识逐步由模糊的、感性的上升到抽象的数学图形，使学生体验数学概念的抽象和形成过程，掌握柱体、锥体、球体的特征为进一步学习空间图形的三视图及研究平面图形的特征提供必要的基础。 二、学习对象分析 本节课利用电子白板，一来丰富学生的知识储量，二来通过立体图形的变换，培养学生的空间几何想像能力。作为聋校八年级学生，已经具备一定的观察和思维能力，但是对于数学学习普遍缺乏自信，反映在课堂上就是不敢发言，害怕出错，学生的自尊心都比较强，在这节课的设计中，有很多实践活动，需要老师多一些耐心，站在一个高的角度和境界，多鼓励学生，关注每一位学生的发展，使他们勇于发言。同时，通过这节课的学习，让学生感受数学和生活息息相关，生活中处处存在数学，数学让我们多了一份对生活的创造和感悟。 三、教学目标： 【知识与技能】 1．认识几何图形，能根据它们的几何特征，通过观察与交流，经历从具体情景中辨别各种几何图形，感受图形世界的丰富多彩． 2．在具体情境中认识圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几何体，了解棱柱的特征，能用自己的语言描述单个几何体的基本特征，并能根据几何体的某些特征将其分类． 3．培养学生观察，操作，表达以及思维能力，学会合作，交流和自主探究的学习方式，发展空间观念，培养创造和实践能力，体验数学学习的乐趣，提高数学应用意识． 4．在合作与交流中，学会肯定自己和倾听他人的意见，提高学习数学的信心。 【过程与方法】 由实物联想出几何图形、能从实物的形状、大小、位置考虑而得出几何图形．由几何图形联想到实物．从而进一步培养学生对几何图形的感性认识． 【情感、态度与价值观】 经历从现实世界中抽象出图形的过程，感受图形世界的丰富多彩，通过直觉增进学生的理解力，在独立思考的基础上，帮助学生积极参与对数学问题的讨论，并敢于发表自己的观点，培养他们主动与他人合作交流的意识。【多媒体运用】 为使本节课更有效率，充分发挥电子白板作用，本节课内容一直借助多媒体完成，其中学生借助电子白板完成活动的有3处。 四、教学重、难点 根据课标要求，同时结合聋校学生的心理特点和认知能力，确定本课的重点：感受图形世界的丰富多彩；认识现实背景中的圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球，探究棱柱的特点． 难点能用自己的语言描述简单几何体的某些特征，这一部分是学生的一个弱点，很多学生能大致比划出图形的特征，但缺乏语言的表述，在这里，对于表达较好的学生，老师鼓励和帮助，使学生语句通顺，表达流畅。对于听力损失较重，用手语表达的学生，老师首先要鼓励，使学生树立自信，使他们意识到手语也是一种表达的方式，同学们应该踊跃发表意见。 五、学习研究目标： 1．组织学生在进行探究活动中，如何发挥小组合作效率，使每个学生都主动参与，有所收获，通过合作，培养学生的团队意识。
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ） A ．主视图 B ．俯视图 C ．左视图 D ．一样大 【答案】C 【解析】 如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C ． 2．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（ ） A ．210824(3) cm - B ．(2 108123cm - C ．(2 54243cm - D ．(2 54123cm - 【答案】A 【解析】 【分析】 设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9?36ah 求解． 【详解】 解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，
如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°， ∴BD ＝ 12a cm ，AD ＝32 a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ， ∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋23a ）cm ，宽为（4a ＋ 1 2 a ）cm ， 挪动后所在矩形的长为（h ＋2a ＋3a ）cm ，宽为4acm ， 由题意得：（2h ＋23a ）?（h ＋2a ＋3a ）＝5，（4a ＋1 2 a ）?4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9?23， ∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9?23）＝210824(3) cm -； 故选：A ． 【点睛】 本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键． 3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ） A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】
人教版初中数学几何图形初步经典测试题及答案 一、选择题 1．下列图形中1∠与2∠不相等的是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据对顶角，平行线，等角的余角相等等知识一一判断即可． 【详解】 解：A 、根据对顶角相等可知，∠1=∠2，本选项不符合题意． B 、∵∠1+∠2=90°，∠1与∠2不一定相等，本选项符合题意． C ．根据平行线的性质可知：∠1=∠2，本选项不符合题意． D 、根据等角的余角相等，可知∠1=∠2，本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查平行线的性质对顶角的性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（ ） A ． B ．
C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图可判断这个几何体的形状；再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】 解：根据三视图可判断这个几何体是圆柱；D选项平面图一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．A选项平面图折叠后是一个圆锥；B选项平面图折叠后是一个正方体；C选项平面图折叠后是一个三棱柱. 故选：D. 【点睛】 本题考查由三视图判断几何体及展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键． 3．如图是由四个正方体组合而成，当从正面看时，则得到的平面视图是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可． 【详解】 解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行最左边是一个正方体． 故选：D． 【点睛】
2.图形与几何 第一课时 复习内容：量与计量（补充），练习十八相关题目。 复习目标： 1.熟练掌握长度、面积、体积的计量单位，质量单位，时间单位等。 2.能正确使用学过的计量单位解决实际问题。 3.熟练掌握有关计量单位之间的进率关系，并能正确进行单位换算。 复习重点：能正确使用学过的计量单位解决实际问题。 复习难点：难点是能正确进行单位换算。 教学准备：直尺、三角板等 复习过程： 一、依标导学，自主学习 1.谈话引入 2.板书课题，明确目标 3.自学提示 （1）什么是长度？什么是面积？什么是体积？ （2）常用的计量单位有哪些？它们之间的进率是怎样的？ （3）相邻的长度单位，面积单位，体积单位之间的进率是多少？ （4）什么叫单名数？什么叫复名数？ （5）如何把高级单位的名数改写成低级单位的名数？ （6）如何把低级单位的名数改写成高级单位的名数？ 4.学生自主学习 二、回顾知识，展示交流 （一）小组合作，整理各个知识点。 （二）学生小组合作交流 （三）学生汇报展示，老师点拔，适时归纳板书 2.相邻的长度单位之间的进率是10，相邻面积单位之间的进率是100，相邻体积单位之间的进率是1000。
3.把高级单位的名数改写成低级单位的名数要乘进率，把低级单位的名数改写成高级单位的名数要除以进率。 三、达标检测，反馈矫正 （一）填空。在（）里填上适当的计量单位名称 1.一支铅笔长176（）一处篮球声场占地420（） 一张课桌宽52（）一个火柴盒的体积是2（） 一间教室的面积是48（）一瓶牛奶的容积是250（） 2. 3时20分=（）分；吨=（）吨（）千克 3080克=（）千克（）克； 7 dm38 cm3=（）dm3=（） 时=（）时（）分 3元5分=（）元 （）平方米=750平方分米=（）平方厘米 平方千米=（）公顷=（）平方米 （二）举例说明：1m、1dm、1cm分别有多长？1m2、1dm2、、1cm2分别有多大？1m3、1dm3、1cm3分别有多大？ （三）完成P89第2题 （四）课后作业 1.一块长方形耕地，长250米，宽160米，这块地的有多少公顷？ 2.一辆汽车从甲地开往乙，早上7时30分出发，下午5时20分到达。已知汽车每小时行85千米，甲乙两地相距多少千米？ （五）课堂总结 回顾本节课的学习，说一说你有哪些收获？还有什么疑问？ 板书设计： 教学反思：
解析几何解答题专练
19．（本小题14分） 已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点)20 P ，和点 212Q ?-- ?? ，. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）如图，以椭圆G 的长轴为直径作圆O ，过直线2-=x 上的动点T 作圆O 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆G 交于不同的两点C ，D ，求CD AB 的取值范围． 解：（Ⅰ）设椭圆G 的标准方程为22 221x y a b +=（0a b >>）， 将点)20 P ，和点21Q ? - ? ? ， 代入，得 22 2 2 11 12a a b ?=??+=??，解得 2221 a b ?=??=??. 故椭圆G 的标准方程为2 212 x y +=. （Ⅱ）圆2 C 的标准方程为2 22 x y +=， 设()1 1 ,A x y ，()2 2 ,B x y ， 则直线AT 的方程为1 1 2x x y y +=，直线BT 的方程为2 2 2x x y y +=， 再设直线2-=x 上的动点()2,T t -（t R ∈），由点()2,T t -在直线AT 和BT 上，得
设1s m =（1 04s <≤） ，则AB CD = 设()3 1632f s s s =+-，则()()2 269661160 f s s s '=-=-≥， 故()f s 在10,4 ?? ?? ? 上为增函数， 于是()f s 的值域为(]1,2，CD AB 的取值范围是(. 19．（本小题满分14分） 已知椭圆C : 22 22 1(0)x y a b a b +=>> 离心率2 e = ，短轴长为． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ， 过原 点O 的直线（与坐标 轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别 与y 轴 交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．
人教版初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，一副三角板按如图所示的位置摆放，其中//AB CD ，45A ∠=?，60C ∠=°，90AEB CED ∠=∠=?，则AEC ∠的度数为（ ） A ．75° B ．90° C ．105° D ．120° 【答案】C 【解析】 【分析】 延长CE 交AB 于点F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠C ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】 解：如图，延长CE 交AB 于点F ， ∵AB ∥CD ， ∴∠AFE ＝∠C ＝60°， 在△AEF 中，由三角形的外角性质得，∠AEC ＝∠A +∠AFE ＝45°+60°＝105°． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记相关性质并作出正确的辅助线是解题的关键． 2．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ）
A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】 ∵//BC DE ∴30E BCE ==?∠∠ ∴453075AFC B BCE =+=?+?=?∠∠∠ 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键． 3．如图，有A ，B ，C 三个地点，且AB BC ⊥，从A 地测得B 地在A 地的北偏东43?的方向上，那么从B 地测得C 地在B 地的（ ） A ．北偏西43? B ．北偏西90? C ．北偏东47? D ．北偏西47? 【答案】D 【解析】 【分析】 根据方向角的概念和平行线的性质求解. 【详解】 如图，过点B 作BF ∥AE ，则∠DBF=∠DAE=43?, ∴∠CBF=∠DBC-∠DBF=90°-43°=47°， ∴从B 地测得C 地在B 地的北偏西47°方向上， 故选：D.
1. 在认识图形的基础上引导学生动手操作,折一折,画一画,剪一剪,培养学生的创新意识和能力。 2. 学会测量和估测物体的长度,培养学生的思维能力和空间想象能力。 3. 感受数学与生活的紧密联系,培养学生喜爱数学的情感。 重点:学会估测物体的长度。 难点:培养学生的创新意识和能力。 课件。 师:同学们,今天我们要复习整理的内容与我们的日常生活非常密切,首先想一想在“图形与几何”部分我们学习了哪些知识。 学生可能会说: ·我们学会了测量。 ·我认识了长度单位厘米和米,知道了1米=100厘米。 ·我还学会了剪出能够沿着一条线完全重合的图形。 ·我知道了平移和旋转现象。 …… 师:同学们说得很具体,只要你留心观察、认真学习,相信你会有更多新的发现。 【设计意图:引导学生回顾要整理复习的相关知识点,从而使学生形成对这部分内容的感性认识,能在头脑中呈现相关的表象,逐步构建知识系统。】 1. 教材第98页第1题。 师:我们学了哪些长度单位? 生:我们学了两个常用的长度单位——“厘米”和“米”。 师:找一找,生活中有哪些物品的长度大约是1厘米?有哪些物品的长度大约是1米? 生1:我拇指的指甲盖长度大约是1厘米。
生2:我们的课桌长度大约是1米。 …… 只要学生举出的事例正确就给予表扬鼓励。 师:关于“厘米”和“米”,你还知道什么呢? 生:我知道1米=100厘米。 师:说得非常好,大家一起说一遍,看谁记得最好。 2. 教材第98页第2题。 师:说一说测量时应注意什么。 生:测量时要注意把尺子的0刻度与物体的一端对齐,物体的另一端到尺子的什么刻度,读出来就是物体的长度。 师:你能说出下面物体的长各是多少厘米吗? 课件出示:教材第98页第2题。 生:最上面的铅笔长5厘米,中间的一支长4厘米,最下面的回形针长2厘米。 师:说得很正确,注意我们测量物体的长度时,就应该像图中这样与0刻度对齐。 3. 教材第98页第3题。 师:说一说在生活中可以用什么方法对长度进行估计。 生:我可以把要估计的物品的长度与1厘米或1米比一比。 【设计意图:在对相关知识点进行复习整理后,趁热打铁进行针对性的巩固训练,及时检查学生的掌握情况,从而确定下一步教学内容。】 师:同学们,今天我们复习了“图形与几何”,咱们这学期的内容到这就结束了,但是知识的学习与应用是无止境的,在今后的生活和学习中,只要你们努力,相信就能掌握更多的知识。
1.1几何图形教学设计 教学目标： 知识与技能： 认识常见的几何图形，并能用自己的语言描述常见几何图形的特征 过程与方法： 1．经历从现实世界中抽象几何图形的过程，通过对比，概括出几何研究的对象 2．在实物与几何图形之间建立对应关系，在复习小学学过的平面图形的基础上，建立几何图形的概念，发展空间观念 情感态度价值观： 体验数学学习的乐趣，提高数学应用意识。 教学重点： 通过观察，讨论，思考和实践等活动，让学生会辨识几何体 教学难点： 从具体实物中抽象出几何体的概念 教学方法： 探究式 教学用具： 几何模型、实物、多媒体 教学过程设计： 一、观察与思考 师：1．呈现生活中的一些物体：水杯、书、铅笔、笔筒、乒乓球、苹果、跳棋、冰激凌筒。2．由老师课前准备或当堂演示一些图片 提问：这些物体中哪些形状类似但大小不一样？ 学生积极思考，踊跃发言。 引导学生简述自己的理由，用自己的语言描述这些几何体的特征 师：大家在分类的时候有没有考虑他们的颜色、材料、质量? 生：没有 师：我们的生活中有类似形状的许多物体，而对于这些物体如果不考虑他们的颜色、材料、质量，而只注意它们的形状、大小和位置，就得到我们今后要学习的几何图形。 找出你所认识的几何图形 生：圆锥、圆柱、球 师：下面让我们一起来认识它们，（电脑显示上面各物体抽象出来的几何体）配注各几何体名称（中、英文）。请同学们观察，刚才的物体分别类似于屏幕上的哪一种几何体？
圆柱、圆锥、正方、长方体、棱柱、球 circular、cylinder、circular、cone、cube、cuboid、prism、sphere 生：思考，并作出回答 师：让我们一起来回想一下平时的日常生活中所见到过的哪些物体的形状类似于以上的几何体，（在实物与几何体模型之间建立对应关系）。 二、做一做 师：将书上P3的图打到屏幕上，同学们一起做，巩固概念 三、一起探究 1．电脑演示七种几何体，同学们说出它们的名称 2．思考，在上述几何体中，有哪些是我们学过的平面图形？ 学生思考一段时间后，同桌交流，将部分几何体拆分，以达到让学生认识几何图形与平面图形的区别的目的。 进一步让学生思考： （1）立体图形和平面图形的区别是什么？ （2）几何图形分几部分？ 四、小结 同学们说说这节课的收获是什么？ 收获：（1）初步认识了几何图形，有立体图形和平面图形。 （2）立体图形的分类 五、布置作业 P51，2，3 板书设计
几何图形初步经典测试题及解析 一、选择题 1．如图将两块三角板的直角顶点重叠在一起，DOB ∠与DOA ∠的比是2:11，则BOC ∠的度数为（ ） A ．45? B ．60? C ．70? D ．40? 【答案】C 【解析】 【分析】 设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x ，可推导得到∠AOB=9x=90°，从而得到角度大小 【详解】 ∵∠DOB 与∠DOA 的比是2:11 ∴设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x ∴∠AOB=9x ∵∠AOB=90° ∴x=10° ∴∠BOD=20° ∴∠COB=70° 故选：C 【点睛】 本题考查角度的推导，解题关键是引入方程思想，将角度推导转化为计算的过程，以便简化推导 2．如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠AOC ＝76°，则∠BOM 等于（ ） A ．38° B ．104° C ．142° D ．144° 【答案】C 【解析】 ∵∠AOC ＝76°，射线OM 平分∠AOC ，
∴∠AOM=12∠AOC=12 ×76°=38°， ∴∠BOM=180°?∠AOM=180°?38°=142°， 故选C. 点睛：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键. 3．∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3=125°，则∠2=（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意得：∠1+∠3=180°，∠3=125°，则∠1=55°，∵∠1+∠2=90°，则∠2=35° 故选：A ． 【点睛】 本题考查余角、补角的计算． 4．下面四个图形中,是三棱柱的平面展开图的是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三棱柱的展开图的特点作答． 【详解】 A 、是三棱锥的展开图，故不是； B 、两底在同一侧，也不符合题意； C 、是三棱柱的平面展开图； D 、是四棱锥的展开图，故不是. 故选C ． 【点睛】 本题考查的知识点是三棱柱的展开图，解题关键是熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征． 5．在等腰ABC ?中，AB AC =，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上的一个动点，当PCE ?的周长最小时，P 点的位置在ABC ?的（ ）
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点， 问E 、F 两点能否关于过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四 点外接圆的圆心 …………………1分 故该椭圆中,22c b a == 即椭圆方程可为22222b y x =+ ………3分 设H （x,y ）为椭圆上一点，则 b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222…………… 4分 若30<最新初中数学几何图形初步经典测试题含解析(1)
最新初中数学几何图形初步经典测试题含解析(1) 一、选择题 1．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是() A．20°B．22°C．28°D．38° 【答案】B 【解析】 【分析】 过C作CD∥直线m，根据平行线的性质即可求出∠2的度数． 【详解】 解：过C作CD∥直线m， ∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝60°， ∵直线m∥n， ∴CD∥直线m∥直线n， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∵∠1＝38°， ∴∠ACD＝38°， ∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行线的计算问题，掌握平行线的性质是解题的关键． 2．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（）
A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图可判断这个几何体的形状；再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】 解：根据三视图可判断这个几何体是圆柱；D选项平面图一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．A选项平面图折叠后是一个圆锥；B选项平面图折叠后是一个正方体；C选项平面图折叠后是一个三棱柱. 故选：D. 【点睛】 本题考查由三视图判断几何体及展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键． 3．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠AOC＝76°，则∠BOM等于（） A．38°B．104°C．142°D．144° 【答案】C 【解析】 ∵∠AOC＝76°，射线OM平分∠AOC， ∴∠AOM=1 2 ∠AOC= 1 2 ×76°=38°， ∴∠BOM=180°?∠AOM=180°?38°=142°， 故选C. 点睛：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键. 4．一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，∠E=60°，点F在CB的延长
小学数学图形与几何教学设计 小学数学图形与几何教学设计：《认识图形》教学设计教学内容：标本二年级上册第三单元第一课时 教学目标： 1、让学生通过观察、比较，初步建立边的概念，初步认识四边形、 五边形、六边形等平面图形。 2、通过对图形的分一分、搭一搭、围一围、折一折等活动，使学生 体会图形的变换，发展空间观念。 3、使学生在学习活动中积累对数学的兴趣，培养交往、合作意识。 教师准备：各种图形，课件 学生准备：钉子板、彩纸、小棒、一套图形. 教学过程： 一、创设情境，激发兴趣 1、师：孩子们，今天老师要带大家到小熊贝贝家去作客,你们高兴吗?（课件出示情境图）仔细观察你就会发现,它们家藏着好多的图形宝宝呢,谁来说说你都找到哪些图形呀?(长方形、正方形、圆……)这些图
形宝宝看到小朋友们这么可爱，它们想和你们交朋友呢，你们愿意吗？ 2、师：好，轻轻的打开你们桌面上的信封袋来看看，他们呀，早就 跑到你们的信封袋里了，认识它们吗？1号图形是什么？2号呢？3号？还有呢? （教师把准备好的6个图形贴在黑板上） 今天,我们就来学习认识图形.(板书课题:认识图形) 二、自主探究，获得新知 （一）分类引入，初步认识四边形 1、自由分类 这些图形各种各样，你能不能按一个标准，给它们分一分？ 先想好自己准备按什么来分，然后再动手。 2、交流，得到可以按“边”的条数来分 刚才有个小朋友把这些图形分成了两类，他是按什么分的，你听懂 了吗？谁再来说一说？（板书：3条边。4条边。） 3、相机引入“边”的概念 大家分完了吗？老师有个问题：在这个长方形上“边”在哪里呀？ （1）引导学生说说边。
平面设计中图形的地位和作用 图形是在平面构成要素中形成广告性格及提高视觉注意力的重要素材。图形能够下意识地左右广告的传播效果。图形占据了重要版面，有的甚至是全部版面。图形往往能引起人们的注意，并激发阅读兴趣，图形给人的视觉印象要优于文字，在平面图形设计中合理的运用图形符号。 图形作为设计的语言，要注意把话说清楚。在处理中必须抓住主要特征，注意关键部位的细节。否则差之百，失之千里。比如苹果、西红柿、桔子等在体量差不多，但实际上却有很大不同，这就要在处理中抓住它们各自不同特征。 图形表现是通过对创意的中心的深刻思考和系统分析，充分发挥想象思维和创造力，将想象、意念形象化、视觉化。这是创意的最后环节，也是关键的环节。从怎样分析、怎样思考到怎样表现的过程。由于人类特有的社会劳动和语言，使人的意识活动达到了高度发展的水平，人的思维是一个由认识表象开始，再将表象记录到大脑中形成概念，而后将这些来源于实际生活经验的概念普遍化加以固定，从而是外部世界乃至自身思维世界的各种对象和过程均在大脑中产生各自对应的映像。这些影响是由直接的外在关系中分离出来，独立于思维中保持并运作的。这些印象以狭义语言为基础，又表现为可视图形，肢体动作，音乐等广义语言。“奇”、“异”、“怪”的图形并非是设计师追求的目标，通俗易懂、简洁明快的图形语言，才是达到强烈视觉冲击力的必要条件，以便于公众对广告主题的认识、理解与记忆。 图形不仅仅在平面设计中有重要的作用，它还与文字、符号、有密切的联系。 1平面广告中图形的重要性www 图形是视觉的语言，与文字相比最大的区别是图形具有直观性、真实性、准确性特点，通过写实性绘画或摄影图片能直接展现事物的形态、颜色、材料、质感等特征，让人感到真实可信，有较强的视觉吸引力与说服力。图形表现是主观与客观的统一，是一种以视觉形象为载体来传递信息的途径。相对文字信息来说，图形信息特别是摄影图片往往不受读者的理解力或语言背景的限制。如果是文字、语言是有国界的，那么图形则是不分国家、民族、种族的世界性语言，这对于广告信息的传播是非常有利的。譬如，我们画一朵花的图形，不同国家、民族的人都知道这是花，但如果你用他们不掌握的语言或文字来表达的话，那么他肯定摸不着头脑——这就是图形的魅力。 我们常说的“耳听为虚，眼见为实”，反映出图形表达直观而真实的特点。文字的描述无论怎样动听总还要经过人的形象思维的转化，在这转化过程中不同的人由于不同的生活背景和阅历所产生的结果是不一样的，这就可能出现信息传播过程中的理解偏差，导致传达目的失误。因此，广告设计中图形的使用是非常重要的，一幅好的广告图片所产生的说服力与感召力往往胜过千言万语的文字说明。 有人说21世纪是读图的时代，的确，数字化时代快节奏的生活中充满着各种各样大量的信息，图形的直观、明确以及丰富的视觉表象力不能有效的传达信息，而且具有欣赏性，给人视觉的享受并引发心理认同，其信息量的传栽甚至超越了图形本身，形成心灵的沟通与交流。 人们在阅读一则平面广告的时候，通常的顺序是先看图片，然后阅读标题，在追索正文。可见，图形在平面广告中占有举足轻重的地位，在一定程度上决定了一则广告的成功与失败。 2平面图形设计与符号的本质联系w 图形本身是视觉空间设计中的一种符号形象，是视觉传达过程中较直接、教准确
专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分）
4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1